Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Некоторые методы решения граничных задач оптики гиротропных сред 11
1.1. Уравнения Максвелла и уравнения связи 12
1.2. Тензор диэлектрической проницаемости и тензоры гирации в гиротропных кристаллах различных классов симметрии 16
1.3. Постановка задачи: распространение света через систему изотропная внешняя среда - анизотропный оптически активный кристалл — подложка20
1.4. Методы решения граничных задач кристаллооптики 23
1.4.1. Ковариантный метод Ф.И. Федорова 25
1.4.2. Метод Д. Берремана 27
ГЛАВА 2. Анализ различных видов уравнений связи и соотношения между тензорами гирации в некоторых общепринятых теориях оптической активности 36
2.1. Физический смысл характеристического уравнения, собственных векторов и собственных значений матрицы Д, получаемой в методе Берремана 36
2.2. Сравнение показателей преломления и параметров поляризации собственных волн в кристаллах аксиальных классов (32, 422, 622) при использовании разных уравнений связи 41
2.2.1. Показатели преломления собственных волн 41
2.2.2. Поляризация собственных волн... 49
2.3. Показатели преломления и соотношения между компонентами тензоров гирации в кристаллах различных классов симметрии при использовании разных уравнений связи 55
2.3.1. Изотропные кристаллы кубических классов 23, 432 55
2.3.2. Одноосные кристаллы планальных классов Зт, 4тт, бтт 57
2.3.3. Одноосные кристаллы примитивных классов 3, 4, 6 59
2.3.4. Одноосные кристаллы инверсионных классов 4, 42т 61
2.3.5. Двуосные кристаллы ромбического класса 222 62
2.3.6. Двуосные кристаллы ромбического класса тт2 64
2.3.7. Двуосные кристаллы моноклинного класса т 65
2.3.8. Двуосные кристаллы моноклинного класса 2 66
2.4. Принципиальное различие в описании оптической активности при использовании разных уравнений связи 67
ГЛАВА 3. Решение ковариантным методом граничных задач о распространении света при наклонном падении в пластинке, вырезанной из анизотропного кристалла 69
3.1. Аналитико - численное решение задачи о распространении света в двуосных кристаллах 70
3.1.1. Общие сведения о двуосных кристаллах 71
3:1.2. Уравнение нормалей для двуосных кристаллов 72
3.1.3. Векторы напряженности магнитного и электрического полей волн, распространяющихся в кристалле 74
3.1.4. Система уравнений для решения граничной задачи 77
3.2. Особенности характеристик отраженного и прошедшего света для двуосных кристаллов 79
3.3. Аналитико - численное решение граничной задачи для одноосных гиротропных кристаллов 83
3.3.1. Общие сведения об одноосных гиротропных кристаллах 84
3.3.2. Векторы напряженности магнитного и электрического полей волн, распространяющихся в кристалле 85
3.3.3. Система уравнений для определения амплитуд отраженных и прошедших волн 87
3.3.4. Аналитическое решение задачи об отражении света от одноосной гиротропной пластинки 90
3.4. Аналитическое решение граничной задачи для одноосных кристаллов планальных классов Зт, 4тт, бтт 92
3.5. Анализ характеристик отраженного и прошедшего света в оптически активных кристаллах 97
3.5.1. Влияние учета многократных отражений на характеристики отраженного и прошедшего света 97
3.5.2. Влияние параметров оптической активности на характеристики отраженного и прошедшего света 100
ГЛАВА 4. Коноскопические картины одноосных и двуосных оптически активных кристаллов 110
4.1. Интенсивность, эллиптичность и азимут света, прошедшего через оптически активную поглощающую пластинку 112
4.2. Анализ выражений характеристик прошедшего света 116
4.3. Одноосные оптически активные кристаллы 118
4.3.1. Пластинка вырезана из кристалла перпендикулярно оптической оси 119
4.3.2. Пластинка вырезана из кристалла наклонно к оптической оси 127
4.3.3. Пластинка вырезана из кристалла параллельно оптической оси 131
4.3.4. Определение величины и знака вращения плоскости поляризации 133
4.4. Двуосные оптически активные кристаллы 136
Выводы 140
Заключение 142
Литература 143
- Тензор диэлектрической проницаемости и тензоры гирации в гиротропных кристаллах различных классов симметрии
- Показатели преломления и соотношения между компонентами тензоров гирации в кристаллах различных классов симметрии при использовании разных уравнений связи
- Особенности характеристик отраженного и прошедшего света для двуосных кристаллов
- Интенсивность, эллиптичность и азимут света, прошедшего через оптически активную поглощающую пластинку
Введение к работе
Актуальность темы. Оптическая активность, или гиротропия, занимает особое место среди физических свойств веществ и как теоретическое, так и экспериментальное изучение особенностей распространения света в гиротропных кристаллах привлекает многих исследователей уже довольно продолжительное время.
