Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Темодинамический метод исследования фазовых переходов в ферроиках 9
Глава 2. Описание фазовых переходов в ферроиках 25
Глава 3. Несобственные ферромагнитные фазовые переходы в кристаллах 36
Глава 4. Фазовые переходы в доменных границах ферромагнетиков 42
Глава 5. Влияние диссипативных процессов на строение и свойства кристаллов 52
Основные результаты и выводы 57
Литература
- Темодинамический метод исследования фазовых переходов в ферроиках
- Описание фазовых переходов в ферроиках
- Несобственные ферромагнитные фазовые переходы в кристаллах
- Фазовые переходы в доменных границах ферромагнетиков
Введение к работе
Актуальность темы
Термодинамический метод исследования различных фазовых переходов в кристаллах в настоящее время нашел широкое применение. Он, как правило, является первым шагом объяснения результатов экспериментального исследования общих свойств и особенностей фазового перехода в каждом конкретном веществе. Система соотношений между различными физическими характеристиками вещества, находящимися в условиях фазового перехода, которая получена в рамках термодинамического метода, позволяет развить классификацию всей совокупности фазовых переходов. Это дает возможность исследователю по относительно небольшому числу экспериментальных данных понять существенные черты фазового перехода в каждом конкретном случае и проводить осознанное планирование дальнейших исследований. Наиболее важной классификацией фазовых переходов является выделение совокупности фазовых переходов первого и второго рода. В другой классификации принято разделение фазовых переходов на собственные и несобственные. В результате, осмысливание экспериментальных данных методами термодинамики позволяет выработать отправные точки для последующего установления микроскопического механизма фазового перехода в конкретном материале.
Среди всей совокупности фазовых переходов в кристаллических твердых телах большую часть составляют структурные фазовые переходы. Определяющим признаком структурного фазового перехода является факт изменения системы элементов симметрии кристалла в результате фазового перехода. Для исследования структурных фазовых переходов термодинамическими методами важно установить физический смысл макроскопического параметра порядка, являющегося базовой характеристикой состояния вещества при фазовом переходе. Для описания закономерностей нелинейных явлений в кристаллах удобными макроскопическими характеристиками являются тензоры
4 различного ранга. Ранг и симметрия по отношению к обращению времени тензорного параметра порядка служат еще одним основанием для классификации структурных фазовых переходов. Поскольку число групп точечной симметрии кристаллов ограниченно, существует возможность дать полный список возможных фазовых переходов с изменением точечной группы и их полную классификацию по этим признакам. Аналогичный подход применим и для указания возможных структурных фазовых переходов в доменных границах ферроиков различных типов.
Важным аспектом в физике фазовых переходов являются несобственные фазовые переходы. В сегнетоэлектрических материалах физические представления о них давно разработаны и обнаружено большое количество кристаллов, претерпевающих такие переходы. В магнитных кристаллах этой работы не проводилось. Поэтому вопрос о возможных несобственных фазовых переходах с участием магнитной компоненты остается открытым.
Применение черно-белых групп оказывается весьма плодотворным в исследованиях диссипативных процессов в кристаллах, отражающих их сим-метрийные свойства. Такое направление исследований можно использовать для построения физической картины различных зависимостей в этих процессах.
Ферроики являются теми материалами, в которых сильно выражены нелинейные свойства. Поэтому они представляют собой интересные объекты исследования различных нелинейных эффектов. Успехи в развитии физики в этом направлении сулит построение приборов электроники нового поколения, в которой предполагается широкое использование нелинейных свойств материалов.
Цель и задачи работы
Целью работы явилась разработка и применение новых теоретических методов исследования термодинамических потенциалов кристаллических ферроиков. Для достижения указанной цели были сформулированы следующие задачи:
получение полного списка представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы и нахождение тензорных базисов и характеров для всех представлений;
выделение тензорных базисов представлений минимального ранга и на их основе получение описания всех возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах;
указание типов параметров порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах и нахождение возможного физического смысла для каждого параметра порядка;
нахождение полного списка возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла, а также зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии;
определение возможных фазовых переходов в доменных границах ферромагнетиков и получение списка групп симметрии 180-ных доменных границ для всех групп симметрии кристаллов;
разработка метода описания состояния вещества при протекании дисси-пативных процессов, основанная на использовании диссипативной функции как t-нечетного скаляра, являющегося базисом соответствующего представления точечной черно-белой группы кристалла.
