Содержание к диссертации
Введение
1. Теоретические модели двухслойных смектиков 9
1.1. Особенности строения жидких кристаллов 9
1.2. Объект исследования 13
1.3. Феноменологические модели 16
1.3.1 Теория Ландау 16
1.3.2 Энергия деформации многослойного емсктика 17
1.3.3 Упругая энергия квазидвумерного смекгика 18
1.3.4 Энергия поперечного изгиба 21
1.3.5 Приближение малого изгиба 22
1.4. Микроскопические модели 24
1.4.1. Вклады межмолекулярных взаимодействий в свободную энергию 26
1.4.2. Дисперсионное взаимодействие 28
1.4.3. Конфигурационная энтропия молекул. Модель пружинок 29
1.4.4. Конфигурационная энтропия молекул. Приближение среднего поля 31
1.4.5. Решеточная модель для молекулярных цепочек 33
1.4.6. Растворы жестких и полугибких стержней 34
1.4.7. Полугибкий полимер во внешнем потенциале как модель молекулярной цепочки 35
2. Феноменологическое описание двухслойного смекгика 37
2.1. Функционал энергии упругой деформации. 37
2.1.1. Методика исследования 37
2.1.2. Обсуждение результатов 42
2.2. Деформации смектика в приближении малого изгиба: аналитическое решение 44
2.2.1. Метод решения 44
2.2.2. Обсуждение результатов 47
2.3. Ограничивающий потенциал в плоско параллельном канале 48
3. Микроскопической описание двухслойного смектика 52
3.1. Функционал свободной энергии молекулы 52
3.2. Несимметричные граничные условия и энергия адгезии 54
3.3. Решения уравнений равновесия 56
3.3.1. Плоская двухслойная мембрана, симметричные граничные условия 57
3.3.2. Равновесная конфигурация с учетом адгезии 58
3.3.3. Равновесная конфигурация под действием внешнего давления 59
3.3.4. Равновесная конфигурация под действием внешнего давления: релаксация напряжений 60
3.4. Применение модели для описания эксперимента. Характерные времена 61
3.4.1. Распространение механических напряжений 61
3.4.2. Релаксация механических напряжений 62
3.4.3. Диффузия молекул 63
3.4.4. Активационный барьер 63
3.5. Обсуждение результатов 65
3.5.1. Равновесное состояние в отсутствие внешнего давления 65
3.5.2. Равновесное состояние под действием внешнего давления 66
4. Анизотропия свойств и гибкость молекул 72
4.1. Функционал свободной энергии 72
4.2. Методика исследования 74
4.2.1. Статистическая сумма и свободная энергия 74
4.2.2. Распределение латерального давления по толщине слоя 78
4.2.3. Распределение ориентационного параметра порядка вдоль оси молекулы 79
4.2.4. Аналитическое решение 80
4.3. Обсуждение результатов 81
Заключение 87
- Объект исследования
- Конфигурационная энтропия молекул. Приближение среднего поля
- Равновесная конфигурация под действием внешнего давления
- Распределение ориентационного параметра порядка вдоль оси молекулы
Введение к работе
Актуальность темы:
Работа посвящена исследованию структурных и термодинамических свойств квазидвумерных жидкокристаллических систем методами теоретической физики. Двухслойный смектическии жидкий кристалл может служить моделью для теоретического изучения механических и термодинамических свойств биологических мембран.
В современной физике конденсированного состояния исследование биологических систем является перспективным направлением, В последние десятилетия физические методы экспериментального изучения биологических мембран быстро развиваются. Полученные экспериментальные данные и наблюдаемые закономерности требуют физической интерпретации. Исследования указывают, что основной структурный элемент биологической мембраны - липидный бислой - играет активную роль в функционировании мембранных белков. Понимание физических зависимостей между структурой и термодинамическими характеристиками липидного бислоя позволяет предсказывать и направленно изменять свойства биологических мембран, что имеет большое значение для биологии и медицины. Липидный бислой является структурно и динамически сложной средой и представляет собой двухслойный лиотропный смектик. Составляющие его молекулы - липиды - обладают амфифильными свойствами, что приводит к неоднородности межмолекулярных взаимодействий. Благодаря вытянутой форме и гибкости, молекулы обладают большой конфигурационной энтропией. Теоретическое моделирование такой системы является нетривиальной задачей. В настоящее время развиваются подходы к решению этой проблемы. Большинство имеющихся результатов получено путем компьютерного моделирования (молекулярная динамика, метод Монте-Карло), которое не позволяет получить аналитические зависимости и в полной мере установить главные физические закономерности. В этой связи теоретическое моделирование двухслойного смектика, допускающее решение в аналитическом виде, для физического описания биологических мембран является актуальной задачей.
Цель диссертационной работы: Исследование механических и термодинамических свойств двухслойного смектического жидкого кристалла методами теоретической физики. Вывод функционала свободной энергии смектика с учетом основных структурных характеристик: вытянутой формы, гибкости и амфифильности составляющих молекул.
Получение аналитических зависимостей для термодинамических характеристик исследуемой системы.
Основные задачи, которые решались для достижения поставленной цели, можно сформулировать следующим образом:
Критический анализ существующих теоретических моделей квазидвумерных жидкокристаллических систем и методов расчета термодинамических характеристик.
