Содержание к диссертации
Введение
1. Уединенные волны в одномерных, дискретных моделях физики конденсированного состояния 8
1.1 Непрерывные модели солитонов в дискретных одномерных системах 8
1.2 Барьер при смещении уединенной волны в дискретной среде 14
2. Моделирование эффектов дискретности и энгармонизма в одномерных системах. Постановка задачи 31
2.1 Модель ФК с ангармоническим взаимодействием частиц цепочки 31
2.2 Высшие порядки континуального приближения при описании нелинейных возбуждений большой амплитуды 32
3. Солитоны в ангармонической цепочке модели Френкеля-Конторовой 44
3.1. Пиннинг солитонов в ангармонической цепочке модели Френкеля-Конторовой 44
3.2. Пиннинг солитонов в цепочке спинов модели Гейзенберга с плоскостью легкого намагничивания 49
4. Сопоставление численных расчетов нелинейной динамики ангармонической цепочки Френкеля-Конторовой с ее аналитическими решениями 54
4.1. Описание численного моделирования солитонов 54
4.2. Фазовый портрет модели Френкеля-Конторовой с ангармоническим взаимодействием атомов цепочки 62
Выводы 79
- Барьер при смещении уединенной волны в дискретной среде
- Высшие порядки континуального приближения при описании нелинейных возбуждений большой амплитуды
- Пиннинг солитонов в цепочке спинов модели Гейзенберга с плоскостью легкого намагничивания
- Фазовый портрет модели Френкеля-Конторовой с ангармоническим взаимодействием атомов цепочки
Введение к работе
Уединенные волны - солитоны являются ключевым понятием при описании большого числа явлений физики конденсированного состояния, структурных фазовых переходов, молекулярной подвижности в наноструктурах, взаимодействия несоизмеримых фаз, кинетики дислокаций. Солитоны переносят массу, заряд, магнитный момент или энергию какого-либо иного возбуждения среды, теоретически, без дисперсии, присущей обычным волновым импульсам [1,2].
Для описания этих явлений широко используется модель Фреикеля-Конторовой (ФК), представляющая собой одномерную бесконечную цепочку атомов, связанных гармоническим взаимодействием и помещенных в периодический рельеф кристаллического поля. Модель имеет множество приложений, среди которых солитоны в Джозефсоновских контактах [3], перенос ионов в биологических системах [4], солитоны в магнетиках [5-7] и многие другие приложения, из которых модель дислокации в дискретном кристалле остается наиболее изучаемой [8,9].
Солитоны стабильны при взаимодействии друг с другом и с малоамплитудными волнами, несут важную информацию о структуре и динамике нелинейной среды, определяют процессы энергообмена, кинетические, термодинамические, механические и другие свойства твердого тела. В условиях сильного внешнего воздействия на систему без предсказания и анализа солитонных состояний невозможна успешная интерпретация экспериментальных данных. Они играют решающую роль в формировании пластических и прочностных свойств кристаллов, магнитных, структурных, неоднородных сверхпроводящих состояний, состояний жидких кристаллов, источников катастроф и фазовых переходов в физике конденсированного состояния.
В континуальном пределе динамика возбуждений в этой модели описывается уравнением Синус-Гордона (СГ) [1,2]. Исследования последних лет связаны, в основном, с анализом поправок к этому уравнению, вызванных реальной дискретностью системы [9]. Проявлением ее является, в частности, пиннинг солитоноа (барьер при смещении), определяемый разностью энергий конфигураций с атомом и связью в центре симметрии солитона. Наряду с учетом дискретности, рассматривается также важнейшая роль, которую играет реальный ангармонизм межатомного взаимодействия. Показано, что он обычно определяет отклонения от классических решений ФК, что существенно влияет на структурные, кинетические и термодинамические свойства перечисленных выше систем [1]. Существующие теоретические подходы основаны на континуальных приближениях, которые позволяют учесть дискретность и ангармонизм как малые поправки к решениям модели ФК. Поэтому с
5 помощью данных подходов невозможно корректно оценить энергию пиннинга солитонов в цепочке дискретных частиц кристалла, связанны: ангармоническим взаимодействием [9].
Следовательно, нужен новый подход, основанный не на малых ангармонических поправках к известным решениям. В данной диссертационной работе поставлена актуальная задача, состоящая в создании такого подхода при описании нелинейных возбуждений физики конденсированного состояния в рамках одномерных дискретных моделей среды с учетом энгармонизма межатомного взаимодействия.
Целью данной работы является разработка метода математического описания дискретности и ангармонизма нелинейных явлений в конденсированной фазе с помощью высших порядков континуальных приближений для расчета основных параметров уединенной волны: амплитуды, ширины и энергии пиннинга солитона.
Основные задачи исследования:
1. Получить аналитические выражения для оценки энергии пиннинга солитонов в
ангармонических и дискретных моделях нелинейных возбуждений в физике
конденсированного состояния. Проверить их в численном эксперименте.
2. Получить решения уравнения движения для волн постоянного профиля в модели ФК
с учетом ангармонизма взаимодействия в цепочке, которые существенно отличаются от
известных решений, учитывающих лишь малые ангармонические поправки. Исследовать
фазовые портреты найденных решений.
Отработать методику численного экспериментального определения энергии пиннинга солитонов с учетом ангармонического взаимодействия в цепочке атомов и в системе спинов ферромагнетика Гейзеиберга.
