Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Интегральные формулировки магнитостатики как основа для разработанного 15
1.1. Дифференциальная формулировка магнитостатики 15
1.2. Интегральные представления для скалярного магнитного потенциала. 20
1.3. Учёт граничных условий. 29
1.4. Интегральные уравнения для скалярного магнитного потенциала . 31
1.5. Интегральные представления для напряжённости магнитного поля. 34
1.6. Об аналитическом вычислении интегральных выражений для поля 44
1.7. Интегральные уравнения для намагниченности 50
1.8 Интегральные уравнения для напряжённости магнитного поля...55
Глава 2. Аналитические выражения для поля тел с однородной намагниченностью ... 56
2.1. Скалярный потенциал прямоугольного параллелепипеда 57
2.2. Напряжённость поля прямоугольного параллелепипеда 60
2.3. Напряжённость поля прямой треугольной призмы —...65
2.4. Примеры расчёта топологии полей. .68
2.5. Преобразование системы координат 90
2.6. Моделирование полей цилиндрических и трубчатых тел 91
2.7. Моделирование условий раздельной регистрации намагниченных "островков
Глава 3. Решение прямой и обратной задачи магнитостатической дефектоскопии 108
3.1. Прямая задача определения намагниченности тела. "Проклятие раз мерности" 108
3.2. Обратная задача 114
3.2.1.0 неоднозначности решения. 116
3.2.2. Адекватность и устойчивость модели 119
3.2.3. "Самосогласованные" решения "Томографический" метод измерений 121
3.2.4. Упрощённые подходы к решению обратной задачи . 123
3.3. Численное моделирование обратной задачи магнитостатической дефектоскопии. 127
3.3.1. Общее описание результатов моделирования 127
3.3.2. Математический алгоритм решения обратной задачи 139
Глава 4. Моделирование трёхмерных магнитных полей токовых катушек различной формы, с конечным сечением 150
4.1. Замена тонкой катушки магнитным телом. Векторный потенциал статического поля 150
4.2. Конечно - объёмное моделирование катушек произвольной формы с прямоугольным сечением. 153
4.2.1. Поле сегмента в виде параллелепипеда 154
4.2.2. Поле сегмента в виде прямой призмы.., 156
4.3. Пример системы компьютерного конструирования сложных катушек и расчёта их трёхмерных полей 159
4.4. Поле круглой катушки 169
Глава 5. Однородное намагничивание в неоднородных внешних полях 179
5.1 .Метод однородного намагничивания тел различной формы со "слабой" напряжённостью полного внутреннего поля 179
5.2. Определение магнитной восприимчивости однородного изотропного тела с использованием метода компенсации поверхностных "магнитных токов" 185
5.3. Определение тензора магнитной восприимчивости и его главных осей для однородного анизотропного тела с использованием метода компенсации поверхностных "магнитных токов" 190
5.4. Метод однородного намагничивания тел различной формы с "сильной" напряжённостью полного внутреннего поля 197
Глава 6. Моделирование магнитопорошковых явлений и движения заряженных частиц . .202
6.1. Модификация метода Эйлера .' .204
6.2. Моделирование явления отталкивания магнитных частиц вблизи от дефекта ,.212
6.3. Моделирование геометрических фигур, наблюдаемых в магнитопо-рошковом анализе. 217
6.4. Моделирование магнитной ловушки. 223
6.5. Моделирование лазера на свободных заряженных частицах 224
Заключение ,. 226
Литература
- Интегральные уравнения для скалярного магнитного потенциала
- Напряжённость поля прямой треугольной призмы
- Упрощённые подходы к решению обратной задачи
- Пример системы компьютерного конструирования сложных катушек и расчёта их трёхмерных полей
Введение к работе
Актуальность работы определяется возрастающими требованиями современной магнитостатической дефектоскопии, и технической магнитостатики в целом, к качеству и разнообразию программного обеспечения для научных исследований, прикладных задач, проектирования новых приборов и устройств
Область применения программного обеспечения в современной технической магнитостатике чрезвычайно широка Она простирается от задач магнитостатической дефектоскопии различных изделий в неразрушающих методах контроля, до задач построения распределения источников магнитных полей в энцефалографии головного мозга, задач магнитооптики пучков заряженных частиц, задач удержания плазмы в магнитных ловушках типа «то-камак» и «стелларатор», задач проектирования лазеров на свободных заряженных частицах и т.д
В основе всех этих приложений лежат формулы и алгоритмы расчета магнитных полей, создаваемых различными источниками, в трёхмерном пространстве, и - расчета движения заряженных частиц в этих полях
