Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Уравнение эволюции огибающей магнитостатической волны. Обобщенное нелинейное уравнение Шредингера (ОНУШ) 18
1.1. Основное состояние и спектр спиновых возбуждений системы ферромагнетик-диэлектрик-металл (ФДМ) 18
1.2. Уравнение эволюции огибающей магнитостатических волн 32
1.3. Особенности слабонелинейной магнитодинамики структуры ФДМ. Линейный спин-волновой спектр и интегрируемость ОНУШ 38
1.4. Модуляционная нестабильность монохроматических нелинейных волн 47
Выводы 54
Глава 2. Некоторые точные решения ОНУШ 57
2.1. Пространственно-локализованные решения ОНУШ. Квазисолитоны Потасека-Табора 57
2.2. Пространственно-периодические решения ОНУШ. Кноидальные волны 59
2.3. Цепочки "светлых" и "темных" квазисолитонов Потасека-Табора 61
2.4. "Серый" и "антитемный" квазисолитоны ОНУШ 64
2.5. Построение некоторых точных решений ОНУШ 73
2.6. Многосолитонные решения ОНУШ 77
Выводы 82
Глава 3. Особенности слабонелинейной динамики объемных магнитостатических волн в структуре ФДМ 85
3.1. Сценарии эволюции солитонов огибающей прямых объемных магнитостатических волн 86
3.2. Сценарии эволюции солитонов огибающей обратных объемных магнитостатических волн 92
3.3. Многосолитонные состояния огибающей несущей магнито-статической волны и их свойства 97
3.4. Амплитудная дисперсия скорости огибающей магнитостатических солитонов 102
Выводы 106
Заключение . ПО
Литература 113
Приложения
- Уравнение эволюции огибающей магнитостатических волн
- Модуляционная нестабильность монохроматических нелинейных волн
- Пространственно-периодические решения ОНУШ. Кноидальные волны
- Сценарии эволюции солитонов огибающей обратных объемных магнитостатических волн
Введение к работе
Актуальность темы
Солитоны микроволновой огибающей в пленках железо-иттриевых ферритов-гранатов (ЖИГ) исследуются уже более двух десятилетий. Для их описания, как правило, используется классическая модель, которая базируется на нелинейном уравнении Шредингера (НУШ) [1]. В последнее время, с появлением новых высококачественных пленок ЖИГ и совершенствованием техники эксперимента, получены новые экспериментальные данные, которые не могут быть объяснены в рамках классической модели. К ним относятся: во-первых, преобразование симметричного импульса после прохождения его через пленку в асимметричный, во-вторых, квадратичная зависимость скорости уединенных волн (возникших после распада нелинейного импульса) от их собственных амплитуд [2, 3]. Для объяснения совокупности этих экспериментальных данных и была предпринята диссертационная работа, в которой на базе обобщенного нелинейного уравнения Шредингера (ОНУШ), учитывающего эффекты высшей линейной и нелинейной пространственных дисперсий, исследованы нелинейные динамические состояния намагниченности. В рамках этой модели удается адекватно интерпретировать экспериментальные результаты по распространению солитонов микроволновой огибающей в магнитных пленках.
Учет эффектов высшей пространственной дисперсии вызван уникальным немонотонным спектром объемных линейных магнитостатических волн (МСВ) в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл (ФДМ) [4-6], которая используется как модельная система для изучения новых типов нелинейных динамических возбуждений. Выбор структуры обусловлен также и технологическими особенностями проведения экспериментов по наблюдению солитонов микроволновой огибающей. В эксперименте обычно используется линия задержки, функциональной частью которой является пленка ЖИГ, отделенная слоем диэлектрика от металлического экрана. Заметим, что эти технологические детали (обусловливающие немонотонность линейного спин-волнового спектра) при интерпретации экспериментальных данных ранее не учитывались.
Цель работы и задачи исследования
Целью работы является изучение различных аспектов слабонелинейной динамики объемных (прямых и обратных) магнитостатических волн, распространяющихся в многослойной структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл. Фундаментальная задача в рамках сформулированной проблемы включает в себя:
БИБЛИОТЕКА С.-Петербург
03 20olaKTffitf
-теоретическое изучение новых типов нелинейных динамических возбуждений в системе объемных магнитостатических волн, эволюция которых описывается с помощью ОНУШ;
- исследование сценариев эволюции квазисолитонов микроволновой огибающей объемных магнитостатических волн в перпендикулярно и касательно намагниченной структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл;
-выявление характера амплитудной дисперсии скорости движения (зависимость скорости распространения уединенной волны от ее амплитуды) квазисолитонов ОНУШ;
-обсуждение условий экспериментального наблюдения и идентификации нелинейных динамических состояний намагниченности в тонких магнитных пленках на основе полученных результатов.