Однако оптически активные кристаллы находят пока ограниченное практическое применение несмотря на то, что такие кристаллы обладают целым рядом привлекательных свойств. Это ограничение связано главным образом с трудностями выделения вклада гиротропии в характеристики прошедшего и отраженного света, особенно при косом срезе пластинки и наклонном падении световой волны. Поэтому умение правильно учитывать
При экспериментальных исследованиях оптических свойств, а также при любом применении поляризационной оптики, при использовании монокристальных элементов, при оптической оценке качества чаще всего используют результаты измерений интенсивности, азимута или эллиптичности прошедшего или отраженного света. Чтобы воспользоваться результатами этих измерений, необходимо знание аналитических выражений, описывающих изменение названных величин в зависимости от оптических параметров кристалла и параметров поляризации падающего света. Эти выражения являются результатом решения прямой задачи кристаллооптики. До настоящего времени в экспериментальных и теоретических работах чаще всего пользуются одной из трех теорий оптической активности. Эти теории '*^, отличаются друг от друга тем, что в них явление оптической активности описывается разными уравнениями связи, и при этом по-разному записываются тензоры гирации. До сих пор не существовало критериев применимости тех или иных уравнений связи. Также для всех классов симметрии не была установлена связь между компонентами тензоров гирации, используемых в разных уравнениях связи.
Для исследования оптических свойств анизотропных оптически активных сред необходимо иметь наиболее полную картину проявлений оптической активности в отраженном и проходящем свете. Такие знания нужны, например, для создания многослойных тонкопленочных структур с контролируемой оптической активностью. Параметры гиротропии такой искусственно создаваемой среды можно изменять, используя результаты эллипсометрических измерений и имея решение граничной задачи об отражении и прохождении света через гиротропную двупреломляющую пластинку при наклонном падении.
Многие задачи, связанные с распространением света в различных кристаллах, таких как низкосимметричные, поглощающие, оптически активные, магнитные, решены с использованием ковариантных методов. Но решены они как с учётом многократных отражений, так и без их учёта для случая нормального падения света на кристалл. На основании решения таких задач предложены и реализованы различные методы исследования кристаллов в проходящем свете.
Иначе обстоит дело с исследованием веществ в отражённом свете при наклонном падении. Прежде чем проводить исследования различных объектов, необходимо иметь решение общих прямых задач о распространении света в кристаллических слоях с учётом оптической активности и анизотропии, а также решение аналогичных задач для низкосимметричных кристаллов. Только тогда можно вести речь о решении обратных задач, т.е. таких задач, в которых по исследованию параметров поляризации отражённого света можно определить оптические параметры исследуемого образца.
В связи с этим постановка решения задач о распространении света в оптически активных одноосных и в низкосимметричных кристаллах при наклонном падении является актуальной и своевременной. б Цель работы.
Решение принципиальных задач кристаллооптики : решение граничных задач о распространении света в анизотропных поглощающих оптически активных средах с произвольным набором оптических параметров и анализ различных видов уравнений связи в разных теориях оптической активности.
Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи : — установить взаимосвязь между компонентами тензоров гирации, используемых в различных уравнениях связи при описании оптической активности; - решить в общем случае граничную задачу об отражении и прохождении света через пластинку из одноосного гиротропного кристалла произвольного среза при наклонном падении с учётом многократных отражений и выявить особенности проявления оптической активности; — решить граничную задачу о распространении света через пластинку из двуосного кристалла произвольного среза при наклонном падении с учётом многократных отражений и сравнить особенности характеристик отраженного и прошедшего света при его распространении через двуосные, одноосные и изотропные кристаллы; - описать и выявить закономерности построения коноскопических картин оптически активных одноосных и двуосных кристаллов.
