Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели контактных задач динамики машин 18
1.1. Обзор контактных задач 18
1.2. Геометрическая редукция в окрестности механического контакта . 32
1.3. Контактная задача Герца 42
1.4. Объемометрическая модификация модели Герца 47
1.5. Модель касательных сил Контенеу-Эрисмана 51
Глава 2. Принципы компьютерного моделирования процессов контактирования в узлах машин и агрегатов 68
2.1. Объектно-ориентированный подход к моделированию динамики машин 68
2.2. Особенности реализации моделей различных видов механических связей твердых тел иа языке Modelica 83
2.3. Реализация моделей механического контакта твердых упругих тел на языке Modelica 102
Глава 3. Верификация динамических моделей контактного взаимодействия 119
3.1. Верификация общей контактной модели с трением 119
3.2. Моделирование динамики движения четырехколесного экипажа . 124
3.3. Модель подшипника качения 130
Заключение 139
Библиографический список 141
- Геометрическая редукция в окрестности механического контакта
- Объемометрическая модификация модели Герца
- Особенности реализации моделей различных видов механических связей твердых тел иа языке Modelica
- Моделирование динамики движения четырехколесного экипажа
Введение к работе
Диссертация посвящена математическому и компьютерному моделированию процессов механического контакта в узлах трения машин и агрегатов сферы бытового обслуживания и коммунального хозяіїства. Данная тематика имеет непосредственное отношение к вопросам виртуального прототипирова-ния таких машин на этапах их проектирования и сервисного обслуживания в процессе эксплуатации.
Актуальность работы. Хорошо известно, сколь разнообразна номенклатура машин и аппаратов, используемых в сфере бытового обслуживания и в коммунальном хозяйстве. Особый интерес представляют образцы техники, содержащие подвижные компоненты — узлы трения. Наличие таких узлов критическим образом влияет на время жизни этих машин и, естественным образом, па стоимость их разработки и эксплуатации. Здесь можно, в первую очередь, упомянуть всевозможные насосы, технические средства обслуживания коммунальных сетей, машины прачечного производства и машины химической чистки, машины швейного и обувного профиля, транспортные средства систем сервиса и коммунального хозяйства. В отдельную категорию, с точки зрения анализа и виртуального прототипирования можно выделить роторные подсистемы и компрессоры, применяемые в виде стандартных агрегатов в машинах вышеперечисленных категорий. Наконец, на самом низком, «атомарном», структурном уровне находятся узлы машин, в которых непосредственно протекают процессы контактного взаимодействия с трением такие, как: подшипники различных видов, зубчатые механизмы, кулачковые механизмы, фрикционные передачи.
С общей точки зрения анализа этапов жизненного цикла изделия особый интерес представляют потенциальные затраты, которые необходимо произвести разработчику изделия, содержащего узлы трения, и организации, ответственной за поддержание работоспособности этих узлов в процессе их эксплуатации. Если вопросам оценки времени жизни изделия на этане его проектирования уделяется недостачно внимания, то это приводит, как правило, к удорожанию процесса его эксплуатации, к увеличению расходов на всевозможное сервисное обслуживание (диагностика, плановые и внеплановые ремонты и пр.). С другой стороны, если в процессе проектирования для оценивания эксплуатационных свойств будущего изделия всякий раз изготавливать опытные образцы его узлов и агрегатов, то это гарантированно приводит к затягиванию сроков разработки, к увеличению материальных и других расходов на проектирование. Со всей очевидностью, поэтому, возникает задача построения вместо материальных экземпляров машин, их узлов и агрегатов соответствующих виртуальных аналогов, называемых виртуальными прототипами образцов техники. Назначение виртуального прототипа — обеспечить с определенной точностью прогноз тех пли иных свойств будущего, еще не изготовленного изделия.
Вместе с тем, постоянно растущие потребности населения и всемирная конкуренция заставляют разработчиков и производителей машин бытового и коммунального назначения непрерывно обновлять модельный ряд выпускаемой техники. Очевидно, что новые модели машин будут востребованы потребителем только при условии их высокого качества и приемлемой стоимости. Причем, современные тенденции мировой и отечественной экономики требуют решения задач улучшения функциональности, повышения качества и снижения стоимости в рамках ограниченных временных и материальных ресурсов.
Одним из ключевых показателей качества изделия является его надежность. Напомним, что иод надежностью понимают свойство изделия сохранять работоспособное состояние в течение определенного времени. Как известно, основной причиной нарушения работоспособности узлов машин и агрегатов являются процессы механического контакта. Физические явления, сопровождающие эти процессы, существенно влияют на потребительские свойства машин и могут приводить к отказам в работе. Поэтому решение задач повышения надежности машин, как на стадии проектирования, так и во время эксплуатации невозможно без эффективного решения динамических задач контактного взаимодействия их деталей и узлов.
Существующие подходы к рассмотрению контактных задач в механике машин, как правило, представляют собой эмпирические решения, требующие проведения трудоемких экспериментов и/или опираются на модели теоретической механики или теории упругости. Наибольший интерес с точки зрения оценки потребительских свойств проектируемого изделия представляет динамический анализ исследуемого объекта. Учет динамических эффектов пред-сгавляет собой трудную задачу и одновременно имеет большое инженерное значение, поскольку механическое взаимодействие тел в огромном числе приложений протекает в условиях их относительного движения в различных скоростных режимах. Кроме того, сжатые сроки разработки новых или исследования существующих машин и их высокий уровень технической сложности могут серьезно затруднить проведение физических испытаний.
