Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Джозефсоновский переход 12
Глава 2. Математическая модель длинного джозефсоновского перехода 24
2.1. Математическая формулировка задачи в стационарном случае 24
2.2. Математическая формулировка задачи в нестационарном случае 29
2.3. Приближения, использованные при формулировке задачи 31
Глава 3. Стационарные состояния длинного джозефсоновского перехода 32
3.1. Множественность решений граничной задачи стационарного уравнения sin-Гордона 32
3.2. Устойчивость решений: симметричные и несимметричные состояния 40
3.3. Потенциал Гиббса: макроскопическое квантование и переходы между состояниями 43
3.4. Макроскопическое квантование потока 48
Глава 4. Нестационарные состояния длинного джозефсоновского перехода 53
4.1. Бифуркации на параметрической плоскости Н0-3 53
4.2. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе 56
4.3. Макроскопическое квантование потока в нестационарном случае 67
Глава 5. Эффект «бабочки Брэдбери» в длинном джозефсоновском переходе 71
5.1. Релаксация в нелинейной системе 71
5.2. Внезапные возмущения 73
5.3. Эффект «бабочки Брэдбери» 75
Заключение 85
Литература 87
- Математическая формулировка задачи в нестационарном случае
- Множественность решений граничной задачи стационарного уравнения sin-Гордона
- Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе
- Релаксация в нелинейной системе
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Одним из самых ярких и практически важных явлений в физике сверхпроводимости являются эффекты Джозефсона, которые открыли новые горизонты для многочисленных применений сверхпроводимости: системы с джозефсоновскими контактами уже активно применяются в сверхпроводящей электронике. Джозефсоновский контакт может работать в качестве детектора или смесителя в высокочастотной электронике. С помощью джозефсоновских контактов был разработан первичный термометр для криогенной области, в которой резкие переходы в некоторых веществах используются для получения реперных (постоянных) точек температуры. Новая техника используется в компараторах тока, для измерений радиочастотной мощности и коэффициента поглощения, а также для измерений частоты. Она применяется также в фундаментальных исследованиях, таких, как измерение дробных зарядов атомных частиц и проверка теории относительности. На джозефсоновских переходах основаны сверхпроводящие квантовые интерферометры или сокращенно сквиды (SQUID). Их большие преимущества перед другими приборами для измерения магнитных полей - сверхвысокая чувствительность и возможность бесконтактных измерений. Это позволяет регистрировать очень слабые магнитные поля, связанные со слабыми электрическими токами, возникающими в живых организмах. Удается регистрировать магнитокардиограммы, магнитоэнцефалограммы и т.д. В геофизике с помощью сквид-магнетометров можно вести геологическую разведку с самолета или спутника, изучать извержения вулканов и предсказывать землятресения.
В настоящее время перед электроникой встает много задач, главными из которых являются увеличение интеграции и плотности размещения элементов, понижение энерговыделения, обеспечение простых архитектурных решений. Идея использования джозефсоновских переходов
в качестве элементной базы компьютеров появилась уже довольно давно. Открывается возможность использования джозефсоновских структур в качестве элементов памяти и логики электронных вычислительных устройств, в которых информация передается и хранится в джозефсоновских структурах в виде квантов магнитного потока (флуксонов). Флуксоны удивительно устойчивы, их можно хранить, перемещать в нужном направлении и приводить во взаимодействие с электронными приборами, благодаря чему флуксон может служить битом в электронных системах обработки информации. Подобные операции можно проводить с исключительно высокими скоростями (сотни Гигагерц) и чрезвычайно малыми затратами энергии.
В последнее время широко обсуждается возможность квантовых вычислений, которые будут производиться с помощью двухуровневых квантовых систем - базовых элементов квантового компьютера. Такие двухуровневые системы называются кубитами (квантовыми битами), по аналогии с битами, которые используются в современных компьютерах. Эволюция по законам квантовой механики в системах кубитов может эмулировать процесс вычисления, причем эффективность подобного подхода принципиально превосходит классические способы вычислений. Структуры с джозефсоновскими контактами рассматриваются как одни из самых перспективных для реализации базового элемента таких компьютеров. Современная технология позволяет производить цепи из миллионов транзисторов и джозефсоновских контактов. Поэтому квантовый бит на основе таких элементов будет легко тиражировать для создания квантового компьютера из 100-1000-10000 элементов.
