Содержание к диссертации
Введение
1. Основные определения 11
2. Формальная сепаратриса 14
3. Первая теорема об аппроксимации 18
4. Чисто-квадратичное» отображение 26
5. Вторая теорема об аппроксимации 40
6. Сравнение устойчивого и неустойчивого многообразий 45
7. Аналитический интеграл 52
8. Асимптотическая формула для гомоклинического инварианта 60
Библиография 67
- Формальная сепаратриса
- Чисто-квадратичное» отображение
- Сравнение устойчивого и неустойчивого многообразий
- Асимптотическая формула для гомоклинического инварианта
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию экспоненциально малого расщепления сепаратрис. В ней рассматривается квадратичное отображение плоскости, сохраняющее площадь. Исследуются итерации точек плоскости под действием этого отображения, как вперед, так и назад. Например, пусть имеются отображение F: R2 —> Ш? и точка плоскости (ж, у) Є Ш2 . Тогда Fn(x,y) — п-ая итерация. Совокупность всех таких точек при п Є Z называется орбитой точки (х, у). Именно, исследованию орбит точек плоскости и посвящается данная работа. Как известно, изучение консервативной динамической системы с двумя степенями свободы сводится к изучению отображения плоскости, сохраняющему площадь [20]. Поэтому все вопросы, рассматриваемые в данной диссертации непосредственно переносятся на теорию динамических систем.
Исторически вопрос берет свое начало от работ А. Пуанкаре [53]. Им было открыто явление расщепления сепаратрис. Все фазовое пространство разбивается сепаратрисами на две компоненты, на ограниченную и неограниченную. При наличии расщепления сепаратрис появляется также стохастический слой. Этот слой образуют устойчивая и неустойчивая сепаратрисы, каждая из которых является одномерной линией на плоскости (в случае двух степеней свободы).
Таким образом, при наличии расщепления сепаратрис фазовое пространство состоит из двух компонент: регулярной и стохастической. Регулярная компонента достаточно хорошо изучена. Она является объектом теории КАМ. Ей посвящены работы Колмогорова А.Н. [45], Арнольда В.И. [37], Мозера Ю. [50] и др. Стохастическая же компонента изучена значительно хуже. Именно ей посвящается данная диссертация.
Актуальность темы диссертации связана осознанием значимости явления расщепления сепаратрис не только для нелинейной физики [43,44,48,10], но и для современного естествознания [52,55]. Дело в том, что рассматриваемые отображения тесно связаны с Гамильтоновыми динамическими системами. Развитие современных компьютерных технологий позволяет воочию видеть явления, связанные с хаосом. Одним из универсальных механизмов возникновения хаоса является расщепление сепаратрис. Если отображение имеет неподвижную точку гиперболического типа, то у него существуют устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия этой точки, называемые сепаратрисами. В двумерном случае — это кривые на плоскости, и для интегрируемой системы они совпадают. Если же они пересекаются в какой-либо точке под ненулевым углом, то появится бесконечно много таких пересечений, так как при итерациях точка пересечения должна перейти в точку пересечения. При этом сепаратриса не может иметь самопересечений. В результате, в фазовом пространстве образуется очень сложная картина, называемая стохастическим слоем. Если в интегрируемую систему ввести малое возмущение, то появляется стохастический слой. Его толщина может быть степенной по параметру возмущения. В этом случае применимы стандартные методы асимптотических теорий. Например, разложение в степенной ряд [53] или метод Мельникова [49]. Стохастический слой может иметь экспоненциально малую по параметру возмущения толщину. В работе М. Нёпоп [23] в качестве примера рассмотрены квадратичные отображения плоскости. В ней показаны некоторые аналитические свойства таких отображений. Однако большинство результатов носит численный характер. Наиболее перспективное аналитическое направление исследования было предложено Лазуткиным В.Ф. в [46]. Продвижение в этом направлении, несомненно, возможно только при сочетании аналитических и численных методов. Настоящая работа является развитием предложенных идей, в первую очередь в аналитическом направлении.
