Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Электромеханический гистерезис в поликристаллических (керамических) сегнетоэлектриках 12
1.1. Модель Прейзаха для описания диэлектрического и пьезоэлектрического гистерезиса в сегнетоэлектрических керамиках (обзор) 12
1.2. Электромеханические переключения в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках: теория и эксперимент (слабые и средние поля) 16
1.3. Модель Прейзаха для моделирования нелинейных пьезо электрических свойств сегнетоэлектриков (сильные поля) 25
Выводы к главе 1 34
ГЛАВА 2. Пористая сегнетопьезокерамика 35
2.1. Методы получения образцов 35
2.1.1. Синтез 35
2.1.2. Спекание керамики 37
2.1.2.1. Обычная технология 37
2.1.2.2. Горячее прессование 37
2.1.3. Изготовление измерительных образцов 39
2.1.4. Поляризация 39
2.2. Методы исследования образцов 39
2.2.1. Определение плотности 39
2.2.2. Рентгенографические исследования 40
2.2.3. Определение электрических и упругих характеристик при комнатной температуре 40
2.2.4. Методы измерения пьезохарактеристик 41
2.2.5. Измерения обратных пъезомодулей 42
2.3. Пористая пьезокерамика на основе NaNb03 44
2.4. Пористая пьезокерамика PMN-PT 48
Выводы к главе 2 53
ГЛАВА 3. Релаксационные процессы в упорядоченных гетерогенных системах 54
3.1. Миграционная поляризация в постоянном поле и гигантское увеличение статической диэлектрической проницаемости (обзор) 54
3.2. Диэлектрическая проницаемость 0-3 - композитов: гигантское диэлектрическое усиление вместо коллективного резонанса ...62
3.2.1. Диэлектрическая проницаемость 0-3-композитов 62
3.2.2. Формула Максвелла-Гарнета 62
3.2.3. Гигантское увеличение диэлектрической проницаемости 63
3.2.4. Коллективный диэлектрический резонанс 66
3.3. Гигантская диэлектрическая релаксация в упорядоченных матричных системах 68
Выводы к главе 3 73
ГЛАВА 4. Релаксационные процессы в неупорядоченных гетерогенных системах 74
4.1. Неупорядоченные гетерогенные системы (обзор) 74
4.2. Гигантская диэлектрическая и обратная пьезоэлектрическая релаксации в сегнетоэлектрических керамиках 77
4.3. Гигантское пьезоэлектрическое и диэлектрическое усиление в неупорядоченных гетерогенных системах 83
4.3.1. Неупорядоченные гетерогенные системы. Теоретическое описание 84
4.3.2. Результаты и обсуждение 86
4.4. Неупорядоченные гетерогенные системы: переход диэлектрик-проводник 95
4.5. Неупорядоченные гетерогенные системы: переход «проницаемость-непроницаемость» 102
Выводы к главе 4 106
Основные результаты и выводы 107
Список печатных работ автора 110
Литература 113
Приложения
- Электромеханические переключения в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках: теория и эксперимент (слабые и средние поля)
- Определение электрических и упругих характеристик при комнатной температуре
- Диэлектрическая проницаемость 0-3 - композитов: гигантское диэлектрическое усиление вместо коллективного резонанса
- Гигантская диэлектрическая и обратная пьезоэлектрическая релаксации в сегнетоэлектрических керамиках
Введение к работе
Актуальность темы. Гетерогенным называется материал, состоящий из областей различных материалов (фаз), такой как композит, или один и тот же материал в различных состояниях, такой как поликристалл [1]. Композиты [2] и поликристаллические (керамические) сегнетоэлектрики являются представителями класса активных гетерогенных систем, получающих все большее применение в современной технике. Физическими свойствами таких систем можно эффективно управлять с помощью внешних воздействий. При этом свойства системы определяются факторами, действующими не только на микроскопическом, но также на мезоскопическом и макроскопическом уровнях, которые формируются как в процессе образования объектов и усложнения их химического состава, так и во время предшествующих фазовых переходов. Несмотря на обширный библиографический материал, природа структурных неустойчивостей, особенности физических процессов и фазовых состояний в указанных системах до конца не поняты. Во многом такая ситуация связана со сложностью изготовления гетерогенных материалов и трудностью воспроизводимости, моделирования и интерпретации их физических свойств. Все это обусловливает неполноту выполненных разными авторами исследований и несоответствие между их результатами. Поэтому исследование гетерогенных сегнетоактивных систем представляется актуальным как с научной, так и с практической точек зрения.