Флуксоны в длинных джозефсоновских переходах (ДЦП) дают возможность практического применения устройств, основанных на их проникновении и взаимодействии. Детальное изучение динамики джозефсоновских вихрей (флуксонов) является важной задачей для понимания движения магнитного потока и связанных с ним явлений, возникающих
в сверхпроводниках. В связи с этим, электромагнитные свойства ДДП являются предметом интенсивных исследований последних четырех десятилетий.
ДДП являются ярким примером нелинейных систем, при помощи которых можно изучать на только такие нелинейные явления, как проникновение, движение и взаимодействие флуксонов, но и такого интересного и немаловажного явления, как динамический хаос. Благодаря динамической природе хаотических режимов и их чувствительности по отношению к малым возмущениям они допускают эффективное управление посредством внешнего контролируемого воздействия. Целью такого воздействия может быть реализация в системе периодического режима вместо хаоса или попадание в заданную область фазового пространства. Одно из возможных приложений хаоса состоит в использовании генерируемых динамическими системами хаотических сигналов в целях коммуникации. Благодаря хаотической природе сигнала открываются новые возможности кодирования информации, которая становится труднодоступной для перехвата.
Динамический хаос может быть использован в коммуникационных системах в качестве несущих информацию колебаний. Его с полным основанием можно назвать новым типом носителя информации для систем связи.
Флуксоны в ДДП могут совершать хаотическое движение. Компьютерные вычисления, выполненные Soerensen и подтвержденные в дальнейшем работами Yeh и Filatrella , доказали наличие динамического хаоса в ДДП в отсутствии случайной внешней силы. Иными словами, причиной нерегулярности и непредсказуемости является собственная динамика системы, а не влияние шумов и внешних возмущающих факторов. Такое явление является крайне нежелательным в электронных устройствах, т.к. динамический хаос может являться источником шума и ограничивать тем самым их чувствительность.
Цель работы заключалась в исследовании при помощи численного моделирования нелинейных явлений, возникающих в ДЦП. Согласно с этим были поставлены следующие задачи:
Определение параметрических областей нестационарных состояний. Построение бифуркационной кривой, ограничивающую область в параметрической плоскости ток смещения - внешнее магнитное поле (fi-H0), внутри которой реализуются нестационарные (регулярные и хаотические) состояния ДЦП.
Исследование нестационарных состояний с точки зрения динамического хаоса.
Определение области динамического хаоса в пространстве параметров /3-Н0 для переходов различной длины,
Детальное исследование влияния начального возмущения на асимптотические состояния ДЦП.
Научная новизна.
Впервые численно найдены области существования стационарных и нестационарных состояний для джозефсоновских переходов различной длины в пространстве параметров ток смещения - внешнее магнитное поле.
Впервые показано, что области существования стационарных и нестационарных состояний при определенных значениях Но и Р перекрываются, образуя области сосуществования стационарных и нестационарных состояний. Внутри областей сосуществования одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния ДЦП, что является особенностью нелинейных систем.
Впервые при помощи численного интегрирования найдены параметрические области, в которых может существовать динамический хаос.
Впервые исследовано влияние внезапных возмущений на эволюцию ДЦП, в частности показано, что на выбор системой конкретного
асимптотического состояния влияет начальное возмущение, даже в -случае, когда оно мало и быстро затухает со временем. Такое поведение систем названо эффектом «бабочки Бредбери». 5. Впервые показано, что в случае ДДП происходит нарушение основного принципа теории возмущений, а именно, асимптотические состояния возмущенной систем должны совпадать с начальным состоянием. Это нарушение обусловлено эффектом «бабочки Бредбери». Научная и практическая значимость работы.
Научная значимость работы заключается в обнаружении эффекта «бабочки Бредбери», суть которого состоит в том, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения.