Дать аналитическую оценку энергии пиннинга солитонов в ферромагнетике Гейзенберга. Аналитические расчеты проверить в численном эксперименте. Исследовать роль ангармонизма взаимодействия спинов,
Разработать методику аналитического учета дискретности с помощью высших порядков континуальных приближений. Применить ее к одномерной дискретной цепочке модели Ферми, Пасты, Улама (ФПУ) для определения ширины и амплитуды уединенных волн, а также для оценки энергии пиннинга солитонов как растяжения, так и сжатия в цепочке дискретных частиц, связанных ангармоническим взаимодействием, в модели ФК,
Научная новизна и достоверность результатов работы.
Впервые получено простое аналитическое выражение для энергии пиннинга солитонов в ангармонических дискретных системах. Аналитические расчеты проверены с помощью численных экспериментов, которые демонстрируют хорошее совпадение с теорией, Впервые количественно определено, как, в отличие от классической теории ФК, ангармонизм приводит к радикальному отличию в поведении солитонов сжатия и растяжения. На основе полученных аналитических выражений можно проводить расчеты спектра элементарных нелинейных возбуждений и их вклада в термодинамические свойства нелинейных систем. В рамках этого подхода рассмотрена спиновая динамика ферромагнетика Гейзенберга, для которого взаимодействие спинов существенно отличается от гармонического в цепочке ФК. Получены новые типы решений в виде уединенных волн и построены их фазовые портреты.
Достоверность полученных результатов подтверждается также литературными экспериментальными данными о нейтронном рассеянии и теплоемкости ферромагнетика Гейзенберга CsNiF3.
Защищаемые научные положения.
1. Аналитические выражения для оценки энергии пиннинга солитонов в
ангармонических и дискретных системах физики конденсиронанного состояния, которые
проверены в численном эксперименте.
Решения уравнения движения для волн постоянного профиля в модели ФК с учетом ангармоиизма взаимодействия в цепочке, которые существенно отличаются от известных решений, учитывающих лишь малые ангармонические поправки.
Фазовый портрет найденных решений модели ФК с ангармонической цепочкой, который претерпевает качественное изменение при найденном в работе критическом значении параметра поля и новые типы решений модели.
Результаты численного эксперимента по определению величины энергии пиннинга солитонов цепочки дискретных частиц кристалла, связанных ангармоническим взаимодействием и цепочки спинов ферромагнетика.
Аналитическая оценка энергии пиннинга солитонов в ферромагнетике Гейзенберга. Результаты численного эксперимента. Учет ангармоиизма взаимодействия спинов способен существенно изменить свойства модели.
6. Метод аналитического учета дискретности с помощью высших порядков
континуальных приближений в приложении к одномерной дискретной цепочке модели Ферми,
Пасты, Улама (ФПУ) и ангармонической цепочке модели ФК,
7 Практическая значимость работы. Учет дискретности и ангармонизма в рассмотренных моделях позволяют более адекватно описывать явления переноса локальных возбуждений в конденсированных средах в связи с процессами пластической деформации, магнитодинамики, адсобции и катализа и др. Данный подход позволяет повысить точность описания нелинейных явлений в твердом теле, таких, как движение дислокаций, спиновые волны в магнетиках, перенос возбуждений в биологических макромолекулах, структурные переходы, топохимических реакции и др. На основе полученных результатов можно более точно проводить расчеты спектра элементарных нелинейных возбуждений и термодинамических свойств нелинейных систем.
Полученные результаты, новизна положений, развиваемых в диссертации, и ее научная и практическая значимость позволяют утверждать, что в работе решена практически важная задача описания динамики нелинейных возбуждений в конденсированных средах с учетом их дискретности и ангармонизма, имеющая существенное значение для корректного описания многих нелинейных явлений физики конденсированного состояния.
Структура работы
В 1- ой главе работы - литературном обзоре имеются 2 параграфа. В 1-ом параграфе даны уравнения, которые описывают в континуальном виде свойства дискретности и ангармонизма атом-атомных связей одномерной цепочки атомов. Второй параграф дает представление о высоте возникающего из-за дискретности потенциального барьера при смещении уединенной волны в модели ФК и показывает, что необходим учет ангармонизма связей не в виде малых поправок к модели ФК, а с помощью решения следующих уравнений. Во второй главе в первом параграфе сформулированы эти дискретные и непрерывные уравнения, которые передают дискретные и ангармонические свойства реальных систем физики конденсированного состояния. Во втором параграфе рассмотрены высшие порядки континуальных приближений при описании солитонов в дискретной цепочке модели ФПУ, с произвольным атом-атомным взаимодействиям. Два параграфа третьей главы посвящены, соответственно дислокациям ФК и динамике спиновых волн намагниченности. Результаты 3-ей главы сопоставлены с численным экспериментом в 4-ой главе, во втором параграфе которой построен фазовый портрет модели, обсуждается влияние различных порядков континуальных приближений дискретности и ангармонизма на решения модели ФК.