Такие физические эксперименты могут быть затруднены или невозможны в силу целого ряда причин. Упомянутые образцы могут быть очень дороги или недоступны для испытаний. В таких случаях эти испытания проводятся на аналогах таких машин, например на макетах, или каких-нибудь других физических моделях этих устройств. В настоящее время наилучшим решением было бы создание электронной или цифровой модели (компьютерного симу-лятора) испытуемого устройства. Такая модель-аналог называется виртуальным прототипом. Основная же причина для создания виртуальных образцов технических систем (виртуальных прототипов) состоит не столько в перечисленных выше причинах, сколько в самой сути современного процесса разработки, и эксплуатации инженерной продукции. В самом деле, использование виртуального прототипа позволяет начать процесс испытаний и оптимизации конструкции еще не существующего продукта, на самых ранних стадиях его разработки. Более того, как показывает опыт, наличие виртуальных прототипов позволяет и на последующих стадиях проектирования проводить на этих прототипах подавляющую часть всех необходимых тестов. Такой подход позволил ведущим мировым производителям резко ускорить процесс смены модельных рядов продукции и одновременно радикально удешевить разработку и эксплатацию новых образцов техники.
Для построения любого виртуального прототипа необходима компьютерная реализация одной, а чаще — целого набора — математических моделей, применяемых для описания поведения машины пли аппарата, чей виртуальный прототип требуется создать. Для вычислительной реализации различных математических моделей широко применяются языки физически-ориентированного моделирования. Одним из наиболее популярных и активно развиваемых языков такого типа является язык объектно-ориентированного моделирования Modelica.
С другой стороны, значительную роль при описании поведения технических систем играет динамика систем твердых тел [18, 52,106,161,171]. В реальных примерах машин, их детали и агрегаты находятся во взаимодействии друг с другом, причем это взаимодействие чаще всего имеет механическую природу и сводится к контакту одного твердого (упругого) тела с другим. Оказалось, что для формального описания динамики таких процессов идеальным образом подходят языки моделирования и, в частности, упомянутый выше язык Modelica.
Известно, что в динамике систем твердых тел, при наличии множественного контакта, а такая ситуация повсеместно встречается в механике машин, невозможно, в силу статической неопределимости, ограничиться моделью точечного контакта абсолютно твердых тел. Для преодоления подобных трудностей используется различная техника. Например, все более широкое применение находит одна из новых ветвей математического анализа: исчисление многозначных отображений [143]. Другой, более традиционный, подход состоит в редукции точек «твердого» контакта к той или иной модели с податливостью, описываемой при помощи упругих свойств материалов взаимодействующих тел. В общем случае контактирования твердых деформируемых (упругих) тел необходимо решать соответствующую (контактную) задачу теории упругости [20, 24, 51, 54, 57, 73]. Для численной реализации решения такой задачи стандартной технологией её решения является метод конечных элементов (МКЭ) [ЗО, 60, 69, 178J.
Применение МКЭ [69] сопряжено с расходом значительных вычислительных ресурсов. В особенности велики трудности при компьютерной реализации динамических моделей контакта упругих тел [177]. Поэтому в случае использования МКЭ не приходится говорить о реализации вычислительной модели, способной работать в так называемом режиме реального масштаба времени, когда компьютерная модель по скорости своей работы опережает реальный моделируемый процесс. Современные же задачи исследования динамики систем тел все чаще и чаще требуют возможности реализации моделей, способных работать не медленнее, чем это может делать реальный физический прототип. Поэтому актуальной является задача построения быстрых алгоритмов, способных моделировать сложные динамические процессы упругого контактирования с приемлемой точностью и не требующих одновременно значительных вычислительных ресурсов.
Одним из таких решений является модель Герца [117]. Её различные модификации повсеместно применяются в механике машин [100, 101, 112, 114, 156, 162, 164, 175, 176]. Эта модель нашла достаточно точное подтверждение в физическом и вычислительном эксперименте [57, 61, 89, 91, 101, 103, 128, 156, 165].
Алгоритм Герца основан на нескольких допущениях, ограничивающих его применение в случаях взаимодействия, усложненных запутанной структурой поверхностей контакта (не выпуклые, не регулярные и т. п.), и/или в случаях, когда размеры площадки контакта сопоставимы с размерами тел. Заметим, что решение задачи Герца требует решения трансцендентных уравнений, зависящих от полных эллиптических интегралов (первого и второго рода), что значительно усложняет технологию разработки численных алгоритмов определения сил контактного взаимодействия и существенно увеличивает время, необходимое для вычисления этих сил. Поэтому, как правило, в динамических приложениях алгоритм Герца применяется в упрощенной и/или ограниченной [19, 127] постановке. Эти упрощения, с другой стороны, снижа- ют возможности таких моделей для решения более-менее приемлемого спектра прикладных задач.
Таким образом, в силу вышесказанного, несомненно актуальной следует признать задачу разработки новых эффективных алгоритмов моделирования динамики контактного взаимодействия твердых упругих тел, составляющих системы сложных машин и агрегатов.
Цель и задачи работы. Целью работы является вычислительная реализация математических моделей контактного взаимодействия твердых упругих тел и построение на их основе высокоточных динамических компьютерных моделей узлов трения машин и агрегатов, допускающих множественные контакты.
Для достижения указанной цели в работе были решены следующие задачи:
Выполнен обзор и анализ моделей контактного взаимодействия.
Выполнена вычислительная реализация моделей контактного взаимодействия Герца и В. Г. Вильке, позволяющая решать нормальную контактную задачу в условиях динамического изменения геометрических свойств поверхностей контактирующих тел.
Выполнена вычислительная реализация в рамках моделей В. Г. Вильке и Герца приближенного решения Контенсу для касательных сил в области, в общем случае эллиптического, пятна контакта.
Разработан на языке Modelica унифицированный подход к конструированию компьютерных моделей процессов механического контакта, позволяющий быстро (с использованием объектно-ориентированного подхода) создавать и модернизировать различные комбинации алгоритмов, применяемых для моделирования упругого контакта при исследовании динамики машин
Проведена верификация вычислительных подходов к построению ком- пыотерных моделей контактного взаимодействия на примере динамических моделей нескольких механических систем, включающих узлы трения.
