Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Бозонная модель Хаббарда 11
Глава 2. Квантовые алгоритмы Монте-Карло 19
2.1. Дискретный алгоритм 19
2.2 Особенности дискретного алгоритма 22
2.3. CTWL-алгоритм 24
Глава 3. Переход мотговскии изолятор - сверхтекучесть в одномерной бозонной модели Хаббарда 27
Глава 4. Одномерная редуцированная бозонная модель Хаббарда 36
4.1. Введение 36
4.2. Область отталкивания 38
4.3. Область притяжения 45
4.3.а. Основное состояние одночастичной и двухчастичной сверхтекучей жидкости 45
4.3.б. Отклик на калибровочную фазу 48
4.4. Спиновая цепочка с аксиальной симметрией 51
4.5. Заключение 53
Глава 5. Квазиконденсация в двумерном взаимодействующем бозе-газе 56
Глава 6. Квазиконденсация в двумерном взаимодействующем разупорядоченном бозе-газе 71
6.1. Введение разупорядочения в двумерную модель и расчет сверхтекучей плотности 71
6.2. Обработка гистограмм для локальных корреляторов 75
6.3. Корреляционные свойства системы с разупорядочением 79
Заключение 84
Литература 87
- Особенности дискретного алгоритма
- Основное состояние одночастичной и двухчастичной сверхтекучей жидкости
- Квазиконденсация в двумерном взаимодействующем бозе-газе
- Корреляционные свойства системы с разупорядочением
Введение к работе
За последнее десятилетие в физике конденсированного состояния наблюдается резкий качественный скачок, связанный с возможностью исследования сложных систем методом численного моделирования на компьютерах. Это привело к тому, что компьютерное моделирование считается сейчас «третьим путем» развития науки, помимо традиционных теоретического и экспериментального, более близким, однако, к эксперименту: как и в ' эксперименте, результатом численного моделирования являются численные данные, а качество компьютерного эксперимента определяется погрешностью полученных результатов. Очень часто возникают ситуации, когда осуществление реального эксперимента не представляется возможным ввиду чрезвычайной сложности постановки, а теоретическое рассмотрение затруднено из-за отсутствия в задаче малых параметров (ситуация, типичная в физике твердого тела). В этих случаях компьютерное моделирование является единственным средством получения качественных и даже количественных результатов.
Квантовые методы Монте-Карло занимают особое место среди численных методов исследования сильно-коррелированных систем, так как являются единственно возможными при изучении больших (число частиц больше 100) систем, вычисляя квантовомеханические средние с асимптотической точностью при конечных температурах.
Основываясь на фейнмановском представлении интегралов по траекториям [1], квантовую /7-мерную задачу сводят к л^-і-мерной классической, а затем, используя представительные выборки, решают nN- мерное уравнение Шредингера (ЛАчисло частиц в системе) - задачу, слишком сложную для решения аналитическими методами.
Квантовый траекторный алгоритм Монте-Карло является идеальным средством для изучения низкоразмерных бозонных моделей Хаббарда, позволяя вычислять такие характеристики систем, как одночастичная матрица плотности, многочастичные корреляции, критические значения параметров системы в точках фазовых переходов при нулевой температуре. Интерес к низкоразмерным системам взаимодействующих бозонов сильно возрос после экспериментального открытия в 1995 году бозе-конденсации в ультрахолодных газах [см. обзор 43 и ссылки в нем]. Сейчас с помощью траекторных алгоритмов Монте-Карло успешно исследуется поведение жидкого гелия в пористых структурах [44], явления бозе-конденсации в оптических решетках различной размерности [45, 46], поведение атомов водорода на поверхности жидкого гелия [35,42], сверхтоковые состояния в низкоразмерных структурах [47].
Структура и объем диссертации:
Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения. Общий объем - 92 страницы, включая 31 рисунок, 2 таблицы и список цитируемой литературы из 56 наименований.
В первой главе рассматривается бозонная модель Хаббарда и ее модификации, описывающие низкоразмерные системы взаимодействующих бозонов, исследованные в диссертации. Обсуждаются качественные фазовые диаграммы модели, ренорм-групповые уравнения.
Во второй главе диссертации дается краткое описание дискретного и непрерывного квантовых алгоритмов Монте-Карло, с помощью которых проводится исследование бозонных систем. Обсуждаются характерные особенности алгоритмов, их применимость к различным задачам.