Научная новизна и практическая значимость работы.
Научная новизна работы определяется тем, что — впервые выявлены принципиальные различия в описании оптической активности при использовании точных уравнений связи Кондона- Федорова и приближенных уравнений Борна-Ландау; - впервые рассчитаны дифференциальные матрицы распространения А для оптически активных кристаллов всех классов симметрии. Впервые показано, что их собственные значения являются показателями преломления, а собственные векторы определяют состояния поляризации собственных волн, распространяющихся в кристалле; — впервые в общем виде решена граничная задача для одноосных оптически активных кристаллов всех классов симметрии; - впервые описаны коноскопические картины в оптически активных кристаллах с помощью формул для интенсивности света, прошедшего через пластинку, расположенную между произвольно ориентированными . поляризатором и анализатором.
Проведенные расчеты оптических свойств кристаллов имеют практическое значение, так как открывают возможности использования кристаллов любой симметрии с определенным набором оптических свойств в различных широко применяемых оптических устройствах, в том числе при различных внешних воздействиях. Все полученные результаты могут быть использованы при экспериментальных исследованиях кристаллов с любым набором оптических свойств, что имеет важное практическое значение.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, заключения и списка литературы. Объём диссертации составляет 152 страницы, включая 35 рисунков и 6 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 111 наименований.
Во введении обоснована актуальность темы, рассмотрены цель и задачи работы, а также ее научное и практическое значение.
Первая глава посвящена описанию явления оптической активности (гиротропии). В ней приводятся сведения о тензоре гирации, с помощью которого описывается это явление, и классы симметрии кристаллов, в которых это явление возможно. Рассматриваются наиболее часто используемые теории, с помощью которых описывается явление оптической активности. Рассматриваются уравнения нормалей, полученные при использовании разных уравнений связи. Кратко излагается ковариантный метод Ф.И. Федорова. Подробно описывается метод решения граничных задач с применением 4x4 дифференциальных матриц распространения, предложенный Д. Берреманом. Для получения решения предлагается использовать интегрированный пакет "Mathematica-4.1".
Во второй главе впервые установлена важная связь между компонентами тензоров гирации, используемыми для описания оптической активности в некоторых общепринятых теориях с применением метода Берремана и с использованием пакета "Mathematica-4Л". Показано, что точные уравнения связи Кондона-Федорова, чаще используемые в теоретических работах, принципиально иначе . описывают явление оптической активности по сравнению с приближенными уравнениями связи Борна-Ландау, используемыми в экспериментальных работах. Приведены дифференциальные матрицы распространения А для оптически активных кристаллов всех классов симметрии, полученные с использованием точных уравнений связи и пакета "Mathematica-4.1".
В третьей главе с использованием ковариантного метода приведено общее решение граничной задачи о распространении света в двуосных кристаллах с произвольной ориентацией оптических осей и одноосных гиротропных кристаллах при наклонном падении света с учётом многократных отражений. Получено аналитическое решение такой задачи для кристаллов планальных классов Зт, 4тт, бтт. Проведён анализ влияния оптической активности на параметры отражённого и прошедшего света в одноосных кристаллах.
В четвертой главе рассмотрены соотношения для интенсивности, эллиптичности и азимута света, прошедшего через произвольно ориентированную оптически активную поглощающую пластинку, расположенную между произвольно ориентированными поляризатором и анализатором. Приведены зависимости этих характеристик прошедшего света от угла наклона пластинки. Описаны коноскопические картины одноосных и двуосных оптически активных кристаллов. Показано различие между активными и неактивными, а также между правовращающими и левовращающими кристаллами. На основании анализа соотношений для интенсивности предложен способ определения параметров оптической активности. Расчеты и моделирование коноскопических картин проведены с применением пакета компьютерной математики "Mathematica-4.r\
Основные положения, выносимые на защиту. - Решение общих граничных задач кристаллооптики о распространении света в анизотропных оптически активных средах с помощью ковариантного метода Ф.И. Федорова, метода Берремана и системы компьютерной математики "Mathematica-4.1"; — Принципиальные различия в описании оптической активности при использовании различных уравнений связи в экспериментальных и теоретических работах; - Расчет дифференциальных 4x4 матриц распространения А для оптически активных кристаллов всех классов симметрии; — Описание коноскопических картин одноосных и двуосных оптически активных кристаллов.