Научная новизна. Впервые выполнена вычислительная реализация объемометрической модели контактного взаимодействия В. Г. Вильке в рамках задачи Герца, позволяющая получить решение нормальной контактной задачи в общем случае взаимодействия твердых упругих тел, имеющих внешние поверхности достаточно регулярной структуры. Предложенное решение обеспечивает стабильную работу компьютерной модели и высокую точность рас-четов,одновременно почти в полтора раза, в сравнении с классической задачей Герца, ускоряя вычислительный алгоритм определения силы контактного взаимодействия.
Впервые реализована неограниченная контактная задача, когда нормальная упругая сила, вычисляемая динамически либо при помощи оригинального алгоритма Герца, либо при помощи его объемометрической модификации, используется одновременно для нахождения силового винта (мотора) сил трения в соответствии с приближенной моделью Контенсу для касательных сил, распределенных по эллиптической контактной площадке.
Разработан унифицированный подход на языке Modelica к конструированию компьютерных моделей механического контакта в динамике машин и агрегатов. Построены частные примеры таких моделей. Выполнена их верификация.
Практическая ценность. Показаны общие подходы и технологические приемы математического и компьютерного моделирования процессов механического контакта в системах тел, составляющих машины и агрегаты.
Разработаны методики построения компьютерных моделей различных машин и агрегатов при наличии множественных контактов упругих тел на языке Modelica.
Построенные компьютерные модели механического контакта позволяют изучать различные динамические эффекты, влияющие на потребительские свойства машин, и могут быть использованы при оценке их времени жизни.
Результаты исследовании внедрены в учебный процесс Российского государственного университета туризма и сервиса и используются на кафедре «Инженерная механика» при подготовке специалистов по специальности «Сервис» и инженеров по специальности «Бытовые машины и приборы».
На защиту выносятся: обзор и анализ моделей контактного взаимодействия; вычислительная реализация модели контактного взаимодействия В. Г. Вильке в рамках задачи Герца; вычислительная реализация неограниченной контактной задачи; унифицированный подход па языке Modelica к конструированию компьютерных моделей механического контакта в динамике машин и агрегатов; подходы к проведению верификационных испытаний виртуальных прототипов узлов машин и агрегатов, содержащих множественные контакты; анализ результатов вычислительной верификации построенных моделей.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:
ХІ-оії А'Іеждународной научно-практической конференции «Наука - сервису» (г. Москва, ГОУВПО «МГУС», 2006 г.);
Всероссийской научной конференции аспирантов и молодых ученых «Современные проблемы сервиса и туризма» (г. Москва, ГОУВПО «МГУС», 2007 г.);
Шестом международном симпозиуме но классической и небесной механике (г. Великие Луки, 2007 г.);
Семинаре им. акад. В. В. Румянцева «Аналитическая механика и теория устойчивости» под руководством чл.-корр. РАН В. В. Белецкого, проф. А. В. Карапетяна и проф. Я. В. Татаринова (г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2007 г., 2009 г.);
ХП-ой международной научно-практической конференции «Наука - сервису» (г. Москва, ФГОУВПО «РГУТиС», 2007 г.);
Коллоквиуме 495 «Достижения в моделировании динамики систем тел» Европейского общества механиков (г. Брянск, 2008 г.);
6-ой международной конференции по языку моделирования Modelica (Би-лефельдский университет прикладных наук, г. Билефельд, Германия,
2008 г.);
Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы техники и технологии» (г. Шахты, ГОУВПО «ЮРГУЭС», 2008 г.);
8-ом Всемирном конгрессе по вычислительной механике и 5-ом Европейском конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках и технике (г. Венеция, Италия, 2008 г.);
6-ой Европейской конференции по нелинейной динамике Европейского общества механиков (г. Санкт-Петербург, 2008 г.);
4-ой Азиатской конференции по динамике систем твердых тел 2008 (о. Че-джу, Республика Корея, 2008 г.);
ХШ-ой международной научно-практической конференции «Наука - сервису» (г. Москва, ФГОУВПО «РГУТиС», 2008 г.); XLV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (г. Москва, РУДН, 2009 г.);
Объединенном Российско-Австрийском семинаре «Бифуркации в негладких системах» (Венский технический университет, г. Вена, Австрия,
2009 г.);
7-ой Европейской конференции по механике твердого тела Европейского общества механиков (г. Лиссабон, Португалия, 2009 г.);
7-ой международной конференции по языку моделирования Modelica (г. Комо, Италия, 2009 г.);
Семинаре «Математические методы технической механики» под руководством проф. С. Я. Степанова и доц. А. А. Бурова (г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2010 г.).
Публикации. По результатам исследований опубликовано тринадцать статей, из них пять - в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. Её объем составляет 161 страницу, в том числе: 50 рисунков, 1 таблица, библиографический список (179 наименований).
Во введении обоснована актуальность темы исследования; сформулированы цель и задачи работы; показана научная новизна и практическая ценность решаемых задач. Представлен краткий обзор содержания диссертации.
В первой главе представлен достаточно подробный обзор различных моделей контактного взаимодействия твердых упругих тел. Рассматривается методика аналитической и вычислительной реализации модели упругого контактирования твердых тел в рамках задачи Герца. Подробно анализируется алгоритм преобразования геометрических характеристик поверхностей (градиенты и гессианы внешних поверхностей) тел в локальную систему координат контакта. Вычисления проводятся в рамках формулировок так называемой задачи «Герц-точка», когда поверхности тел приходят в соприкосновение в точности по одной точке. Представлен один из вариантов вычисления нормальной упругой силы и полуосей контактной площадки, обеспечивающий последовательную редукцию задачи к одному скалярному трансцендентному уравнению, зависящему от полных эллиптических интегралов первого и второго рода.