Научная новизна
На основе анализа тонких деталей линейного спектра объемных магнитостатических волн в перпендикулярно и касательно намагниченной структуре ФДМ предложена математическая модель адекватного описания условий формирования и эволюции долгоживущих нелинейных состояний намагниченности вблизи особых точек линейного спин-волнового спектра. К особым точкам относятся, например, точки экстремума, точки перегиба на зависимости <о{к) (а -угловая частота линейной волны, к - волновой вектор). Отмеченные особые точки спектра магнитостатических волн замечательны тем, что вблизи них, как правило, существуют области, в которых тонкий баланс эффектов дисперсии и нелинейности допускает существование нелинейных динамических состояний намагниченности.
Показана необходимость использования обобщенного нелинейного уравнения Шредингера, корректно учитывающего эффекты высшей линейной и нелинейной пространственных дисперсий, для последовательного описания нелинейных режимов распространения объемных магнитостатических волн в структуре ФДМ.
В рамках предложенной модели исследованы условия развития
модуляционной неустойчивости плоской нелинейной
монохроматической волны, распространяющейся в среде, описываемой
обобщенным НУШ. При этом формирование "светлых"
пространственных квазисолитонов огибающей объемных
магнитостатических волн на фоне однородного состояния происходит при компенсации эффектов дисперсии третьего порядка и эффектов дисперсии нелинейности.
Аналитически, а также численными методами проанализированы сценарии эволюции нелинейных состояний ОНУІІІ ("светлых" и "темных" квазисолитонов Потасека-Табора) в системе объемных магнитостатических волн в перпендикулярно и касательно намагниченной структуре ФДМ. Показано, что с помощью внешних параметров структуры ФДМ (магнитное поле, толщина диэлектрической прослойки) можно эффективно управлять сценарием нелинейной динамики намагниченности (осуществлять, например, переход из "светлосолитонного" режима к "темносолитонному").
Аналитически получены новые (частные) решения ОНУШ: три типа кноидальных волн, "серый" и "антитемный" квазисолитоны микроволновой огибающей объемных магнитостатических волн. Определены области линейного спектра этих волн и соответствующие параметры, при которых реализуются эти состояния намагниченности. Замечательным является тот факт, что все исследованные нелинейные динамические состояния ОНУШ имеют одинаковую амплитудную дисперсию скорости, которая характеризуется линейной зависимостью скорости распространения уединенной волны от квадрата ее амплитуды. Эти результаты подтверждаются как численным, так и реальным физическим экспериментом, позволяя качественно объяснить набор экспериментальных данных по распространению солитонов микроволновой огибающей в магнитных пленках.
В рамках предложенной модели сформулированы условия экспериментального наблюдения и идентификации новых типов нелинейных динамических возбуждений в магнитных пленках, используя явление амплитудной дисперсии скорости движения уединенных волн.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Предложена модель описания слабонелинейной динамики намагниченности в многослойной структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл, основанная на обобщенном нелинейном уравнении Шредингера. В рамках этой модели исследованы нелинейные режимы распространения объемных магнитостатических волн в зависимости от тонких деталей линейного спин-волнового спектра структуры ФДМ: определены условия развития модуляционной нестабильности плоской нелинейной монохроматической волны - предвестника солитоноподобных состояний; определены области линейного спин-волнового спектра и параметры, при которых в системе объемных МСВ реализуются квазисолитоны Потасека-Табора.
-
С помощью численных методов решена задача Коши для обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с различными
начальными условиями (солитоноподобным распределением и распределением в форме Гаусса). Проанализированы условия формирования многосолитонных состояний огибающей объемных МСВ. Выявлена важная характеристика состояний ОНУШ -амплитудная дисперсия скорости движения уединенных волн. Последняя может быть использована как тест при интерпретации экспериментальных данных по солитонам микроволновой огибающей в магнитных пленках.
3. Получен класс новых точных (частных) решений ОНУШ. К ним относятся: пространственно-периодические состояния огибающей (кноидальные волны); уединенные волны с модулированной фазой, зависящей от координаты, такие как "серый" и "антитемный" квазисолитоны огибающей. Последние обладают замечательным свойством - фаза и амплитуда решения связаны дифференциальным уравнением. При этом изменение фазы влечет за собой изменение амплитуды уединенной волны и, наоборот.
Теоретическая и практическая значимость работы
Настоящее исследование позволяет объяснить набор экспериментальных данных по нелинейной динамике огибающей объемных магнитостатических волн в магнитных пленках: условия развития модуляционной неустойчивости монохроматических нелинейных волн, условия зарождения и эволюционный сценарий солитонов огибающей, а также процессы распада нелинейного импульса при прохождении его через пленку.
Проведенное исследование является частью проблемы развития
фундаментальных основ нелинейно-волновых технологий,
базирующихся на нелинейных процессах, протекающих в магнитных
материалах в области сверхвысоких частот. В качестве
функционального элемента в них могут быть использованы
многослойные структуры ферромагнетик-диэлектрик-металл.
Последние относятся к системам с управляемыми (с помощью внешних параметров, таких как толщина диэлектрического слоя и угол между направлением распространения волны и внешним магнитным полем) дисперсией и нелинейностью.
