Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Явление каналирования и существующие методы его описания 16
1.1 Явление каналирования частиц в монокристаллах Непрерывные потенциалы атомных цепочек и плоскостей 16
1.2 Критические параметры каналирования 23
1.3 Решение проблемы деканалнрования 26
1.3.1 Кинетический подход к описанию каналирования 26
1.3.2 Расчет диффузионных коэффициентов 27
1.3.3 Связь проблемы деканалировапия с проблемой о среднем времени жизни произвольной динамической системы, подверженной случайным воздействиям 28
1.3.4 Существующие методы решения уравнения Фоккера-Планка 29
Краткие выводы к главе 1 33
ГЛАВА 2. Динамика каналирования ионов в углеродных нанотрубках 35
2.1 Строение нанотрубок. Хиральные и нехиральные нанотрубки 35
2.2 Ориентированное взаимодействие ионных пучков со стенками нанотрубок. Приближение непрерывного потенциала 43
2.2.1 Энергия взаимодействия частиц со стенками нанотрубок с промежуточной хиральностью 43
2.2.2 Энергия взаимодействия частиц со стенками нехиральных нанотрубок armchair- и zigzag-конфигураііии 47
2.3 Критические параметры каналирования в нанотрубках 50
2.3.1 Критические параметры каналирования в нанотрубках с промежуточной хиральностью. 53
2.3.2 Критические параметры каналирования в armchair-и zigzag-нанотрубках 59
2.4 Особенности движения каналироваиных ионов внутри нанотрубок 65
2.4.1 Движение каптированных ионов в нанотрубках с промежуточной хиральностью 65
2.4.2 Особенности движения каналированных ионов в нехиралъных нанотрубках armchair- и zigzag-конфигурации 72
Краткие выводы к главе 2 73
ГЛАВА 3. Кинетика каналирования ионов в углеродных нанотрубках с промежуточной хиральностью 75
3.1 Стохастичность каналирования в нанотрубках и ее причины 75
3.1.1 Стохастические свойства сил, обусловленных взаимодействием каналированных ионов с электронами 77
3.1.2 Стохастические свойства сил, обусловленных дискретностью стенок и тепловыми колебаниями атомов нанотрубок 82
3.2 Стохастические уравнения движения каналированных ионов 88
3.3 Деканалирование частиц 90
3.3.1 Уравнение Фоккера-Планка для функции распределения частиц по поперечным энергиям и моментам 90
3.3.2 Решение уравнения Фоккера-Планка 92
3.3.2.1 Распределение по поперечным энергиям и моментам и длина деканалирования положительных ионов высоких энергий 96
3.3.2.2 Распределение по поперечным энергиям и моментам и длина деканалирования положительных ионов низких энергий 97
3.3.3 Радиальное распределения каптированных ионов 98
3.3.4 Вероятность остаться в режиме капалирования и функция декапалироеания ионов 99
Краткие выводы к главе 3 100
ГЛАВА 4. Кинетика каналирования ионов в углеродных нанотрубках Armchair- и Zigzag-конфигурации 101
4.1 Стохастические свойства сил, действующих на каналированные ионы внутри нехиральных нанотрубок 102
4.2 Стохастические уравнения движения каналированных ионов внутри нанотрубок armchair- и zigzag-конфигурации 106
4.3 Деканалирование частиц из нехиральных нанотрубок 107
4.3.1 Уравнение Фоккера-Планка для функции распределения частиц
по поперечным энергиям 107
4.3.2 Решение уравнения Фоккера-Планка 108
4.3.2.1 Распределение по поперечным энергиям и длина деканалирования положительных ионов высоких энергий 110
4.3.2.2 Распределение по поперечным энергиям и длина деканалирования положительных ионов низких энергий Ill
4.3.3 Функция распределения каналированных ионов по поперечным
координатам 111
4.3.4 Вероятность остаться в режиме капалирования и функция
деканалирования ионов из нанотрубок armchair- и zigzag-конфигурации .114
Краткие выводы к главе 4 115
Заключение 117
Список использованной литературы
- Связь проблемы деканалировапия с проблемой о среднем времени жизни произвольной динамической системы, подверженной случайным воздействиям
- Энергия взаимодействия частиц со стенками нанотрубок с промежуточной хиральностью
- Стохастические свойства сил, обусловленных дискретностью стенок и тепловыми колебаниями атомов нанотрубок
- Стохастические уравнения движения каналированных ионов внутри нанотрубок armchair- и zigzag-конфигурации
Введение к работе
В настоящее время явление каналирования, возникающее при ориентированном взаимодействии ускоренных частиц с атомами кристаллов, имеет самый широкий круг практических приложений [1-3]. Оно послужило фундаментом для создания новых методов исследования состава и структуры твердых тел. В свою очередь, благодаря уникальным возможностям с большой точностью определять местоположения атомов примесей и собственных межузельных атомов, находить профили радиационных дефектов и классифицировать их, изучать нарушения структуры в поверхностных и приповерхностных слоях кристаллов и в тонких монокристаллических пленках, эти методы нашли применение в таких областях науки и техники, как ядерная физика и физика твердого тела, полупроводниковая техника и микроэлектроника.
