Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейные волны и локализованные состояния в физических системах с пониженной размерностью (литературный обзор) 11
Глава 2 . Нелинейные волны электронной плотности и нелинейные акустические волны в углеродных нанотрубках 28
2.1.. Солитонные решетки Хаббардовских электронов в углеродных нанотрубках 28
2.2. Нелинейные волны в углеродных нанотрубках в условиях электрон-фононной связи 38
2.3. Нелинейные акустические решетки в углеродных нанотрубках малого радиуса 47
2.4. Выводы к главе 2 63
Глава 3. Нелинейные волны в системе квантовых точек и антисегнетоэлектриках 65
3.1. Квантование солитонных мод возбуждений в системе квантовых точек 66
3.2. Компьютерное моделирование нелинейных уединенных волн в цепочке квантовых точек 74
3.3. Нелинейные волны пространственной поляризации для кристалла сегнетовой соли 84
3.4. Выводы к главе 3 94
Глава 4. Локализованные состояния в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках 96
4.1. Локализованные состояния поляронного типа в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках 96
4.2. Спектр возбуждений локализованного состояния поляронного типа в сегнетоэлектриках -сегнетоэластиках 107
4.3. Многомерные локализованные состояния в системе примесных атомов 117
4.4. Выводы к главе 4 125
Заключение 127
Литература
- Нелинейные волны в углеродных нанотрубках в условиях электрон-фононной
- Нелинейные акустические решетки в углеродных нанотрубках малого радиуса
- Компьютерное моделирование нелинейных уединенных волн в цепочке квантовых точек
- Спектр возбуждений локализованного состояния поляронного типа в сегнетоэлектриках -сегнетоэластиках
Введение к работе
Актуальность темы. Изучение солитона как устойчивого час-тицеподобного состояния нелинейных систем давно уже стало одной из главных физических парадигм, и сейчас невозможно себе представить какую-нибудь область этой широко развитой науки, в которой бы не искали решения такого вида [1—4]. Слово «солитон» впервые встречается в работе Забуски и Крускала 1965 года [5]. В этой своей пионерской работе они изучали одно из главных свойств этих уединенных волн, а именно прохождение солитонов друг через друга без изменения формы и лишь с небольшим изменением фаз [5]. После полученных ими результатов появилась большое количество задач, в которых наблюдают аналогичное поведение решения. Так, два голландских исследователя Кортевег и де Фриз наблюдали волны с таким же поведением при распространении их в одном направлении на поверхности воды мелкого канала и получили свое знаменитое теперь уравнение КдФ [6]. Отметим и задачу Ферми, Паста и Улама о поведении первоначально линейных систем, в которые нелинейность была привнесена как возмущение, и в которой не наблюдается равнораспределение энергии между модами колебаний [7]. Также необходимо отметить и прогресс при исследовании решений нелинейного уравнения Шредингера (НЛШ), которое сыграло исключительно важную роль в теории развития слабо меняющихся волновых шлейфов в устойчивых слабо нелинейных системах и встречается в целом ряде физических ситуаций, включая физику плазмы и нелинейную оптику [8, 9]. Можно без преувеличения сказать, что изучение нелинейных уединенных волн, солитонов, и аналогичных им частицеподобных решений происходит не только в плане развития соответствующего математического аппарата, но и имеет, главным образом, направление, связанное с поиском новых физических ситуаций и классов веществ, в которых могут наблюдаться такие эффекты.
В 1991 появляется принципиально новый класс веществ углеродные нанотрубки, который стимулировал исследования в этом направлении, как у теоретиков, так и у экспериментаторов [10]. Это, без всякого сомнения, связано с успехами нанотехнологии. В последние годы нанотехнология стала одной из наиболее важных и интересных областей науки, соединяя в себе физику, химию, медицину, биологию и технические науки [11-13]. Наноструктурные материалы (НСМ) обладают уникальной структурой и свойствами, многие из которых имеют непосредственный практический интерес во многих отраслях науки и техники [12-16]. Свойства нанотрубок сильно меняются в зависимости от их формы и кривизны, способа допирования и выбора внедряемого элемента. Отсюда и возникает теоретический и практический интерес к этим структурам. За истекший период нанотрубки из экзотических объектов уникальных экспериментов и теоретических расчетов превратились в предмет крупномасштабных физико-химических исследований, их необычные свойства стали основой многих смелых технологических решений [17-19]. Отметим, что за исключением пионерской работы [20], связанной с исследованием нелинейных режимов упругих колебаний в углеродных нанотрубках, других исследований в области нелинейных свойств нанотрубок не проводилось. Наиболее актуальной, в связи с растущими приложениями данного класса веществ, представляются исследования, связанные с изучением электронных свойств и динамики электронов в них. Учитывая сильное кулоновское взаимодействие электронов, аналогичное введенному Хаббардом, можно ожидать, что лидирующую роль будут играть нелинейные коллективные эффекты.