Барьер при смещении уединенной волны в дискретной среде
В этом параграфе охарактеризовано современное состояние теории и уровень проведения численного моделирования динамики уединенных волн в кристаллах, в которых воздействие всей массы атомов кристалла на отдельную цепочку атомов моделируется средним периодическим синусоидальным потенциальным рельефом (модель Френкеля-Конторовой (ФК)). Гамильтониан дискретной цепочки в модели Френкеля-Конторовой (ФК) с учетом ангармонизма атом-атомного взаимодействия [1] имеет вид Первые три слагаемых выражения (1.5) есть, соответственно, кинетическая и потенциальная энергии частиц цепочки, т- масса частицы, иа— ее координата, t - время, к -жесткость связи между соседними частицами. 1А о- амплитуда периодического потенциала, в поле которого находится цепочка, b - период потенциала, G - постоянная ангармонизма. Суммирование ведется по всей бесконечной цепочке. Введем обозначения: а = 4я А /кЬ -безразмерная амплитуда кристаллического потенциала, Фп= 2лн „ /6 -фаза смещения п-го атома цепочки относительно п-го минимума кристаллического потенциала, x-l(kJm) безразмерное время, Н=Н\а/А о- перенормированный гамильтониан цепочки, r Gb!{2nk) -безразмерная постоянная ангармонизма. Отличие наших обозначений от обозначений в [1] в том, что в [1] веден параметр взаимодействия g=l/a, который является безразмерной жесткостью упругих атом-атомных связей в цепочке. Кроме того, Энергия /7 в наших безразмерных единицах в а раз больше, чем в работе [I]. Вычисление энергии пиннинга здесь требует расчета энергии дискретного солитона. Огромная заслуга в создании теоретического метода такого расчета принадлежит П.Баку и В.Л.Покровскому [102], Энергия солитона ищется в виде ряда Фурье для удвоенной суммы упругих энергий всех атомов цепочки модели ФК. При Г=0 в простейшем приближении она- где Ф(п) -дискретные значения профиля солитона уравнения «Синус-Гордона» при z= п, под знаком суммы квадрат первой производной функции этого профиля. Первое слагаемое правой части - половина нулевого коэффициента ряда Фурье. Величина этого слагаемого есть энергия солитоиа уравнения «Син ус-Гордон а». Амплитуда следующего (і=1) слагаемого - половина глубины потенциала энергии пиннинга р - 64 л2 ехр(-тіг/«І/2). Она, практически, точно определяет найденную численно с помощью итерационной процедуры энергию пиннинга. Остальными слагаемыми ряда Фурье в (1.6) можно пренебречь, так как они экспоненциально быстро убывают с ростом і. Таким образом, из суммы (1.6) оценка энергии пиннинга модели при Г= 0 известна с хорошей точностью.
Для дискретной модели ФК ее континуальное приближение не может описать экспоненциально малое расщепление траекторий, ответственное за пиннинг и устойчивость кийков [9]. Однако возможно использовать непрерывные решения Ф(г) для вычисления дискретных величин [103], например, с помощью выражения (1.6). Для получения требуемых непрерывных решений, авторы многих работ [9,104,111-116] моделируют такие континуальные уравнения, в которых подобрана дисперсионная составляющая уравнения взаимодействия, передающая дискретные свойства частиц модели. В этих работах ставится задача найти разумные границы таких непрерывных приближений к решениям дискретной системы, которые приводили бы к уточнению в оценке пиннинга (1.6). Особое значение эти исследования приобретают для различных ангармонических атом-атомных взаимодействий, которые являются более реалистичными для естественных физических природных объектов [1,5-7,116,118-121]. В уравнении для солитоноподобных возбуждений по сравнению с уравнением СГ здесь также появляется дополнительное слагаемое, связанное с энгармонизмом. Аналитическое исследование [122] в рамках теории возмущений в едином подходе дисперсионной составляющей, связанной с дискретностью, и ангармонического вклада в уравнение движения не стало количественным уточнением расчета энергии пиннинга (1.6). Вычисление поправок, вносимых возмущением в виде ангармонического и дисперсионного вкладов, однако, дало качественный результат для дальнейших исследований пиннинга. Отличие пиннинга кинков и антикинков связано с различным влиянием на них дискретности из-за их различной ширины в ангармонической цепочке по сравнению с цепочкой модели ФК [122]. Аналогичным образом поправка от дисперсионного слагаемого уравнения движения приводила к поправке ширины солитона, которая, как следует из работ в свою очередь, определяла поправку энергии пиннинга, связанную с учетом дискретности системы [122]. Следовательно, энергия пиннинга существенным образом определяется амплитудой и шириной солитона, Недостатком в этих расчетах оказался лишь сам метод расчета поправок как начальных слагаемых разложения в ряд Тейлора волнового профиля при переходе от дискретной модели к непрерывной, что не могло привести к существенным изменениям точности оценки величины энергии пиннинга. В нашей работе будет показано, что в сильно ангармонической цепочке спинов ферромагнетика амплитуда потенциала пиннинга может быть на порядки выше, чем в обычной модели ФК [5-7]. Критика [9] подходов, которые основаны на обычном разложении непрерывной функции профиля волны возбуждения Ф(л+1) вблизи Ф{п) в ряд Тейлора при переходе в непрерывный предел с учетом нескольких начальных производных этого ряда [1,113-115, 122], привела к дальнейшему развитию метода Ф. Розенау. Было показано, что никакое континуальное приближение не приводит к пиннингу ни в каком высшем порядке разложения. Сравнение динамики и профиля найденного солитона с дискретной моделью подтвердило правильность расчетов, основанных на квазиконтинуальном приближении [9] . Для уточнения энергии пиннинга в рамках теории возмущений в других работах использовали метод разделения дискретного решения на медленную и быстро осциллирующую части [10, 104]. Учет дискретности при переходе в континуальный предел проводился, во-первых, с помощью умножения непрерывных переменных на Фурье разложение дельта-функции b(z-n), а во-вторых, учетом высших степеней слагаемых разложения в ряд Тейлора, ответственных за дисперсионные свойства кинка [10, 11, 111].