Описание нелинейных эффектов в магнитных материалах является универсальным и может быть распространено на другие объекты Полученные в работе результаты могут оказаться плодотворными при решении нелинейных задач в других областях физики нелинейных явлений, например, в нелинейной оптике, физике плазмы, при изучении нелинейных волн на глубокой воде, а также нелинейных динамических процессов в квантовых системах.
Достоверность полученных в исследовании результатов обеспечивается строгой обоснованностью сделанных приближений и существованием предельных переходов к известным ранее результатам. Выводы, сделанные в диссертации, качественно позволяют объяснить набор экспериментальных данных по солитонам микроволновой огибающей в магнитных пленках.
Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации докладывались на Международных зимних школах физиков-теоретиков "Коуровка-ХХІХ" (Екатеринбург, 2002), "Коуровка - XXXI" (Кыштым, 2006); Международных школах-семинарах "Новые магнитные материалы микроэлектроники" (Москва, 2002, 2004); Международных семинарах "магнитные фазовые переходы" (Махачкала, 2002, 2004); ХХХШ-ем Совещании по физике низких температур (Екатеринбург, 2003); Выездной сессии по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах (Астрахань, 2003); Евро-Азиатском симпозиуме "Достижения в магнетизме" (Красноярск, 2004); Международной конференции "Комплексный анализ, уравнения математической физики, вычислительная математика" (Уфа, 2004); Научной сессии Института физики металлов УрО РАН по итогам 2004 года; Международном симпозиуме по магнетизму (Москва, 2005); Научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 2005); Научной конференции "Демидовские чтения на Урале" (Екатеринбург, 2006).
Личный вклад автора. В диссертационной работе при непосредственном участии автора получены следующие результаты:
в приложении к решаемой задаче исследованы тонкие детали линейного спектра объемных магнитостатических волн в структуре ФДМ;
в рамках ОНУШ аналитически получены условия развития модуляционной неустойчивости монохроматических нелинейных волн;
совместно с научным руководителем А.П. Танкеевым, а также М.А. Боричем в рамках ОНУШ проведен детальный анализ сценариев зарождения и эволюции нелинейных динамических состояний намагниченности;
аналитически найден класс новых состояний ОНУШ: три типа кноидальных волн, "серый" и "антитемный" квазисолитоны огибающей объемных МСВ;
- автор принимал участие в постановке задач и обсуждении полученных результатов.
Публикации. Результаты исследований, представленных в диссертации опубликованы в 20 работах, в том числе 13 статьях в реферируемых научных журналах и сборниках трудов, а также 7 тезисах докладов на Всероссийских и международных конференциях.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка литературы и трех приложений. Полный объем работы составляет 151 страницу, включая 28 рисунков, 3 таблицы и 146 наименований цитируемой литературы.
Уравнение эволюции огибающей магнитостатических волн
Из многочисленных нелинейных процессов, которые могут реализоваться в рассматриваемой системе, выделим слабонелинейные, когда амплитуда колебаний значительно меньше равновесной намагниченности. Эффективные уравнения слабонелинейной динамики спиновых волн получают разными способами. Во-первых, из уравнений Ландау-Лифшица и уравнений магнитостатики с соответствующими граничными условиями [69, 73], используя, в частности, редуктивную теорию возмущений [106], а также метод многих масштабов [107, 108]. Во-вторых, с помощью метода огибающих [73, 109, ПО], предложенного Уиземом [111]. Выбор метода определяется условиями задачи, а также типом взаимодействий, в которых участвуют магнитные моменты. Известно [73], что для магнитостатических волн оба способа являются эквивалентными при некоторых дополнительных условиях, налагающих ограничения на длину спиновой волны и ее амплитуду М« «1 (где к - волновое число основной гармоники, d тощина пленки, y/{x,i) - амплитуда волны). Для характерных толщин пленок ЖИГ (у «5-Ю мкм), используемых в эксперименте [86], этому неравенству удовлетворяют значения волнового числа из интервала к «100- 200 см1. В указанной области волновых векторов, преобладает локальная магнитостатическая дисперсия, которая обеспечивает существование экспоненциальных солитонов огибающей магнитостатических волн. Сценарии эволюции этих состояний могут быть адекватно исследованы в рамках классического НУЛІ, а также "примыкающих" к нему нелинейных эволюционных уравнений, учитывающих эффекты высшей пространственной дисперсии. В этой ситуации предпочтительным оказывается второй подход. В случае достаточно малых значений волновых векторов, когда Ы -» 0, указанный способ построения уравнения эволюции становится некорректным, поскольку возрастающая роль нелокальной части диполь-дипольного взаимодействия в формировании основного состояния приводит к неаналитичности спектра линейных волн. Условия применимости метода огибающих при этом не выполняются. Нелокальный характер связи между намагниченностью и магнитным полем нарушает условия существования экспоненциальных солитонов и приводит к интегродифференциальным уравнениям слабонелинейной динамики спиновых волн. В частности, в [68] показано, что учет нелокального диполь-дипольного взаимодействия приводит к нелокальному аналогу НУШ с дополнительным слагаемым в форме оператора преобразования Гильберта. Последнее обусловливает появление пространственно-локализованных состояний намагниченности типа алгебраических солитонов. Аналогичные солитоны существуют в модели, описываемой уравнением Бенджамина-Оно [112, 113]. В обсуждаемой ситуации для адекватного описания нелинейных состояний намагниченности используется первый подход.