Для уменьшения вычислительной сложности алгоритма решения нормальной контактной задачи предлагается использовать модель В. Г. Вильке, представляющую собой объемометричсскую модификацию задачи Герца. Рассматривается методика вычислительной реализации этой модели для случая «Герц-точка».
В рамках контактной задачи Герца строится приближенная модель вычисления результирующего винта (мотора) касательных в контакте сил сухого трения. Винт состоит из суммарной силы трения и момента (пары сил) трения верчения. Рассматриваемый подход естественным образом развивает построенную в данной главе модель упругого контакта Герца. Силы сухого трения и момент этих сил интегрируются по эллиптическому пятну контакта. В общем случае аналитическое вычисление упомянутых интегралов приводит к громоздким выражениям, составленным из десятков слагаемых, являющихся рациональными функциями, зависящими, в свою очередь, от полных эллиптических интегралов с модулем — эксцентриситетом контактного пятна. Для реализации достаточно быстрой компьютерной модели касательных сил проводится приближенное построение, предложенное еще Контенсу.
Построенная модель вычисления касательных сил является естественным развитием упрощенной модели Контенсу в следующих направлениях: а) модель является анизотропной — суммарные силы трения вдоль главных осей контактного эллипса в общем случае различны; б) для поступательных и почти поступательных относительных движений в области контакта используется регуляризованный кулоновский закон трения; в) построена также приближенная модель момента трения верчения.
Предложенные в данной главе решения позволяют реализовать неограниченную контактную задачу, когда нормальная упругая сила, вычисляемая динамически либо при помощи оригинального алгоритма Герца, либо при помощи его модификации В. Г. Вильке используется одновременно для нахождения мотора сил трения в соответствии с приближенной моделью Контенсу для касательных сил, распределенных по эллиптической контактной площадке.
Во второй главе в рамках объектно-ориентированной парадигмы рассматривается подход для строгого описания компьютерной модели динамики узлов машин и агрегатов, представляемых в виде системы твердых тел. Допускается построение моделей механических систем со связями различных типов: голономными/ неголономны ми, неос вобождающими /освобождающими, склерономными/реономными. Модель связи позволяет при описании динамического поведения взаимно изолировать блоки, состоящие из дифференциальных и алгебраических уравнений соответственно. Для проектирования моделей применяется ранее разработанная методика, основанная на парадигме объектно-ориентированного подхода с применением языка моделирования Modelica.
Рассмотрены примеры реализации на языке Modelica различных видов классов шарнирных связей, широко встречающихся в механике машин. В качестве примера верификации описываемого подхода построена динамическая компьютерная модель четырехколесного змееподобного экипажа, достаточно распространенного, например, в рекреационных приложениях и применяемого также в коммунальном хозяйстве в системах инспекции трубопроводных коммуникаций. Представлены примеры вычислительной реализации на языке Modelica моделей узлов контакта как с удерживающей, так и с неудерживаю-щей связью.
Предложен унифицированный подход к реализации на языке Modelica податливой связи, описываемой при помощи закона Герца для вычисления нормальной силы взаимодействия контактирующих тел. С кинематической точки зрения все участвующие в движении тела остаются твердыми, но способными «проникать» друг в друга, вызывая при этом (как в соответствующей нелинейной пружине) силу упругого взаимодействия. Используя такую постановку контактной задачи, мы можем эффективно избежать проблем статической неопределимости в системах твердых тел с односторонними связями, когда число этих связей оказывается достаточно большим. Свойства отдельного контактного взаимодействия упругих тел в нашем случае подразделяют- ся на следующие категории: а) геометрические характеристики поверхностей тел в окрестности контакта, б) модель вычисления размеров пятна контакта и нормальной упругой силы, в) модель вычисления нормальной силы вязкого сопротивления, г) модель касательных сил в плоскости контактной площадки.
Подмодель, реализующая геометрические свойства, предназначена для аналитического описания алгебраических поверхностей достаточно сложной структуры. Для реализации алгоритма расчета нормальной силы нужно выбрать, по меньшей мере, одну из двух возможностей: а) модель Герца, б) её объемометрическая модификация. Сила вязкого сопротивления также может моделироваться несколькими способами: а) линейная модель, б) нелинейная модель и др. В модели для касательных сил можно использовать либо «простейшие» подходы, основанные на законе трения Амонтона-Кулона, либо более сложные решения, такие, как модель Контенсу^Эрисмана и другие.
Для реализации данного решения используются средства параметризации классов языка Modelica. В нашем случае имеется четыре класса-параметра, соответствующие категориям подмоделей, перечисленным выше.
Предложенный подход позволяет достаточно быстро создавать и модифицировать различные типы моделей упругого контакта при разработке симу-ляторов динамики узлов машин и агрегатов, рассматриваемых в виде системы тел.
В третьей главе на основе решений, предложенных в предыдущих главах, построены динамические компьютерные модели различных механических систем, выполнена их верификация.
Для всесторонней верификации общей контактной модели с трением использовалась динамическая компьютерная модель известного волчка — «тип-топ». Как показала практика, этот достаточно сложный динамический пример является вполне пригодным при выполнения тестовых процедур для контактных задач механики машин. Динамические свойства волчка позволяют оценить различные нетривиальные эффекты, реализуемые при помощи результатов, полученных в первой главе. Оказалось, что поведение волчка, численно смоделированное при помощи ранее предложенных другими авторами подходов, практически совпадает с численной верификацией модели, построенной в данной работе. Основное отличие нашей модели заключается в учете высокочастотной составляющей нормальных колебаний в динамике упругого контактного взаимодействия.