Цель работы. Исследование доменных и релаксационных процессов, происходящих в гетерогенных сегнетоактивных системах под влиянием внешних воздействий.
Задачи исследования: изучить доменные переориентации и электромеханический гистерезис в пьезокерамиках различной степени сегнетожесткости; изучить влияние пористости на физические свойства пористых сегнетокерамик; изучить возможности управления электрофизическими свойствами сегнетокерамик с помощью внешних воздействий; исследовать механизмы гигантского усиления и гигантской релаксации диэлектрической проницаемости в упорядоченных матричных гетерогенных системах; исследовать особенности поведения диэлектрических, пьезоэлектрических, упругих констант и проводимостей и их связь с переходами «диэлектрик-проводник», «жесткость-податливость» и «проницаемость-непроницаемость» в неупорядоченных гетерогенных системах типа сегнетокерамик и статистических смесей. Объекты исследования: Сегнетопьезокерамики системы ПКР. Соединения и твердые растворы на основе NaNb03 и PbMg1/3Nb2/303 РЬТіОз. Упорядоченные матричные гетерогенные системы.
Неупорядоченные гетерогенные системы типа статистических смесей.
Научная новизна
В ходе выполнения диссертационной работы впервые: обнаружены и интерпретированы максимумы на кривых d33(E) зависимости обратного пьезомодуля от напряженности электрического поля, наиболее четко выраженные у сегнетомягких пьезокерамик;
- установлены причины различия скоростей изменения с ростом пористости упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических констант пористых сегнетокерамик;
- показано, что в упорядоченных матричных гетерогенных системах, описываемых формулой Максвелла-Гарнета, невозможен коллективный диэлектрический резонанс, вместо которого возникают гигантское усиление и гигантская релаксация диэлектрической проницаемости;
- исследованы особенности поведения пьезоэлектрических, диэлектрических, упругих констант и проводимости в неупорядоченных системах типа статистических смесей и связь этих особенностей с перколяционными явлениями.
Практическая значимость работы
Новые результаты и установленные в работе закономерности позволяют значительно пополнить имеющуюся информацию по свойствам сегнетопьезокерамик (процессы электромеханического гистерезиса, поведение пористых и проводящих керамик) и композиционных материалов. Гигантское увеличение пьезомодулей и статической диэлектрической проницаемости и гигантские пьезоэлектрическая и диэлектрическая релаксации могут быть использованы при разработке технических устройств с активными сегнетоэлектрическими элементами и для дальнейшего исследования гетерогенных сегнетоактивных систем.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
1. Максимумы на кривых с1зз(Е) зависимости обратного пьезомодуля от напряженности электрического поля, наиболее четко выраженные у сегнетомягких пьезокерамик, возникают вследствие неоднородного распределения не 180 -ных доменов поляризованной керамики по внутренним и коэрцитивным электрическим полям. Описание немонотонной зависимости dn(E), наблюдаемой у всех исследованных сегнетокерамик системы ПКР, невозможно с помощью закона Рэлея и требует использования более общей модели Прейзаха.
2. Вследствие несовпадения в 3-мерных статистических смесях порогов упругой и диэлектрической (пьезоэлектрической) перколяций скорость уменьшения с ростом пористости упругого модуля Сзз° значительно больше скоростей уменьшения диэлектрической проницаемости ?3З/БОИ пьезомодуля d3\ пористых сегнетокерамик.