Построенное уравнение относится к обобщенному нелинейному уравнению Шредингера (ОНУШ). Слагаемые в круглых скобках описывают волны, распространяющиеся в линейной среде без дисперсии с групповой скоростью vg. Третье и пятое слагаемые ответственны за эффекты пространственной дисперсии второго и третьего порядков соответственно, которые обеспечивают расплывание волнового пакета. Четвертое -описывает явление самовоздействия волны, обусловленное взаимодействием основной моды с соседними гармониками, возникающими из-за нелинейности. Роль этого слагаемого проявляется в зависимости частоты волны от ее собственной амплитуды (нелинейный сдвиг частоты). Последнее - ответственно за эффекты пространственной дисперсии нелинейности.
Классическое полностью интегрируемое НУШ определяют первые четыре слагаемых в (1.2.7). Эффекты пространственной дисперсии третьего порядка нарушают его полную интегрируемость. Однако, они сравнительно слабы в интервале длин волн вдали от точки "нулевой" дисперсии, и могут быть учтены по теории возмущений, в частности, основанной на методе ОЗР [20, 114]. Поправка первого порядка к невозмущенному решению НУШ в форме "светлого" солитона приводит к изменению скорости, возникновению частотной модуляции и смещению его фазы. При этом форма, амплитуда и ширина распределения сохраняются.
Сценарий эволюции солитона НУШ изменяется вблизи точки "нулевой" дисперсии, в которой доминирует дисперсия третьего порядка. При этом солитон существует, если большая часть его спектра лежит в области аномальной дисперсии групповой скорости. В спектральном диапазоне, соответствующем нормальной дисперсии групповой скорости, энергия солитона рассеивается. Этот эффект проявляется в виде малоамплитудного излучения, отделяющегося от солитона. Появление излучения обусловлено следующими обстоятельствами. Известно, что солитоны НУШ не взаимодействуют с излучением, так как их волновые числа лежат в области, запрещенной для линейных волн. При учете дисперсии третьего порядка спектр линейных волн становится шире и перекрывается с областью солитонного спектра. В этом случае солитоны могут не только взаимодействовать с излучением, но и излучать линейные волны (на частоте фазового синхронизма с излучением), распространяющиеся с групповой скоростью vg«-a3 [57]. Следовательно, в области спектра линейных волн, где аъ О, дисперсия третьего порядка приводит к излучению сзади солитона (в системе координат, связанной с солитоном), и, наоборот при а3 0, излучение распространяется впереди солитона. Потеря энергии на излучение приводит к спектральному сдвигу солитона в область аномальной дисперсии групповой скорости (спектральная отдача солитона [57]), где он является устойчивым. Если рассеивается передний фронт импульса, то происходит спектральный сдвиг его пика в длинноволновую часть спектра (красное смещение). Излучение сзади солитона приводит к фиолетовому смещению [56]. Таким образом, излучение линейных волн стабилизирует солитон НУШ, и достигается квазистационарное состояние с пренебрежимо малыми потерями энергии на излучение так, что амплитуда солитона уменьшается со временем по логарифмическому закону [115].
Роль последнего слагаемого в НУШ (без учета пространственной дисперсии третьего порядка) анализировалась в [114] с помощью теории возмущений для солитонов, основанной на методе ОЗР. Эффекты, описываемые этим слагаемым, проявляются: во-первых, в зависимости скорости огибающей от ее амплитуды. Следствием этого эффекта является самообострение профиля импульса и асимметрия его формы [116]. Во-вторых, влияние самообострения на солитоны высших порядков приводит к их распаду на составляющие [117, 118]. Заметим, что член, описывающий самообострение профиля солитона, не нарушает полной интегрируемости НУШ, поскольку последнее с помощью преобразования Галилея редуцируется к модифицированному НУШ (МНУШ), которое является полностью интегрируемым и имеет солитонные решения [30]. В режиме распространения вблизи точки "нулевой" дисперсии самообострение профиля солитона приводит к возникновению ударной волны [56]. Однако в этих условиях становится существенным влияние дисперсии третьего прорядка, которая может сгладить ударную волну. В случае полной компенсации этих эффектов происходит формирование новых пространственно локализованных солитоноподобных структур, например, таких, как квазисолитоны Потасека и Табора (ПТ-солитоны) [34].
Модуляционная нестабильность монохроматических нелинейных волн
Модуляция, по определению, есть медленное изменение параметров (амплитуды, фазы, частоты; а также формы) несущей волны [121]. Она может быть связана с воздействием внешних сил или полей, а может возникать самопроизвольно в результате разного рода неустойчивостей. В нелинейных средах модуляция на фоне однородной нелинейной волны развивается вследствие ее взаимодействия с соседними гармониками, возникающими из-за нелинейности. Такое явление называют автомодуляцией (или самовоздействием) волны [121].