В качестве еще одного примера верификации математической и компьютерной модели контактирования упругих тел рассматривался более сложный объект — четырехколесный экипаж с колесами, предполагающимися упругими телами, так же, как и поверхность, по которой эти колеса катятся. В качестве экипажа рассматривалась достаточно сложная механическая система — скейтборд, широко использующийся в настоящее время в рекреационных приложениях. Известна также конструкция шасси автомобиля, подобная конструкции колесной пары скейтборда. Поведение этого устройства до сих пор не получило достаточно ясной динамической интерпретации, и остается актуальной задача его математического и вычислительного моделирования. Хорошо известны примеры чрезвычайно запутанных и трудно интерпретируемых движений скейтборда, Для построения модели этого устройства использовались классы шарнирных связей, реализованные во второй главе. Верификация состояла в подтверждении полученных ранее теоретических результатов качественного описания некоторых режимов движения упомянутого экипажа.
Для детального сравнительного тестирования различных подходов к конструированию свойств механического контакта была построена компьютерная динамическая модель шарикоподшипника. Подшипники широко используются в узлах машин бытового назначения. Они несут основные нагрузки при работе оборудования. Поэтому от надежности работы этих узлов в значительной степени зависит надежность работы всей машины.
Известна вычислительная трудность математического моделирования динамики подшипниковых узлов. Соответствующая механическая система имеет достаточно большое число степеней свободы. Исключительно трудно, вычислить характеристики силового взаимодействия в отдельных узлах кон- такта: нормальные и касательные силы. В этом случае наиболее эффективным инструментом исследования истории динамического нагружения представляется виртуальное прототипирование. Имея информацию о таком нагружении, полученную из вычислительного эксперимента можно, затем, с высокой степенью точности оценивать параметры, определяющие надежность работы узла, и время его жизни.
В процессе верификации для моделирования контактов между шариками и кольцами подшипника применялись различные комбинации моделей нормальных и касательных сил взаимодействия. Существенно, что в рассматриваемом примере механической системы контактные площадки являются вытянутыми эллипсами. Сравнивались два подхода: а) стандартная модель нормальной силы Герца плюс упрощенная модель сил трения Контенсу; б) упрощенная объемометрическая модель нормальной силы В. Г. Вильке плюс упрощенная модель сил трения Контенсу. В результате оказалось, что динамические модели случаев а) и б) мало отличаются друг от друга (не более 0,5% от величин сравниваемых переменных). При этом модель б) демонстрирует большую (на 20%) производительность. Кроме того, оказалось, что упрощенные формулы подхода Контенсу обеспечивают скорость моделирования даже большую, чем в модели точечного контакта, что связано с регуляризирующим эффектом учета наличия контактной площадки в отличие от случая Кулона, обладающего свойством большой динамической жесткости. Эта жесткость всегда является причиной существенного замедления процессов численного моделирования задач с сухим (кулоноским) трением.
В заключении кратко сформулированы основные результаты работы.
Геометрическая редукция в окрестности механического контакта
Оставаясь в рамках формализма, применяемого для моделирования односторонней связи [47], рассмотрим его модификацию, соответствующую механике контактного взаимодействия двух упругих твердых тел (в нашей идентификации тел А и В), ограниченных достаточно регулярными внешними поверхностями (рис. 1.6). Здесь и далее мы будем следовать модели соответствующей алгоритму «Герц-точка». Вариант «Герц-точка» предполагает, что внешние поверхности контактирующих тел приходят в соприкосновение всегда по одной точке. Причем, это предположение считается выполненным уже для членов паинизшей степени в уравнениях этих поверхностей в локальной системе координат контакта (см. далее по тексту). где ТА и г в — радиусы-векторы точек поверхностей относительно координатных осей OAXAVAZA, ОВХВУВ В- В инерциальной системе координат OQXQI/QZQ, совпадающей в данном случае с системой базового тела и по отношению к которой будет в дальнейшем строиться динамика всех тел механической системы, эти же уравнения имеют вид где го — радиусы-векторы точек поверхностей относительно инерциальной системы координат.
Заметим,что в силу движения твердых тел имеют место зависимости где Г0Л, Гв — текущие радиусы-векторы положений центров масс тел А и В; Тд, ТВ — ортогональные матрицы текущих ориентации этих тел. Использование операции транспонирования т здесь эквивалентно взятию обратной матрицы вследствие её ортогональности. Легко видеть, что функции рл(го), дв (го) косвенно зависят от времени, через переменные гоА, го0, Тд, Тв Вычислительная модель контактного взаимодействия тел Л и В должна в каждый текущий момент времени находить положения точек Рд и Рв (рис. 1.6) — ближайших точек внешних поверхностей взаимодействующих тел. В силу сделанных предположений такие точки будут (локально) вычисляться единственным образом. Из простых геометрических соображений получим систему уравнений для отслеживания положения упомянутых точек где YpA, грв — радиусы-векторы точек РА И РВ относительно инерциальной системы координат. Величины Л, /і являются вспомогательными переменными. Первое (векторное) уравнение задает условие коллинеарности нормалей к поверхностям в искомых точках. Второе (векторное) уравнение задает условие коллинеарности одной из нормалей к радиусу-вектору, соединяющему искомые точки. Наконец, последние два (скалярных) уравнения задают внешние поверхности контактирующих тел в абсолютной (инерциальной) системе координат. Всего в системе (1.14) имеется восемь скалярных уравнений относительно восьми скалярных неизвестных величин: шести координат искомых точек (компонент векторов грл, грв) и двух множителей А, ц. Легко убедиться, что градиенты в (1.14) могут быть вычислены по формулам
Уравнения (1.14) являются универсальными и могут быть использованы как при наличии так и при отсутствии контакта.