Личный вклад автора.
Диссертационная работа является результатом работы автора в Институте кристаллографии им. А.В. Шубникова Российской Академии наук. Использованные в диссертации результаты, опубликованные в соавторстве с Константиновой А.Ф., Трониным А.Ю., Евдищенко Е.А., Рудым К.А., получены при личном участии автора.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на конкурсах научных работ ИК РАН (1994, 1995, 1996, 1998, 2002). Работа на конкурсе 2002 г удостоена премии им. Н.В. Белова; на международных и национальных конференциях : "TheVIIth International Conference on Organized Molecular Films" (Italy, Ancona, Sept. 1995), "СЫгаГ95" (4th International Conference on Chiral, Bi-isotropic and Bi-anisotropic Media, The Pennsylvania State University, State College, USA, Oct. 1995), "IUCr-XVH" (International Union of Crystallography, XVII Congress and General Assembly, Seattle, USA, Aug. 1996), "P/E-metry" (Polarimetry and Ellipsometry, Kazimierz Dolny, Poland, 1996), "Chiral'96" (NATO International Advanced Research Workshop on electromagnetics of chiral, bi—isotropic and bi—anisotropic media, St. Petersburg-Moscow, Russia, Jul. 1996), "Bianisotropics'97" (International Conference and Workshop on electromagnetics of complex media, University of Glasgow, Glasgow, Great Britain, Jun. 1997), "Bianisotropics'98" (7th International Conference on Complex Media, Techniche Universitat of Braunschweig, Germany, Jun. 1998), "Международная конференция по росту и физике кристаллов" (МИСиС, Москва, ноябрь 1998), "РСНЭ-99" (Вторая Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов для исследования материалов, ИК РАН, Москва, 1999), "Lightmetry" (International conference on measurements of light, Purtusk, Poland, 2000), "Bianisotropics'2002" (9th International Conference on Electromagnetics of Complex Media, Cadi Ayyad University, Marrakech, Morocco, 2002).
Статьи, опубликованные в 2002 г в журнале "Кристаллография", удостоены премии издательства "МАИК-Наука / Интерпериодика".
Публикации.
Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 23 работах : 38 - 41, 64, 65, 81, 84 - 93, 106 - 111.
Тензор диэлектрической проницаемости и тензоры гирации в гиротропных кристаллах различных классов симметрии
Решению граничных задач о распространении света через кристаллические пластинки и слоистые среды с учетом многократных отражений посвящено довольно много работ. Эти задачи становятся довольно сложными, а выкладки и аналитические выражения достаточно громоздкими, когда речь идет об оптически активных (гиротропных) средах. К этим трудностям прибавляется еще и сложность описания оптической активности, существование нескольких широко распространенных уравнений связи. Различие при описании оптической активности разными уравнениями связи имеет принципиальное значение, на которое до сих пор не обращалось достаточного внимания. Это можно объяснить тем, что более новые уравнения связи появлялись постепенно, а старые при этом оставались востребованными, особенно в экспериментальных работах, поскольку часто экспериментальные и теоретические работы не очень связаны между собой. Казалось бы, можно пользоваться любыми уравнениями связи, но совершенно очевидно, что необходимо четко установить связь между тензорами гирации, применяемыми в разных уравнениях связи.
Этот вопрос можно решить различными способами. В данной работе мы используем ковариантный метод Ф.И. Федорова, метод матриц Д. Берремана и пакет компьютерной символьной математики "Mathematica-4.1", совместное применение которых дает уникальную возможность в аналитическом виде найти связь между разными описаниями оптической активности для кристаллов различных классов симметрии, а также определить, какие приближения следует использовать при исследовании в каждом конкретном случае.
