Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Микроскопическая модель последовательного резонансно-туннельного транспорта в сверхрешетках со слабой туннельной связью 27
1.1. Введение 27
1.2. Основные предположения. Базовый математический аппарат 28
1.3. Рассеяние на ионизованных примесях 34
1.4. Рассеяние на фононах 37
1.5. Рассеяние на шероховатости гетерограниц 39
1.6. Результаты численного моделирования и их обсуждение 44
1.7. Заключение 53
Приложение 1.1 55
Приложение 1.2 56
Приложение 1.3 70
Приложение 1.4 75
Приложение 1.5 81
Приложение 1.6 82
Приложение 1.7 88
Глава 2. Спектр электрона в квантовой яме в сильных наклонном магнитном и поперечном электрическом полях 90
2.1. Введение 90
2.2. Метод расчета 90
2.3. Результаты численного моделирования и их обсуждение 95
2.4. Заключение 105
Приложение 2.1 107
Приложение 2.2 108
Глава 3. Резонансно-туннельный транспорт в сверхрешетках со слабой туннельной связью в сильном наклонном магнитном поле 110
3.1. Введение ПО
3.2. Модель 111
3.3. Результаты численного моделирования и их обсуждение 116
3.4. Заключение 126
Приложение 3.1 128
Приложение 3.2 130
Заключение. Основные результаты работы 134
Основные публикации автора по теме диссертации 137
Список цитируемой литературы
- Основные предположения. Базовый математический аппарат
- Результаты численного моделирования и их обсуждение
- Результаты численного моделирования и их обсуждение
- Модель
Введение к работе
Проявляемый в последние годы значительный интерес к изучению поперечного транспорта в полупроводниковых сверхрешетках и структурах с квантовыми ямами обусловлен прежде всего использованием явления резонансного туннелирования в таких структурах для селективной накачки верхних подзон размерного квантования, достижения инверсной заселенности подзон и создания униполярных инжекционных ИК-лазеров на межподзонных оптических переходах [1], а также открытием новых эффектов, связанных с резонансно-туннельным характером протекания тока в таких структурах, например, токовой мультистабилыюсти [2,3] и возникновения самоподдерживающихся высокочастотных осцилляции тока в поперечном постоянном электрическом поле [4-6].
В основе указанных явлений лежит резонансно-туннельный характер протекания тока. При этом принципиально важную роль в туннельном транспорте играют процессы рассеяния носителей, существенным образом определяя как величину туннельного тока, так и профиль туннельного резонанса. Поэтому при моделировании туннельного транспорта в сверхрешетках и структурах с квантовыми ямами учет процессов рассеяния носителей в процессах туннелирования чрезвычайно важен. При этом для количественного описания данного явления процессы рассеяния необходимо не привносить извне, как феноменологический параметр, а проводить их учет в процессе рассмотрения резонансного туннелирования на микроскопическом уровне.
Более того, для корректного описания процессов резонансного туннелирования в сильном электрическом поле, в частности туннелирования в высоколежащие подзоны, необходимо учитывать влияние электрического поля на процессы рассеяния, а также принимать во внимание наличие большого числа связанных электрическим полем подзон размерного квантования.
Значительный шаг в этом направлении был сделан в работах А.Вакера [8-Ю]. Им была построена микроскопическая модель, основанная на аппарате одиоэлектрон-ных функций Грина [7], позволившая без использования подгоночных параметров получить согласующиеся с экспериментом плотности туннельного тока. Однако диапазон применимости данной модели ограничен областью достаточно слабых электрических полей, для которых выполняется условие eFa Ei (F - напряженность электрического поля, а - ширина ямы, Ei - энергия основного состояния в яме). В этом случае влияние электрического поля на процессы рассеяния малосущественно, и им в [8-Ю] пренебрегалось. Кроме того, проведенные в [8-Ю] расчеты ограничивались рассмотрением туннельных переходов только между первой и второй подзонами.
В связи с этим была весьма актуальной задача построения модели, которая, наряду с учетом на микроскопическом уровне процессов рассеяния, принимает во внимание влияние на процессы рассеяния сильного электрического поля, а также наличие в ямах большого числа связанных электрическим полем подзон размерного квантования.
Построение такой модели существенно расширяет диапазон структур, для описания которых она может быть корректно применена. В частности, данная модель позволяет описать структуры с широкими квантовыми ямами [3,11,12,13,14,15] (т.е. малыми энергиями размерного квантования), в которых в яме имеется большое число низко расположенных подзон размерного квантования, и уже для резонансов, отвечающих туннелированию в достаточно глубоко лежащие в яме подзоны, электрические поля существенно выходят за условия применимости модели [8-10].
Построение такой модели дает возможность ответить также и на ряд актуальных качественных вопросов. Во-первых, позволяет объяснить, почему ширина туннельного резонанса в таких структурах, полученная из экспериментов [3,11,12,13], в несколько раз превышает теоретические оценки с использованием времен релаксации, рассчитанных по правилу Ферми [14-16]. Во-вторых, позволяет получить зависимость характеристик туннельного резонанса (амплитуды, ширины и симметрии резонансного пика) от номера подзоны, в которую происходит туннельный переход, и указать относительную роль в такой зависимости различных механизмов рассеяния.