В сочетании с каналированием используются ядерные реакции и возбуждение характеристического рентгеновского излучения. С помощью этого эффекта изучаются тепловые колебания атомов и распределение электронной плотности в межатомном пространстве кристаллов, производится их точная ориентация. В ускорительной технике явление каналирования применяется для создания эффективных систем управления пучками частиц высоких энергий. Каналирование электронов и позитронов используется для получения интенсивного рентгеновского излучения. В последние годы интерес к явлению каналирования возрос в связи с открытием нового класса углеродных материалов - фуллеренов и нанотрубок [4-16].
Эффект каналирования в углеродных нанотрубках предлагается использовать для анализа их свойств и структуры [17, 18], для получения и управления пучками нанометровых сечений [17- 21, 22-35], а также при разработке новых источников монохроматичного излучения [36, 37]. Пристальное внимание ученых привлекает и возможность применения этого явления для внедрения во внутренние полости нанотрубок примесных атомов или молекул [17, 18,22-35].
Исследования показали [16, 38, 39], что внедрение частиц (допирование) может существенно менять механические, электромагнитные и химические свойства нанотрубок. Это открывает новые перспективы их использования в прикладной химии, материаловедении и наноэлектронике. Рассматривая процесс допирования как своего рода молекулярную инженерию, можно предположить, что углубленное ионное легирование нанотрубок в сочетании с эффектом каналирования станет концептуальной основой нанотехнологий, которые призваны заменить исчерпавшие свои возможности микротехнологии, что определяет актуальность и практическую значимость темы диссертации.
Следует отметить, что теории взаимодействия ускоренных частиц с наноразмерными структурами до сих пор не существует. Более того, сами процессы взаимодействия с наночастицами ионных, атомных и молекулярных пучков в настоящее время являются слабоизученными. Исследование динамики и кинетики атомных столкновений при ориентированном взаимодействии ионов с изолированными углеродными нанотрубками и разработка последовательной кинетической теории, описывающей протекающие при таком взаимодействии процессы каналирования и деканали-рования, являются целью настоящей работы.
Научная повита работы состоит в том, что в ней впервые показано, что для описания ориентированного взаимодействия ионных пучков с нанотрубками, которое наблюдается при малых углах между направлением скорости частиц и осью нанотрубок, можно использовать известное из теории каналирования частиц в кристаллах понятие непрерывного потенциала. Получены непрерывные потенциалы взаимодействия каналированных частиц с изолированными хиральными и нехиральными углеродными нанотрубками и исследованы условия их применимости. Найдены критические углы каналирования в нанотрубках с промежуточной хиральностью (хи-ральных) и в нанотрубках armchair- и zigzag-конфигурации (нехиральных). С учетом сил электронного торможения получены и проанализированы
10 численные решения уравнений движения каналированных ионов. Предсказано явление фокусировки ионных пучков короткими нанотрубками и доказано существование такого режима каналирования, при котором ионы, рассеиваясь на электронах, теряют энергию быстрее, нежели вылетают из нанотрубок (каналирование со «стопом»).