Моделирование методами теоретической физики двухслойного смектичсского жидкого кристалла. Построение функционала плотности свободной энергии.
Вычисление упругих и термодинамических характеристик двухслойного емсктика с использованием полученных выражений для свободной энергии.
Вычисление зависимости термодинамических характеристик от координаты вдоль нормали к слою. Учет неоднородности межмолекулярных взаимодействий и гибкости молекул смектика.
Применение теоретических моделей лиотропного двухслойного смектического жидкого кристалла для описания и предсказания физических свойств биологических мембран, а также объяснения экспериментальных зависимостей. * :
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
Получен новый функционал свободной энергии двухслойного смектика, включающий непосредственно амплитуды изгиба, растяжения и проскальзывания слоев как функции координат. Функционал выведен из общих принципов теории упругости и обобщает ранее рассмотренные в литературе модели.
Впервые рассчитано в аналитическом виде распределение латерального давления вдоль оси гибкой молекулы в слое. Ранее данная характеристика определялась лишь численными методами (молекулярная динамика и метод Моїгте-Карло).
Микроскопическая модель смектика применена для описания термодинамики мембраны в условиях эксперимента «пэтч-клэмп». Показано, что взаимное проскальзывание слоев мембраны термодинамически выгодно и приводит к сбросу напряжений.
Практическая ценность результатов работы состоит в следующем:
1. Построенные теоретические модели двухслойного смектика могут быть
использованы для описания липидного бислоя и предсказания физических свойств
биологических мембран.
Вычисленное распределение латерального давления по толщине слоя в биологической мембране не поддается прямому экспериментальному измерению. Распределение латерального давления в липидном бислое контролирует конформационныс перестройки мембранных белков. Полученный результат предполагается использовать для количественного описания воздействия молекул анестетиков на открытие/закрытие механочувствительных белковых каналов, которое определяет скорость передачи электрического импульса по нервным волокнам.
Предложенный механизм сброса латеральных напряжений в биологической мембране в эксперименте «пэтч-клэмп» позволяет описать теоретически экспериментально наблюдаемый эффект спонтанного закрытия встроенных в мембрану механочувствительных белковых каналов.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
Новый функционал свободной энергии упругой деформации двухслойного смектического жидкого кристалла, включающий три поля: поле межслоиного проскальзывания, поле изгибной деформации и поле латерального растяжения. Поле проскальзывания учитывает расслоение нейтральной поверхности в смектике при деформации и локальную разность поверхностных плотностей слоев.
Теоретически предсказано четырехкратное уменьшение эффективного модуля изгиба двухслойного смектика в результате взаимного проскальзывания слоев.
Распределение латерального давления по толщине слоя смектика состоящего из гибких молекул. Представление профиля давления в виде линейной комбинации квадратов собственных функций самосопряженного оператора плотности энергии.
Основной вклад в латеральное давление (при Т~300 К) вносят лишь несколько
собственных колебаний молекулярной цепочки с наименьшей эффективной жесткостью на континуальном множестве доступных конфигураций.
5. Теоретическое описание механизма релаксации напряжений в липидном бислое
путем проскальзывания слоев при постоянной кривизне мембраны в условиях
эксперимента «пэтч-клэмп».
Апробация результатов работы:
Основные результаты были представлены и обсуждались на следующих
международных конференциях:
Международная конференция Biophysical Society 49th Annual Meeting, Лонг Бич, Калифорния, 2005.
Международный семинар СЕСАМ Biomembrane Organization And Protein Function, Лион, Франция, 2005.
Международная конференция IUPAP 5-th International Conference on Biological Physics, Ґетеборг, Швеция, 2004.
Международная конференция From Solid State to BioPhysics II: Role of Inhomogeneitics in Solid, Soft and Bio-Matter. Дубровник, Хорватия, 2004.
Международная конференция Biophysical Society 48th Annual Meeting Балтимор, Мериленд, 2004.
Международная конференция Biophysical Society 47th Annual Meeting, Сан Антонио, Техас, 2003.
Международная конференция «Бноэлсктрохимия мембран: от фундаментальных принципов к здоровью человека», Москва, 2002.
Публикации:
Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:
Baoukina S.V., Mukhin S.L Bilayer membrane in confined geometry: interlayer slide and entropic repulsion II ЖЭТФ-2004.-T. 126.-№ 4( 10).-c. 1006-1020.
Mukhin S.I., Baoukina S.V. Inter-layer slide and stress relaxation in a bilayer lipid membrane in the patch-clamp setting II Биологические мсмбраны.-2004.-Т.21 -№6.-c. 506-517.
Mukhin S.L, Baoukina S.V. Analytical derivation of thermodynamic characteristics of lipid bilayer from flexible string model II Phys. Rev. E.-2005.-V.71 .-№ 6-p.
Baoukina S.V., Mukhin S.L Equation of state of lipid membrane: self-consistent analytical derivation II Biophysical Journal-2005.-V. 88 .-№ 2 Supplement-p. 1218.
Mukhin S.L, Baoukina S.V. Analytical calculation of lateral pressure profile from microscopic model of lipid bilayer II Biophysical Joumal.-2005.-V. 88—№ 2 Supplement.-p. 1210.
