Содержание к диссертации
Введение
1 Современное состояние проблемы 11
1.1 Краткая историческая справка 11
1.2 Магнитные пленки и слоистые магнитные структуры как модельные системы для изучения нелинейной динамики 13
1.2.1 Схема солитонного эксперимента. Условия наблюдения солитонов огибающей магнитостатических волн 14
1.2.2 Магнитные и оптические солитоны: сходства и различия 21
1.3 Классическое описание нелинейной динамики: задачи и пути их решения 22
1.4 Взаимодействие нелинейных волн в магнитных пленках: состояние и проблемы 28
2 Особенности распространения огибающей магнитостатических волн в структуре ФДМ 30
2.1 Спектр линейных поверхностных магнитостатических волн в структуре ФДМ 30
2.2 Обобщенное НУШ - модель для описания эволюции огибающей спиновых волн 38
2.2.1 Природа модуляционной неустойчивости магнитостатических волн 38
2.2.2 Уравнение эволюции огибающей 40
3 Слабонелинейная динамика магнитостатических спиновых волн вбли зи точки "нулевой дисперсии" 45
3.1 Некоторые точные решения обобщенного нелинейного уравнения Шредингера 46
3.2 Классификация солитоноподобных состояний в обобщенном нелиней ном уравнении Шредингера 51
3.2.1 Случай В = 0 53
3.2.2 Случай В ф 0, п = -2 61
3.2.3 Случаи В ф 0, п = -2/3 и В ф О, п = 1 70
3.3 Нелинейная динамика спиновых волн вблизи точки "нулевой дисперсии" 72
4 Взаимодействие нелинейных волн в структуре ФДМ 83
4.1 Уравнения эволюции амплитуд связанных ПМСВ 83
4.2 Индуцированная модуляционная нестабильность в системе связанных волн 86
4.2.1 Система фокусирующих уравнений 90
4.2.2 Система дефокусирующих уравнений 93
4.2.3 Особенности взаимодействия волн с дисперсией разного знака 95
4.2.4 Случай связанного состояния 98
4.3 Численное моделирование взаимодействия волн 104
4.3.1 Численное исследование модуляционной неустойчивости плоских волн 104
4.3.2 "Солитоноподобные" решения системы нелинейных уравнений Шредингера с дисперсией разных знаков 108
Обсуждение результатов и выводы 113
- Магнитные пленки и слоистые магнитные структуры как модельные системы для изучения нелинейной динамики
- Обобщенное НУШ - модель для описания эволюции огибающей спиновых волн
- Случай В ф 0, п = -2
- Особенности взаимодействия волн с дисперсией разного знака
Введение к работе
"... the progress of physics will to a large extent depend on the progress of nonlinear mathematics, of methods to solve nonlinear equations ... and therefore we can learn by compering different nonlinear problems."
WERNER HEISENBERG
Изучение нелинейных волн в различных физических системах - притягательная область исследований, как с фундаментальной точки зрения, так и с точки зрения приложений нелинейных свойств твердых тел. Современная теория нелинейных волн относится к синтетическим теориям. Она возникла на стыке нелинейной теории колебаний, линейной теории распространения волн, математической теории квазилинейных уравнений в частных производных, а также результатов прикладных исследований в газодинамике, теории волн на воде, радиофизике, нелинейной оптике, физике плазмы, физике магнитных явлений и т.д. К настоящему времени в ней уже выработалась собственная система универсальных понятий - общего языка, которым могут пользоваться физики и математики различного профиля. Наиболее впечатляющие результаты по нелинейным эффектам получены в оптике при изучении распространения волн в волноводоведущих диспергирующих средах. В противоположность этому изучение нелинейных эффектов в твердотельных системах демонстрирует более слабый прогресс. Это обусловлено, во-первых, существенными диссипативными потерями, которые делают весьма затруднительным наблюдение большинства нелинейных эффектов в твердых телах, а во-вторых, особенностями пространственной дисперсии, которая при определенном соотношении параметров может обеспечивать не только образование локализованных состояний, но и их разрушение. Однако в последние годы и здесь были достигнуты значительные успехи, в частности, по формированию акустических солитонов в кремнии, окиси магния, а-кварце и сапфире
с помощью пикосекундной звуковой техники [1]. Изменение формы акустического нелинейного импульса при этом описывалось уравнением Кортевега - де Вриза.
Настоящая работа посвящена одной из важнейших проблем нелинейной магни-тодинамики - изучению нелинейных волновых процессов в магнитоупорядоченных веществах. Здесь особая роль принадлежит спиновым волнам. Достоверно установлена глубокая корреляция между спектром линейных спиновых волн и основными свойствами нелинейных магнитных структур - уединенных волн намагниченности, солитонов, вихрей и др. В основном это актуально для солитонов огибающей высокочастотных спиновых волн, которые в настоящее время уверенно генерируются и наблюдаются экспериментально. Солитоны огибающей представляют собой устойчивые нелинейные волновые пакеты, сохраняющие свою форму при распространении в нелинейной дисперсионной среде даже при взаимодействии с другими солитонами. Эти свойства делают их привлекательными с точки зрения практических приложений, в частности, для передачи информации в технически важном СВЧ - диапазоне.
Эксперимент по наблюдению уединенных волн и солитонов обычно проводится при комнатной температуре в хорошо освоенном диапазоне частот на монокристаллах отличного качества. В большинстве случаев в таком эксперименте используют структуру ферромагнетик - диэлектрик - металл: на металлизированное основание напыляется диэлектрическая прослойка, на которой "монтируются" передающая и принимающая антенны, и на ней же располагается образец - пленка. В качестве рабочего вещества, как правило, используется железо - иттриевый феррит - гранат (ЖИГ). Интерпретация экспериментальных данных обычно проводится в предположении, что спектр линейных спиновых волн всей структуры совпадает со спектром изолированной пленки ЖИГа. Эволюция огибающей спиновых волн при этом, как правило, описывается хорошо изученным классическим, полностью интегрируемым нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) - уравнением параболического типа с кубической нелинейностью. Однако такая модель имеет ограниченную применимость по трем причинам.