В отличие от подходов, применявшихся для твердотельной односторонней контактной связи [47], будем следуя [5, 44, 80, 172] полагать, что тела А и В не создают геометрических препятствий для движения относительно друг друга. Таким образом, если трехмерные области, ограниченные внешними поверхностями тел, не пересекаются, то вычислительная модель контактирования генерирует нулевой силовой винт в направлении каждого из тел. Одновременно все время моделирования генерируются радиусы-векторы грд, грв оппозитных друг другу точек РА-, РВ Учитывая сказанное выше и соотношения (1.14) заметим, что переменная /І является индикатором наличия контакта тел А и В. Для определенности положим, что в текущем состоянии в окрестностях точек РА, РВ внешние поверхности таковы, что векторы grad (r) gradg#(r) (г Є R3) направлены в наружную сторону от каждого из тел. Если же это условие не выполняется, то вместо соответствующей функции fQ (а Є {А, В}) можно рассмотреть функцию —fa, для которой наши требования уже будут выполняться.
Поэтому случай \i 0 соответствует отсутствию контакта, а случай /І 0 — его наличию. Причем, при fi 0 тела, точнее их твердотельные оболочки, считаются проникающими друг в друга. На самом деле в этом случае тела начинают деформироваться в области контакта. Хотя в общем случае это не обязательно, для простоты и определенности поверхности тел считаются в окрестности контакта выпуклыми (рис. 1.7).
Объемометрическая модификация модели Герца
Рассмотрим объемометрический подход к вычислению сил контактного взаимодействия, предложенный В. Г. Вильке. Модель В. Г. Вильке основана на результатах решения классической задачи Герца и представляет собой метод определения нормальных контактных сил, базирующийся на «инвариантной» форме силовой функции в зависимости от геометрических параметров (перечислены ниже) области пересечения контактирующих тел. Учитывается, что силовая функция задается при помощи соотношения
В случаях, когда известны аналитические решения контактной задачи, предложенная методика приводит к результатам, согласующимся с теорией Герца. Оставаясь в рамках подхода аналитического представления геометриии контакта, изложенного в параграфе 1.2, рассмотрим технологию вычислительной реализации объемометрического алгоритма В. Г. Вильке [16].
В соответствии с аналитическими соотношениями, полученными выше, и, следуя главным образом работе [54], заключаем, что нормальная упругая сила Fv и полуоси эллипса да , ограничивающего область контакта связаны соотношениями Ki(ci) = К (с) есть полный эллиптический интеграл первого рода, с\ = (3/а 1, с = 1 — с\. Из первых двух уравнений системы (1.32) следует, что
Поэтому отношение (3/а = с\ 1 не зависит от нагрузки F и определяется геометрическими характеристиками поверхностей в точке контакта. Величина силы, исходя из уравнений (1.32) и с учетом промежуточного соотношения (1.33), задается выражением взаимодействия двух контактирующих тел, вычисляемая из ранее упомянутого условия 5U = —FjySh, может быть представлена в виде
Напомним, что в нашей постановке тела «проникают» друг в друга без деформаций и тело В (рис. 1.7) перемещается на расстояние h в отрицательном направлении оси PAZ. Очевидно, что в этом случае образуется область пересечения v контактирующих тел. Проекция этой области на плоскость РАЩ будет ограничена эллипсом
Проводя редукцию задачи Герца, В. Г. Вильке использовал следующие соотношения, полученные после вычисления кратных и криволинейного интегралов соответственно для объема V области z/, площади S области а и периметра р эллипса Е
Здесь в соответствии с принятыми ранее обозначениями является полным эллиптическим интегралом второго рода.
При таком подходе правую часть соотношения (1.34) с учетом (1.35) можно представить в форме где функция f(c[) определяется выражениями Л(Сі) " c 1- /4(l-Cl) Kl[E1(P/Q)] Сравнивая степени величин h и (PQ) в выражениях (1.34) и (1.36) функции /У, В. Г. Вильке получил уравнения которых следует, что
Кроме того, В. Г. Вильке провел анализ числовых значений функции /i(ci), который показал, что при s = 1/2 и следовательно при г = 7/4 данная функция близка к постоянной (см. таблицу). В таблице величины в и P/Q удовлетворяют уравнению
Среднее значение функции /і по данным таблицы приближенно равно 0,35803, а максимальные отклонения от него составляют —0,564% и 0,318%.
При s = 1/2 и кі = л/с[ стремящемся к нулю, функция fi(k{) стремится к плюс бесконечности (рис. 1.8), эллиптическая зона контакта вырождается в отрезок, что не соответствует предположениям теории контакта «Герц-точка».
Однако следует заметить, что уже при /сі, меньших 0,1, что соотвестствует заметно вытянутой эллиптической области контакта, функция fi(ki) уже достаточно близка к рассчитанному выше среднему значению.
При изменении угла в от 20 до 90 среднее значение функции /х равно 0,357469. Отклонение функции /і от этого значения составляет 0,477% для в — 90 (максимум) и —0,472% для 9 = 30 (минимум). Отсюда следует, что силовая функция (1.36) может быть приближенно представлена в виде
Силовая функция (1.38) в предположении, что тела проникают друг в друга без деформаций, имеет инвариантную форму, поскольку она не зависит от исходной точки контакта двух тел (в нашем случае это точка Рд) и представления поверхностей в окрестности этой точки, а зависит только от инвариантных геометрических характеристик пересечения двух тел (1.35), причем объем V области их пересечения должен быть положительным.
Если в формуле (1.38) при 5=1/2 раскрыть объемометрические переменные (1.35) и, оставаясь в рамках модели Герца, считать контактную площадку эллипсом, то получим следующее выражение для контактной силы
Для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода используется подход, разработанный в предыдущем параграфе.
