Содержание к диссертации
Введение
1. Литературный обзор 9
1.1. Малые частицы и их свойства 9
1.1.1. Теория малых частиц 9
1.1.2. Физические эксперименты, посвященные изучению малых частиц 22
1.1.3. Эксперимент, послуживший отправной точкой данных исследований 29
1.2. ЭВМ-эксперимент в моделировании физических структур 33
1.2.1. ЭВМ-эксперимент: общие положения 33
1.2.2. Метод молекулярной динамики 36
1.2.3. Вычислительные алгоритмы, используемые в методе молекулярной динамики 44
1.2.4. Расчет сил межатомного взаимодействия. Потенциалы взаимодействия 46
1.2.5. Потенциалы, используемые в расчетах металлических конфигураций 49
1.2.6. Современные многоатомные потенциалы 51
2. Методика 56
2.1. Параметры метода молекулярной динамики 56
2.1.1. Потенциалы взаимодействия 56
2.1.2. Граничные условия 60
2.1.3. Моделирование тепловых скоростей атомов 60
2.1.4. Единицы измерения 60
2.1.5. Метод диссипации как способ отвода энергии из системы . 61
2.1.6. Модификация метода молекулярной динамики для моде лирования структурных переходов 62
2.1.7. Описание алгоритма 65
2.2. Тестовые расчеты 68
2.2.1. Проверка изолированной конфигурации 68
2.2.2. Проверка конфигурации, погруженной в условно-бесконечный континиум , 69
3. Исследование изолированных кластеров икосаэдрической и ГЦК структур 75
3.1. Введение 15
3.2. Описание эксперимента 75
3.2.1. Строение кластеров 76
3.2.2. Детали метода молекулярной динамики 78
3.3. Результаты 79
3.3.1. Пространственный анализ 82
3.3.2. Энергетический анализ 96
3.3.3. Релаксация кластеров с одиночной вакансией 100
3.3.4. Стабильность и взаимные переходы структур 106
3.3.5. Кластеры, не имеющие четкой огранки 114
3.4. Выводы 117
4. Исследование икосаэдрических кластеров, интегрированных в ГЦК решетку 119
4.1. Введение 119
4.2. Описание эксперимента 119
4.2.1. Модель конфигурации с интегрированным икосаэдриче-ским кластером , 120
4.2.2. Детали метода молекулярной динамики 121
4.3. Результаты 322
4.3.1. Стабильность икосаэдрических кластеров и факторы на нее влияющие 123
4.3.2. Изменения в структуре икосаэдрического кластера 128
4.3.3. Изменения в структуре кристаллической решетки 131
4.4. Выводы 134
Заключение
- Эксперимент, послуживший отправной точкой данных исследований
- Модификация метода молекулярной динамики для моде лирования структурных переходов
- Стабильность и взаимные переходы структур
- Стабильность икосаэдрических кластеров и факторы на нее влияющие
Введение к работе
Исследование ультрадисперсного состояния вещества, особенностей строения и свойств, способов его получения представляет большой интерес как для фундаментальной науки о веществе, так и в прикладных исследованиях, таких как, например, микроэлектроника, в создании новых катализаторов на основе сверхмалых частиц; они используются в качестве армирующего элемента в керамиках и т. д. Между тем, о структуре и свойствах таких частиц известно явно недостаточно.
Данная работа посвящена изучению строения малых металлических частиц, или, как их называют все чаще в иностранной и русскоязычной литературе, микрокристаллитов или кластеров. Эти кластеры являются не просто уменьшенными фрагментами макросистем той же структуры; существует ряд свойств, которые проявляются только в частицах, имеющих размер от нескольких единиц до нескольких сотен ангстрем, когда соизмерим вклад поверхностной и объемной составляющих их полной энергии. Частицы такого размера исследуются сравнительно недавно, отчасти из-за несовершенства технологических приемов, не позволяющих получать столь малые объекты, отчасти из-за сложности самих исследований, не позволяющих с достаточной точностью определить атомную структуру кластеров. Прогресс в их изучении во многом связан с развитием численных методов моделирования, в которых вместо дорогостоящих натурных экспериментов исследуется математическая модель. Так или иначе, физика малых частиц только начинает свое развитие.
Тема работы
Диссертация посвящена теоретическому исследованию малых частиц (кластеров), имеющих как ГЦК, так и икосаэдрическую структуру, сравнению их свойств; кроме того исследуется поведение икосаэдрических кластеров, помещенных в кристаллическую матрицу гранецентрированной структуры. Исследование производится методами математического моделирования.