В третьей главе рассматривается одномерная соизмеримая бозонная модель Хаббарда при помощи дискретного квантового алгоритма Монте-Карло, исследуется фазовый переход сверхтекучесть - моттовский изолятор Костерлиц-Таулессовского типа, вычисляется критическое значение точки фазового перехода. Также в этой главе проводится сравнение значений, полученных с помощью дискретного алгоритма с результатами точной диагонализации (для небольших кластеров). Показано, что в пределах статистической ошибки дискретный алгоритм дает точные значения энергии системы.
В четвертой главе исследуется «редуцированная» бозонная модель Хаббарда - с запретом заполнения на узле больше 2 частиц. Как показано в данной главе, общепринятая точка зрения о том, что редуцированная модель является хорошим приближением при рассмотрении полной модели [2,3], -неверна: обнаружено, что редуцированная модель не испытывает фазового перехода и находится в состоянии изолятора при любом сколь угодно малом положительном параметре взаимодействия, хотя и обладает достаточно малой моттовской щелью. В случае притяжения, когда редуцированная модель является стабильной (в отличие от полной модели), был обнаружен фазовый переход от одночастичной сверхтекучей жидкости к двухчастичной. Также в этой главе проведена аналогия между редуцированной бозонной моделью и анизотропной спиновой цепочкой.
Пятая и шестая главы посвящены исследованию двумерного слабовзаимодействующего бозе-газа. Расчеты проведены при помощи CTWL- алгоритма [4]. Изучено явление квазиконденсации в двумерной системе в присутствии и без разупорядочения. Получены локальные корреляционные характеристики системы; оказывается, локальные корреляторы очень сильно чувствительны к силе межчастичного взаимодействия, но практически не зависят от разупорядочения. Эффект уменьшения скорости неупругих процессов в т! раз в присутствии квазиконденсата, наблюдающийся в идеальном газе, с ростом взаимодействия быстро подавляется. Получены также глобальные характеристики системы - сверхтекучая плотность и одночастичная матрица плотности, продемонстрировано изменение характера поведения одночастичнои матрицы плотности при фазовом переходе - степенной характер поведения сменяется на экспоненциальный.
В Заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Цель и основные результаты исследований, проведенных в настоящей диссертации:
Цель работы - численное исследование различных фазовых переходов в низкоразмерных системах взаимодействующих бозонов (сверхтекучесть -моттовский изолятор, одночастичная жидкость - двухчастичная жидкость, квазиконденсация бозонов в двумерных системах).
Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем: С помощью квантового траєкторного алгоритма Монте-Карло проведен корректный расчет критического значения для фазового перехода сверхтекучесть - моттовский изолятор для соизмеримой одномерной бозоннои системы. Рассчитанная критическая величина (t/U)c = 0.300 ±0.005 совпадает с полученными в [5] результатами комбинированного метода «ренорм-группа + точная диагонализация» в пределах погрешности. Расчет проведен со стороны диэлектрической фазы. Вблизи критической точки продемонстрировано типичное костерлиц-таулессовское поведение величины моттовской щели;
С помощью квантового траєкторного алгоритма Монте-Карло проведено исследование редуцированной бозоннои модели Хаббарда. В случае отталкивания и соизмеримого заполнения было продемонстрировано, что точка фазового перехода моттовский изолятор - сверхтекучесть находится на фазовой диаграмме далеко от соответствующей точки для полной модели. В случае притяжения был обнаружен фазовый переход от одночастичнои сверхтекучей жидкости к двухчастичной. Проведена аналогия редуцированной бозоннои модели с анизотропной спиновой цепочкой;
Одномерный CTWL-алгоритм [4] модифицирован в двумерный для расчета корреляционных свойств двумерных бозонных моделей; с помощью CTWL-алгоритма проведено детальное исследование корреляционных свойств двумерного бозе-газа. Проведены сравнения поведения одночастичнои матрицы плотности системы и локальных характеристик, ответственных за скорость рекомбинации в реальных экспериментах. Найдено, что появление в системе квазиконденсатиых флуктуации изменяет локальные корреляции между частицами даже вдали от критической точки Костерлица-Таулесса. Амплитуда эффекта уменьшения скорости неупругих процессов в т! раз в присутствии квазиконденсата оказалась очень чувствительной к силе межчастичного взаимодействия.