Научная новизна
В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
составлен полный список всех возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах;
получен полный список представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы и найдены тензорные базисы и характеры для всех представлений;
указаны типы параметров порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах, и найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка;
получена классификация возможных фазовых переходов в 180-ных доменных границах для всех групп симметрии кристаллов;
получен полный список возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла;
получены зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии;
разработан метод нахождения характеристик кристалла при протекании диссипативных процессов, основанный на использовании диссипативнои функции как t-нечетного скаляра, являющегося базисом соответствующего представления точечной черно-белой группы кристалла.
Практическая значимость работы
Полный список возможных фазовых переходов в магнитных ферроиках будет способствовать интерпретации экспериментальных закономерностей в каждом конкретном случае фазовых переходов, описанию нелинейных явлений в этих кристаллах и влияния внешних силовых полей.
Наличие полного списка возможных несобственных фазовых переходов в сегнетоэлектриках - ферромагнетиках позволит провести целенаправленный экспериментальный поиск таких кристаллов.
Результаты исследования фазовых переходов в доменной границе могут быть использованы при интерпретации эффектов, обусловленных строением и движением доменных границ в ферроиках.
Закономерности и теоретико-групповой метод исследования диссипативных явлений в кристаллах позволит построить теоретические модели этих явлений в кристаллах различной симметрии.
7 Полное огшсание возможных структурных фазовых переходов в кристаллах заслуживает его внедрения в учебных курсах для специальностей соответствующего профиля.
Положения, выносимые на защиту:
полная классификация возможных структурных фазовых переходов в кристаллических магнитных ферроиках без изменения числа атомов в ячейке кристаллической решетки, соответствующие параметры порядка и тензорные базисы представлений, по которым они преобразуются;
тензорные базисы представлений минимального ранга, на основе которых получено описание возможных' структурных фазовых переходов в кристаллах. Минимальный ранг тензорного базиса не превышает трех. Указаны 15 типов параметра порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах. Найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка;
в кристаллах черно-белой группы симметрии возможны несобственные фазовые переходы, в которых вектор намагниченности выступает в качестве основного, а вектор поляризации - вторичного параметра порядка, и наоборот. Указан список представлений и компонент этих векторов для всех черно-белых групп кристаллов;
в 180-ных доменных границах кристаллических ферромагнетиков возможны фазовые переходы следующих типов: магнитные, сегнетоэлектриче-ские, сегнетоэластические, двухкомпонентные (магнитные-сегнето-электрические, сегнетоэлектрические-сегнетоэластические), тороидальные;
метод, основанный на применении диссипативной функции в качестве базиса представления черно-белых групп, позволяет исследовать влияние дисси-пативных процессов на строение кристалла. Наличие диссипативных процессов, в частности, может привести к появлению зависимости намагниченности от четвертой степени напряженности электрического поля.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 4-ом Международном семинаре по физике сегнетоэластиков (Воронеж, 2003), на 1-ой Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке и технике» (Абхазия, Пицунда, 2005), на 41 -44 конференциях профессорско-преподавательского состава, студентов, аспирантов и сотрудников ВГТУ (Воронеж, 2001 - 2004).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы.
Личный вклад автора
Автор диссертации являлся фактическим исполнителем всех поставленных задач, проводил вывод формул, представленных в работе, давал физическую интерпретацию получающимся результатам, участвовал в их обсуждении, проводил подготовку научных текстов для печати.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, библиографического списка из 88 наименований, приложения. Работа изложена на 80 страницах, включает 72 таблицы.
Темодинамический метод исследования фазовых переходов в ферроиках
Основу данной диссертации составляет описание фазовых переходов в ферроиках, т.е. кристаллах обладающих магнитной структурой.
Между электрическими и магнитными свойствами кристаллов существует глубокое отличие, связанное с разницей в поведении зарядов и токов по отношению к изменению знака времени [1].