6 Цель работы
Исследование малых частиц с ГЦК и икосаэдрической структурами — пространственный и энергетический анализ, а также проверка стабильности подобных структур,
Изучение трансформации частиц от одной структуры к другой, как спонтанное, так и вызванное нагревом и связанной с ним повышенной кинетической энергией атомов, достаточной для преодоления энергетического барьера трансформации. Оценка величины барьера при помощи специально разработанной модификации метода молекулярной динамики.
Исследование свойств малых частиц различных материалов и их сопоставление с параметрами соответствующих потенциалов межатомного взаимодействия.
Изучение критериев, способствующих или препятствующих образованию малых частиц икосаэдрической структуры, а также сохранению ими своей структуры при интеграции (внедрении) их в матрицу ГЦК решетки.
Научная новизна
Проведен всесторонний анализ малых частиц икосаэдрической структуры в широком диапазоне размеров для различных материалов. Проведено сравнение таких частиц с малыми частицами, имеющими гранецснтрир о ванную структуру. Обнаружена и объяснена корреляция свойств малых частиц обеих структур с параметрами потенциалов взаимодействия, которые в свою очередь определяются упругими константами реальных материалов. Таким образом, получены качественные критерии, определяющие возможность образования икосаэдрических структур в каждом конкретном материале.
При помощи специальной методики оценена величина энергетических барьеров трансформации малых частиц из гранецентрированной структуры в икосаэдрическую. Методика имеет универсальный характер и может при- меняться для исследования любых трансформаций в кристаллических решетках.
3. Выполнены исследования поведения малых частиц икосаэдрическои структуры, помещенных в матрицу ГЦК решетки. Получены качественные критерии, позволяющие таким частицам максимально сохранить свою структуру при взаимодействии с атомами кристаллической решетки.
Практическая ценность работы
Результаты данной работы могут быть использованы в выборе материалов, наиболее подходящих для модификации путем армирования нанокластерными структурами.
Положения, выносимые на защиту
Свойства малых частиц икосаэдрическои и гранецентрированной структур в связи с их размерами и параметрами потенциалов взаимодействия.
Значения энергетических барьеров трансформации структуры малых частиц, а также методика, позволяющая получать эти значения.
Поведение малых частиц икосаэдрическои структуры, интегрированных в кристаллическую ГЦК решетку. Качественные критерии устойчивости та- ' ких структур.
Личный вклад автора
Разработаны содержание и модель вычислительных экспериментов, исследующих свойства малых частиц икосаэдрическои и гранецентрированных структур.
Разработана модификация стандартного метода молекулярной динамики для моделирования трансформации структуры малых частиц.
Разработана и реализована компьютерная программа, реализующая метод молекулярной динамики со всеми модификациями.
Проведены серии экспериментов, исследующих поведение малых частиц.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе приведен литературный обзор. Пункт 1.1 обзора посвящен теории малых частиц, их особенностям по сравнению с макросистемами, а также физическим экспериментам в этой области. Пункт 1.2 дает определение компьютерному эксперименту в целом, а также выбранному методу — молекулярной динамике —в частности.
Во второй главе содержится методика реализованных вычислительных экспериментов, приведены и обоснованы параметы метода молекулярной динамики, выбранные потенциалы межатомного взаимодействия. Также приведены тестовые расчеты, предназначенные для проверки достоверности результатов, получаемых при помощи данной методики.
Третья и четвертая главы посвящены результатам вычислительных экспериментов. Каждая из этих глав имеет краткое введение, в котором описывается экспериментальная модель и исходные данные, а также краткие выводы, подводящие итог результатам, приведенным в этой главе.
В третьей главе приведены результаты исследования изолированных малых частиц икосаэдрической и кубооктаэдрической структур, строение и свойства таких частиц, и связь этих свойств с параметрами потенциалов межатомного взаимодействия.
В четвертой главе исследовано поведение икосаэдрических кластеров, интегрированных в условно-бесконечную гранецентриро ванную кристаллическую решетку, определены факторы, влияющие на стабильность таких образований, рассмотрено взаимодействие таких кластеров и самой кристаллической решетки.
В заключении приведены итоговые выводы, которые кратко резюмируют полученные результаты исследований.
