Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО.
1.1. Классический метод Монте-Карло 19
1.2. Модели, используемые при исследовании спиновых систем 25
1.3. Стандартный алгоритм метода Монте-Карло 32
1.4. Репличные алгоритмы метода Монте-Карло 34
1.5. Граничные условия 42
1.6. Анализ ошибок в методе Монте-Карло 44
ГЛАВА II. СТАТИЧЕСКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФРУСТРИРОВАННЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ.
2.1. Спиновые стекла и фрустрации 52
2.2. Параметр порядка , 60
2.3. Модели фрустрированных систем 65
2.4. Критические свойства антиферромагнетиков с треугольной решеткой 73
ГЛАВА III. СТАТИЧЕСКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛНОСТЬЮ ФРУСТРИРОВАНИОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА НА КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ.
3.1, Основные положения теории конечно-размерного
скейлинга 79
3.2. Статические критические свойства 3d фрустрированной модели Изинга на кубической решетке.
Результаты численного эксперимента 84
3.2.1. Анализ данных традиционными степенными функциями 91
3.2.2. Анализ данных на основе теории конечно-размерного скейлинга 96
ГЛАВА IV. КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ФРУСТРИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА НА СЛОИСТОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ.
4.1. Статические критические свойства фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке 109
4.2. Анализ результатов численного эксперимента 117
4.3. Критическое поведение фрустрированной модели Гейзенберга с переменным межслойным обменным взаимодействием 127
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 139
ЛИТЕРАТУРА 143
- Классический метод Монте-Карло
- Спиновые стекла и фрустрации
- Основные положения теории конечно-размерного
- Статические критические свойства фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке
Введение к работе
В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании проблемы фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ). Тем не менее, количественное описание ФП и КЯ в различных решеточнвгх спиновых системах до сих пор остается одной из центральных задач современной теории конденсированного состояния. Современная теория ФП и КЯ в основном базируется на идеях, заложенных в гипотезе скейлинга, универсальности, є- разложения и в теории ренормализационной группы [1-5]. На их основе были получены большинство важнейших результатов современной теории ФП и КЯ. Установлены основные закономерности, наблюдающиеся в критической области, получены соотношения между критическими индексами (КИ) и критическими амплитудами (КА), построены уравнения состояния, рассчитаны значения КИ и КА. Идеи лежащие в основе всех этих предположений значительно обогатили наше понимание природы критических явлений. Тем не менее, строгой и последовательной микроскопической теории фазовых переходов второго рода и критических явлений на сегодняшний день не существует [6].
Существенный вклад в строгую количественную теорию критических явлений в решеточных спиновых системах также внесли методы высоко- и низкотемпературных разложений [5, 7].
На сегодняшний день установлено, что критические индексы не зависят от величины спина и деталей микроскопического гамильтониана, но сильно зависят от размерности d рассматриваемой системы и числа степеней свободы параметра порядка п. Согласно представлениям современной теории ФП и КЯ принцип универсальности может быть сформулирован следующим образом [1]:
Критическое поведение системы зависит от: размерности пространства; числа степеней свободы параметра порядка; симметрии гамильтониана; радиуса характерного взаимодействия.
В пределах одного класса универсальности для всех систем, претерпевающих фазовый переход второго рода, критические индексы являются одинаковыми. Таким образом, в один и тот же класс универсальности попадают столь непохожие на первый взгляд системы, как жидкости, магнетики, сверхпроводники, сегнетоэлектрики и другие. В то же время следует отметить, что класс универсальности фрустрированных систем (ФС) может зависеть не только от этих параметров [8-11].
В построении общей микроскопической теории фазовых переходов важную роль играют точные аналитические решения, которые удалось получить лишь для некоторых решеточных моделей. В 1925 году Изинг нашел решение для случая одномерной цепочки (в цепочке атомов фазовый переход происходит при 7^0) [12]. В 1944 году Онзагер точно разрешил двухмерную проблему модели Изинга в нулевом внешнем, иоле [13] и доказал существование фазового перехода. В 1952 году Берлин и Кац сформулировали и строго рассчитали так называемую сферическую модель [14]. Далее, наиболее интересным результатом было получение Либом [15, 16] строгого решения для модели типа льда (шести-вершинной модели). Имеют точное решение и некоторые другие модели [17].