Другой перспективной и широко изучаемой не одним поколением физиков областью физики твердого тела является сегнетоэлектри-чество [21-24]. В физике сегнетоэлектричества концентрируются и переплетаются актуальные вопросы физики твердого тела: фазовые
переходы, кооперативные явления, динамика кристаллической решетки, нелинейные эффекты, ангармонизм колебаний, взаимодействие фотонной и электронной подсистем и др. [25]. Исследованию нелинейных волн в сегнетоэлектрических системах уже было посвящено много работ [26-31], но, несмотря на это, от теоретиков еще ждут много предсказаний, так как практических применений этому весьма много.
В последние годы наблюдается развитие теоретических и компьютерных моделей для новых физических ситуаций и классов веществ, что связано с использованием мощных компьютеров и новых компьютерных программ и существенно стимулирует рост исследований в этой области. Создаются надежные схемы моделирования таких объектов, основанные на «первых принципах» [4, 5]. С самого начала изучения солитонов стала ясной ценность численных экспериментов, являющимися одними из самых мощных методов при изучении нелинейных явлений, в сочетании с аналитическими методами [3, 32, 33]. Сейчас, когда стали популярными задачи с более чем одной пространственной переменной, численные исследования становятся еще более актуальными. Именно, исходя из вышеизложенного, в диссертации, в качестве одного из основных методов исследования, был выбран метод компьютерного моделирования и численного исследования, полученных нелинейных уравнений, описывающих те или иные физические ситуации.
Цель работы. Основной целью диссертации являлось теоретическое исследование возможности существования локализованных состояний и нелинейных волн (солитонных решеток) в конденсированных средах с пониженной размерностью, и определение физических параметров, изменение которых отвечает за появление локализованных состояний и нелинейных волн. Основные задачи состояли в
7 изучении особенностей распространения нелинейных волн в углеродных нанотрубках, квазиодномерных системах квантовых точек и двухподрешеточной модели сегнетоэлектрика типа сегнетовой соли. В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:
Теоретический анализ особенностей нелинейных волн электронной плотности и нелинейных акустических волн в углеродных нанотрубках. Исследование влияния электрон-фононной связи на нелинейные волны в углеродных нанотрубках. Теоретическое обоснование возможности существования нелинейных акустических решетки в углеродных нанотрубках малого радиуса.
Исследование особенностей динамики нелинейных волн в системе квантовых точек и антисегнетоэлектриках. Компьютерное моделирование нелинейных уединенных волн в цепочке квантовых точек. Изучение условий возникновения нелинейных волн пространственной поляризации для кристаллов типа сегнетовой соли в различных фазах.
Теоретическое установление возможности существования локализованных состояний поляронного типа в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках. Исследование спектра возбуждений локализованного состояния поляронного типа в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках вариационным методом.
Научная новизна. Научная новизна работы состоит в том, что в ходе проведенных исследований были впервые получены следующие основные результаты:
1. теоретически доказано существование и исследован характер поведения нелинейных волн электронной плотности и нелинейных акустических волн в углеродных нанотрубках;
исследованы условия возникновения нелинейных волн пространственной поляризации для кристалла сегнетовой соли в различных фазах;
установлены и исследованы условия квантования кноидаль-ных мод возбуждений в системе квантовых точек;
смоделировано образование локализованных состояний заряженной частицы поляронного типа в неполярных фазах сегнетоэлек-триков-сегнетоэластиков. Выявлены основные параметры, влияющие на характеристики локализованного состояния.
Положения, выносимые на защиту. В углеродных нанотрубках существуют нелинейные волны, вызванные сильным взаимодействием электронов в условиях электрон-фононной связи, описываемым гамильтонианом Хаббарда. Волны имеют модулированную структуру, определяемую обменом энергией между колебаниями с различным периодом вдоль окружности нанотрубки.