Практическую ценность полученные результаты могут иметь при разработке и создании джозефсоновских источников излучения, а также элементов компьютерной памяти и логики, основанных на совершенно новых принципах передачи и обработки данных с использованием джозефсоновских структур.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ.
В первой главе приведен обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию электромагнитных свойств и нелинейных явлений, возникающих в ДДП. В частности большое внимание уделено проблеме динамического хаоса, возникающего в джозефсоновских переходах в отсутствии случайной внешней силы. В конце обзора дана постановка задачи.
Во второй главе сформулирована математическая модель, описывающая динамику джозефсоновского перехода в стационарном и нестационарном случае. Описаны приближения, допущенные при формулировки задачи.
В третьей главе, в п.3.1 дана математическая формулировка задачи, отмечена проблема множественности решений граничной задачи стационарного уравнения sin-Гордона. В п.3.2 описано решение проблемы устойчивости стационарных состояний по отношению к малым возмущениям. В п.3.3. рассмотрена проблема устойчивости решений с термодинамической точки зрения. Показано, что устойчивыми будут являться те решения, которые соответствуют минимуму термодинамического потенциала Гиббса. В п.3.4 исследованы нестационарные состояния -хаотические и регулярные - с точки зрения квантования магнитного потока.
В четвертой главе, в п.4.1 при помощи численного интегрирования стационарной задачи sin-Гордона найдены области с определенным числом решений на параметрической плоскости ]3 - Н0, В п. 4.2. построена бифуркационная кривая - линия, ограничивающая область существования стационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе. Эта линия разбивает параметрическую плоскость fl-Ho на две области так, что выше кривой стационарных состояний системы нет, также построена бифуркационная кривая, представляющая собой нижнюю границу на параметрической плоскости /3-Н0 существования нестационарных состояний. Область, ограниченная двумя бифуркационными кривыми, является областью сосуществования стационарных и нестационарных состояний в ДДП. Используя определение показателя Ляпунова, были вычислены и построены области хаоса в пространстве параметров Р~Н0. В п.4.3 рассмотрены нестационарные состояния - регулярные и хаотические - с точки зрения квантования магнитного потока.
В пятой главе, в п.5.1 дано определение и аналитическое выражение времени релаксации в нелинейных системах. В п.5.2. дано определение внезапных возмущений и показаны виды возмущений, используемых при решении поставленной задачи. В п.5.3. описан эффект «бабочки Брэдбери», суть которого состоит в том, что выбор системой конкретно-
го асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем.
В заключении сформулированы основные выводы данной работы. Положения, выносимые на защиту.
Впервые обнаружено наличие областей в пространстве параметров ток смещения - внешнее магнитное поле {fi-Ho), в которых одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния ДДП. Эти области были названы областями сосуществования.
Показано, что состояния динамического хаоса появляются сначала именно в области сосуществования, и при малых значениях длины перехода L в основном сосредоточены в этой области. При увеличении внешнего поля Но, области хаоса выходят из области сосуществования, распространяясь в область нестационарных состояний.
Исследовано влияние внезапных возмущений на асимптотические состояния ДДП. Показано, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем. Это поведение системы названо эффектом «бабочки Брэдбери» (the "Bradbury Butterfly" effect). Изменение вида начального возмущения влияет на выбор асимптотического состояния, но не изменяет характер процесса, проходящего в системе в целом.
Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на международных конференциях: XXXIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, Россия, апрель 9-13, 2001; XL Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», тезисы доклада секции физика низких температур, фазовых переходов и магне-
тизма; Новосибирск, Россия, апрель, 2002; I Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам, Новосибирск, Россия, 15-16 октября, 2003; II Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам, Красноярск, 1 - 2 декабря, 2004; III Сибирский семинар по высокотемпературной сверхпроводимости и смежным проблемам, Омск, 20-21 сентября, 2005; Russia-Korea Seminar, Москва, 7-8 февраля, 2006.
Всего по теме диссертиции опубликовано 6 работ.
Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинных джозефсоновских переходах // Вестник Омского университета. - 2001. - в. 20. - №2. - стр. 22-24.
Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Динамический хаос в длинных джозефсоновских переходах // Вестник Омского университета. - 2004. - в.ЗЗ. - №3.- стр. 63-64.
Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Эволюция состояний длинного джозефсо-новского перехода при действии внезапного возмущения // Вестник Омского университета. - 2006. - в. 39. - № 1. - стр. 30-32.
Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Влияние начальных возмущений на асимптотические состояния длинного джозефсоновского перехода // Омский научный вестник. - 2006. - в. 39. - №5. - стр. 60-63.
Yugay K.N., Yashkevich Е.А. The Bradbury butterfly effect in long Jo-sephson junctions II .
Yugay K.N., Yashkevich E.A., Kim J.U., Huh Y. Nonlinear phenomena and macroscopic quantization in long Josephson junctions II J. Korean Phys. Soc. -2005.- v.46.- №6.-pp. 1418-1424.
Личный вклад. В работах [1-5], выполненных в соавторстве с научным руководителем, личный вклад автора состоял в получении всех результатов, выносимых на защиту. В работе [6] личный вклад автора состоял в выполнении численных расчетов, участии в постановке задачи и в обсуждении полученных результатов.
Математическая формулировка задачи в нестационарном случае
В 1962 году появилась статья никому до этого неизвестного автора Б. Джозефсона [2], в которой он теоретически рассматривал туннелирова-ние куперовских пар и предсказал существование двух удивительных эффектов, названных позднее стационарным и нестационарным эффектами Джозефсона. Первый из них состоит в том, что через туннельный переход с тонким слоем диэлектрика, когда его толщина меньше или порядка длины когерентности (d ), возможно протекание сверхпроводящего тока, то есть тока без сопротивления. Если ток через такой переход станет больше критического, то переход будет источником высокочастотного электромагнитного излучения. Это нестационарный эффект Джозефсона, который будет рассмотрен позже.
В основе эффектов Джозефсона лежат квантовые свойства сверхпроводящего состояния, которые характеризуются когерентностью куперовских пар: эти пары электронов находятся на одном уровне и описываются общей для всех пар волновой функцией, её амплитудой и фазой.
Представим себе два массивных куска одного и того же сверхпроводника, полностью изолированных друг от друга. Так как оба находятся в сверхпроводящем состоянии, каждый из них будет характеризоваться своей волновой функцией. Поскольку материалы и температуры одинаковы, модули обеих волновых функций должны совпадать, а фазы произвольны. Однако, если установить между ними хотя бы слабый контакт, например туннельный, куперовские пары будут проникать из одного куска в другой и установится фазовая когерентность. Возникнет единая волновая функция всего сверхпроводника, которую можно рассматривать как результат интерференции волновых функций двух половинок.
Как было упомянуто выше, стационарный эффект Джозефсона состоит в том, что достаточно слабый ток I (меньший критического тока слабой связи 1с) протекает без сопротивления. Джозефсон получил следующее выражение для тока I: где ф - разность фаз волновых функций по разные стороны слабой связи. В своей работе Джозефсон предсказал, что в области диэлектрической прослойки будут интерферировать когерентные токи, исходящие из обоих сверхпроводников. Поэтому результирующий ток оказывается пропорциональным синусу разности фаз. Впервые стационарный эффект наблюдали Андерсон и Роуэлл в 1963 году [1]. Экспериментальная оценка напряжения на контакте при стационарном эффекте Джозефсона была выполнена Смитом [100]. Изучая протекание незатухающего тока в сверхпроводящем кольце, содержащем джозефсоновский контакт, он определил верхнюю границу напряжения на контакте в 4-10 1бВ.
Если через джозефсоновский переход пропускать ток, больший критического, напряжение на переходе и ток через него кроме постоянной составляющей будут иметь и переменную составляющую, частота которой ш определяется фундаментальным соотношением Джозефсона:
Такое явление носит название нестационарного эффекта Джозефсона. Частота джозефсоновской генерации довольно высока, отношение lelh численно равно примерно 500 МГц/мкВ. Легче всего наблюдать нестационарный эффект Джозефсона косвенным образом - но особенностям на вольтамперных характеристиках контактов. Оказывается, что в результате взаимодействия между приложенным микроволновым излучением и переменным джозефсоновским током на вольтамперной характе ристике перехода при определенных значениях напряжения появляются ступеньки. Впервые это явление наблюдал Шапиро в 1963 году [3]. Одно из наиболее поразительных свойств джозефсоновских структур - возникновение в них при наложении магнитного поля дифракционных и интерференционных явлений.