Во-первых, закон дисперсии линейных спиновых волн в структуре ферромагнетик - диэлектрик - металл (ФДМ) существенно отличается от такового для изолированной магнитной пленки. Он обнаруживает ряд особенностей, в частности, точки "нулевой дисперсии", в которых обращается в нуль дисперсия групповой скорости и, следовательно, уменьшается расплывание волнового пакета при прохождении высо-
кочастотного импульса через структуру. Кроме того, s спектре появляются области как нормальной (положительной), так и аномальной (отрицательной) дисперсии. Эти обстоятельства существенно влияют на сценарий формирования возможных типов солитонов и их свойства. Поэтому изучение долгоживущих состояний и нелинейных структур в многослойных материалах и пленках вблизи особых точек спектра линейных спиновых волн вполне можно отнести к актуальным задачам.
Во-вторых, спиновые волны в структуре ферромагнетик - диэлектрик - металл относятся к высокодисперсионным системам (higher order dispersion media). Следствием этого обстоятельства является необходимость учета в уравнениях эволюции не только обычной (квадратичной) дисперсии, но и дисперсии более высокого (например, третьего) порядка. Кроме того, нелинейный отклик среды оказывается зависящим от волнового числа несущей спиновой волны, что приводит к необходимости учета в уравнении дисперсии нелинейных слагаемых. В результате учета дополнительных слагаемых уравнение эволюции из классического НУШ превращается в обобщенное нелинейное уравнение Шредингера (ОНУШ). В отличие от нелинейного уравнения Шредингера ОНУШ не является полностью интегрируемым уравнением. К сожалению, при некоторых обстоятельствах бывает необходимо пожертвовать математическими удобствами полной интегрируемости, чтобы отразить существенные физические свойства системы.
В-третьих, особенности линейного спектра существенно меняют характер взаимодействия одновременно распространяющихся волн и, как следствие, меняется сценарий формирования модуляционной неустойчивости (неустойчивости Бенджамина - Фейра [2]) - предвестника уединенных волн или солитонов в этой системе.
В нашей работе мы ограничиваемся рассмотрением только магнитостатиче-ских волн и колебаний в случае ферромагнетика, намагниченного до насыщения. Известно, что существует довольно широкий интервал, в котором, с одной стороны, уже можно использовать уравнения магнитостатики, а с другой - еще можно не учитывать неоднородного обменного взаимодействия. В структуре ферромагнетик -диэлектрик - металл могут быть возбуждены как объемные, так и поверхностные магнитостатические волны. Объектом предпринятого нами исследования являются уединенные волны намагниченности и солитоны огибающей поверхностных магни-тостатических волн.
Цель предпринятой работы состояла в разработке последовательной модели,
учитывающей тонкие детали спектра линейных спиновых волн и описывающей широкую совокупность нелинейных свойств высокодисперсионной системы - магнитостатических поверхностных спиновых волн в структуре ферромагнетик - диэлектрик
- металл.
Для ее достижения были решены следующие задачи:
изучены тонкие детали спектра линейных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик - диэлектрик- металл, проанализированы условия появления в спектре точек "нулевой дисперсии" в зависимости от материальных параметров системы;
получены уравнения эволюции, адекватно описывающие слабонелинейную динамику магнитостатических поверхностных волн, исследована корреляция между линейными и нелинейными свойствами системы;
в рамках предложенной модели исследованы возможные типы новых динамических долгоживущих микромагнитных состояний и структур вблизи особых точек спектра линейных спиновых волн;
предложена система связанных нелинейных уравнений Шредингера, моделирующая взаимодействие двух волновых пакетов поверхностных магнитостатических волн, исследованы условия появления модуляционной неустойчивости волн, получены решения, описывающие динамику намагниченности этих волн в окрестности точки "нулевой дисперсии";
проведено сравнение полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными по распространению солитонов огибающей магнитостатических спиновых волн в тонких магнитных пленках.
Актуальность исследования. В 1999 г. в журнале УФН [3, 4] академик В.Л.Гинзбург опубликовал серию работ под названием "Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными (тридцать лет спустя, причем уже на пороге XXI века)?", где был прокомментирован некоторый "список" проблем, представляющихся особенно важными и интересными. Он состоял из 30 названий. На 11-ое место была поставлена проблема "Нелинейная физика. Турбулентность. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы". В.Л.Гинзбург подчеркнул:
"Внимание к нелинейной физике все усиливается и усиливается. В значительной мере это связано с тем, что использование современной вычислительной техники позволяет анализировать задачи, об исследовании которых раньше можно было только мечтать".
Применение современных методов вычислительной математики позволяет строить более реальные модели нелинейных волновых процессов. Сейчас в области нелинейной физики можно выделить два типа злободневных задач: задачи с более, чем одной пространственной переменной и задачи, в которых анализируется роль дисперсии и нелинейности высших порядков. Решаемые в представленной работе задачи относятся ко второму типу. Эволюционным уравнением задачи, как уже отмечалось выше, является обобщенное нелинейное уравнение Шредингера (ОНУШ).
Актуальность решаемой задачи также обуславливается универсальностью используемого базового уравнения - ОНУШ, которое (впрочем, как и НУШ), кроме нелинейной физики магнитных явлений, широко используется в нелинейной оптике, теории волн на глубокой воде (что особенно актуально в последнее время), физике плазмы и других разделах. Поскольку оно не является полностью интегрируемым, то любое его новое решение, полученное в одном из указанных разделов физики, немедленно становится достоянием и другого раздела. В силу универсальности этого уравнения рассматриваемая структура ферромагнетик-диэлектрик-металл может вполне рассматриваться как модельная система для изучения нелинейных явлений и в других, близких по описанию, средах.
Научная новизна и защищаемые результаты. В работе приведены результаты исследования особенностей формирования уединенных волн и солитонов в структуре ферромагнетик - диэлектрик - металл в магнитостатическом приближении как следствие развития модуляционной неустойчивости при распространении либо одной монохроматической поверхностной спиновой волны, либо двух одновременно, В качестве уравнения эволюции использовано обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, учитывающее эффекты высшей и нелинейной дисперсии, существенные в указанной слоистой структуре. Задача о специфической нелинейной динамики в слоистых магнитных структурах с учетом тонких деталей и особенностей спектра поверхностных спиновых возбуждений таким образом, как предлагается в работе, еще не ставилась.
