Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Литературный обзор 14
1.1 Статика и динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах
1.2 Взаимодействие доменных границ с дефектами 25
1.3 Уравнение синус Гордона и его решения 33
ГЛАВА II Нелинейная динамика доменных границ в редкоземельных ортоферитах с одномерной неоднородностью константы магнитной анизотропии 41
2.1 Основные уравнения и численный метод решения 42
2.2 Выход доменных границ на стационарную скорость 47
2.3 Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах с одной областью неоднородности константы магнитной анизотропии 51
2.4 Зарождение магнитных неоднородностей в области неоднородности константы магнитной анизотропии
2.5 Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах с двумя областями неоднородности константы 58 магнитной анизотропии
Выводы 68
ГЛАВА III Нелинейная динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах с двумерной неоднородностью константы магнитной анизотропии 69
3.1 Основные уравнения и численный метод решения 69
3.2 Изгибные волны на доменных границах 76
3.2.1 Движение доменных границ по инерции 76
3.2.2 Движение доменных границ во внешнем магнитном поле 92
3.3 Зарождение магнитных неоднородностей в области двумерной неоднородности константы магнитной анизотропии
ГЛАВА IV Нелинейная динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах с одномерными неоднородностями магнитной анизотропии и обмена
4.1 Постановка задачи и основные уравнения 101
4.2 Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах с неоднородностями константы магнитной анизотропии и параметра обменного взаимодействия 106
4.3. Пиннинг доменной границы в области дефекта 115
4.4 Зарождение и эволюция магнитных неоднородностей в области дефекта 120
Выводы 129
Заключение 130
Авторский список 132
Литература 136
- Взаимодействие доменных границ с дефектами
- Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах с одной областью неоднородности константы магнитной анизотропии
- Изгибные волны на доменных границах
- Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах с неоднородностями константы магнитной анизотропии и параметра обменного взаимодействия
Введение к работе
магнитных материалов одна из важных проблем в физике магнитных явлений, являющейся одной из больших составляющих физики конденсированных состояний [1-4]. Для слабых ферромагнетиков (СФМ) на первый план, из-за аномально высоких полей опрокидывания магнитных подрешеток, выходит механизм перемагничивания, связанный с движением доменных границ (ДГ) [5-7]. Эти соединения обладают большим многообразием различных магнитных и динамических свойств [1,5,6,8-12], изучение которых, позволяет, например, рассматривая такой класс СФМ как редкоземельные ортоферриты (РЗО), исследовать и свойства, общие для широкого класса магнитоупорядоченных кристаллов. Особенности кристаллического и магнитного строения РЗО, обуславливают уникальное сочетание их магнитных и оптических свойств, приводят к богатому многообразию магнитных упорядочений и к тому, что они уже в течение 40 лет являются хорошим модельным материалом [1, 13-15]. Высокая магнитооптическая добротность делает СФМ весьма удобным объектом для магнитооптических исследований процессов намагничивания [5,6] и моделирования новых механизмов перемагничивания в естественной, сильно диссипативной и нелинейной среде. Все это обуславливает возможность использования СФМ в различных магнитооптических устройствах (модуляторах, затворах, управляемых пространственно-временных транспарантах, перестраиваемых дифракционных решетках) [7]. Так как, технические характеристики многих этих устройств определяются динамическими характеристиками магнитных неоднородностей, несомненный практический интерес вызывает изучение статики и динамики РЗО с ДГ, имеющее большое как научное, так и практическое значение. Отметим также, что сравнительно низкие скорости процессов перемагничивания в применяемых сегодня магнитооптических материалах (скорость движения ДГ не более нескольких сотен м/с) ограничивают повышение быстродействия функциональных элементов и устройств. В то же время, в неколлинеарных антиферромагнетиках со слабым ферромагнетизмом, таких как РЗО, борат железа, скорость движения ДГ превосходит скорости распространения звуковых волн в них и является наибольшей среди изученных в настоящее время магнетиков (для РЗО -2О103м/с)[5].
Ортоферриты, в настоящее время, являются одним из классов магнетиков, динамика доменной структуры (ДС) которых, одна из наиболее подробно изученных [5,6,11,16]. Причем, построенная на основе двухподрешеточной модели, теория не только качественно, но и часто количественно описывает многие аспекты динамики ДС. Разработка высокоточного метода исследования, быстропротекающих процессов перемагничивания в прозрачных магнитоупорядоченных средах, в реальном масштабе времени [17] позволила достаточно подробно экспериментально изучить процессы преодоления движущейся доменной границей звукового барьера, движение ДГ со скоростями, близкими к предельным, и взаимодействие ДГ с дефектами материала [18]. При этом, был обнаружен ряд интересных макроскопических нелинейных явлений [5,19-25]. Например, нелинейную зависимость скорости ДГ от величины амплитуды приложенного магнитного поля; неоднородную форму ДГ на сверхзвуковых скоростях, сопровождающуюся явлением самоорганизации; динамическую перестройку ДГ при преодолении ею звукового барьера в условиях сильной звуковой накачки.