Будем обозначать посредством р (х, у, z) и j (х, у, z) истинную (микроскопическую) плотность зарядов и плотность токов в каждой точке кристалла, усредненную только по времени (но не по «физически бесконечно малым» объемам, как это делается в макроскопической теории). Это те функции, которые определяют собой соответственно электрическую и магнитную структуру кристалла. Обратимся к кристаллам, у которых замена t на - t меняет состояние и потому j 0. О таких телах мы будем говорить, как о телах с магнитной структурой.
Прежде всего, отметим, что хотя j и не равно нулю, но никакого полного тока (в равновесном состоянии тела) не может быть, т. е. интеграл JjdV взятый по объему элементарной ячейки, должен всегда обращаться в нуль. В противном случае этот ток создавал бы макроскопическое магнитное поле, и кристалл обладал бы магнитной энергией (на единицу объема), быстро возрастающей с увеличением размеров тела. Ввиду энергетической невыгодности такого состояния оно, очевидным образом, не может соответствовать термодинамическому равновесию. В то же время токи j могут создавать отличный от нуля макроскопический магнитный момент, т.е. интеграл /[rjJdV взятый по объему элементарной ячейки, может быть отличен от нуля. Соответственно этому, среди тел, в которых j 0, можно различать два типа: тела с отличным от нуля макроскопическим магнитным моментом и тела, в которых такой момент отсутствует. Первые называются ферромагнитными, а вторые — антиферромагнитными.
Возникает вопрос о возможных типах (группах) симметрии распределения токов j (х, у, z). Эта симметрия складывается, прежде всего, из обычных элементов - поворотов, отражений и трансляций, соответственно чему среди возможных групп симметрии] во всяком случае имеется 230 обычных кристал-лографических пространственных групп. Этим, однако, далеко не исчерпывается список искомых групп. Как уже было указано, замена t на - t меняет знак вектора j. В связи с этим возникает новый возможный элемент симметрии -симметрии по отношению к преобразованию, заключающемуся в изменении направления всех токов на обратное; обозначим условно это преобразование посредством R [2]. Если распределение токов обладает элементом симметрии R самим по себе, то это значит, что j = - j, т. е. j = 0, и тело вообще не обладает магнитной структурой. Отличная от нуля функция j (х, у, z) может, однако, обладать симметрией по отношению к различным комбинациям преобразования R с другими элементами симметрии — поворотами, отражениями и трансляциями. Таким образом, задача об определении возможных типов симметрии распределения токов (магнитных пространственных групп) заключается в построении всех возможных групп, составленных как из преобразований, имеющихся в обычных пространственных группах, так и из преобразований, получающихся комбинированием преобразований обычного типа с преобразованием R.
Знание полной группы симметрии функции j (х, у, z), однако, не нужно, если мы интересуемся лишь макроскопическими свойствами тела [3]. Эти свойства зависят только от направления в кристалле, а трансляционная симметрия кристаллической решетки не имеет к ним отношения. С чисто структурной кристаллографической точки зрения «симметрия направлений» в кристалле дается, как известно, 32 кристаллическими классами. Это есть группы симметрии, составленные из одних только чистых поворотов и отражений; они получаются из пространственных групп, если в последних считать все трансляции тождественным преобразованием, а винтовые оси и плоскости скольжения рассматривать как простые оси и плоскости симметрии. С точки зрения же магнитных свойств макроскопическая симметрия должна классифицироваться по группам, составленным из поворотов, отражений и их комбинаций с элементом R. Эти группы можно назвать магнитными, кристаллическими классами [4-6]. Они находятся в таком же отношении к магнитным пространственным группам, как обычные кристаллические классы к обычным пространственным группам.
К их числу относятся, прежде всего, 32 обычных класса, дополненных элементом R, и те же 32 класса без элемента R. Первые являются, в частности, группами макроскопической симметрии всех тел, не обладающих магнитной структурой. Но этими же классами симметрии могут обладать и тела с магнитной структурой. Для этого надо, чтобы в магнитную пространственную группу симметрии этого тела сам элемент R входил не как таковой, а только в комбинации с трансляциями.