К положениям, выносимым на защиту, относятся:
Анализ тонких деталей спектра поверхностных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл: показано, что положение точки "нулевой дисперсии" в спектре поверхностных магнитостатических волн при типичных значениях материальных характеристик структуры на зависимости ш(к) определяется условием Wkk = 0, реализуемым при к ps Д-1 (о; - частота, Шкк -вторая производная от частоты по волновому числу, Д толщина диэлектрического слоя).
Модель зарождения и эволюции уединенных волн и солитонов огибающей поверхностных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик - диэлектрик - металл: (а) выяснены условия для появления нового класса микромагнитных состояний - "светлых" и '^темных" солитонов Потасека-Табора, периодических (кноидальных) волк, "серых" и "анти-темных" солитонов намагниченности; (б) исследованы особенности развития нелинейного спин-волнового сценария при распространении одиночной плоской волны с волновым числом, близким к волновому числу точки "нулевой дисперсии" спектра, выяснены условия появления неустойчивости Бенджамина - Фейра и "темного" солитона на фоне этой волны.
Результаты исследования особенностей развития модуляционной неустойчивости в системе двух взаимодействующих волн, распространяющихся в структуре ферромагнетик - диэлектрик -металл: (а) предложена модель - система двух связанных нелинейных уравнений Шредингера- для описания нелинейного взаимодействия распространяющихся волн; (б) построены "фазовые" диаграммы, отражающие области, в которых имеет место модуляционная нестабильность и области, в которых модуляционная неустойчивость не реализуется. Размеры и формы этих областей определяются характеристиками спектра линейных спиновых возбуждений.
Численные алгоритмы для анализа сценариев зарождения уединенных волн (квазисолитонов) и солитонов в многослойных магнетиках, их взаимодействия и физических свойств.
Теоретическая и практическая значимость работы. В рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера исследованы новые типы нелинейных возбуждений и локализованных структур в слоистых магнитных материалах с управляемыми с помощью внешних параметров пространственной дисперсией и нелинейностью. Изучены долгоживущие состояния и структуры в многослойных материалах вблизи особых точек спектра линейных спиновых волн. Эти точки замечательны тем, что вблизи них всегда существуют пространственно - временные области, в которых баланс эффектов дисперсии и нелинейности среды допускает существование новых локализованных состояний. Проведен анализ нелинейного взаимодействия двух поверхностных спиновых волн, распространяющихся в структуре ферромагнетик - диэлектрик - металл. Выяснены условия возникновения модуляционной неустойчивости, приводящей к образованию уединенных волн и солитонов. Полученные результаты могут быть использованы для интерпретации уже известных экспериментальных данных по магнитостатическим солитонам огибающей в магнитных пленках, а также для постановки новых работ по исследованию особенностей уединенных волн намагниченности и волновых процессов в слоистых магнитных структурах. В целом работа направлена на разработку фундаментальных основ новейших нелинейно-волновых технологий, использующих в устройствах обработки сигналов существенно нелинейные явления, происходящие в магнитных материалах - многослойных магнитных структурах и неоднородных магнитных пленках.
Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгой обоснованностью принятых приближений и допущений, использованием в работе хорошо проверенных и апробированных аналитических и численных методов, совпадением предельных переходов с известными ранее результатами.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Международной зимней школе физиков-теоретиков "Коуровка-ХХІХ" (Екатеринбург, 2002); Международных школах - семинарах "Новые магнитные материалы микроэлектроники" (Москва, 2002, 2004); Международных семинарах "Магнитные фазовые переходы" (Махачкала, 2002, 2004); XXXIII Совещании по физике низких температур (Екатеринбург, 2003); Выездной сессии по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах (Астрахань, 2003); Евро - Азиатском симпозиуме "Достижения в магнетизме" (Красноярск, 2004); Международной конференции "Комплексный анализ, урав-
нения математической физики, вычислительная математика" (Уфа, 2004).
Публикации. По материалам диссертации имеется 15 публикаций, в том числе 6 статей в реферируемых научных журналах и 9 тезисов докладов на Всероссийских и международных конференциях.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и трех приложений. Полный объем работы составляет 137 страниц, включая 37 рисунков, 4 таблицы и 97 наименований цитируемой литературы.
Содержание диссертации. Работа состоит из введения и 4 глав. Во Введении обосновывается актуальность выбранной темы, дается аннотация полученных результатов. Изложены основные положения, выносимые на защиту, отмечены научная и практическая значимость результатов работы. В главе 1 приводится обзор литературы по исследуемой проблеме, анализируется состояние проблемы. В главе 2 приведены данные об особенностях спектра линейных поверхностных спиновых волн в структуре ферромагнетик - диэлектрик - металл и получено уравнение эволюции огибающей магнитостатических волн - обобщенное нелинейное уравнение Шредин-гера. Глава 3 посвящена изучению поведения одной поверхностной магнитостатиче-ской волны в нелинейном режиме. Аналитическими методами построен ряд новых решений ОНУШ, численными методами исследована динамика волн вблизи точки "нулевой дисперсии". В главе 4 изучается поведение нелинейных волн при одновременном распространении. В последнем разделе сформулированы основные выводы, обсуждаются результаты проведенного исследования и дальнейшие перспективы. В Приложениях (А, В, С) приведены громоздкие математические выкладки.
Магнитные пленки и слоистые магнитные структуры как модельные системы для изучения нелинейной динамики
Тонкие магнитные пленки являются перспективными модельными системами для изучения целого комплекса нелинейных физических свойств магнетиков, пред- ставляющих интерес для фундаментальной науки. Прежде всего - это возможность исследования новых типов нелинейных возбуждений и локализованных структур, условий их генерации, стабильности и времени жизни в магнитных материалах с дисперсией и нелинейностью, управляемыми с помощью внешних параметров. Такая возможность является следствием глубокой корреляции между спектром линейных спиновых волн и основными свойствами (формой, скоростью движения, временем жизни) этих структур. По исследованию нелинейных свойств магнитных пленок к настоящему времени известно значительное количество работ как теоретических, так и экспериментальных, выполненных в целом ряде стран: в США (группа проф. Паттона, университет штата Колорадо), в Англии (группа проф. А.Д.Бордмана, Сал-фордский университет), в Германии (группа доктора А.Беннера, технический университет Дармштадта), в России (группа проф. А. К.Звездина и А.Ф.Попкова, МГУ им. М.В.Ломоносова, группа проф. Б.А.Калиникоса, Санкт- Петербургский электротехнический университет) и др. В них, в частности, описывается уверенная генерация к "светлых" и "темных" солитонов огибающей спиновых волн [12]- [14]. В настоящем разделе обсуждаются основные результаты, полученные этими группами исследователей, и существующие на сегодняшний день проблемы. Принципиальная схема экспериментальной установки для наблюдения магнитостатических волн приведена на рис. 1.1 а. Образец закреплен между полюсами постоянного магнита. На образце закреплены две антенны: передающая (Вход) и приемная (Выход). К передающей антенне прикладывают радиочастотное переменное поле от источника СВЧ. СВЧ-источник состоит из трех устройств: генератора развертки, синтезирующего СВЧ-сигналы, СВЧ-ключа и генератора импульсов. Несущий сигнал преобразуется в прямоугольный СВЧ-импульс при помощи быстрого полевого транзистора - переключателя GaAs, который управляется генератором импульсов. Минимальная ширина прямоугольного импульса при этом составляет около Зим. Аттенюатор СВЧ и усилитель мощности используются для контроля за мощностью импульса (максимальная мощность составляет порядка 3.5Вт). Сигнал с приемной антенны, прошедший через образец ЖИГ, направляется на анализатор перемещений вместе с входным сигналом, пропущенным через направленный ответвитель.