Исследованы статистические свойства случайных сил, действующих на каналированные частицы, и построены корреляционные соотношения для этих сил. Показано, что основное влияние на кинетику атомных столкновений при ориентированном взаимодействии с нанотрубками ионных пучков оказывают случайные силы, обусловленные электронным рассеянием. Из первых принципов, без привлечения феноменологических соображений построены и решены уравнения Фоккера-Планка, описывающие эволюцию функций распределения каналированных ионов в углеродных нанотрубках с промежуточной хиральностью и в нанотрубках armchair- и zigzag-ко н фигурации.
Исследованы принципиальные различия между каналированием ионов в нехиральных и хиральных нанотрубках. Показано, что для положительных ионов высоких энергий в нехиральных нанотрубках реализуется режим каналирования, при котором каналированные частицы концентрируются в центральной части нанотрубок («flux peaking»), а при каналиро-вании ионов низких энергий их распределение по поперечным по отношению к оси нанотрубок энергиям независимо от формы начального распределения и хиральности нанотрубок имеет вид распределения Больцмана с низкой эффективной температурой, определяемой процессами рассеяния частиц на электронах. Это соответствует режиму каналирования со «стопом» в случае длинных нанотрубок или фокусировке ионных пучков короткими нанотрубками.
Впервые в явном виде получены:
- функции распределения каналированных ионов по поперечным энергиям и моментам, справедливые для всех глубин проникновения в углеродные нанотрубки;
радиальные распределения ионов в полости нанотрубок;
выражения для длин деканалирования ионов из хиральных и нехи-ральных нанотрубок;
выражения для вероятности частицам остаться в полости нанотрубок в зависимости от глубины их проникновения и функции деканалирования.
Все полученные формулы имеют простой аналитический вид и не содержат в себе ни одного подгоночного параметра. Достоверность результатов подтверждается путем их сравнения с результатами теории ка-налирования ионов в монокристаллах [40-41], а также с результатами других авторов [19,36, 37,42].
Практическая значимость работы определяется тем, что ее результаты могут быть использованы при разработке и совершенствовании ядерно-физических методов качественного и количественного анализа структуры и состава углеродных наночастиц, а также при разработке новых технологий синтеза эндоэдральных соединений (допированных фул-леренов и нанотрубок) методом ионной имплантации. Широкий круг технических приложений может найти предсказываемая теорией фокусировка ионных пучков короткими нанотрубками.
Полученные в диссертации формулы могут стать алгоритмической основой для создания программного обеспечения прямой обработки данных экспериментов с использованием методики каналирования в нанот-рубках.
На защиту в диссертации выносятся:
1) результаты исследования динамики ориентированного взаимодействия ускоренных частиц с углеродными нанотрубками различной хираль-ности, в рамках которого:
- получены простые аналитические выражения для непрерывных по
тенциалов, описывающих взаимодействие частиц со стенками хиральных и
нехиральных нанотрубок;
- с учетом сил электронного торможения получены и проанализиро
ваны численные решения уравнений движения каналированных ионов;
выявлены основные особенности динамики каналирования в хиральных и нехиральных нанотрубках;
получены выражения для критической поперечной энергии и критических углов каналирования в нанотрубках различной хиральности;
2) стохастическая теория каналирования положительных ионов в хи
ральных нанотрубках, в рамках которой:
из первых принципов, методом усреднения по времени, а не по ансамблю, получены формулы для коэффициентов сноса и диффузии уравнения Фоккера-Планка, описывающего кинетику каналирования и деканалирования ионов из хиральных нанотрубок;
получены явные выражения для функции распределения каналированных ионов по поперечным энергиям и моментам, аналитические выражения, определяющие пространственное распределение ионов в хиральных нанотрубках;
найдены выражения для всех парциальных длин деканалирования, обусловленных различными деканалирующими факторами, и для полной длины деканалирования, для вероятности остаться в хиральных нанотрубках в зависимости от глубины проникновения и для функции деканалирования ионов;
3) стохастическая теория каналирования ионов в углеродных нанот
рубках armchair- и zigzag- конфигурации, в рамках которой:
из первых принципов, методом усреднения по времени получены формулы для коэффициентов сноса и диффузии уравнения Фоккера-Планка, описывающего кинетику каналирования и деканалирования ионов из нехиральных нанотрубок;
найдены явные выражения для функции распределения каналированных ионов по поперечным энергиям и для их пространственного распределения в нехиральных нанотрубках;
13 - получены выражения для всех парциальных длин и для полной длины деканалирования, а также для вероятности остаться в нанотрубках и для функции деканалирования ионов из нехиральных нанотрубок;
4) предсказываемый теорией эффект каналирования со «стопом»,
при котором каналированные ионы, рассеиваясь на электронах, теряют
энергию быстрее, нежели вылетают из нанотрубок, а их функция распре
деления по поперечным энергиям, независимо от формы начального рас
пределения и хиральности нанотрубок, имеет вид распределения Больцма-
на с низкой эффективной температурой, определяемой процессами рассея
ния частиц на электронах;
5) явление фокусировки ионных пучков короткими нанотрубками.