Кроме того, имеется 58 классов, в которые элемент R входит только в комбинации с поворотами или отражениями. Каждый из них, если заменить в нем операцию R тождественным преобразованием, превращается в один из обычных кристаллических классов.
Заданием магнитного кристаллического класса определяется характер всех макроскопических магнитных свойств тела. Наиболее важным из них является наличие или отсутствие макроскопического магнитного момента, т.е. спонтанной (без внешнего поля) намагниченности. Магнитный момент М есть векторная величина, которая при поворотах и отражениях ведет себя как аксиальный вектор (векторное произведение двух полярных векторов), а при применении операции R меняет знак. Кристалл будет обладать спонтанной намагниченностью, если в нем есть хотя бы одно такое направление, что лежащий в нем вектор М с указанными свойствами остается инвариантным при всех преобразованиях данного магнитного кристаллического класса.
Описание фазовых переходов в ферроиках
До настоящего времени отсутствовало полное описание возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах с указанием физического смысла параметров фазового перехода. Для решения этой задачи в данной главе на основе термодинамического метода и теории представлений черно-белых кристаллографических групп предполагается рассмотреть возможные структурные фазовые переходы в магнитных и немагнитных кристаллах и получить полный список тензорных базисов представлений.
Метод неравновесного термодинамического потенциала, широко используемый в настоящее время для феноменологического описания структурных фазовых переходов в кристаллах, привел к значительным успехам в понимании физической природы различных закономерностей. В самом начале создания этого метода существенная роль отводилась теории кристаллографических групп, дающей возможность указать изменения характеристик кристалла, обусловленные изменением его симметрии в результате фазового перехода [55]. Наряду с использованием метода неравновесного термодинамического потенциала для объяснения закономерностей, наблюдаемых в конкретных кристаллах, теория групп использовалась для построения классификации возможных изменений симметрии при фазовых переходах различной физической природы [56] и возможных типов доменных границ [57]. Неоднократно указывалось на возможность использования методов, развитых в теории кристаллографических групп для построения полной системы возможных фазовых переходов. Примеры таких построений для некоторых серых пространственных групп даны в [58], список возможных фазовых переходов с тензорными параметрами порядка, полученный на основе теории представлений серой точечной группы, приведен в [59]. Полная классификация возможных структурных фазовых переходов в кристаллах на основе серой точечной группы сделана в работе [60], в которой наряду с тензорными представлениями группы, рассмотрены представ ления с псевдотензорным базисом. В этой работе была показана возможность использования псевдотензоров второго и третьего рангов, в качестве параметра порядка и указан их физический смысл.
В настоящей главе описание фазовых переходов в ферроиках завершено для всех точечных черно-белых или магнитных точечных кристаллографических групп. Указаны базисы черно-белых групп, на основе которых возможно построение фазовых переходов различной физической природы. Построены таблицы тензорных представлений для всех черно-белых точечных групп и найдены базисы для всех представлений. Считается, что базис представления может служить параметром порядка при различных фазовых переходах, таким образом можно предсказать наличие тех или иных фазовых переходов в веществе, которые характеризуются изменением соответствующей симметрии.
Результаты построения тензорного базиса минимального ранга показали, что для всех представлений точечных групп минимальный ранг базисных тензоров и псевдотензоров не превосходит трех. Базисные тензоры и псевдотензоры второго и третьего ранга являются симметричными по двум индексам. Базисные тензоры и псевдотензоры более высокого ранга для каждого представления не трудно построить с помощью таблиц произведений представлений. Размерность всех представлений не превосходит трех. Трехмерные представления присутствуют только в группах кубической симметрии, как показано в таблицах приложения.
