Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Нелинейная динамика анизотропного ферромагнетика (обзор) 8
1.1. Динамические уравнения поля намагниченности и модели магнитной анизотропии. 8
1.2. Спиновые волны и магнитные солитоны 13
1.3. Спиновые комплексы в дискретных одномерных цепочках 13
Глава 2. Анализ солитонов в двухосном ферромагнетике . 22
2.1. Особенности магнитных солитонов в анизотропном ферромагнетике, выделенные при численном анализе 22
2.2. Прецессионные локализованные состояния намагниченности 24
2.3. Исследование асимптотического поведения солитонов 29
2.4. Построение солитонов по теории возмущений 33
2.4.1. Солитоны малой амплитуды 35
2.4.2. Солитоны конечной амплитуды 37
2.5. Структура точного двухпараметрического солитонного решения в общем случае двух осной анизотропии 40
Глава 3. Основные свойства магнитных солитонов в анизотропном ферромагнетике 45
3.1. Периодические во времени решения уравнений Ландау-Лифшица 47
3.1.1. Область существования локализованных решений 47
3.1.2. Общий вид решения вдали от линии особых точек 54
3.1.3. Волны стационарного профиля 56
3.1.4. Предельный вид решений вблизи линии особых точек 59
.3.2. Апериодические решения и рассеяние стенок.. 61
3.2.1. Область существования 61
3.2.2. Общий вид решения 65
3.2.3. Предельные формулы 70
3.3. Солитоны в легкоплоскостном ферромагнетике 72
3.3.1. Об использовании уравнения синус-Гордона для описания солитонов в ферромагнетике с анизотропной легкой пло скостью 73
Глава 4. Квазиклассическое квантование магнитных солитонов . 79
4.1. Адиабатический инвариант и квазиклассическое квантование 79
4.2. Энергия и импульс солитона QI
4.3. Сравнение солитонов в анизотропном ферромагнетике со спиновыми квантовыми комплексами в дискретной - модели 83
Заключение 87
Ли тература
- Спиновые волны и магнитные солитоны
- Прецессионные локализованные состояния намагниченности
- Общий вид решения вдали от линии особых точек
- Сравнение солитонов в анизотропном ферромагнетике со спиновыми квантовыми комплексами в дискретной - модели
Введение к работе
В последние годы заметно возрос интерес к теоретическому изучению нелинейных явлений в магнитных средах (см., например, [I])» Этот интерес прежде всего связан с широким применением магнитных кристаллов в микроэлектронике, где используются нелинейные свойства магнетиков. Например, быстродействие некоторых элементов современных ЭВМ обусловлено динамикой цилиндрических магнитных доменов - существенно нелинейных образований в ферромагнетиках. Возможно использование и других нелинейных возбуждений магнитных кристаллов.
Динамика полей намагниченности описывается уравнениями Ландау-Лифшица, которые являются удобной модельной системой для исследования общих свойств существенно нелинейных явлений. Как и при теоретическом описании других нелинейных процессов, при изучении волн намагниченности произвольной амплитуды центральным является понятие солитона. Солитоны в магнетике представляют собой локализованные в пространстве волны магнитного момента и появляются в теории как особые решения нелинейных уравнений Ландау-Лившица, удовлетворяющие определенным граничным условиям.
Для физических приложений желательно знать явный вид этих решений. Однако, указанные уравнения очень сложны, поэтому точные солитонные решения удается получить лишь в специальных случаях для простейших моделей магнитоупорядоченных сред. Например, были получены центрально-симметричные солитонные решения в трехмерном легкоосном ферромагнетике в пренебрежении
магнитостатичесними полями ("магнонные капли" [2] ). В том же приближении описаны магнитные вихри [3]. Фактически этими случаями ограничиваются примеры известных нам солитонных решений уравнений Ландау-Лифшица для двух- и трехмерных магнетиков.