Изложенные в диссертации результаты докладывались на XV, XVI и XVII Всероссийском симпозиуме «Современная химическая физика» (Туапсе, 2003-2005 гг.) [22-26], на 12-ой Международной конференции по радиационной физике и химии неорганических материалов (Томск, 2003 г.) [27], на Международной конференции «Физико-химические процессы в неорганических материалах» (Кемерово, 2004 г.) [28] и Н-ой Всероссийской конференции «Физико-химические процессы в конденсированном состоянии и на межфазных границах» (Воронеж, 2004 г.) [29], а также на научных семинарах и конференциях Орловского государственного технического университета [30, 31] и Орловского государственного аграрного университета.
По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, в том числе: в журналах из списка ВАК - 3; в других научных изданиях - 2; в материалах конференций — 4; тезисов докладов - 5; из них без соавторов - 2.
Диссертация содержит 130 стр. и состоит из введения, четырех глав основного текста, включающего 19 рисунков, и заключения. Список использованной литературы охватывает 117 наименований.
Первая глава диссертации содержит обзор литературы, посвященной явлению каналирования частиц в монокристаллах и существующим методам его описания.
Во второй главе представлены результаты исследования динамики атомных столкновений при ориентированном взаимодействии положительных ионов с углеродными нанотрубками и показано, что под ориентированным следует понимать такое взаимодействие, при котором частицы, двигаясь под малыми углами к оси нанотрубок, испытывают коррелированные столкновения с углеродными атомами их стенок, т.е. захватываются в режим каналирования. Построены непрерывные потенциалы ориентированного взаимодействия положительных ионов со стенками хиральных и нехиральных нанотрубок, рассмотрены условия их применимости. Произведены численные расчеты и получены асимптотические выражения для критической поперечной энергии и критических углов каналирования в хиральных и нехиральных нанотрубках.
С учетом сил электронного торможения получены и проанализированы численные решения уравнений движения частиц внутри нанотрубок с промежуточной хиральностью и рассмотрены особенности движения ка-налированных ионов в armchair- и zigzag- нанотрубках. Показано, что при каналировании положительных ионов низких энергий, может быть реализован такой режим движения, когда частицы, рассеиваясь на электронах, теряют энергию быстрее, нежели вылетают из нанотрубок (каналирование со «стоп ом»).
В третьей главе диссертации построена стохастическая теория, описывающая кинетику каналирования положительных ионов в нанотрубках с промежуточной хиральностью. Из первых принципов, на основе корреляционных соотношений для случайных сил, действующих на каналирован-ные ионы, и стохастических уравнений их движения построено уравнение Фоккера-Планка, описывающее кинетику каналирования, и получено его решение, справедливое для всех глубин проникновения при любом COOT-
ношении между торможением каналированных ионов и их диффузией в пространстве поперечных энергий и моментов. Найдены простые аналитические выражения для всех описывающих каналирование и деканалирова-ние ионов функций и величин.