С помощью CTWL-алгоритма проведено исследование корреляционных свойств двумерного бозе-газа в присутствии разупорядочения. Показано, что беспорядок оказывает влияние лишь на сверхтекучие свойства, оставляя локальные корреляционные свойства системы практически без изменения.
Показано, что корреляционные свойства двумерного бозе-газа характеризуются двухмасштабностью: корреляционные длины фазы и плотности существенно различны: Rc » гс.
На зашиту выносятся следующие основные положения:
Определение квантовым траекгорным методом Монте-Карло критической точки фазового перехода сверхтекучесть - моттовскии изолятор для одномерной бозонной модели Хаббарда и демонстрация костерлиц-таулессовского поведения моттовской щели.
Расчет критической точки фазового перехода сверхтекучесть -моттовскии изолятор для одномерных полной и редуцированной бозонных моделей Хаббарда в случае потенциала отталкивания. Доказательство реализации фазового перехода от одночастичной сверхтекучей жидкости к двухчастичной в случае потенциала притяжения для редуцированной модели. Демонстрация аналогии со спиновой анизотропной цепочкой.
Влияние квазиконденсатных корреляций на локальные корреляционные свойства двумерного слабовзаимодействующего бозе-газа. Зависимость скорости трехчастичной рекомбинации от силы межчастичного взаимодействия.
Демонстрация двухмасштабности в поведении одночастичной матрицы плотности в квазиконденсатном состоянии в чистой и разупорядоченной системах.
Определение влияния разупорядочения на сверхтекучие свойства двумерного слабовзаимодействующего бозе-газа. Фазовая диаграмма двумерной бозонной модели Хаббарда.
Практическая ценность работы:
Разработанные модифицированные алгоритмы Монте-Карло позволяют вычислять макроскопические и локальные характеристики низкоразмерных систем с бозонными степенями свободы.
Полученные в диссертации результаты обладают предсказательной силой: позволяют описывать фазовые переходы в низкоразмерных бозонных системах, квазиконденсатные корреляции в двумерных системах; позволяют прогнозировать изменения характеристик бозе-систем в реальных условиях оптических ловушек.
Апробация диссертационной работы:
Изложенные в диссертации результаты докладывались на Научной сессии МИФИ (1999, 2000, 2003), на симпозиуме Symposium on Quantum Fluids and Solids (США, 1998), на XXXIII Совещании по физике низких температур (Екатеринбург, 2003), а также на семинарах теоретического отдела Института сверхпроводимости и физики твердого тела (РНЦ «Курчатовский институт»).
По теме диссертации опубликовано 8 работ. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [24,49-54, 56].
Особенности дискретного алгоритма
В последние несколько лет в современной физике появилось новое направление исследования физических объектов - численное моделирование различных систем при помощи разнообразных алгоритмов и методов. С одной стороны, на качественном уровне численное моделирование позволяет делать заключения о физических характеристиках конкретной модельной системы, проводить численные эксперименты с различными значениями параметров модели, что часто бывает очень трудно осуществить в реальных экспериментах. С другой стороны, детальное моделирование позволяет получать количественные данные о свойствах сложных систем и сравнивать их с данными реальных экспериментов, точными решениями или приближенными аналитическими вычислениями.
Методы Монте-Карло занимают особое место в численном моделировании физических систем, позволяя получать решения из первых принципов - задача, недоступная для аналитических подходов.
Для моделирования квантовых систем были разработаны квантовые методы Монте-Карло. Они основаны на фейнмановском представлении интеграла по траекториям. Как было показано Фейнманом, квантово-механические свойства частицы могут быть получены суммированием экспонент от действия по классическим траекториям [1]. Моделирование таких траекторий может быть легко запрограммировано, так как классические траектории включают в себя только действительные переменные (данное утверждение касается бозонных систем, в случае фермионов ситуация усложняется, так как необходимо учитывать антикоммутацию операторов).