Значительно лучше ситуация в одномерном случае. До начала настоящего исследования фактически полностью были изучены солитоны в изотропном и легкоосном ферромагнетиках. В материалах же с более сложной магнитной анизотропией (например, двухосной) до недавнего времени солитоны не были достаточно полно исследованы даже в одномерном случае. Не был проведен детальный анализ и для легкоплоскостного магнетика, хотя он представлял бы особый интерес в связи с ведущимся в последнее время интенсивным экспериментальным исследованием солитонов в квазиодномерных ферромагнетиках, обладающих анизотропией типа "легкая плоскость" [4,5j.
Другим принципиально важным моментом, требующим изучения, был вопрос о том, какие изменения претерпят солитоны при учете магнитодипольного взаимодействия, которым ранее, как правило, пренебрегалось. Известно, что именно этим взаимодействием определяется максимальная скорость доменных границ в легкоосном ферромагнетике, так как без его учета доменные границы неподвижны. Учет магнитодипольного взаимодействия в ряде важных случаев эквивалентен перенормировке констант, характеризующих анизотропию ферромагнетика, и поэтому приводит, вообще говоря, к необходимости рассматривать двухосный магнетик.
В связи с вышеизложенным цель данной диссертационной работы состояла в изучении одномерных солитонов в ферромагнетике с произвольной двухосной анизотропией. В настоящей работе
впервые получено явное решение уравнений Ландау-Лифшица, описывающее уединенные волны намагниченности в двухосном ферромагнетике [б,?]. Это решение зависит от двух параметров: сд -частоты прецессии вектора намагниченности и V - скорости солит она.
Определена область допустимых значений этих параметров. Показано, что существует два существенно отличающихся друг от друга типа решений: периодические во времени (параметр сд -действителен) и апериодические ( СО - мнимый). Проведен детальный анализ каждого из этих типов решений [8J . Периодические решения описывают связанное состояние двух доменных границ, а апериодические - соответствуют рассеянию доменных границ друг на друге. Как частный случай полученного решения найдены явные формулы для солитонов типа волн стационарного профиля, которые ранее изучались лишь численными методами [9J.
В качестве приложения изложенных результатов рассмотрены солитоны в легкоплоскостном ферромагнетике. Проанализирована возможность использования уравнения синус-Гордона для описания локализованных волн намагниченности в магнетике с анизтропной легкой плоскостью [в]. Показано, что это уравнение пригодно лишь для области положительных частот СО
Проведено квазиклассическое квантование солитонов в двухосном ферромагнетике Г8І. Его результаты сравнены с точным квантовым спектром для спиновых комплексов в X/Z-модели. Установлено полное совпадение квазиклассического и точного квантового спектров (даже при малых квантовых числах).
Отметим, что одновременно с работой f7j, в которой впервые были получены явные выражения для двухпараметрических
магнитных солитонов, и независимо от нее Скляниным [Ю], а также Боровиком и Робуком [її], была доказана полная интегрируемость уравнений Ландау-Лисица для двухосного ферромагнетика методом обратной задачи теории рассеяния. Однако, в работах [І0,1і]не удалось построить явных решений этих уравнений. Используя результаты [7J, Богдан и Ковалев методом Хироты построили многоеолитонные решения уравнений Ландау-Лифшица для двухосного ферромагнетика [l2j« Эти же решения были найдены позднее и методом обратной задачи теории рассеяния ГіЗ-Іб]. Сформулируем основные положения, выносимые на защиту.
Получены явные двухпарметрические солитонные решения одномерных уравнений Ландау-Лифшица для двухосного ферромагнетика, являющиеся основными нелинейными возбуждениями такого магнетика.
Проведен полный и подробный анализ магнитных солитонов в двухосном ферромагнетике. Установлено, что существуют два типа солитонных решений: с периодической зависимостью от времени и апериодические. Первые описывают связанное состояние двух доменных границ, а вторые дают точное решение задачи о рассеянии доменных границ друг на друге.