Внимание большого числа исследователей достаточно давно привлекает изучение различных дефектов в твердых телах и магнитноупорядоченных кристаллах, а также влияние дефектов на их физические свойства [2]. В магнетиках прямое экспериментальное исследование дефектов часто оказывается затруднительным, поэтому приходится использовать непрямые методы. Одним из таких распространенных способов, позволяющих получить информацию о -7-свойствах кристалла, является изучение взаимодействия доменных границ с дефектами [2,26,27]. Одним из теоретических направлений исследования влияния дефектов на магнитные неоднородности является учет в рамках термодинамической теории, возможности пространственной зависимости параметров материала. Существуют и многочисленные экспериментальные работы, показывающие возможность того, что наличие дефектов в реальных магнетиках может приводить к неоднородности эффективных магнитных параметров ферро- и антиферромагнетиков (смотрите, например [28-30]). Это приводит к существенному усложнению уравнения Ландау-Лифшица для намагниченности, определяющего динамические характеристики волн намагниченности. В разнообразных физических приложениях большой интерес представляет характер рассеяния нелинейного возбуждения солитонного типа на локальных неоднородностях параметров материала, которые моделируют дефекты в изучаемой среде [31].
В статическом случае учет пространственной зависимости параметров материала позволяет моделировать квазистационарную кинетику спин-переориентационных фазовых переходов и определить критические поля зарождения магнитных неоднородностей, найти кривые намагничивания, коэрцитивную силу образца [32-34]. Однако, до сих пор отсутствует достаточно полное теоретическое исследование влияния даже одномерной неоднородности константы магнитной анизотропии (НКМА) и неоднородности параметра обменного взаимодействия (НПОВ) на структуру, условия зарождения и характеристики магнитных неоднородностей.
В динамическом случае задача возбуждения и распространения волн намагниченности в таких материалах, при определенных условиях, сводится к изучению модифицированного уравнения синус-Гордона (МУСГ) с переменными коэффициентами. К настоящему времени разработана теория возмущений для уравнения данного типа, позволяющая, в принципе, найти как движение центра масс кинка, так и изменение его формы и излучение малых колебаний [35]. Однако, для случая магнетиков, она была -8-использована только для нахождения закона движения центра масс ДГ, и то в частном случае неоднородности параметров материалов [36]. При этом, возбуждение сильных нелинейных излучений практически не рассмотрены.
Известно, что в равновесном состоянии в области дефектов могут образоваться магнитные неоднородности [28,37-39]. В динамике, когда действует неоднородное, по времени и пространству, возмущение в области дефектов, при определенных условиях, могут возбуждаться сильно нелинейные волны магнитной и магнитоупругой природы, которые также пока практически не изучены. Вопросы теоретического исследования прохождения кинков (доменных границ) через плоский тонкий слой с магнитными параметрами, отличающимися от значений во всем объеме, с точки зрения возбуждения и излучения нелинейных волн, остается слабо изученным, особенно для больших значений неоднородностей параметров материала. Кроме того, этот процесс может сопровождаться зарождением на дефекте солитонов, которые так же могут быть источниками излучения нелинейных спиновых и магнитоупругих волн. Поэтому актуально теоретическое исследование возбуждения и распространения нелинейных волн в магнитных средах с неоднородными материальными параметрами. Исследование влияния больших возмущений на решение одно- и двумерного модифицированного уравнения синус-Гордона с помощью численных методов представляет большой интерес и с точки зрения физики нелинейных явлений.
Описанный выше круг проблем и задач, вытекающих из потребностей дальнейшего развития теории, описания эксперимента и совершенствования техники, позволяет сделать вывод, что исследование структуры и динамики магнитных неоднородностей в СФМ с дефектами является актуальной задачей в физике конденсированного состояния.
Целью данной диссертационной работы является теоретическое исследование структуры и динамики магнитных неоднородностей в слабых ферромагнетиках типа редкоземельных ортоферритов с учетом -9-неоднородности константы магнитной анизотропии и параметра обменного взаимодействия.
Основные задачи работы.
Провести исследование нелинейной динамики доменных границ в материале с одной и двумя областями одномерной произвольной по величине и форме неоднородности константы магнитной анизотропии, с учетом возможности зарождения в области дефекта магнитных неоднородностей.
Провести исследование нелинейной динамики доменных границ в материале с двумерной, произвольной по величине и форме, неоднородностью константы магнитной анизотропии, с учетом возможности возбуждения на ДГ уединенных изгибных волн и зарождения в области дефекта магнитных неоднородностей.
Провести исследование нелинейной динамики доменных границ в материале с одномерными произвольными по величине и форме неоднородностями константы магнитной анизотропии и параметра обменного взаимодействия, с учетом возможности зарождения в области дефекта магнитных неоднородностей.
Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые получены следующие результаты:
Показано, что наличие одной или двух областей одномерной неоднородности константы магнитной анизотропии при определенных условиях может приводить к зарождению в области дефекта различных магнитных неоднородностей солитонного и мультисолитонного типа.
Найдено, что при движении ДГ через область с двумерной неоднородностью константы магнитной анизотропии на ней могут возбуждаться уединенные изгибные волн типа «кинка на кинке», а при определенных условиях в области дефекта могут зарождаться магнитные неоднородности пульсонного типа симметричного и несимметричного вида.
3 Исследовано влияние одномерных дефектов, приводящих к неоднородностям магнитной анизотропии, и параметра обменного -10-взаимодействия на изменение структуры, динамику, возбуждение внутренних мод колебаний ДГ и на возможность зарождения различных магнитных неоднородностей в области дефекта.
Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач и проведением, при использовании численных вычислений сравнительных тестовых расчетов различными методами. В предельных случаях из результатов исследований получены известные ранее данные и зависимости.
Научно-практическая значимость результатов. Проведенные исследования расширяют существующие представления о влиянии дефектов на структуру и динамику доменных границ в магнетиках. Полученные результаты расширяют представления о возможных типах и свойствах магнитных неоднородностей в магнетиках с модулированными параметрами: Часть исследований проведена специально для объяснения ранее наблюдаемых явлений. Некоторые полученные численно результаты сравниваются с уже имеющимися аналитическими исследованиями. При этом, достигнуто качественное и количественное согласие численных и аналитических результатов для случая малых дефектов. Созданные прикладные программы позволяют визуализировать изменение структуры ДГ в различные моменты времени. Исследуемые материалы широко используются в различных устройствах микроэлектроники, поэтому, полученные результаты, могут быть использованы для оптимизации характеристик этих материалов.
Структура и содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и насчитывает 149 страниц, включая 90 рисунков и 138 библиографических ссылок.
Во введении обоснована актуальность и практическая значимость темы диссертации, формулируется цель исследования и излагается краткое содержание диссертации по главам.
Первая глава посвящена обзору работ по рассматриваемым в диссертации вопросам. Рассматрены структура кристалла редкоземельного ортоферита, спиновые конфигурации, основные теоретические и экспериментальные результаты динамики доменной границы. Приведен обзор работ, посвященных численному моделированию особенностей статики и динамики доменных границ в магнетиках с дефектами. Подробно описаны возможные решения МУСГ, описывающего нелинейную динамику доменных границ в магнетиках.
Вторая глава посвящена численному исследованию динамики ДГ в магнетике с одной и двумя областями НКМА произвольных размеров и формы в одномерной модели. Для случая одной области НКМА вычислено изменение фазы ДГ, появляющейся после прохождения области НКМА. Рассмотрено зарождение и эволюция магнитной неоднородности, появляющейся в области НКМА, после ухода локализованной в ее центре ДГ. Как и для случая наезда ДГ на дефект, выделены три сценария эволюции такой неоднородности: затухающий бризер, бризер переходящий в солитон и солитон и найдены области параметров НКМА, определяющих их существование. Для затухающего бризера построена зависимость максимальной амплитуды и частоты колебаний от параметров области НКМА. При наличии двух областей НКМА показана возможность возбуждения магнитных неоднородностей мультисолитонного вида: типа связанного состояния кинка и бризера (трехкинковое решение или «тритон»), связанного состояния двух бризеров (четырехкинковое решение).
Третья глава посвящена исследованию с помощью численных и аналитических методов нелинейной динамики доменной границы в магнетике с двумерной неоднородностью константы магнитной анизотропии. Изучена динамика уединенных изгибных волн появляющихся при пересечении ДГ области неоднородности константы магнитной анизотропии, зарождение и эволюция локализованной в этой области магнитной неоднородности типа пульсон. Найдены зависимости -12-максимальной амплитуды изгибной волны от скорости ДГ и параметров неоднородности материала для случаев движения ДГ по инерции и во внешнем магнитном поле. Полученное аналитическое выражение для амплитуды изгибной волны, качественно описывает численные результаты. Найдены зависимости максимальной величины амплитуды пульсона от времени, параметров неоднородности и скорости ДГ.
Четвертая глава посвящена исследованию с помощью численных методов динамики ДГ в магнетиках с дефектами, приводящими к НКМА и НПОВ произвольной формы. Вычислена минимальная скорость ДГ необходимая ей для преодоления области дефекта. Рассмотрена динамика пиннинга ДГ в области дефектов. Вычислены зависимости частоты трансляционной Sl и пульсационной т1 мод колебаний ДГ от параметров области НПОВ. Рассмотрены зарождение и эволюция магнитных, неоднородностей, появляющихся в области дефекта, после прохождения ДГ через дефект. Выявлены три сценария образования такой неоднородности: затухающий бризер, бризер переходящий в ноль-градусную ДГ, ноль-градусная ДГ и найдены области их существования.
В заключении сформулированы выводы по диссертационной работе.