Эксперимент, послуживший отправной точкой данных исследований
Магические числа кластеров с одной и той же структурой могут не совпадать, что, как говорилось выше, свидетельствует о заполнении разных оболочек в разных случаях, что может зависеть от выбранного потенциала взаимодействия, температуры, используемой в модели и т. д. Из-за этого же не всегда согласуются магические числа, полученные разными авторами, поскольку в разных экспериментах кластер наращивался разными способами. Тем не менее, в одном сходятся все исследователи: икосаэдр с заполненной внешней оболочкой является стабильной и энергетически выгодной структурой. Соответственно сходятся и сами магические числа, полученные для икосаэдра.
« Ряд исследований был посвящен тому, как изменяется плотность расположения атомов в объеме малых частиц. Для малых частиц характерно большое влияние поверхностной энергии на внутреннее строение. При уменьшении их размера уменьшается радиус кривизны поверхности, как следствие — увеличивается число свободных связей у атомов и увеличивается поверхностная энергия в расчете на единицу поверхности. Все это должно, согласно теоретическим изысканиям, приводить к уменьшению параметра решетки кластера, его сжатию.
Результаты в разных моделях были получены прямо противоположные. Так, в модели поведения упругой сферической частицы [30] было обнаружено, что частица сжимается под воздействием сил поверхностного натяжения в случаях, когда радиус кривизны достаточно мал. Согласно модели, в такой частице поверхностный слой до некоторой глубины должен оставаться недеформирова-ным, а деформации подвергаться должны внутренние слои.
В другой модели [31], расчитанной с использованием метода молекулярной динамики, были получены противоположные результаты. Исследовались малые частица золота, размером порядка тысячи атомов формой, близкой к сферической, радиусом 20 А. Под воздействием сил межатомного взаимодействия (тепловые колебания атомов не рассматривались) эти частицы релаксировали таким образом, что межатомные расстояния уменьшались в среднем на 3.9% в центральных слоях кластера, и до 4.51% в наружных слоях. Обнаруженная деформация была неоднородна как по радиусу, так и по кристаллографическим направлениям, так наименьшему изменению подверглось расстояние 111 , наибольшему — 100 .
Специфика релаксации в зависимости от выбора потенциала межатомного взаимодействия была рассмотрена в [32]. Прежде всего было установлено, что для потенциалов, обеспечивающих взаимодействие только ближайших соседей, поверхностная деформация малых частиц отсутствует, и появляется только при «удлинении» потенциала хотя бы до атомов следующей координационной сферы. Была выявлена следующая зависимость характера релаксации от потенциала взаимодействия. Пусть Q= V"(2a), где а—нормальное расстояние между ближайшими атомами, а Р = V f(a), тогда в том случае, когда Q О, а Р 4\Q\t то релаксация уменьшается при движении от поверхности к центру экспоненциально с показателем степени q, равным:
Знак в (1.9) выбирается таким образом, чтобы \Ь\ 1. Если же Q О и Р 4Qt то релаксация является к тому же знакопеременной, зависящей от номера слоя. Было показано, что релаксация приводит как к уменьшению, так и к увеличению объема кластера.
В других работах [33] была получена степенная зависимость спадения релаксации при движении от поверхности к центру, результат был получен в моделировании металлических кластеров. В данной модели фигурировала осцилляция плотности вырожденного электронного газа, вызываемая поверхностными эффектами.
Рассмотрим подробнее строение кластеров, обладающих пятерной симметрией, таких как декаэдр и исосаэдр. Для начала несколько слов о кластерах, состоящих буквально из нескольких атомов. В модели, описывающей взаимодействие метал ических частиц, атомы под воздействием дальнодеиствующих сил стремятся образовать такую конфигурацию, чтобы все межатомные расстояния были примерно одинаковыми и соответствующими некоему оптимальному расстоянию го, определяемому выбранным потенциалом взаимодействия. Отсюда ожидаемыми конфигурациями для трех-, четырех-, пятиатомных кластеров стали плотные упаковки атомов: правильный треугольник, тетраэдр и бипирами-да соответственно [34]. Дальнейшее увеличение атомов образовывает тетраэдры на гранях кластера.