Несмотря на достаточно широкий спектр имеющихся в этом направлении результатов и программ, актуальность создания новых алгоритмов, особенно для специфических приложений, что является основным предметом данной работы, подтверждается регулярными сообщениями в различных научных журналах о разработке и использовании нового программного обеспечения в указанных выше областях магнитостатики
В работе содержится математический анализ актуальных для практики магнитостатической дефектоскопии вопросов однородного намагничивания образцов в неоднородных внешних полях, и - поведения магнитных диполей в магнитопорошковых методах неразрушающего контроля
Цель работы. Диссертация посвящена разработке численных алгоритмов для расчётов и моделирования прямых и обратных задач магнитостатической дефектоскопии, и - устройств технической магнитостатики, на основе интегральных представлений трёхмерных магнитных полей
Научная новизна В области магнитостатической дефектоскопии и технической магнитостатики автором получены следующие новые результаты
сформулирована обратная задача магнитостатической дефектоскопии в виде системы трехмерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода,
построен численный алгоритм решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для неоднородной и, в общем случае, нелинейной среды, с коллинеарными векторами намагниченности и напряжённости внутреннего магнитного поля,
произведена регуляризация решения обратной задачи для однородных сред на основе метода дискретного программирования,
показана однозначность решения обратной задачи для однородно намагниченных трёхмерных прямоугольных и треугольных призм,
предложен способ определения формы границ поверхностных дефектов по линиям одинакового уровня магнитного поля дефекта,
получены аналитические формулы для расчета потенциала и напряжённости магнитного поля трехмерных прямоугольных и треугольных призм с однородным, произвольно направленным вектором намагниченности, и — с однородным по сечению вектором плотности тока;
разработаны алгоритмы автоматического и интерактивного построения катушек сложной формы, и аппроксимации трёхмерных магнитных полей таких катушек,
предложены способы однородного намагничивания и определения магнитных характеристик однородных образцов, путем компенсации поверхностных «магнитных токов», компенсации поверхностных «магнитных зарядов», комбинированный способ,
построена математическая модель для расчета явления отталкивания магнитных частиц (диполей) вблизи дефектов, при наличии внешнего магнитного поля;
построена математическая модель для расчета формы магни-топорошковых фигур на поверхности ферромагнетика в неоднородном внешнем поле.
На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные соискателем
формулировка обратной задачи магнитостатической дефектоскопии в виде системы трёхмерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода;
численный алгоритм решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для неоднородной и, в общем случае, нелинейной среды, с коллинеарными векторами намагниченности и напряжённости внутреннего магнитного поля;
регуляризация решения обратной задачи для однородных образцов на основе метода дискретного программирования;
однозначность решения обратной задачи для однородно намагниченных трехмерных прямоугольных и треугольных призм;
способ определения формы границ поверхностных дефектов по линиям уровня магнитного поля дефекта,
аналитические формулы для расчета потенциала и напряженности магнитного поля трёхмерных прямоугольных и треугольных призм с однородным, произвольно направленным вектором намагниченности, и - с однородным по сечению вектором плотности тока;
алгоритмы автоматического и интерактивного построения катушек сложной формы, и аппроксимации трехмерных магнитных полей таких катушек,
способы однородного намагничивания и определения магнитных характеристик однородных образцов, путем: компенсации поверхностных «магнитных токов», компенсации поверхностных «магнитных зарядов», комбинированный способ;
математическая модель явления отталкивания магнитных частиц (диполей) вблизи дефектов, при наличии внешнего магнитного поля;
- математическая модель формы магнитопорошковых фигур
на поверхности ферромагнетика в неоднородном внешнем поле
Личный вклад соискателя. Представленные в работе результаты .