Формальная сепаратриса
В этом параграфе будет построено разложение для W по степеням параметра h и показано, что это же разложение соответствует второй сепаратрисе W . Вторая компонента сепаратрисы легко выражается через первую из первого уравнения системы (1.3). Поэтому вместо системы будем рассматривать эквивалентное ей уравнение в конечных разностях второго порядка: Сначала решим это уравнение в классе формальных рядов, вида где знак означает, что ряд в правой части — расходящийся. В данном случае, X рассматривается как функция, генерирующая ряд. В этом классе X(t ± ft) = exp (±h- ) X(t) и уравнение (2.1) принимает вид Учитывая, что 2sinh = Х)ь=і Ш-у. для произвольного а, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ft2n в уравнении (2.3) и получаем На уравнение (2.4) нужно наложить следующие граничные условия
Они появляются при разложении (1.4) в степенной ряд. После разложения условий (2.6) в ряд по степеням ft легко получаются следующие условия на функции xn(t) : Этого достаточно для однозначного определения решения. Чтобы определить первую функцию XQ , нужно решить уравнение с граничными условиями (2.5) и (2.6) или (2.6 ). Единственным решением будет Утверждение 2.1. Система (2.4) имеет единственное решение xo,Xi,x-2,... , удовлетворяющее граничным условиям (2.5) и (2.6). Все хп имеют вид Доказательство. Как уже упоминалось (2.8) дает единственное решение первого уравнения (2.4), которое удовлетворяет граничным условиям. Перепишем уравнение (2.4) при п 2 в виде Будем доказывать утверждение по индукции. Пусть хо , Х\,... хп-2 — единственные решения уравнений (2.4) вплоть до п—2 , которые удовлетворяют граничным условиям (2.5), (2.6) и имеют вид (2.9). Из (2.8) следует, что 1 — 2жо = 1 sh3 t/2 , следовательно, уравнение (2.11) на жп_і — линейное неоднородное уравнение вида Ему соответствует однородное уравнение Ни одно из них не удовлетворяет ни (2.5), ни (2.6). Этим доказывается единственность хп. Прямыми подстановками можно доказать следующую лемму. Таким образом, первые слагаемые (2.14) и (2.15) равны, и они сокращаются в правой части (2.11). При этом вторые слагаемые имеют требуемый вид. Это завершает доказательство Утверждения 2.1. Формулу (2.10) легко проверить прямой подстановкой в уравнения. Любая конечная сумма (2.2) после восстановления -компоненты представляет собой петлю вокруг неподвижной точки (1,0), проходящую через другую неподвижную точку (0,0). В этом смысле формальный ряд (2.2) представляет формальную сепаратрису. Ряд дает формальное решение уравнения (2.1), которое удовлетворяет граничным условиям (1.4) и (1.5). В частности, становится очевидно, что классическая теория возмущений, основанная на разложении в ряд по малому параметру, не позволяет выявить расщепление сепаратрис. Будем рассматривать і Є С. Функции хп , определенные в предыдущем параграфе, имеют сингулярности, в то же время х — целая функция по переменной t.
Это говорит о том, что ряд (2.2) не может аппроксимировать x (t) в окрестности упомянутых сингулярностей. Важно знать, где (2.2) аппроксимирует нашу функцию. Поскольку х (t) вещественна на вещественной оси, как и коэффициенты хп, достаточно рассмотреть их только при Im t 0. Кроме того, как функция, так и формальный ряд 27гг-периодические. Используя эти симметрии, можно ограничить рассмотрение следующей областью. Фиксируем 8о Є (0, тг/2) и пусть Утверждение 3.1. Для любого положительного целого N следующая оценка верна в области V : где const зависит только от N и 5Q . Более того, аналогичная оценка верна для производной по t в левой части. Степень \t — ітг\ станет равной 2N + 1. Устойчивая сепаратриса, представленная функцией x+(t) = x (—t) — y (—t) = х (—t + h), аппроксимируется тем же рядом, но в области —V , которая есть отражение V относительно мнимой оси. Доказательство утверждения помещено ниже, в 3.2. А сейчас опишем некоторые предварительные построения: обращение конечноразностного оператора второго порядка. Обращению таких операторов посвящены работа Лазуткина В.Ф. [28] и отдельный параграф, 9, в статье [15]. Здесь мы применим разработанную Лазуткиным и Гельфрейхом В.Г. технику для построения оператора, обратного к Действительно, подстановка в уравнение показывает, что хА является решением однородного уравнения /2 ро2 Также прямой подстановкой можно проверить, что Следовательно, /?оі — решение однородного уравнения. Нетрудно установить, что ірої допускает равномерное асимптотическое разложение в D(A), где bra — вещественные числа. Прежде чем сформулировать утверждение относительно L2 , определим вид линейного оператора ДІ , действующего в пространстве Л (-О), где Л ( ) — банахово пространство всех непрерывных комплекснозначных функций, определенных вОи аналитичных во внутренних точках D, а также имеющих ограниченную норму Опишем множество областей, в которых удобно решать уравнение Аа = д . Фиксируем положительное число ( Є]0,7г/2[. Возьмем А max{l, 4 tan 8Q} . Будем называть область D С С областью типа (А, +), если (1) D замкнуто; (2) D не пересекается с открытым диском х Є С : \х\ А; (3) если х Є D , то положительный луч {z Є С : z = z + t, t 0} С D ; (4) D не пересекается с отрицательным 5о-сектором arg ж — 7г 0.