Несмотря на значительные успехи, создание последовательной теории фазовых переходов второго рода до сих пор остается одной из актуальных проблем физики конденсированного состояния [6, 18].
В основном при описании критических явлений в решеточных системах наиболее часто используются модели первого приближения. К таким моделям относятся:: классическая модель Изинга, Гейзенберга, XY-модель, модель Поттса и т.д. На основе вышеупомянутых теоретических методов выполнены исследования моделей различных пространственных размерностей и типа решеток. Получена обширная информация о критическом и термодинамическом поведении данных моделей в широком температурном интервале. Количественное изучение непосредственно самой критической области методами Монте-Карло (МК) с вычислением значений КИ и КА стало возможно только в последние годы. Точность результатов, достигаемая при этом, не уступает лучшим данным других методов, а иногда и превосходит их [9,19-23].
Увеличению точности методов вычислительной физики (ВФ) сопутствуют [24-30]: увеличение вычислительных мощностей современных ЭВМ; разработка мощных высокоэффективных алгоритмов метода МК; усовершенствование методов анализа данных; использование теории конечно-размерного скейлинга (КРС) для расчета критических параметров.
В последние годы центр тяжести теоретических исследований переместился к изучению более реалистичных моделей с учетом многочисленных факторов, присущих реальным кристаллам и не учитываемых в рамках моделей первого приближения. К таким факторам относятся: анизотропия, примеси, диполь-дипольные взаимодействия, колебания решетки, фрустрации [8, 31, 32].
Особый интерес представляют исследования спиновых' стекол и фрустрированных спиновых систем. Проведенные экспериментальные и теоретические исследования установили, что ФС во многом проявляют свойства, отличные от соответствующих нефрустрированных систем. Это отличие отражается, прежде всего, в богатом разнообразии фаз и фазовых переходов, что обусловлено сильным вырождением и высокой чувствительностью фрустрированных систем к различного рода возмущающим взаимодействиям [33].
Вопрос о существовании нового киралы-юго класса универсальности критического поведения на многих решетках при изучении фрустрированных систем до сих пор является дискуссионным. Многие важные физические свойства фрустрированных систем сильно зависят от геометрии решетки (от степени фрустрации). Такая зависимость может привести к сужению классов универсальности критического поведения, и этот вопрос все еще недостаточно изучен [8-11].
Большинство традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования таких систем сталкиваются с серьезными трудностями при попытке вычислить критические параметры, определить особенности, характер и механизмы критического поведения таких, систем [18, 34]. Следовательно, строгое исследование трехмерных микроскопических гамильтонианов' сложных систем методами современной теоретической физики - задача чрезвычайно сложная.
Эти и некоторые другие причины привели к тому, что фазовые переходы и критические явления интенсивно исследуются методами вычислительной физики (ВФ) - методами МК и молекулярной динамики (МД) [19-21, 35-38], которые позволяют успешно исследовать критические свойства систем со сложными реалистичными гамильтонианами в широком диапазоне температур и других внешних параметров. Данные, -получаемые с помощью методов ВФ, с одной стороны, можно рассматривать как «экспериментальные» и сравнивать их с различными аналитическими приближениями, а с другой стороны - как "теоретические" и сравнивать их с соответствующими экспериментами.
Одним из преимуществ методов численного эксперимента (ЧЭ) является то, что их применение не связано с малостью тех или иных параметров или другими трудностями, характерными для аналитических подходов. Погрешность контролируется в рамках самого метода. Анализ информации, полученная на основе этих методов, позволяет судить о термодинамических и кинетических свойствах системы, об ее структуре, дает совокупность характерных конфигураций или отрезок фазовой траектории. ЧЭ стал надежным и самостоятельным инструментом в исследовании молекулярных систем наряду с физическим экспериментом и аналитическими подходами [35, 39-41].
Использование методов вычислительной физики требует создания довольно больших и" сложных программ для ЭВМ. Почти все программы весьма специфичны, требуют от программиста большого опыта и внимательности и, как правило, не могут быть использованы для решения различных задач. Тем не менее, в настоящее время методам вычислительной физики уделяется значительное внимание. Об этом свидетельствует разработка специализированных ЭВМ и процессоров, строго ориентированных на эти методы и решение конкретных задач статистической механики и молекулярной физики [35].