Положения, выносимые на защиту:
Результаты аналитического и численного исследований влияния наличия в РЗО одной или двух областей одномерной произвольной по величине неоднородности константы магнитной анизотропии на нелинейную динамику доменных границ.
Результаты аналитического и численного исследований влияния наличия в РЗО двумерной произвольной по величине области неоднородности константы магнитной анизотропии на нелинейную динамику доменных границ.
Результаты аналитического и численного исследований влияния наличия в РЗО одномерной произвольной по величине и форме области -13-неоднородности константы магнитной анизотропии и параметра обменного взаимодействия на нелинейную динамику доменных границ. Апробация работы. Результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях и семинарах: «Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике» (Уфа 2006, 2008), «Всероссийская школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и её приложения в естествознании» (Уфа 2007, 2008), «Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых» (Екатеринбург 2005, Уфа 2008), «Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых» (Уфа 2005), Международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва 2006, 2009), Euro-Asian Symposium «Magnetism on a Nanoscale» (Kazan 2007), «Молодежная школа-семинар СПФКС» (Екатеренбург 2007, 2008), International Conference «Functional Material» (Partenid, Ukraine 2007), Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка» (Екатеринбург 2006, 2008), Moscow International Symposium on Magnetism - MISM (Moskow 2008), International Symposium Spin Waves (Saint-Petersburg 2009).
Основные материалы диссертации опубликованы в работах [А1-А20], список которых приведен в заключении.
Взаимодействие доменных границ с дефектами
Часто для адекватного описания статики и динамики ДГ необходимо учитывать то, что реальные образцы магнетиков содержат различного рода неоднородности (или дефекты), нарушающие их идеальную трансляционную симметрию. Дефекты могут существенно изменить структуру ДГ и привести к зарождению различного рода магнитных неоднородностей, локализованных в области нахождения дефектов (см., напр., [69-71]). К случайным неоднородностям, играющим важную роль, можно отнести [72]: нарушение порядка в расположении магнитных ионов в узлах решетки, неоднородность химического состава образцов, нарушение постоянства осей кристалла, поликристалличность или блочность, неоднородные упругие напряжения, "геометрические" неоднородности (поры, трещины и шероховатости поверхности образца). Исследование взаимодействия ДГ с дефектами ведется достаточно давно (см., напр., [2]). Одним из общепринятых способов описания взаимодействия ДГ с дефектом в теории смещения доменных границ является введение энергии взаимодействия Фвз, описывающей изменение локальной поверхностной энергии границы, и, являющейся функцией от координат. Много близких к экспериментальным данным результатов получено в теориях напряжений и немагнитных включений, развитых в основном работами Кондорского, Керстена, Нееля, ставших уже классическими [2]. Дальнейшим развитием теории квазистатичекого смещения ДГ явилось представление о локальных вариациях энергии ДГ как реализации случайного потенциала [73].
Другим общепринятым способом описания влияния дефектов на магнитные неоднородности является учет, в рамках термодинамической і теории, пространственной зависимости магнитных параметров кристалла, таких как обменный параметр, константа анизотропии, намагниченность насыщения, ось легкого намагничивания и т.д. Так как для реальных дефектов обычно сложно точно рассчитать их свойства, приходится моделировать функции, описывающие магнитные параметры неоднородного кристалла (см. напр. [37]). При теоретическом анализе магнитного поведения высокоанизотропных одноосных магнетиков распространена аппроксимация дефектов в виде конечного по толщине плоского (или пластинчатого магнитного включения (ПМВ) [37, 74]. Одним из распространенных направлений исследования влияния дефектов на магнитные неоднородности является моделирование пространственной зависимости константы магнитной анизотропии (КМА) и параметра обменного взаимодействия (ПОВ) [37,74-77]. Традиционно функции описывающие НКМА и НПОВ моделируют в форме прямоугольника ((1.18), рис. 1.2 а), треугольника ((1.19), рис. 1.2 б), "гаусовского" вида ((1.20), рис.1.2 в) [37,74-77]. взаимодействие также с двумерными дефектами, и было показано, что выбор модели влияет на величину, но не на характер рассматриваемых эффектов. В [74] также рассмотрена проблема взаимодействия 180-градусной ДГ с ПМВ для определения коэрцитивной силы Нс. Считалось, что Нс соответствует максимальному внешнему магнитному полю, для которого еще существует решение типа 180-градусной ДГ. Обобщение подхода работы [74] для случаев произвольных по величине толщин одиночных ПМВ и двух ПМВ проведено в [79]. В работе [80] сделан численный расчет Нс, с учетом произвольного изменения по величине K,A,MS плоского дефекта в модели работы [74] и рассмотрен вопрос о применении использованной модели и полученных результатов к реальным материалам.