Здесь E, H — векторы напряженности электрического и магнитного полей, D, В - векторы электрической и магнитной индукций, j - вектор плотности электрического тока проводимости, р — плотность свободных электрических зарядов, с — скорость света в вакууме. В прозрачной среде величины j и р равны нулю. Уравнения (1.1), именуемые уравнениями Максвелла, являются основополагающими уравнениями макроскопической электродинамики и справедливы для электромагнитных полей в любых средах. Эти уравнения приведены во множестве работ, например [1-9]. Поскольку для решения конкретных задач уравнений Максвелла недостаточно, необходимо добавить к ним дополнительные соотношения, связывающие между собой векторы Е и D, Н и В, так называемые материальные уравнения или уравнения связи. Хотя оба этих термина равнозначны, второй из них является более употребительным и более удобным в плане смысловой нагрузки, поэтому далее мы будем пользоваться вторым термином. Уравнения связи дополняют уравнения Максвелла и вместе с ними образуют полную систему уравнений макроскопической электродинамики. Они определяют основные характеристики поля — векторы Е, Н, D, В в каждой точке пространства в любой момент времени. { Уравнения связи могут быть записаны различными способами. В разных работах основное различие в записи уравнений связи обусловлено тем, как учитывается в них оптическая активность (гиротропия). Так как на всех работах, посвященных этому вопросу, остановиться невозможно, приведем здесь только те из них, которые чаще используются при решении различных задач. Рассмотрим, каким образом записываются уравнения связи с учетом оптической активности. В [6] показано, какие уравнения связи дают корректное описание ф? оптической активности. В настоящее время уравнения связи оптически активных кристаллов записываются в виде [6, 10 - 12, 14]. Далее мы будем называть их уравнениями Кондона-Федорова: или в бескоординатной форме [6] : где є, \х — тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости, a — псевдотензор гирации," " означает транспонирование. Уравнения такого же вида по существу близки к уравнениям, полученным в [1, 2,15, 16]. Явление оптической активности можно описать с учетом А . пространственной дисперсии, т.е. если в уравнения связи между векторами индукций и векторами напряженностей полей включить дополнительные члены, линейно зависящие от пространственных производных полей. Такое описание было принято в [4], а затем развивалось в [7, 9, 17]. В быстро переменных полях, которыми фактически являются световые волны, величина диэлектрической проницаемости зависит от параметров волны - циклической частоты со : и волнового вектора где X - длина световой волны, m — вектор рефракции, к — волновое число, п — единичный вектор волновой нормали, п - показатель преломления. Зависимость тензора 8jk от частоты со определяет частотную дисперсию, от волнового вектора к - пространственную дисперсию. Необходимость учитывать зависимость величины диэлектрической проницаемости от со и к, т.е. двух связанных параметров волны, физически объясняется тем, что вектор индукции D определяется не только частотой, но и длиной волны. Известно, что частотная дисперсия значительно сильнее пространственной, и тензор s может быть представлен в виде разложения по степеням к. При рассмотрении большинства практически важных задач можно ограничиться только двумя-тремя первыми членами [9]. При таком подходе уравнения связи записываются в виде Dj = (sjk + і ejkl gim nm) Ek , Bj = ijkHk, (1.5) где ejki_ тензор Леви-Чивита, gim — псевдотензор гирации, nm — направляющие косинусы волновой нормали. В дальнейшем будем называть (1.5) уравнениями Борна-Ландау. В (1.5) первый член ряда определяется только частотной дисперсией, а второй учитывает пространственную дисперсию. Согласно [11, 12] эти уравнения следует считать приближенными.