Данные с анализатора сохраняются на компьютере. На рис. 1.1 б приводится функциональная часть образца, в котором исследуются нелинейные магнитостатические волны. Образец представляет собой достаточно сложную структуру: пленка ЖИГ наносится на диэлектрическое основание, которое расположено на проводящей подложке. Микрополосковые антенны также наносятся на диэлектрическое основание. Эксперимент по генерации солитонов огибающей состоит из нескольких этапов. Сначала по данным ферромагнитного резонанса (ФМР) определяют величину коэффициента затухания TJ. Затем исследуются свойства линейных волн, для чего делаются два эксперимента: измерение потерь при передаче несущих волн в соответствующем частотном диапазоне и измерение зависимости времени прохождения импульса от частоты. В результате первого эксперимента более точно определяется коэффициент затухания, в результате второго - строится график зависимости vg(u )y по углу наклона которого определяется дисперсия волн. В таблице 1.1 приведены характерные величины параметров пленки ЖИГ. Для примера взяты данные для обратных объемных магнитостатических волн (см., также [15]). Данные по другим типам магнитостатических волн (прямых объемный и поверхностных) можно найти в экспериментальных работах [16]-[20]. Приведем далее некоторые соображения о возможности наблюдения микроволновых солитонов огибающей магнитостатических волн в тонких магнитных пленках. Волновой пакет для таких волн можно генерировать и детектировать полосами-антеннами, между которыми распространяются импульсы с определенными групповыми скоростями, дисперсионными характеристиками и параметрами диссипации. Обычно рассматриваются спиновые волны с частотами 1 -г-10/7 и волновыми числами 102 -г 105сл -1. В этом диапазоне волны могут быть описаны уравнениями Максвелла в магнитостатическом приближении с соответствующими граничными условиями. В линейном приближении в тонких пленках ЖИГ возможны три типа магнитостатических волн (МСВ): прямые объемные МСВ, обратные объемные МСВ, и поверхностные МСВ. Каждый тип волн существует в своем частотном диапазоне и обладает своими характерными дисперсионными характеристиками. На рис. 1.2 схематически приведены законы дисперсии и указаны направления распространения трех типов волн в изолированной пленке ЖИГ. Прямые и обратные объемные волны существуют в одном диапазоне частот 7# ш f[H(H + 4ігМа)]1/2 (Ма - намагниченность насыщения, И - постоянное магнитное поле, 7 = 2.8 106Э-1с-1 - гиромагнитное соотношение). Однако тип дисперсии у них различный - у прямых волн дисперсия отрицательна cJkk 05 тогда как у обратных положительна Шкк 0. Поверхностные волн существуют в более высокочастотном диапазоне 7[#(//+ 4тгЛ/8)]1/ 2 и )(Н 4- 2ттМе) и обладают отрицательной дисперсией.
Переход к нелинейным волнам от линейного спектра обычно осуществляется следующим образом. Намагниченность насыщения полагается постоянной, но учитывается ее отклонение от поля (оси г). В первом порядке малости в этом случае имеем: Это обстоятельство приводит к появлению зависимости частоты волны от ее амплитуды. Для характеристики этой зависимости вводят величину которую называют нелинейным откликом, или нелинейностью. Для формирования солитонов необходимо выполнение критерия Лайтхилла NUJM 0 [21, 22]. Обычно для изучения возможностей экспериментального наблюдения солитонов огибающей магнитостатических волн вводят несколько характерных времен. Время релаксации - промежуток времени, за который амплитуда начального импульса уменьшится в е раз за счет диссипации. где 7} - параметр диссипации. Время дисперсии, определяемое как время, за которое импульс длительностью Гц и амплитудой о2 уменьшит свою амплитуду вдвое за счет дисперсионного расплывания. Полагая энергию импульса в отсутствие релаксации постоянной и пропорциональной произведению ширины импульса на квадрат амплитуды 2X(f) = о27о, можно получить хорошую оценку времени дисперсии [23]: (уд - групповая скорость, ш - дисперсия групповой скорости). Время нелинейности - время, за которое фаза нелинейной волны сместится относительно линейной на тг: Время прохождения нелинейного импульса- четвертая характеристика. Если L - расстояние между излучающей и приемной антеннами, vg - групповая скорость волны, то Соотношения между этими характерными временами устанавливают условия формирования и наблюдения как линейных (малых по амплитуде) волн, так и солитонов (амплитуда импульса достаточно большая). Условия формирования солитона достигаются в результате конкуренции между дисперсией среды и ее нелинейностью. Это возможно, если время нелинейного отклика меньше времени дисперсии Тп Та, что ограничивает характерную величину - произведение квадратов ширины и амплитуды начального импульса 2 v?o2 - при формирования солитона: Необходимое условие для формирования п солитонов из прямоугольного импульса, как показывает оценка в [24], можно записать следующим образом: В работе [25] приводится обобщение результата (1.6): приводятся оценки порогов образования п солитонов из импульса произвольной формы. Кроме того, в работе [25] приведено исследование влияния однородной диссипации на пороги образования солитонов и время их формирования.