Модуляционная нестабильность лежит в основе эффектов самофокусировки и самодефокусировки монохроматических нелинейных волн. Эта проблема интенсивно исследовалась в нелинейной оптике [122-124], а также в магнитных системах, в частности, в тонких магнитных пленках ЖИГ [71, 73, 125-127]. Отметим, что солитоны называются пространственными, если их появление вызвано явлением модуляционной нестабильности, развивающейся в непрерывном излучении. Если падающее излучение имеет форму импульса, сохраняющего форму при распространении, то он называется временным солитоном [56]. При этом временной солитон будет устойчивым, если он распространяется в среде, параметры которой удовлетворяют условиям формирования пространственных солитонов. Таким образом, задача построения солитоноподобных решений нелинейных эволюционных уравнений сопрежена с другой проблемой - исследованием модуляционной нестабильности монохроматических нелинейных волн. Развитие модуляционной неустойчивости в непрерывном излучении, распространяющемся в нелинейной диспергирующей среде, описываемой с помощью ОНУШ, исследовалось в [128-131].
Проведенный выше анализ показал, что в плоской нелинейной волне (1.4.2), которая является простейшим решением ОНУШ, могут развиваться малоамплитудные модуляции, распространяющиеся на фоне однородного состояния. Их взаимодействие приводит к формированию уединенных волн огибающей (например, ПТ-солитонов) несущей МСВ, а также солитонов, эволюция которых описывается классическим НУШ. Причем, области этих состояний могут совпадать. Рассмотрим ООМСВ. На рис. 8а и 85 приведены зависимости N(kd) и D2{kd) соответственно. Поскольку N - монотонно возрастающая функция Ы, то неравенство (1.4.23) имеет вид D3 0. (1.4.27) Оно задает области в спектре линейных волн, в которых зависимость D2 (kd) является монотонно убывающей. К ней относятся кривая 4 и убывающий от максимума участок кривой 3. Поскольку N(kd) - отрицательно определенная величина, то неравенство (1.4.26) можно записать в виде 2 0. (1.4.28) Неравенство (1.4.27) задает участок спектра, в котором нарастающая модуляция нелинейных волн приводит к формированию пространственных квазисолитонов Потасека-Табора. При этом условие существования пространственных солитонов НУШ определяется неравенством (1.4.28). Из рис. 86 видно, что отмеченные области (1.4.27) и (1.4.28) могут совпадать. Следовательно, в системе могут возбуждаться одновременно как ПТ-состояния, так и солитоны НУШ. Аналогичная ситуация имеет место и в случае ПОМСВ. На рис. 9а и 95 приведены зависимости N{kd) и D2(kd) соответственно. Поскольку N монотонно убывает с нарастанием kd и, следовательно, производная dN/d(kd) = DN 0, неравенство (1.4.23) сводится к D3 0. (1.4.29) Последнее определяет области монотонного роста зависимости D2 от kd. Им отвечают кривые 1, 2, 4 и возрастающий до максимума участок кривой 3 (см. рис. 96). В свою очередь, неравенство (1.4.26) сводится к D2 0, (1.4.30) поскольку N(kd) - положительно определенная величина. Одновременное выполнение условий (1.4.29) и (1.4.30) осуществляется для кривых 1, 2, 4 и участка кривой 3, возрастающего до первой точки "нулевой" дисперсии. Таким образом, в указанных областях гипотетически могут сосуществовать нелинейные состояния типа уединенных волн ОНУШ, а также солитоны классического НУШ. Отметим, что малоамплитудное приближение (1.4.18) является оправданным для волновых чисел К = к и может быть представлено в виде 1 (3a3-aai Фо« а, (1.4.31) 2 ,0 Оценка слагаемого в правой части этого неравенства показала, что его значения в исследуемом интервале волновых чисел kd 1 изменяются, приблизительно, от 1 до величин порядка 103. Следовательно, соотношение (1.4.31) справедливо, поскольку условием малоамплитудного приближения является ФП.