Показатели преломления и соотношения между компонентами тензоров гирации в кристаллах различных классов симметрии при использовании разных уравнений связи
Если считать, что временная зависимость компонентов полей имеет вид ехр(— і со f), то можно записать G = е а Г, где Г зависит только от пространственных координат. Тогда из (1.22) и (1.25) получается: Равенство (1.27) - это краткая матричная запись системы шести дифференциальных уравнений первого порядка. Будем рассматривать однородные плоские волны. Поскольку плоскость падения I совпадает с плоскостью xz, у-компонента волнового вектора падающей волны ку = 0, и всякие изменения компонентов полей в направлении у отсутствуют, т.е. д/ду — 0. Зависимость компонентов полей от х имеет вид ехр{\ кх х), поэтому д/дх = і кх , где кх - х-компонента волнового вектора падающей волны {кх = со / с = 2 % % I X, = щ Sin ф,). Тогда оператор ротора упрощается: В этом случае система уравнений (1.27) содержит два линейных однородных алгебраических и четыре дифференциальных уравнения. Разрешив алгебраические уравнения относительно компонент поля Ez и Hz и подставив полученные выражения в дифференциальные уравнения, получим систему четырех линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных компонент полей Ех, Еу, Нх, Ну : где \/ = [Ех, Ну, Еу, -Нх] - обобщенный 4x1 вектор-столбец поля, А — дифференциальная 4x4 матрица распространения для данной среды. Очевидно, что элементы матрицы А являются функциями элементов оптической 6x6 матрицы М и направления волновой нормали падающей волны, т.е. A =/(s, JJ., р, р , % в, у/, фі, п,) и, естественно, вид матрицы А существенно зависит от того, каким образом записаны уравнения связи. Уравнение (1.29) - волновое уравнение для обобщенного 4x1 вектора поля \/. Заметим, что матрица А представляет самостоятельный интерес, и обсуждение ее вида и свойств для кристаллов различных классов симметрии является предметом отдельного рассмотрения. Мы остановимся на подробном исследовании матриц А для оптически активных немагнитных кристаллов различных классов симметрии в Главе 2.
В [20] предлагается интегрировать (1.29), разбив анизотропную среду толщины d на слои малой толщины, в пределах каждого из которых элементы матрицы А не зависят от z. В результате для слоя толщины h получается решение вида:
Матрицу L(/z) = ехр (і со h A / с), описывающую преобразование поля падающей световой волны при ее распространении через пластинку, называют матрицей слоя. Проблема дальнейшего решения задачи состоит в нахождении матрицы слоя Ц/г). Так, в [20] предлагается раскладывать функцию L(/z) в ряд по степеням А. Очевидно, что такое разложение не является точным. В [37] матрица слоя L(/z) находится, используя преобразование подобия. Для этого численно определяются для каждого слоя собственные значения и собственные векторы матрицы А, которые характеризуют распространяющиеся в слое плоские волны при падении на него волны с заданным вектором волновой нормали. Предлагается также для нахождения аналитического вида преобразования подобия использовать соотношения ортогональности. Этот метод достаточно громоздкий и требует значительных вычислительных ресурсов. Для точной процедуры вычисления матрицы слоя Ъ(К) в [23] предлагается воспользоваться теоремой Сильвестра. После того как известна матрица слоя, переходят к непосредственному решению граничной задачи о распространении света через слоистую систему [38-41].
Покажем, как, используя все этапы метода Берремана и пакет "Mathematica-4.1", мы предлагаем решать граничные задачи о распространении света через кристаллическую пластинку. Следует сразу отметить, что в рамках пакета "Mathematica-4.1" возможны два принципиально разных варианта решения задачи. Первый - когда делаются символьные преобразования на каждом этапе и получаются соответствующие аналитические выражения. Второй - более привычный для программирования, когда нужные для решения переменные определяются как функции исходных параметров, а вычисления, в том числе и алгебраические преобразования, могут быть произведены позже, после задания параметров. В этом и состоит основное преимущество пакета "Mathematica-4.1" над традиционными языками программирования. ,ч Встроенная в пакет логика алгебраических и символьных преобразований позволяет задавать не только функции от численных параметров, но и г функции от алгебраических преобразований. Задается алгоритм вычисления, и получается как бы гибрид между символьным и численным программированием. Подчеркнем также, что некоторые функции пакета, использованные нами при расчетах, задействованы только начиная с версии 4.1, т.е. достаточно давно существующие версии пакета 2.0 и 3.0 не позволяют в полной мере реализовать разработанный нами метод При применении метода Берремана большое значение имеет конкретная форма записи уравнений связи. На сравнении уравнений связи остановимся в следующей главе.
Особенности характеристик отраженного и прошедшего света для двуосных кристаллов
Как было сказано в Главе 1, граничные задачи кристаллооптики можно решать и их действительно решают различными способами. Ковариантный метод Ф.И. Федорова в принципе позволяет решать любые задачи, и многие задачи уже были решены. Поскольку весь ход решения записывается в аналитическом виде, имеется возможность проследить за каждым членом в полученных выражениях и за их влиянием на характеристики отраженного и прошедшего света.