В кристаллах со структурой сегнетовой соли возможно существование нелинейных волн пространственной поляризации, характер которых различен в различных фазах.
Нелинейные моды возбуждений в системе квантовых точек квантуются по скорости распространения и амплитуде.
В сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках существуют локализованные состояния заряженной частицы, определяемые поляризацией заряженной частицей сегнетотоэлектрических ячеек и обратным влиянием индуцированного поля сегнетоэлектрических ячеек на заряженную частицу.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием апробированных и проверенных математических методов; тестированием общих алгоритмов по результатам, для которых из-
вестно точное математическое выражение; совпадением результатов
работы с результатами, полученными в других работах другими методами; качественным сравнением с существующими экспериментальными данными.
Научная и практическая ценность работы. Представленные в работе новые результаты и установленные закономерности процессов существования и вид нелинейных волн в нанотрубках и в кристаллах со структурой сегнетовой соли, а также локализованных состояний в сегнетоэлектриках—сегнетоэластиках позволяют пополнить сведения о свойствах данных систем, что может быть использовано в дальнейших теоретических и экспериментальных исследованиях.
Объекты исследования работы. Нелинейные волны электронной плотности в углеродных нанотрубках и локализованные состояния в сегнетоэлектриках.
Апробация работы. Результаты исследований опубликованы в периодической научной печати (журналы Известия ВУЗов, «Ferroelec-trics», Вестник ВолГАСУ (г. Волгоград), Межвузовский научный сборник "Вопросы прикладной физики" (г. Саратов)), часть работ принята в печать («Condensed matter physics », ФТТ, SPIE) [110-123]. Также результаты исследований были доложены на конференциях:
Пятая Всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (г. Санкт-Петербург, 2003);
Восьмая Межвузовская конференция студентов и молодых ученых Волгограда и Волгоградской области (г. Волгоград, 2003);
Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах (г. Воронеж, 2004);
Новые нано и гига направления в микроэлектронике. Исследовательские возможности и возможности разработки (г. Краков, Польша, 2004);
Размерные эффекты и нелинейность в ферроиках (г. Львов, Украина, 2004);
VI международной конференции по математическому моделированию (г. Нижний Новгород, 2004);
XVII Всероссийская конференция по физике сегнетоэлектри-ков (Пенза, 2005г);
Seventh Biennial International Workshop "Fullerenes and Atomic clusters" (г. Санкт-Петербург, 2005);
Восьмая Международный Симпозиум по фотонному эхо и когерентной спектроскопии (г. Калининград, 2005);
Научные семинары кафедры ВолГАСУ (г. Волгоград, 2004).
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 144 страницы, включая 60 рисунков и списка литературы из 123 наименований.
Личный вклад автора. Основные положения диссертации опубликованы в соавторстве с научным руководителем д.ф.-м.н. М.Б. Белоненко и к.ф-м.н. Н.Г. Лебедевым. Автор диссертации, после постановки задачи д.ф.-м.н. Белоненко М.Б., занимался математическими выкладками, написанием пакета прикладных программ для ЭВМ, оформлением результатов, а также принимал участие в обсуждении результатов, написании статей и представлении результатов на конференциях различного уровня. Все основные результаты, приведенные в работе, получены лично автором.
Нелинейные волны в углеродных нанотрубках в условиях электрон-фононной
Отметим, что в данном случае солитонные решетки имеют более сложную структуру, проявляющуюся в модуляции их амплитуды. Данный факт можно объяснить тем, что происходит постоянная «перекачка» энергии из однородной моды в моду соответствующую центру зоны Бриллюэна и обратно. Под модами мы опять таки понимаем совокупности колебаний, которые не влияют друг на друга при линеаризации уравнений.
Обратим также внимание на сложный характер строения соли-тонных решеток на рис. 2.5. Подобное поведение обычно характерно для солитонов нелинейного уравнения Шредингера, с которым модель Хаббарда тесно связана [2].