Показано, что квазиклассический спектр энергии солито-на в двухосном ферромагнетике совпадает с точным квантовым спектром энергий связанных спиновых комплексов в дискретной XV2 - модели.
Спиновые волны и магнитные солитоны
В двухосном ферромагнетике солитона до недавнего времени рассматривались лишь численными методами [9J. Несколько позднее удалось найти точное решение, описывающее покоющийся прецессионный солитон [б], и наконец, в работах [7,8]были получены и проанализированы движущиеся прецессионные солитоны. Подробнее результаты исследования локализованных волн намагниченности в двухосном ферромагнетике изложены в следующих главах.
В заключение раздела отметим, что параллельно с построением явных решений уравнений Ландау-Лифшица в последние годы интенсивно изучались эти уравнения методом обратной задачи теории рассеяния. Так, в работах Лакшманана [27J и Тахтаджяна(28] была доказана полная интегрируемость указанных уравнений для изотропного ферромагнетика, а в работе Боровика [29] для случая одноосной анизотропии. Наконец, недавно Скляниным [ioj и независимо Боровиком и Робуком [и]было показано, что уравнения Ландау-Лифшица для двухосного ферромагнетика интегрируемы методом обратной задачи теории рассеяния. Однако, развитые в работах [lO,Il] методы не позволили построить явный вид решений, подробный анализ которых представляет безусловный интерес.
В ряде работ [24-26,30,3IJ было выдвинуто и обсуждено положение о том, что магнитный солитон представляет собой связанное состояние большого числа магнонов. Это утверждение основано на принципе соответствия квантовых и классических результатов и для его проверки обычно сравнивают спектр связанных состояний магнонов (при больших квантовых числах) с результатами квазиклассического квантования солитонных решений уравнений Ландау-Лифшица. Естественно, что при этом рассматриваются уравнения, которым отвечает плотность энергии -&/" получающаяся предельным переходом из гамильтониана соответствующей квантовой задачи. В связи с этим в данном разделе приведем результаты исследования некоторых квантовых задач, гамильтонианы которых Е классическом макроскопическом пределе переходят в выражение (1.8) или в один из его частных случаев. Мы будем рассматривать одномерную спиновую цепочку, описываемую гамильтонианом где Л/ " оператор спина в узле J j Jx «X Уг - обменные интегралы. Величина спина равна / . Такая модель при произвольном соотношении между константами Jy Л , У2 получила название УУ -модели. Первый шаг по пути нахождения собственных значений и собственных векторов оператора (1.24) был сделан в 1931 году Бете [32]. Он рассмотрел полностью изотропный случай (ХХХ-модель) и провел его полное исследование при Ux ju Jzs=J (y В частности им был найден спектр связанных состояний магнонов - спиновых комплексов. В 1977 году Ко-севич, Иванов и Ковалев [2б] установили, что квазиклассические уровни энергии солитона в одномерном изотропном ферромагнетике совпадают с точными квантовыми уровнями энергии спиновых комплексов в XXX модели, являющейся квантовым аналогом изотропного ферромагнетика.
Следующей по сложности системой, в которой были изучены спиновые комплексы, является гейзенберговская цепочка с одноосной анизотропией (с гамильтонианом (1.24), в котором Jx-Jy Jz. ). Впервые полное решение квантовой задачи о возбуждениях такой системы было дано в работе Янга и Янга [ЗЗІ. Спектр возбуждений анизотропной гейзенберговской цепочки для 4=%? рассматривался позже Овчинниковым [34] и Гочевым[Зб] В их работах для случая - = ?с была получена явная функциональная зависимость энергии связанных состояний магнонов от их суммарного импульса и их числа в комплексе. Классическим аналогом спиновых комплексов в такой цепочке являются одномерные солитоны в ферромагнетике с анизотропией типа "лег кая ось". Сравнение квазиклассических и точных квантовых результатов при описании связанных состояний магнонов в таких системах провел Иванов [30j и более полно Гочев [зб].