Пространственно-периодические решения ОНУШ. Кноидальные волны
В этом разделе проведен анализ нового класса решений уравнения (2.1.1), так называемых кноидальных волн ОНУШ [134-136]. Показана процедура построения этих решений. Продемонстрирована связь новых нелинейных состояний с известными локализованными. Для построения решений уравнения (2.1.1) используется подстановка o(x,t) = a p{x)els , (2.2.1) где X = b(x-vi), & = Kx-cot, с помощью которой ОНУШ редуцируется к системе двух стационарных уравнений для определения мнимой и вещественной частей Ф(х,г) ccjfcpxxx + \2агс-3а3к2-v)(px +ахщ (р)х = 0, (2.2.2) (а-ЗсСзК Рхх + усо-ак2 + агкг)(р + {\.-а\КІ р\ р = 0. (2.2.3) Очевидно, что первый интеграл уравнения (2.2.2) имеет тот же вид, что и (2.2.3). Отсюда следует, что условием совместности системы уравнений (2.2.2) и (2.2.3) является выполнение следующих равенств: а-Ъсс-х \-а,к со - ак2 + а-,къ , , 0 „ч 2_ = L_ = J_ = k0 , (2.2.4) аъ or, 2ак Ъаък -v где k0- константа, имеющая размерность обратной длины. Из первого равенства следует, что ссла-а, к = — 2а,а3 2ссхаг При этом k0 =—3 (2.2.5) скорость v и частота прецессии со связаны соотношением со = о)0(к)-к0у , (2.2.6) где со0(к)=к{2акй)+к2(а-Ъагк0)-аъкъ. Из (2.2.6) следует, что при v = 0 величина со = со0(к). Она определяет частоту прецессии намагниченности на фоне статического распределения. С другой стороны, случай со = О соответствует равномерно движущемуся распределению намагниченности без прецессии со скоростью v = со0(к)к1х.
Очевидно, что для вещественной огибающей ср{х) при выполнении условий совместности (2.2.4) системы уравнений (2.2.2) и (2.2.3) задача сводится к исследованию обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения (уравнения Дюффинга [137]) для определения функции ф(х): Vxx+PP + W =Q (2.2.7) с коэффициентами со-ак1 +а,къ а2 (і -а,к) (2.2.8) Ъ2{а-Ъаък) Ь(а-3а3к) Первый интеграл этого уравнения имеет вид ( РхУ+ Р Р2+ Р4=С (2.2.9) Знаки коэффициентов р и q, а также величина С определяют характер возможных решений уравнения Дюффинга. При их анализе были рассмотрены три случая: D2 1. /? 0,2 0,0 С - ,0 1 ; р(х) = 2Р \У2 (г у72 {{1 + к2 sn -—— X, к (2.2.10) n 2. /7 0,? 0,- - С 0,0 А: 1 ; Aq P (x) = dn \l/2 (Ґ Nl/2 \P\ 2-k2 X ,k (2.2.11) 3. р 0,а 0,С 0,-7= к 1 ; V2 P(X)= Nl/2 ад Ul2 2-i). A; en ч22-1, ІД (2.2.12) Решения уравнения Дюффинга (2.2.10)-(2.2.12) представляют собой эллиптические функции Якоби: эллиптический синус, эллиптическую дельта-функцию и эллиптический косинус соответственно, и называются кноидальными волнами [119]. При этом (см. соотношение (2.2.1)), они являются точными решениями ОЕГУШ, и задают форму профиля стационарной огибающей. В отличие от локализованных ПТ-состояний найденные решения - пространственно-периодические нелинейные волны огибающей с периодом 4К для sn(X,fc) и cn(Z,&) и 2К для іп(ХД), где К-полный эллиптический интеграл первого рода, а -модуль эллиптической функции. Отметим, что кноидальные решения имеет и классическое НУШ [119].
Цепочкой "светлых" ПТ-солитонов будем называть такое решение уравнения (2.1.1), которое при определенных условиях (сформулированных ниже) переходит в "светлый" ПТ-солитон.
При построении решений (2.3.1)-(2.3.9) предполагалось, что огибающая описывается вещественной функцией р{х), удовлетворяющей уравнению Дюффинга (2.2.7). Очевидно, что сделанное предположение ограничивает класс возможных решений, поэтому следующим шагом будет обобщение на случай, когда функция, задающая огибающую, является комплексной. При этом (как будет показано ниже) могут быть получены новые нелинейные состояния ОНУШ, в частности, "серый" и "антитемный" квазисолитоны [138, 139]. Для построения этих решений был использован способ, предложенный в [133].