Обсудим кратко, к каким физическим следствиям может привести существование солитонных решеток в углеродных нанотрубках. Подобные решетки достаточно легко можно будет обнаружить с помощью методов рассеяния и комбинационного рассеяния. Исследование данными методами позволит определить параметры решеток и связать их с соответствующими величинами в микроскопическом гамильтониане. Данные решетки образуют регулярную структуру, которую можно интерпретировать как аналог доменной. Под доменами здесь можно понимать области с различной плотностью электронов. Наличие такого аналога доменной структуры внесет свой вклад в восприимчивости нанотрубок и позволяет надеяться на обнаружение эффектов памяти в электронной подсистеме нанотрубок. Существование регулярной периодической структуры приводит при движении вдоль такой структуры дополнительного электрона к квантованию его энергии (в силу теоремы Флоке [3]). Подобное квантование приводит к наличию дополнительных энергетических уровней в спектрах углеродных нанотрубок.
В предыдущем параграфе исследованы нелинейные колебания в электронной подсистеме нанотрубок, в предположении, что взаимодействие электронов описывается гамильтонианом Хаббарда. Вместе с тем из исследований физики других квазиодномерных систем: ацетилена, известно, что такие системы критичны по отношению к константе электрон - фононной связи. Исходя из этого, была рассмотрена задача о нелинейных свойствах углеродных нанотрубок с сильным взаимодействием электронов, описываемым гамильтонианом Хаббар-да. Гамильтониан такой модели представляет собой сумму пяти гамильтонианов: Н = НХ +Н2 +#з +Я4 +Я5, (2.8) где #! - кинетическая энергия атомов углерода, Н2 - потенциальная энергия связи ОС, Нг - энергия переходов между атомами, Я4 - изменение энергии при добавлении (удалении) частицы из системы, Я5 - энергия кулоновского взаимодействия электронов.
Введем следующие обозначения \\f Jkc и q ,ка - операторы Ферми уничтожения электронов на jk узле решетки со спином а (с = + \С спин электрона), ajk, bjk, cJk, djk - смещения jk узла из положения идеальной гексагональной решетки. Индексы j, к узла решетки соответственно указывают на положение по оси у и оси z - оси вдоль нанотрубки (рис. 2.1). Каждый из пяти гамильтонианов представляет собой сумму по всем ячейкам гексагональной решетки (рис. 2.6).
Полученные системы уравнений решались численно методом Рунге-Кутта. Основные результаты представлены на рисунках. Значения параметров указаны в подписях к рисункам. Значения таких параметров, как Л] = УЗ, Д2 = 1, U = 1 эВ, % = 0.5 эВ выбирались, исходя из геометрии задачи (рис. 2.6), а также учитывая результаты, полученные в методе MNDO [39] для таких систем.
Возникновение сложных колебаний, аналогичных приведенным на рисунке 2.7 можно связать с конкуренцией в рассматриваемой системе двух процессов. Первый процесс, связанный с дисперсией колебаний в рассматриваемой системе, приводит к развалу пакета волн, в то время как второй, обусловленный нелинейностью, влечет за собой возрастание амплитуды пакета (С/ 0). Наличие двух видов модуляции на рисунке 2.7 (один вид модуляции мы связали с «многогорбым» характером волны, а другой с низкочастотной составляющей) можно объяснить тем, что эффективная система уравнений (2.17.1-2.17.4) является многокомпонентной. При этом «многогорбый» характер полученного решения связывается нами с перекачкой энергии с узлов с двумя связями С-С вверх и на узлы со связями С-С вниз. А низкочастотная составляющая связана с колебаниями в акустической подсистеме.
Изменение значения химического потенциала приводит к увеличению собственной частоты колебаний электронной подсистемы (определяется из линеаризованных уравнений(2.17.3-2.17.4)) и, следовательно, характер решения меняется и, следовательно, в решении появляется больше горбов, что проиллюстрировано на рисунке 2.8.
При увеличении скорости бегущих нелинейных волн влияние акустической подсистемы сглаживается. Проведенные исследования показали, что характер нелинейных волн определяется в основном выше перечисленными факторами, и вышеупомянутые волны существуют в широком диапазоне начальных условий. Отметим, что полученные нелинейные волны устойчивы по отношению в выбору начальных условий.