Также, используя численные методы в [38], был исследован вопрос о влиянии пластинчатой НКМА, бравшейся в гауссовом виде, на структуру и энергию магнитных неоднородностей в кубических и одноосных кристаллах ферромагнетиков. С помощью численных методов были исследованы изменения структуры 180-градусной ДГ для случая неоднородности обменного параметра [75] и константы магнитной анизотропии [81], с учетом внешнего магнитного поля. В работе [76] была предложена модель дефекта с неоднородностью констант магнитной анизотропии и обменного взаимодействия вида, допускающего, в частном случае, точное решение уравнения Эйлера одномерной задачи для 180-градусной и 0-градусной ДГ. Структура, ширина и энергия межфазной блоховской 90-градусной ДГ, возникающей вследствие НКМА вида Кг =К[ х, в одноосном ферромагнетике определена в работе [71]. Детальное теоретическое исследование структуры магнитных неоднородностей [82], показало, что в ферромагнетиках, содержащих два типа анизотропии различной симметрии, также могут возникать магнитные неоднородности типа 0-градусной ДГ (статические солитоны), однако они не являются устойчивыми.
Эти магнитные неоднородности могут оказаться устойчивыми в магнетиках с внутренними неоднородными полями и оказать существенное влияние на физические свойства материалов. Коэрцитивность ДГ, определяемая наличием дефектов, существенным образом зависит от величины градиента магнитного поля grad(H), стабилизирующего положение ДГ [84]. Аппроксимируя прогиб стенки в области дефекта равнобедренным треугольником, в работе [84] получена теоретическая зависимость Har (grad(H)), совпадающая в области больших градиентов (grad(H) 0,6 104 Э/см) с экспериментальной. Оценив, зная реально наблюдаемые величины Hcw (1-30 Э), величину Фвз и 1,3 10"5 эрг и сравнив ее, с на порядок меньшей, величиной Фвз 180-градусной ДГ с дислокацией, было сделано предположение, что дефект — скопление дислокаций. Авторы отметили важность дальнейшего теоретического изучения взаимодействия отдельных ДГ и различных дефектов, т.к. современные экспериментальные методы часто не позволяют выявить структуру дефективных микроскопических областей. В экспериментальной работе [28], на основе анализа полученных результатов, предполагалось, что в ортоферритах и ортохромитах, вследствие концентрационных флуктуации и нарушения баланса конкурирующих вкладов в анизотропию вблизи дефектов, возможны флуктуации величины и знака константы анизотропии. На возможность существования в этих материалах областей с различной величиной константы анизотропии, указывается и в теоретической работе [85]. Наличие неоднородности эффективных магнитных параметров ферро-и антиферромагнетиков приводит к существенному усложнению уравнения Ландау-Лифшица для намагниченности, определяющего динамические характеристики волн намагниченности. В статическом случае учет пространственной зависимости параметров материала позволяет моделировать квазистационарную кинетику спин-перерриентационных фазовых переходов и определить критические поля зарождения магнитных
Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах с одной областью неоднородности константы магнитной анизотропии
Ранее уже было рассмотрено то, что происходит с ДГ при прохождении через область дефекта [127]. При этом не было найдено изменение фазы ДГ, которое для случая малых дефектов определено в работе [36]. Схема численного эксперимента такова: во-первых в начальный момент времени мы включаем магнитное поле, которое приводит к разгону за некоторое конечное время ДГ до стационарной скорости, соответствующей с большой точностью известной формуле (1.17). В дальнейшем ДГ двигается во внешнем магнитном поле в однородном материале и находим координату центра ДГ (xj) через определенное время (t=500). Все результаты в данном параграфе приведены для случая движения ДГ во внешнем магнитном поле при а = 2Л0 2, /2 0. Затем, аналогично, включаем магнитное поле, покоящаяся ДГ начинает, под действием этого поля, разгоняться до стационарного значения скорости, дальше пересекает область НКМА вида (1.18). Для этого случая, в тоже самое время, что и для первого, находим координату центра ДГ (х2). Далее мы отнимаем значение координаты центра ДГ в первом случае (xj), от координаты центра ДГ во втором случае (х2) и эту величину будем называть изменением фазы Аф = х} - х, На рисунке 2.7 приведена зависимость Аф от параметра К для НКМА типа потенциальная яма {К 1) и барьер (К 1), при различных скоростях наезда на эту область. Из рисунка видно, что полученная зависимость Аф близка к параболической. И в области К 1 Аф, при одинаковых 1 - К принимает большую величину, нежели в области К 1.
