Содержание к диссертации
Введение
1. Проблема оперативного комплексного исследования случайных процессов 17
1.1. Общая постановка задачи и концепция обобщенного подхода к организации оперативного комплексного исследования случайных процессов 17
1.2. Особенности представления и обработки экспериментальных данных при оперативном комплексном измерении вероятностных характеристик случайных процессов 22
1.3. Теоретические и практические аспекты детерминированного и аналого-стохастического подходов к квантованию по уровню случайных процессов 32
1.4. Обобщенная математическая модель непрерывного знакового аналого-стохастического квантования по уровню и ее основные свойства 44
1.5. Выводы по разделу 51
2. Алгоритмы измерения плотности распределения вероятностей и вероятностных характеристик случайных процессов : 52
2.1. Непараметрический алгоритм измерения плотности распределения вероятностей случайного процесса 52
2.2. Измерение корреляционной и взаимной корреляционной функций случайных процессов 64
2.3. Измерение интервала корреляции случайного процесса на основе вычисления линейной свертки 76
2.4. Измерение времени запаздывания случайного процесса 89
2.5. Измерение характеристической функции случайного процесса 107
2.6. Выводы по разделу 114
3. Алгоритмы оценивания спектральных характеристик случайных процессов 116
3.1. Гармонический анализ случайного процесса 116
3.2. Оценивание спектральной плотности мощности случайного процесса на основе косвенной оценки корреляционной функции 126
3.3. Модифицированный алгоритм оценивания спектральной плотности мощности 136
3.4. Выводы по разделу 144
4. Параметрическое оценивание спектральной плотности мощности случайных процессов 145
4.1. Оценивание спектральной плотности мощности на основе построения дробно-рациональной модели изображения по Лапласу корреляционной функции 145
4.2. Оценивание спектральной плотности мощности на основе биноминального взвешивания нормированных уравнений дробно-рациональной модели изображения по Лапласу корреляци онной функции 162
4.3. Одновременное оценивание параметров дробно-рациональной модели изображения по Лапласу корреляционной функции 172
4.4. Оценивание исходных данных для построения дробно-
рациональной модели изображения по Лапласу корреляционной функции 179
4.5. Выводы по разделу 188
5. Аппаратурные средства для оперативного статистического анализа случайных процессов 190
5.1. Особенности проектирования структур аппаратурных средств для оперативного комплексного измерения вероятностных ха рактеристик случайных процессов 190
5.2. Аппаратурная реализация алгоритма измерения плотности распределения вероятностей 193
5.3. Структурное проектирование коррелометров для оперативного корреляционного анализа 197
5.3.1. Особенности проектирования коррелометров для оперативного корреляционного анализа 197
5.3.2. Многоканальный знаковый коррелометр с многоотводной линией задержки 198
5.3.3. Многоканальный матричный знаковый коррелометр 206
5.3.4. Многоканальный синхронный знаковый коррелометр 215
5.4. Аппаратурная реализация алгоритма измерения интервала корреляции 222
5.5. Аппаратурная реализация алгоритма измерения характеристической функции 229
5.6. Структурное проектирование оперативных анализаторов спектральных характеристик 233
5.6.1. Аппаратурная реализация алгоритма вычисления оценок коэффициентов Фурье 233
5.6.2. Структурное проектирование многоканальных анализаторов спектральной плотности мощности 237
5.7. Измерение моментов высших порядков на основе знакового аналого-стохастического квантования 245
5.8. Выводы по разделу 259
6. Экспериментальные исследования алгоритмов измерения вероятностных характеристик 261
6.1. Экспериментальные исследования алгоритма измерения плотности распределения вероятностей , ,...261
6.2. Экспериментальные исследования алгоритма измерения корреляционной и взаимной корреляционной функций 267
6.3. Экспериментальные исследования алгоритмов оценивания спектральных характеристик 275
6.3.1. Моделирование процедуры гармонического анализа многокомпонентного случайного процесса 275
6.3.2. Экспериментальные исследования модифицированного алгоритма оценивания спектральной плотности мощности 282
6.3.3. Моделирование процедуры спектрального оценивания на основе построения дробно-рациональной модели изображения по Лапласу корреляционной функции 288
6.4. Выводы по разделу 298
Заключение 299
Список использованных источников
- Теоретические и практические аспекты детерминированного и аналого-стохастического подходов к квантованию по уровню случайных процессов
- Измерение корреляционной и взаимной корреляционной функций случайных процессов
- Модифицированный алгоритм оценивания спектральной плотности мощности
- Аппаратурная реализация алгоритма измерения плотности распределения вероятностей
Теоретические и практические аспекты детерминированного и аналого-стохастического подходов к квантованию по уровню случайных процессов
Как показано выше, реализуя на практике аналого-цифровое преобразование СП, необходимо исходить из обеспечения такого режима квантования по уровню, который, сохраняя необходимую информативность, исключал бы избыточность цифрового представления экспериментально получаемых данных и обеспечивал бы построение быстродействующих в вычислительном отношении цифровых алгоритмов статистических измерений.