Решение уравнения (2.1.1) будем искать в виде 0{x,t) = a{x-vt)e -M) , (2.4.1) где a(x-vt)- комплексная огибающая нелинейной волны. После подстановки (2.4.1) в (2.1.1) получим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) с кубической нелинейностью для определения функции a(x) = a(x-vt) аш + iAcixx + Вах + iCa + D\a\2a]x + iE\afa = О, (2.4.2) коэффициенты которого определяются следующими равенствами: _ Ъагк-а 2ак-За3к2 -v с = ак -агЄ-а flsi E = lzl . (2.4.3) Заметим, что уравнение (2.4.2) можно представить в иной форме [134] "7 гхх + imax + [в + т{А - fp + D W И+ + iyi — rnfoxx + imax )+Ca + E\afa}=0 , (2.4.4) где т - действительная величина, которая будет определена ниже. При этом выражения в фигурных скобках имеют одинаковый вид. Тогда при выполнении условий В + т(А-т) = -- , D = —— (2.4.5) А-т А-т уравнение (2.4.4) редуцируется к нелинейному ОДУ второго порядка а ж + imax + [В + т(А - mff + D\a\ а = О. (2.4.6) Учитывая выражения для коэффициентов (2.4.3), соотношения (2.4.5) можно записать в виде следующих равенств: а-3а,к \-а,к со-акг+ажъ ,п , пл т + — = ]— = — . (2.4.7) 3 2ак-Ъаък -v-m «і Из первого находим явный вид величины т т = 2(к-к0), K0=2Z . (2.4.8) 2ar,ar3 Видно, что т имеет размерность обратной длины, при этом выражение для лг„ совпадает с определением волнового числа ПТ-солитонов (см. соотношение (2.2.5)). Для определения физического смысла величины т комплекснозначную функцию а{х) запишем в виде а(х) = д(х)е1ЛХ, (2.4.9) где д(х) - действительная функция, а Я- вещественная величина. Подставляя это выражение в (2.4.6), находим, что Л = —. Тогда, учитывая (2.4.8), а(х) можно записать в виде а(х) = д[хУ -к)х, (2.4.10) где д(х) удовлетворяет уравнению Дюффинга - + + = 0, (2.4.11) которое при определенных условиях (сформулированных выше) задает огибающую в виде ПТ-солитонов. Отсюда следует, что т ответственна за дополнительный фазовый сдвиг и определяет пространственную модуляцию ПТ-солитона. Заметим, что в случае т = 0 (при этом к = к0) выражения для параметров (2.4.7) совпадают с (2.2.4), при этом уравнение (2.4.6) переходит в уравнение Дюффинга для вещественной функции а(х) = д(х).
Сценарии эволюции солитонов огибающей обратных объемных магнитостатических волн
Исследуем особенности солитонов огибающей обратных объемных МСВ в структуре ФДМ. Запишем уравнение эволюции огибающей / Ф,+аФ + Ф2Ф + ;а3ф;и +/аі(ф2ф1= 0 (3.2.1) в котором функция Ф(х,г) связана с амплитудой спиновой волны p(x,t) выражением p(x,t)=AO(mx,t), где x- x-vgt, т = 2 , A = \N\ .. При этом коэффициенты уравнения определяются следующим образом: a = -sign(D2), -0.26 -028 -0.3 -0.32 -034 -0J6 -0 J 8 -0. t : і і : : х AS Js Jr } І 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ы. («) Jul (б) Рис. 15. Зависимость коэффициента нелинейности Na от kd (а) и дисперсия нелинейности (б) ООМСВ для различных значений A/d : 0 - кривая 1,1- кривая 2, 6 - кривая 3, схз - кривая 4; & = 0. а3=-АА"3/2» ЯІ ЛГІ ПАГ"2- Несмотря на то, что (3.2.1) совпадает по форме с уравнением (3.1.1) его коэффициенты, тем не менее, принимают другие значения. В частности, коэффициент нелинейности N является отрицательной величиной. При этом наличие дополнительного внешнего параметра в спектре линейных спиновых волн (угла 3 между направлениями распространения волны и намагничивающего поля) вносит существенные изменения в характер зависимости N(kd). Так например, при ,9 = 0 функция N(kd)- монотонно возрастающая (см. рис. 15а) для различных значений A/d и соответствующая ей производная , Л всюду положительна (см. рис. 156). d[kd) С увеличением угла до значения ,9 = 20 на зависимости N(kd) в области малых М появляются как убывающие, так и возрастающие участки (см. рис. 16а), а также точка экстремума, в которой производная , , обращается в нуль (см. рис. 166). При этом знак коэффициента дисперсии DN меняется с отрицательного на положительный.
Угол между направлением распространения волны и внешним магнитным полем в значительной степени определяет характер и линейной і kit (a) kd (6) Рис. 16. Зависимость коэффициента нелинейности Nm от kd (а) и дисперсия нелинейности (б) ООМСВ для различных значений A/d: 0 - кривая 1,1- кривая 2, 6 - кривая 3, со -кривая 4; 3 = 20. дисперсии. На следующих рис. 17а и \1б приведены зависимости D2(kd) для 3 = 0 и 5 = 20 соответственно. Видно, что кривая 2 в случае 5 = 0 соответствует возрастающей зависимости D2(kd) на всей области ее определения. С увеличением угла до значениия 3 = 20 на ней появляются как убывающие, так и возрастающие участки, а также точка экстремума. При этом в обеих ситуациях на зависимости D2(kd) обнаруживается точка "нулевой" дисперсии. Естественно, что отмеченные особенности спектра линейных волн обусловливают и особенности эволюции солитонов огибающей объемных МСВ в исследуемой структуре. Уравнение (3.2.1) описывает эволюцию "светлого" и "темного" ПТ-солитонов огибающей несущей ООМСВ. Область существования этих состояний определяется знаком отношения (2a3/«i)- Учитывая определение коэффициентов аъ и or,, последнее запишем в виде = -2 (1а а, N D, (3.2.2) Из (3.2.2) следует, что "светлый" ПТ-солитон реализуется в той области спектра линейных спиновых волн, в которой коэффициенты дисперсии Z)3 и г(ш/Ч) d(kd) 0.2 0.1 ,., і3 і ....,.——j 0 4 - 0 1 - Щ». -0.2 -030 А T"— j і / і ; JC\ , і і і 0.2 0.4 0.8 0.6 Ы {а) (СО/Шр) ксі (б) Рис. 17. Дисперсия групповой скорости ООМСВ для различных значений отношения A/d: 0 - кривая 1,1- кривая 2, 6 - кривая 3, со -.кривая 4 и различных значений угла: 3 = 0 {а); & = 20 (б). DN имеют противоположные знаки, при этом (2а3/ог,) 0. В области спектра линейных волн, где знаки обеих дисперсий совпадают, происходит формирование "темного" ПТ-солитона, поскольку (2а3/ог,) 0. Таким образом, соотношение (3.2.2) является базовым при классификации точных решений ОНУШ (3.1.2) и (3.1.4) в исследуемой структуре для ООМСВ.