«Чисто-квадратичное» отображение
Справедливо в секторе 5о argr 27г — 8о, So є]0,7г/2[ равномерно, и а — вещественные числа: одесь и далее знак = означает, что ряд в правой части асимптотический, т.е. если оставить конечное число членов ряда, то ошибка будет порядка первого пропущенного члена. Образ Г_ — инвариантная кривая, "неустойчивое" многообразие к "-бесконечности" . В следующем параграфе мы будем использовать его для аппроксимации сепаратрис отображения Эно. Кривая Г+ = RQ(T-) играет роль устойчивого многообразия. Доказательство Теоремы 4-і- Эта теорема впервые была доказана Шаромовым Д.К. Отображение R: С2 — С2 может быть записано как Г_(т) = (и_(т),г _(т)), г Є С, где вторая компонента выражается в терминах первой: Таким образом, достаточно найти U-{T) , решив уравнение Возьмем число А 1, обозначим D(A) область в С, определенную неравенством (4.1.2) 8о Будем рассматривать аналитические функции, определенные в D(A). Очевидно, область D(A) типа (А, —) (определение см. в 3.1). Введем новую неизвестную функцию w: D(A) — С, сопоставив Подстановка (4.1.3) в (4.1.1) порождает уравнение Последнее можно переписать следующим образом: Будем решать уравнение (4.1.4) относительно неизвестной функции w в пространстве Xfj,(D(A)) с подходящим [І. Оператор L2 изучался в 3.1. Следующее утверждение содержит необходимые оценки для оператора Т, определенного по формулам (4.1.7) и (4.1.8). Утверждение 4.2. Пусть w , wi, w2 принадлежатХ (Г)(А)), ц 0. Тогда возьмем вещественное 7, такое что 7 min(2/x, ц + 4). Справедливы следующие оценки:
Доказательство. Доказательство немедленно вытекает из определения норм и следующих очевидных неравенств Пусть ц = 4, 7 = 6 . Рассмотрим наше основное уравнение (4.1.4) в пространстве X(D(A)), с достаточно большим А. Утверждение 4.3. В пространстве X(D(A)) уравнение (4.1.4) эквивалентно Доказательство. Пусть w Є X {D(A)) удовлетворяет (4.1.13). Тогда, благодаря Утверждению 3.3 она является решением (4.1.4). Наооборот, пусть го Є XQ(D(A)) является решением (4.1.4). Заметим, что гоо и J-{w) принадлежат X±(D(A)). Так что, функция принадлежит X±(D(A)) и удовлетворяет уравнению Поэтому разность гої — го является решением однородного уравнения и будет иметь вид 101 - W = СПІЛОЇ + «2 02 , где Qi и a. i — периодические функции: Поскольку гої — w Є X±(D(A)) и /?oi, 02 удовлетворяют оценкам (3.1.4), то ct\, а2 Є Xi(D(A)). В этом случае периодичность порождает, что ai = а2 = 0. Имеем w\ = го, и (4.1.15) превращается в (4.1.13). Таким образом, можно изучать (4.1.13) вместо (4.1.1). Рассмотрим его в замкнутом шаре B(R) радиуса R, удовлетворяющего неравенству с центром в начале координат. Супремум ограничен, так как нормы в правой части — невозрастающие функции по А. Утверждение 4.4. Если А достаточно велико (больше, чем константа, зависящая только от SQ и R), то отображение Q, определенное по (4.1.14), отображает B(R) в себя и является сжатием. Доказательство. Оценки (4.1.9) и Утверждение 3.3 показывают, что при условии, что А достаточно велико. Также, благодаря (4.1.10) ЭТИ две оценки доказывают утверждение. Следствие 4.5. Пусть R удовлетворяет (4.1.16), тогда существует единственное решение u-(r) — -% + W(T) уравнения (4.1.1) с w, принадлежащим шару B(R).