Очевидно, что выражение (1.39) значительно упрощает алгоритм «Герц-точка» и позволяет расширить его применение в инженерной практике, поскольку в нем нетребуется вычисления полуосей контактной площадки и связанных с ними эллиптических интегралов. Такой подход представляется с вычислительной точки зрения более эффективным и надежным, особенно в связи с его приложением к технологиям компьютерного моделирования динамики машин и агрегатов.
Особенности реализации моделей различных видов механических связей твердых тел иа языке Modelica
Принципы моделирования процессов и явлений известны с давних времен. Моделирование — это воспроизведение или имитация свойств и/или структуры одного объекта при помощи свойств и/или структуры другого объекта. В этом случае первый объект или недоступен по каким-либо причинам (удаленности в пространстве или времени, больших или очень малых размеров и др.) для эксперимента или просто еще не существует. Давно известны способы и методы геометрического и особенно физического моделирования, основанные на свойствах подобия (например — П-теорема в механике [70]) окружающего нас физического мира. Возникновение в последние десятилетия универсальной среды моделирования — вычислительных машин — значительно расширило возможности воспроизводить математические модели любых процессов, описываемых дифференциальными и/или алгебраическими уравнениями.
Компьютерные модели [39], более или менее близкие к реальным (физическим) объектам, как правило, имеют достаточно высокий уровень структурной сложности. В последние годы в сфере компьютерного моделирования инженерных систем, в том числе машин и механизмов различного назначения, получила широкое устойчивое признание так называемая объектно-ориентированная парадигма [14]. С использованием фундаментальных свойств (наследование, инкапсуляция, полиморфизм) объектно-ориентированного подхода оказалось возможным конструировать модели практически неограниченной сложности [88].
В основе парадигмы, уходящей своими корнями в глубокую древность, лежит понятие абстракции. В этой связи из большого множества различных определений этого понятия уместно вспомнить следующее определение, данное Г. Бучем [14]: «Абстракция выделяет существенные характеристики некоторого объекта, отличающие его от всех других видов объектов и, таким образом, четко определяет его концептуальные границы с точки зрения наблюдателя». Таким образом, при решении опредленной задачи или целого класса задач разработчик из всего множества свойств рассматриваемых объектов выделяет только те свойства, которые могут иметь отношение к решаемой задаче. При этом все множество попадающих в ноле зрения объектов может быть представлено в виде нескольких семейств множеств, вложенных одно в другое так, что меньшее множество задает объекты с большим набором свойств, специфицирующих эти объекты.
Таким образом, чем больше свойств мы приписываем объекту, тем меньшее количество объектов, удовлетворяющих этому набору свойств, можно найти. Упомянутые множества объектов и принято в объектно-ориентированной парадигме называть классами. При этом, если один класс вложен в другой (соответствует множеству объектов с большим количеством свойств), то такой класс называется классом, порожденным (или его классом-наследником) более широким классом. Этот последний, в этом случае, ттзывается базовым классом или суперклассом. Легко видеть, что все свойства суперкласса сохраняются в наследнике, в котором могут быть добавлены новые свойства, отсутствующие в базовом классе, что и приводит к сужению соответствующего множества объектов.
Еще одно фундаментальное понятие объетно-ориентированной парадигмы — инкапсуляция свойств класса. В области компьютерного моделирования, и вообіце в сфере инженерных систем, инкапсуляция играет очень важную роль. С точки зрения пользователя класса его свойства могут быть скрыты или открыты. В этом случае первые обычно называются реализацией, а вторые — интерфейсом. Сокрытие реализации позволяет разработчику класса изменять (модернизировать) его внутреннее содержание, никак не влияя на методы работы пользователя с этим классом.
Третья характеристика объектно-ориентированного подхода — полиморфизм, по самому своему названию означающая, что объекты различных классов могут взаимодействовать между собой (выполнять операции) неким унифицированным образом. Единственное, накладываемое здесь ограничение — это то, что все эти классы должны быть наследниками некоторого суперкласса, в котором упомянутая операция должна быть определена.
Наша цель — разработка методики объектно-ориентированного описания инженерных систем [87, 97, 98, 154, 166], широко применяемых в коммунальном хозяйстве и в сфере сервиса, в случаях механического взаимодействия узлов и деталей машин, рассматриваемых нами в виде систем твердых или деформируемых упругих тел [18, 52, 106, 161, 171]. В качестве основы для такого описания обычно применяется один из вариантов представления системы взаимодействующих тел в виде неориентированного или ориентированного графа [18, 52]. В последних работах графы применяются для описания механической структуры системы тел. Чтобы учесть динамику движения системы, этой графовой информации явно недостаточно. Для более адекватного описания динамических процессов традиционно применяются графы энергетических взаимодействий или бондграфы [65, 155].
Описываемый ниже формализм, применяемый для построения динамической модели системы взаимодействующих тел основан на конструкциях, представленных в работах [46, 47, 130, 135]. Этот формализм использует так называемое физически-ориентированное описание динамики систем тел, в основе которого лежит представление механического движения с ньютоновой/ даламберовой/эйлеровой точки зрения [67]. При этом динамика каждого тела описывается системой дифференциальных уравнений Ньютона-Эйлера, задающей его поступательно-вращательное движение. Использование дифференциальных уравнений для представления движения физических тел естественным образом позволяет разработать объектно-ориентированный подход к моделированию динамики механических систем на основе наследования поведения объектов тел и объектов связей, при этом отдельному свойству поведения будет соответствовать одно или несколько дифференциальных или алгебраических уравнений.
Структурный граф системы тел, составляющих механическую систему, возникает из анализа их взаимодействия. Это взаимодействие имеет обоюдный характер и чаще всего в машинах обусловлено наличием связей. Двунаправленный характер взаимодействия тел задается третьим законом динамики. Поэтому структурный граф с точки зрения силового взаимодействия естественно считать неориентированным.