Метод Берремана также позволяет решать любые граничные задачи, но при этом аналитически можно только проанализировать матрицу А и выражения для показателей преломления и эллиптичностей собственных волн, что и было сделано в Главе 2. Далее задача решается только численно с помощью расчетов на ЭВМ.
Обычно пользуются каким-либо одним методом и какими-то одними уравнениями связи. Именно поэтому, как было показано в Главе 2, произошла путаница, когда одно и то же явление оптической активности принципиально описывается по-разному.
Хотя многие граничные задачи кристаллооптики уже решены, до сих пор наиболее сложные решения не были получены. Поэтому в этой главе рассмотрим, как нам кажется, две важные общие задачи: распространение света при наклонном падении в двуосных кристаллах при общей ориентации оптических осей; распространение света при наклонном падении в оптически активных одноосных кристаллах. Целью решения этих задач является определение комплексных амплитуд и фаз преломленных, отраженных и прошедших волн. Это дает возможность вычислить коэффициенты матриц отражения и пропускания кристаллической среды, а также параметры поляризации соответствующих волн (их азимуты и эллиптичности) как функции оптических параметров: показателей преломления окружающих пластинку сред, ее показателей преломления, углов ориентации оптической оси (осей), компонент тензора гирации пластинки и т.д.
Двуосные кристаллические пластинки (ромбической, моноклинной и триклинной сингоний) особенно трудны для исследования, т.к. характеризуются большим числом оптических параметров по сравнению с одноосными и тем более изотропными пластинками. Это приводит к значительному усложнению соотношений, описывающих распространение света в этих кристаллах.
Существует немало работ, посвященных решению соответствующих задач [5, 21, 57 - 63]. Хотя в [5] приведены соотношения для волн, распространяющихся в таких кристаллах, граничная задача при наклонном падении света там не была решена. В [57 - 60] решены задачи об отражении света на границе изотропная среда - двуосный кристалл при наклонном падении как из изотропной среды, так и из кристалла, рассматривались случаи ориентации оси второго порядка перпендикулярно поверхности или только случаи нормального падения света. В [61, 62] предложен возможный путь решения этой задачи с учетом многократных отражений. В [63] предложен другой вариант решения, но не приведены выражения для полевых векторов волн, распространяющихся в двуосном кристалле, а численный пример матрицы отражения сделан для пластинки из одноосного прозрачного кристалла.
Однако, насколько нам известно, в явном виде задача для общего случая распространения света через пластинку из двуосного кристалла с произвольной ориентацией оптических осей при наклонном падении с учетом многократных отражений не была решена. Поэтому рассмотрим здесь решение данной задачи, основные положения которого опубликованы нами в [64, 65]. Предполагается, что пластинка расположена между двумя разными изотропными, в общем случае поглощающими, средами. При решении использован ковариантный метод, предложенный в [5].
Интенсивность, эллиптичность и азимут света, прошедшего через оптически активную поглощающую пластинку
Проиллюстрируем на примерах, какие особенности наблюдаются при исследовании двуосных пластинок по сравнению с одноосными и изотропными.
Все расчёты проведены при общих значениях следующих величин (если это не оговорено особо) : длина волны падающего света X = 6328 А, угол падения ф{ = 70, показатели преломления внешней среды и подложки щ = 1 и п, = 4 - і 0.022, соответственно, толщина двуосной пластинки d = 800 А, угол ориентации и3 относительно нормали к пластинке 0= 60, у/= 30.
Как известно, наиболее информативными являются зависимости характеристик отраженного света от угла поворота q (0 р 2л) пластинки вокруг нормали. Такие зависимости для двуосной пластинки показаны на рис. 3.2. Для сравнения на этом же рисунке приведены расчеты для пластинки из одноосного и изотропного кристалла. Как и следовало ожидать, зависимости Rss так же, как Rpp мало отличаются друг от друга для двуосного и одноосного кристаллов. Видно, что период кривой Rss равен ТІ, НО в двуосных кристаллах кривая зависимости R„ смещена относительно р = 0, п, 2тг. Наиболее существенное различие можно заметить на зависимостях Rps и Rsp . В двуосной пластинке Rps вообще не имеет периода, в то время как зависимость для одноосной пластинки имеет период, равный п. Как и должно быть, для изотропного кристалла величина Rss отлична от нуля и остаётся постоянной при изменении р, а величины Rps и Rsp при этом равны нулю. одноосного п\= П2 = п0 = 2.822, щ = пе = 3.149 и изотропного щ = пг — щ = 2.822."
