Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обобщенные когерентные состояния в комп лексных и действительных переменных и геометричес кие фазы 21
1.1. Введение 21
1.2. Вычисление когерентного состояния в комплексных переменных с использованием интеграла по траекториям 24
1.3. Вычисление когерентного состояния в действительных переменных до группы SU(5) с использованием интеграла по траекториям 33
1.4. Геометрические фазы для когерентных состояний в спиновых системах 43
1.5. Обсуждение 49
ГЛАВА 2. Квадрупольные возбуждения в негейзенбергов ских ферромагнетиках 51
2.1. Введение 51
2.2. Средние спиновых операторов и их произведений в различных группах 52
2.3. Изотропный гамильтониан 54
2.4. Анизотропный гамильтониан 60
2.5. Обсуждение 67
Глава 3. Квадрупольные возбуждения в эффекте спинового туннелирования в наномолекуле Fe8 69
3.1. Введение 69
3.2. Система Fe8 72
3.3. Инстантонные вычисления туннельного расщепления 74
3.4. Вычисление туннельного расщепления для Fe8 в группе SU(2) 78
3.5. Вычисление туннельного расщепления для Fe8 в группе SU(3) 84
3.6. Туннельные коэффициенты разложения 92
3.7. Обсуждение 93
ГЛАВА 4. Квадрупольные возбуждения в эффекте спинового туннелирования в наномолекуле Мn12 94
4.1 Введение 94
4.2. Вычисления туннельного расщепления для Мn12 в SU(2) и SU(3) группах 97
4.3. Обсуждение 103
Заключение 104
Литература
- Вычисление когерентного состояния в комплексных переменных с использованием интеграла по траекториям
- Средние спиновых операторов и их произведений в различных группах
- Вычисление туннельного расщепления для Fe8 в группе SU(2)
- Вычисления туннельного расщепления для Мn12 в SU(2) и SU(3) группах
Вычисление когерентного состояния в комплексных переменных с использованием интеграла по траекториям
Симметрия является базовым, а также наиболее важным понятием в физике. Например, сохранение импульса является следствием трансляционной симметрии пространства. В более широком смысле, каждый процесс в физике, управляемый правилами отбора, является следствием требований симметрии. В данной физической системе, рассматриваемая симметрия является причиной управления набором собственных состояний и степени вырождения собственных значений. Красота и мощь теории групп, применяемой в физике, заключается в трансформации многих комплексных операций симметрии в очень простую линейную алгебру. Понятие представления, соединяя аспекты симметрии с матрицами и основными функциями, совместно с несколькими простыми теоремами, приводит к определению и пониманию фундаментальных свойств физической системы, и любое физическое свойство, его преобразование вследствие взаимодействий или фазовых переходов, описывает с точки зрения простого понятия изменений симметрии.
Фейнмановский интеграл по траекториям в квантовой механике является эффективным инструментом для описания соответствия между квантовыми и классическими понятиями. Главным образом метод интегрирования вдоль путей приводит к гамильтоновому уравнению движения в фазовом пространстве. В процессе математического моделирования предполагается, что система сначала эволюционирует через бесконечную последовательность координатных собственных состояний, а затем эволюционирует через преобразование к импульсному представлению на каждом временном интервале. Продолжая этот метод, амплитуда перехода получается в форме интегрирования вдоль путей в фазовом пространстве.
Когерентные состояния представляют другой способ формулировки интеграла по траекториям в фазовом пространстве. В квантовой механике, например глауберовы когерентные состояния являются особым квантовым состоянием квантового гармонического осциллятора, динамика которого наиболее близко напоминает осциллирующие свойства классической системы гармонических осцилляторов. Непрерывность и полнота являются наиболее важными свойствами когерентных состояний. К другим свойствам глауберовых когерентных состояний относятся: 1. Эти состояния минимизируют соотношение неопределенностей Гейзенберга. 2. Эти состояния являются собственными состояниями оператора уничтожения. 3. Эти состояния генерируются действием операторов группы Гейзенберга-Вейля на вакуумные состояния. 4. Эти состояния являются переполненным и неортогональным множеством.