В четвертой главе стохастический подход и основные методы, применяемые для описания кинетики каналирования частиц в хиральных на-нотрубках, используются для исследования поведения ионов в нехираль-ных нанотрубках. Построена стохастическая теория каналирования положительных ионов в углеродных нанотрубках armchair- и zigzag- конфигурации. Получены простые аналитические выражения для всех функций и величин, описывающих каналирование и деканалирование ионов из нехи-ральных нанотрубок.
Диссертация выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №03-03-96488).
Связь проблемы деканалировапия с проблемой о среднем времени жизни произвольной динамической системы, подверженной случайным воздействиям
Сечения физических процессов, протекающих при малых прицельных расстояниях (обратное рассеяние ионов, ядерное торможение, ядерные реакции, ионное распыление, образование радиационных повреждений и т.п.) резко уменьшаются для каналированных ионов. Если же частица по каким-то причинам покидает канал, сечения таких процессов становятся близкими к сечениям для аморфной среды. Вследствие этого проблема де-каналирования является центральной в теории каналирования.
Феноменологическую теорию деканалирования, основанную на кинетическом описании явления каналирования, первым разработал Линд-хард [45] в 1965 г. Он предложил рассматривать процесс деканалирования как диффузию в ограниченном объеме пространства поперечных энергий за счет рассеяния каналированных частиц на тепловых колебаниях решетки и на электронах твердого тела. При этом предполагалось, что этот процесс описывается обычным уравнением диффузионного типа.
Кумахов в работе [57] впервые показал, что для последовательного описания ориентационных эффектов необходимо использовать приближение, основанное на уравнении Фоккера - Планка. Главное отличие этого приближения от предложенного Линдхардом диффузионного приближения, которое описывает процессы, удовлетворяющие принципу детального равновесия, состоит в том, что уравнение Фоккера - Планка учитывает диссипативные явления и описывает необратимые процессы, которые этому принципу не удовлетворяют. Оно является более точным по сравнению с диффузионным приближением, которое завышает деканалирование и не дает достаточно корректного описания распределения потока каналиро-ванных частиц.
В настоящее время кинетическое описание каналирования и деканали-рования на основе уравнения Фоккера - Планка является общепризнанным (см., например, монографии [40,41,58] и имеющуюся в них литературу).
Решение кинетических уравнений, описывающих каналирование и деканалирование частиц, в большой степени определяется видом их коэффициентов. Кроме того, если известны коэффициенты, связанные с различными физическими факторами, можно оценить влияние этих факторов на процессы каналирования и деканалирования.
Линдхард для вычисления диффузионных коэффициентов предложил использовать феноменологический метод [45], основанный на усреднении приращения поперечной энергии каналированной частицы на единице ее пути, которое сводится к усреднению коэффициента динамического трения, по доступной для каналирования области. Этот же метод использовался Кумаховым и другими авторами (см., например, [40] и приводимую там литературу) для расчета коэффициентов диффузии и сноса в уравнении Фоккера - Планка.
В работах Оцуки (см., например, [41] и имеющуюся там литературу) был проведен расчет диффузионных коэффициентов с помощью квантовой механики, с использованием вводимой им локальной функции вероятности перехода, соответствующей возбужденным состояниям кристалла. Этот метод расчета, являясь более последовательным, относится все же к числу феноменологических.
Вид коэффициентов диффузии и сноса в уравнении Фоккера - Планка определяется видом сил, действующих на каналированные частицы (см. формулы (1.29) - (1.31) следующего раздела). Поэтому для расчета этих коэффициентов необходимо и достаточно, исходя из первых принципов, провести анализ свойств этих сил, что является основой стохастического подхода к описанию явления каналирования, впервые предложенного в работах [36,59-61].
На каналированные частицы со стороны кристалла кроме детерминированных действуют еще и случайные силы, связанные с их рассеянием на тепловых колебаниях и дефектах решетки, на электронах твердого тела, а также с дискретностью атомных цепочек и плоскостей. Именно действие случайных сил приводит к росту поперечной энергии частиц в канале и, в конечном итоге, к их деканалированию. При этом для практических приложений важно знать распределение потока каналированных частиц и среднюю глубину проникновения, на которой частицы покидают канал.
