Содержание к диссертации
Введение
Глава I. ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ И ПРОБЛЕМА ЕГО ФОРМАЛИЗАЦИИ 16
1. Некоторые обозначения. 17
2. Истинностные значения 21
3. Классическая теория следования 27
4. Дедуктивные выводы и доказательства 41
5. Логическое следование и импликативные исчисления...58
6. Системы логического следования 74
Глава II. РЕЛЕВАНТНАЯ ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ ДЛЯ ЯЗЫКА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ 86
1. Принцип релевантности 86
2. Вригта-Гича-Смаила критерий... 88
3. Логическое следование и невозможные миры 91
4. Релевантные тавтологии 97
5. Система 6 .Исходный базис 101
6. Некоторые теоремы и производные правила вывода G 103
7. Полнота и разрешимость G 106
8. Система G 115
9. Невозможность непарадоксального усиления G 117
10.Дизъюнктивный силлогизм, принцип непротиворечия и парадоксы следования 122
11.Некоторые замечания о паранепротиворечивых логиках и Ахиллесе, догоняющем черепаху 132
12.Вывод из посылок в силу и принципа непротиворечия 137
13.Специальные теории логического следования 145
Глава III. ЛОГИКА УСЛОВНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
1. Условные высказывания 148
2. Принцип дедукции. Непосредственный вывод из посылок
3. Релевантные расширения системы Е 177
4. Непротиворечивые расширения за счет формул; аналоги которых не являются классически доказуемыми.. 186
5. Система 192
6. Семантическая полнота 195
7. Непарадоксальность
8. Стандартное импликативное исчисление, соответствующее системе
9. Сильные и слабые следствия из данных посылок 206
10. Логические критерии истинности условных высказываний 212
11. Теоремы дедукции для релевантных исчислений 218
12. Системы ЕМ и ЕМ 221
Глава IV. НЕОБХОДИМОСТЬ И ИМПЛИКАЦИЯ 225
1. Логически истинные формулы языка и исчисление 225
2. О взаимоотношениях Е и /V 229
3. Е-системы и /W -исчисления 239
4. Е-импликация и логическое следование 244
5. О возможности расширения /V7-исчислений за счет
классически неприемлемых принципов 247
Глава V. КОНТРФАКТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 250
1. Проблема конрфактических предложений 250
2. Логические критерии истинности контрфактических предложений 254
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 278
ЛИТЕРАТУРА 282
- Классическая теория следования
- Логическое следование и невозможные миры
- Принцип дедукции. Непосредственный вывод из посылок
- Логически истинные формулы языка и исчисление
- Проблема конрфактических предложений
Классическая теория следования
Исторически одной из первых формальных теорий логического следования была "теория материальной яжштщъ", систематическая разработка которой связана с именами Г.Фреге и Б.Рассела. Эта, как ее принято называть, классическая теория следования обладает рядом серьезных достоинств и до сих пор остается господствующей в современной логике. Вместе с тем она с самого начала подвергается критике за ее несоответствие некоторым исторически сложившимся нормам рассуждений. Критика эта ведется с различных позиций в зависимости от той или иной интерцретации самой классической теории следования и определенного истолкования тех целей, которые, как считают, должна решать теория, претендующая на формализацию логического следования. Прежде, чем говорить о критике, рассмотрим, в чем состоит смысл классической теории следования.
Будем обозначать как L и называть языком классической пропозициональной логики символический язык, исходный алфавит которого состоит из бесконечного числа пропозициональных переменных и логических констант: V , , и ZD , истинностная интерпретация которых дана в I. Правильно построенными выражениями, или формулами, языка L называются выражения, соответствующие следующему определению:
1) Если X есть пропозициональная переменная, то X есть формула языка L .
2) Если X и J суть формулы Ь , то (X У), (XV У), {% ZDJ), X - также есть формулы L .
3) Некоторое выражение есть формула Ь только в силу пунктов (I) и (2).
Вопрос о том, является ли некоторая формула У логическим следствием из другой формулы X, решается в классической теории следования следующим образом.
3.2. Формула У является логическим следствием из X, если и только если не существует такого набора истинностных значений входящих в X и У пропозициональных переменных, при котором X принимает значение I, а У - значение 0.