Если поместить переход во внешнее магнитное поле, параллельное плоскости перехода, на внешней поверхности пластин возникнет экранирующий сверхток. Этот ток течет в слое порядка лондоновской глубины проникновения XL. Но при этом он пересекает плоскость джозеф-соновского перехода. Поэтому, чтобы сохранить бездиссипативность течения, току приходится растекаться на значительной ширине в глубь перехода.
Рассмотрим основные джозефсоновские соотношения (1)-(2) в стационарном случае: где d=Au+Au+t, Ац и Au - эффективные лондоновские длины проникновения для сверхпроводников, образующих контакт, а толщина диэлектрического барьера. Через /? обозначено истинное магнитное поле в плоскости контакта, Я - единичный вектор нормали к плоскости перехода. Учитывая это, можно получить следующее уравнение: где X] определяется соотношением Aj = Ф0 = 7ікс/е- элемен тарный квант потока. Глубина проникновения Xj служит мерой ширины области по краям контакта, в которой протекают джозефсоновские токи, и поэтому называется «джозефсоновской глубиной проникновения». Она появляется вследствие экранирования тока магнитным полем, возникающим при протекании через контакт самих сверхтоков. На рис.4, приведено распределение экранирующего тока в переходе. Это явление в сверхпроводнике первого рода носит название эффекта Мейсснера-Оксенфельда; однако, в то время как типичные значения лондоновской глубины проникновения составляют сотни ангстрем, A.j оказывается порядка сотен микрометров. Если длина перехода значительно больше джозефсоновской глубиной проникновения Xh то такой переход называется длинным. Как правило, реальные переходы являются таковыми, поэтому далее мы будем рассматривать длинные джозефсоновские переходы (ДДП).
Множественность решений граничной задачи стационарного уравнения sin-Гордона
Как было показано выше, при заданных значениях Д Н0 и L, часть решений являются устойчивыми, остальные - неустойчивыми. Расчеты показывают [82,84], что неустойчивые состояния распадаются и переходят в одно из устойчивых состояний - меисснеровское или какое-либо флуксонное. Существование нескольких устойчивых решений уравнения Феррелла-Прейнджа эквивалентно тому, что каждый минимум потенциала Гиббса соответствует определенному решению уравнения Феррелла-Прейнджа. Соответствует ли глобальный минимум термодинамического потенциала наиболее устойчивому состоянию, такому состоянию, которое можно будет наблюдать экспериментально? Рассмотрим этот вопрос с энергетической точки. Запишем термодинамический потенциал G в виде: Здесь G - термодинамический потенциал Гиббса на единицу длины перехода вдоль внешнего магнитного поля, нормированный на величину Фо /(16т?Xjd). Уравнение Феррелла-Прейнджа является экстремалью функционала (16). Исследование второй вариации G показывает, что все экстремумы этого функционала удовлетворяют необходимым и достаточным условиям сильного минимума [107J. Таким образом, все решения уравнения (7)-(8) (и устойчивые и неустойчивые) соответствуют минимумам термодинамического потенциала Гиббса, один из которых является глобальным, остальные локальными. Иными словами, в стационарных условиях термодинамический потенциал Гиббса принимает дискретные, квантованные значения, соответствующие его локальным или глобальным минимумам. Все эти минимумы соответствуют разрешенным состояниям. Не все из локальных минимумов оказываются равноправными, часть из них устойчива, другая - неустойчива.
Используя формулу (16), были рассчитаны значения потенциала Гиббса для стационарных состояний, представленных на рисунке 12а: Gj = 2.34, G2 = 2.78, G3 = 0.64,G4= 14.69, G5= 14.98, G6= 14.69, G7= 13.53, G8 = -1.42, G9= 0.64, G10= -0.44, Gn = 2.34, G,2 = 2.29. Заметим, что нестабильные состояния 3 и 9 соответствуют более глубокому минимуму, чем стабильное состояние 12. Это свойство противоречит идее о том, что наиболее стабильное состояние соответствует глобальному минимуму термодинамического потенциала.