Особенно заметно отличие двуосных пластинок от одноосных проявляется при исследовании их с иммерсионной жидкостью. На рис. 3.3 приведены зависимости недиагонального коэффициента Rsp и эллиптичности отраженного света кгр при р- поляризации падающего света для пластинки из двуосного кристалла от угла (р в случае, когда показатель преломления внешней среды щ меняется от щ = 1 до п,г« щ . Расчеты показали, что по мере приближения значения показателя преломления внешней среды к величине меньшего показателя преломления двуосной пластинки существенно меняются все параметры отраженного света. Особенно ярко влияние показателя преломления внешней среды проявляется при исследовании эллиптичности. Из рисунка 3.36 видно, что, варьируя показатель преломления иммерсионной жидкости, можно получать любую величину эллиптичности отражённого света вплоть до единицы, т.е. круговую поляризацию.
На рис. 3.4 показаны зависимости диагональных Rpp, Rss и недиагональных Rspy Rps коэффициентов отражения от угла падения света ф{ для пластинок из двуосного и одноосного кристаллов при р- и s-поляризации падающего света. Видно, что эти зависимости не позволяют различить двуосный и одноосный кристаллы при их произвольной ориентации относительно плоскости падения т.е. при срф 0. В случае р=0 независимо от угла падения и поляризации падающего света недиагональные коэффициенты отражения для двуосного кристалла отличны от нуля, а для одноосного равны нулю.
При изменении длины волны X падающего света при учёте многократных отражений параметры отраженного света существенно изменяются, если толщина пластинок d X. Для иллюстрации на рис. 3.5 представлены зависимости азимутов %rj , %гр и эллиптичностей krs , кгр отражённого света для пластинок из двуосного кристалла при s— и р-поляризации падающего света от длины волны X.
Хорошо видно, что при увеличении толщины пластинки сильно меняется характер кривых. При изменении длины волны значения азимута и эллиптичности изменяются в широком диапазоне, причём более существенные изменения происходят при р- поляризации падающего света.
На рис. 3.6 представлены зависимости диагональных коэффициентов отражения по интенсивности от угла падения света для пластинок из двуосного (а) и изотропного (б) поглощающих кристаллов. Видно существенное различие между отражением света от анизотропной и изотропной пластинок при малых углах падения: в изотропной пластинке коэффициенты Rpp и Rss по величине совпадают, в то время как в двуосных Rpp и Rss различны, что и указывает на анизотропию данного кристалла.
Рассмотрим теперь общее решение граничной задачи для одноосных оптически активных кристаллов классов 3, 4, б, 32, 422, 622, Зт, 4тт, бтт. Многие вопросы, связанные с распространением света в анизотропных гиротропных кристаллах при нормальном падении рассмотрены в [18, 26 -31]. До сих пор граничные задачи для оптически активных кристаллических сред были решены при нормальном или наклонном падении света для изотропных или для одноосных кристаллов при частных случаях ориентации оптической оси (чаще всего при ориентировке оптической оси параллельно или перпендикулярно поверхности раздела), или из-за большой сложности и громоздкости решений без учета многократных отражений [68 - 80].
Мы решим в общем виде граничную задачу для кристаллов примитивных классов 3, 4, б, рассматривающую отражение и прохождение наклонно падающей под произвольным углом световой волны для идеальной плоскопараллельной пластинки из одноосного оптически активного кристалла с произвольной ориентацией оптической оси с учётом многократных отражений световых волн от верхней и нижней граней [81].
Ясно, что при ci2i = — oti2 = 0 это решение пригодно для кристаллов классов 32, 422, 622. При an = a21 — а3з = 0 это же решение пригодно для кристаллов классов Зт, 4тт, бтт (см. Таблицу 1.3). Т.е. это решение пригодно практически для всех классов одноосных кристаллов.
Как уже говорилось вначале, решение проведем с использованием ковариантного метода Ф.И. Федорова. Поэтому приведем некоторые необходимые общие сведения [6].
Похожие диссертации на Решение принципиальных задач в теории оптической активности кристаллов