Наконец, в 1972 году Бакстер [ІЗ?] дал решение полностью анизотропной л%г- модели (!Ух у ) а в ВДУ 61 году на основе результатов Бакстера Джонсон, Крински и Мак кой [38J вычислили в этой модели энергию возбуждений, которые характеризуются двумя параметрами.
Прецессионные локализованные состояния намагниченности
Ценные сведения о виде солитонного решения уравнений Ландау-Лифшица (I.IO) MOEHO получить не только изучая его асимптотическое поведение при J j- СРО , но и исследуя это решение в предельном случае малых . В этом случае общее двухпараметрическое решение удается найти, рассматривая зависящие от члены в (1.10) как возмущение, а в качестве невозмущенного решения выбирая (1.19,20). Указанному построению как раз и посвящен данный раздел.
Перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью V" і где \/ - скорость перемещения солитона как целого.Тогда уравнения (1,10) приобретают вид
Здесь штрих означает дифференцирование по координате J. При Ь = 0 решением (2.19) являются функции, определяющиеся выражениями (1.19,20). Эти функции в дальнейшем будем обозначать как Q (О (присваивая индекс нуль и параметрам ей КQ}Sld от которых эти функции зависят). При малых ищем решение системы (2.19), полагая 6 = в +S&у f tf fy . где у и J/&? порядка . Заметим, что, хотя величина S(f пропорциональна и мала по сравнению с СР , она может существенно превышать единицу, поскольку из-за растущего на бесконечностях члена - К J" величина ІСР / -» Xi при % —- ± о В связи с этим даже в главном порядке по Е уравнения на SV; FO будут нелинейными ( &Р входит в аргумент тригонометрических функций) и не проще исходных уравне ний (2.19). Однако явный вид (Р=СО1 t-КУ f Q) , в котором растущий при /їг" 0" член описывается как -/ , а функция ІІ;0(%) обладает уже ограниченной вариацией, наводит на мысль как устранить указанную трудность. Для этого ищем в виде где все вариации о0 = СО-О? Ъ К К К} Sf ffc{) fffl порядка , а кроме того /&у[ 1 . Удерживая в уравнениях (2.19) члены только первого порядка по , получим линейные уравнения на Sв и о у , в которые будут входить и неизвестные постоянные дСО и о К При этом явно зависящие от члены уравнений (2.20,21), играющие роль внешнего возмущения, периодичны по времени. Поэтому ищем SO и Sf в виде где Q-)P)f)fy9l-)Iй- - все величины порядка . Подста вив (2.22) в (2.20,21) и собрав в каждом уравнении не зависящие от времени члены, а также члены при -fa/v получим на шесть функций и две константы ( ScO и 8К ) систе му из шести неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Не приводя здесь этой системы (ввиду ее громоздкости), отметим только, что она естественным образом распадается на две части, Б первую, состоящую из четырех уравнений, входят функции V(l))?(f)?V(f) P-Ct) » а вторая часть, к которой относятся два уравнения, содержит только константы Ксд ЬК и функции tfff) fff) Схематически эту систему будем записывать следующим образом
Коэффициентами при неизвестных функциях и их производных во всех шести уравнениях являются в Ф , их производные, а также тригонометрические функции от и и у . Для того, чтобы найти решение этой довольно сложной системы, рассмотрим ее сначала в одном достаточно простом предельном случае, отложив общее исследование до следующего раздела этой главы.