С математической точки зрения операция квантования по уровню представляет собой нелинейную операцию и неизбежно сопровождается частичной потерей информации. В качестве наиболее показательной характеристики потери информации выступает погрешность квантования, которая является методической погрешностью и определяется следующим образом Дх(/, ) = ( ,)- ( ,), / = 0,1,2,3,..., . (1-12)
Рассматривая погрешность квантования по уровню как функцию дискретного времени /,., будем иметь последовательность величин Ax(t;), которую принято называть шумом квантования. По своей природе шум квантования Ax(t,) является случайным. При этом его статистические характеристики существенно зависят от применяемого метода квантования по уровню.
Основным отличительным признаком, позволяющим рассматривать различные методы квантования по уровню, является принцип задания в пределах диапазона квантования Ахкв шага или интервала квантования, который определяется как расстояние между двумя соседними уровнями квантования AxJ=xj-xj_1, j = 1,2,3,...,К. (1.13)
В зависимости от того остается ли интервал квантования Axj постоянным или изменяется при переходе от одного уровня квантования к другому, различают равномерное и неравномерное квантование по уровню. Благодаря очевидности математического представления и простоте технической реализации преимущественное распространение получило равномерное квантование по уровню. Оно достаточно хорошо изучено и отражено в современной литературе [7, 10, 52, 57,149, 257, 305].
При равномерном квантовании по уровню интервал квантования Дх; имеет постоянное значение Ах, а число уровней квантования К и их расположение остается неизменным в пределах всего диапазоне квантования Ахкв, так что все они жестко связаны соотношением Ах = Ахкв/К. В качестве уровней квантования выбирают нижнюю или верхнюю границу интервалов квантования Ах либо их середину. С метрологической точки зрения, наиболее целесообразно квантуемые значения x(t,) относить к середине интервалов квантования Ах. В этом случае погрешность квантования изменяется в пределах интервала - Ах/2 Ax(t,) +Ах/2, а ее максимальное абсолютное значение равно Ах/2 и в два раза меньше по сравнению с двумя другими случаями.
Доказано, что если Дх«Дхга, то закон распределения погрешности квантования Дх(/,) не зависит от закона распределения исследуемого СП, и в пределах ее изменения - Ах/2 Ax(ti) + Ах/2 он будет равномерным. В силу этого математическое ожидание и дисперсия погрешности квантования соответственно равны нулю и Ах2/12. Как следует из (1.12) равенство нулю математического ожидания погрешности квантования Ax(t,) означает, что квантованные значения x(ti) будут несмещенными, то есть M[x(ti)}] = M[x(tl)].
Попытка упростить обработку цифровых отсчетов х{ при равномерном квантовании за счет простого уменьшения числа уровней квантования приводит к тому, что допущения, сделанные по отношению к погрешности квантования Ах( ), не будут отвечать реальности. Это связано с тем, что существенную роль начинает играть взаимная корреляция между подвергаемой аналого-цифровому преобразованию реализацией x(t) и погрешностью кванто 34 вания Ax(tj). В результате чего закон распределения погрешности квантования Ax(t,) будет отличаться от равномерного, и ее математическое ожидание не будет равно нулю. Последнее означает, что квантованные значения ( ,) будут смещенными, а это ведет к смещению оценок вероятностных характеристик СП. Для того чтобы устранить подобное смещение необходимо осуществлять коррекцию оценок вероятностных характеристик СП с помощью поправок Шеппарда [119]. Однако даже при такой коррекции не рекомендуется выбирать число уровней квантования меньше семи-восьми [69].
В гораздо большей мере согласовать процесс квантования по уровню с динамикой изменения значений исследуемого СП и тем самым сократить общий объем подлежащей обработке цифровой измерительной информации позволяет оптимальное детерминированное квантование по уровню. Задача такого квантования заключается в том, чтобы при известных вероятностных свойствах исследуемого СП и заданном числе уровней квантования К осуществить такое квантование, которое обеспечивало бы выполнение некоторого точностного критерия [7, 53, 98, 183, 223]. Формально эта задача сводится к определению оптимального неравномерного расположения уровней квантования внутри диапазона квантования Ахкв, которое должно приводить к формированию безизбыточных по разрядности цифровых отсчетов хп позволяющих с необходимой точностью получать оценки вероятностных характеристик СП. На практике это достигается за счет уменьшения интервалов квантования Аху для более вероятных значений исследуемого СП и их увеличения для его менее вероятных значений.