Baoukina S.V., Mukhin, S. I. Dynamics of fluid bilayer membrane in confined geometry II Biophysical Journal.-2004.-V.86.-№ 2 Supplement-p. 369a.
Baoukina S.V., Mukhin, S.L 2003. Intcr-layer slide mechanism of stress relaxation in bilayer fluid membrane under pressure II Biophysical Journal.-2003.-V.84.-№ 2 Supplcment.~p. 232a.
Baoukina S.V., Mukhin, S.I. Equation of state of lipid membrane: self-consistent analytical derivation II Proceedings:"5-th IUPAP International Conference on Biological Physics" Gothenburg, Sweden.-2004.-p. 112.
Baoukina S.V., Mukhin, S.L Bilayer membrane in confined geometry: interlayer slide and cntropic repulsion. II Proceedings:"5-th IUPAP International Conference on Biological Physics" Gothenburg, Sweden-2004-p. 112.
10. Baoukina S.V., Mukhin, S.I Equation of state of lipid membrane: self-consistent analytical
derivation II Proceedings: "From Solid State to Biophysics II", Dubrovnik,
. 12.
Объем работы:
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников.
Работа содержит 92 страницы текста, 16 рисунков, 1 таблицу и 97 наименований
библиографии.
Объект исследования
Данная диссертационная работа посвящена особому типу лиотропных жидких кристаллов - двухслойным смектикам А и С. Выбор объекта исследования обусловлен большой распространенностью систем такого типа в живой природе. Характерным примером может служить клеточная мембрана (рис. 2а) - тонкая оболочка, которая окружает цитоплазму клетки (и большинство внутриклеточных структур) и служит диффузионным барьером между се содержимым и внешней средой [12]-[15]. Липидный бислой составляет основной структурный элемент клеточной мембраны, в который встроены многочисленные белковые комплексы, выполняющие разнообразные важные для жизнедеятельности клетки функции [12],[13]. При нормальных физиологических условиях липидный бислой находится в жидкокристаллическом состоянии [13],[14]. При этом в слоях отсутствует дальний порядок, в латеральном направлении молекулы обладают большой подвижностью ( 10"8см2/с) [16] и модуль сдвига равен нулю [17]. При понижении температуры наблюдается переход в так называемую гель фазу, а затем в кристаллическое состояние [18]. Рассмотрение низкотемпературных фаз не входит в данную работу. Молекулы липидов, составляющие бислой, являются амфифильными, которые имеют вытянутую форму и благодаря гибкости молекул обладают большим числом степеней свободы [19]. Молекулы липидов в полярном растворителе (вода) агрегируются в различные моно- и многослойные структуры: плоский липидный бислой, сферические липосомы или везикулы; возможно образование гексагональных фаз, мицелл, и т.п.[20],[21]. Липидный бислой не просто является матрицей для мембранных белков, но активной средой, которая существенно влияет на функционирование встроенных элементов [13]-[15]. Изменение состава и физических свойств бислоя может ингибировать или активировать отдельные функции встроенных белков [22],[23]. Теоретическое моделирование липидного бислоя для объяснения и предсказания свойств клеточных мембран представляет собой большое прикладное значение для биологии и медицины. Следует подчеркнуть, что в данной работе рассматриваются физические свойства двухслойных смектических жидких кристаллов и используются стандартные методы теоретической физики конденсированного состояния.
Двухслойный смектик может служить моделью для теоретического изучения механических и термодинамических свойств биологических мембран. Возможные применения результатов к описанию физических свойств биологических мембран обсуждаются по мере изложения основного материала. Применение равновесной термодинамики для моделирования свойств мембран и интерпретации экспериментальных данных оправдано по следующим причинам. При экспериментальном изучении мембран часто используют модельные системы: искусственные (построенные из синтетических липидов) липидные бислои или липосомы (со встроенными белками), а также фрагменты (patch) клеточной мембраны [24]. В данной работе биологическая мембрана рассматривается как модельная система: липидный бислой со встроенными белками (рис. 26); при этом не затрагиваются проблемы живой клетки как открытой неравновесной системы. Отличительной особенностью рассматриваемой системы является наличие только двух смектических слоев, что приводит к малости поперечного размера жидкого кристалла по сравнению с продольными размерами (характерная толщина мембраны составляет несколько нанометров, продольные размеры имеют, как правило, порядок микрона). Это часто позволяет пренебречь трехмерной структурой смектика. Другой важной особенностью рассматриваемого объекта является пренебрежимо малое (поверхностное) натяжение, т.е. интеграл от латерального давления по толщине, в отсутствие внешних сил. Далее в работе двухслойный смектик будем для краткости называть мембраной, принимая во внимание особые отмеченные выше свойства объекта исследования и подразумевая применение рассматриваемых моделей для описания биологических мембран. Теоретическое моделирование мембран, по сравнению с изучением жидких кристаллов вообще, имеет небольшую историю. Особый интерес к мембранам возник в 70-х годах прошлого столетия главным образом в связи бурным развитием биологии и необходимостью физической интерпретации накапливающихся экспериментальных данных. Феноменологические модели хорошо описывают физические свойства мембран на больших масштабах по сравнению с молекулярными размерами, В теории Ландау производится разложение плотности свободной энергии по степеням параметров порядка. Примером использования данного подхода для мембран является описание перехода жидкий кристалл - гель. Данный фазовый переход характеризуется трансляционным и ориентационным упорядочением в слоях мембраны. Для каждого мономера m в молекулярной цепочке определяется ориентационный параметр порядка Sm (2) и параметр Хт, описывающий среднюю ориентацию мономера по отношению к директору [25]: При выводе функционала энергии ограничиваются средними значениями параметров X и S по всем мономерам в цепочке: X = l/N Xm , S = l/N ]Sm . Параметр X косвенно учитывает трансляционный порядок, определяя плотность мономеров на единицу площади: X p-Im =1/А, 1т - длина мономера, р - объемная плотность мономеров, которая полагается постоянной. Плотность свободной энергии записывается следующим образом: где коэффициенты щ являются функциями X, например сц -Х2, и температуры. Равновесные значения X и S находятся из условия минимума свободной энергии. Данная теория применяется для описания системы вблизи точки фазового перехода.