Нелинейные акустические решетки в углеродных нанотрубках малого радиуса
Далее перейдем к континуальному пределу вдоль оси нанотруб ки. Для этого, считая, что соответствующие величины слабо меняются вдоль оси нанотрубки, разложим их в ряд по параметрам решетки и ограничимся вторыми членами ряда: Эр k дг k Pp ±i =Pp ±Ai dz єм±і =ЄМ ±Лі - - Воспользуемся приближением, в котором считается, что бегущие возмущения распространяются только в одну сторону (х = z - vt) и задача сводится задачу к анализу системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.23 - 2.24). Полученная система уравнений интегрировалась численно методом Рунге-Кутта.
Рассмотрим колебания двух видов: продольные и поперечные, и выясним особенности нелинейной динамики таких колебаний в зависимости от поляризации. Для детального анализа полученных уравнений рассмотрим колебания в нанотрубке с N=6 (нанотрубка типа (6, 0)). В этом случае система уравнений будет замкнута, если предположить, что возбуждены только моды с к=0, к=3 или только моды с =0, к =2, к =4. Иными словами полученная система уравнений замыкается для мод в центре и середине первой зоны Бриллюэна, а также для мод в центре и лежащих на удалении в Ц от границ первой зоны Бриллюэна. В общем случае такая редукция полученной системы уравнений связана с наличием абелевых подгрупп в группе трансляций вдоль соответствующего направления и может быть связана с понятием буш-мод, рассмотренных в работах [86, 87].
При к = О (однородное возбуждение атомов) слагаемые в уравнениях (2.23), содержащие параметр нелинейности со, в силу симметрии обращаются в ноль. Типичные же зависимости квадратов модулей образов смещений представлены на рисунке 2.10. 0.04 -і
В случае, когда возбуждены моды в центре и середине первой зоны Бриллюэна (к = 0; 3), получаются зависимости, представленные на рисунках 2.11а и 2.116. Следует отметить появление огибающей в колебаниях мод обоих типов, что связано с обменом энергией между модами. Дальнейшее увеличение параметра ангармонизма q приводит к разрушению нелинейной решетки и появлению апериодических колебаний. При появлении же относительного смещения у двух типов атомов углерода (рис. 2.6) вид колебаний не меняется, а центр - смещается, что соответствует одинаковому постоянному смещению по всей нанотрубке. (рис. 2.12).
При возбуждении мод в центре и лежащих на удалении в 1/3 от границ первой зоны Бриллюэна (к = 0; 2; 4) получаем уравнения на поперечные смещения, которые уже зависят и от коэффициента кубического ангармонизма со (рис. 2.13(а, б)).
Другой вид колебаний, которые могут существовать в нанот-рубке, - это колебания с продольной поляризацией. За продольные колебания в уравнениях (2.24) отвечают смещения (3 .Л zJk. В уравнениях на эти смещения присутствуют все параметры ангармонизма со и
Я При колебаниях однородных мод зависимости квадратов модулей Фурье-образов продольных смещений вдоль оси нанотрубки и их фазовый портрет имеют вид, представленный на рисунках 2.15а и 2.156. При возбуждении колебаний мод в центре и середине первой зоны Бриллюэна (к = 0; 3) получаются зависимости, изображенные на рисунках 2.16а и 2.166.
Отметим, что численные расчеты показали неустойчивость полученной нелинейной решетки к увеличению параметра со, устойчивость по отношению к увеличению параметра q, вплоть до величин сравнимых с параметром к . Для случая возбуждения мод в центре и лежащих на удалении в 1/3 от границ первой зоны Бриллюэна (к=0; 2; 4) решение уравнений на продольные смещения дают следующие зависимости для квадратов амплитуд колебаний (рис. 2.17). Отметим, что, как и в случае продольных колебаний, увеличение параметра q в данном случае ведет к разрушению решетки.
Возникновение устойчивых периодических колебаний, аналогичных приведенным, можно связать с конкуренцией в рассматриваемой системе двух процессов. Первый процесс, связанный с дисперсией колебаний в рассматриваемой системе, приводит к развалу пакета волн, в то время как второй, обусловленный нелинейностью, влечет за собой возрастание амплитуды пакета.
Наличие двух видов модуляции (один вид модуляции - «много-горбый» характером волны, а другой связан с низкочастотной составляющей) можно объяснить тем, что эффективная система уравнений (2.23 - 2.24) является многокомпонентной. При этом «многогорбый» характер полученного решения связывается с перекачкой энергии с узлов с двумя связями С—С вверх и на узлы со связями С—С вниз. А низкочастотная составляющая связана с колебаниями в акустической подсистеме.