Среди всех сверхмалых частиц для нас наибольший интерес представляет 13-атомная конфигурация [35]. В оригинале эта конфигурация является фрагментом гранецентрированной кубической решетки в форме кубооктаэдра. Многочисленные расчеты [35-38] показали, что эта конфигурация является метастабиль-ной и под воздействием сил межатомного взаимодействия трансформируется в правильный икосаэдр. Такое преобразование известно давно и впервые рассмотрено Маккеем [39]. В нем восемь треугольных граней {111} кубооктаэдра поворачиваются вокруг своих осей на угол порядка 22 градусов, вследствие чего каждая из шести квадратных граней {100} образует две смежные грани, доводя общее число граней до 20. Новая конфигурация обладает гораздо более низкой потенциальной энергией, поэтому переход «кубоэктаэдр — икосаэдр» в большинстве модельных экспериментов происходит спонтанно. Расчеты проводились как с использованием потенциала Леннарда-Джонса [35,36], так и с использованием потенциала Морзе [40], обладающего большим дальнодействием.
Икосаэдр —не единственная 13-атомная конфигурация, так, в [41] обнаружено, что помимо икосаэдра, обладающего наибольшей стабильностью, существует еще порядка тысячи конфигураций, являющихся метастабильными и имеющих энергии близкие к минимальным (в случае моделирования при помощи потенциала Леннарда-Джонса). Интересно отметить, что при использовании потенциала Морзе число изомеров значительно уменьшается, что по видимому связано с его повышенным дальнодействием. В этой же работе 13-атомная ико-саэдрическая конфигурация выделена изо всех остальных как некий кирпичик, из которого образуются более крупные атомные ансамбли.
Икосаэдрическая структура сохраняет стабильность и энгергетическое преимущество и при увеличении числа входящих в нее атомов, так в [37, 38] отмечен спонтанный переход 55-атомных кубооктаэдров в икосаэды, более крупные структуры размерами 147, 309 и более атомов также сохраняют свои свойства.
Икосаэдрические кластеры можно представить как совокупность из 20 незначительно деформированных тетраэдров (деформация составляет порядка 5% [39]). Все внешне грани икосаэдрических кластеров принадлежат семейству {111}, атомы, располагающиеся на гранях образуют что-то вроде гексагональной упаковки [39], в обоих случаях такое размещение обладает минимальной конфигурационной энергией.
Но поскольку симметрия пятого порядка, присущая икосаэдру, недопуси-ма в макрокристалах, с увеличением размера икосаэдрического кластера в нем нарастают напряжения, связанные с деформацией внутренних слоев, либо же нарастает объем внутренних пустот2, вследствие чего выигрыш в поверхностной энергии должен с ростом размера кластера все больше подавляться проигрышем в энергии внутренней. Значит должен существовать некий критический размер икосаэдрического кластера, после которого он перестает давать выигрыш в потенциальной энергии и должен замещаться регулярными структурами, такими, как, например, ГЦК.
Модификация метода молекулярной динамики для моде лирования структурных переходов
Наиболее интересные результаты были получены во втором случае, когда малые частицы сохраняли свою первоначальную форму, приобретенную в отсутствии внешних граничных условий. Очевидно, что в этом случае свойства полученных кластеров должны лучше удовлетворять теории поведения малых частиц. Эти частицы представляли собой совокупность из одного или нескольких тэтраэдров, размер, форма и число которых непроизвольны. Пять тетраэдров образовывают декаэдр [46], двадцать — икосаэдр [55]. Обе формы имеют только грани {111}, следовательно, обладают наименьшей возможной поверхностной энергией и максимальной стабильностью. Размеры частиц варьировались от 25 до сотен ангстрем.
Исследования малых металлических частиц показали предсказанную теорией сильную корреляцию их свойств с размером. В частности, было обнаружено изменение кристаллической структуры, направленное на уменьшение поверхностной энергии. В исследованиях кластеров свинца [56] наблюдалось сосуществование как плоских граней, так и скругленных участков, причем для последних выполнялось теоретически предсказанное соотношение. В экспериментах с малыми частицами индия [57] кластеры принимали практически правильную сферическую форму. Для золота [56] скруглення поверхности кластеров не наблюдались, все границы между гранями были резкими даже при высоких температурах. В [58] наблюдалась перестройка граней {100} кластеров золота.
Наблюдалась теоретически предсказанная перестройка кристаллической структуры малых частиц, приводящая к понижению поверхностной энергии. Так, в [5] наблюдалась перестройка частиц хрома из обьемноцентриро ванной в гранецентрированную кристаллическую форму. То же было обнаружено в [59] для малых частиц ниобия, молибдена, вольфрама и тантала размером 50-=-100 А, в экспериментах кластеры приобретали гранецентрированную или гексагональную структуру, вместо традиционной для данных материалов ОЦК. Позднее такая перестройка была обнаружена для других материалов.