На рисунке 2.8-2.9 приведено сравнение аналитической (1.22) и численной зависимостей Аф от величины параметра W. Видно, что аналитическое --выражение качественно описывает численные результаты в области малых параметров и для небольших скоростей. На рисунке 2.10 приведена зависимость Дф от величины скорости v. Из рисунка видно, что с увеличением v величина изменения фазы Л(р стремиться к нулю, т.е. ДГ практически не задерживается в области НКМА. Также получено неплохое совпадение, для случая К = 1.4, численного значения с аналитическим значением, полученным с помощью выражения (1.22), в области больших скоростей. Теперь рассмотрим случай, когда через область НКМА проходит импульсное возбуждение с небольшой амплитудой (Рис. 2.11). Отметим, что здесь, как и в случае динамики ДГ[133], после прохождения области НКМА, на ней наблюдается образование магнитной неоднородности типа солитона (см. рис. 2.11). Т.е. можно сделать вывод о том, что даже небольшое возбуждение, например, в виде спиновой волны может приводить к возбуждению магнитной неоднородности в виде солитона. На рисунке 2.12 приведена зависимость амплитуды стабилизированного солитона от параметров области НКМА (1.18). Из рисунка 2.12 видно, что при увеличении параметра W происходит увеличение амплитуды образовавшегося солитона. Также показано, что величина амплитуды не зависит от коэффициента затухания. В бездефектном магнетике магнитные неоднородности типа ноль-градусной ДГ являются метастабильными, т.е. энергетически более невыгодными по сравнению с однородным состоянием вектора намагниченности.
Наличие дефектов, локально уменьшающих энергию анизотропии кристалла, может приводить к энергетической выгодности ноль-градусной ДГ [122]. Так, в [28] свойства найденного спектра ядерного магнитного резонанса связывались с наличием магнитной неоднородности типа ноль-градусной ДГ (или солитона), зарождающейся в области локальной неоднородности анизотропии. Возникновением ноль-градусной ДГ впереди движущейся 180-градусной ДГ, объяснялась и сверхпредельная скорость движения, наблюдаемая в экспериментах по динамике ДГ в ортоферритах [6]. Однако в них не был рассмотрен механизм образования ноль-градусной ДГ (или солитона). Наиболее интересен случай, когда размер ДГ и размер, характеризующий неоднородность КМА одного и того же порядка, тогда форма ДГ должна сильно претерпевать изменения при прохождении через неоднородную область [31]. Ранее было показано, что после прохождения ДГ через область с НКМА с АГ 0 в этой области образуются магнитные неоднородности различного типа [123]. В данном параграфе исследуется возбуждение и эволюция магнитных неоднородностей в области дефекта материала после срыва локализованной на ней ДГ. Схема численного эксперимента такова: в начальный момент времени ДГ находится в центре дефекта, включаем внешнее поле достаточное для того, чтобы произошел срыв ДГ из области дефекта. Рассмотрим наиболее простой модельный случай, когда К(х) задаем в форме прямоугольника (1.18). При рассмотрении динамики срыва ДГ из области НКМА было обнаружено, что в этой области возникают магнитные
Изгибные волны на доменных границах
Вначале рассмотрим движение ДГ по инерции (a = 0,h =0) через область НКМА вида (3.2) (центр которой расположен в точке х -13.9, у = 0) с параметрами Wx— 1, Wy = 3, К = -7, с постоянной начальной скоростью v=0.57. На рисунках 3.5 подробно виден весь процесс образования и эволюция уединенных изгибных волн. Кроме того, обнаружен процесс образования еще и локализованной магнитной неоднородности, рождающейся после прохождения ДГ области дефекта и являющейся источником излучения свободных (объемных) волн. Последние, обладая скоростью большей, чем у ДГ, обгоняют ее, и на рис. 3.5 и 3.6 наблюдаем результат взаимодействия двух волн — небольшое искривление перед передним фронтом уединенной изгибной волны. Последний факт — неизменность положения уединенной изгибной волны, относительно этого искривления в разные моменты времени, и указывает на то, что полная скорость движения этой волны равна скорости объемных спиновых волн. На рис. 3.6 изображено положение центра ДГ, соответствующее значению угла в = ж/2, в разные моменты времени (этот рисунок интересен еще и тем, что он аналогичен экспериментальным фотографиям, получаемым при изучении высокоскоростной динамики ДГ в РЗО [6]). В результате, после первоначального сильного ускорения, а затем замедления части ДГ непосредственно проходящей через область дефекта, на ней появляются две уединенные изгибные волны одинаковой амплитуды, движущиеся в противоположных направлениях. Можно отметить, что картина, представленная на рис. 3.6, качественно соответствует результатам, полученным в экспериментальной работе [24]. Рассматривая случай разных начальных стационарных скоростей ДГ перед прохождением области НКМА, можно получить зависимость средней скорости движения изгиба вдоль доменной границы u(v) = u(v)/c, которая во всех случаях удовлетворяет 7 закону W +V =7B пределах погрешности полученных величин. Т.е. можно утверждать, что наблюдается возбуждение внутриграничных спиновых волн. При изменении параметров НКМА происходит изменение величины амплитуды изгибных волн образующихся при прохождении ДГ через область дефекта, но характер остаётся прежним (см. рис. 3.7). При этом, для этих _7 , случаев также выполняется закон и + v —1. Взаимодействие полученных уединенных изгибных волн можно изучать, исследуя динамику ДГ в материале с двумя одинаковыми НКМА. Из рис. 3.8 видно, что это взаимодействие аналогично взаимодействию характерному для кинков нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения синус-Гордона [134].