Вернемся к функции u- , связанной с w неравенством (4.1.3). Заметим, что tt_ можно продолжить на всю комплексную плоскость как целую функцию с помощью уравнения (4.1.1). Уравнение можно решить методом итераций, стартуя с нулевой функции. Используя простые формулы легко увидеть, что итерации сохраняют свойство вещественной аналитичности. Следовательно, функция го, а за ней и гі_ , вещественно аналитические. Остается получить асимптотическое разложение для гх_ (г). Утверждение 4.6. Существует последовательность {(} , такая что функция и,-имеет асимптотическое разложение (4.3) равномерно в каждом секторе So argr 27Г — 5о , 50 Є]0,7г/2[. Доказательство. Фиксируем целое положительное N и введем функцию г)(т) по формуле
Сравнение устойчивого и неустойчивого многообразий
В этом параграфе мы сравним устойчивое и неустойчивое многообразия вблизи t = т. Подразумевается, что параметризация устойчивого многообразия выбрана следующим образом: Воспользуемся заменой переменных (5.1). Введем новую функцию и+ по формуле Равенство (6.1) и тот факт, что все функции являются аналитическими продолжениями вещественно аналитических функций, дают следующую цепочку равенств Оказывается, что в этом секторе функции и+(т) и и (т) имеют одинаковые асимптотические разложения (5.1.1), (5.1.2). Поэтому каждая гип(т) стремится к нулю быстрее любой отрицательной степени т, когда г стремится к бесконечности в DA В действительности, гип(т) убывает в этом секторе экспоненциально. При п = 0 об этом говорит Теорема 4.7, а при п 1 мы получим это как цепочку утверждений, сформулированных далее в этом параграфе. Для того чтобы сформулировать конкретное утверждение об асимптотическом поведении wn(r), нам потребуются некоторые предварительные заключения. Рассмотрим первую производную от U (г, є) по г : Доказательство. Поскольку Ф " — нетривиальное решение однородного уравнения, мы можем искать Ф как решение нормировочного условия (6.1.1). Тогда уравнение (6.12) будет удовлетворяться автоматически.
В классе формальных рядов (6.1.1) эквивалентно системе
Решение уравнения (6.1.4) было получено в Лемме 4.8. Однако следующие рассуждения работают также и в случае уравнения (6.1.5). Будем использовать тг-ое уравнение для определения (f2n . Воспользуемся индукцией по n. Индукционный шаг состоит из трех частей:
(1) существует формальный ряд типа (6.16), удовлетворяющий (6.1.5); (2) существует аналитическая функция, удовлетворяющая (6.1.5), которая имеет асимптотическое разложение в виде этого ряда; (3) решение единственно. Шаг (3) прост. Действительно, уравнения (6.1.5) — линейные уравнения первого порядка. Общее решение соответствующего однородного уравнения есть произведение (рї0 на периодическую функцию. Поскольку асимптотическое разложение р 0, (4.2.10), содержит нечетные степени г (оно начинается с — 12т 3 и содержит только отрицательные нечетные степени), тогда если существует решение в виде (6.16), то оно единственно. Так как ряды для функций РЇк(т) содержат только нечетные степени г, а ряды для Ц 2к(т) — только четные, то легко проверить, что /п(—1—т) = fn(T ) в классе формальных рядов. Тогда из нижеследующей леммы вытекает, что уравнение (6.1.7) имеет формальное решение, представленное рядом, содержащим только нечетные степени т. Лемма 6.2. Пусть /(т) = YlkL-2m ЪкТ к является формальным рядом по степеням т, таким что / (т) = /(—т — 1). Тогда существует единственное представление /(г) Доказательство леммы. Множество PJ(T) = Ar i = (г +1) — т і , j —2m — 1, j ф О , образует базис в пространстве формальных рядов вида L_2m ЬкТ к с Ь\ = 0. Ряд /(г) — /(—г — 1) содержит член Разложение начинается с 2Ъ\/т. Остальные члены / не вносят вклада в этот порядок. Так как /(г) — /(—т — 1) = 0, получаем Ь\ — 0. Итак, /(г) может быть представлена как линейная комбинация PJ(T) . Эта комбинация содержит только нечетные