Компьютерное моделирование нелинейных уединенных волн в цепочке квантовых точек
Проведенное в 3.1 исследование модели Танамото [92, 99] проводилось лишь в приближении, не учитывающем возможные эффекты, возникающие при взаимодействии соседних пар квантовых точек. Но наиболее существенный вклад в динамику электронов могут внести эффекты кулоновского взаимодействия между электронами, находящимися в соседних квантовых точках, а также эффекты, связанные с туннелиро-ванием электронов не только между квантовыми точками, образующими пару в модели Танамото, но и между соседними квантовыми точками. Такая модель достаточно близка к стандартной модели Эмери [100], и изучение динамики данной сильно нелинейной системы представляет и самостоятельный интерес. Отметим также связь моделей Эмери и Хаб-барда с проблемой высокотемпературной сверхпроводимости. Полученная система уравнений (3.16) решалась численно с использованием различных точных редукций. Представляется наиболее интересным с физической точки зрения случай, когда рассматриваемая ситуация инвариантна по отношению к выбору направления спинов электронов. В этом случае мы можем учесть эффекты, связанные с наличием у электронов статистики Ферми, и выбрать редукцию в виде: Ф, =ф2. У =Фг- Именно на этом случае мы и сосредоточили основное внимание при расчетах. При проведении расчетов величина энергии ку-лоновского взаимодействия была приведена к безразмерным единицам таким образом, что U = 1. А для более быстрого распада начального со стояния за счет дисперсионных эффектов постоянная решетки выбиралась так, что г = 5. На рисунке 3.3 приведен типичный распад начального состояния, заданного в виде одиночного квазипрямоугольного «импульса».
Отметим, что импульс распадается на две уединенные волны (импульсы квазисолитонной формы), распространяющиеся в разные стороны. Данный факт мы связываем с тем, что наша модель аналогична массивной модели Тирринга [2], которая интегрируема методом обратной задачи рассеяния [4]. Поскольку для массивной модели Тирринга обратная задача связана с L-оператором Захарова—Шабата, а также известно, что для уравнений, связанных с данным оператором, выполняется теорема «площадей», естественно связать распад нашего начального импульса на два квазисолитона с тем, что и для исследуемой нами системы уравнений существует аналог теоремы площадей (т.е. количество образующихся солитонов однозначно связано с «площадью» начального условия). Отметим также явно выраженную асимметрию в направлениях при распаде солитона. Данное обстоятельство можно связать с тем, что переходы из подрешетки, описываемой операторами а , а влево и вправо, имеют разные вероятности. Именно за счет этого, в начальный момент времени, на границе импульса и происходит нарушение симметрии, и появляется выделенное направление, в котором и распространяется большая часть импульса.
Изменение величины s не приводит к существенному изменению в динамике распада начального «импульса». Изменение величины V при прочих одинаковых параметрах также не существенно влияет на динамику рассматриваемой системы, что проиллюстрировано на рисунке 3.4.
В настоящее время интенсивно исследуются свойства модулированных структур, образующихся в твердых телах [23] и имеющих большое практическое значение. Наибольшее развитие получило объяснение таких структур с точки зрения солитонной теории [23], где подобные структуры интерпретируются как солитонные решетки. Такие сложные структуры можно наблюдать для довольно широкого диапазона в физике твердого тела: сверхрешетки, нанотрубки, сегнетоэлектрики, и это далеко не полный список [102]. Сосредоточим особое внимание на динамических свойствах систем типа порядок-беспорядок с асимметричным двухминимумным одночастичным потенциалом и двумя диполями на параэлектрическую элементарную ячейку. Эта модель использована для сегнетовой соли, но может быть применима и к ряду других кристаллов, таких как NaH3(Se03)2, NH4HSOA и т.д. Отметим, что данная проблема дополнительно осложнена в антисегнетоэлектриках наличием температурного фазового перехода (в рассматриваемом ниже случае сегнетовой соли даже двух фазовых переходов), который меняет симметрию кристалла. Наиболее полно и последовательно, на наш взгляд, все существенные особенности динамики антисегнетоэлектриков могут быть описаны с помощью псевдоспинового формализма, широко применяющегося в теории сегнетоэлектричества. Антисегнетоэлектрики, типа Rs, характеризуются асимметричным двухъямным потенциалом для протонов на водородной связи. Предполагается, что электрические диполи движутся в асимметричных потенциалах с двумя минимумами, образующих две взаимопроникающие подрешетки.