Пусть частота СО такова, что величина 2t 1 , где С0=1-п-СО В этом случае решение (I.I9) описывает соли-тон малой амплитуды: и & .Из (1.19,20) следует, что и ifi Q6 Характерный размер области локализации малоамплитудного солитона оказывается очень большим - порядка UyP Производные от В и f » оцениваются в этом случае следующим образом: 6 а6j У & f Используя малость в и 7Р , описанную выше систему из шести обыкновенных дифферен циальных уравнений можно решить с помощью асимптотической тео рий возмущений [42]. В этом случае неизвестные функции ищутся в виде рядов, члены которых убывают как степени малого параметра Х Для производных от этих функций справедливы те же оценки, что и для производных от в и ]
Общий вид решения вдали от линии особых точек
Рассмотрим теперь общий вид распределения поля намагниченности в солитоне (3.1). Параметрам ей и У вдали от линии особых точек соответствуют локализованные возмущения намагниченности, имеющие стандартный солитонный вид с амплитудой, модулированной периодической рябью, перемещающейся с фазовой скоростью
(см. рис. 5). Относительная величина амплитуды ряби и соотношение ее длины волны С У/і) с характерным размером солитона / " ) зависит от значений параметров &Х V и Отметим также, что, поскольку сам солитон как целое движется со скоростью \/ , то рябь по отношению к нему не неподвижна, а перемещается с относительной скоростью /jf
Рассмотрим теперь подробнее вид солитона при некоторых характерных значениях параметров ой и V , Пусть ]/- 0 , тогда длина волны периодического рельефа (ряби) бесконечна (К- 0/ » в то время как размер солитона CV&) в00 е говоря, ограничен. Иными словами, намагниченность одинаково изменяется во времени во всех точках солитона. есть конечная величина, поскольку и длина волны ряби (%//{) и скорость ее перемещения Q YK} стремятся к бесконечности по одному закону - обратно пропорционально К Таким образом, солитон представляет собой пульсирующее с частотой 2сО образование, профиль которого в каждый момент времени имеет стандартный вид (см. рис. 6). Заметим, что этот вывод полностью согласуется с результатами раздела 2.2, в котором уже изучались солитоны при V=0 и СО 0 . в данном разделе мы пришли к указанному выводу, исходя из общего решения (3.1).
Иная ситуация имеет место, когда СО и V таковы, что 2С(со) V/- О . В этом случае периодический рельеф на профиле солитона ярко выражен в любой момент времени, поскольку длина волны ряби заметно меньше характерного размера солитона.
Вид решения вблизи линии 60=0 будет изучен в следующих разделах.
Рассмотрим теперь солитонные решения типа волн стационарного профиля, которые зависят только от одной переменной J = "—]/ Как уже отмечалось в разделе 2.1, некоторые результаты, относящиеся к этому случаю, были получены в работах Елеонского с сотрудниками [_9,39_]. Полное исследование так называемых "быстрых" (по терминологии работы [9J ) волн стационарного профиля можно провести с помощью общего двухпарамет-рического решения (3.1), устремляя сО О и выбирая V в Рис. 6.
Вид зависимости и от J в солитоне в различные моменты времени при ]/=0 интервале (у_ 1/ ) . В этом случае кубическое уравне ние (3.4) для _Q_Z легко решается. Единственный физический корень этого уравнения при определяет ся выражением _Q = Y z (3.8) С учетом (3.8) из (3.1,2) находим z lv2-V-7 UVI -+V+ -Z9iH , где величина К и Э задаются формулами t (3.10)
В разделе 2.1 отмечалось, что в зависимости от скорости в волне стационарного профиля имеет место либо монотонное изменение угла Q при выходе на однородное состояние намагниченности, либо на этот монотонный спад накладываются еще осцилляции в Смена одного режима поведения полярного уг-ла к другому происходит при скорости Уо== (/+&) , Это впервые отмеченное Елеонским с сотрудниками [э] свойство легко понять из полученных выше формул. Немонотонность угла и связана с наличием в описывающем его выражении (3.9) осциллирующего члена, Именно этот член в данном случае ответственен за появление на плавном профиле солитона периодического рельефа-ряби. При ]/- V_ , как следует из (3.10), длина волны ряби Я/fc много больше характерного размера солитона , поэтому Q монотонно спадает с ростом /J/ .При V- K . наоборот, на длине волны $//{ знаменатель выражения для iq M мало изменяется и осцилляции угла Q ярко выражены.