3. В матричных гетерогенных системах возможно гигантское увеличение статической диэлектрической проницаемости, сопровождающееся гигантской диэлектрической релаксацией. Коллективный диэлектрический резонанс в таких средах не наблюдается.
4. Вблизи фазового перехода «диэлектрик-проводник» в композитах типа статистических смесей возникает не только расходимость статической диэлектрической проницаемости, но и гигантское пьезоэлектрическое усиление.
5. В статистических смесях вблизи порога перколяций «проницаемость-непроницаемость» наблюдается эффект гигантского увеличения высокочастотной проводимости.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной научно-практической конференции ПЬЕЗОТЕХНИКА-2003 (Москва, 2003); Международной научно-технической конференции ПОЛИМАТЕРИАЛЫ-2003 (Москва, 2003); IV Международном семинаре по физике сегнетоэластиков (Воронеж, 2003);
XXI Международной конференции по релаксационным явлениям в твердых телах (RPS-21, Воронеж, 2004); Международных симпозиумах "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах" (ОМА-2004, Сочи, 2004) и "Порядок, беспорядок и свойства оксидов" (ODPO-2004, Сочи, 2004); Международной научно-практической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения» (INTERMATIC - 2004, Москва, 2004).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 17 печатных работах (из них 5 статей в реферируемых научных журналах и 9 статей в материалах конференций).
Личный вклад автора в разработку проблемы. Все исследования выполнены по инициативе и с участием автора. Постановка задач исследования, анализ и обобщение данных и формулировка выводов по работе осуществлены совместно с научным руководителем. Автору принадлежат выбор путей решения поставленных задач, интерпретация экспериментальных и теоретических данных; им написаны некоторые компьютерные программы и разработаны сопутствующие процедуры подготовки данных и обработки результатов. Все выносимые на защиту научные положения диссертации разработаны автором. Соавторы совместных публикаций принимали участие в проведении экспериментов и расчетов, написании компьютерных программ (для большей части расчетов использовались программы, разработанные А.И. Чернобабовым и Г.С. Радченко), обработке полученных данных и обсуждении результатов соответствующих разделов работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, перечня основных результатов и выводов, списка печатных работ автора (17 наименований), списка цитированной литературы из 120 наименований и 2 приложений. Диссертация содержит 135 страниц машинописного текста, включающих 21 рисунок и 6 таблиц. Обзор литературы совмещен с соответствующими главами диссертации.
Электромеханические переключения в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках: теория и эксперимент (слабые и средние поля)
Теория. Поликристаллические (керамические) сегнетоэлектрические материалы являются представителями обширного класса гетерогенных систем, физические свойства которых могут изучаться статистическими методами. Однако имеется принципиальное различие между сегнетоэлектрической керамикой (СК) и классическими (несегнетоэлектрическими) гетерогенными системами - присутствие доменной структуры. Существенным фактором, во многом определяющим как измеряемые величины физических констант СК, так и работу устройств с функциональными СК элементами, является перестройка доменной структуры при изменениях температуры, электрических полей, механических напряжений и других внешних воздействий. В мягких СК с высокой подвижностью доменных границ изменения доменной структуры, вызванные внешними воздействиями, могут давать большой вклад в величины диэлектрических, пьезоэлектрических и упругих констант. Выше уже отмечалось, что статистическое описание доменных процессов в СК существенно облегчается благодаря далеко идущей феноменологической аналогии между сегнетоэлектриками и ферромагнетиками. Предложенная для исследования процессов намагничивания и перемагничивания ферромагнетиков модель Прейзаха [3] была впервые использована для описания поляризации и диэлектрического гистерезиса СК в серии статей [11-13] и в монографии [14] в 1960-е годы. Интерес к прейзаховской модели резко возрос в 2000-е годы, когда была осознана