В ряде экспериментов кластеры вообще теряли всякую структуру, аморфизировались, в частности это наблюдалось в малых частицах кадмия [60], железа [61]. По всей видимости для данных кластеров именно аморфизация, случайное распределение атомов приводила к получения оптимальной поверхности, характеризующейся минимальной энергией.
Как было отмечено выше, согласно теоретической модели у малых частиц должно наблюдаться уменьшение параметра решетки, вызванной сжатием частицы под воздействием сил поверхностного натяжения.
Отметим сразу, что исследования изменений параметра решетки в малых частицах показали двоякий результат, в ряде экспериментов параметр решетки увеличивался с уменьшением размера кластеров. В других случаях он оставался неизменным, как например в исследованиях малых частиц алюминия размером 30 А, у аэрозоли свинца и висмута с размерами частиц 50 А и 80 А [62]. В исследованиях малых частиц меди [63] изменения параметра решетки не было обнаружено в кластерах размером 50 А, и только в очень малых кластерах, размером 7 А, было обнаружено уменьшение этого параметра на 2%.
В качестве причины такого «разнобоя» в результатах были предложены [1] неудовлетворительные, «грязные» условия проведения физического эксперимента, например, некачественный вакуум, приводящий к образованию соединений атомов исследуемого металла с примесными атомами. В экспериментах, проводимых в условиях сверхвысокого вакуума, всегда наблюдается сжатие кластеров с уменьшением их размера [64, 65].
В [66, 67] измерения параметра решетки производились электронногра-фическим методом. Исследовались малые частицы золота, серебра, алюминия, свинца, висмута и цинка. Было установлено, что сжатие частицы происходит в разных направлениях по-разному (это было установлено в результате анализа линий на элекронограммах, характеризующих изменение межплоскостных расстояний в в различных направлениях [67]).
В [68] исследовались частицы алюминия, выращенные на подложке из MgO, исследованию подвергались частицы размером от нескольких десятков до 150 ангстрем, исследования более крупных частиц были затруднены в связи со сложностью аппроксимации их формы как сферической- Но кроме этого обнаружилось, что максимальное сжатие происходит в частицах, имеющих наиболее правильную сферическую форму. Анализ результатов не обнаружил различия степени сжатия по направлениям 100 и 110 . В самых малых кластерах, для которых были получены достоверные результаты, уменьшение длины параметра решетки составило 1.7%. Далее, с увеличением размера, это изменение уменьшается и для кластеров размером больше 100 А устанавливается на пределе погрешности.
Кроме этого, в малых частицах было обнаружено ранее предсказанное в модельных расчетах изменение параметра решетки при движении от центра к поверхности частицы. Основанием для таких расчетов послужили экспериментальные данные о релаксации приповерхностной области, так, например, в [69] такая релаксация была обнаружена у грани {111} массивного монокластера платины с гранецентрированой структурой решетки. Подобные деформации, следовательно, должны быть присущи и малым частицам. Изначально теоретические модели [30, 31], как было сказано выше, давали противоречивые результаты того, как должны изменяться межатомные расстояния в объеме малой частицы. Результаты [68] показали, что в объеме кластера наибольшей деформации подверглись наружные слои. Аналогичные результаты были обнаружены в исследованиях атомных плоскостей в крупных (размером более ста ангстрем) частиц золота с гранецентрированной кубической структурой: уменьшение в приповерхностных слоях составило порядка 3-ь4%. Толщина такого слоя составляет по крайней мере 10 А.
Стабильность и взаимные переходы структур
Создание новых материалов — одна из главных задач современной физической науки. Стимулом и средством к этому послужили бурный рост ядерной энергетики, исследования в области термоядерного синтеза, повышаются требования к конструктивным материалам, используемых в военной промышленности, в стоительстве, в наукоемких технологических процессах, связанных, к примеру, с космическими программами. Дальнейшее развитие науки и техники будет предъявлять еще более жесткие требования, так, например, исследования в области термоядерного синтеза требуют материалов, пригодных для долговременной работы в условиях высоких температур и мощного нейтронного излучения. Уже имеющиеся материалы, подвергавшиеся радиационному облучению, нередко приобретают новые свойства. С другой стороны, повышение интереса к малым частицам — кластерам—требует изучения их свойств и путей их образования.