Изучение транспорта в структурах с широкими квантовыми ямами помимо фундаментальной, также имеет и практическую значимость, поскольку эти структуры имеют перспективу использования в качестве основы для создания нового типа полупроводниковых квантовых генераторов субмиллиметрового диапазона [13,14] и элементов многоуровневой логики [17].
Большой интерес с фундаментальной и прикладной точки зрения представляет задача о влиянии магнитного поля на туннельный транспорт в полупроводниковых сверхрешетках.
В ряде работ [18-27] было показано, что параллельное слоям магнитное поле приводит к существенным качественным изменениям в вольт-амперных характеристи ках (ВАХ) сверхрешеток и структур с квантовыми ямами, в то время как при поперечной ориентации магнитного поля таких изменений не происходит. Это свидетельствует о том, что влияние магнитного поля на ВАХ сверхрешеток должно существенным образом меняться с ориентацией магнитного поля относительно плоскости слоев.
Поскольку магнитное поле является легко регулируемым внешним по отношению к структуре параметром, то указанное обстоятельство можно использовать при создании устройств с перестраиваемыми внешним образом вольт-амперными характеристиками, что вызывает определенный прикладной интерес.
К моменту начала данной работы не существовало теории, обеспечивавшей количественное описание поперечного транспорта в сверхрешетках в магнитном поле произвольной ориентации. Кроме того, имел место достаточно ограниченный объем и экспериментальных исследований влияния наклонного магнитного поля на поперечный транспорт сверхрешетках и структурах с квантовыми ямами.
Поэтому задача построения такой теории и проведения с ее помощью численного эксперимента, позволяющего выявить главные механизмы влияния магнитного поля на резонансно-туннельный транспорт, была весьма актуальной.
Отдельный интерес представляет задача точного решения уравнения Шрединге-ра для электрона в изолированной полупроводниковой квантовой яме в сильных произвольным образом ориентированном магнитном и поперечном электрическом полях. При этом особый интерес представляет случай, когда энергии размерного и магнитного квантования близки по величине. Сложность данной задачи заключается в том, что переменные в уравнении Шредингера полностью не разделяются, задача является принципиально двумерной и аналитического решения не имеет.
Задача о спектре электрона в наклонном магнитном поле решалась численно в ряде работ [28-35], при этом использовались как теория возмущений и вариационный метод, так и различные численные подходы [33,36,37]. Тем не менее, в ситуации, когда энергии размерного и магнитного квантования близки по величине, систематического исследования спектра во всем диапазоне ориентации магнитного поля, как теоретического, так и экспериментального, не проводилось.
Вследствие этого задача о решении уравнения Шредингера в такой ситуации во всем диапазоне ориентации магнитного поля сохраняла свою актуальность, даже и без внешнего электрического поля. Кроме того, в ряде приложений (например, в задаче о транспорте) помимо сильного магнитного поля, также важно учитывать влияние на спектр сильного поперечного электрического поля.
Целями диссертационной работы являлись:
1) построение микроскопической модели резонансно-туннельного транспорта в полупроводниковых сверхрешетках со слабой туннельной связью, позволяющей из первых принципов провести расчет туннельного тока для широкого класса структур, в том числе и для структур с широкими квантовыми ямами, а также проведение численного эксперимента в таких структурах по изучению роли различных механизмов рассеяния при туннелировании в различные подзоны;
2) изучение поведения связанных состояний электрона в квантовой яме из немагнитных полупроводников в сильных наклонном к слоям структуры магнитном и поперечном электрическом полях во всем диапазоне ориентации магнитного поля в ситуации, когда энергия Ландау и энергии размерного квантования близки по величине;
3) исследование влияния сильного магнитного поля произвольной ориентации на процессы резонансного туннелирования в сверхрешетках.
Научная новизна работы:
1) Построена модель резонансно-туннельного транспорта в слабосвязанных сверхрешетках и структурах из квантовых ям, принимающая во внимание влияние на процессы рассеяния сильного электрического поля, а также наличие в ямах большого числа связанных электрическим полем подзон размерного квантования, с помощью которой без использования подгоночных параметров рассчитаны количественно согласующиеся с экспериментом профили туннельного резонанса для переходов между различными подзонами размерного квантования. Для структур с широкими квантовыми ямами изучена роль различных механизмов рассеяния (на примесях, фононах и шероховатости гетерограниц) при туннелировании в различные подзоны.
2) Получена зависимость спектра связанных состояний электрона в квантовой яме из немагнитных полупроводников во всем диапазоне ориентации магнитного поля в ситуации, когда энергии размерного квантования и энергия Ландау близки по величине. Изучено влияние на энергии и волновые функции наряду с магнитным, также и сильного электрического поля.
3) Теоретически изучен резонансно-туннельный транспорт, обусловленный туннельными переходами между уровнями Ландау различных подзон, в сверхрешетках со слабой туннельной связью из немагнитных полупроводников в сильном магнитном поле произвольной ориентации. Изучено поведение резонансно-туннельных характеристик сверхрешетки (профиля туннельного резонанса и ВАХ сверхрешетки в условиях формирования домена электрического поля) при изменении напряженности и ориентации магнитного поля.
Практическая значимость работы определяется полученной возможностью расчета параметров - энергетического спектра, резонансно-туннельных транспортных характеристик - широкого класса структур, используемых при разработке новых устройств в опто- и наноэлектронике.