В некоторых последующих работах ограничивались последним пунктом, то есть разложением в ряд Тейлора в непрерывном пределе, подтверждая вывод о недостаточности применения самого глубокого степенного разложения для оценки экспоненциально малой величины энергии пиннинга [9,10, 83-94,103,106,107, 1 12-116]. Наиболее успешным в оценке пиннинга существенно дискретных солитонов оказался следующий оригинальный подход [104]. Дискретная задача была переформулирована в задачу для непрерывной функции фазы Ф(г), величина которой была умножена на Фурье разложение дельта-функции 5(z-«), таким образом, что величина фазы могла изменяться практически только при целочисленном значении шага аргумента z. В результате приближения первого порядка теории возмущений форма солитона определялась как решение уравнения СГ с эффективным потенциалом внешнего поля. Задача приняла вид решения двойного уравнения СГ со знаком минус (ДСГ). Отличие найденной величины энергии пиннинга от точного численного значения даже возрастало при уменьшении амплитуды внешнего поля а. Это подтвердило факт недостаточности имеющегося континуального подхода в оценке пиннинга [104]. Экспериментальное наблюдение солитонов в магнетике привело к их теоретическому исследованию и численному моделированию [10, 71-78]. Было обнаружено, что солитоны перестают существовать при увеличении внешнего магнитного поля сверх критической величины [5-6]. Этот результат не следовал из приближения к описанию магнетика с помощью континуального уравнения СГ. Последнее обстоятельство стало для нас одним из направлений на построение уточненной модели пиннинга спиновых волн в магнетике. Новая каноническая переменная Х- центр масс солитона была введена в работах [111-115], и был обобщен на дискретную решетку метод теории поля, в котором солитон выступал в качестве дополнительной канонической степени свободы системы [1,111-115]. Такой подход также позволил оценить высоту барьера потенциала Пайерлса-Набарро, частоту колебаний солитона в этом потенциале и отличие энергии солитона дискретной модели от солитона в континуальном пределе, В [113-114] были введены канонические координаты Q и импульсы Р, связанные с координатой центра масс солитона X = z. Гамильтониан цепочки в этих координатах имел вид Ф„(г) - односолитонное решение непрерывного СГ уравнения и L= 1/а . Для того чтобы сохранить исходное число степеней свободы в системе, были введены два дополнительных условия связей q п, р л - координата и импульс атомов в цепочке.
Высшие порядки континуального приближения при описании нелинейных возбуждений большой амплитуды
В этом параграфе аналитически исследованы решения уравнения движения в виде уединенных волн в одномерной решетке с произвольными ангармоническими потенциалами межатомного взаимодействия, в том числе типа Морзе, Лен нард—Джонса, Тоды и др. Рассмотрены высшие порядки континуального и квазиконтииуального приближения. Показана их сводимость друг к другу. Проведено сравнение различных приближенных решений с точным решением для решетки Тоды. Показано, что найденное в данной работе решение точнее полученных ранее. Справедливость данного решения для других межатомных потенциалов проверена с помощью расчета динамики на ЭВМ. Определены условия применимости континуальных приближений различного порядка, для них показана невозможность существования солитона растяжения в ангармонической цепочке с реалистическим потенциалом взаимодействия. В различных приближениях найдены зависимости амплитуды и ширины солитона от его скорости, а в случае действия внешней нагрузки найдена зависимость ширины солитона от равномерной статической деформации цепи. Найдено решение уравнения динамики (1.4) для случая бегущих волн с переменной х Vt, где V — фазовая скорость волны, t — время. Введены безразмерные величины: деформацию r=R7h0, где ho - равновесная длина связи в недеформированной цепочке, и безразмерную силу p(r) = Т (ryfkhf,), где k = -Т (0) жесткость связи в недеформированной цепочке. Обозначим v = (V/ [С0 (1 + req)])2, где С0= ho(k/in) - скорость звука в недеформированной цепи; rcq - деформация, обусловленная постоянной внешней нагрузкой; (1 + геЧ) = h/h0] hi- равновесная длина атом-атомной связи. Тогда уравнение бегущих волн запишется із виде Из него следует также уравнение Сила р (г) и связанный с ней потенциал межатомного взаимодействия U (г) могут быть совершенно произвольного типа. В данной работе будем рассматривать следующие потенциалы межатомного взаимодействия, приведенные с помощью деления на kho к безразмерному виду: потенциал Морзе где 6 —безразмерная постоянная потенциала. В формулах (2.8), (2.9) величина F— (безразмерная) внешняя нагрузка, приложенная к концам цепи. Кроме того, мы рассмотрим цепочку с кубическим ангармонизмом где7 - безразмерная постоянная энгармонизма. Кубический потенциал качественно правильно передает «разлетное» состояние нагруженной цепочки. Поэтому введение величины F здесь было бы излишним дополнением по сравнению с выражениями для остальных потенциалов.