аналитические формулы, численные алгоритмы, результаты моде
лирования различных задач технической магнитостатики, получены
лично соискателем Применимость результатов работы к задачам
неразрушающего контроля обсуждалась с членом - корреспонден
том РАН, профессором В Е. Щербининым
Практическая ценность работы. Представленные подробные алгоритмы и результаты применения метода интегральных уравнений для решения прямых и обратных задач магнитостатической дефектоскопии создают основу для развития отдельного направления в разработке эффективного программного обеспечения для научных исследований и для разработки новых приборов для магнитостатической дефектоскопии
Предложен способ создания однородной намагниченности в телах различной формы с помощью комбинации однородного и неоднородного внешних полей для проведения измерений магнитных свойств материалов и изделий
Разработанные алгоритмы расчета трёхмерных магнитных полей и движения в них заряженных частиц могут применяться при проектировании различных устройств технической магнитостатики устройств магнитной оптики пучков заряженных частиц, магнитных ловушек для плазмы, лазеров на свободных заряженных частицах и т д
Проведённый в работе анализ сил, действующих на магнитные диполи, создает качественную и количественную основу для интерпретации ряда результатов в магнитопорошковой дефектоскопии.
Материал, систематически изложенный в работе, может быть использован как учебно - справочное пособие для студентов, инженеров, физиков, программистов, работающих в области технической магнитостатики
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в монографии, в 14 статьях в рецензируемых журналах и в 1 сборнике статей. Апробация работы и достоверность результатов
Алгоритмы решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии использовались для моделирования таких задач в Институте физики металлов УрО РАН
Результаты работы использовались также для моделирования трехмерных магнитных полей и расчета оптимальных характеристик магнитов в Институте неразрушающего контроля (Германия, Саар-брюкен), для изучения свойств и оптимизации магнитных ловушек для заряженных частиц совместно с Российским научным центром «Курчатовский институт»
Алгоритмы расчетов полей сложных систем источников проверялось на тестовых примерах с простыми источниками, для которых известны аналитические выражения для векторов поля Структура и объём диссертации Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы (79 наименований) и приложения. Объем диссертации составляет 269 страниц, включая 83 рисунка и 12 таблиц.
Интегральные уравнения для скалярного магнитного потенциала
Формулировка задач с помощью дифференциальных уравнений является не только традиционной основой для их решения, или сведения к системам интегральных уравнений, но и достаточна во многих случаях для создания хороших компьютерных программ для численного решения этих задач. Обычно её используют в классе так называемых "внутренних" задач, когда поля рассчитываются внутри тела, ограниченного одной, или несколькими поверхностями.
В подавляющем большинстве задач всё пространство считается разделённым на ряд областей, физические характеристики которых меняются скачком при переходе через поверхности, разделяющие эти области. Соответственно, на этих поверхностях ("границах") скачком меняются и сами поля, или их пространственные производные. Эти скачки ("разрывы") записываются с помощью уравнений, называемых граничными условиями. Эти условия необходимы для однозначного решения дифференциальных уравнений задачи. Иногда (очень редко) граничные условия не ставятся, если решение-дифференциальных уравнений ищется в безграничном пространстве, в классе непрерывных функций, которые резко изменяются именно на поверхностях раздела областей.
Как известно (см., например,[1,67]), уравнения магнитостатики для каждой области пространства имеют вид :
Здесь, и в дальнейшем, используется международная система единиц СИ. Жирным шрифтом выделены векторные величины. Уравнения (1.1) записаны для так называемого "полного" поля, т. е. для поля, созданного как токами проводимости, так и намагниченностью среды. Мы рассмотрим далее задачу, в которой токи считаются заданными, и не зависят от полей, а намагниченность может складываться из двух частей : части зависящей от поля, и - части "постоянной", т. е. не зависящей от полей. Мы не используем в (1.1) индексов для указания областей в пространстве с разными физическими характеристиками, чтобы упростить вид формул. Индексы областей будут проставлены там, где это совершенно необходимо, например - в граничных условиях.
Все функции в (1.1) зависят от радиуса - вектора точки расчёта поля г, по которому и производятся операции дифференцирования. Однако в ряде мест в дальнейшем радиус-вектор точки расчёта поля будет обозначаться также как гР; а обозначение г будет применяться только к внутренним точкам данной области (т. е. гр совпадает с г внутри области). Дифференциальные операторы с индексом р будут означать дифференцирование по переменной гр.