Основные результаты работы:
1) Построена микроскопическая модель резонансно-туннельного транспорта в полупроводниковых сверхрешетках со слабой туннельной связью, которая позволяет из первых принципов провести расчет зависимости туннельного тока от приложенного вдоль оси роста структуры электрического поля (профиль туннельного резонанса) для широкого класса структур, в том числе и для структур с широкими квантовыми ямами (т.е. малыми энергиями размерного квантования). Модель принимает во внимание процессы рассеяния на примесях, фононах и шероховатости гетерограниц, зависимость процессов рассеяния от электрического поля и наличие в ямах большого числа связанных электрическим полем подзон размерного квантования.
С помощью данной модели были рассчитаны профили туннельного резонанса, включающие резонансы с большими номерами, для структур с широкими квантовыми ямам (высота барьера - несколько сотен мэВ, энергия основного состояния в отсутствие электрического поля меньше 10 мэВ). Было получено хорошее согласие результатов расчетов с экспериментом.
Показано, что при уровнях легирования njmp 10 см энергия электрона в квантовой яме, вычисленная в отсутствие процессов рассеяния, в реальной структуре является плохо определенной величиной и не сохраняется при рассеянии. Учет этого обстоятельства при рассмотрении процессов рассеяния на при месях приводит к тому, что реальная ширина туннельного резонанса между различными подзонами соседних ям существенно превышает ширину туннельного резонанса, полученную с учетом процессов рассеяния с помощью времен релаксации, рассчитанных по правилу Ферми. Также отклонение от правила Ферми при учете процессов рассеяния внутри ям приводит к сложной асимметричной форме туннельного резонанса.
Показано, что влияние на форму туннельного резонанса внутриподзон-ных процессов рассеяния на примесях существенно различно для туннельных переходов в различные подзоны, что проявляется в зависимости формы туннельного резонанса от его номера.
Показано, что учет порогов упругих процессов при расчете экранированного потенциала примесей существенно сказывается на амплитуде и форме туннельного резонанса.
Показано, что в электрических полях, когда падение напряжения на ширине квантовой ямы в несколько раз превышает энергию основного состояния в яме, электрическое поле существенно влияет на процессы рассеяния, что значительно сказывается на профиле туннельного резонанса.
Разработана схема расчета энергий и волновых функций локализованных состояний электрона в квантовой яме из немагнитных полупроводников в сильных наклонном по отношению к слоям структуры магнитном и поперечном электрическом полях. С ее помощью получен спектр локализованных состояний электрона в квантовой яме из немагнитных полупроводников во всем диапазоне ориентации магнитного поля, в том числе и в ситуации, когда энергии размерного квантования и энергия Ландау близки по величине.
Изучена эволюция электронных состояний во всем диапазоне ориентации магнитного поля, в том числе и в ситуации, когда энергии размерного квантования и энергия Ландау близки по величине.
Показано, что в такой ситуации квантование вдоль оси роста структуры и квантование Ландау в плоскости слоев являются сильно взаимосвязанными, что приводит к появлению сильного взаимодействия между уровнями Ландау различных подзон. В результате этого характер эволюции состояний электрона с изменением ориентации магнитного поля существенно усложняется.
Обнаружено аномальное поведение уровней Ландау при ориентациях магнитного поля, близких к параллельной слоям. В этом случае, в отличие от ситуации, когда энергия размерного квантования существенно превышает энергию Ландау, система уровней отклоняется от линейного поведения, становится неэквидистантной, и, что самое главное, расстояние между уровнями в среднем уменьшается почти в два раза по сравнению с энергией Ландау компоненты магнитного поля, перпендикулярной слоям, что должно приводить к увеличению почти в два раза циклотронной массы.
Показано, что наличие сильной взаимосвязи между квантованием вдоль оси роста структуры и квантованием Ландау в плоскости слоев приводит к сильному влиянию перпендикулярного слоям электрического поля не только на движение электрона вдоль направления электрического поля, но и на движение в плоскости слоев. 3) Изучен характер поведения туннельного резонанса в сверхрешетках со слабой туннельной связью из немагнитных полупроводников в сильном наклонном магнитном поле.
Построена модель резонансно-туннельного транспорта в таких системах, позволяющая провести расчет туннельного тока с учетом сильного электрического поля, в том числе и в ситуации, когда энергии размерного квантования и энергия Ландау близки по величине. С помощью данной модели изучено поведение туннельных характеристик при изменении напряженности и ориентации магнитного поля, в том числе и для сверхрешеток с достаточно с широкими (порядка 10 нм) барьерами, глубокими (высота барьера - несколько сотен мэВ) ямами и малыми энергиями размерного квантования (в отсутствие электрического поля энергия основного состояния в яме меньше 10 мэВ).
Показано, что в таких структурах при достаточно больших углах (0 ЗО) наклона магнитного поля к оси роста структуры уже в относительно небольших магнитных полях (В=2-4 Тл) туннельные переходы между уровнями Ландау с различными номерами в подзонах, которые запрещены при перпендикулярной слоям (9=0) ориентации магнитного поля, дают определяющий вклад в форму туннельного резонанса, приводя к его сильному уширению и значительному сдвигу в сторону больших электрических полей.
Показано, что индуцированные магнитным полем изменения формы туннельного резонанса проявляются в ВАХ сверхрешетки, рассчитанной в условиях формирования статического домена электрического поля, в виде сильного сглаживания периодической ОДП структуры на плато и значительного сдвига плато в область больших приложенных напряжений.