Вычитая из (2.6) уравнение (2.7), умноженное на h"/12, и опуская шестую и более высокие производные величины р в правой части уравнений (2.6) и (2.7), получим уравнение Оно совпадает с известным первым квазиконтикч альным приближением Коллинза, полученным им другим способом. Если в уравнении (2,6) в правой части оставить два члена, то получим приближение которое по точности эквивалентно (2.12). Первьш слагаемым, которым мы пренебрегаем при получении уравнения (2.12), является величина [(h4/360) - (h(4,/144)] р(6) = - h4(p(67240). При получении уравнения (2.13) пренебрегли величинами, начиная с h ((pt6V360). Сравнивая эти две величины, а также последующие отброшенные при получении уравнений (2.12) и (2.13) слагаемые, нетрудно увидеть, что они одного порядка по модулю и противоположны по знаку. Отсюда следует, что точное решение лежит, по-видимому, между этими двумя приближениями. Из уравнений (2.6) и (2.7) можно получить более точное уравнение , вычитая из (2,6) уравнение (2.7), умноженное наЬ /30. При этом мы пренебрегаем слагаемыми с производными величины р восьмой и более высоких степеней, а слагаемые с шестой производной величины р вза и м о v н ичтожаются Данное уравнение аналогично полученному во втором квазиконтинуальном приближении в работе М.Коллинза, где для циклических граничных условий приводятся графические результаты численных расчетов решения (2.14). В настоящей работе предлагаются аналитические решения уравнений (2.12)-(2.14) и их сравнение с точным решением. Дважды проинтегрировав (2.12), (2.13) и (2.14), получим где (а), (б), (в) соответствуют приближениям (2.12), (2.13) и (2,14); req - деформация статически растянутой или сжатой постоянной внешней нагрузкой цепочки. Уравнение (2.15) аналогично уравнению Ньютона для частицы с координатой у. Для такой частицы выполняется закон сохранения энергии Е = (у )2 /2 +П(у) = - const, где первое слагаемое есть кинетическая, а второе - потенциальная энергия Точки равновесия частицы, являющиеся экстремумами эффективного потенциала П (у), определяются из условия (рис.2.1) Первая точка равновесия г = req (рис.2.1) отвечает равновесной конфигурации цепочки при действии внешней нагрузки F. Это максимум эффективного потенциала. Другая точка равновесия гтП - минимум эффективного потенциала П(у). Выразив переменную у через г и подставив в (2.15), после интегрирования получим уравнение фазовых траекторий где Е - константа интегрчрования, ц(г) = (dy/dr) . Вводилось понятие «эффективной массы» ц(г), ко ее влияние на динамику ранее не анализировалось. Уравнение (2.18) позволяет определить профиль бегущей волны г(х) через обратную функцию Гщах г где rmax. - амплитуда уединенной волны. Потенциал П(г) для различных приближений есть Для волн, бегущих со сверхзвуковыми, звуковыми и дозвуковыми скоростями, эффективный потенциал W (г) имеет вид, изображенный на рис. 2.2. Сверхзвуковой волне v -Рг foci), где р, = dp/dr, отвечает солитон (рис. 2.2, а). Его профилю соответствует движение изображающей точки, стартующей из максимума потенциала - точки rcq, затем отражающейся от левой стенки потенциала в области сжатия и возвращающейся обратно в точку req . При v -pi (i eq) (рис.2.2, б, в) для реалистических потенциалов типа Морзе, Леннард-Джонса и т. п. такое движение невозможно. Константа интегрирования Е определяется в случае солитона условием Е=П (req). Подставляя в выражение (2.20) равенство (2.17), легко убедиться, что потенциал П(г) в различных приближениях имеет одинаковые по величине экстремумы, а также приблизительно одинаково ведет себя вблизи них.
Вблизи точки равновесия эффективного потенциала i = rcq и вблизи его минимума г = rmin все три выражения (а), (б) и (в) переходят друг в друга. Поэтому сближение всех трех потенциалов (а), (б), (в) в значимой области г наступает, когда их максимумы и минимумы расположены близко друг к другу но г, т.е. в пределе не слишком быстрых волн, не слишком большой амплитуды и достаточно пологих. Это случай, когда наклоны секущей р = - v(r- req) и касательной к кривой р (г) в точке rcq близки (рис. 2,1) v - - pr (rcq). Критерием сходимости двух приближений между собой будем считать то, что разница величин амплитуды солитона в различных приближениях будет много меньше ее самой. Амплитуда солитона определяется уравнением фазовых траекторий (2.18) как координата гтдх поворота изображающей точки, откуда можно найти, что амплитуды, найденные в приближениях (а) и (б) формулы (2.20), сходятся друг с другом при условии Сходимость каждого из этих приближений со вторым континуальным приближением (в) определяется условием Допустимость применения различных приближений (2.20) может быть проверена при сравнении с хорошо известным точным решением Тоды. Характерные величины амплитуд солитона в цепочке Тоды, умноженных на параметр потенциала Тоды, были определены для различных приближений (2.20) и сравниваются с известной амплитудой точного решения Тоды на рис.2.3. На этом рисунке показано, что второе континуальное приближение (в) в области значений величины v, в которой солитон имеет реалистичную ширину не менее нескольких межатомных промежутков, в масштабе рисунка совпадает с точным решением Тоды. Точное решение расположено между приближенными решениями (а) Коллинза и (б). Таким образом, можно заключить, что приближение (в) практически точно описывает узкие солитоны большой амплитуды. В работе, выполненной в первом континуальном приближении (2.13), получено, что зависимость p. (г) = (h рг /12) приводит к появлению полюса в Ф(г), так как в точке перегиба межатомного потенциала ц (г) = 0. Полюс в области растягивающих напряжений не оказывает влияния на наличие солитоиа сжатия, но возникает вопрос, не приводит ли он к возможности появления солитона растяжения в закритической области (рис. 2.2, г). Ранее показано, что для потенциала Морзе (2.8) в первом континуальном приближении солитон растяжения невозможен.