Во многих моделях рассматриваются только механические свойства мембраны, при этом функционал энергии мембраны представляет собой энергию упругой деформации. Для построения функционала свободной энергии упругой деформации выбирают ряд структурных параметров системы и проводят разложение по степеням параметров и их пространственных производных. Выбор параметров и количество слагаемых в разложении зависит от свойств симметрии системы и характера деформации. Описание имеющихся в литературе моделей мембран удобно начать с рассмотрения объемных многослойных смектиков. Состояние жидкого кристалла в статическом случае можно описать заданием его пространственной плотности и директора, п, как функций координат. Вид свободной энергии деформации будет зависеть от симметрии жидкого кристалла. Запишем выражение для свободной энергии деформации жидкого кристалла, состоящего из ахиральных (зеркально-симметричных) молекул. В предположение малых упругих деформаций, при которых характерные пространственные масштабы изменения деформаций велики по сравнению с молекулярными размерами, производные директора по координатам должны рассматриваться как малые величины. Плотность свободной энергии упругой деформации смектика, F f, представляет собой квадратичное разложение по производным директора [26]: Fd =b.(divn)I+b.(n.rotn)z+iSi(nxrotn)2-ba.(n.divn-rotn) (6) где положительные коэффициенты Ki, К.2, Кз, Ki 2 (функции плотности и температуры) называются упругими модулями (константами упругости) Франка; знак х обозначает векторное произведение. Первое слагаемое в выражении (6) описывает деформацию поперечного изгиба (splay), второе слагаемое - деформацию кручения (twist), третье слагаемое - деформацию продольного изгиба (bending), четвертое слагаемое описывает сложную деформацию, включающую в себя продольный изгиб и кручение [2]. В выражение (6) не включено слагаемое описывающее диэлектрическую поляризацию жидкого кристалла, возникающую при его деформации, поскольку этот эффект обычно слаб [2],[27]. Выражение (6) также не содержит слагаемых, отражающие изменение ориентации директора под действием электрического и магнитного полей, поскольку описание влияния электрического и магнитного полей на жидкий кристалл выходит за рамки данной работы. Рассмотрим подробнее смектик А. В смектике А директор п перпендикулярен слоям, расстояние между слоями постоянно.
Конфигурационная энтропия молекул. Приближение среднего поля
Области раздела полярных и неполярных групп в мембране представляются как две плоскости, которые ограничивают решетку сверху и снизу. При этом первые мономеры в каждой цепочке, которые соединяются с полярными группами, принадлежат плоскостям раздела. Модель не рассматривает особенности химической связи углеводородных цепочек с полярными головами, а также неровность поверхности раздела гидрофобных и гидрофильных групп, вызванную флуктуациями положения молекул перпендикулярно плоскости мембраны. Конфигурация цепочки, таким образом, представляется набором смежных узлов кубической решетки. Гош-конформация в решеточной модели представляет собой изгиб цепочки на 90. Пересечение цепочек для простоты исключается. Это позволяет для конечного числа сегментов в цепочке численно найти статистическую сумму (41). Узлы решетки подразделяются на слои, параллельные плоскостям раздела. Вместо координаты z вдоль нормали к поверхности мембраны рассматривается номер слоя к от поверхности раздела. В каждом слое на конфигурации налагается условие постоянства плотности мономеров (42) и определяется давление тг(к), и затем, используя выражения (43)-(44), вычисляются свободная энергия и термодинамические характеристики мембраны (например, энтропия, теплоемкость). Важной особенностью данного подхода является возможность вычислить распределение ряда термодинамических характеристик мембраны вдоль оси молекул (или нормали к плоскости мембраны) [5б],[б0]. Модель позволяет вычислить значения ориентационного параметра порядка (2) для каждого мономера к, определяя угол 6t как угол между нормалью к плоскости мембраны и вектором, соединяющим мономеры к-1 и к+1. В рамках модели можно рассматривать смесь цепочек разной длины, наличие ненасыщенной связи в углеводородной цепочке, определив для данного мономера отрицательную энергию cg в формуле (39) [22]. Недостатками решеточной модели являются: дискретность пространства конфигураций цепочек, численный расчет термодинамических характеристик мембраны, не позволяющий получить аналитические зависимости, обязательное условие постоянства плотности мономеров, которое противоречит экспериментальным данным. 1.4.6. Растворы жестких и полугибких стержней Углеводородные цепочки молекул липида в слоях мембраны можно рассмотреть как полимерный раствор.