Предсказанное поведение ВАХ при изменении ориентации и величины магнитного поля получило экспериментальное подтверждение.
Основные положения, выносимые на защиту:
1) В структурах с широкими квантовыми ямами при уровнях легирования njmp 1010 см"2 внутриподзонные процессы рассеяния на примесях приводят к сильному уширению туннельного резонанса, существенно превышающему оценки с использованием рассчитанных по правилу Ферми времен рассеяния, и служат одной из главных причин обнаруженной сложной асимметричной формы туннельного резонанса.
2) Влияние на форму туннельного резонанса внутриподзонных процессов рассеяния на примесях в таких структурах существенно различно для туннельных переходов в различные подзоны, что проявляется в зависимости формы туннельного резонанса от его номера.
3) В рассматриваемых структурах учет порогов упругих процессов при определении экранированного потенциала примесей заметно сказывается на амплитуде и форме туннельного резонанса. Использование же приближения Томаса-Ферми, которое эти пороги не учитывает, существенно снижает точность результатов.
4) Влияние электрического поля на процессы рассеяния существенно сказывается на амплитуде и форме туннельного резонанса в достаточно сильных (падение напряжения на ширине ямы в несколько раз больше энергии основного состояния в яме) электрических полях.
5) Взаимосвязь размерного квантования и квантования Ландау в наклонном магнитном поле приводит к появлению сильных антипересечений уровней Ландау различных подзон и усложнению характера эволюции спектра с изменением ориентации магнитного поля.
6) При ориентации магнитного поля, близкой к параллельной слоям, взаимосвязь размерного квантования и квантования Ландау приводит к деформации уровней Ландау - неэквидистантности уровней Ландау в каждой из подзон и значитель ному уменьшению расстояния между уровнями (т.е. к существенному увеличению циклотронной массы).
7) Взаимодействие между размерным квантованием и квантованием Ландау в наклонном магнитном поле приводит к тому, что электрическое поле существенно влияет как на движение электрона вдоль оси роста, т.е. собственно в направлении электрического поля, так и на его движение в плоскости слоев, т.е. перпендикулярно направлению электрического поля.
8) Вклад индуцированных продольной компонентой магнитного поля туннельных переходов с Ап О (без сохранения номера уровня Ландау в подзоне) влечет за собой существенные уширение и сдвиг туннельного резонанса и приводит к значительным изменениям в ВАХ слабосвязанных сверхрешеток: сдвигу плато в сторону больших электрических полей и сглаживанию ОДП структуры на плато.
Диссертационная работа выполнена в Физическом институте им. П.Н. Лебедева Российской Академии Наук.
Основные результаты диссертации докладывались на 7-ой Международной конференции по межподзонным переходам в квантовых ямах (Evolene, Швейцария, 2003), на 7-ой Российской конференции по физике полупроводников (Звенигород, 2005), на 12-ой Международной конференции по модулированным полупроводниковым структурам (Albuquerque, США, 2005), на 17-ой Международной конференции по физике и практическому применению сильного магнитного поля в полупроводниках (Wurzburg, Германия, 2006). Также основные результаты работы докладывались на семинарах отделения физики твердого тела Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.
Достоверность результатов теоретических исследований, представленных в диссертации, обеспечена согласием результатов расчетов с экспериментом, а также получением в предельных случаях известных результатов.
По материалам диссертации опубликовано 8 научных работ, из них 4 журнальных статьи. Список опубликованных работ, в которых отражены основные результаты диссертации, приведен в конце диссертации.
Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех содержательных глав и заключения. Работа изложена на 147 страницах, включая 23 рисунка, 6 таблиц и список литературы (115 наименований).
Во введении обоснована актуальность темы исследования, его цель и научная новизна. Приводится краткое содержание диссертации, а также сформулированы положения, выносимые на защиту.
В обзоре литературы обсуждаются работы, посвященные исследованию резонансно-туннельных свойств наноструктур с квантовыми ямами.
Первая содержательная глава посвящена построению микроскопической модели резонансно-туннельного транспорта в сверхрешетках со слабой туннельной связью между ямами.
Вторая и третья главы посвящены теоретическому исследованию резонансно-туннельных свойств сверхрешеток и структур с квантовыми ямами в сильном магнитном поле произвольной ориентации относительно плоскости слоев структуры.
Вторая глава посвящена решению уравнения Шредингера для электрона в квантовой яме в сильных наклонном магнитном и поперечном электрическом полях.
Третья глава посвящена описанию поперечного транспорта в сверхрешетках в наклонном магнитном поле, обусловленного туннельными переходами между состояниями Ландау соседних квантовых ям.
В заключении изложены основные результаты работы.