Обобщенное НУШ - модель для описания эволюции огибающей спиновых волн
При выводе закона дисперсии магнитостатических волн в линейном приближении отклонения намагниченности от равновесного положения полагаются малыми: Л/Х, А/у -С Л/г и \Мг\ f» Л/о) где Л/о - намагниченность насыщения, А/гМ0 (линейное приближение). При увеличении амплитуды волн пренебрегать изменением величины л-компоненты намагниченности нельзя. Это приводит к тому, что частота волны начинает зависеть от амплитуды: где полагается Таким образом, мы записали приближенное выражение для частоты, зависящей от амплитуды волны. При этом и(к) соответствует частоте линейной волны, а второе слагаемое - нелинейной поправке. Если к и \ip\2 зависят от координат, то фаза Ф(у, ), которая для монохроматической волны имеет вид Ф = ky—ut, уже не будет линейной функцией у и t. Однако можно по-прежнему определить волновые числа и частоты: Из последнего выражения (2.3) видно, что волновое число меняется со временем по закону (здесь обозначили Кш = WL3J va = w(A:)J.). Далее, поскольку в волновом пакете энергия - квадратичная по амплитуде величина - переносится с групповой скоростью vg, то в качестве закона дисперсии можно принять выражение [77]: Из уравнений (2.4) и (2.5) следует, что волны могут быть модуляционно неустойчивыми. Действительно, рассматривая возмущение в линейном приближении (полагаем \ fi\ S \ fo\, &i ко, v - и, к ; к0), имеем дисперсионное соотношение {vg = dvg/дк). Из последнего соотношения ясно, что при Njrfg 0 будет иметь место неустойчивость типа разбиения волны на пакеты и самосжатия волновых пакетов. Этот результат был впервые получен Лайтхиллом [21]. Физическая основа появления такой неустойчивости хорошо продемонстрирована в [77]. Проведем подобную иллюстрацию для нашего случая. Для поверхностных магнитостатических волн, как определено выше (см. рис. 2.8), N 0. Поэтому в областях Л, А с большей амплитудой скорость волн будет меньше, чем в области В с малой амплитудой {см. рис. 2.9). В области а поэтому будет уменьшаться волновое число (волновое число понимается, как число узлов на единицу длины), тогда как в области Ь волновое число будет расти с течением времени. Тогда, если v „ = д2иі/дк? = Пы 0 (а такие области действительно есть в спектре поверхностных волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл, см. рис. 2.5), то волны из области Ь будут "догонять" область Л , а из области а "задерживаться". Тем самым будет возрастать амплитуда пакета в точках Л и Л за счет ослабления пакета в точке В. 2.2.2 Уравнение эволюции огибающей Получим уравнение, описывающее слабонелинейную динамику магнитостатических волн.
Как было показано, наличие нелинейности в дисперсионных средах может проявляться в виде развития модуляционной неустойчивости (неустойчивости Бенджамина- ФеЙра). В результате частота и волновое число становятся зависимыми от амплитуды волны. При этом волны группируются в локализованные пакеты, то есть появляется нелинейная огибающая, движущаяся с определенной скоростью. Уравнение движения огибающей можно получить в рамках подхода Уизема [78], обоснование которого можно найти также в [77, 42, 43]. Зададимся некоторым волновым числом к = ко и разложим частоту в ряд вблизи выбранной точки: В разложении (2.6) учтены: "обычная" дисперсия волн (второе слагаемое в правой части уравнения), дисперсия высшего (третьего) порядка (третье слагаемое), нелинейные (зависящие от амплитуды) свойства волн (четвертое слагаемое), а также дисперсия нелинейности (последнее слагаемое). Дисперсия третьего порядка и нелинейная дисперсия играют существенную роль при распространении волн вблизи точки нулевой дисперсии. Получим из разложения (2.6) уравнение, описывающее эволюцию медленно меняющейся огибающей волнового пакета. Представим себе, что мы имеем почти плоскую волну с волновым вектором к0 и частотой OJQ = w(fco). В линейном приближении систему уравнений для малых отклонений от положения равновесия можно представить в виде одного линейного уравнения для комплексной амплитуды р (Фурье-гармоники): D(k,u)) pk& = 0. Выбранные нами значения UJ0, к0 являются решением дисперсионного уравнения D(k, w) = 0. Вблизи этих значений, ограничиваясь линейными now-ц, к — ко членами, уравнение для Фурье-гармоники рк можно представить в виде [77] А(ко,шо)([ш — ()]) ьіШ = 0, где A(kQ7 ц о) — const - постоянная амплитуда, которую можно не принимать к рассмотрению. Тогда разложение (2.6) можно понимать, как уравнение для комплексной амплитуды Pk,u- Переходя от Фурье-гармоник к переменным y,t, получим уравнение для эволюции огибающей: Коэффициенты уравнения связаны с величинами, введенными выше (см, (2.6)): Отметим, что приведенный подход к получению уравнения является приближенным, однако он может "ухватить" основные особенности распространения волн. Для более строгого (и намного более трудоемкого!) вывода уравнений можно воспользоваться є - разложением [22].