целесообразность и эффективность использования ее для интерпретации многочисленных экспериментальных данных по доменным процессам в сегнетоэлектриках [18-22]. О важности использования прейзаховской модели для сегнетоэлектриков свидетельствует тот факт, что Бартик и др. [19], не будучи знакомы с работами [11-13], сочли необходимым специально подчеркнуть, что именно они впервые предложили применить эту модель к сегнетоэлектрикам (см. также [23], где они отказались от этого утверждения). В 1980-90-х годах Дамьянович [15-17] применил закон Рэлея, который ранее широко использовался при описании ферромагнетиков, для разделения внутренних и внешних вкладов в пьезомодули и описания петель электромеханического гистерезиса СК при прямом пьезоэлектрическом эффекте. Однако вытекающая из закона
Рэлея линейная зависимость прямого пьезомодуля d d от амплитуды переменного механического напряжения наблюдалась только для некоторых СК, тогда как для ряда других СК было характерно нерэлеевское поведение. Это различие в поведении СК привело к заключению, что для последнего случая должно использоваться более общее описание. Такое описание, основанное на модели [3], было предложено в работе [18]. Наши работы посвящены более подробному описанию модели Прейзаха и использованию ее для изучения пьезоэлектрических свойств и электромеханического гистерезиса при обратном пьезоэлектрическом эффекте. Главное отличие прейзаховского формализма для электромеханического гистерезиса от диэлектрического [11-14] заключается в о о необходимости рассмотрения 90 -ных (или не 180 -ных) доменов вместо о о 180 -ных. Это определяется тем, что только 90 -ные переориентации доменов, характерные для сегнетоэлектриков-сегнетоэластиков, дают о вклад в деформации и пьезомодули СК. Количество 90 -ных доменов вдвое о больше, чем 180 -ных, и принято равным 2/3 от общего количества доменов в образце. Уравнения для пьезоэлектрического гистерезиса могут быть получены заменой в уравнениях (1.1)-(1.8) поляризации Р и спонтанной поляризации Ps продольной упругой деформацией 3 и удвоенной спонтанной деформацией 2 соответственно. Будем считать, что СК представляет собой ансамбль не 180-ных (90-ных) доменов. При изучении обратного пьезоэффекта каждый из этих доменов рассматривается как бистабильный элемент и характеризуется прямоугольной петлей гистерезиса с внутренним электрическим полем -оо ЕІ оо, определяющим сдвиг петли относительно оси механических деформаций коэрцитивным полем 0 Ес оо, равным полуширине петли, и спонтанной деформацией ff5.
Внутреннее поле определяется взаимодействием между индивидуальным доменом и его окружением. Коэрцитивное поле зависит от химического состава СК, температуры и частоты электрического поля. Все домены с Ej Ес ориентированы в отрицательном, а все домены с Et -Ес-в положительном направлении. Ориентация доменов с -Ес Ej Ес считается определенной неточно (рис. 1.2). После завершения переходных процессов переключаемые в переменном поле Е с амплитудой Ет домены будут локализованы в «рабочем» равнобедренном треугольнике, вершины которого имеют на плоскости (Ес, Еі) координаты Ес = Ет, Et = ± Ет (рис. 1.3). Уравнения для начальной кривой продольной деформации т(Ет),
Определение электрических и упругих характеристик при комнатной температуре
Определение диэлектрических, пьезоэлектрических и упругих характеристик производили при комнатной температуре в соответствии с [35]. В соответствии с ОСТом определяли следующие параметры: относительную диэлектрическую проницаемость поляризованных (?зз/Єо) и неполяризованных (є/о) образцов, (Ь - диэлектрическая проницаемость вакуума), удельное электрическое сопротивление (pv), температуру Кюри (Тк), пьезомодули (й зь зз) коэффициенты электромеханической связи (Кр, Kt), механическую добротность (QM), диэлектрические потери в слабом поле (tg 5), скорость звука (VR), модуль Юнга (УцЕ), коэффициент Пуассона ((f). Вычисление параметров производили по специальной программе на ЭВМ с использованием данных измерений 10 поисковых образцов каждого состава. Существующие методы измерений пьезоэлектрических констант делятся на две основные группы: резонансные и нерезонансные. Подробное описание резонансного (динамического) метода дано в работах [39-44].