Основные предположения. Базовый математический аппарат
В основе предлагаемой к рассмотрению модели лежат следующие базовые предположения. Во-первых, электрон-электронное взаимодействие учитывается только при расчете экранированного потенциала примесей в рамках приближения самосогласованного поля Хартри, и рассмотрение транспорта в сверхрешетке сводится к задаче о невзаимодействующем электронном газе во внешнем потенциале. Во-вторых, туннельная связь между электронными состояниями в соседних ямах предполагается слабой -характерное время туннелирования существенно превышает характерное время внут-риямной релаксации. В этом случае сверхрешетка может быть представлена в виде набора сопряженных квантовых ям с сильно локализованными в них состояниями, и можно считать, что на масштабе времен туннелирования в каждой яме имеет место равновесие со своим электрохимическим потенциалом, а туннельный ток между соседними квантовыми ямами описывается обобщенным правилом Ферми [70-72] для системы невзаимодействующих электронов с плотностью состояний в ямах, рассчитанной с учетом впутриямных процессов рассеяния. При этом расчет плотностей состояний в ямах мы осуществляем без использования каких-либо подгоночных параметров с привлечением математического аппарата формализма одноэлектронных двухвременных функций Грина [7,39], ограничиваясь при вычислении собственно-энергетических частей борновским приближением и пренебрегая интерференционным вкладом в собственно-энергетическую часть различных процессов рассеяния. Также будем использовать приближение эффективной массы формализма огибающих функций [110] с эффективной массой, меняющейся скачком на границах раздела яма-барьер. Будем также пренебрегать эффектами, связанными с конечностью сверхрешетки (использовать периодические граничные условия).
В качестве исходного мы будем использовать базис, состоящий из произведений плоских волн, отвечающих латеральному движению, на отвечающие движению вдоль оси роста структуры функции Ваннье [39,41,58]: X ,z)= .W\z-nd) (1.1) -JS где г - координата в плоскости, перпендикулярной оси роста структуры (планарной плоскости), к - планарный волновой вектор, S - латеральная площадь образца, Wv(z-nd) = -jj=- M- d}- pvq(z) (1.2) - квазилокализованная в яме п функция Ваннье, отвечающая состоянию подзоны v с планарным волновым вектором к, N - число ям в сверхрешетке, d- ее период, q волновой вектор Блоха, (pv(z) - соответствующая функция Блоха. Состояния Блоха мы находим, решая стандартную задачу Кронига-Пеннии, аналитическое решение которой приведено в приложении 1.1.
При построении функций Ваннье (1.2) постоянные фазовые множители функций Блоха выбираются удовлетворяющими теореме Кона [111]. Тогда каждая функция Ваннье является вещественной, симметричной или антисимметричной относительно центра соответствующей ямы. Кроме того, функции Ваннье обладают следующими двумя свойствами, позволяющими использовать их в качестве базиса в приближении последовательного туннелирования. Во-первых, для структур со слабой туннельной связью функции Ваннье являются сильно локализованными каждая в своей яме, так что туннельный матричный элемент между состояниями Ваннье соседних ям существенно меньше характерного уширения состояний Ваннье за счет внутриямных процессов рассеяния. Во-вторых, в пределе нулевой туннельной связи между ямами состояния Ваннье переходят в собственные функции соответствующих квантовых ям в отсутствие внешних полей. Дополнительным удобством является то, что функции Ваннье образуют ортогональный базис.
Соответствующая теорема, касающаяся выбора постоянных фазовых множителей блоховских функций, была доказана в работе [111] для произвольного периодического потенциала. Приведенное в [111] доказательство довольно сложно, и не дает возможности получить явные выражения для фазы блоховской функции. В настоящей работе предложено (см. приложение 1.2.) доказательство теоремы Кона для частного случая периодического потенциала из симметричных прямоугольных квантовых ям, что существенно упрощает его понимание, при этом для данного случая были получены явные выражения для фаз блоховских функций.
Как было показано в [58], внешнее электрическое поле (которое мы считаем направленным против оси роста структуры) помимо резонансно-туннельных переходов приводит также к связи между состояниями различных подзон в одной яме. В случае, когда эта связь является достаточно сильной, базисный набор функций, используемых в приближении последовательного туннелирования, должен, помимо требований на локализацию и предельный переход, также удовлетворять еще одному требованию [58]: матричные элементы резонансной части гамильтониана (не включающей потенциалы рассеяния) между базисными состояниями, локализованными в одной яме, должны быть диагональными.
В данной работе рассматривается ситуация, когда индуцированная электрическим полем связь между состояниями различных подзон является сильной. Поэтому выполнение последнего требования для нас является очень важным.
Результаты численного моделирования и их обсуждение
Вопрос об учете интерференции рассеяния на различных гетерограницах является более сложным. В то время как существует экспериментальная методика [112], позволяющая оценит автокорреляционную функцию, методика оценки корреляционной функции для различных гетерограниц по нашим сведениям на сегодняшний день отсутствует. Поэтому построение «точной» теории, позволяющей производить численные расчеты, учитывая корреляцию различных гетерограниц, сталкивается с большими трудностями. Тем не менее, есть основания полагать, что в реальных гетероструктурах по крайней мере соседние гетерограницы будут в той или иной мере скоррелированы. Поэтому в данной работе мы предлагаем излагаемый ниже феноменологический подход с конечным числом подгоночных параметров, который позволяет при численном моделировании туннельного транспорта принимать во внимание интерференцию рассеяния на различных гетерограницах.
Поскольку рассматриваются сверхрешетки со слабой туннельной связью, во внутриямных процессах рассеяния будем учитывать интерференционный вклад только от ближайших гетерограниц соответствующей ямы (в дальнейшем обозначаем 1 и 2), а межъямных - только от ближайших гетерограниц соответствующего барьера (в дальнейшем обозначаем 2 и 3). (см. рис. 1.1).