Когерентные состояния первоначально обоснованные и развитые для группы Гейзенберга-Вейля для изучения квантования электромагнитного излучения [8], привели к обобщению теоретических групп Переломовым [9] и Гилмором [10]. Эти математические структуры отличаются по некоторым аспектам, таким как представление групп и референтное состояние (вакуум) [11]. Когерентные состояния возникают в квантовой теории широкого круга физических систем. Например, в квантовой теории света и других бозонных квантовых теорий поля [8].
Если система эволюционирует, а именно, возвращается к ее исходному состоянию через некоторое время, ее называют циклической эволюцией. Из классической теории систем невозможно определить, подвергалась ли система эволюции от своих начальных и конечных состояний. Волновая функция квантовой системы сохраняет память своего движения в форме геометрического фазового фактора [28]. Геометрическая фаза, или фаза Берри фаза -захватывающий феномен и в классической и в квантовой физики, в которой система адиабатическим образом претерпевает нетривиальное фазовое превращение в некотором пространстве параметров по замкнутому пути. Хорошо известный пример геометрической фазы - эффект Ааронова-Бома, в котором заряженная частица, чей путь охватывает область магнитного потока, приобретает фазовый член пропорциональный потоку. Геометрические фазовые эффекты играют важную роль в спиновой динамике. Хорошо известно, что геометрическая фаза лежит в основе эффектов спин-четности, таких как вырождение Крамерса [12-14].
Эта глава поделена на пять частей. В параграфе 1.1, дано общее описание задачи системы спина. В параграфе 1.2 исследованы когерентные состояния в комплексном представлении для групп SU(2), SU(3) и в общей форме для SU(n) и его классическое следствие. Выражение для амплитуды перехода, которое соединяет пару SU(n) когерентных состояний, получены при помощи соотношения полноты когерентного состояния и метода интеграла по траекториям. В заключении этого параграфа, получено каноническое уравнение движения в классическом пределе. Параграф 1.3 посвящен формулировке когерентного состояния спина в действительной параметризации до SU(5). Получено выражение для амплитуды перехода, а также при помощи соотношения полноты когерентного состояния и метода интеграла по траекториям получены гамильтоновы уравнения движения в классическом пределе. Исходя из важности топологической фазы в квантовых явлениях, в параграфе 1.5, исходя из уравнения Шредингера с использованием спиновых когерентных состояний в действительной параметризации в явном виде получена фаза Берри. Вычислена фаза Берри для спиновых систем с и в группе SU(2), а также обобщенная геометрическая фаза для спиновых систем со значением спина в SU(3) группе.
Средние спиновых операторов и их произведений в различных группах
В нерелятивистской квантовой механике состояние системы описывается вектором гильбертового пространства (волновая функция) , который зависит от времени и некоторого количества других переменных в зависимости от рассматриваемой задачи. Эволюция квантовой системы во времени t описывается уравнением Шредингера: где И называют гамильтонианом системы, и является постоянной Планка. В дальнейшем для простоты частная производная по времени обозначается точкой ц/ = dti//. Полагается, что векторы состояния нормированы к единице:
Норма вектора состояния сохраняется во времени вследствие самосопряженности гамильтониана. Нормирование вектора состояния не устраняет произвольность в выборе вектора состояния в гильбертовом пространстве, поскольку произвольность в выборе фазовой постоянной все еще остается.