В теории Онсагера для раствора длинных жестких цилиндрических стержней стерический и конфигурационный вклад в энергию взаимодействие записывается в виде [7],[10]: где N — число стержней в растворе, с — объемная концентрация стержней в растворе, f(n) — функция распределения стержней по ориентациям, Ю.Л — элемент телесного угла. Первое слагаемое в (45) представляет собой трансляционный вклад в энергию, второе слагаемое описывает потери энтропии, связанные с ориентационным упорядочением, третье слагаемое есть энергия (стерического) взаимодействия стержней. Здесь взаимодействие стержней рассматривается во втором вириалыгом приближении, которое может быть использовано для малой концентрации раствора; B((p) = 2L2dsin(f второй вириальный коэффициент стерического взаимодействия стержней, длинные оси которых, задаваемые векторами пі и П2 , составляют угол ф, L — длина стержня, d - диаметр. Метод также можно обобщить для случая высоких концентраций стержней[65]. Метод Онсагера можно расширить для случая гибких стержней. Стержень (полимерная цепочка) разбивается на участки конечной длины, таким образом, что каждое звено можно считать жестким стержнем. Для полугибких молекул стерическое взаимодействие (третье слагаемое в правой части (45)) можно записать в виде [10],[66]: Для случая гибкого полимера с персистентной длиной 1р много меньше длины цепочки L, метод определения энтропийного вклада основан на том, что зависимость единичного вектора п от номера звена можно рассматривать как реализацию дискретного случайного блуждания точки на единичной сфере (номер звена играет роль времени, а положение точки на сфере задается вектором п). Функция f(n) в этом случае представляет собой определенным образом нормированную «концентрацию» звеньев в «точке» п. Таким образом, задача вычисления ориентационной сводится к вычислению конформационной энтропии полимерной глобулы. Вклад ориентационной энтропии (второе слагаемое в (45)) имеет вид [66],[67]: Fconf=NkBT J dnn (47) Альтернативным подходом в моделировании состояния углеводородных цепочек в мембране может быть решение задачи о полугибком полимере конечной длины во внешнем потенциале [68J,[69]. В таком случае рассматривается непрерывное множество доступных конфигураций углеводородных цепочек; внешний потенциал моделирует ограничение доступных конфигураций цепочки в слое. Углеводородную цепочку можно отнести к полугибкому полимеру, поскольку се персистентная длина меньше полной длины цепочки [9],[70]. Задача о полугибком длинном полимере во внешнем потенциале рассмотрена в работах [71], [72]. Для цилиндрически симметричной задачи в случае малых отклонений полимера от своей оси статистическая сумма Z полимера записывается как функциональный интеграл по всем доступным конфигурациям [71]: где R - отклонение полимера от своей оси, z - координата вдоль оси полимера, 1р -персистентная длина, V(R) — внешний потенциал. Первое слагаемое в (48) представляет собой изгибную энергию полимера в случае малых отклонений от оси z. Для нахождения статистической суммы необходимо решить следующее дифференциальное уравнение: где U=dR/dz - характеризует наклон касательной в точке z. Решение ищется в виде v/(R,U)exp(-Ez), собственные функции уп и собственные значения Е„ удовлетворяют уравнению (Н-Еп)уг =0 с «гамильтонианом» Н = U VR VJJ1 + V(R) и определенными граничными условиями.
Для произвольного потенциала V(R) решение такой задачи является весьма сложным. В случае длинного полимера в гармоническом потенциале V = bR2 удается найти точное решение. Свободная энергия AF на единицу длины равна [71]: где Ео - наименьшее собственное значение. При этом, аналогично квантово-механическому осциллятору «уровни энергии» Е„ находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Используя условие самосогласования для неизвестного коэффициента Ь: 1 д F 1 _2 находится окончательное выражение для свободной энергии на единицу длины полимера в ограниченном потенциале: Используя полученное выражение для свободной энергии можно вычислить ряд термодинамических характеристик полимера в параболическом потенциале. В работе [71] термодинамические характеристики полимера не рассмотрены. Плотность свободной энергии упругой деформации анизотропной среды может быть представлена в квадратичном приближении по тензору деформации [27],[73]; где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам i, к, 1, т. Индексы i, к, 1, т принимают значения 1, 2, 3, соответствующие пространственным осям х, у, z в декартовой системе координат. Здесь и - тензор деформации, Xiklni - тензор модулей упругости (4-го ранга). По определению, тензор модулей упругости является симметричным по отношению к перестановкам индексов і о к, 1 -е-)- m and i,k - l,m: шпі - tiim - -ikmi = taii и имеет 21 независимую компоненту. С учетом выражения (53) (симметричный) тензор напряжений определяется следующим образом: В среде обладающей определенной симметрией существует связь между различными компонентами тензора -iklm, и число независимых элементов сокращается. Введем декартову систему координат таким образом, что ось z перпендикулярна недеформированной (плоской) мембране, а плоскость (х,у) совпадает с общей (плоской) поверхностью слоев (рис. 5). Пусть толщина каждого слоя в мембране равна h, плоскую мембрану будем рассматривать как двухслойную пластинку с линейными размерами в плоскости много больше ее толщины: R»2h. Плоскость (х,у) является плоскостью зеркальной симметрии. Это подразумевает, что свободная энергия должна быть инвариантна при преобразовании: х— х, у- у, z— —z. Поэтому все компоненты тензора модулей упругости A,ik]m с четным числом индексов z должны быть равны нулю. Мембрану можно считать изотропной в латеральном направлении.