Одним из основных свойств любого материала является его структура. Изменение макроскопических свойств, например, в результате облучения, отражает изменение внутренней структуры, следовательно изучение этих изменений позволит выявить природу взаимодействия атомов вещества с радиационным излучением, закономерности этих изменений, однако исследование структуры в ряде случаев невозможно обычными методами, такими как, например, рентгено-структурный анализ. Кроме того зачастую процессы, происходящие в веществе, приходится изучать лишь по их следствиям, например, по концентрации и характеру дефектов структуры. Сами же процессы, ввиду своей скоротечности, не могут быть исследованы современными методами.
Так, например, в процесс образования первичных радиационных повреждений в кристалле под воздействием ускоренных частиц и излучений вовлекаются сотни и тысячи атомов, что делает невозможным непосредственное применение аналитических методов. В то же время из-за скоротечности процессов первичного дефектообразования (типичное время — Ю-13 4-10 14 сек) исключается их прямое экспериментальное исследование.
С другой стороны, сами образованные дефекты зачастую не могут быть изучены достаточно подробно. Под термином «дефект» здесь и далее понимается нарушение структуры вещества, периодичности размещения атомов в некоторой области. Эти дефекты могут перемещаться в пределах образца, взаимодействовать друг с другом и с окружающей идеальной структурой, образовывать целые ансамбли, и таким образом заметно влиять на макросвойства вещества. Но малые размеры каждого отдельно взятого дефекта не позволяют изучить их достаточно подробно, уяснить их атомную структуру.
Однако бурное развитие вычислительной техники за последние годы открыло дорогу новому типу исследований: численному, машинному моделированию или, другими словами, компьютерному эксперименту. Наиболее существенную роль компьютеры в научных исследованиях играют там, где требуется огромное количество численных расчетов или задачи не могут быть решены простыми аналитическими методами, в частности, задачи многих тел. Численное моделирование, хоть и не дает общего решения, позволяет исследовать поведение отдельно взятой конфигурации при строго заданных условиях (например, при температуре абсолютного нуля и отсутствии внешнего давления). Далее, для выяснения закономерностей в свойствах и поведения таких конфигурация требуется проведение серий экспериментов с различными условиями. Здесь наблюдается прямая аналогия с классическими экспериментальным накоплением фактов и последующим построением эмпирических зависимостей и аналитических формул.
Можно выделить следующие этапы компьютерного эксперимента [93]: Построение физической модели изучаемого явления. Для этого используются имеющие данные о строении, сущности и поведении исследуемого объекта, знание действующих физических законов. Часто первоначальная модель впоследствии видоизменяется, подстраивается под накопленный массив результатов эксперимента. Далее разрабатывается математическая модель явления, которая обязательно должна соответствовать физической модели, а кроме того, использовать по возможности меньшее число различных приближений и огрублений, чтобы не закладывать фундамент для будущих качественных и черезмерных коли чественых погрешностей в результатах. В этом и ощущается преимущество использования ЭВМ перед аналитическими методами, поскольку даже в описании простейших явлений зачастую задействованы сотни и тысячи объектов. Так, для определения состояния системы, состоящей из тысячи атомов, требуется решение системы из шести тысяч дифференциальных уравнений (для самых простых моделей взаимодействия). Сокращение же числа «участников» требует введения упрощающих допущений, обобщений, что сводит на нет адекватность описания реального поведения объекта. Далее разрабатывается дискретная модель алгоритма, производящего решение ранее разработанной математической модели. Как правило, на данном этапе выбираются численные методы решения, удовлетворяющие критериям скорости работы и обеспечиваемой точности вычислений. Поскольку очень часто эти два критерия являются взаимоисключающими, выбор конкретного метода определяется характером эксперимента—качественным или количественным, также часто могут использоваться одновременно различные методы: сначала более быстрые обеспечивают рассмотрения множества вариантов решения, из которых выбираются наиболее интересные и «обтачиваются» с использованием более точных методов. На следующем этапе разработанные алгоритмы переводятся на языки программирования, выбранные под имеющийся в распоряжении класс ЭВМ и конкретную вычислительную платформу. Также на этом этапе разрабатываются форматы входных и выходных данных, решаются вопросы о взаимодействии с другими подобными системами. Следующий этап наиболее подходит под определение эксперимента. В нем, как и в обычном физическом эксперименте, модель изучаемого объекта подвергается исследованиям при различных внешних (таких как температура, давление) и внутренних (например, силах взаимодействия) условиях. Откликом на эти изменения будут изменения в выходных данных. Математическая модель, заложенная в памяти ЭВМ, таким образом «реагирует» на изменение условий эксперимента, в полном соответствии с реальным физическим объектом.