Теперь опишем задачу, которую рассмотрел М. Берри [28] в ее самой простой форме. Предположим для простоты, что гильбертово пространство является конечномерным, и вектор состояния представлен столбцом компонентов N где являются комплексными функциями некоторого множества переменных, которые будут определены позже. Любое решение уравнения Шредингера (1.93) с условием нормировки (1.94) определено до постоянного фазового множителя е @0,0О = const . Рассмотрим задачу о собственных значениях Нф = Еф, Е = const (1.96) где является когерентным состоянием. Предположим, что существует невырожденное энергетическое собственное значение Е, которое дифференцируемо зависит от X (функция переменных когерентного состояния). Также полагается, что собственная функция ф(Х) является дифференцируемой функцией X. Без потери общности полагаем, что собственная функция ф нормирована к единице, \ф\ф) = \. Далее это остается единственным условием вплоть до умножения на фазовый фактор, который может зависеть от X. В адиабатическом приближении, для медленно меняющегося гамильтониана, система остается в ее мгновенном собственном состоянии. Поэтому будем искать решение в виде: где мы отбросили общий фазовый фактор е1 и использовали коммутативность матриц Не1 = е1Н. Теперь умножим скалярно левую и правую стороны полученного уравнения на ф. В результате получим уравнение для фазы
Интеграл по X берется вдоль кривой Ці). Первый член в уравнении (1.100) называют геометрической или Берри фазой, а второй член называют динамической фазой. Отметим, что компоненты (1.101) действительны вследствие нормировки волновой функции. Действительно, дифференцирование условия нормировки (ф\ф) = 1 дает
Именно это подразумевает действительность компонентов (1.101) и, следовательно, действительность фазы Берри. Далее полное изменение фазы волновой функции равно интегралу = B-jdtE (1.103) где в Эта форма имеет геометрическую интерпретацию для фазы Берри в, которая задана первым членом в полученном выражении. Выражение для фазы Берри (1.104) может быть переписано как поверхностный интеграл по компонентам локальной формы кривизны. Используя формулу Стокса, получим следующее выражение компонентами локальной формы кривизны. Далее в рамках нерелятивистской квантовой механики вычислялась фаза Берри для спина частицы 1/2. Когерентное состояние для спина частицы 1/2 описывается следующей функцией [32]: где 5і является поверхностью в і?3 с границей Л,(/), и П(Х) является телесным углом поверхности S и направлен из начала системы координат. Этот результат не зависит от того, как параметры X зависят от времени [35].
Теперь также в рамках нерелятивистской квантовой механики вычислим фазу Берри для спина 1 частицы в SU(2). Когерентное состояние для спина 1 в действительных параметрах находится в следующей форме [32]:
Вычисление туннельного расщепления для Fe8 в группе SU(2)
Сформулировано определение когерентного состояния спина в действительной параметризации до группы SU(5). В этом представлении когерентного состояния исследован интеграл по траекториям и его классические следствия. Используя отношение полноты когерентного состояния, получено выражение интеграла по траекториям для амплитуды перехода, а в классическом пределе определены лагранжиан и классические уравнения движения. Эти формулировки могут быть использованы ниже, для разработки теоретико-полевой модели SU(n) гейзенберговской или негейзенберговской модели и изучения спектров возбуждений в них, нелинейных возбуждений, а также их топологических аспектов.
Мы записываем когерентные состояния в действительной параметризации, поскольку каждый параметр в этом представлении, связан с одной степенью свободы. В комплексной параметризации, каждый параметр связан с двумя или большим числом степеней свободы. Более того в физических задачах, первое представление весьма полезно.
Показано, что минимальное число динамических переменных (и, следовательно, уравнений для них), необходимых для рассмотрения всех взаимодействий, допускаемых величиной спина, равно 4S. Система 4S уравнений, которые описывают динамику магнитной материальной системы, явно получена на основе отдельных когерентных состояний для группы Ли
Физическая ситуация заключается не в определении наиболее важной функции, определяющей ориентационное движение вектора намагниченности, а в учете мультипольных степеней свободы, которые составляют важный элемент полной динамики.
Геометрическая фаза, которая очень важна в макроскопических квантовых явлениях, была получена на основе уравнения Шредингера. Для произвольных спиновых систем геометрическая фаза разработана при помощи обобщенных когерентных состояний спина группы SU(2) (это совпадает с известной фазой Берри). Для спиновых систем при помощи обобщенных когерентных состояний группы SU(3), установлена новая геометрическая фаза (подобная фазе Берри), связанная с возбуждением квадрупольных степеней свободы системы спина.