В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории статических критических явлений и фазовых переходов в фрустрированных спиновых системах. Объектом исследования является полностью фрустрированная модель Изинга на кубической решетке. Рассматриваемая модель сталкивается с серьезными трудностями при исследовании традиционными теоретическими методами, особенно в области фазового перехода. В рамках этой работы методами МК проведены исследования статических критических свойств полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Экспериментальные и теоретические данные, имеющиеся в литературе по критическим свойствам этой модели противоречивы и часто не согласуются между собой. Таким образом, исследование ФП и КЯ в этой модели целесообразно провести на основе методов ВФ [8-11, 18].
Другим объектом исследования является трехмерная фрустрированная модель Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.
Интерес к этим моделям обусловлен следующими основными причинами.
Во-первых, при изучении ФС вопрос о существовании нового кирального класса универсальности на многих решетках, в частности, треугольных до сих пор является дискуссионным [9-11].
Во-вторых, многие важные физические свойства ФС сильно зависят от геометрии решетки (от степени фрустрации). Такая зависимость может привести к сужению классов универсальности критического поведения, и этот вопрос все еще недостаточно полно изучен [18].
В-третьих, первые попытки исследования этих моделей предпринимались в то время, когда мощности вычислительных машин и используемые алгоритмы метода МК не позволяли рассчитывать критические параметры с необходимой степенью точности.
Отметим также, что в литературе практически нет исследований 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. До сих пор остается дискуссионным вопрос о зависимости критических индексов от изменения величины межслойного обменного взаимодействия.
Фрустрированные спиновые системы являются довольно сложными объектами для исследования даже методами МК. Как известно, вблизи критической точки метод МК сталкивается с проблемой "критического замедления". Кроме того, в ФС существует немаловажная проблема многочисленных долин локальных минимумов энергии. Обычные методы МК плохо справляются с решением этой проблемы. Поэтому в последнее время разработано много новых вариантов алгоритмов метода МК. Для решения этой проблемы наиболее мощными и эффективными оказались репличные алгоритмы метода МК [42].
Поэтому нами на основе репличиого алгоритма исследовано статическое критическое поведение 3d фрустрированной модели Геизенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием.
Таким образом, исследование ФП и КЯ, в частности фрустрированных спиновых систем, исходя из трехмерных микроскопических гамильтонианов, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики решеточных систем.
Целью работы является исследование статических критических свойств моделей фрустрированных спиновых систем как стандартным, так и реиличным алгоритмами метода Монте-Карло. В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:
Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства моделей с фрустрациями;
Исследование методом Монте-Карло статических критических свойств полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Определение статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, индекса Фишера г] и индекса радиуса корреляции v этой модели, как традиционными степенными функциями, так и на основе теории конечно-размерного скейлинга (КРС);
Исследование репличным алгоритмом метода Монте-Карло магнитных и киральных статических критических свойств 3d фрустрированной антиферромагнитной модели Геизенберга на слоистой треугольной решетке. Определение магнитных и киральных критических индексов а, Д Д0 у, уь т], va vk этой модели;
Исследование критического поведения и зависимости критических индексов 3d фрустрированной модели Геизенберга на слоистой треугольной решетке от величины межслойного обменного взаимодействия; 5. Проверка справедливости теории конечно-размерного скейлинга для фрустрированных моделей.
Практическая ценность работы.
Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств фрустрированных спиновых моделей представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории конденсированного состояния. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в фрустрированных спиновых системах.
Использование репличного алгоритма метода МК для исследования моделей фрустрированных спиновых систем показало, что репличные алгоритмы являются ценным инструментом при исследовании ФС, позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы и являются значительно более эффективными по сравнению с классическим алгоритмом (алгоритм Метр on о лиса). Эти алгоритмы успешно справляются с проблемой локальных энергетических минимумов, в решении которой другие алгоритмы метода МК (стандартный алгоритм Метрополиса, одно-кластерный алгоритм Вульфа) оказались малоэффективными.
Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.
Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:
Исследование критических свойств 3d полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Расчет статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у> индекса Фишера rj и индекса радиуса корреляции v этой модели. Доказательство принадлежности 3d полностью фрустрированной модели Изинга на простой кубической решетке к новому классу универсальности критического поведения.
Применение теории конечно-размерного скейлинга и репличного алгоритма метода Монте-Карло для исследования статических критических свойств моделей фрустрированных спиновых систем.
Исследование магнитных и киральных статических критических свойств 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке на основе высокоэффективного репличного алгоритма метода МК. Расчет магнитных и киральных критических индексов теплоемкости а, восприимчивости у, yh параметров порядка Д Д0 индекса Фишера ?/ и радиуса корреляции к» v/(.
Доказательство существования нового кирального класса универсальности критического поведения 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.
Исследование статических критических свойств 3d фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. Определение всех основных статических магнитных и киральных КИ.
Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить высокоточные исследования статических критических явлений в моделях фрустрированных спиновых систем.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: II всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2001 (Махачкала, 2001); XVIII международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2002); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002); Международном симпозиуме «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ОМА-2003 (Сочи, 2003); Всероссийской школе-семинаре «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003); II Байкальской международной конференции «Магнитные материалы» (Иркутск, 2003); XXX Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-2004» (Екатеринбург, Челябинск, 2004); XIX международной школа-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2004); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2004); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2005); XX международной школа-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2006); 9-м международном симпозиуме «Упорядочение в металлах и сплавах» ОМА-9. (Ростов-на-Дону - пос.Лоо, 2006).
Публикации.
1. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Определение класса универсальности фрустрированных систем методом Монте-Карло // Материалы II всероссийской конференции «ФЭ-2001». Махачкала: 2001.-С.] 92.
Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Исследование критического поведения 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Труды XVIII международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2002. - С.141-143.
Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Компьютерное моделирование критического поведения 3d фрустрированной модели Изинга // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2002, -С.50-53.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Труды международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ОМА-2003. Сочи: 2003. - С.195-198.
Муртазаев АХ, Камилов И.К., Рамазанов М,К. Исследование критических свойств 3d фрустрированной модели Изинга кластерным алгоритмом метода Монте-Карло // Труды II Байкальской международной конференции «Магнитные материалы». Иркутск: 2003.-С.120-121.
Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Статические критические свойства 3d фрустрированной модели Изинга. // Труды всероссийской школы -семенара молодых ученых «Физика фазовых переходов». Махачкала: 2003.-С.165-168.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Критические свойства фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. // Материалы XXX Международной зимней школы физиков-теоретиков «Коуровка-2004». Екатеринбург - Челябинск: 2004. - С.71-В.
Муртазаев А,К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование статических критических свойств фрустрированной модели Изинга на кубической решетке методами Монте-Карло. // Труды ХТХ международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2004. - С.769-771.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К.., Шахмарданова Э.Н. Критическое поведение фрустрированной модели Изинга. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2004. -С.52-55.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Критические свойства трехмерной фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. // ФТТ. - 2005. Т.47, №6. - С. 1125-1129.
П. Муртазаев А.К., Камилов ИХ, Рамазанов М.К. Исследование критических свойств фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах».Махачкала: 2005-С. 14-16.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Статическое критическое поведение 3D фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке. // ФНТ. - 2006. Т.32, №3. - С.323-328.
Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Исследование критического поведения фрустрированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло. // Межвузовский сборник научных работ аспирантов. Махачкала: 2006. В.З. - С.74.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование фрустрированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло. // Труды XX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2006. - С.629-630.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Вестник ДагНЦ. - 2006. - Т.24. - С.5-Ю.
16. Муртазаев А.К., Рамазаиов М.К., Бадиев М.К. Исследование фрустрированной модели Гейзенберга с переменным межслойным обменным взаимодействием // 9-й международный симпозиум «Упорядочение в металлах и сплавах» ОМА-9. Ростов-на-Дону - пос.Лоо;2006.-С.63-65.
17, Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Вахитов P.M. Компьютерное моделирование фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной слоистой решетке // Современные информационные и компьютерные технологии в инженерно-научных исследованиях. Научно- исследовательская стажировка молодых ученых. Сборник материалов. Том И. Физика. Химия. Лекции и научные статьи. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006. - 209 с. - ISBN. - С.59-68.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, и списка цитированной литературы.
В главе I дано изложение классического метода Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю.
Рассмотрение классического метода МК применительно к каноническому ансамблю, а также практическая реализация процедуры Монте-Карло для систем с дискретным (модель Изинга) и непрерывным (модель Гейзенберга и XY-модель) распределением состояний приведено в разделе 1.1. Раздел 1.2 посвящен описанию решеточных моделей, наиболее часто используемых при исследованиях кооперативных явлений в решеточных системах. Рассматриваются модели как с дискретными состояниями спинов так и с непрерывным распределением состояний спинов. Здесь также кратко описаны некоторые модели ФС.
Стандартный алгоритм метода Монте-Карло, основанный на перевороте одного спина (алгоритм Метрополиса) рассмотрен в разделе 1.3. Показано, что в критической области этот алгоритм сталкивается с проблемой так называемого «критического замедления».
Описание репличных алгоритмов метода МК (репличный обменный алгоритм (replica-exchange method), мультиканонический алгоритм (midticanonical algorithm), алгоритм расширенного ансамбля (method, of expanded ensemble) и 1//с-выборочный алгоритм (1/к - sampling)) дано в разделе 1.4. Эти алгоритмы, в отличие от стандартного алгоритма метода МК, позволяют преодолеть проблему многочисленных долин локальных минимумов энергии, возникающую при исследовании ФС. Обсуждается эффективность этих алгоритмов при исследовании различных решеточных моделей спиновых стекол, белковых молекулярных соединений и биополимеров.
В разделе 1.5 рассмотрены различные виды граничных условий, применяемых для устранения погрешности, связанной с малостью исследуемой системы, возникающей при изучении систем, содержащих конечное число частиц.
Подробный анализ ошибок, возникающих при моделировании методом МК, приводится в разделе 1.6. Здесь также рассматриваются вопросы, связанные с оценкой погрешности метода МК.
В главе II дается обзор результатов теоретических и экспериментальных исследований статических критических свойств фрустрированных спиновых систем.
Классический метод Монте-Карло
Методом Монте-Карло принято называть численный метод, в котором решение полностью детерминированной задачи заменяется приближенным решением, основанным на введении стохастических элементов, отсутствующих в исходной задаче [35].
В настоящее время в статистической физике удалось получить точное решение лишь для очень ограниченного числа моделей, описывающих фазовый переход второго рода [17]. Да и большинство из этих моделей относятся к простейшим моделям первого приближения. Также как метод молекулярного поля [5], различные теоретические приближения не адекватно описывают критические явления и вблизи Тс не работают. Таким образом, большинство результатов полученных в области теории фазовых переходов и критических явлений были получены на основе численных методов, таких как высоко- и низкотемпературных разложений, в - разложения и некоторых других [1-5]. Среди численных методов в последнее время все более важную и значительную роль играют методы Монте-Карло.
В 1953 году Метрополис и другие [43] применили метод Монте-Карло в каноническом ансамбле для расчета уравнения состояния двумерной модели-системы твердых дисков. После этого этот метод получил широкое применение на практике. А затем Вуд и др. распространили данный метод на трехмерные системы с гладким межчастичным потенциалом Леннарда-Джонса [44]. В наши дни метод МК и различные его варианты (кинетический, квантовый, кластерный, и др.) широко используется для решения задач физики, математики, биологии, астрономии, социологии и т.д. Особенно метод МК применяется к системам, для которых сделано предположение о взаимодействии между частицами системы. Надо отметить, что в принципе, методом МК можно получить сколь угодно точные результаты в зависимости от имеющегося в распоряжении машинного времени.
В данном случае погрешность вычислений, как правило, пропорциональна -\lD/N, где D- некоторая постоянная, iV-число МК испытаний и контролируется в рамках самого метода.
В методе МК система совершает случайные блуждания по конфигурационному пространству. Путем усреднения по каноническому конфигурационному ансамблю можно с успехом вычислить любую равновесную термодинамическую характеристику системы.