Используя выражение (3.2.2), исследуем возможные ситуации. 1. «9 = 0. Поскольку DN 0 (см. рис. 156), то условиям существования "темных" ПТ-солитонов удовлетворяет область параметров, в которой D3 0. Этим требованиям отвечают кривые 1, 2 и участок кривой 3 до максимума (см. рис. 17а). На правой ветви кривой 3 (после максимума) и на кривой 4 реализуются "светлые" ПТ-солитоны (им соответствует 3 0). 2. С увеличением угла до 5 = 20 положительным значениям коэффициента DN отвечают кривые 1, 2 и 4 (см. рис. 166). Тогда из (3.2.2) следует, что на дисперсионной кривой 1 (см. рис. 176) и возрастающем (от минимума) участке кривой 2 реализуются "темные" ПТ-солитоны. При этом монотонно убывающая до минимума ветвь кривой 2 и кривая 4 отвечают "светлым" ПТ-солитонам. Отдельно рассмотрим кривую 3 на рис. 176. Здесь имеется участок, в котором D3 0, DN 0. Следовательно, реализуется "светлый" ПТ-солитон. После перехода через нуль знак коэффициента DN меняется на противоположный (см. рис. 166), а "светлосолитонный" режим на "темносолитонный", поскольку 3 остается положительно определенной величиной до максимума кривой 3. Монотонно убывающий (от максимума) участок дисперсионной кривой 3 соответствует условию формирования "светлого" ПТ-солитона (поскольку здесь D3 0, DN 0). Результаты проведенного анализа областей существования квазисолитонов Потасека Табора для двух типов волн представлены ниже в таблице 2. Здесь также приведены необходимые условия формирования солитонов НУШ, которые следуют из критерия Лайтхилла. Таблица. 2 ТИПМСВ Уравнение эволюции огибающей несущей магнитостатической волны в структуре ФДМ. Пространственно-локализованные состояния ОНУШ НУШ "светлый" ПТ-солитон "темный" ПТ-солитон "светлый" солитон "темный" солитон оомсв з 0 3 0 D2 0 2 0 помсв Г з 0 з 0 2 0 2 0
При моделировании солитонов огибающей в качестве начального импульса может быть выбрано любое пространственно-локализованное распределение. В частности, было показано, что в процессе эволюции начального импульса с формой профиля, близкой к распределению Гаусса (с параметрами А и В такими, что «1) Ф(х,0) = Лехр -у( - о) (3.3.5) после отделения от него излучения формируется один ПТ-солитон. При распространении нелинейного импульса (3.3.5) с большой амплитудой А (такой, что 1) происходит его распад на стабильные солитоноподобные структуры. Естественно, что значения величины , в обоих случаях (3.3.4) и (3.3.5) будут разными. Для двух и трех ПТ-солитонов интервалы значений этого параметра приведены в таблице 3.
Процесс зарождения двух солитонов из распределения (3.3.4) представлен на рис. 18 для ООМСВ. Амплитуда этих состояний выходит на "насыщение" и остается постоянной во времени. Рис. 18 демонстрирует линейный характер зависимости координаты центра уединенной волны от времени. Из этого следует, что сформировавшиеся состояния имеют постоянную скорость, значение которой можно определить по углу наклона зависимости x(t) к оси t. Замечательным является тот факт, что параметры уединенных волн (амплитуда, ширина и скорость), возникших в результате распада начального импульса, совпадают с параметрами изолированных "светлых" ПТ-солитонов (см. соотношения (3.1.2) и (3.1.3)).
Процесс распада обусловлен эффектом амплитудной дисперсии скорости распространения уединенных волн, который описывается последним слагаемым в ОНУШ (дисперсией нелинейности). Начальный нелинейный" импульс следует рассматривать как связанное состояние квазисолитонов. Амплитудная дисперсия проявляется в зависимости скорости движения этих состояний от их собственной амплитуды, - солитон с большей амплитудой движется и с большей скоростью (см. рис. 18). Вследствие этого, нелинейный пакет распадается на отдельные фрагменты, аналогично расплыванию волнового пакета в случае частотной дисперсии на составляющие линейные гармоники, имеющие разные фазовые скорости.