Этот метод может быть продолжен, чтобы получить обобщенную геометрическую фазу подобную фазе Берри в SU(N) группе, где . Фаза Берри имеет широкие приложения в оптике, магнитном резонансе, молекулярной и атомарной физике. 2.1 Введение
Магнитные системы обычно моделируются с помощью гейзенберговского обменного взаимодействия. Исследование магнитов с величиной спина является очень важным. Анализ одноионой и других типа анизотропии в гамильтониане спина усложнены вследствие возбуждения мультипольной динамики спина [15]. В этом случае число классических параметров, требуемых для полного макроскопического описания магнетика, возрастает до 4S, и процедура получения классических уравнений спина-мультипольной динамики должна быть основана на обобщенных когерентных состояниях, устанавливаемых на операторах соответствующей группы. До настоящего времени, магнитные системы были детально изучены для гейзенберговского ферромагнетика, динамика которого описывается уравнением Ландау-Лифшица для вектора намагниченности постоянной длины [16-20]. С точки зрения микроскопических моделей спина эта идея соответствует обменному гамильтониану Гейзенберга, с изотропным билинейным взаимодействием спина. Для спина S 1 изотропное взаимодействие не ограничено этим членом, и имеет более высокие инварианты, такие как с n до 2S. Полное исследование может быть проведено в одномерном случае со спином . Более высокие модели спина (и более высокой размерностью) требуют приближенных методов решения. Одним из них является, так называемый, метод пробной функции. Этот метод основан на минимизации гамильтониана относительно ряда пробных функций. Выбор таких функций предъявляет к методу требование чувствительности. Имеются определенные соображения и даже теоремы, призванные помочь нахождению таких функций. Обычно, эти идеи основаны на свойствах симметрии рассматриваемой системы. Теория симметрии в настоящем исследовании является наиболее мощным и эффективным инструментом. Именно по этой причине мы выбираем обобщенных когерентных состояний в качестве пробных функций для гамильтониана в данном исследовании.
В этой главе, сначала вычисляются средние от операторов спина в различных группах; это оказывается важным для вычисления классической формы гамильтониана. Затем когерентные состояния применяются для различных гамильтонианов и результатам полуклассических уравнений движения и дисперсии этих уравнений для малых линейных возбуждений над основным состоянием. В параграфе 2.3 обсуждается система с общим изотропным обменом между ближайшими соседями в рамках приближения среднего поля. Уравнения, описывающие изотропную негейзенберговскую одномерную модель, получены методом обобщенных когерентных состояний в действительной параметризации. В заключение вычислены дисперсионные соотношения гамильтониана для случая небольшого линейного возбуждения, для дипольной и квадрупольной ветвей спиновых волн. В параграфе 2.4 вычислено дисперсионное соотношение для неизотропного гамильтониана с подобными условиями.
Вычисления туннельного расщепления для Мn12 в SU(2) и SU(3) группах
В вышеприведенном обсуждении не объясняется, как должен вычисляться префактор D. Фактически, это вычисление отчасти является более тонким для спина, чем в случае массивных частиц. Если оценить гауссовы флуктуации, чтобы получить префактор непосредственно в случае массивной частицы, то результат окажется асимптотически некорректным, так как J [21]. Хотя этот момент возможно не настолько важен для численных оценок степени туннелирования в реальных физических установках, однако он является досадным недостатком теории. Хотя существуют другие методы интегрирования по траекториям, которые находят расщепление правильно [55,56], вычисления очень сложны, и простота, отмечаемая в случае массивной частицы, теряется.
Для спиновых интегралов по траекториям определение флуктуации является более трудным, потому что в отличие от частичных состояний, для которых если , спиновые когерентные состояния не являются ортогональными: вообще, даже, если . На первый взгляд, кажется, что необходимо включать дискретные траектории среди флуктуаций. Однако, оказывается это не так, и разбиением интеграла по траекториям на дискретные интервалы времени, может быть найден аналог определителя ван Флека (van Vleck), если обращать особое внимание на граничные условия по спиновым траекториям. Такие вычисления были сделаны несколькими авторами [6,57,58], но их результаты, как нам кажется, известны не достаточно широко. Автор считает, что, как только префактор ван Флека понят, префакторы туннелирования могут быть вычислены так же легко, как в случае массивных частиц [59], но за исключением работы [58] это, кажется, еще не получило широкой оценки.
Эффект спинового туннелирования в нано-частице Fe8 изучен методом инстантонных вычислений, используя SU(2) и SU(3) обобщенные когерентные состояния спина в качестве пробных функций.