Моделирование динамики движения четырехколесного экипажа
Эти уравнения могут включать компоненты сил и моментов явно или косвенно (через динамические уравнения), при помощи кинематических соотношений, соответствующих специфическому типу связи.
В случае исследуемой здесь шарнирной связи представим движение тела В в виде сложного, составленного из переносного движения тела А относительно инерциальной системы координат, соответствующей модели World из стандартной библиотеки MultiBody языка Modelica, и относительного по отношению к телу А. Абсолютным является движение тела В относительно инерциальной системы координат.
Определим шарнирную связь при помощи следующих параметров: а) орта пд, задающего в теле А направление оси шарнира; б) вектора г 7 фиксированного в теле А и задающего точку, постоянно остающуюся на оси шарнира; в) вектора г в, фиксированного в теле В и задающего точку, постоянно остающуюся на оси шарнира. Главная задача базового класса шарнирной связи является удержание в совпадении геометрических осей, фиксированных в каждом из тел.
Для реализации этой задачи вычислим прежде всего радиусы векторы фиксированных точек тел относительно инерциальной системы координат по формулам [47] где, как и в главе 1, гоа — положение центра масс а-го тела, а Та — его текущая матрица поворота. Текущая ось шарнира в инерциальных осях задается при помощи орта
В соответствии с теоремой сложения скоростей, примененной к отмеченной точке шарнирной связи в теле В имеем где векторы vgn, vse, v j- являются соответственно абсолютной, переносной и относительной скоростями отмеченной точки тела В, и) А, и в — мгновенные угловые скорости тел.
В соответствии вычислительным опытом моделирования динамических задач аналитический предкомпилятор работает регулярнее, если кинематические соотношения выражаются явно через ускорения. В самом деле, в противном случае предкомпилятор пытается выполнить формальное дифференцирование уравнений для скоростей при понижении индекса общей системы дифференциально-алгебраических уравнений модели. Часто это приводит к проблемам либо во время трансляции, либо во время выполнения модели.
Гораздо надежнее сразу перейти к уравнениям относительно вторых производных по времени и использовать теорему Кориолнса сложения линейных ускорений аг = Атль где векторы а.Ваі а#е, а#г являются соответственно абсолютным, переносным и относительным ускорениями отмеченной точки тела В, ЄА, в — мгновенные угловые ускорения тел.
Необходимо также аналитически представить условия того, что для угловых скоростей и ускорений тел могут отличаться только их проекции на ось шарнира. Эти условия можно записать в виде где векторы шг, єг есть относительные угловые скорость и ускорение соответственно. Вспомогательные переменные — введенные выше множители jU, Л — здесь недоопределены. Помимо кинематических скаляров д, А нам необходимы двойственные к ним величины F = (F jii j), М — (ЪАА, ІІ-АІ) Заметим, кроме всего прочего, что класс Joint является частичным и может быть использован для создания модели связи любого мыслимого шарнирного типа. Чтобы завершить описание модели шарнира в секцию поведения необходимо добавить в точности два уравнения. Одно из них должно определять одну из величин fji, F (случай поступательной степени свободы). Другое уравнение предназначено для вычисления одной из величин А, М (случай вращательной степени свободы).
Обращаясь теперь к бондграфу рис. 2.4 заключаем, что общая система уравнений (2.2), (2.3), (2.4) реализует неявно центральный трансформер к локальной системе координат шарнирной связи и четыре скалярных потоковых ограничения, запрещающих относительные поступательные/вращательные движения в направлениях/вокруг осей, перпендикулярных оси шарнира. Таким образом, для наследников базового класса Joint остаются свободными (без уравнений) только два скалярных бонда: один соответствует поступательному относительному движению тел вдоль оси шарнира, другой — вращательному вокруг этой оси.
Здесь, как и в работе 47j, мы снова сталкиваемся с известными правилами дополнительности. В нынешнем контексте переменные каждой из пар (fi,F), (А, М) являются обоюдно дополнительными. Одна из переменных д, А может быть использована для потокового ограничения, а одна из JF, М — для ограничения усилий. Две из упомянутых четырех переменных позволяют завершить полный набор скалярных ограничений, соответствующих еще не использованной ранее оси шарнира, для бондграфа на рис. 2.4.
Именно, уравнения (2.3), реализующие теорему Кориолиса, одновременно неявно реализуют два скалярных потоковых ограничения, FC-элементы, из левого нижнего угла модели мультибондграфа на рис. 2.4. С учетом возможностей компилятора Dymola эти ограничения сконструированы с использованием ускорений вместо скоростей, применяемых в классической теории бондграфов, и имеют очевидный кинематический смысл: они препятствуют относительному движению отмеченной точки тела В вдоль осей, перпендикулярных оси шарнира, фиксированной в теле А. Кроме того, уравнения (2.4) реализуют два других потоковых ограничения, на этот раз для вращательного движения — они запрещают вращение тела В относительно тела А вокруг осей, перпендикулярных упомянутой шарнирной оси.
Заметим, что конструкция уравнений (2.3) и (2.4) такова, что они позволяют телу В совершать относительно тела. А движения вдоль и вокруг оси шарнира, реализуя, таким образом, кинематическую пару с двумя степенями свободы. Возвращаясь к рис. 2.4 мультибондграфа механической связи общего типа, можно заключить, что вертикальный мультибонд, присоединенный к 0-узлу реализует потоковые переменные (бивектор), описывающие движение тела В относительно тела Л, но в проекциях на инерциальные оси. Такое описание предполагает наличие специальной координатной системы, связанной с телом А с началом в отмеченной точке шарнирной связи этого тела. Преобразование к этим координатам реализуется в точности при помощи центрального трансформера треугольного блока С. Сам же трансформер реализован и «сидит» в уже рассмотренных системах уравнений (2.3) и (2.4).