Равновесная конфигурация под действием внешнего давления
Пусть к поверхности мембраны приложена внешняя сила, создаваемая за счет разности давлений Р снаружи и внутри пипетки. Свободную энергию мембраны под действием внешней силы на единицу площади Р запишем следующим образом: Под действием приложенного к мембране давления Р происходит отрывание молекул слоя 2 от стенок пипетки, что приводит к возрастанию числа молекул в изогнутой части слоя 2. При этом разумно предположить, что число молекул в изогнутой части слоя 1 также увеличивается, причем: если нет переноса молекул из резервуара и/или проскальзывания слоев. Множитель Лагранжа Х3 в (133) обеспечивает одинаковое возрастание числа молекул Ni(P)-Nj0 в изогнутой части слоев І=1,2 по отношению к состоянию мембраны при Р=0. Благодаря малой толщине мембраны, мы можем считать натяжения в слоях равными: где параметр Т введен для удобства дальнейших вычислений. Равновесная конфигурация мембраны находится путем минимизации (133) по пяти независимым переменным Н, aj и Н: Система уравнений (136)-(139) решается численно путем перехода к параметрам (117)-(118). 3.3.4. Равновесная конфигурация под действием внешнего давления: релаксация напряжений Выражение для свободной энергии мембраны под действием внешнего давления (133) не учитывает возможность изменения числа молекул в мембране за счет взаимного проскальзывания слоев и переноса части молекул из резервуара в изогнутую часть слоя 1. В то же время, перенос молекул в изогнутую часть слоя 2 затруднен ввиду прилипания его краев к стенкам пипетки. Запишем свободную энергию мембраны для этих условий: Выражение (140) получено из (133) путем сброса до нуля натяжения Т] в слое 1 и исключения слагаемого с множителем Лагранжа Х,3. Если слой I сообщается с резервуаром, то перенос молекул в растянутую часть слоя приводит к сбросу натяжения в слое и является термодинамически выгодным, как будет показано ниже. В верхнем слое натяжение возрастает согласно формуле Лапласа: Равновесная конфигурация мембраны находится путем минимизации функционала (140) по независимым переменным N;, а; и Н: В ходе эксперимента «пэтч-клэмп» измеряется активность белкового комплекса (канала), которая заключается в электрической проводимости мембраны при создании разности потенциалов на электродах в растворе. Липидный бислой непроницаем для ионов, перенос ионов осуществляется через открытые белковые каналы.
Механочувствительные белковые каналы открываются под действием механических напряжений в мембране [87]-[84], которые возникают за счет растяжения мембраны при приложении разности давлений. Кинетика проницаемости мембраны определяется характерными временами различных процессов в ходе эксперимента [81], при этом мембрана и каналы проходят через ряд разделенных по времени состояний. В начальный момент времени мембрана находится в пипетке при нулевой разности давлений, конечная энергия адгезии приводит к слабому отклонению мембраны от плоской конфигурации, см. п. 3.3.2. Данное состояние мембраны можно описать, используя свободную энергию (125) и уравнения равновесия (126)-(129). 3.4.1. Распространение механических напряжений Импульс внешнего давления (т.е. разности давлений по обе стороны мембраны) вызывает изгиб мембраны. Скорость распространения изгибных деформаций в мембране можно оценить, используя известную формулу для частоты изгибных волн соь в тонкой пластинке [27]: где кь - модуль изгиба, q — волновой вектор, р - объемная плотность мембраны, 21о -толщина мембраны. Используем следующие значения для параметров, входящих в 2я формулу (147): q —, R 1-5MKM, р 1г/см3, 210 4нм . Тогда получаем следующее R значение для характерного времени ть распространения изгибных деформаций в мембране: В данной формуле следует учесть возрастание динамической толщины мембраны за счет трения в окружающем растворе и фактическое вовлечение нескольких прилегающих молекулярных слоев воды в смещение мембраны. Это позволяет записать следующую оценку для времени распространения изгибных деформаций [81]: На таком коротком временном масштабе мембрана ведет себя как единое целое, проскальзывание слоев и перенос дополнительных молекул не успевают происходить (см. ниже оценки характерных времен). Данному состоянию соответствует свободная энергия в форме (133) и уравнения равновесия (136)-(139), см. п. 3.3.3. Состояние мембраны, описанное в п. 3.3.3, не является полностью равновесным, поскольку вдоль поверхности нижнего слоя существует градиент натяжения VT,. Градиент натяжения возникает, т.к. в изогнутой части слоя 1 натяжение конечно Т, Ф 0, при этом в резервуаре (который сообщается с нижним слоем) натяжение равно нулю, см. рис.8.