Один из наиболее эффективных квантовых алгоритмов Монте-Карло, работающий с каноническим ансамблем, был предложен в работе [19]. Метод основан на разбиении оси мнимого времени 0 т , р на довольно большое количество М временных срезов Ат, Дт-М = р, на каждом из которых в гамильтониан системы вставляется сумма по полному набору промежуточных состояний. Таким образом, с точностью до (Дт)2, достигается фейнмановская сумма интегралов по траекториям. Кроме того, такая сумма имеет очень наглядное графическое представление (рис. 2.1), позволяющее показать реальную взаимодействующую многочастичную систему как ансамбль конфигураций траекторий частиц в фазовом пространстве. Эволюция системы достигается за счет изменения мировых линий частиц, причем каждая новая конфигурация отличается от предыдущей на минимально возможное изменение (рис. 2.2). Такие малые изменения конфигурации мировых линий позволяют легко пересчитывать параметры системы, не прибегая к полному сканированию всего фазового пространства. Мировые линии частиц, эволюционируя в пространстве Ld х р (L - линейный размер системы, d - пространственная размерность системы), подчиняются алгоритму Метрополиса [20], обеспечивающему эргодичность системы и сходимость наблюдаемых величин к термодинамически равновесным значениям. Этот алгоритм был назван дискретным квантовым алгоритмом Монте-Карло из-за конечности числа временных срезов на оси мнимого времени, что приводит к систематической ошибке алгоритма порядка (Дт)2, Дт - ширина временного среза. Строго говоря, данный алгоритм не является и полностью эргодичным, так как не позволяет менять индекс «закрутки» [19] системы (определение индекса закрутки см. в п. 2.3) в процессе работы (алгоритм работает при W = 0). Поэтому с помощью данного алгоритма можно рассматривать системы, у которых объем фазового пространства с W 0 ничтожно мал.
В этом разделе собраны вместе характерные особенности и недостатки дискретного квантового алгоритма Монте-Карло [19]. 1. Систематическая ошибка вычислений, о которой уже говорилось в разделе 2.1, возникающая из-за введения дискретности по оси мнимого времени и имеющая порядок (Дт)2, Дт- ширина временного среза. Попытка добиться большей точности путем уменьшения Ах приводит к тому, что время счета возрастает пропорционально объему фазового пространства. 2. Алгоритм работает в каноническом ансамбле (сохраняется число частиц в системе). Это ограничение является сильным с физической точки зрения, так как не позволяет (или значительно затрудняет) изучение фазовых переходов в физических системах. 3. Алгоритм работает в секторе с индексом закрутки 0 (определение индекса закрутки см. в п. 2.3), что не позволяет реализовать в алгоритме класс конфигураций с W 0 (неэргодичность алгоритма). Это также вносит систематическую ошибку в расчет для конечных систем (при L - ад, L - размер системы, эта ошибка исчезает), но помимо этого невозможность реализовать конфигурации с ненулевым индексом закрутки исключает возможность изучения топологических возбуждений в системе, таких как вихри или сверхтоковые состояния. 4. Медленное накопление статистики для величин, не представленных явно в гамильтониане, и особенно для величин, не сохраняющих локально число частиц в системе. Как следствие этого, времена сходимости для таких величин, как энергия и функция Грина, различаются на порядки.
Основное состояние одночастичной и двухчастичной сверхтекучей жидкости
Как уже упоминалось в главе 1, в рамках одномерной модели Хаббарда возможно исследование фазовых переходов, реализующихся в одномерных бозонных системах: сверхтекучесть-изолятор и сверхтекучесть-бозе-стекло костерлиц-таулессовского типа [6,10-12]. Из-за сложности аналитических исследований в рамках данной модели интенсивно используются численные подходы, такие как метод точной диагонализации и метод Монте-Карло. Однако результаты расчета критического значения параметра модели (t/U)c фазового перехода сверхтекучесть-изолятор для одномерного случая и соизмеримого заполнения (число бозонов Nb равно числу узлов Na) сильно расходятся. Так, из чистой теории возмущений по параметру t/U получается значение (t/U)c =0.215 [13], теория