Сравнение солитонов в анизотропном ферромагнетике со спиновыми квантовыми комплексами в дискретной - модели
В этом разделе проведем сравнение полученного выше ква-зиклассического спектра солитона в двухосном ферромагнетике (4.6) с описанным в разделе 1.3 квантовым спектром связанных состояний спинов в У/.с - модели. Начнем с того, что установим соответствие квантового (1.24) и классического (1.8) гамильтонианов, следуя работе Склянина [Ю].
Перейдем в (1.24) от дискретной решетки к континуальной модели, заменив одновременно спиновые операторы на классические векторы S . Для последних используем разложение чтобы переписать гамильтониан (1.24) через величины, относящиеся к одной и той же точке пространства. Если теперь предположить, что все обменные интегралы близки по величине гДе & о » а Аз ь ти константы, определяющие анизотропию в континуальной модели: - " = 9 Уу Ух = (4.8) то после простых преобразований получим классический гамильтониан двухосного ферромагнетика (1.8). При этом нужно только учесть, что Ff=2M0S (пин в XYZ " модели равен
Соотношения (4.7,8) устанавливают связь параметров квантовой и классической задач. С их помощью проведем сравнение квазиклассического спектра (4.6) с чисто квантовым (1.25). Поскольку то из (1.28), (4.7,8) следует, что Г-і ( $«!
Поэтому в формуле (1.27) можно положить Y равной нулю. Тогда, принимая во внимание (1.26) и (4.7,8), находим то есть модуль синуса Якоби, входящего в выражение (1.25), совпадает с модулем в формуле (4.6). Из (4.9) также следует, что величина Г) , определяемая согласно (1.29), совпадает при &—і; с отношением 1/т . Действительно, =/VY= /va+tf-fo=і/т (4 -іо)
При получении (4.10) учтены определения J (4.4) и Х0 (4.3). Подставив (4.10) в неравенство (1.30), вновь прийдем к обсуждавшемуся выше ограничению на величину адиабатического инварианта. Наконец, для величины / , входящей в (4.6), при - Уг имеем Р0 = /& . Принимая во внимание сделанные замечания, находим, что функциональная зависимость от двух параметров Р и 71 энергии (1.25) эквивалентна зависимости энергии солитона (4.6) от его импульса и адиабатического инварианта. Нетрудно убедиться, что все коэффициенты в этих зависимостях одинаковы.
Таким образом, в том случае, когда анизотропия континуальной модели имеет происхождение, описываемое предельными соотношениями (4.7) и (4.8), квазиклассический спектр энергии солитона совпадает с квантовым спектром связанных спиновых состояний. При этом подчеркнем, совпадение имеет место при любых, а не только при больших /К .
Обычно квазиклассическое квантование дает правильный спектр энергий при /V 1 . Если же квантовое число /V невелико, то квантовые значения энергии могут отличаться от квазиклассических. Правда, в квантовой механике отдельной частицы встречаются случаи, когда квазиклассический спектр энергии в точности совпадает с существенно квантовым. Таким свойством обладает, например, спектр одномерно гармонического осциллятора.
Подобные случаи известны и в теории солитонов. В свое время было показано [49], что квазиклассический спектр энергии солитона в системе, описываемой уравнением синус-Гордона, совпадает с таковым для соответствующей квантовой системы. Результаты настоящего раздела показывают, что аналогичным свойством обладают и солитоны в двухосном ферромагнетике.
Отмеченное совпадение спектров, по-видимому, не случайно и связано с точной интегрируемостью методом обратной за 86 дачи теории рассеяния как уравнения синус-Гордона, так и классических уравнений Ландау-Лифшица для двухосного ферромагнетика. Основанием для такого предположения служит глубокая взаимосвязь квантовых и соответствующих им классических точно интегрируемых систем, которая была установлена квантовым методом обратной задачи рассеяния [50]. Если это предположение справедливо, то появляется возможность предсказывать спектр квантовых возбуждений некоторых систем по спектру макроскопических волн соответствующих классических аналогов.