Разделим полное поле в задаче (1.1) на два слагаемых. Первое -поле Н0, В0 создаваемое токами но - в безграничном однородном пространстве (например, в вакууме), как если бы не было границ раздела областей. Второе - поле Н, В создаваемое намагниченностью областей. Тогда из (1.1) мы получаем две системы уравнений. Первая система :
Хорощо известно, что систему уравнений (1,5) можно преобразовать, используя понятия скалярного или векторного магнитных потенциалов [1]. В случае скалярного потенциала вводится только одна неизвестная функция, а в случае векторного потенциала - три. Поэтому предпочтём здесь скалярный потенциал :
Напряжённость поля равна градиенту скалярного потенциала. Здесь знак минус берётся "по традиции". В системе СИ потенциал f имеет размерность тока - ампер.
Из векторного анализа известно, что ротор градиента тождественно равен нулю. Поэтому первое уравнение в (1.5) удовлетворяется с помощью (1.6). А из второго уравнения в (1.5) мы получаем уравнение для скалярного потенциала.
Мы не можем назвать уравнение (1.7) уравнением Пуассона, т.к. его окончательный вид зависит от так называемого "материального" уравнения, которое мы должны постулировать, чтобы связать намагниченность среды с напряжённостью магнитного цоля (и, тем самым, - с магнитным потенциалом). Уравнение (1.7) позволяет использовать формулу Грина [2], куда входит оператор Лапласа функции, для того, чтобы перейти к интегральным представлениям, и уравнениям для различных величин, участвующих в дифференциальных уравнениях.
Напряжённость поля прямой треугольной призмы
Чтобы убедиться, что формулы (2.5) описывают поле как снаружи, так и внутри намагниченного тела, проверим: дают ли они разрывы нормальных компонент поля, согласно граничным условиям (1.9). Рассмотрим, например, х - компоненту поля, которая является нормальной на двух сторонах параллелепипеда : Пі (при хр = - а) и Щ (при хр = а). Будем перемещать точку расчёта поля г р вдоль прямых линий параллельных х - оси координат и не совпадающих с рёбрами параллелепипеда. Тогда положительная величина R больше модуля любой из величин :(у - ур) или (z - zp). Следовательно логарифмические слагаемые в формуле (2.5) будут непре -62 рывными функциями координаты х:р, так как под знаками логарифмов стоят непрерывные положительные функции. Поэтому разрывный характер компоненты Н х на сторонах П і и П 2 может дать лишь слагаемое с функцией арктангенса. Действительно, из (2.5) видно, что аргумент этой функции стремится к плюс. - минус бесконечности при стремлении координаты х р к (- а) или а (если числитель не равен нулю). Причём знак бесконечности меняется при переходе через любое из этих значений х р. Таким образом, функция арктангенса испытывает здесь скачок плюс - минус тт. Если подставить эти пределы в выражение для Н х в (2.5), то функция арктангенса с каждым йз значений х р = :(- а) и х р - а войдёт в него по четыре раза. Выпишем эти четыре слагаемых, например, для значения х р = а:
Пусть сначала прямая линия, по которой мы перемещаем точку г р, проходит вне параллелепипеда. Например : z р с ; - b ур b - линия над параллелепипедом. Рассмотрим переход точки г р через плоскость х = а, содержащую сторону П 2 параллелепипеда. Предельные значения функ -63 ций Uj при х р стремящемся к (а - 0 ), т.е. при подходе к граничной плоскости со стороны параллелепипеда, с учётом всех знаков равны :
Аналогичные результаты можно получить из анализа формулы (2.5) для нормальных компонент поля на любых сторонах параллелепипеда. Т.о. наше утверждение, что формула (2.5) описывает поле как внутри, так и вне параллелепипеда, доказано.