Рассмотрим этот вопрос более детально. Запишем граничные условия для нестационарного уравнения sin-Гордон в виде: где f(t) является функцией возмущения и задается в виде: /(0 = /o exP(- o) cos(0. где t0- характеристическое время возмущения, - постоянная величина, определяющая амплитуду возмущения. В качестве начальных условий были выбраны (p(t=Q)=0 и (М))=0. Численное интегрирование уравнения sin-Гордон с граничными условиями (17) при Н0 = 1.174, р=0, L=8 (рис. 12а) показывает, что метастабильное состояние 1 переходит в стабильное состояние 10 при значении параметра возмущения fo=0.6, 2- 8 при f0=l, 3 -» 8 при f0=0.04 и т.д. Каждый переход из метастабильного состояния, к — /, является переходом из состояния с определенным значением локального минимума потенциала Гиббса Gk в другое состояние с меньшим значением минимума (7/. Такие переходы k- lcGk Gi происходят при определенных значениях параметра возмущения в выражении (17). В таблице 1 представлены результаты численного интегрирования стационарной задачи (7)-(8) и расчет потенциала Гиббса для каждого из решений при Н0 = 1.9, р=0, L=10. Переходы между состояниями были определены следующим образом: к-ое решение стационарного уравнения Феррелла-Прейнджа (7) (8) было выбрано в качестве начального условия уравнения sin-Гордон (9) с граничными условиями (17). Если данное к-ое состояние являлось неустойчивым, то оно распадалось в 1-ое устойчивое состояние. На рисунке 13 показана схема переходов между состояниями к - 1, представленными в табл.1. Взаимное расположение горизонтальных черточек на рисунке соответствует значениям термодинамического потенциала Гиб-бса. Отметим, что не все стабильные состояния расположены ниже ме-тастабильных. Например, однофлуксонное состояние 8 расположено ниже нестабильных состояний 1 и 11. В таблице 2 представлены результаты численного интегрирования стационарной задачи (7)-(8) и расчет потенциала Гиббса для каждого из решений при наличии тока смещения Н0=1.9, Р=0.06, L=10. Схема переходов между состояниями для этого случая приведена на рис.14.
Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе
В ДДП конечной длины как в стационарных, так и в нестационарных режимах на краях перехода текут экранирующие токи и необходимо определить точки X] и х2 - ближайшие соответственно левому и правому краям перехода точки, в которых токи равны нулю. Эти точки "отсекают" экранирующие токи от токов, определяющих динамику состояния ДДП в глубине перехода. В данном случае xj и х2 будут функциями времени: х/ = xj(t) и х2 = x2(t) и условиями нахождения этих точек будут равенство нулю в них полного тока - сверхпроводящего и квазичастичного, то есть/(3г/, t) z=j(x2, t) = 0, где j(x, t) = %(х, t)+2y p,(x, t)- pxx(x, t). Таким образом, в случае нестационарных состояний может быть сформулирована следующая теорема [85]: Теорема. Если функция р(х, t) является решением нестационарной граничной задачи sin-Гордона (9)-(10), то поток где Фп(/) = n(t) (п=0,1,2,...) - для мейсснеровских и квазимейсснеровских (л=0) и флуксонных и антифлуксонных состояний (я?0), и Фп(/) = n(t)+M2 ± arcsinfi (/7=0,1,2,...) - для всех остальных состояний, а Х] и х2 - ближайшие соответственно левому и правому краям перехода точки, в которых j(xh t) =j(x2, t) = 0. Здесь n является функцией времени в том смысле, что в разные моменты времени п принимает разные значения. В отличие от стационарных состояний магнитный поток Ф(/) принимает различные значения из всего ряда Фп(/) = n(t) и Фп(/) = n(t)+\l2 ± arcsinfi (л=0,1,2,...), пребывая в каждом из них какое-то определенное время. При заданных параметрах поток Ф(г) изменяется во времени скачкообразно. Кроме того, сами точки х/ и х2 перемещаются с течением времени и характер перемещения в регулярных и хаотических состояниях оказывается различным.