возмущений, усовершенствованная с помощью ренорм-группового анализа (РГ) дает (t/U)c =0.265 [14], прямая экстраполяция данных точной диагонализации для конечных систем к термодинамическому пределу приводит к (t/U)c =0.275 [15] и (t/U)c =0.22 [16], а в [17] из расчета квантовым методом Монте-Карло делается вывод, что (t/U)c =0.215. В то же время приближенным методом Бете-анзац [2] получено (t/U)c =0.289, а ренормгрупповой анализ в реальном пространстве [3] «редуцированного» гамильтониана приводит, как и чистая теория возмущений, K(t/U)c=0.215. Такое рассогласование результатов связано с особенностями одномерного случая, так как критические параметры стремятся к своему термодинамическому значению (то есть в пределе 1Ча - « ) логарифмически медленно (как степенные функции параметра l/ln(Na)). В этой ситуации для корректного скеилинга необходимо либо брать очень большие размеры системы (часто недостижимые для численных методов), либо точно знать зависимость параметров модели от размера системы. Такую зависимость дают для одномерного случая известные РГ-уравнения [10-12]. Используя это обстоятельство, в работе [5] с помощью комбинированного подхода «точная диагонализация + РГ-анализ» удалось провести корректный скейлинг к термодинамическому пределу и, в частности, получить критическое значение с контролируемой точностью: (t/U)c = 0.304 ± 0.002. Очень близкое к этому значение (t/U)c = 0.3 было также получено методом ренормгруппы в реальном пространстве [18]. Однако для полноты картины следовало бы убедиться, что квантовый метод Монте-Карло, позволяющий рассчитывать большие системы, приводит к такому же значению. К сожалению, результаты расчета [17] заметно отличаются от указанной величины (t/U)c. Поэтому целью данной главы является корректный расчет методом Монте-Карло критического значения и сопоставление его с полученным комбинированным методом «точная диагонализация + РГ-анализ». Полученная критическая величина (t/U)c = 0.300 ± 0.005 совпадает с результатами комбинированного метода [5] в пределах погрешности. Следует отметить, что расчет основан на исследовании поведения моттовской щели (то есть диэлектрической фазы), в отличие от метода [5], где фазовый переход изучался со стороны сверхтекучего состояния. Гамильтониан одномерной бозонной модели Хаббарда имеет вид [6,13-17] где af(aj) - операторы рождения (уничтожения) бозона на узле і; t -матричный элемент перескока; U -энергия отталкивания бозонов на узле; п,- = a+aj (0 , П Nb, Nb - число бозонов в системе). Основное состояние гамильтониана (3.1) является диэлектрическим лишь тогда, когда Nb кратно Na, а величина t достаточно мала [6,17]. При этом сверхтекучая плотность ps равна нулю, и в спектре возбуждений имеется диэлектрическая щель д = ц+-ц_, где химические потенциалы ц+ и ц_ определяются соотношениями ц+ = E(Na +1)- E(Na), ц_ = E(Na) - E(Na -1), E(Nb) -энергия системы из Nb бозонов. На фазовой диаграмме n(t/U) область диэлектрической фазы ограничена кривыми ii+(t/U) и n_(t/U) [б, 17]. Увеличение t ведет к переходу в сверхтекучее состояние сД = 0ир5 0.На фазовой диаграмме n(t / U) этому переходу соответствует трикритическая точка (t/U)c [6,12-17]. Квантовым траекторным методом Монте-Карло (аналогичным [17]) была рассчитана энергия E(Nb) как функция t/U при Nb =Na -1, Na, Na +1 для цепочек с различным числом узлов Na и периодическими граничными условиями. Схема Монте-Карло была вполне устойчива даже при достаточно низких температурах T t/32 (см. таблицу 3.1).
Квазиконденсация в двумерном взаимодействующем бозе-газе
Редуцированная модель отличается от полной модели тем, что в ней введено ограничение на заполнение узлов: на узлах может находиться только 0,1 или 2 бозона. Ранее полагалось, что это ограничение не является слишком сильным, и редуцированная модель может быть использована как хорошая аппроксимация для полной модели в аналитических расчетах [2,3], для которых учет неограниченного заполнения узлов представляет определенную трудность. Это соображение подкреплялось тем обстоятельством, что даже в отсутствие межчастичного взаимодействия вероятность найти на одном узле одновременно более двух бозонов (е-5/2)/е « 0.080 достаточно мала [17].