Для реализации этого метода предварительно определяли относительные диэлектрические проницаемости механически свободного (зз/Ь) и механически зажатого ( 33/) образца, после чего определялись коэффициенты электромеханической связи Kt толщинной и Кр планарной моды колебаний, динамические пьезомодули і3з (по коэффициенту Kt), di\ (по коэффициенту Кр), значения QM, VR, YUE, т. Для всех исследованных образцов керамики NaNbC 3 наблюдали сильное демпфирование толщинной моды колебаний, что проявлялось в малых величинах механической добротности QM = 4-7 и увеличении разности частот антирезонанса и резонанса fa-f{. Поэтому для точного определения К, и с/зз использовали статическую ("зз/о) и высокочастотную ( зз/Ь) диэлектрические проницаемости, измерявшиеся с помощью измерителя импеданса ВМ508 фирмы Tesla на частотах, значительно меньших и значительно больших частот толщинного пьезорезонанса. Расчет Kt производили по формуле [27]: К2 - (7r/2)-fs/fp-ctg(7r/2)-fs/fp, где отношение частот последовательного и параллельного резонанса толщинных колебаний определялось как fslfp ( 33/ 33) Ввиду практически полного отсутствия в большинстве поляризованных образцов керамики NaNb03 планарной моды пьезоэлектрических колебаний (Кр2 0,015) для расчета /3з использовали формулу [27]: d 2 = К2 -6 33/ 33 /(1- К2), где c33D - модуль упругости, измеренный на частоте антирезонанса. Статический и квазистатический (нерезонансные) методы измерений описаны в [39, 40]. Прямые статические пьезоэлектрические модули d d измеряли путем резкого сбрасывания приложенной к образцу механической нагрузки 60 Н и определения электрического заряда, выделявшегося на параллельно включенном конденсаторе большой емкости. Квазистатический метод основан на измерении на электродах образца заряда, возникающего при воздействии на образец переменного механического напряжения ( 20 Н), частота которого (150 Гц) много меньше собственных резонансных частот образца. Напряжение прикладывается в направлении остаточной поляризации.
Измеряемая характеристика - с/зз95- Измерения зависимости d-nqs от температуры проводили при нагревании в безградиентном режиме до 570- 620 К со скоростью 1-1,5 К/мин. Измерения обратных пьезомодулей d СК различной степени сегнетожесткости производились на предварительно поляризованных пьезоэлементах в форме дисков диаметром 10 мм и толщиной 1 мм по схеме, подробно описанной в первой главе диссертации. Физические константы и структурные характеристики некоторых исследовавшихся в работе материалов системы ПКР, взятые из [25, 26], приведены в таблицах 2.2 и 2.3.
Диэлектрическая проницаемость 0-3 - композитов: гигантское диэлектрическое усиление вместо коллективного резонанса
В разделах 3.2 и 3.3 исследуются гигантское увеличение статической ДП и гигантская диэлектрическая релаксация в гетерогенной среде, состоящей из регулярно расположенных сфероидов, погруженных в матрицу, и описываемой формулой Максвелла-Гарнета. Показывается также невозможность наблюдения в такой среде коллективного диэлектрического резонанса. Композиты со связностью типа 0-3 (по классификации [2]) в виде полимерной матрицы, содержащей изолированные включения с объемной концентрацией г] и большой ДП єіпс, значительно превышающей ДП матрицы єт, в частности включения из сегнетоэлектрической керамики, широко применяются в современной технике. Однако некоторые проблемы, связанные как с теоретическим описанием, так и с применением таких композитов, остаются мало исследованными. Одной из таких проблем является возможность получения и использования очень больших (гигантских) величин ДП є.