Расщепление энергетического уровня вычислено при помощи интегралов по траекториям спиновых когерентных состояний, и показана их зависимость от возбуждения квадрупольной динамики. В этом случае, это возникает из-за присутствия в действии фазы подобной фазе Берри, которая приводит к интерференции между туннелирующими траекториями (инстантоны). Установлено, что использование SU(3) обобщенных когерентных состояний не только изменяют расположение точек подавления, но также и сокращает их число. Подробное теоретическое понимание квантовой спиновой динамики в различных молекулярных магнитах является важным шагом на пути к технологическим применениям этих систем. Квантовые эффекты и в ферромагнетике и в антиферромагнитных молекулярных кластерах, к настоящему времени, теоретически хорошо поняты. Ферромагнитные молекулярные кластеры позволяют изучать взаимодействие некогерентного квантового туннелирования и термоактивированного переноса между состояниями с различной спиновой ориентацией. Осцилляции фазы Берри, найденные в Fe8, являются следствием квантомеханической интерференции различных траекторий туннелирования. Антиферромагнитные молекулярные кластеры являются возможными кандидатам для наблюдения когерентного квантового туннелирования в мезоскопическом масштабе. Хотя, уже в пределах экспериментальной достижимости современной технологией возможны применения молекулярных магнитных кластеров для хранения и квантовой обработки данных.
Одно-молекулярные магниты (ОMM) такие как Mn12, Fe8 и Mn4, позволяют проводить новые исследования физики магнитных наноструктур. Эти материалы представляют собой кристаллы, состоящие из молекул, обладающих номинально идентичным высоким спина (S = 10 и меньшие) с преимущественно одноосной магнитной анизотропией. В частности значительный интерес связан с квантовым туннелированием намагничивания [60, 61]. Первые окончательные экспериментальные подтверждения туннельного расщепления в молекулярном магните Mn12O12(CH3COO)16(H2O)4 названных Mn12 были представлены Фридманом [62], см. Рис. 4.1. Он приложил магнитное поле вдоль легкой оси кристалла при различных температур и обнаружил кривую гистерезиса, акцентированную резкими шагами через равномерные интервалы поля [62], см. Рис. 2. Общей характеристикой молекулярных магнитов, ответственной за их интересное поведение, является сильная спин-спиновая спаривание между металлическими ионами в ядре молекулы. В этой магнитной молекуле имеется четыре атома Mn4+ (спин 3/2), окруженные восемью атомами Mn3+ (спин 2); они сохраняют относительную ориентацию, так, чтобы спин молекулы в целом был равен 10 (= 8(2)-4(3/2)) [62].
Фридман предложил следующее объяснение для этого странного поведения. Энергетические уровни молекул внутри кристалла располагаются в двухъямном потенциале, так, что каждая молекула является бистабильной по направлениям суммарного спина вверх и вниз вдоль легкой оси. Молекула может обладать только дискретным множеством энергетических уровней в любой яме, соответствующих одному из 21 зеемановских состояний для спина 10. При определенных значениях магнитного поля энергетические уровни по обе стороны ямы входят в резонанс, позволяя произойти туннелированию. См. Рис. 4.3.
Потенциал с двумя ямами для Мnj2 Здесь мы рассматриваем интерференцию, которая происходит между траекториями туннелирования в такой системе, и как на эту интерференцию могут повлиять мультипольными возбуждениями и наличие возмущения, обусловленного поперечной анизотропии второго порядка. Такое возмущение могло потенциально быть стимулировано приложением одноосного давления к образцу Мп12. Мы нашли, что обоих видов возбуждений туннельное расщепление периодически подавляется как функция мощности возмущений. Этот эффект интерференции имеет место в отсутствие какого-либо магнитного поля. В данном исследовании член анизотропии четвертого порядка является основной поперечной анизотропией в задаче, производящей четыре интерферирующих траектории, но интерференция модулируется мощностью анизотропии второго порядка, приводя к периодическому подавлению, поскольку этот член варьируется. В частности, мы считаем спин управляется гамильтонианом