Также было найдено изменение скорости при прохождении друг через друга изгибных волн. Из уравнения (1.28) следует, что при прохождении кинков друг через друга они должны ускоряться, что и было обнаружено при анализе взаимодействия двух изгибных волн (изменение скорости для случая рис. 3.8 Av }«0,05). Следовательно взаимодействующие изгибные волны можно назвать решением вида «кинка на кинке». Заметим только, что формула (1.28) была получена для бесконечного времени, а в нашей задаче время конечно. Отметим, что об экспериментальном наблюдении «кинка на кинке» (т.е. кинка на доменной границе ортоферрита) было заявлено в работе [135]. Полученный численно результат — возможность образования «кинков на кинке» уравнения синус-Гордона, можно объяснить, если применить для описания изгибных волн на ДГ уравнение движения для координаты ее центра q(x,y,t), полученное с помощью теории возмущения для солитонов [44]. Пусть 0 = 6(x-q(y,t)) и если кривизна ДГ не слишком велика, то для случая K = l, a = h = 0 из уравнения (3.1) можно получить известное нелинейное уравнение Борна - Инфельда [134]: Величину амплитуды уединенной волны q =q/80 можно определить как разность между положениями центра ДГ вдали от и в центре области НКМА (см. например рис. 3.9). Она максимальна сразу после прохождения области дефекта и далее наблюдается её постоянная величина (см. например рис. ЗЛО). Для проверки правильности работы программы был рассмотрен случай с различными значениями числа точек по оси у. Из рисунка 3.11 видно, что зависимость амплитуды изгибной волны на рисунках практически совпадают, т.е. результаты не зависят от числа точек по оси у, что говорит о правильности работы численной схемы. Зависимость максимальной величины амплитуды уединенной волны qmaxOT величины v представлена на рис. 3.12а. Видно, что величина qmax резко уменьшается при v — 1. Зависимость qmaxOT величины параметра К (близкая к линейной для случая малых и к параболической для больших НКМА) представлена на рис. 3.126. Для получения аналитического выражения описывающего величину амплитуды уединенной волны можно опять воспользоваться теорией возмущения для солитонов. Если положить q(x,y,t) — vt + q [136], то из уравнения (3.1) можно получить уравнение типа волнового: где и" =J-v" - скорость движения уединенного изгиба ДГ, совпадающая с полученной в численном эксперименте. Заметим, что волновое уравнение
Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах с неоднородностями константы магнитной анизотропии и параметра обменного взаимодействия
Схема проведенного численного эксперимента такова: движущаяся со стационарной скоростью ДГ наезжает на область дефекта. В зависимости от величины скорости движения, ДГ либо его пересекает, либо им захватывается. Используя уравнение движения (4.1), рассмотрим вначале динамику прохождения ДГ через область ПМВ без НКМА с НПОВ прямоугольной формы (1.18) для случаев параметра АГ = 1, W = \ (уапаШ =0,8). В рассматриваемых случаях, также как и в случае, когда параметр А=\ [123] наблюдаются изменения структуры ДГ, сопровождающиеся распространяющимися направо и налево объемными спиновыми волнами. Из полученных зависимостей скоростей центра ДГ от времени (рис. 4.3) видно, что для случая дефекта представляющего собой потенциальный барьер для ДГ (А 1) скорость центра ДГ вначале уменьшается (что соответствует прохождению центра ДГ через область (х,;х0), где хх- координата начала области НПОВ, х0 -координата центра области НПОВ), после чего увеличивается (что соответствует прохождению центра ДГ через область (х0;х2), где х2 -координата конца области НПОВ). И затем скорость ДГ , из-за наличия внешнего магнитного поля, выходит на свое стационарное значение. При прохождении же области НПОВ типа потенциальная яма ( А 1) поведение скорости носит совершенно иной характер. Так, при попадании в область потенциальной ямы, скорость ДГ вначале увеличивается относительно своего стационарного значения, после чего уменьшается, что соответствует выходу ДГ из области НПОВ. После прохождения области ПМВ, скорость ДГ, из-за наличия внешнего магнитного поля, увеличивается до своего стационарного значения. Отметим, что для случая дефекта, меняющего локально только -анизотропию магнетика [123], показано, что, наоборот, область с пониженной анизотропией — это потенциальная яма, а область с повышенной анизотропией потенциальный барьер. На рис. 4.4 представлена зависимость ширины ДГ от времени.