Пиннинг солитонов в цепочке спинов модели Гейзенберга с плоскостью легкого намагничивания
Уравнение (2.3) возникает не только в задаче о цепочке атомов. В качестве примера ангармонической цепочки рассмотрим ферромагнетик Гейзенберга, который, согласно литературным обзорам, хорошо описывает низкотемпературное поведение реального кристалла Cs Ni F3. Гамильтониан модели цепочки спинов, нормированный на величину (JS ), есть где суммирование ведется по бесконечной цепочке, и предполагается, что плоскость легкого намагничивания" -плоскость "ху" перпендикулярна оси цепочки "z". Цв -магнетон Бора и g-гиромагнитное отношение [5-7]. «/-энергия обменного взаимодействия между соседними спинами S. Плоскость легкого намагничивания ху перпендикулярна оси z цепочки спинов. Внешнее магнитное поле Вк, направленное вдоль оси х, разрушает симметрию s плоскости ху. Спин S -классический вектор, направление которого в плоскости "ху"отсчитывается от оси абсцисс и определяется углом Фп. Энергия анизотропии А 0 достаточно велика, чтобы вектор спина S был заключен, главным образом, преимущественно в плоскости "ху". Считаем спин S классическим вектором, направление которого определяется двумя углами Ф и ее. Тогда энергия системы (3.15) становится равной Для системы спинов с легкой плоскостью намагничивания, когда спины не выходят из «легкой» плоскости в статичной системе, выражение для энергии упрощается. Введем обозначение величины нормированного внешнего магнитного поля 3i=(p.egB V JS). Если вектор спина S заключен в плоскости "ху", получим из (3,15) В случае статических солитонов оно определяет итерационную процедуру, в которой каждая последующая фаза Ф„+) определяется через угловые фазы векторов спинов, расположенных в цепочке под порядковыми номерами п-1 и п. Отбросим последние две постоянные величины в скобках (3.17). Примем за ноль уровень основного состояния энергии ориентированных по направлению поля векторов спинов цепи. Выражение для энергии в том виде, который удобен для подстановки набора величин фаз и их разностей, полученных из численного эксперимента в итерационной процедуре, есть Рассмотрим стационарный волноаой профиль солитона в цепочке спинов.
Из гамильтониана (3.18) следует уравнение Уравнение, которое определяет конфигурацию цепочки спинов в модели Гейзенберга с плоскостью легкого намагничивания имеет вид Уравнение (3.19), как будет показано ниже, является особенным среди ряда моделей ангармонических взаимодействий типа (2,4). Сила взаимодействия соседних спинов, описываемая этим уравнением, оказывается максимальной, если угол между направлениями векторов соседних спинов достигает величины Tt/2. Однако, подобно модели уравнения СГ, в данной симметричной модели нет отличия между кинками и антикинками. Будем аппроксимировать в уравнении (3.19) функцию sin параболой и среди решений такого приближения рассматривать только антикимки ( солитоны растяжения), близкие решениям оригинальной модели уравнения (3.19) (см. рис 3.3), тогда уравнение (3.19) примет вид, совпадающий с (2.3) при Л=1/тт и а= а\{п!4). Расчет энергии пиннинга, соответствующий формулам итерационных процедур (3.19) и (2.3), приведен на рис. 3.2 (Квадраты - уравнение (3.19), треугольники - уравнение (2.3)). Можно отметить достаточно хорошее совпадение этих моделей при расчете величины энергии пиннинга (детали численного расчета см. в главе 4). Для движущегося постоянного волнового профиля из (3.15) следует уравнение где со =2AJS /h - скорость длинноволновых спиновых возбуждений - магнонов. Это уравнение отличается от уравнения для дискретных переменных последним слагаемым. Его сол и то иные решения есть где В=\-п v /(4 Со )=1- v /с . Уравнение (3.22) примет вид, отвечающий модели (2.1) при с =4со /тт., Г-\Ы и а= 0(я/4). Критическим параметром его решений (помимо параметра поля 0=1/48/-1 для неподвижных волновых профилей (см. параграф 3.1), является квадрат скорости волны. Солитонные решения рассматривались ранее как элементарные возбуждения системы наряду с возбуждениями малой амплитуды- магнонами. При достаточно низких температурах Т, когда плотность солитонов мала, их представляли как идеальный газ невзаимодействующих квазичастиц, Статсумма солитонов вычислялась; здесь e=8ai/2 JS2- энергия покоя магнитного солитона, h - нормировочная постоянная. Предел интегрирования полагали равным Xc(v— с)—юо, и интеграл в (4.8) равнялся (ті/4)1/2. В экспериментах по неупругому рассеянию нейтронов был найден солитонныи вк в интенсивность рассеяния, оказавшийся в 2,5 раза меньше рассчитанного.