Энергия взаимодействия частиц со стенками нанотрубок с промежуточной хиральностью
Полученные результаты показывают, что каналирование частиц в углеродных нанотрубках с промежуточной хиральностью напоминает плоскостное, а в нанотрубках armchair- и zigzag-конфигурации - осевое каналирование в монокристаллах. В связи с этим следует ожидать, что критические параметры каналирования в хиральных нанотрубках описываются выражениями (1.26) - (1.28), а в нехиральных - выражениями (1.23) - (1.25).
Необходимо, однако, отметить, что формулы (1.23)-(1.28) неприменимы для описания каналирования ионов низких энергий, так как при -» 0 рассчитанные по этим формулам критические углы ц/с{Е) - оо Поэтому вопрос о критических параметрах каналирования в нанотрубках требует дополнительных исследований.
В случае монокристаллов наиболее полное изучение поведения критических параметров каналирования в области низких энергий частиц было проведено в работе [95]. В этой работе показано, что в рамках критерия потери корреляций указанный недостаток линдхардовского определения критического угла каналирования легко устраняется введением в рассмотрение вместо потенциала изолированной цепочки или плоскости [см. выражения (1.21) - (1.22)] потенциала U(r) реального канала, который образован несколькими атомными цепочками (плоскостями) и имеет конечные поперечные размеры:
В формулах (2.22) - (2.23) RQ - это расстояние от центра канала до образующих его цепочек или плоскостей. Совместно с выражением (1.20) эти формулы исчерпывающе определяют критические параметры ц/с{Е), гс{Е) и Е±с при любом потенциале канала U(r). При этом, как показано в [95], естественным образом возникает еще один критический параметр каналирования - пороговая энергия Ес, такая, что при энергиях частиц Е ЕС ка-налирование невозможно даже в том случае, если частицы движутся параллельно атомным цепочкам или плоскостям в центре канала. Выражение для пороговой энергии каналирования, полученное из условия потери корреляций при взаимодействии частицы с атомами кристалла, имеет вид [95]: - (2.24) О (в отличие от формул (1.21) и (1.22) здесь расстояние отсчитывается от центра канала).
В том случае, если канал образован атомными цепочками, используя стандартный потенциал Линдхарда (1.15), из (1.31) получаем: где Л 5 - число цепочек, ps - азимутальный угол, характеризующий положение цепочек в поперечной плоскости канала. Для канала, образованного двумя атомными плоскостями,
При исследовании вопроса о пороговой энергии каналирования в работе [96] было показано, что в реальных каналах может иметь место эффект параметрической неустойчивости движения. При этом пороговая энергия каналирования Es, обусловленная этим эффектом, была определена как энергия, при которой параметрическая неустойчивость возникает даже при движении строго по оси симметрии канала.
В работе [95] показано, что, кроме ограничения на полную энергию Е, при Е Es параметрическая неустойчивость накладывает ограничения и на возможные поперечные энергии каналированных частиц.
Таким образом, наряду с критерием потери корреляций имеется еще один критерий, обусловливающий существование критического угла каналирования. Далее, следуя работе [95], мы будем называть его критерием устойчивости, а для соответствующих ему критических параметров каналирования введем обозначения щ{Е), rs(E) и Е .
Критерий устойчивости приводит к следующему соотношению между критическим расстоянием наибольшего сближения частицы с атомной цепочкой (плоскостью) rs(E) и критическим углом ys(E) [95]: Г,- = . (2.27) Это уравнение совместно с выражениями 2.29) аналогичными (1.20) и (2.22), определяет критический угол потери устойчивости движения y/s{E), расстояние наибольшего сближения rs(E) и критическую поперечную энергию потери устойчивости E±s при любом потенциале канала U{r). Из этих же формул и условия y/s(Es) = 0 вытекает следующее выражение для пороговой энергии каналирования Es по критерию устойчивости [95]
При обобщении методов расчета критических параметров каналирования в монокристаллах на случай каналирования в нанотрубках необходимо иметь в виду, что углы каналирования в нанотрубках могут оказаться достаточно большими, вследствие чего в формулах (1.23), (1.26) и (2.27), справедливых при малых углах каналирования, следует произвести замену: Уе -» Wc, Vs - Ws- (2-33) Аналитические выражения для критических параметров каналирования, пригодные для произвольных энергий частиц, получим в приближении стандартного потенциала межатомного взаимодействия (1.3) отдельно для хиральных и для нехиральных нанотрубок.