Утверждение о логическом следовании У из X мы записываем как X Н Уі Заметим сразу, что приведенное в 3.2 понимание логического следования имеет семантический характер, отображая то обстоятельство, что из истины может логически следовать только истина. Для утверждений о логическом следовании в семантическом смысле обычно принято использовать запись X = У, чтобы отличить их от утверждений ХНУ, говорящих о существовании вывода У И8 X в рамках принятого логического исчисления. Мы такого различия в записи делать не будем, полагая, что смысл, в котором употребляется знак " — " всегда будет ясен из контекста.
Логическое следование и невозможные миры
Любой логик, сторонником какого бы понимания логического следования он не являлся, по-видимому, согласится с тем, что формула У логически следует из формулы X, если и только если в рамках принятой семантики всякое достаточное условие истинности X (детерминируемое исключительно логической структурой этой формулы) является достаточным условием истинности У, а всякое достаточное условие ложности У является достаточным условием ложности X. Разногласия возникают, когда встает вопрос об условиях истинности и ложности противоречивых (тождественно ложных) и тавтологических (тождественно истинных) формул, который на практике предстает, в частности, как вопрос о том, следует ли принимать в расчет заведомо невыполнимые условия истинности и ложности формул, например, считать истинность формулы достаточным условием истинности b V когда формула Z - тождественно ложна и могла бы быть истинной исключительно в том случае, если бы одинаковые истинностные значения были приписаны одновременно и некоторой входящей в нее переменной CL , и ее отрицанию « d .
При игнорировании невыполнимых условий истинности и ложности формул мы приходим к классическому пониманию логического следования» Из изложенной выше .семантики релевантного логического следования, основанной на сильном W5 -критерии, видно, что в ней такие условия принимаются во внимание, позволяя отбрасывать нерелевантные принципы.
Проблема условий истинности и ложности формул, принимающих всегда одно и то же значение, представляет несомненный интерес в философском отношении. Г.Фреге считал, что такие формулы не имеют условий истинности и ложности, так как их истинностное значение является необусловленным1. Сторонники релевантной логики не согласны с этим, полагая, в частнооти, что при построении логики в этом случае уже предвосхищается некоторое логическое знание. Резонные доводы можно приводить, по-видимому, в пользу обеих точек зрения. В связи о этим возникает вопрос, а нельзя ли как-то обойти эту проблему?
Ясно, например, что она потеряла бы свое значение,еели бы объектный язык, для формул которого устанавливаются принципы логического следования, не содержал тождественно истинных и тождественно ложных выражений. Примером такого языка мог бы служить язык пропозициональной логики с конъюнкцией и дизъюнкцией в качестве единственных логических связок. В отношении функционально полного языка классической пропозициональной логики аналогичного результата можно достичь только за счет некоторого подходящего изменения его семантики.
Принцип дедукции. Непосредственный вывод из посылок
Под условным высказыванием мы будем иметь в виду некото-1 рое сложное высказывание С, состоящее из высказываний А и В и утверждающее (возможно, при предположении определенного контекста), что наличие события, о котором говорится в А, является достаточным основанием, чтобы можно было считать, что событие, о котором говорится в В, также имеет место. В естественном языке условные высказывания строятся обычно с помощью союза "если ..., то ...", но не обязательно, К условным мы будем относить не только высказывания вида "Если А, то В", но и такие высказывания как: "Когда А, тогда В", "При наличии А всегда имеет место В", "В, если А", "А влечет (имплицирует) В" и т.п. - когда в них речь идет не о самих высказываниях А и В, а о тех событиях, о которых в А и В говорится.
Надо иметь в виду, что в естественном языке олова "если ..., то ..." совсем не обязательно выражают условную овязь между высказываниями, которые они связывают. Поэтому можно привести сколько угодно примеров высказываний вида "Если А, то В", которые не являются условными: "Если лето прошлого года было засушливым, то лето этого года было очень дождливым", "Если слова, начинающиеся с буквы А, занимают два тома БСЭ, то начинающиеся о буквы С - четыре" и т.п. При этом однако приводить подобные примеры следует с определенной осторожностью, учитывая контекст, в котором находится некоторое высказывание. Так, скажем, высказывание: "Еоли Иванов получил на экзамене 5, то Петров получил только 4" можно привести в качестве такого примера, когда оно понимается в том же смысле, что и высказывание:
"В то время, как Иванов сдал экзамен на 5, Петров сдал только на 4". Последнее в зависимости от контекста может означать и сравнительную оценку знаний Иванова и Петрова, когда предполагается, что они сдавали экзамен поодному и тому же предмету, и их знания были оценены объективно, и негативное отношение к экзаменационной отметке как критерию знаний, когда известно, что Петров знал предмет заведомо лучше Иванова, и т.п. Представим теперь, что нам не известно, какие именно оценки получили на экзамене Иванов и Петров, но известно, что оценка первого на балл выше. Тогда обсуждаемое высказывание вполне может рассматриваться как условное, причем несомненно истинное. Наряду с ним истинными будут высказывания, которые получаются из него заменой оценок 5 и 4 на 4 и 3 или на 3 и 2 соответственно. Что же касается высказывания: "В то время, как Иванов сдал экзамен на 5, Петров сдал только на 4", то о его истинности или ложности в этом случае ничего сказать нельзя.