При рассмотрении чистых вкладов мы использовали изотропные автокорреляционные функции (1.37), неявно при этом предполагая, что поверхности гетерограниц в среднем являются изотропными. На основании последнего предположения мы также будем считать корреляционную функцию для различных гетерограниц изотропной. Поскольку она является вещественнозначной аналитической функцией, то приведенная корреляционная функция зависит от р2 (разложение в ряд по р содержит только четные степени модуля). Область изменений волнового вектора при рассеянии на шероховатости гетерограниц, дающая основной вклад, определяется корреляционной длинной:
После проведения подгоночной процедуры фурье-образ корреляционной функции для различных гетерограниц непосредственно определяется из (1.47) и затем используется при расчете соответствующих вкладов в квадрат модуля матричного элемента (1.35) и собственно-энергетическую часть (1.40).
Используя развитую модель, мы изучили резонансно-туннельный транспорт в слабосвязанных сверхрешетках с малыми энергиями размерного квантования. При этом мы учли внутриямные процессы рассеяния на продольньк полярных оптических и длинноволновых акустических фононах, примесях и шероховатостях интерфейсов. В качестве модельной структуры была выбрана сверхрешетка GaAsZAlo.3Gao.7As с широкими барьерами (10 нм) и широкими квантовыми ямами (25 нм). Энергия основного состояния в такой квантовой яме составляет 6.8 мэВ, в то время как падение напряжения на ширине квантовой ямы уже в третьем резонансе равно 42.2 мэВ.
Прежде всего, мы вычислили зависимость туннельного тока между соседними квантовыми ямами от приложенного к структуре электрического поля (профиль туннельного резонанса).
На рис.2 приведены такие зависимости для случая равномерного легирования по всей сверхрешетке с концентрациями примесей njmp=1.75-1010 см-2 и Пітр=5-1010 см-2. Расчет проведен для температуры 4.2 К. Были использованы следующие параметры шероховатости гетерограниц: длина корреляции Л =7 нм, средняя амплитуда 77 =0.3 нм. При этом мы полагали приведенную корреляционную функцию g(p)=0.5. Основные характеристики резонансов (амплитуда jres, полная ширина на полувысоте Г, отношение полуширины на полувысоте отсчитанной влево Г. к полуширине на полувысоте отсчитанной вправо Г+) для изображенных зависимостей представлены в таблице 1. Обращают на себя внимание следующие особенности полученных нами профилей туннельного резонанса для рассматриваемых структур.
Во-первых, рассчитанные ширины резоиансов существенно превышает величину, оцененную по соотношению неопределенностей с использованием времени жизни, рассчитанного по правилу Ферми [14-16], не только в случае первого резонанса, но и для резонансов с более высокими номерами. В частности, для рассмотренной структу-ры с концентрацией легирования п;тр=1.75-10 см оценки ширины первых трех туннельных резонансов по результатам работ [14-16] дают величину, не превышающую 2 мэВ.
Во вторых, все рассчитанные резонансы обладают существенной асимметрией.
Как показал непосредственный численных анализ, в структурах указанного типа определяющую роль играют процессы рассеяния на оптических фононах и примесях. Вклад же процессов рассеяния на акустических фононах и шероховатости гетерогра-ниц, по сравнению с первыми двумя, для рассматриваемого типа структур оказался весьма малым. Поэтому ниже мы подробно остановимся на процессах рассеяния с первыми двумя из указанных механизмов.
Что касается рассеяния на оптических фононах, то здесь следовало бы отметить, что вклад межподзонных переходов этого типа необходимо учитывать ("косые" переходы) даже в случаях, когда межподзонное расстояние меньше энергии оптического фонона.
Более сложная и интересная картина возникает при рассмотрении процессов рассеяния на примесях. На рис. 1.3 и 1.4 соответственно приведены зависимости от планарной энергии вкладов в мнимую часть собственно-энергетической части внутри-подзонных процессов рассеяния на примесях в первой подзоне для различных полных энергий и соответствующие парциальные плотности состояний. Как непосредственно видно из приведенных рисунков, внутриподзонные процессы рассеяния на примесях приводят к довольно сильной неопределенности в одноэлектронной энергии. При этом характеризующий ее вклад в мнимую часть собственно-энергетической части довольно сильно зависят от полной энергии Е. Эта зависимость, которая обязательно должна учитываться при расчете плотности туннельного тока, сказывается как на получаемой ширине и амплитуде резонанса, так и на его форме, и является одной из главных причин полученной нами асимметрии резонансов со всеми номерами.
Результаты численного моделирования и их обсуждение
Используя приведенную выше схему расчета, мы изучили поведение связанных состояний электрона в квантовой яме из немагнитных полупроводников в сильных наклонном магнитном и поперечном электрическом поле во всем диапазоне ориентации магнитного поля в ситуации, когда энергии размерного и магнитного (энергия Ландау) квантования близки по величине.
Такая ситуация реализуется в достаточно широких квантовых ямах и в достаточно сильных магнитных полях.
В качестве модельной структуры была выбрана широкая (25 нм) квантовая яма из GaAs с барьерами из Alo.3Gao.7As. Расчеты спектра электронов в ней были проведены для напряженности магнитного поля В=15 Т. Соответствующая энергия Ландау ho) =25.86 мэВ. Энергии подзон для данной структуры приведены в таблице 2.1.