Стохастические свойства сил, обусловленных дискретностью стенок и тепловыми колебаниями атомов нанотрубок
Отметим, что при v » V/. логарифмы lfe и L"e приблизительно равны, при этом ки&кс (см. (3.19, 3.11)), что находится в соответствии с теоремой [104] о равном влиянии близких и далеких столкновений с электронами на движение быстрой заряженной частицы в электронном газе твердого тела. Так как среднее значение силы /" равно нулю: П0 = 0, (3.24) и в силу корреляционного соотношения (3.14), движение каналированнои частицы, испытывающей парные столкновения с электронами нанотрубки, представляет собой марковский случайный процесс [107].
Корреляционные соотношения для поперечной компоненты /[ суммарной случайной силы fe = fc +fu, обусловленной обоими механизмами взаимодействия каналированнои частицы с электронами нанотрубки, при скоростях частицы и Vf. могут быть записаны в следующем виде: а в качестве Le можно брать любой из логарифмов (3.12), (3.22).
Интересно отметить, что квадрат мощности коррелятора (3.25) может быть выражен через величину {dEldz)e электронных потерь энергии Е ионов в нанотрубке, даваемую формулой Бете - Блоха [41] или Линдхарда [41]. Сравнивая выражение (2.61) с (3.25), с учетом (3.23) получаем: ке= 4mu(dE/dz)e . (3.26)
Соотношение (3.25) получено для однородного газа электронов с плотностью пе. В нанотрубках эта плотность является функцией координат, т.е. зависит от расстояния до стенки нанотрубки. Однако локально, в физически бесконечно малом объеме, пе можно считать постоянной. При этом все проведенные выше рассуждения остаются справедливыми.
Таким образом, обобщение соотношения (3.25) на случай реальных углеродных нанотрубок заключается в том, что плотность электронов пе нужно рассматривать как функцию координат. При этом квадрат мощности коррелятора (3.26) также будет функцией координат каналированной частицы.
Так как радиус экранирования межатомного потенциала мал по сравнению со средним расстоянием между атомами нанотрубки, при движении внутри хиральных нанотрубок каналированная частица испытывает последовательность парных, коррелированных столкновений с отдельными, ближайшими к ней углеродными атомами. При этом для иона, движущегося со скоростью v » u-j (V/ - скорость тепловых колебаний атомов нанотрубки), время его взаимодействия с атомами существенно меньше периода их колебаний. Следовательно, атомы формируют потенциал, «замороженный» на время взаимодействия каналированных ионов со стенками нанотрубки.
В системе координат, выбранной так, чтобы ось z совпала с направлением движения каналированного иона, а ось у была перпендикулярна поверхности нанотрубки, потенциал взаимодействия иона с этой поверхностью может быть представлен в следующем виде: где в(х) - ступенчатая функция Хевисайда, &- тепловые смещения к-ых атомов вдоль оси у (к-цепые числа), % и Q -случайные величины, характеризующие положение на графитовой плоскости ближайших к траектории иона атомов нанотрубки, x,y,z - координаты каналированной частицы, i = \/ JnTi- среднее расстояние между атомами на графитовой плоскости. Представим этот потенциал в виде суммы среднего значения (U) (запись (..). означает усреднение по всем случайным величинам и состояниям системы) и стохастической добавки AU.
Интегрируя выражение (3.27) по тепловым колебаниям с функцией распределения (1.13) и по случайным величинам /д и Q с функцией распределения [67] Ф{г?к) = Ф&)=]- (3.28) и заменяя конечные пределы интегрирования на бесконечные вследствие малости радиуса экранирования межатомного потенциала, нетрудно убедиться, что полученное таким образом выражение для среднего по всем случайным величинам потенциала (U) совпадает с формулой (1.16) для по-тенциала плоскости Up/ (у), усредненного по тепловым смещениям атомов.