На рис. 28 представлена зависимость магнитного потока от времени в регулярном режиме при рО.1, /?= 0.125, Н0= 1.917,1=10. Заметим, что поток в данный момент времени может характеризоваться как целыми, так и полуцелыми квантами магнитного потока. Причем реализуются состояния со значениями потока Фп(/) = n(t) и Фп(/) = n(t)+M2 ± arcsin/3 (w=0,l,2,...). Из рисунка видно, что система в нестационарном режиме пробегает состояния и устойчивые, и неустойчивые в стационарном режиме. Переходы между состояниями происходят скачкообразно. На рис. 28 учтено, что во флуксоне магнитное поле совпадает с внешним полем, а в антифлуксоне - противоположно (в точках xi и Х2 jx 0 для флуксонных состояний, Ejx 0 - для антифлуксонных состояний). Время пребывания в любом состоянии в регулярном режиме изменяется регулярно. Отметим, что характер состояния - регулярный или хаотический - устанавливался с помощью расчета показателя Ляпунова.
На рис.29 представлена зависимость магнитного потока от времени в хаотическом режиме при 7=0.12, 0 = 0.38, Но= 1.41, 1=6. Как видно, значение магнитного потока также изменяется скачкообразно, однако смена состояний происходит нерегулярно, время пребывания в каком-либо состоянии изменяется хаотически. Видно также, что реализуются состояния со значениями магнитного потока Фп(/) = n(t) и Фп(/) = w(7)+l/2 ± arcsinfi («=0,1,2,...), т.е. реализуются состояния как с целым, так и с полуцелым значением кванта магнитного потока. Заметим, что как для регулярных, так и для хаотических режимов, не существует явно выраженного предпочтения состояний с целым числом квантов потока состояниям с полуцелым числом квантов потока, в отличие от стационарных режимов, в которых состояния с целым числом квантов потока являются предпочтительными в смысле устойчивости. Таким образом, в нестационарном режиме, разрешенные состояния (с целым и полуцелым числом квантов потока) являются в определенном смысле эквивалентными. Система переходит из одного разрешенного состояния в другое, и в состояниях динамического хаоса переходы между состояниями и время пребывания в каждом их них имеют нерегулярный характер, тогда как в регулярных состояниях - регулярный.
Для исследования устойчивости стационарных состояний и для описания нестационарного процесса перехода от неустойчивого состояния системы к устойчивому, может оказаться полезной теория возмущений. Важную роль в этом процессе будет играть такая величина, как время релаксации системы.
В линейных диссипативных системах, временной масштаб перехода от начального условия к асимптотическому состоянию равен у 1, где у - коэффициент диссипации. Это определение не является единственным. Мы можем определить время релаксации системы как время, в течение которого начальное возмущение затухает, и состояние системы становится асимптотическим. Но в случае, когда начальное состояние является хаотическим, данное определение теряет всякий смысл. В нелинейных системах, таких как ДДП, ситуация меняется коренным образом. Наши расчеты показывают, что время релаксации возмущенной системы не только не равно у 1 , но и значительно больше. В наших расчетах величина у"1 была равна 7.69, в то время как время релаксации ДДП равно 300-400. Рассмотрим этот вопрос более детально.
Релаксация в нелинейной системе
В общем случае асимптотическими решениями нелинейного уравнения sin-Гордон являются стационарные, хаотические и регулярные состояния. Но как оказалось, эти состояния не являются единственно возможными при заданном наборе внешних параметров. В связи с этим возникает вопрос: каким образом система выбирает решение среди большого числа асимптотических состояний? В работе [83] было показано, что любое возмущение в системе играет решающую роль в выборе асимптотического состояния. В данной главе будет показано, что различные начальные возмущения приводят к появлению различных асимптотических состояний. Иными словами, выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем. Это поведение системы мы назвали эффектом «бабочки Брэдбери» (the "Bradbury Butterfly" effect) [112-114].