Некоторые приближенные вычисления [2,13,14] не могут показать различий между полной и редуцированной моделями. К сожалению, точный комбинированный метод"ренорм-группа + точная диагонализациії [5] дает довольно неожиданный результат: редуцированная модель находится в состоянии изолятора во всей области U 0. Важно заметить, однако, что заключение в [5] об отсутствии сверхтекучести в макроскопическом пределе не является прямым следствием расчетов. В действительности в [5] было показано, что при достаточно малом значении U уравнения ренорм-группы для сверхтекучих параметров [10], численно решенные для исследуемой системы (цепочка длиной до 16 узлов), приводят к решению, отвечающему разрушению сверхтекучести и образованию Моттовского изолятора. Таким образом, целесообразно было бы проверить этот факт экспериментально, посредством численного моделирования методом Монте-Карло достаточно большой системы, позволяющим напрямую вычислять величину энергетической щели при U «1. Это является первой задачей настоящей главы.
Другой интересной особенностью, отличающей редуцированную модель от полной, является стабильность системы в области U 0 (в полной модели происходит коллапс на одном из узлов). Поэтому второй, и наиболее главной, задачей этой главы является исследование области притяжения на фазовой диаграмме: во-первых, можно ожидать, что в этой области расположена сверхтекучая фаза; во-вторых, при достаточно сильном притяжении должен начаться процесс спаривания частиц (это следует из теории возмущений при U - ад), поэтому интересно исследовать численно соответствующий фазовый переход.
Наконец, исследование одномерной редуцированной модели представляет собой не только чисто теоретический интерес. Макроскопически эта модель очень близка к анизотропной спиновой цепочке со спином 1 в среде с легкой осью намагничивания (U 0) или с легкой плоскостью намагничивания (U 0). Поэтому исследование редуцированной бозонной модели позволяет понять физику фазовых переходов в спиновых цепочках.
В этой главе представлено исследование модели посредством CTWL-алгоритма Монте-Карло, развитого в работе [4]. Некоторые предварительные результаты были получены с помощью стандартного дискретного метода, в специальных случаях был применен также метод точной диагонализации. Найдено, что в случае соизмеримого заполнения величина критического значения при фазовом переходе моттовскии изолятор - сверхтекучая жидкость (U/t)c = 0.50 ± 0.05 почти в б раз ниже по сравнению с полной моделью. В области притяжения, U 0, наблюдался специфический фазовый переход, когда система из состояния одночастичнои сверхтекучей жидкости переходит в состояние двухчастичной сверхтекучей жидкости. При факторе заполнения равном единице (соизмеримость в данном случае не играет особой роли) фазовый переход происходит при U/t» -6.0. Критическое поведение характеризуется линейным поведением двухчастичной щели как функции U и краевым откликом на закрутку фазы при фазовом переходе. В главе также рассмотрен спиновый аналог редуцированной бозонной модели, который изучался ранее в [22] методом точной диагонализации. Основное внимание уделено специфической фазе системы, которая наблюдалась в [22], но не была подтверждена в [23], и, насколько известно, с тех пор больше нигде не обсуждалась. Показано, что данная фаза действительно существует, она есть ничто иное, как макроскопический аналог двухчастичной сверхтекучей фазы бозонной системы. Редуцированная модель изучалась в работе [3] методом ренорм-группы в реальном пространстве, и полученное критическое значение (t/U)c =0.215 оказалось далеким от точного значения [5]. С другой стороны, в [2] одномерная бозонная модель Хаббарда была исследована при помощи Bethe-Ansatz, и значение (t/U)c = 0.289 очень близко к результату из [5]. Более того, при условии, что вероятность заполнения узлов более чем двумя бозонами равна нулю (т.е. случай редуцированной модели), Bethe-Ansatz становится точным. В [13,14] для полной модели был применен метод "strong-coupling expansion". Полученные результаты, (t/U)c = 0.215 при учете возмущений до третьего порядка, и (t/U)c =0.265 при учете поправки на костерлиц-таулессовское поведение, являются на первый взгляд применимыми к редуцированной модели, так как троекратное и более заполнение узлов вносит вклад в поправки высших порядков.