Это приводит к проскальзыванию нижнего слоя относительно верхнего, который закреплен о стенки пипетки за счет прилипания молекул. Скорость проскальзывания Vs определяется коэффициентом вязкого сопротивления (drag) [40],[85], bs: где T, kA-a, a = (aJeL0-l) - поле растяжения поверхности мембраны, кА - модуль изотермического сжатия. Тогда, условие консервативности поля растяжения принимает форму уравнения диффузии: где D=— играет роль коэффициента диффузии поля растяжения. Тогда время релаксации натяжения в слое I, которое необходимо на выравнивание растяжения вдоль поверхности нижнего слоя 1 между центром изогнутого слоя и резервуаром вдоль пути длиной R имеет порядок: Характерное значение для относительного растяжения поверхности мембраны можно оценить как: а 0.05. Типичное значение коэффициента вязкого сопротивления для мембраны составляет: bs 108 Н-сек/м3 [85]. Разность давлений в эксперименте приблизительно составляет 50 мм рт.ст., что соответствует натяжению в мембране Т, =11.8-10-3 Н/м при радиусе кривизны гкЗ.5 мкм [80]. Поэтому начальное натяжение в слое 1 равно: Т, = Т/2 6-Ю"3 Н/м, что приводит к полученному значению для времени релаксации (152). Время релаксации тґ может возрасти в результате увеличения коэффициента вязкого сопротивления bs за счет взаимного проникновения молекул между слоями в растянутой части мембраны и/или существенной плотности белковых каналов пронизывающих мембрану. За время гг мембрана достигает состояния полного равновесия, которому соответствуют уравнения равновесия (142)-(146) и свободная энергия в форме (140). Перенос молекул в нижний слой мембраны из резервуара может также осуществляться диффузионным путем [81]. Как будет показано ниже, количество молекул AAfj, которое необходимо перевести из резервуара в нижний слой мембраны для сброса натяжения Ті в нижнем слое до нуля, весьма существенно: AN,--0.04N,. Мы также вычислили время диффузии rd, за которое молекулы перейдут из резервуара в нижний слой двигаясь хаотически, т.е. без проскальзывания нижнего слоя как целого относительно верхнего. Коэффициент диффузии липидов известен из экспериментальных данных, его величина при комнатной температуре составляет: D (I +10)-10"8 см2/сек [86]. Это позволяет оценить характерное время диффузии rd: которое оказывается на 1-2 порядка меньше чем характерное время проскальзывания г,, (152). Поэтому, если взаимное проскальзывание слоев не затруднено, то вклад диффузии молекул не существенный. Под действием импульса внешнего давления мембрана подвергается изгибу и растяжению. Натяжение в слоях мембраны, см. п. .3.3.3., вызывает открытие встроенных в мембрану механочувствительных каналов [83],[84],[87]. Открытие каналов связано с преодолением активационного барьера, высота которого уменьшается под действием натяжения в слоях [88]. Характерное время активации белковых каналов можно оценить по следующей формуле[81]: где к - «частота попыток» для закрытого канала, Вс - упругий модуль канала в закрытой конформации, Ас - площадь поры в закрытом канале, Аь - площадь поры канала в переходном состоянии, То - температура.
Распределение ориентационного параметра порядка вдоль оси молекулы
Модель позволяет вычислить среднеквадратичное значение тангенса угла наклона кривой, характеризующей отклонение цепочки, как функцию вдоль оси цепочки: В приближении малых отклонений цепочки от своей оси (159) параметр tg2(8) также является малой величиной. Тогда можно использовать приближенное выражение: из которого легко найти распределение ориентационного параметра порядка вдоль оси цепочки: Распределение ориентационного параметра порядка представляет интерес, поскольку его можно сравнить с экспериментальными данными: S--2SCD (см. п. 1.4, формула (25)), в отличие от распределения латерального давления (178), которое трудно измерить экспериментально. Найдем решение уравнения самосогласования (170), которое позволит выразить неизвестный коэффициент В через площадь А и представить свободную энергию цепочек как функцию площади, приходящейся на молекулу и температуры. Для этого удобно перейти к безразмерным параметрам: и ввести дополнительные параметры где L 15 А - длина цепочки, Ао 20 А2 — «несжимаемая» площадь поперечного сечения цепочки, KfskBTL/3 - изгибная жесткость при Т Т0=300 К. Используя данные значения, получаем v = 0.005 . В новых обозначениях (186)-(187), используя выражение (165) для ЕЦ, уравнение самосогласования (170) можно переписать в виде: Слагаемые в сумме в левой части выражения (188) быстро убывают с ростом п, например, С=31, С2=914, Сз=5571, и т.д. Количество слагаемых, которые дают существенный вклад в сумму, зависит от порядка величины параметра Ь, который, в свою очередь, зависит от эффективного натяжения в слое Ре#, согласно условию равновесия (173). Выбор эффективного натяжения в слое для биологической мембраны в интервале 0.05 Peff 0.15 Н/м [95], определяет соответствующий интервал для параметра Ь: 7-Ю2 Ъ й 10і. Для данных значений b сумму по п в левой части выражения (188) можно заменить интегралом: Интересно отметить, что при интегрировании правой части выражения (189) по переменной b получаем: AF, Ъ1/4, что согласуется с ранее полученным результатом для полугибкого полимера [71] с использованием другого метода вычисления свободной энергии, Подставляя результат (189) в (188), находим зависимость Ь(а): Подставляя выражение (190) в свободную энергию и затем в уравнение состояния (171), получаем аналитическое выражение для вклада цепочек в латеральное натяжение в слое: В выражении (191) введен дополнительный множитель 21/3 , чтобы скомпенсировать замену несимметричной по отношению к замене п на —п суммы симметричным интегралом в (189).