Логически истинные формулы языка и исчисление
В уже упоминавшейся в I работе Р.Мейер и его соавторы, основываясь лишь на факте недоказуемости в Е формулы 2.1, критикуют эту систему в том отношении, что она является существенно слабее, чем Nk, В предыдущем параграфе мы описали весь тот тип теорем N8. , которые нельзя доказать в Е, причем не только выяснили причину такого положения, но и построив исчисление ЕЙ, показали, как должно быть усилено Е, чтобы класс его теорем совпадал с соответствующим классом теорем А/#.
Зададимся теперь вопрооом, можно ли осуществить такое модальное расширение исчисления R , чтобы доказуемые при этом формулы языка Ь- были бы теми же, что и в Е? Ответ на этот вопрос является утвердительным. Зная, что представляет собой тип теорем Nk , которые не имеют силы в Е, легко усмотреть, что требуемое модальное расширение исчисления (мы будем обозначать такое расширение как /И/? ) получится, если в A/R вместо правила Геделя принять несколько более слабую его формулировку:
В исчислении Nkg исключена возможность доказывать Е-преобразования формул, которые могут быть получены только с использованием аксиомы аіб. Отсюда следует справедливость MT2I.
Построение исчислений Ей и MUg , очевидно, не снимает с самой системы Е упреков в определенной неполноте. Надо заметить однако, что потери содержательно оправданных утверждений, связанные с ограничениями на принцип перестановочности для необходимой релевантной импликации, несет не только Е, но и /V. В NR нельзя доказать, например, ни одной из тех формул, за счет которых из Е получались системы Ed, s, . K 10 20-бая из этих систем, дополненная правилом вывода () оказывается сильнее, чем NR. Естественно, что добавляя к МП и ЕЙ одни и те же дополнительные аксиомы, мы будем получать исчисления дедуктивно эквивалентные относительно доказуемых формул языка Ь- . В связи с этим возникает следующая интересная проблема. Можно ли, не затрагивая исходных правил вывода Е и NK , найти такое усиление этих исчислений за счет принятия только одинаковых дополнительных аксиом, чтобы получить в результате исчисления, описывающие одинаковые классы теорем языка L-»
Проблема конрфактических предложений
Любое контрфактичеокое предложение в силу своей формы всегда имплицитно содержит предположение о том, что фактическое состояние дел отлично от того, каким его предлагается мыслить в антецеденте такого предложения. Иными словами, предполагается, что антецеденты таких предложений, взятые в изъявительной форме, являются ложными. Что касается консеквентов, то их ложность также обычно подразумевается. Когда это не так, контрфактичеокое высказывание отроится обычно по схеме: "Если бы (даже) А, то все равно было бы В" или как-нибудь иначе, чтобы указать, что консеквент не ложен. Учитывая, что высказывание, построенное по приведенной схеме, по смыслу совпадает с отрицанием предложения вида: "Если бы А, то не было бы В", можно, не утрачивая оійцности рассмотрения, ограничиться анализом только тех контрфактичеоких условных высказываний, в которых подразумевается ложность обеих составляющих: и антецедента, и консеквента.
Литература, посвященная контрфактическим предложениям, довольно обширна. Одна из причин этого состоит в том, что многие исследователи полагают, что решение проблемы контрфактичес-ких высказываний, связанной с отысканием критериев их истинности, открыло бы возможность для удовлетворительного решения многих важных для методологии науки вопросов. Речь идет, например, о различении случайных и номологических общих предложений, о возможности адекватного формализованного описания диопозиционных предикатов и других аналогичных вопросах .