Тензорный базис любого представления может быть принят в качестве параметра порядка и положен в основу для построения термодинамического потенциала, описывающего некоторый структурный фазовый переход в кристалле. Физический смысл параметра порядка не определяется лишь его сим-метрийными свойствами. Для его установления нужно воспользоваться формулами для энергии взаимодействия параметра порядка с внешними полями. С целью построения таких формул обратим внимание на симметрийные свойства внешних силовых полей. Вектор Е электрического поля является t-четным, то есть не меняет знак при инверсии времени. Псевдовектор Н магнитного поля является t-нечетным. Тензор о- ik механических напряжений представляет собой симметричный t-четный тензор второго ранга. Примем также во внимание возможность наличия в кристалле поля момента сил, который в моментных теориях упругости представляется антисимметричным тензором второго ранга. Плотность К момента сил является t-четным псевдовектором. Из указанных выше полевых характеристик можно сформировать тензоры различных рангов, имеющих разные симметрии по отношению к изменению знака пространственных координат и времени, а именно: Е- К - t-четный псевдоскаляр, Е -Н - t-нечетный псевдоскаляр, К Н - t-нечетный скаляр, Н-сг - t-нечетный псевдовектор, Е х Н - t-нечетный вектор, Е х Е - t-четный тензор второго ранга, Н х Н - t-четный тензор второго ранга, Е 8 Н - t-нечетный псевдотензор второго ранга, Е х и - t-четный псевдотензор второго ранга, Н х а - t-нечетный тензор второго ранга, Е а - t-четный тензор третьего ранга, Н а - t-нечетный псевдотензор третьего ранга.
Несобственные ферромагнитные фазовые переходы в кристаллах
В кристаллах гексагональной сингонии третья компонента вторичного параметра порядка имеет кубическую зависимость от компонент основного параметра порядка, что приводит к степенной зависимости вторичного параметра порядка от температуры с показателем, равным 3/2. Имеется группа С6(Сз), в которой магнитные компоненты М\ и М2 вторичного параметра порядка квадратично зависят от аналогичных компонент вектора поляризации, являющегося основным параметром порядка. В этих же кристаллах третья магнитная компонента имеет кубическую зависимость от тех же компонент. В группах Об(Оз) и Сбу(Сзу) фазовые переходы являются сегнетоэлектрическими по основному параметру порядка и магнитными по вторичному. В другом представлении группы D6(D3) складывается противоположная ситуация, а именно, основной параметр порядка оказывается магнитным, а вторичный - электрическим.
В кристаллах кубической сингонии имеется три класса, в которых возможны несобственные магнитные фазовые переходы. Две первые группы этой сингонии, представленные в таблице 2, допускают несобственные магнитные переходы, в которых основным и вторичным параметрами порядка являются компоненты вектора поляризации и намагниченности, соответственно. Величина вторичного параметра порядка имеет обычную квадратичную зависимость от компонент основного параметра порядка. Отметим особенность этих фазовых переходов. Если в результате основного сегнетоэлектрического перехода возникает вектор поляризации, направленный вдоль какой-либо оси кристаллографической системы координат, то вторичная компонента будет равна нулю. Для других направлений вектора спонтанной поляризации магнитный эффект присутствует. Симметрийный анализ показывает, что в результате сегнетоэлек-трических фазовых переходов второго рода в кристаллах кубической симметрии могут возникать векторы спонтанной поляризации, направленные вдоль сторон или пространственных диагоналей ячейки кристалла. В первом случае намагниченность кристалла не возникает, во втором она направлена вдоль пространственной диагонали. Если в кристалле происходит фазовый переход первого рода с образованием вектора поляризации, направленным вдоль диагонали грани куба, то вектор намагниченности направлен вдоль ребра, перпендикулярного этой грани [74].
В заключение сформулируем основные результаты, полученные в рамках этой главы. В кристаллах, имеющих симметрию точечной черно-белой группы возможны несобственные фазовые переходы, с участием компонент векторов поляризации и намагниченности в качестве основного и вторичного параметров порядка. Несобственные фазовые переходы разрешены во всех сингониях, имеющих оси симметрии высокого порядка. В кристаллах тетрагональной симметрии зависимость третьей компоненты вторичного параметра порядка от компонент основного параметра порядка является квадратичной, в кристаллах гексагональной и тригональной сингоний - кубической. Такая зависимость, очевидно, сохранится и для соответствующих пространственных групп. Аналогичная зависимость для компонент в плоскости ху является квадратичной.
В данной главе на основе теории представлений точечной черно-белой кристаллографической группы симметрии предполагается разработать методику определения возможных фазовых переходов в доменных границах ферромагнетиков и получить список групп симметрии 180-ных доменных границ для всех групп симметрии кристаллов. Используя тензорный базис представления, будут получены полные списки фазовых переходов, которые могут происходить в доменных границах.