Расчет солитонного вклада в теплоемкость магнетика давал качественно верный характер ее зависимости от температуры и величины поля, также завышая солитонныи вклад в термодинамику магнетика по сравнению с его экспериментальной величиной. Среди возможных причин расхождения расчетов и эксперимента указывали на использование континуального приближения. Действительно, если при Г=1/к для магнетика поле а 0,04413, то предел интегрирования в (4,8) не бесконечен. Экспериментальные параметры для системы CsNiF3 равны J/k=23K, A/k=5K, S=l, g=2,4, температура в экспериментах по рассеянию нейтронов, обычно, равна Т=12К при величине магнитного поля 104 Гс. При данных параметрах предел интеграла в выражении (4.8), согласно с найденной величиной критической скорости солитонов v/c=0,283 есть Хс=0,42, а значение самого интеграла равно 0,39, Это значение в 2,3 раза меньше, чем величина (л/4) , что соответственно уменьшает теоретическую оценку солитонного вклада в экспериментально наблюдаемые величины, пропорциональные статсумме кинка. Таким образом, предложенный метод оценки энергии пиннинга (3.5) может быть использован и для описания поведения одномерных ферромагнетиков и последующего расчета их термодинамических свойств с учетом локализации солитонов вследствие пиннинга. Глава 4. Сопоставление численных расчетов нелинейной динамики ангармонической цепочки Френкеля-К літоровой с ее аналитическими решениями. В 4 главе обсуждается постановка усовершенствованного систематического численного эксперимента с итерационной процедурой дискретного уравнения (2.3). Подробно обсуждаются уравнения движения спиновых волн, бегущих с постоянным профилем. Показано, что экспериментальные данные, включающие в себя зависимость от статсуммы уединенных спиновых волн, хорошо описываются найденными здесь из теоретического расчета решениями. Построен фазовый портрет найденных решений модели ФК с ангармоническим взаимодействием атомов цепочки. Найден верхний предел критической скорости движения солитоноподобных спиновых волн в одномерном ферромагнетике Гейзеиберга и солитонов растяжения в модели ФК с ангармоническим атом-атомным взаимодействием. Описание численного моделирования солитонов. В данной работе моделировались два типа статических дискретных солитоноподобных возбуждений, соответственно, «А» и «В» (рис 4.1).
Фазовый портрет модели Френкеля-Конторовой с ангармоническим взаимодействием атомов цепочки
Решения уравнения (3.1) в виде фазовых траекторий для разных значений константы интегрирования С представлены на рисунке 4.1. Различные типы фазовых траекторий разделены сепаратрисами (кривые 1 и 2 на рис. 4.2 а,б и 4.3). На известные в модели Френкеля-Конторовой решения 1, 3 (рис. 4.2 а) влияет ангармонизм. где знак плюс отвечает растяжению, а минус - сжатию (см. кривые 2 и 5 на рис.3.2). Учет первого слагаемого дает профиль волны в модели ФК. Второе слагаемое - ангармоническая поправка модели ФК. Оно пропорционально константе Г (см. рис. 4.2 а). Ангармоническая цепочка является более жесткой при сжатии и более мягкой при растяжении по сравнению с гармонической. Более жесткая цепочка образует более протяженный кинк, потому что добавление атома в более жесткую при сжатии ангармоническую цепочку приводит к более протяженному распространению области сжатия по длине цепочки. Если возникает дефект с исчезновением одного атома, то ангармоническая цепочка, будучи мягче гармонической в растянутом состоянии, на меньшей длине цепи придет в соответствие с синусоидальным полем. Поэтому для данной величины поля а солитон растяжения обладает меньшей шириной, чем солитон сжатия. А чем уже солитон, тем больше влияет на него дискретность, и, следовательно, тем больше его энергия пиннинга. На рисунке 4.1 можно проследить, как при критическом значении поля а=1/48.Г кривые 1 и 2 сливаются в одну сепаратрису, которая описывает антикиик с топологическим зарядом, равным 2. Это новое решение (3.7) для модели ФК с ангармоническим взаимодействием частиц (рис. 4.4). Третья ветвь решений (4.2), обусловленная ангармонизмом атом-атомного взаимодействия, отвечает закритическим деформациям, которые ранее аналитически не исследовались. Новые типы решений, которые будут получены ниже, обязаны своим существованием данной ветви. Рассмотрим волны с v2/c2 1. В зависимости от знака параметра фазовый портрет модели, описываемой уравнениями (4.3), различен (см. рис. 4.2 а, б и 4.3, соответственно для є 0, є =0 и є 0). Различные типы фазовых траекторий разделены сепаратрисами (жирные кривые на рис. 4,2-4.3), отвечающими значениям константы интегрирования С = 0 (кривая 1 на рис. 4.2 а, б и 4.3) и С = є (кривая 2 на рис. 4.2 а, б и 4.3). При г = 0 все сепаратрисы отвечают одному значению константы интегрирования С = 0 и сливаются (кривые 1-3 на рис.4,2 б). При С = є (рис,4,2) каждая сепаратриса 2 описывает решетку солитонов.