Стабильность икосаэдрических кластеров и факторы на нее влияющие
Если не выводить эту избыточную энергию, то она приведет систему из одного неравновесного состояния в другое, из него —обратно в исходное и так далее, система начинает осциллировать с очень медленным угасанием амплитуды колебаний, вызванным дискретностью расчетов (Д/ 0) и связанной с ней потерей энергии. В этом случае требуется огромное число итераций для того, чтобы система «успокоилась», то есть пришла в равновесие. Необходимы другие способы отвода энергии. Некоторые исследователи используют для этого искусственно введенные силы трения [93]. В этом случае в качестве одного из компонентов граничных условий используются силы, зависящие пропорционально от скорости. Но этот метод связан с необходимость подбора коэффициента пропорциональности.
Для отвода энергии в наших экспериментах использовался метод искусственной диссипации, впервые предложенный в [97]. Суть его заключается в том, чтобы зафиксировать систему в момент достижения ею локального максимума в кинетической энергии. Для этого текущее значение кинетической энергии на каждой итерации сравнивалось с соответствующим значением, полученным на предыдущем шаге. Если текущее значение меньше предыдущего, это говорит о том, что на предыдущем шаге был достигнут локальный максимум потенциальной энергии. При обнаружении этого явления все скорости атомов искусственно занулялись, и со следующего шага релаксация начиналась как бы заново, под воздействием лишь неравновесных сил межатомного взаимодействия.
В случае, когда система релаксирует при ненулевой температуре, вместо обнуления скоростей атомов им присваивались случайные скорости в соответствии с вышеописанным алгоритмом.
Как показали эксперименты, диссипация происходит в среднем каждые семь итераций. Конечно, такой способ является искусственным, и его нельзя применять в тех расчетах, где требуется исследования поведения системы в реальном времени с реальными скоростями, как, например, в расчетах радиационных каскадов. Но в нашем случае метод диссипации хорошо проявил себя для определения стабильных конфигураций, а тестовые расчеты, приведенные ниже, показали достоверность результатов моделирования, полученных с использованием этого метода.
В ряде экспериментов возникала необходимость исследования переходов из метастабильного состояния в стабильное. При этом нужно было определить, во-первых, возможность самого перехода, а в случае, когда переход возможен, определить высоту энергетического барьера, которые необходимо преодолеть во время перехода. При этом известно, что барьер существует, то есть конфигурация не переходит в стабильное состояние из метастабильного самопроизвольно, в процессе релаксации. К тому же использование диссипации для отвода кинетической энергии препятствует миграции атомов, зачастую необходимой для перехода.
Под энергетически барьером в данном случае понимается следующая разность: где EQ — начальная конфигурационная энергия системы, Етах максимальная конфигурационная энергия системы в процессе перехода из метастабильного состояния в стабильное.
То есть энергетический барьер для системы определяется так же, как для одиночных атомов, для которых также существуют и рассчитываются энергетические барьеры, например в моделировании миграции вакансий и межузельных атомов. Несмотря на то, что конфигурация состоит из многих атомов, в данном случае она рассматривается как одно целое, в наших расчетах не предусматривался расчет собственного барьера для каждого атома, входящего в исследуемую конфигурацию.
Один из вариантов решения — вводить температурные колебания, то есть нагревать конфигурацию и следить за ее состоянием. Если кинетическая энергия, приобретенная системой в процессе нагрева, является достаточной, то это может привести к переходу из одного состояния в другое, и, как правило, такой переход осуществляется (из-за того, что тепловые скорости являются случайными величинами, и, как следствие, вся система является стохастической, в каждом конкретном эксперименте можно говорить только об определенной вероятности перехода). Но этот подход используется только для определения принципиальной возможности перехода состояний, точно определить высоту энергетического барьера, особенно в случае конфигураций из сотен и тысяч атомов, не представляется возможным. Кроме того, в ряде случаев необходимо получить траектории перемещения атомов в процессе перехода. В случае перехода под воздействием случайных тепловых колебаний приходится проводить много серий экспериментов, моделирующих один и тот же переход, чтобы усреднением многих полученных результатов получить более-менее точную траекторию.