После прохождения области НПОВ ширина ДГ начинает периодически осциллировать, что свидетельствует о возбуждении пульсационной моды колебаний ДГ. Далее определим минимальную скорость, необходимую ДГ для прохождения области ПМВ (рис. 4.5). Сильную несимметричность кривых зависимости минимальной скорости прохождения ДГ vmin через область НПОВ от параметра А (см. рис 4.5) при А \ и А \ можно качественно объяснить, если рассмотреть зависимость скорости ДГ от времени (рис. 4.3). Например, при прохождении области НПОВ вида (1.18), типа потенциальная яма, в начальный момент скорость ДГ увеличивается, увеличивая и кинетическую энергию ДГ, облегчая преодоление дефекта. В другом случае, при подходе к области НПОВ вида (1.18), типа яма, скорость ДГ вначале наоборот уменьшается. Найдено, что, как для ПМВ типа барьер, так и яма, минимальная скорость ДГ необходимая для прохождения через неоднородную область, сильно зависит от формы НПОВ, величины параметра А и величины W (см. рис. 4.6). Из рисунка 4.6, построенного для случая дефекта вида (1.18), видно, что с увеличением ширины области дефекта минимальная скорость необходимая для преодоления ДГ этой области, стремиться к постоянной величине. На рисунках 4.7, а) и б), изображена зависимость vnin для области дефекта вида (1.19) от параметра W для различных значений К и А. Во всех случаях зависимости vmjn от параметра W имеют куполообразный вид. При достижении шириной дефекта определенного значения, скорость vmin достигает максимума, при дальнейшем увеличении параметра W скорость vmjn уменьшается. Как и в случае (1.18) зависимость кривых остается такой же, а величина минимальной --скорости уменьшается на 26% (рис. 4.76). Полученный результат при А 1 и малых значениях А и W, хорошо совпадает с аналитическим значением vmin, полученным с помощью теории возмущения для НПОВ вида (1.18), типа 0 А 1 (рис 4.8) [36].
Влияние формы НПОВ на величину vmin можно явно увидеть из рис. 4.9. Полученная минимальная скорость, при одинаковых значениях А и W для случая вида (1.19) меньше, чем для вида (1.20), а для последней меньше, чем для вида (1.18). На рис. 4.10 приведена зависимость vmin от функции S равной площади под кривой функции, f{x) в формулах (1.18, 1.19) для случая НПОВ типа потенциальной ямы. Видно, что vmin для области малых дефектов не сильно отличаются друг от друга. То есть можно предположить, что в этой области сильное влияние на vmin оказывает не столько форма, сколько величина параметра S. Заметим также, что для малых дефектов, значение vmin близко к аналитическому vmin=,— [36] (рис. 4.11). При увеличении величины параметра S (в данном случае за счет увеличения ширины НПОВ приводящего к сильному изменению структуры ДГ) наблюдается сильное расхождение в значениях vmin. На рис. 4.12 приведена зависимость минимальной скорости ДГ, для случая НПОВ вида (1.18) аФО и /z O и для движения ДГ по инерции о; = 0и h — 0. Из рис. 4.12 видно, что при движении ДГ по инерции требуется скорость на 1 % больше, чем при движении ДГ при наличии внешнего магнитного поля и затухания, что указывает на слабую зависимость vmin от внешнего магнитного поля в данном случае. В случае прохождения ДГ через область НКМА эта разница составляет 5%. Интересно также сравнить зависимости vmin от К и А (рис. 4.13), учитывая аналитическое выражение (1.21). Из рисунка 4.13 видно, что в -области малых параметров численный результат достаточно хорошо совпадает с аналитическим выражением. Из формулы, полученной аналитически для случая потенциального барьера, следует, что влияния НКМА и НПОВ одинаковы.
При малых параметрах НКМА и НПОВ из рисунка видно, что их влияние практически одинаковы, но при увеличении значений параметров НКМА дает более существенный вклад, чем НПОВ. Заметим также, что для случая дефектов в виде потенциальной ямы для обоих случаев присутствует большое отличие от аналитического выражения. Рассмотрим теперь более общий случай, когда существует одновременно НКМА и НПОВ. Вначале НПОВ и НКМА задаем в виде (1.18). Рассмотрим зависимость минимальной скорости, необходимой для прохождения ДГ через эту область от параметра W. Когда параметр А = 1 (рис. 4.14 а) кривая 3) зависимость vmm от параметра W имеет вид ax/ jl + (ax) . В отсутствие НКМА для НПОВ типа потенциальной ямы (рис. 4.14 а), кривая 1) начиная с W = 1.4, скорость ДГ не зависит от ширины области дефекта. При наличии НПОВ типа потенциальной ямы и НКМА типа потенциального барьера (рис. 4.14 а), кривая 2) характер кривой сохраняется, как и в случае «чистого» НКМА, но величина vmin уменьшается примерно на 10%. Далее рассмотрим случай, когда оба дефекта брались в виде (1.19) (рис. 4.14 б). С увеличением области НКМА характер кривых остается прежним. Из кривых 1, 2 и 3 видно, что в отличии от формулы (1.21) влияние изменения параметров А и К неодинаково. Например, при больших значениях 1 - К изменение параметра А более чем в два раза очень слабо меняет значение umin (см. рис 4.14 б кривые 2 и 3), а в точке W = 1.4 значение скорости итш совпадает для обоих случаев. На рис. 4.15 представлены значения минимальной скорости, вычисленной численно и найденные по формуле (1.21) [36], которая справедлива для малых значений параметров дефекта. Из рис. 4.15 видно, что при небольших