Так, если речь идет о солитонном механизме переноса протонов в цепочке водородных связей [40-54], то надо учесть ограничение возможной скорости переноса предельной величиной vc, при которой энергия солитона не бесконечна, как было известно ранее. При этом в модели [40], идеализированной до дефектов только одного типа, в предельном случае величина электрического заряда может удваиваться соответственно топологическому заряду, равному двум. При описании солитона в системе с критическими значениями параметров (є = 0, рис.4.2 б) уравнения для сепаратрис упрощаются и имеют интегралы (3.7), (3.8) . При є 0 (рис.4,3) сепаратриса 2 отделяет замкнутую 4 и незамкнутую б непрерывные траектории от траекторий 1,3,7 с разрывом в критической точке {{4Г/В)Ф(] = 2). Сепаратриса 2 отвечает покоящейся волне, в которой при чередовании сжатия и растяжения смещение растяжения нарастает. Сепаратрисы не могут описывать в этом случае бегущие волны. Они пересекаются в критической точке. Статические конфигурации атомов в этом случае прикреплены к потенциальному рельефу. Циклическое движение по траекториям 7 (рис. 4 2 а) и 1,3,7 (рис.4.2 б) невозможно (допустимое направление движения обозначено стрелками на фазовых траекториях), и им не соответствует какая-либо конфигурация цепочки в континуальном приближении. Таким образом, основные результаты анализа следующие. Во-первых, возможная скорость солитона растяжения ограничена предельной величиной, при которой его энергия не бесконечна (как полагалось ранее), что существенно, например, для объяснения подвижности ионов при протонной проводимости. Во-вторых, среди новых решений, обусловленных учетом энгармонизма, найден солитон с топологическим зарядом, равным двум. Это неизвестное ранее решение, являющееся 4я -импульсом не для двойного уравнения СГ [53-56], а для обычной модели Френкеля-Конторовой с ангармонической цепочкой. Следовательно, не только выбор потенциала подложки в данной модели [53-56], но и межатомный ангармонизм может являться причиной возникновения новых типов решений типа 4л -импульса. Фазовый портрет строился численно по уравнениям (2.3) и (3,1) в координатах, по осям которых откладывались значения [Ф(п+1)-Ф(п)] и dO/dn, соответственно, от Ф(п) (рис.(4.5)). На рисунке 4.5 видно, что наибольшее расщепление фазовых траекторий, которые описываются дискретным уравнением (2.3), имеет место вблизи критического значения деформации [Ф(п+1)-Ф(п)], равного к/2 и отмеченного горизонтальной линией на рисунке. Число вертикальных полос, проведенных к этой линии в правом углу рисунка от траекторий уравнения (2.3), показывает на сколько траекторий практически расщепляется каждая теоретическая траектория, построенная по уравнению (3.1), Траектории уравнения (2.3) строятся на рисунке с наклоном вправо. Это отличает их от теоретических кривых уравнения (3.1). В точках критической деформации соединяются два типа решений ангармонической цепочки ФК: до- и закритические траектории . Из них образуется общая траектория удвоенного периода, которая, правда, существенно расщеплена из-за дискретности модели на множество близких траекторий. Пересечение в пучке траекторий не дает возможности свободного движения для волнового профиля, описываемого любой из этих траекторий. Энергия пиннинга солитона растяжения при критическом поле возрастает по асимптотическому характеру вблизи критического поля (см. рис 3.2). Для более точной оценки энергии пиннинга рассмотрим роль высших порядков континуальных приближений в оценке пиннинга дискретных ангармонических систем. Проведем учет высших порядков континуальных приближений в виде суммы вкладов ряда поправок энергии пиннинга в модели ФК.
Проанализируем вопрос, заданный в работе [116], о динамике солитоиов и существовании 4я кинка и «мультикинка». Проинтегрируем по сіФ более простое, но разумное уравнение (1.36), не выходя за рамки точности учета вкладов слагаемых разложения до 4-ой производной метода [32]. Ф(П2 =2(E-flcos 0)-(fl2/]2)siji2 & + 0O)4/24, (4.5) Рассмотрим применимость этого уравнения к расчету реальной дискретной величины энергии пиннинга. Это уравнение аналогично уравнению (1.20). полученному в первом порядке теории возмущений для медленной составляющей волнового решения в работе [104], но отличается последним слагаемым. Действительно (1.20) есть ДСГ уравнение, известное из [54-56]. Оно не полностью учитывает вклады теории возмущений, которые пропорциональны Интеграл этого уравнения для решения в виде солитона дает выражение (1.2)). Интерес для оценки пиннинга представляет поведение производной солитонного профиля (1.21) вида где L= 1/( a - a2 /12) l/2 - ширина солитона на полувысоте, а сам волновой профиль (4.7) представлен в виде такой дроби, которая удобна для анализа ее приближения путем разложения в ряд Тейлора. В работе [104] учтено малое возмущение решения (1.21) как быстро осциллирующая его часть. Энергия пиннинга была вычислена, согласно [104], достаточно точно с использованием более полной формулы, чем (1.21). Была учтена малая осциллирующая поправка q (1.18) из (1.15).Покажем, что фактически она ведет себя как хорошее приближение к решению более полного уравнения (4.5). Производная данного профиля солитона из (4.5) есть На техниках вычисления энергии пиннинга остановимся подробно, поскольку до сих пор считается, что это «вопрос тонкий» [1]. «Непрерывные» уравнения (1.17) и (4.5) существенно изменяют сходимость ряда для полной энергии (1.14). Во-первых, второе слагаемое (1.14) заменим с помощью первого из тождеств для решений уравнения СГ (1.15). Такая замена позволяет минимизировать величину поправки, улучшая сходимость. Здесь это приближенная замена по порядку одинаковой величины поправки. Для вычисления входящей в это выражение 3-ей производной мы один раз продифференцируем уравнение движения (1.17) для случая статического волнового профиля.