Спектр возбуждений локализованного состояния поляронного типа в сегнетоэлектриках -сегнетоэластиках
Возникающее в несобственном сегнетоэлектрике-сегнетоэластике с водородными связями локализованное состояние заряженной частицы отличается от широко известного поляронного состояния тем, что оно обязано своим существованием поляризации заряженной частицей собственно сегнетоэлектрической подсистемы и обратному действию возникающей сегнетоэлектрической поляризации на заряженную частицу. Локализованные состояния заряженной частицы могут являться центрами образования "кластеров - предшественников" [1, 107], ответственных за наблюдаемые аномалии в поведении комплексной диэлектрической проницаемости в параэлек-трической фазе. Локализованные состояния, ответственные за образование "кластеров - предшественников", могут давать нетривиальный вклад в динамику фазового перехода сегнетоэлектрического кристалла, и в частности, могут привести к изменению критических индексов. Этот последний вывод, вообще говоря, является предметом отдельного, достаточно сложного исследования. Так, если принять за основу гипотезу универсальности [62], изменение критических индексов и характера фазового перехода возможно лишь, если размерность кластера-предшественника совпадает с размерностью сегнетоэлектрика. Также необходимо принимать во внимание и тот факт, что кластеры задают характерную постоянную с размерностью длины, что в свою очередь может привести уже к нарушению более сильного требования масштабной инвариантности системы в критической области (т.е. к нарушению гипотезы скейлинга). Очевидно также, что обсуждаемые кластеры в зависимости от предыстории образца могут характеризоваться и распределением по характерным размерам (см., например, [62]), в этом случае фазовый переход может иметь и размытый характер [106].
Для вычисления энергий основного и первых возбужденных состояний дискретного спектра прямым вариационным методом использовался тот факт, что при выборе ортогональной системы пробных волновых функций, полученные при варьировании параметров волновых функций, минимальные средние энергии системы будут соответствовать значениям энергии дискретного спектра [109]. Ортогональности системы пробных волновых функций достаточно легко добиться путем использования свойств симметрии. Вместе с тем надо учитывать то обстоятельство, что априорно не известно количество состояний дискретного спектра. В наших расчетах мы считали, что состояние дискретного спектра исчезает, стояние дискретного спектра исчезает, если энергетическая поверхность в пространстве пробных волновых функций перестает иметь минимум, который можно интерпретировать как локализованное состояние (например: если волновая функция выбрана в виде - e_ajc и
минимум достигается при a = 0, мы считаем, что локализованное состояние, соответствующее дискретному спектру, исчезает). Отметим также, что при "неудачном" выборе волновой функции средние значения энергии могут оказаться больше, чем минимальные значения энергии, соответствующие непрерывному спектру. В этом случае очевидно, что исчезает минимум на энергетической поверхности. Из приведенных выше соображений в качестве пробных волновых функций были выбраны: У3 СіУ е-а(х 2+у 2) \ У =С е-« Л - \ (4.11) где константы С,С2,С3,С4 выбирались из условия нормировки: { 4 = 1. V
Легко заметить, что в силу симметрии данная система волновых функций является ортогональной и уровень энергии, соответствующий функциям 4 2, хъ, двукратно вырожден. Так, для пробной функции хх соответствует энергетическая поверхность, приведенная на рисунке 4.6. Значения параметров указаны в подписи к рисунку.
Отметим, что существование локализованных состояний заряженных частиц или состояние дискретного спектра возникает именно благодаря системе протонов на водородных связях сегнетоэлектрика, описываемых при помощи уравнений (4.5). Это легко показать, наблюдая деформацию энергетической поверхности при изменении времени релаксации Т2 (см. предыдущий параграф). Для состояния дискретного спектра заряженных частиц в исследуемых кристаллах в результате численных расчетов было установлено, что энергия низших состояний зависит от степени дейтерированности Q, как представлено на рисунке 4.7.
Похожие диссертации на Нелинейные волны и локализованные состояния в углеродных нанотрубках и сегнетоэлектриках