Последовательность различных конфигураций, реализуемых в методе МК, можно рассмотреть и как временную эволюцию системы. Как мы увидим ниже, этот динамический аспект метода МК, очень важен. Ибо это, во-первых, связано с интерпретацией и расчетом "статистических ошибок" метода. Применение метода Монте-Карло к ансамблю, находящемуся в произвольном состоянии, обеспечивает релаксацию ансамбля в состояние теплового равновесия. Динамическая интерпретация этого процесса позволяет понять, почему в некоторых случаях время релаксации может быть очень большим. Во-вторых, появляется возможность исследования величин, которые зависят от времени и динамических критических явлений. А это, в свою очередь, значительно расширяет область применения методов МК.
Сосредоточимся здесь на стандартном методе МК, имея в виду особенности, связанные с исследованием критических явлений. По мере необходимости будем пользоваться "магнитной" терминологией и опираться на модель Изинга и Гейзенберга, ибо они являются наиболее наглядными примерами дискретной и непрерывной систем. При изложении будем следовать работам [40, 45].
Спиновые стекла и фрустрации
В последнее время наблюдается повышенный интерес к исследованию неупорядоченных магнитных систем, к которым относятся простые магнетики с фрустрациями и спиновые стекла (СС). Спиновыми стеклами называют неупорядоченные магнетики, в которых энергия обменного взаимодействия случайным образом меняет не только величину, но и знак. В таких системах с конкурирующими взаимодействиями, в отличие от обычных магнетиков, с понижением температуры дальний магнитный порядок не возникает. Но не происходит и медленного постепенного замораживания спинов. Ниже некоторой, достаточно хорошо фиксируемой на эксперименте температуры 2} магнетик переходит в новое состояние, не имеющее аналогов в упорядоченных системах. Характерным свойством спиновых стекол является чрезвычайно медленная релаксация, обусловленная тем, что в системе имеется много состояний, которые обладают одинаковой энергией, но отличаются друг от друга переориентацией большого числа спинов. Переход из одного такого состояния в другое требует преодоления очень больших энергетических барьеров [103].
В СС существует большое число вырожденных термодинамических состояний с одинаковыми макроскопическими свойствами, но с различными микроскопическими конфигурациями. Вырождение основного состояния связано с тем, что в магнетике с конкурирующими обменными взаимодействиями неизбежно возникают фрустрации (неудовлетворенные связи), т.е. пары спинов, энергия взаимодействия которых ие соответствует минимуму. Следствием этого является метастабильность фрустрированной магнитной системы, которая характеризуется гистерезисными явлениями, медленной релаксацией или зависимостью образца от его магнитной или термической предыстории. Основное состояние системы имеет сложную и необычную иерархическую структуру, присущую, по-видимому, всем случайным системам, в которых наложенные связи не могут быть удовлетворены одновременно [104].
Так как энергия обменного взаимодействия сильно зависит от расположения магнитных и немагнитных атомов, то в класс неупорядоченных магнетиков входит большинство веществ, принадлежащих к спиновым стеклам.
Итак, основными свойствами, определяющими принадлежность того или иного вещества к СС, являются [103, 105]:
1. неупорядоченное строение системы;
2. наличие конкурирующих взаимодействий, приводящие к фрустрации;
3. статическая линейная восприимчивость в нулевом магнитном поле имеет острый максимум (или излом) в точке фазового перехода;
4. этот максимум размывается слабым магнитным полем, а нелинейная восприимчивость расходится в этой точке;
5. процессы релаксации протекают очень медленно;
6. теплоемкость при низких температурах линейно зависит от температуры.
В настоящее время известно огромное число спиновых стекол -металлов, диэлектриков и полупроводников; разбавленных сплавов (т.е. с малой концентрацией магнитных атомов) и концентрированных; кристаллических и аморфных веществ [105].
Статические критические свойства 3d фрустрированной модели Изинга на кубической решетке.
Результаты численного эксперимента.
Трехмерная полностью фрустрированная модель Изинга на кубической решетке впервые была предложена Вильяиом [78], как одна из моделей, которая может быть использована для описания спиновых стекол. Эта модель показана на рис.3.1 (а). Отметим, что вся система может быть разбита на 8 подрешеток, но подрешетки 1 -5,2-4, 3-6и7-8 эквивалентны.