Остаётся отметить, что логарифмические слагаемые в формулах дают бесконечные значения напряжённости и потенциала поля на рёбрах параллелепипеда. Кроме того, они дают бесконечные значения и на линиях, которые продолжают эти рёбра в пространство. Но вне рёбер бесконечности на этих линиях имеют разные знаки у двух соответствующих слагаемых для каждой линии, и, поэтому, взаимно компенсируются. Эти замечания необходимо учитывать при составлении компьютерных программ. У реальных параллелепипедов рёбра, конечно, скруглённые (поверхности Ляпунова), и бесконечных величин полей не возникает. Однако поля здесь всё - таки велики. В электростатике они могут, например, производить ионизацию воздуха, сопровождаемую свечением. Это явление давно известно в электростатике как "огни святого Эльма" на шпилях зданий.
Здесь коэффициенты матрицы записаны в том виде, в каком они были получены в процессе их вычисления. При программировании для компьютера возможно несколько преобразовать эти выражения с целью уменьшения числа арифметических действий. Вычисление этих коэффициентов выявило одну неточность в известных справочниках [16, 21] связанную с применением одной из подстановок Эйлера (см. Приложение 2). Примеры расчёта топологии полей. На следующих ниже рисунках (2.2) - (2.5) показаны примеры компьютерного расчёта полей по формулам (2.5) и (2.6), Расчёты проводились для двух случаев : 1) расчётные точки г р лежат в плоскости перед полюсом намагниченного тела или сбоку.от него (для построения трёхмерных графиков ); 2) расчётные точки лежат на прямой линии (для построения двумерных графиков). На рисунках показаны также линии одинаковых значений полей. На первый взгляд это несколько непривычно, т.к. часто на гра фиках строят так называемые силовые линии поля, координаты которых удовлетворяют уравнениям :
Или рисуют поле в виде стрелок векторов касательных к точкам указанных выше силовых линий. Мы оставили на графиках линии равного значения поля именно по той причине, что они менее известны.
Компьютерной визуализации полей, особенно трёхмерной, уделяется, к сожалению, не много внимания даже в современных работах. В то время как она, безусловно, очень полезна как в качестве вспомогательного средства при проектировании электромагнитных систем, так и в процессах обучения. Трёхмерные картины полей хорошо показывают как связаны особенности этих полей с геометрией магнита. Например, ясно видно, что при измерении магнитного поля сбоку от магнита максимальные значения модуля поля получаются на границах полюсных концов магнита (рис.2.3). Ближе к середине магнита напряжённость поля спадает. То же самое и в плоскости перед полюсами магнита, хотя там это менее заметно из - за того, что размеры полюсных плоскостей данного магнита меньше, чем размеры его боковых плоскостей(рис.2.4).Т.е. этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше размеры данной плоскости магнита. Интересно ведут себя и отдельные компоненты поля. Перед полюсами параллелепипеда, например, тангенциальные составляющие поля Н у и Н z выглядят одинаково и имеют по два экстремума на границе соответствующих сторон параллелепипеда (рис;й;4)г Нормальная же компонента поля Н х имеет один экстремум (рис.2.4). Сбоку от параллелепипеда одна тангенциальная со до ставляющая Н х (совпадающая по направлению с намагниченностью) имеет два экстремума на полюсных концах параллелепипеда (рис.2.3), как и нормальная составляющая Н z (рис.2.3). А вторая тангенциальная составляющая Н у, которая перпендикулярна намагниченности, имеет четыре экстремума на углах стороны параллелепипеда (рис.2.3).
Интересно также, что линии соединяющие точки с одинаковыми по величине значениями полей нормальных к полюсам магнитов компонент (линии "одинакового" поля) очень хорошо показывают форму полюсов магнита (прямоугольник или треугольник), если измерения производятся достаточно близко к полюсам (рис.2.4). Изменение формы этих линий одинакового поля, при увеличении расстояния от полюса до плоскости с расчётными точками, показано на рис.2.5. Видно, что форма линий меняется от квадрата до круга. Это соответствует приближению поля параллелепипеда на таком расстоянии к полю линейного диполя, поперечными размерами которого можно пренебречь. Конечно, вместе с таким изменением формы поля сильно:уменьшается.его величина.
Упрощённые подходы к решению обратной задачи
Задача оценки параметров двух (или нескольких) источников, расположенных настолько близко, что их поля сильно перекрываются в точках наблюдения является обычной для различных областей науки и техники. Например, она давно и хорошо изучена и постоянно решается в спектроскопических измерениях. Для магнитных полей можно назвать технологию изготовления магнитных носителей информации высокой плотности, когда требуется различать поля соседних, близко расположенных магнитных "островков". Такая же задача иногда возникает в магнитной дефектоскопии если требуется оценить параметры близко расположенных дефектов по их измеренному суммарному полю (модель поля отдельного дефекта постулируется).