Прежде всего, нами получены зависимости энергетического спектра локализованных состояний от ориентации магнитного поля во всем диапазоне углов = (В,ег)как без электрического поля, так и в его присутствии. На рис. 2.2 приведена зависимость энергетического спектра от ориентации магнитного поля (без электрического поля). Видно, что характер эволюции спектра при изменении направления магнитного поля весьма сложен, имеют место пересечения и антипересечения уровней. Такой характер спектра обусловлен, прежде всего, вызванной наклонным магнитным полем взаимосвязью размерного квантования и квантования Ландау движения электрона. Для сравнения на рис. 2.3 приведена аналогичная зависимость для квантовой ямы шириной 6 нм, где энергия размерного квантования при тех же магнитных полях существенно превышает энергию Ландау (уровни размерного квантования для данной структуры приведены в таблице 2.2). В этом случае характер эволюции спектра существенно проще, наблюдается монотонное изменение энергий уровней при увеличении угла наклона магнитного поля.
При перпендикулярной ориентации (в = 0) магнитного поля магнитное квантование и размерное разделяются, при этом энергетический уровень задается индексом подзоны и номером уровня Ландау в подзоне. Для каждого из уровней эти квантовые числа приведены (Рис. 2.2) слева от оси ординат: первое число - индекс подзоны, второе - номер уровня Ландау в подзоне.
В наклонном (0 0) магнитном поле за счет вклада (2.13) в гамильтониан, смешивающего движение в плоскости слоев и вдоль оси роста структуры, появляется сильное взаимодействие между уровнями Ландау, вследствие чего номер подзоны и номер уровня Ландау в подзоне перестают быть истинными квантовыми числами. Тем не менее, выбрав один из уровней при перпендикулярном к слоям магнитным поле, можно в целом проследить за его эволюцией с изменением угла наклона магнитного поля. Это позволяет и при наклонных магнитных полях провести классификацию уровней по номеру подзоны и номеру уровня Ландау в подзоне.
Из рис. 2.2 можно также видеть, что между одними уровнями имеют место антипересечения, между другими же они отсутствуют.
Причиной антипересечений является наличие в гамильтониане членов (2.13), смешивающих движение в плоскости слоев и вдоль оси роста структуры. Соответственно, антипересечения между двумя уровнями Ландау всегда имеют место, когда матричные элементы (2.13) между этими состояниями отличны от нуля (имеет место прямое взаимодействие между уровнями). Однако, хорошо видно, что антипересечения имеют место также и между некоторыми уровнями Ландау, между которыми соответствующий матричный элемент равен нулю. Причиной этого служит наличие между двумя уровнями Ландау косвенного взаимодействия, которое осуществляется через цепочку промежуточных уровней. Например, из рисунка видно, что между уровнями Ландау (1,3) и (2,0) имеет место сильное антипересечение, притом, что матричный элемент (16) между данными состояниями равен нулю. Однако данные уровни взаимодействуют косвенно, например, через уровни (2,2) и (1,1): уровень (1,3) напрямую взаимодействует с уровнем (2,2), (2,2) - с (1,1), и, наконец, (1,1) с (2,0). В принципе таких каналов косвенного взаимодействия, как, например, в данном случае, может быть несколько. Когда же уровни просто пересекаются без расталкивания, как, например, (1,2) и (2,0), то и прямые и косвенные взаимодействия между ними отсутствуют.
Проводя такой анализ, можно получать "правила отбора" для взаимодействия между уровнями Ландау и, соответственно, для характера их пересечений. Например, рассматривая взаимодействие уровней Ландау только 1-й и 2-й подзон, можно получить для этого случая "правило отбора" - An=2k+1, (k=0,l,...): антипересечения уровней Ландау первой и второй подзоны возможны только в том случае, если разность между их номерами в соответствующих подзонах равняется нечетному числу. В справедливости его можно убедиться, анализируя рис. 2.2.
Соответствие полученных аналитически "правил отбора" для антипересечения уровней с данными расчета может служить одним из критериев надежности вычислений.
Из рис.2.2 также хорошо видна тенденция к формированию структуры подзон при в - 90 : появляются системы сходящихся уровней Ландау, которые в пределе в = 90 образуют соответствующие подзоны. При этом при переходе от случая магнитного поля, перпендикулярного слоям (0=0 ), к случаю магнитного поля, параллельного слоям(# = 90), уровни Ландау каждой подзоны переходят в состояния подзоны с тем же номером.
К довольно интересным результатам приводит детальный анализ поведения уровней, формирующих первую подзону, при углах в, близких к 90.
Казалось бы, что из-за того, что в данном случае параллельная слоям компонента магнитного поля меняется слабо (2?ц = В-ъ\пв), а перпендикулярная - сильно (BL=B-cos0), то поведение уровней с изменением угла должно было бы преимущественно определяться перпендикулярной компонентой магнитного поля. При этом должен был бы формироваться веер сходящихся уровней Ландау с энергией, определяемой перпендикулярной компонентой магнитного поля, и расстоянием между соседними уровнями близким к hcoL = еВх I mwc.
Это было бы так, если бы отсутствовало обусловленное магнитным полем смешивание движения в плоскости слоев и вдоль оси роста структуры (отсутствовал бы член H"ffg,nux в гамильтониане).