На рис.З.1 (б) представлены восемь элементарных кубиков, описывающие спиновую конфигурацию данной модели в основном состоянии. Как видно из рисунка, на каждый элементарный куб приходятся три фрустрированные связи.
Гамильтониан этой системы представлен выражением (1.18). Фрустрации в этой модели обусловлены конкуренцией обменных взаимодействий [78, 80].
Исследования методом МК магнитных и общетермодинамических свойств этой модели выполнены в работах [80, 81]. Показано, что в этой системе наблюдаются два фазовых перехода при Та = 1.355 и ТСг й 0.7 [80], а по данным работы [81] ТС] = 1.347 и Та » 0.7. В работе [81] достаточно убедительно показано, что фазовый переход при Тс/ является переходом второго рода, а при Т= Та наблюдается ФП первого рода. По-видимому, работа [80] является первой работой, где были рассчитаны некоторые статические критические индексы. Значения наиболее важных индексов к и а, представленные в этой работе получены путем разбиения парафазного интервала температур на две области Тс Т 1.45 и Т 1.45. Такая процедура представляется весьма сомнительной, да и значение температуры Т - 1.45, при котором как полагают авторы происходит кроссовер, вызывает сомнение. Остается неясным еще и вопрос о причинах кроссовера в парафазной области.
Кроме того, прямой анализ данных МК эксперимента и определения индексов через углы наклона зависимостей термодинамических параметров на графиках, построенных в логарифмическом масштабе, является малоубедительным. Особенно при той небольшой МК статистике, представленной в этой работе.
Более свежей, является работа [81], в которой представлены значения критических индексов а, Д v и г/. Но основной целью авторов являлось исследование магнитных и термодинамических свойств этой модели, а не расчет критических индексов. Кроме того, выбранный авторами способ использования конечно-размерного скейлинга для их расчета, на наш взгляд, не отличается высокой точностью.
Тем не менее, данные этих работ свидетельствуют об отличии критичесішх параметров полностью фрустрированной 3d модели Изинга от значений характеризующих класс универсальности чистой модели Изинга.
Статические критические свойства фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке
Анти ферромагнитная 3d модель Гейзенберга на слоистой треугольной решетке является фрустрированной магнитной системой. Эта модель может быть представлена в виде трехмерной решетки, которая состоит из двумерных треугольных слоев сложенных по ортогональной оси. Гамильтониан этой системы представлен выражением [10]:
Первый член в формуле (4.1) характеризует внутриплоскостное антиферромагнитное взаимодействие спинов, а второй - мелшлоскостное ферромагнитное. Фрустрации в этой модели обусловлены геометрией решетки [10].
Этой модели соответствует соединение CsMnBrs, которое является антиферромагнетиком с треугольной решеткой [133]. Экспериментальные исследования показывают, что фазовый переход наблюдается при T?f=%3K.
Исследования методом МК магнитных и общетермодинамических свойств этой модели выполнены в работе [10]. Показано, что в этой системе наблюдаются фазовый переход второго рода при 7 =0.954. В этой работе были рассчитаны и некоторые магнитные статические критические индексы.
В работе [9] авторы обнаружили, что температуры магнитного и карального упорядочения совпадают 7 =7)=0.957(2), но физические причины такого поведения им пока неизвестны. Кроме того, результаты исследований, полученные в работах [8-11] носят весьма противоречивый характер, что требует проведения дополнительных более точных исследований этой модели.
В работах [9, 11, 136] представлены значения магнитных и киральных критических индексов а, Д Д, v, vla у, и ук. Выбранный авторами способ использования конечно-размерного скейлинга для их расчета, на наш взгляд, не отличается высокой точностью.
Тем не менее, данные этих работ свидетельствуют об отличии критических параметров фрустрированной 3d модели Гейзенберга от значений характеризующих класс универсальности чистой модели Гейзенберга.
С учетом всего этого в данной работе нами предпринята попытка по возможности с максимальной точностью, с соблюдением единой методики, с использованием надежной и проверенной схемы определить значения критических параметров 3d фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.