Рассуждения о границах применимости описанного выше метода получения нелинейных уравнений для огибающей приведены в [42, 43]. Для дальнейшего анализа уравнения (2.7) удобно перейти к безразмерным переменным После этого уравнение легко можно привести к более удобному виду: (здесь положено л = l/2sign(D2), N = —sign(JVw), о3 = -D3\D2\ a/2, »і = Qj U lAi Заметим, что вблизи точки "нулевой дисперсии" способ перехода (2.9) к безразмерным переменным может оказаться неудобным: если D2 — 0, то а3 = — І?з{ ДгІ-3 2 — оо. В этом случае в (2.9) удобнее заменить у X = yjd. При этом а = /2, аз = — D3 (D2, D$ полагаются безразмерными). Перечислим некоторые свойства обобщенного нелинейного уравнения Шредин-гера(2.10). Уравнение (2.10) является дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка по переменной Г и третьего порядка по переменной X. Уравнение является нелинейным, поскольку содержит третью степень неизвестной функции и произведение квадрата функции на ее производную. В интересующих нас задачах о распространении огибающей волн различной природы исследуется задача Коши для данного уравнения: определить р(Х, Г), если известно У(Л",2")Г=0 = Ро(Х). Уравнение в общем случае (при произвольных коэффициентах аи а3) не является полностью интегрируемым в смысле обратной задачи рассеяния [45, 46]. Поэтому среди его решений могут быть односолитонные, тогда как вопрос о существовании многосолитонных решений остается открытым. Уравнение (2.10) можно обобщить, разбив последнее слагаемое на две части: Это уравнение часто привлекается для объяснения ряда эффектов в нелинейной оптике, где такое разбиение связывают с неоднородным рамановским рассеянием [73]. Исследованию нескольких решений этого уравнения, в частности "излучающего" солитона и "солитона на волне" ("embedded soliton") посвящена работа [47]. Определенный класс решений этого уравнения исследовался численно в статье [52]. Существует набор частных значений коэффициентов, при которых уравнение становится интегрируемым. Выделим среди них следующие: i = а3 = 0. Уравнение сводится к классическому нелинейному уравнению Шре-дингера, которое полностью интегрируемо. В частности, при alV 0, оно имеет решения в виде "светлого" солитона (критерий Лайтхила), при aN 0 - "темного" солитона. fti = ба3. В этом случае применим к уравнению преобразование Галилея. Положим -модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза (МКдВ). Это уже полностью интегрируемое уравнение (см., например, [10], [22]), ач = 0, a«i = Зоз-Л/". Это так называемые условия Хироты, уравнение при этом сводится к уравнению Хироты [79]. а = 1, JV = 2, 2QI = Заз 4QI = Заз- В этом случае уравнение также сводится к интегрируемому и рассмотрено в работе [80]. Следующая глава будет посвящена исследованию решений уравнения эволюции огибающей поверхностных магнитостатических волн в окрестности точки "нулевой дисперсии".
Случай В ф 0, п = -2
Решения этого уравнения могут быть выражены через эллиптические функции Якоби. При этом характер возможных решений определяется знаками коэффициента а и дискриминанта D кубического полинома Р(Ф), стоящего в правой части (3.40). Из вида (3.40) следует, что необходимым условием существования действительных решений Ф(х) является Р(ф) 0. При этом задача сводится к анализу уравнения (3.40) методами качественной теории дифференциальных уравнений, когда вид решений легко исследовать на фазовой плоскости (Фх, Ф) (см. рис. 3.6, 3.7). В случае D 0 полином имеет только один вещественный корень, и ограниченных на бесконечности решений не существует. При D 0 имеется три различных действительных корня Фі Ф2 Фз. В зависимости от знака а проанализируем две возможности. 1. а 0. В этом случае в области Ф± Ф Ф2, где Р(Ф) 0, решение Ф(х) имеет осциллирующий характер и может быть выражено через эллиптическую функцию AQ = д2/(1+//2), где 0 fi оо. Отметим, что решения такого типа в "классическом" НУШ были известны давно (см. например [91, 86, 87]), однако в обобщенном НУШ такие решения были впервые найдены нами. На рис. 3.8 представлены квадрат его амплитуды ] (д:,і)2 и нелинейный фазовый сдвиг a(x,t). Параметры системы (коэффициенты обобщенного нелинейного уравнения Шредингера) приведены на рисунке слева, а справа приведены параметры солитона. На рисунок выведен квадрат модуля функции F2 и нелинейный сдвиг фаз а. Отметим, что при переходе "через" солитон амплитуда фона остается прежней, а фаза меняется на 2arctan(//) (в приведенном на рис. 3.8 случае этот сдвиг составляет тг/2, хотя в принципе он может принимать любое значение в диапазоне 0 4- тг, поскольку ft - величина произвольная). Вычисления были проведены численно, использовался псевдоспектральный метод Фурье - Галеркина (то есть был организован переход из физического пространства в Фурье - пространство, полученная система уравнений решалась методом Рунге-Кутта четвертого порядка по времени). Метод имеет асимптотическую сходимость при увеличении числа используемых Фурье-гармоник. Исчерпывающую информацию по алгоритму решения таких задач можно найти в [92]. Используемые в методе алгоритмы метода Рунге - Кутта четвертого порядка и быстрого преобразования Фурье сейчас относятся к стандартным.
Решение (3.52) - (3.53) описывает цепочку "анти-темных" солитонов (здесь мы следуем терминологии [93]) - уединенных волн положительной амплитуды на "пьедестале". В (3.52) содержится два параметра: модуль эллиптического косинуса к и высота пьедестала F0. Выражение допускает предельный переход F0 —У О, к 1, в результате которого величины Е и В стремятся к нулю, а (3.52) переходит в выражение для "светлого" солитона Потасека - Табора [30]. Причем в соответствии с амплитудно -фазовым соотношением (3.21) производная фазы Q = ах становится постоянной величиной. Потенциал Р(Ф) и фазовые траектории Ф (Ф) для этого случая приведены на рис. 3.7. Обратим внимание на особенности качественного анализа уравнения (3.38). На вид решения влияют два параметра: первый интеграл Е и величина В, характеризующая связь между амплитудой и фазой решения (3.15). Соответственно возможны два пути исследования формы решения: изменять Е при фиксированном В, или изменять В при фиксированном Е. Для анализа первого типа удобно рассматривать функцию F(x) и уравнение (3.39), поскольку параметр Е в нем является свободным. В настоящей работе мы предпочли второй путь исследования. Естественно, что этот анализ удобно проводить в терминах функции Ф(х) и уравнения (3.40), поскольку в него В входит свободным параметром. При этом заметим, что свободный член d = — 4F2 0. Это приводит к тому, что все кривые Р(Ф, В) ограничены сверху линией, соответствующей В = 0. Отметим, что фазовые портреты (см. рис. З.б и 3.7) приведены только для области Ф 0. Это связано со способом определения функции: Ф(х) = F(x)2 0. В случае а 0 "левый" корень полинома Р(Ф) находится в области Ф 0. Таким образом, можно сделать вывод о невозможности в этих условиях как инфинитного движения, так и сепаратришых решений. Из качественного анализа дифференциального уравнения (3.40) следует, что при а 0 возможны лишь периодические ограниченные решения (3.52) - (3.53). С этим фактом связана невозможность осуществления предельного перехода к — I при FQ 0 в соотношениях (3.53) (необходимо, чтобы А$ 0, Ь7 0, В2 0), что является причиной отсутствия решений в виде изолированного "анти-темного" солитона. Если коэффициенты уравнения не удовлетворяют последним соотношениям, то не все решения будут иметь место (например, могут отсутствовать сепаратрисы). Классификация возможных типов решения в зависимости от параметров , л, і? приведена в таблице 3.1. Знак "+" в ней означает наличие решений определенного типа, "— "-отсутствие. Выше показано, что в случае В ф 0, п = — 2 (нелинейный фазовый сдвиг обратно пропорционален квадрату амплитуды) ОНУШ может быть редуцировано к стационарному уравнению Кортевега - де Вриза относительно функции Ф = F2. В этом случае ОНУШ имеет ряд интересных решений, среди которых следует выделить "серый" солитон, "цепочку серых солитонов" и "цепочку анти-темных солито-нов". Серый солитон интересен тем, что он является двухпараметрическим, причем одним из его параметров является глубина модуляции (глубина провала на фоне несущей волны), которую можно задавать в эксперименте.