Модель
Локализованные в одной яме состояния этого базиса не взаимодействуют за счет внешних полей (обусловленное электрическим полем и параллельной слоям компонентой 2?и магнитного поля смешивание состояний Ландау (3.8), локализованных в одной яме, включено в состояния нового базиса). Везде в дальнейшем, говоря о состояниях Ландау в ямах, мы будем иметь в виду состояния базиса S, а говоря об уровнях Ландау, - средние энергии электрона в состояниях данного базиса. В базисе Н матричный элемент гамильтониана имеет вид
Здесь Ud = eFd - падение напряжения на расстоянии d между центрами ям, Е" - энергия в т-ом состоянии Ландау ямы с индексом w в случае, если нуль потенциала электрического поля выбирается в центре данной ямы, ТІт щ) - матричный элемент гамильтониана (1) между т1 -ым состоянием Ландау ямы с индексом w, и т2 -ым состоянием Ландау ямы с индексом w2 (в дальнейшем, туннельный матричный элемент между соответствующими состояниями).
Важно отметить, что Е{ и Т ,{ті) не зависят от кх, а кратность вырождения также дается выражением (3.7).
Будем рассматривать случай низких температур (Т=4.2К) и относительно невысоких уровней легирования структур. Это дает возможность пренебрегать заселенностью возбужденных уровней Ландау.
В приближении "обобщенного" правила Ферми плотность туннельного тока из основного состояния ямы 1 в яму 2 дается выражением, аналогичном используемому в главе 1 - вклад в плотность тока переходов из основного состояния ямы 1 в т-ое состояние Ландау ямы 2, пе - двумерная концентрация электронов в яме, и Хт)_ падение напряжения между центрами ям, при котором основной уровень ямы 1 и m-ый уровень ямы 2 совпадают по энергии (т.е. находятся в резонансе).
Для точного количественного расчета форм-фактора g(1H(m)() необходимо решать задачу о туннелировании между уровнями Ландау с микроскопическим учетом процессов рассеяния, что выходит за рамки данной работы. Поэтому для дальнейших численных расчетов форм-фактор g(1)_ (m)() для каждого перехода аппроксимировался гауссианом где величина Г - ширина туннельного перехода между двумя уровнями Ландау - использовалась как феноменологический параметр.
Численные расчеты, выполненные с помощью метода, изложенного в главе 2, показали, что для рассмотренных нами структур и магнитных полей, отслеживая эволюцию каждого из уровней Ландау с увеличением угла наклона магнитного поля в, можно в наклонном магнитном поле каждому уровню Ландау с номером m поставить в соответствие номер подзоны v и номер уровня Ландау п в подзоне, которые определяют данный уровень при перпендикулярной ориентации магнитного поля. В дальнейшем, при обсуждении результатов численных расчетов будем использовать для наглядности именно такую классификацию, хотя она и не является обязательной. Запись (v,n) в дальнейшем будет обозначать состояние Ландау с номером п в v-ой подзоне.
Расчет ВАХ сверхрешетки в целом проводился с помощью дискретной модели резонансно-туннельного транспорта в сверхрешетках [3,94] с использованием полученного согласно выражениям (3.14), (3.15) профиля туннельного резонанса.
Результаты численных расчетов и их обсуждение. Используя изложенную выше модель, было проведено моделирование резонансно-туннельного транспорта в слабосвязанных немагнитных сверхрешетках с широкими квантовыми ямами в наклонном магнитном поле. В качестве модельной структуры была выбрана сверхрешетка GaAs/AlojGaojAs с широкими (10 нм) барьерами и широкими (25 нм) квантовыми ямами.
Прежде всего, были рассчитаны туннельные матричные элементы для переходов из основного состояния ямы 1 (v=l, п=0) в состояния Ландау ямы 2 с различными v и п. При этом туннельный матричный элемент, характеризующий переход между двумя данными состояниями, вычислялся для напряженности электрического поля, при которой соответствующие два уровня находятся в резонансе.
На рис.3.2 приведена зависимость квадрата модуля туннельных матричных элементов для переходов в состояния ямы 2 с различными номерами уровней Ландау во второй подзоне (v=2) от 5ц при фиксированном Вх. Видно, что по мере роста Вц матричные элементы (и, соответственно, интенсивности) резонансно-туннельных переходов с An 0 становятся отличными от 0 и быстро возрастают. При этом интенсивность туннельных переходов с An = 0 уменьшается, так что при достаточно больших Вц (Вц Bj.) переходы с An 0 начинают преобладать.
На рис.3.3 приведены диаграммы туннельных переходов в состояния с различными номерами уровней Ландау во второй подзоне, рассчитанные для двух ориентации магнитного поля. Как видно из рисунка, в случае угла наклона магнитного поля в = 45 по мере роста напряженности магнитного поля в игру включаются все больше переходов с An t- 0. При этом с увеличением В начинают доминировать переходы со все большими An. Это должно приводить к существенному уширению интегрального туннельного резонанса и к значительному сдвигу его максимума в сторону больших электрических полей.
Интегральный профиль туннельного резонанса был получен суммированием вкладов отдельных переходов, которые определялись по формуле (3.15) с форм-фактором в виде (3.16). Ширина Г полагалась одинаковой для всех переходов и не зависящей от магнитного поля. Выбранная ее величина (4мэВ) примерно соответствует экспериментальным значениям.
Полученные таким образом кривые и характер их изменения с магнитным полем приведены на рис.3.4. Видно, что при в = 45 по мере роста В положение резонанса смещается в сторону больших электрических полей и резко возрастает его ширина, причем результирующая ширина резонанса существенно превышает ширину Г отдельного перехода.