Случайную добавку потенциала AV, AO(x,y,z; ,?lk, ) = 0(x,y,z; ,t]k,Ck)-(0), (3.29) удобно записать в виде суммы слагаемых, каждое из которых связано лишь с одной из случайных величин, а по остальным проведено усреднение: д(7(4 щ Q= АО( )+АО(Щ)+ AO{Q, (З.ЗО) При этом очевидно, что At7())=0, {АО{щ))=Ъ, Д/()Н , (3.31)
Так как энергетическими потерями между последовательными столкновениями можно пренебречь, в дальнейшем будем считать, что Д/(С0 = 0, а глубина проникновения частицы в нанотрубку z « vt. Кроме того, учтем тот факт, что благодаря экранированию канал ированный ион испытывает влияние случайных толчков в очень малых областях \z-ki аи.
Стохастические уравнения движения каналированных ионов внутри нанотрубок armchair- и zigzag-конфигурации
С учетом ядерного рассеяния и рассеяния на электронах углеродных атомов нехиральной нанотрубки уравнение движения каналированных ионов в ее полости можно представить в виде: аг где U{7) -усредненный по тепловым колебаниям непрерывный потенциал нанотрубки (2.19), у- коэффициент затухания (2.43), который определяется как и раньше, из формулы (2.44) Бете - Блоха для электронных потерь ионов в веществе, flit) - поперечная составляющая случайной силы, обусловленной рассеянием на тепловых колебаниях нанотрубки, flit) - поперечная составляющая случайной силы, обусловленной рассеянием каналированных ионов на электронах нанотрубки.
Простые оценки, проведенные с использованием формулы (3.25) и выражений (4.4) и (4.11) для квадрата мощности корреляторов случайных сил, показывают, что воздействие на ионы случайных сил, связанных с тепловыми колебаниями, как деканалируюший фактор становится существенным лишь в области очень высоких температур для частиц низких энергий. Основное же влияние на движение каналированных ионов в по 107 лости нехиральных нанотрубок оказывает их рассеяние на электронах: ке» кт.
Учитывая это обстоятельство, в полярной системе координат (г, (р) с полюсом, связанным с осью нанотрубки, уравнение (4.12) можно представить в следующем виде:
В силу корреляционных соотношений (3.25) и (4.9) процесс канали-рования ионов в нехиральных нанотрубках является марковским [107], что позволяет стандартными методами [62] (см. (1.29) - (1.31)) построить на основе этих соотношений и уравнений (4.13) уравнение Фоккера - Планка типа (3.60) для функции распределения каналированных частиц по поперечным переменным. Дальнейшее упрощение этого уравнения связано с разделением переменных на быстро и медленно изменяющиеся с течением времени.
В качестве поперечных переменных при каналировании в нехиральных нанотрубках удобно выбрать поперечную энергию частицы Е± и вектор V, определяющий место положения частицы. Тогда, в силу медленно 108 сти изменения поперечной энергии (разд.2.4.2), полная функция распределения частиц Ф(г, р, E\jt) может быть представлена в следующем виде:
В дальнейшем мы будем рассматривать уравнение (4.16), решение которого должно удовлетворять заданному начальному условию Ф(\;0) = Фо(±) и граничным условиям вида (1.44): Ф(0;/) + о9 ( -/)=0. (4.19)
В общем случае это решение может быть найдено только численно. Однако его аналитическая форма может быть получена в приближении прямоугольной потенциальной ямы, которое является достаточно реали 109 стичным вследствие малости радиуса экранирования потенциала нано-трубки. В этом приближении коэффициенты (4.17), (4.18) уравнения Фокке-ра-Планка (4.16) определяются соотношениями: Распределение по поперечным энергиям и длина деканшщрования положительных ионов высоких энергий
В области высоких энергий частиц Е» О АІт/т Е функция распределения каналированных частиц по поперечным энергиям совпадает с решением обычного диффузионного уравнения (а « 1) с коэффициентом диффузии (4.18) и заданными начальным и граничными условиями (4.19):