Допустим, что мы регистрируем нормальную компоненту поля над полюсами намагниченных одинаково "островков". Тогда мы можем нарисовать качественную картинку наложения полей двух соседних островков в зависимости от высоты регистрирующего датчика над ними следующим образом :
H-synowtwiw потй джук и впгвчнин»», &ш и&ш лштчм -108 Такая же картина будет и в том случае, когда высота датчика над источниками поля постоянна, а расстояние между ними уменьшается.
Несмотря на то, что в самом крайнем случае мы регистрируем один пик поля вместо двух форма этого пика такова, что при наличии адекватной математической модели поля источника мы можем определить положения и другие параметры этих источников с помощью известных математических методов. Конечно, результат должен отличаться от реальности в силу наличия шумов в регистрируемом сигнале, и - в силу возможной неадекватности модели источника поля.
Если же математическая обработка измеренных сигналов не предполагается, то с помощью математического моделирования полей можно получить регрессионные зависимости степени наложения полей от размеров магнитных островков и от расстояния между ними. Это позволит выбрать, например, оптимальную высоту датчиков над источниками заданных размеров.
На рис.2.13 показаны результаты наложения полей двух источников в виде прямоугольных параллелепипедов, рассчитанные по формуле (2.5) для двух значений высоты датчика над их полюсами. задача определения намагниченности тела. "Проклятие размерности".
Прямой задачей мы будем называть задачу расчёта намагниченности тела М в заданном внешнем поле Н о если известны : форма тела, намагниченность тела не зависящая от внешнего поля М 0, тензор (матрица 3x3) магнитной восприимчивости к в каждой точке тела. Для изотропного тела магнитная восприимчивость есть скалярная функция (которую можно представить в тензорном виде путём умножения на единичную матрицу).
Разделим тело математически на более мелкие области в виде параллелепипедов или призм рассмотренных ранее. Будем называть эти области "элементами" тела. Сделаем практически важное замечание : при делении тела его элементы можно делать не строго прямоугольными, а - с небольшими отклонениями от прямоугольности. При этом с хорошей точностью можно описывать поля, создаваемые такими элементами, ранее полученными формулами для строго прямоугольных элементов [67,68,69].
Поле внутри каждого однородно намагниченного элемента может быть представлено в виде суммы полей создаваемых им самим и другими элементами (без внешнего поля): номера элементов. По повторяющимся индексам производится суммирование, как это принято обозначать в тензорном исчислении. Мы условимся, что векторы поля и намагниченности вычисляются только в одной точке элемента, например, - в его центре или в одной из его вершин. Тогда можно считать, что индекс элемента нумерует также и расчётные точки. Матрицы a j І в соответствии с формулами (2.5) или (2.6) содержат элементарные функции зависящие лишь от расстояний между центральной точкой г j данного элемента и вершинами всех элементов. Т.е. эти матрицы характеризуют геометрию задачи и их значения не меняются, если в процессе расчётов мы не меняем деление тела на элементы.
Пример системы компьютерного конструирования сложных катушек и расчёта их трёхмерных полей
Были опробованы различные алгоритмы минимизации функционала (3.27) по значениям элементов вектора магнитной восприимчивости тела. Эти алгоритмы можно разделить на два больших класса: алгоритмы непрерывной оптимизации, и алгоритмы дискретной оптимизации. В первом случае магнитная восприимчивость каждой ячейки сетки тела считается непрерывной величиной, способной принимать любые значения. Во втором случае, который хорошо подходит для работы с однородными средами, магнитная восприимчивость всех ячеек сетки тела считается одинаковой и равной некоторому неизвестному значению, или - равной нулю.