Решение "цепочка серых солитонов" содержит еще один дополнительный параметр - расстояние между провалами - "серыми" солитонами. "Цепочка анти-темных солитонов" представляет собой серию пиков на фоне малоамплитудной волны. При этом заметим, что решение в виде изолированного пика на фоне волны (изолированного анти-темного солитона) не реализуется. Кроме того, величина первого интеграла данного уравнения (ее легко получить, до-множив уравнение (3.54) на F x и проинтегрировав его) должна быть равна нулю. Это достаточно специфическая ситуация, и ее имеет смысл исследовать, если удастся найти физическую систему, удовлетворяющую соотношениям ct\ = 17/5«2- Однако нам такая система неизвестна (отметим, что в случае магнитных пленок а± = а2), поэтому рассмотрением этой ситуации и поиском соответствующих решений в настоящей работе мы не занимались. Что касается случая п = 1, то он был детально проанализирован в работе [81]. В этом случае система сводится к уравнению Введенные величины Сі, і? возникли как постоянные интегрирования, при этом Е имеет смысл первого интеграла и определяется таким же образом, как в предыдущем пункте. Подробный анализ решений уравнения (3.56) приведен в [81]. Отметим здесь наиболее важные с нашей точки зрения результаты. При определенных условиях в системе реализуются кноидальные состояния вида Отметим в связи с этим два факта. Во-первых, среди решений (3.58) - (3.62) нет ни "серых" солитонов, ни "решеток серых солитонов", обсуждаемых нами в предыдущем параграфе. Во-вторых, для реализации всех состояний из перечисленных выше, требуется, чтобы между коэффициентами уравнения (3.1) выполнялись определенные соотношения. Так, например, для реализации решения (3.60) требуется, чтобы выполнялось условие В наших решениях ограничения такого рода отсутствуют. Таким образом, полученные нами решения - "решетки серых солитонов" (3.43), "решетки анти-темных солитонов" (3.52) и изолированные "серые" солитоны (3.48) - это решения другого класса: они являются "не просто новыми, а принципиально новыми" решениями ОНУШ. Обсудим теперь особенности проявления модуляционной неустойчивости вблизи "точки нулевой дисперсии". Как было показано раньше, в спектре поверхностных магнйтостатнческих волн в структуре ферромагнетик - диэлектрик - металл есть две такие области, причем очень легко найти "левую" (с меньшим волновым числом к): а = О при к fcs Д-1 (Д - толщина слоя диэлектрика).
Особенности взаимодействия волн с дисперсией разного знака
Как уже отмечалось выше, случай взаимодействия волн с дисперсией разного знака характерен для магнитных систем со структурой ФДМ, спектр линейных ПМ-СВ которых имеет точки "нулевой дисперсии". Анализируя выражение (4.22) для результанта, видим, что если JDi 0, а 2 0, то Res(/, /) имеет особенность при D\ = — D4: в этой точке исчезает зависимость от волнового числа к, и остается только зависимость от к. В этой точке уравнение Res(/, /) = 0 дает не кривые к(к), как в предыдущих случаях, а набор прямых, параллельных оси абсцисс (если уравнение имеет действительные решения). Естественно, что при переходе через эту точку следует ожидать существенных трансформаций в "фазовых диаграммах". Кроме того, в отличие от рассмотренных выше случаев дисперсии одного знака, здесь важно, какую именно амплитуду мы уменьшаем. Если мы делаем малой амплитуду первой волны \а\ — 0, то в пределе приходим к одному фокусирующему уравнению, а если уменьшаем амплитуду второй волны Ь — 0 - то к дефокусирующему. Фазовая диаграмма для случая (DQ 0, DI 0, \Di\ J-Dal) приведена на рисунках 4.3 и 4.4 (выбраны волны с /ЇЇ = 0.09, k% = 0.11 [61]). Для равных амплитуд (рис. 4.3 а и 4.4 а) плоскость состоит из четырех областей: (I) и (IV) - области "стабильности" (действительные корни), (II) и (III) - области модуляционной неустойчивости размерности 1 (два действительных и два комплексно сопряженных корня). Имеется также точка соприкосновения трех областей ("тройная" точка): (I), (И) и (III). На рис. 4.3 приведена эволюция диаграммы при уменьшении амплитуды й, а на рис. 4.4 - при уменьшении а. При уменьшении амплитуды Ь (рис. 4.3 б) замкнутая зона нестабильности (II) уменьшается, и после достижения определенного значения амплитуды исчезает совсем (рис. 4.3 в); также исчезает тройная точка". При этом зона (III) сужается, и в пределе Ь — 0 области нестабильности на диаграмме "схлопываются", что соответствует случаю дефокусировки. При уменьшении амплитуды а (рис. 4.4 б) зоны (П) и (III) сливаются, при этом зона (I) разбивается на две части - неограниченную (верхняя и нижняя части диаграммы) и замкнутую (внутри зоны (II, III)). С уменьшением а площадь замкнутой части зоны (I) уменьшается, и после достижения определенного значения амплитуды она исчезает (рис. 4.4в).