Этот множитель найден путем наложения аналитической зависимости Р(а) на кривую, полученную численным суммированием левой части выражения (189). График зависимости латерального натяжения (вклад молекулярных цепочек) от площади, приходящейся на молекулу в слое, (см. формулу (171) и полученную зависимость (191)) представлен на рис. 13. При увеличении расстояния между молекулами увеличивается конфигурационная свобода молекулярных цепочек. При этом Найденная зависимость натяжения от площади (191) позволяет рассчитать вклад молекулярных (углеводородных) цепочек в модуль изотермического сжатия мембраны (172). Полученное расчетное значение кА =0.1 Н/м заметно меньше экспериментального значения для биологической мембраны kAEXP = 0.25 Н/м [37],[38]. Поэтому можно заключить существенный вклад в модуль изотермического сжатия вносят полярные группы. На рис. 15 представлено вычисленное аналитически распределение латерального давления по толщине слоя. Данная зависимость согласуется с данными расчетов методом молекулярной динамики [95]-[97]. Профиль латерального давления выражен через собственные функции оператора плотности энергии цепочки. Собственные функции оператора плотности энергии параметризуют множество доступных конфигураций цепочки. Основной вклад в латеральное давление вносят первые несколько собственных функций, которым соответствуют наименьшие собственные значения Еп. Эти собственные значения играют роль жесткостеи «осцилляторов», представляющих коллективные колебания цепочки. Меньшим жесткостям соответствуют большие амплитуды по закону равнораспределения энергии. Вклад в давление тем больше, чем больше амплитуда. Таким образом, латеральное давление есть сумма вкладов лишь нескольких конфигураций цепочки с наименьшими жесткостями из множества допустимых. Согласно рис. 15, латеральное давление уменьшается от начала к центру цепочки, имеет почти плоскую область в середине цепочки и существенно возрастает в конце цепочки. Характер профиля латерального давления можно понять, сопоставив отклонения свободной цепочки и цепочки в слое мембраны. В п. 4.2.2 показано, что амплитуда отклонения цепочки в слое из-за присутствия соседних молекул уменьшается практически на порядок по сравнению со свободной цепочкой. Ограничение множества доступных конфигураций приводит к уменьшению энтропии и, как следствие, к возрастанию давления энтропийной природы. Существенное уменьшение амплитуды отклонения цепочки в слое происходит на ее концах. В центральной части относительное изменение амплитуды менее выражено благодаря соединению мономеров в цепочке, которое ограничивает флуктуации. Различный характер поведения давления в начале и конце цепочки объясняется различным выбором граничных условий.
Данная кривая не согласуется с результатами численных расчетов латерального давления по методу среднего поля с использованием решеточной модели для молекулярных цепочек [22],[56],[60], см. п. 1.4.3-1.4.4. В данных работах латеральное давление возрастает от начала к центру цепочки и существенно уменьшается на свободном конце. Несовпадение результатов связано со следующими обстоятельствами [68]: в отличие от данной работы, в решеточной модели рассматриваются значительные отклонения цепочки от своей оси, и налагается условие постоянства плотности мономеров, которое противоречит экспериментальным данным, см. п. 1.4. При уменьшении эффективного натяжения в мембране (синяя кривая), происходит перераспределение латерального давления, связанное с соответствующим увеличением равновесной площади, приходящейся на молекулу. При этом количество собственных функций, которые дают вклад в латеральное давление уменьшается, поскольку вклады «осцилляторов» с малыми амплитудами (большими жесткостями) оказываются несущественными. В начале кривой увеличение параметра порядка есть артефакт, связанный с граничными условиями. Порядок величины ориентационного параметра порядка указывает, что в рассматриваемом пределе малых отклонений цепочки он соответствует гель-состоянию биологической мембраны. При уменьшении эффективного натяжения в мембране происходит разупорядочение, наиболее существенное на свободном конце цепочки. Для молекулярной цепочки с конечной изгибной жесткостью рассмотрена модель полугибкого полимера конечной длины и толщины в самосогласованном внешнем потенциале, который моделирует присутствие соседних молекул в слое смектика. Гибкость молекул приводит к большой конфигурационной свободе молекул, которая оказывается существенно ограничена в слое мембраны из-за присутствия «соседей», что приводит к отталкиванию энтропийной природы между молекулами. С использованием данной модели найдена аналитически зависимость латерального натяжения в слое от температуры и средней площади, приходящейся на молекулу. Получено в аналитическом виде распределение латерального давления по толщине слоя. Профиль латерального давления выражен через собственные функции самосопряженного оператора плотности энергии молекулярной цепочки. Неоднородное распределение давления является следствием вытянутой формы и гибкости молекул. Данная характеристика представляет большой практический интерес для биологических мембран.