Было найдено, что непрерывная оптимизация, которая является более универсальной и может применяться для работы с неоднородными телами, работает достаточно устойчиво только в случае применения алгоритмов минимизации с ограничениями. Внесение ограничений на возможные значения вектора магнитной восприимчивости тела означает введение в задачу дополнительной априорной информации, т.е. регуляризацию задачи. Минимизация функционала (3.27) без этих ограничений, например, обычным линейным методом наименьших квадратов, давала совершенно ошибочные и далёкие от истины результаты. Одним из наилучших алгоритмов для работы с неоднородными средами, по мнению автора, мог бы быть метод оврагов с ограничениями [36]. Однако, полная реализация такого метода в этой задаче требует больших усилий на разработку соответствующего ПО, больших вычислительных мощностей, и - значительного времени счёта. В данной работе для непрерывной минимизации были опробованы две стандартные подпрограммы системы MATLAB для такой минимизации с ограничениями. Мы не будем здесь описывать математические методы, положенные в основу их работы. Результаты расчётов с помощью этих подпрограмм показаны на графиках и объяснены выше.
Т.к. в магнитной дефектоскопии наиболее часто принимается, что исследуемая среда достаточно однородна, то автор основное внимание уделил разработке алгоритма дискретной оптимизации функционала (3.27). В этом случае априорная информация об одинаковости значения магнитной восприимчивости во всех ячейках сетки тела, вносимая в задачу, наиболее полна, и, следовательно, наиболее сильно регуляризует задачу, т.е. стабилизирует результаты расчётов.
Строгое решение задачи дискретной оптимизации теоретически возможно только в результате перебора и проверки всех возможных сочетаний значений магнитной восприимчивости во всех ячейках сетки тела. Очевидно, что это невозможно сделать за разумное время расчётов. В некоторых вероятностных методах минимизации есть вероятность найти глобальный минимум за относительно небольшое число шагов. В данной работе был предложен другой алгоритм минимизации, который хотя и не гарантирует нахождение глобального минимума функционала (3.27), но хорошо согласуется с идеями «настройки» алгоритма на дефекты различного вида. А именно, методом перебора проверялись за несколько циклов те комбинации возможных дефектных ячеек сетки тела, топология которых была задана заранее. Та комбинация ячеек, которая давала максимальное уменьшение функционала невязки (3.27) на данном цикле проверки, оставлялась как найденный дефект. Затем начинался повторный цикл проверки, где исходным было новое значение функционала невязки. Минимизация заканчивалась, если на очередном цикле проверки функционал невязки больше не уменьшался.
Для существенного сокращения числа арифметических операций и, следовательно, времени счёта применялся следующий приём для расчёта нового значения векторов поля в точках измерения. Из (3.26) следует, что если мы имеем на некотором шаге расчётов значение вектора поля hi и вектора магнитной восприимчивости , а на следующем шаге дополни 149 тельно делаем L - тый элемент вектора магнитной восприимчивости равными нулю, то для нахождения нового значения вектора поля ІІ2 достаточно из старого значения поля вычесть соответствующий столбец матрицы В :
Замена тонкой катушки магнитным телом. Векторный потенциал статического поля.
Во многих случаях для целей компьютерного моделирования трёхмерных полей токовых катушек можно пользоваться теми же программами, что и для расчёта поля однородно намагниченных тел. Для этого нужно, во - первых, чтобы катушку можно было считать "тонкой", т.е. чтобы расстояние от любого витка катушки до точки расчёта поля было много больше толщины обмотки катушки. Во - вторых, плотность тока во всей катушке должна быть однородной.
Одинаковость полей таких катушек и магнитов вне объёма занятого магнитом основывается на известной теореме об эквивалентности линейного контура с током бесконечно тонкому листу с точечными магнитными диполями [3]. Однако, к сожалению, в этом классическом учебнике допущена неточность в пояснении этого вопроса, которая видна из сравнения с, например, [1]. А именно, в [1] утверждается, что поле Н внутри объёма занятого магнитом отличается от этого поля эквивалентного соленоида на величину намагниченности М. В то время как в [3] говорится о том, что эти поля имеют разное направление, а на рисунке приведённом ниже можно понять, что их величины при этом одинаковы. Покажем сейчас, что величины полей на Рис.4.1 разные и находятся в соответствии с [1].
Похожие диссертации на Алгоритмы расчетов и моделирования прямых и обратных задач магнитостатической дефектоскопии и устройств технической магнитостатики