При этом часть зоны (III), отделяющая (I) от (IV), также сужается, и в пределе а — 0 диаграмма состоит из двух областей: неограниченной зоны (I) стабильных состояний и ограниченной по к зоны (II) модуляционной неустойчивости, что соответствует случаю фокусировки. Фазовая диаграмма для случая {D\ О, D2 0, Dj \D2\) приведена на рисунках 4.5 и 4.6(взяты волны с к\ = 0.10, к% = 0.11). Для случая равных амплитуд (рис. 4.5 и 4.6) плоскость возможных значений (А:, к) состоит из пяти областей: (I) и (V) - области "стабильности" (действительные корни), (II), (III) и (W) - области модуляционной неустойчивости (в (II) и (IV) два действительных и два комплексно сопряженных корня, (III) - две пары комплексно сопряженных корней). На рис. 4.5 приведена эволюция диаграммы при уменьшении амплитуды 6, а на рис. 4.6 - при уменьшении а. При уменьшении Ь (рис. 4.5 б) правая и левая части диаграмм, а также нижняя и верхняя части "двигаются" навстречу друг другу. При этом зона (III) разбивается на несколько областей в результате "наложения" на нее области (IV). Дальнейшее уменьшение амплитуды приводит к тому, что зоны неустойчивых состояний сужаются, и в пределе & — 0 области нестабильности на диаграмме исчезают, что опять же соответствует случаю де4 окусировки. При уменьшении амплитуды волны а (рис. 4.6 б) диаграмма трансформируется достаточно сложным образом: верхняя и нижняя части диаграмм двигаются друг от друга, при этом левая и правая части двигаются навстречу друг другу. Сначала это приводит к тому, что зона (IV) становится непрерывной. Затем зона (III) разбивается на несколько (рис. 4.6 в) , при этом размеры зон (II) и (IV) уменьшаются. В пределе а — 0 диаграмма переходит к диаграмме, характерной для одного фокусирующего нелинейного уравнения Шредингера. Случаи, приведенные на рис. 4.5, 4.6, существенно отличаются от диаграмм, приведенных на рис. 4.3, 4.4. При D2 0, Di —D2 индуцированная модуляционная неустойчивость может развиваться только по одной нестабильной собственной моде, а при Di 0, 1?2 0, \Di\ 2І 14 по одной, так и по двум. Поскольку для состояния (4.18) имеется жесткая связь между а и Ь, то неизбежно возбуждение модуляционной неустойчивости по собственной моде, скажем в a - канале, приведет к уменьшению амплитуды нестабильной собственной моды в Ь -канале. Это обстоятельство значительно усложняет вид фазовых диаграмм. В этом разделе приведены результаты исследования характера решения уравнения (4.20), когда реализуется состояние (4.18). На рисунке 4.7 приведены диаграммы для случая дисперсии одного знака (на 4.7 а - Di 0, Д 0, и на 4.7 б - Dx 0, D2 0). В первом случае диаграмма достаточно проста. На множестве (к, к) существуют три области: (I) с действительными корнями, (II) с двумя действительными корнями и парой комплексно сопряженных корней (область модуляционной неустойчивости) и (III), где связанного состояния (4.18) нет. Для 2-го случая, изображенного на рис. 4.7 б {D\ 0, D2 0), диаграмма имеет сложную структуру, состоящую из четырех областей: (I) с действительными корнями, (II) с нестабильностью размерности 1, и (III) с размерностью нестабильности 2 и (IV), где состояние (4.18) не реализуется. Интересно, что внутрь зоны (I), вклиниваются "усы" зоны (II). Кроме того, зоны (II) и (III) имеют собственную сложную структуру вблизи правой границы зоны (IV) (имеется "тройная" точка (см. врезку на рис. 4.76)). Структура "усов" и приграничной зоны тоже показана на врезках к рис. 4.7 б.
Случаи с дисперсией разных знаков приведены на рисунке 4.8 (на 4.8 а - Dy 0, D2 0, L i \D2\, на 4.8 б - Dx 0, D2 0, і \D2\). В случае Ог -D2 диаграмма представляет собой три области: (I) - устойчивая область, (II) - область модуляционно неустойчивости и (III) - область, где состояний (4.18) нет. В случае, изображенном на рис. 4.8 б (—D2 D\ 0), диаграмма более сложная: она состоит из пяти областей. В областях (I) и (IV) все корни уравнения (4.20) действительные, в областях (II), (III) действительных корней два, в области (V) решения (4.18) не существует. Решения уравнения Res(/,/) = 0 представляет в этом случае набор относительно близко расположенных кривых «(), поэтому промежуточные области достаточно узкие (см. верхнюю вставку нарис. 4.8 б). Области вблизи правого края зоны (V) также имеют тонкую структуру (см. нижнюю врезку на рис. 4.8 б). Для исследования особенностей модуляционной неустойчивости плоских волн воспользуемся следующим методом. Для численного решения системы уравнений (4.15) выберем стартовое распределение в виде: где fa, Ці - малые величины. Если положить их равными нулю, то очевидными решениями системы уравнений (4.15), полученными численным моделированием с данными начальными условиями, будут плоские волны с собственными частотами, определяемыми соотношениями (4.17). Если же выбрать стартовое распределение со сколь угодно малым возмущением, характеризуемым \i\ и / и набором чисел (к, к), соответствующим области модуляционной неустойчивости, то установившееся решение будет существенно отличаться от плоских волн. На рис. 4.9 приведена эволюция стартовых распределений с возмущением ді = 0.01, fi2 — 0.01. Для иллюстрации были взяты следующие волновые числа несущих спиновых волн fei = 0.09, &2 = 0.11. При этом коэффициенты уравнений (4.15), были соответственно равны: Vi - 0.059, v2 = 0.056, А = -0.78, D2 = 0.28, JVi = 0.0155, N2 = 0.0156 (см. [61]). Видно, что дисперсия в этих точках отличается как по величине, так и по знаку. Были выбраны следующие начальные значения амплитуд волн: А = 1.0, В = 0.7 и набор волновых чисел (к, к) = (0,075; 0,075). На диаграмме 4.3 б эта точка лежит внутри области модуляционной неустойчивости (И) с одной нестабильной собственной модой. На рис. 4.9 а виден рост амплитуды распределения А, а на рис. 4.9 б - рост амплитуды В. На рисунке 4.9 в приведен начальный этап эволюции "полной интенсивности" (А2 + J?2) 2. На рис. 4.10 приведен начальный этап развития неустойчивости, развивающейся по двум нестабильным модам. Волновые числа были взяты fci = 0.10, к2 = 0.11, амплитуды волн А = В = 1.0, набор волновых чисел (к,к) = (0.1; 0.3), что соответствует области III на диаграмме рис. 4.6 а.