j, потому что PJ(—T — 1) = (—тУ — (—т — I)-7 = -(-1)Ч(т). Из разложений (6.16) и (6.11), (5.1.2), (5.12) следует, что /т(т) удовлетворяет гипотезе Леммы 6.2 cm = n + 3. Значит лемма порождает существование формального решения уравнения (6.1.7): т2к-1 По построению формального ряда в правой части последнего уравнения он начинается с члена порядка T-2m-1. В связи с индукционным предположением формальный ряд является асимптотическим. Таким образом, правая часть является аналитической функцией в D(A) (см. (4.1.2)) и имеет порядок 0(r_2m_1). Применим оператор Al1, определенный по (3.1.2), чтобы получить решение уравнения (6.1.9) в X2m(D(A)). Затем можно восстановить п(т) по (6.1.6). Так как решение единственно, то функция Ап , полученная по этому алгоритму, не зависит от выбора т. Значит, построенный формальный ряд будет асимптотическим. Функцию 2п можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость, используя уравнение (6.12). Для того чтобы доказать, что построенные функции вещественны на вещественной оси, необходимо повторить предыдущие рассуждения, беря г на вещественной полуоси г —А, с некоторой постоянной А 0.
Полученная функция вещественна и совпадает с сужением построенной до этого функции на вещественную ось благодаря единственности. Лемма 6.4. Пусть 5 0, и а(т) будет решением уравнения Аа(т) = g, g Є YS(DA) , которое стремится к нулю при Im т — — со . Тогда существует комплексное число 9, такое что где ji 0 — произвольно малое число. Константа в оценке по О зависит от (л. Если 5 1/2 , то для каждого а предыдущее представление единственно. Доказательство леммы. Сначала построим подходящее решение неоднородного уравнения. Затем, решение а отличается от полученного на периодическую функцию. Первый коэффициент Фурье разности будет играть роль в. Существует линейное отображение Д-1: YS(DA) — YS+ DA) , такое что: (1) для любого g Є YS(DA) , Д_1(д) — решение уравнения Аа = g при всех значениях независимой переменной г, при которых это имеет смысл; (2) Д-11 const, где const зависит только от 8Q , 5И/І.
Асимптотическая формула для гомоклинического инварианта
Это отображение удовлетворяет всем свойствам Ф из теоремы "Об аналитическом интеграле" кроме (2), так как оно может быть не симплектическим. Действительно, определитель Якобиана этого отображения дх dAhx _ дх OAhX _ dt дЕ дЕ dt дх дх dt dE является fa-периодическим по t, поскольку ф= QZ; и ф = j — два решения однородного уравнения, что может быть получено простым дифференцированием (7.2.2) по t ипоЕ. Чтобы оценить значение J, заметим, что дх dZ дх ± дєЬ-Чг2) -дї = Фі + дї и дЁ = ф2+ дЕ Применение оценок из Леммы 7.8 и равенства W[ / i;02] = 1 дает нам J = 1 + О (h1 ») . Применение обычной теоремы о функциях порождает существование обратного отображения и оценки на производные. Чтобы оценить производные обратного отображения, воспользуемся простым и, скорее, общим фактом . Пусть / — диффеоморфизм подмножества Rn на свой образ и д — его обратный, тогда Dg = (.0/)-1 , где Dg = {digk} и Df - {difk}, а для вторых производных имеем д\гді — -dgrfpdpgidkgqdigr}, где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Для получения симплектического отображения используем подстановку S: (і, Е) \- (t, Ё), где Подобная замена была использована в [27] при изучении полустандартного отображения. Очевидно, Якобиан отображения S равен J. Более того, S коммутирует с переносом (і, Е) ь- ( + h, Е). Получаем, что отображение симплектическое. Все нужные свойства этого отображения присутствуют благодаря следующим оценкам на отображение S. Лемма 7.9. Возьмем R R0 + 2, 0, тогда при t Є D(R), Е Є С, \Е\ h18+2li выполняются следующие оценки: Доказательство. Это следует непосредственно из определения Е и равенства J = 1 + 0 (/і1_м) с использованием оценок типа Коши. Теорема 7.1 (об аналитическом интеграле) доказана. Утверждение 8.1. Для