Корреляционные свойства системы с разупорядочением
Экспериментальное открытие конденсации Бозе-Эйнштейна в ультрахолодных разреженных газах открыло возможность исследования квантовых корреляций в таких системах. Было обнаружено, что скорость неупругих процессов уменьшается в присутствии конденсата [28] в соответствии с теоретическими предсказаниями [29,30]. В трехмерном газе при достаточно низкой температуре Т«ТС (Тс -температура конденсации) т часгичный коррелятор уменьшается в т! раз по сравнению со своим значением при Т Тс [29]. Здесь Ч/ - оператор бозонного поля, п - плотность газа. С физической точки зрения уменьшение значения коррелятора связано с симметрией волновой функции бозонов. Рассматривая отдельный элементарный процесс, в котором участвуют несколько тождественных бозонов, необходимо произвести симметризацию волновой функции. Если эти частицы находятся в конденсате, то они описываются единой волновой функцией конденсата, и такая симметризация не нужна, что приводит к изменению вероятности перехода. Этот результат является точным для идеального газа, взаимодействие вносит некоторые поправки (ниже будет показано, что даже не слишком сильное взаимодействие приводит к существенному ослаблению эффекта уменьшения Km). Поэтому в случае слабонеидеального газа скорость трехчастичнои рекомбинации (которая пропорциональна К3) должна уменьшиться приблизительно в 6 раз [29], что и было экспериментально измерено в [28].
В низкоразмерных системах (например, при d = 2) при любой конечной температуре Т плотность конденсата равна нулю, и вопрос о присутствии эффекта требует более детального рассмотрения. С другой стороны, при температуре ниже температуры фазового перехода Кострелица-Таулесса Тс система становится сверхтекучей из-за фазовой когерентности на далеких расстояниях. В сверхтекучем состоянии корреляционные длины фазы и плотности, Rc и гс, имеют различные масштабы (Rc »гс), что позволяет ввести понятие квазиконденсата, характеризующегося плотностью п0 величиной одночастичной матрицы плотности р(г) на промежуточных расстояниях гс «г « Rc [30], где Локальные свойства квазиконденсата совпадают с локальными свойствами истинного конденсата, что свидетельствует о наличии эффекта уменьшения Km и в двумерном случае. Однако по сравнению с трехмерным случаем, ненулевая величина п0 в двумерии при Т=0 является следствием только конечности межчастичного взаимодействия, которое, в свою очередь, сокращает скачок коррелятора Кт при фазовом переходе. Другой особенностью двумерной ситуации является достаточно широкая флуктуационная область вблизи Тс (или пс, если температура держится постоянной). Также газовый параметр не является слишком малым в двумерии. Поэтому можно ожидать, что область перестройки локальных корреляционных функций около Тс или пс является достаточно широкой. Эффект уменьшения Кщ может быть использован для обнаружения и исследования конденсации Бозе-Эйнштейна. До сих пор экспериментальные попытки создания двумерных волноводов для ультрахолодных нейтральных атомов в специально сконструированных лазерных и (или) магнитных полях (см., например, [31,32] и ссылки в них) не увенчались успехом в достижении необходимых для возникновения конденсата условий. Другой многообещающей системой для исследования квантовых свойств является спинполяризованный водород на поверхности жидкого гелия [33,34]. Малая энергия связи ( IK) и сильная делокализация в перпендикулярном пленке направлении позволяют рассматривать движение водорода в плоскости пленки как свободное. Ранее было опубликовано [35], что система претерпевает переход в состояние конденсата при увеличении поверхностной плотности; утверждение основывается на предположении о существенном падении скорости трехчастичной рекомбинации. Преимущество такой постановки эксперимента перед стандартными поисками точки Костерлица-Таулесса в торсионных экспериментах [36] заключается в том, что измерения здесь квазистатичны и не подвержены влиянию подложки. Для реальных потенциалов межчастичного взаимодействия и плотностей частиц флуктуационная область около фазового перехода слишком широка для корректного аналитического расчета корреляционных функций. Поэтому было проведено моделирование двумерного бозе-газа с помощью квантового метода Монте-Карло для большого канонического ансамбля. Плотность системы менялась посредством изменения химического потенциала ц. Заметим, что эксперименты со спин-поляризованным водородом были проведены в подобной же постановке, так как поверхностная плотность контролировалась потенциалом ц объемного газа. Тем не менее, при тех же условиях в работе [37], опубликованной после [29] и [30], предсказывалось падение К3 в 400 раз. Представленные ниже результаты неопровержимо доказывают, что работа [37] ошибочна. Моделирование методом Монте-Карло в данной задаче было основано на развитом ранее Worm-алгоритме в непрерывном времени [4], который является особенно эффективным при расчете функций Грина (при любой температуре) и не содержит систематических ошибок. Поэтому помимо локальных корреляционных функций Кт были рассчитаны также одночастичные матрицы плотности р(г).