Рассмотрим стационарные состояния ДДП, которые можно найти при помощи численного интегрирования уравнения Феррелла-Прейнджа (7) с граничными условиями (8). Известно, что устойчивые состояния являются асимптотическими состояниями нестационарной задачи (9)-(10), причем выбор конкретного состояния определяется начальным возмущением. Мы исследуем асимптотические состояния, поэтому t тг. Выберем в качестве невозмущенного (начального) состояния стационарное состояние при Н0 = 1.174, Р = 0, L = 8. При заданном наборе параметров, система может находиться в одном из трех устойчивых состояний: мейсснеровском, однофлуксонном и двухфлуксонном. Далее мы будем называть такие устойчивые состояния разрешенными. В таблице 3 приведены результаты вычислений с тремя видами начального возмущения (26а) - (26с). Как видно из представленных данных, характер возмущения определяет вид асимптотического состояния. Например, при воздействии на систему, находящуюся изначально в мейсснеровском (М) состоянии, возмущением вида (За), система переходит в однофлуксонное (If) состояние при значении fo = 0.103 -0.322; при fo =0.323 - 1.167 система из мейсснеровского состояния переходит в двухфлуксонное (2f) и т.д. Данные, представленные в таблице 3, показывают, что не только величина f0, но и конкретный вид возмущения определяют то состояние системы, в котором она окажется в будущем. Таким образом, при воздействии на систему внешним возмущением, последняя начинает совершать переходы между разрешенными состояниями. Заметим, что во всех 3-х случаях длительность возмущения to =20, иными словами, возмущение быстро затухает со временем. Несмотря на это, именно оно определяет дальнейшее поведение системы. Этот эффект был назван эффектом «бабочки Брэдбери» [114].
Если в качестве невозмущенного состояния взять какое-либо состояние из области сосуществования стационарных и нестационарных состояний, то при возмущении системы мы будем иметь в качестве асимптотических состояний стационарное, регулярное или хаотическое состояние. При этом вид невозмущенного начального состояния не имеет существенного значения; выбором возмущения можно получить в общем случае все возможные виды асимптотических состояний.
В таблице 4 представлен случай, когда в качестве начальных состояний были взяты состояния из области сосуществования: Но = 0.5, L = 8, to = 20, причем, состояние А является хаотическим (0=0.61), состояние В - регулярным (р=0.78). Как видно из таблицы, при воздействии на эти состояния возмущением вида (26а), система начинает совершать переходы между разрешенными состояниями: стационарным, регулярным и хаотическим. Например, при fo = 0 - 0.554 состояние является хаотическим, при f0 = 0.555 - 0.58 - регулярным, а при f0=0.59-0.68 - стационарным. Характер состояния определялся при помощи показателя Ляпунова (22) при t — тг. На рис.31 приведена за висимость показателя Ляпунова от времени для этих трех случаев.
В таблице 5 представлены результаты расчетов асимптотических состояний, возникающих в системе под действием не неё возмущениями (26Ь) и (26с). Начальное состояние является хаотическим и принадлежит области сосуществования. Как видно, изменение вида начального возмущения не влияет на характер поведения системы: также как и в случае с возмущением вида (26а) выбор того или иного асимптотического состояния определяется параметром начального возмущения .
При изменении параметра t0 области , соответствующие различным видам асимптотических состояний, также изменяются. В таблице 6 представлены результаты расчетов при тех же значениях параметров Н0, /?, L, что и в таблице 4, но с той лишь разницей, что t0= 30. Сравнение таблиц 6 и 4 показывает, что выбор системой асимптотических состояний также чувствителен к параметру начального возмущения to. Например, при значении амплитуды возмущения = 0.6, в случае, когда время возмущения td= 20 асимптотическое состояние является стационарным (Табл. 4), а при t f= 30 асимптотическое состояние является хаотическим (Табл. 6).
В случае, когда начальное состояние принадлежит области нестационарных состояний, внешнее воздействие на систему приводит к появлению двух видов асимптотических нестационарных состояний: регулярного и хаотического. В таблицах 7-9 представлены результаты расчетов для возмущений вида (26а)-(26с) для случая, когда начальное состояние принадлежит области существования нестационарных состояний.