любого а 12 функция О аналитична в Т (а) и обладает следующими свойствами: Основная теорема (Теорема 1.1) непосредственно вытекает из пунктов 2 и 5. Доказательство утверждения. Оценки в конце предыдущего параграфа показывают, что в Т {а) Отсюда непосредственно следует, что функция О (і) аналитическая в V{a). Из утверждения (3) Теоремы 7.1 вытекает, что Q(t) периодическая с периодом /і, а из (б) — 0() вещественно аналитическая. Поскольку t = h/2 — гомоклиническая точка, имеем Q(h/2) — 0. Дифференцируя (8.2), получаем дЕ дх в точках неустойчивой сепаратрисы (x (t),y (t)) . Так как (x+(—h/2),y+(—h/2)) — (x-(h/2),y-(h/2)),TO Последнее выражение совпадает с определением гомоклинического инварианта (1.6). Это завершает доказательство утверждения (2). Давайте вычислим функцию 0() = E(x+(t — h),y+(t — h)) по формуле Тейлора в точке (:r-(t),2/-()) : где и Щ взяты в точке (х ,у ). Мы опустили аргумент t в функциях х , у , ж+ , у+. Из пункта (4) следует, что Е(х ,у ) = 0, а из (5) — Ог = О (h 23(x+ — х )2) .
Принимая во внимание эти выражения для производной от Е, уравнение (8.4) можно переписать в виде где W — Вронскиан Как и во всех других местах, второе уравнение системы (1.3), записанное в виде y(t) = x(t) — x(t — h) = AhX , использовано для того чтобы исключить из рассмотрения у-компоненту. Оценим правую часть (8.5) на отрезке 27Г Удобно использовать переменную г = (t — m)/h вместо t. В терминах этой переменной отрезок имеет вид Для квадратичного члена на верхней границе из (8.3) получаем Теперь оцениваем Вронскиан. Из (5.2.1) имеем где использовано обозначение (6.11) для pi rn,. Учитывая последнее равенство, получаем где использовано определение (6.8) на wn для получения последнего равенства. Использование (8.9) с N — тп вместо N дает Подставим это в (8.8) — получим Вводя новый индекс п = m + к и меняя порядок суммирования, последнее равенство можно переписать как Принимая во внимание соотношение (6.3.1), можно написать Подстановка последней формулы в (8.6) приводит к следующему результату: Выбирая 0 S 9/(N + 10), a = N + 10, видим, что все поправочные члены становятся одного порядка: Здесь использовано, что (\ogh 1)2N — o(h). На этом заканчивается доказательство утверждения 4. Предположим, что вп чисто мнимые, и определим вещественные числа гип по формуле Это предположение будет оправдано в конце доказательства. Вернемся к переменной t, тогда Так как в (і) вещественно аналитическая, то на комплексно сопряженном отрезке (Imt= -7r + /K7/(27r)log/i-1) : Комбинирование двух последних формул дает в результате, что функция достигает своего максимума на границе полосы. Применяем это к поправочному члену в последней формуле — видим, что та же оценка справедлива внутри полосы Im t\ тт — }га/(2тг) log h l. Сейчас получим верхнюю оценку для во = h x JQ Q(t)dt. Стандартные аргументы, основанные на симметриях отображения Эно и на его свойстве сохранения площади, показывают, что алгебраическая величина площади области, ограниченной отрезками W( и Wi с концами в нашей гомоклинической точке ZQ И её образе HM(ZQ) , равна нулю. Вычислим эту площадь в координатах Теоремы 7.1: где использовано, что неустойчивое многообразие представляется как Е = 0, а устойчивое — в параметрическом виде как образ Ф-1 (х+ (і), у+ (t)) . Вторая компонента этой функции — O(i), а первую обозначим через і + Ф(і). Очевидно Ф() — аналитическая, /і-периодическая функция в Т (а). Более того, Пусть 0() = 0() — Оо . Можно применить Лемму 1.4 с b = тт — ha/(2ir log /г-1), чтобы получить следующие оценки: Интеграл переписывается как где использовано, что главное значение О и Ф равны нулю. Поскольку интеграл в левой части равен нулю, имеем Это приводит к оценке что означает, что постоянная о — экспоненциально малая величина второго порядка (показатель экспоненты в два раза превосходит показатель в формуле (1.7)).