В этом разделе рассматривается одна из таких возможностей, связанная с диспергированием включений с высокой ДП в проводящую матрицу. Теоретической основой нашего подхода является использование формулы Максвелла-Гарнета [75, 76] для матричной среды, содержащей включения сфероидальной формы со значительно отличающимся от аспектным отношением = с/а (а = Ъ с - полуоси сфероида). Формула Максвелла-Гарнета широко применяется при рассмотрении матричных систем и дает наиболее надежные результаты в предельных случаях очень малых (TJ - 0) и очень больших (г/ — 1) концентраций включений. В случае сфероидов с одинаковой ориентацией главных осей, вдоль одной из которых (с) направлено электрическое поле, эта формула может быть получена несколькими путями. Простейший заключается в замене в формуле Максвелла-Гарнета для сферических включений [75] фактора деполяризации сферы 1/3 фактором деполяризации сфероида 0 АС(Е) 1, зависящим от аспектного отношения и соответствующим ориентации электрического поля вдоль оси с сфероида. Для ДП такого композита в направлении с формула Максвелла-Гарнета имеет вид [76] В полном соответствии с многочисленными экспериментальными данными [77] и результатами теоретических исследований [76, 78] при отсутствии или небольшой величине диэлектрических потерь рассчитанная по формуле (3.17) ДП монотонно увеличивается с ростом г\. При учете всегда имеющихся у компонентов удельных проводимостей уте и ут ДП включений єіпс = jnc/+ ЇУіпс І и матрицы єт = єт + iyjco (со - круговая частота гармонического электрического поля) становятся комплексными и частотно зависимыми. Подстановка комплексных величин єіпс и Ет в формулу (3.17) и анализ концентрационной зависимости комплексной ДП композита є = є + іє" показывает, что ход кривой E (rj) становится немонотонным (рис. 3.2).
При - 0 (или, в зависимости от отношения у„с/ут при 77 — 1) имеет место гигантское (на порядок и более) увеличение статической ДП ь композита со сплющенными ( « 1) сфероидами. Основная причина гигантского диэлектрического усиления та же, что в слоистых 2-2-композитах с последовательно соединенными слоями [66-68, 79]: так, например, при 77 - 0 на границах матрицы из сильно проводящего компонента с тонкими слабо проводящими сплющенными включениями происходит эффективное накопление свободного электрического заряда. Гигантское увеличение ДП композита наблюдается только на низких частотах. При увеличении же частоты со в системе происходит гигантская диэлектрическая релаксация, аналогичная максвелл-вагнеровской релаксации в слоистых 2-2-композитах [66-68]. Диэлектрический спектр имеет дебаевский характер, время релаксации
Гигантская диэлектрическая и обратная пьезоэлектрическая релаксации в сегнетоэлектрических керамиках
Наиболее распространенными и важными для технических приложений являются материалы со стохастическим расположением, окружением и/или ориентацией частиц. К таковым относятся сегнетокерамики (СК) и статистические смеси. Согласно общепринятым представлениям, керамический материал, в том числе и СК, является многофазной системой, в которой следует различать кристаллическую, стекловидную и газовую фазы [86]. Интерес к сегнетокерамическим материалам обусловлен возможностью их изготовления по керамической технологии в виде образцов любой формы, необходимой для практических целей. Особенно широкое применение СК получила после того, как было обнаружено, что она под действием постоянного электрического поля приобретает длительно сохраняющуюся остаточную поляризацию и пьезоактивность. Такие сегнетокерамические материалы получили название пьезокерамики. Кристаллическая фаза СК состоит из зерен - кристаллитов определенного химического соединения или твердого раствора. В неполяризованной керамике кристаллографические оси зерен имеют статистически равновероятную пространственную ориентацию. Состав и структура кристаллитов определяют основные свойства керамического материала. В высококачественной СК концентрация стекловидной фазы пренебрежимо мала, и ее роль в формировании физических свойств незначительна. Газовая фаза заполняет поры керамики и может существенно влиять на физические свойства. Микроструктура сегнетокерамических материалов зависит от методов их производства, вида и качества сырьевых материалов, кинетики фазовых превращений, режима роста зерен и спекания. Целью исследования микроструктуры является определение доменного строения кристаллитов и его изменений под действием внешних факторов, а также размера, формы и ориентации кристаллитов, расположения пор и стекловидной фазы. Кристаллиты керамики, как правило, имеют сложную доменную структуру; однодоменные зерна являются исключением.