Строение доменных границ в ферромагнетиках привлекает внимание исследователей, так как оно в значительной мере определяет ряд физических свойств материалов, прежде всего характеристик гистерезисной петли, которая обнаруживается при наложении на ферромагнитный кристалл переменного внешнего магнитного поля. Одним из механизмов резкого применения строения доменных границ являются фазовые переходы, происходящие в переходном слое, разделяющем домены, то есть в самой доменной границе. При этом симметрия контактирующих доменов не меняется. Первые теоретические и экспериментальные исследования внутридоменных фазовых переходов в ферромагнитных кристаллах были проведены [75-77]. Теория фазовых переходов первого рода в доменных границах сегнетоэлектриков была построена в [78-80]. При этом авторы указанных статей ограничились рассмотрением изменения вектора намагниченности или поляризации в доменной границе и не уделили внимания возможному изменению других характеристик доменной границы.
Фазовые переходы в доменных границах ферромагнетиков
Дифференцируя это выражение по компонентам плотности тока і, и полагая производную нулю, получаем закон Ома // = оЕ,. Заметим, что левая правая части закона Ома преобразуются по одному представлению Tju . По этому же представлению преобразуется t-нечетный вектор с компонентами уР,, где У есть t-нечетный скаляр. Отсюда следует при подходящем выборе величины соотношение yPt = i[, отражающее эффект увлечения ионов решетки потоком носителей электрического заряда в кристалле. Этот эффект можно рассматривать как один из механизмов влияния диссипативных потоков на строение кристаллической решетки кристаллов группы Oh В качестве другого примера рассмотрим эффект влияния тока на магнитный момент кристалла. Естественной причиной возникновения намагниченности в кристалле является внешнее магнитное поле. Компоненты t-нечетных аксиальных векторов намагниченности Mi и индукции магнитного поля Ві пре образуется представлению Tig, поэтому они находятся в линейной зависимости
Mi - XBj, где X - магнитная восприимчивость кристалла, являющаяся t-четным скаляром. Существует еще одна причина возникновения магнитного поля, а именно, диссипативные- потоки заряженных частиц. Компоненты /, t-четного полярного вектора электрического тока преобразуются по представлению Тій, поэтому линейная связь между Mi и /; не возможна. Квадратичная зависимость между этими компонентами, как будет показано ниже, оказывается также запрещенной симметрийными ограничениями. Для этого рассмотрим декартов квадрат представления Tiu.
Как видно из таблицы 15 для произведений представлений группы Oh, (Tiu) = Aig+ Eg +Tig +T2g. Поскольку в этой сумме присутствует представление TIg , следовало бы найти ненулевой базис, компоненты которого пропорциональны (pj. Нетрудно предъявить единственно возможный базис в явном виде: это будет векторное произведение вектора самого на себя, которое равно нулю. Поэтому такой базис в декартовом квадрате рассматриваемого представления не существует. Это означает отсутствие эффекта возникновения намагниченности кристалла, пропорциональной квадрату напряженности электрического по ля. Обращаем внимание на то, что в декартовом квадрате присутствует представление T2g. Базис этого представления, очевидно, имеет следующий вид: [х2хз, х3хь xix2]. Заметим, что отсюда следует, что наличие потока зарядов со провождается появлением компонент U23, иіз, U12 деформации и тензора ди электрической проницаемости кристалла. Умножим представление T2g еще раз « на себя. В результате, в соответствии с таблицей 15 получим сумму представ 9 9 9 лений A2u+ Eu+Tiu+T2u. Базис представления Т]и имеет вид [xi(x2 +Х3 ), х2(хз + 9 9 9 X] ), Хз(Х] + X2 )] и не совпадает с исходным. Умножая это представление еще 9 9 раз на T]U , найдем базис представления T]g в следующем виде: [х2Хз(х2 -х3 ), 9 9 9 9 x3Xi(x3 - Xi ), X]X2(xi - Х2 )]. Отсюда можно сделать вывод, что при условии наличия в кристалле соответствующего t-нечетного скаляра v в кристалле появляется намагниченность, пропорциональная четвертой степени тока и электрического поля.