После поляризации в сильном постоянном поле при повышенных температурах в СК типа цирконата-титаната свинца (ЦТС, ПКР) наблюдается почти полное исчезновение 180-градусных доменов и значительной части 90-градусных доменов [87, 88]. Модифицированная керамика ЦТС, ПКР имеет мелкозернистую структуру, высокие ДП и пьезомодули и малую степень старения [25, 26,48]. По ряду физических свойств СК практически не отличается от монокристалла того же химического соединения. Она может существовать в параэлектрической и сегнетоэлектрических фазах и испытывать фазовые переходы, температуры которых совпадают или близки к соответствующим температурам для монокристалла. ДП в параэлектрической фазе подчиняется закону Кюри-Вейсса с такой же постоянной, что и для монокристалла. Остаточная поляризация имеет тот же порядок величины, как спонтанная поляризация монокристалла. Совпадают или очень близки тепловые свойства (теплоемкость, термическое расширение) керамики и монокристалла. Однако такие свойства, как ДП, пьезоэлектрические и упругие константы, проводимость являются структурно чувствительными и не могут быть одинаковыми в монокристалле и СК. Расчет этих свойств можно произвести, если рассматривать СК как поликристалл [89] -совокупность кристаллитов, кристаллографические оси которых хаотически или частично упорядоченно (после поляризации или других внешних воздействий) распределены в пространстве. Физические константы поликристалла могут рассматриваться как некоторые средние значения констант составляющих поликристалл кристаллитов и, в конечном итоге, отдельных доменов. Однако строгий способ усреднения констант однодоменного кристалла неизвестен, и в настоящее время используются различные приближенные методы, точность которых не всегда ясна. Обзор предложенных методов и формул можно найти в работах [90, 91]. Дополнительным фактором, оказывающим существенное влияние на физические свойства СК, является движение доменных границ [44, 92]. Для ЦТС, ПКР и других составов, расположенных внутри или вблизи морфотропной области, следует учитывать движения межфазных границ [81, 82]. Не менее сложным для исследования и перспективным для практического использования объектом являются статистические смеси [93, 94] - системы с хаотическим расположением частиц. Большое число работ посвящено исследованию двумерных и трехмерных двухкомпонентных смесей (см., например, [60-62, 90]). Из различных методов, предложенных для расчета физических констант таких систем, наиболее точными являются численные, например методы Монте-Карло [95-99] и конечных элементов [63, 100].
Однако в силу своей простоты и физической наглядности по-прежнему очень широко применяется метод эффективной среды [60-62, 101] с использованием ряда результатов теории перколяции [95-99]. Метод эффективной среды является хорошим приближением, если различие диэлектрических, пьезоэлектрических, упругих констант и проводимостей компонентов не очень велико (10-100 раз). При больших различиях величин этих констант точность этого метода ухудшается. Так, например, в случае предельно большого (бесконечного) различия проводимостей компонентов метод эффективной среды в трехмерной статистической смеси дает завышенный (0,33 проводящего компонента) порог перколяции (вместо 0,17 по методу Монте-Карло). Однако качественные выводы, получаемые методом эффективной среды, являются наглядными, корректными и достаточно эффективными, что будет видно из последующего рассмотрения. Это подтверждается и расчетами двумерной статистической смеси, где порог перколяции (0,5), получаемый методом эффективной среды, совпадает с точным решением [102, 103].