Измерение корреляционной и взаимной корреляционной функций случайных процессов
Прикладной статистический анализ СП неразрывно связан с измерением характеристик стохастической взаимосвязи, к которым, прежде всего, относятся КФ и ВКФ. Поэтому проблемам корреляционного анализа СП уделяется существенное внимание, о чем свидетельствует постоянно возрастающее число работ [6, 12, 13, 17, 44, 89, 145, 155-158, 175, 252 и др.].
По мере усложнения прикладных задач все чаще требуется обеспечение оперативности корреляционных измерений, то есть обработки данных по мере их поступления от исследуемых объектов. В частности, с требованием оперативности измерения КФ и ВКФ приходится сталкиваться при управлении технологическими процессами в реальном масштабе времени, получении информации об удаленных объектах, технической диагностике сложных систем, приеме и идентификации полезных сигналов на фоне помех и т.п.
Согласно своему определению КФ характеризует тесноту линейной стохастической взаимосвязи между двумя сечениями мгновенных значений центрированного СП X(t), отличающимися друг относительно друга на величину времени задержки т. Напомним, что в теории статистических измерений под центрированным понимается СП, который имеет нулевое математическое ожидание. В свою очередь ВКФ характеризует такую же линейную стохастическую взаимосвязь, но только уже между отличающимися друг относительно друга на величину времени задержки т сечениями мгновенных о о значений двух центрированных СП X(t) и Y(t).
По своей сути КФ и ВКФ есть центральные моментные функции второго порядка, которые формально определяются соответственно как следующие пределы выборочных средних [155,252] R„ (т) = lim I )x(t) x{t - x)dt, (2.37) T Rxr(x) = limi fx(t)y(t)dt, (2.38) x 0 где x(t) и j(0 - реализации центрированных СП X(t) и Y(t).
Как следует из (2.37) и (2.38), основными операциями процедур измерения КФ или ВКФ являются, во-первых, задержка центрированной реализа о о ции дг(0 или y(t) на фиксированное время т, во-вторых, перемножение теку о о о щего значения x(t) и задержанного значения x(t - т) или y{t - х) и, в-третьих, усреднение во времени результата такого произведения. Задержка во времени х, оставаясь фактически фиксированной при измерении отдельно взятых значений КФ или ВКФ, в то же время в процессе измерения совокупности значений этих функций является величиной переменной. Поэтому на практике при корреляционном анализе необходимо осуществлять управление текущим значением задержки т в пределах некоторого диапазона ее изменения.
Обеспечить согласованное выполнение трех выше перечисленных операций и одновременно получить возможность наиболее простого управления о о задержкой во времени реализации x(t) или y(t) можно, если использовать знаковое аналого-стохастическое квантование. +1 Из сопоставления (2.37) и (2.38) нетрудно видеть, что ВКФ является более общей формой представления стохастической взаимосвязи по сравнению с КФ. Поэтому, прежде всего, рассмотрим измерение ВКФ на основе использования знакового аналого-стохастического квантования с учетом его дискретно-событийного представления во времени (см. (1.37) - (1.39)). Пусть в результате выполнения двух независимых процедур знакового аналого-стохастического квантования сформированы сигналы (0 = sgni(/) + (/)J , (2.39) # z2(0 = sgnj;(0 + U0}. (2-4) В (2.39) и (2.40) вспомогательные СП i(0 и 2(0 по своей природе являются однородными, но при этом они должны быть независимыми по отношению друг к другу, что на практике обеспечивается независимостью их физического генерирования. Математические ожидания СП ,(t) и 2(0 равны нулю, а их мгновенные значения будут распределены равномерно внутри интервалов от - А до + А и от - В до + В соответственно. Значения величин А и В выбираются согласно соотношениям (1.11) и (1.27). При этом необходимо учитывать то обстоятельство, что плотности распределения вероятно о о стей fx(x) и /у(у) центрированных СП X(t) и Y(t) в общем случае могут представлять собой несимметричные функции относительно их нулевых математических ожиданий. Поэтому, принимая окончательное решение в пользу конкретных значений величин А и В, следует исходить из обеспечения выполнения следующих условий Л SUp4 ДГіпГ І, I Xsup I , (2.41) supjl I,Ujj. (2.42) о о Будем искать оценку ВКФ Л у(т) центрированных СП X(t) и Y(t) в следующем виде AR 0+/ Д г( )=ф- / ,(/) 2( + т) , (2.43) где t0 - начальный момент времени измерения, Т - продолжительность времени измерения (или интервал времени усреднения).
В (2.43) задержка сигналов zx{t) и z2(t) друг относительно друга может быть обеспечена только за счет сдвига обрабатываемых реализаций этих сигналов в пределах конечного интервала времени измерения Т. Вследствие этого длительности знаковых сигналов zx(t) и z2(t) примем равными соответ 67 ственно Т и 2Г. В этом случае значение задержки т может изменяться от нуля до своего максимального значения Г, то есть 0 х Т.
Как было показано выше, результат знакового аналого-стохастического квантования целесообразно интерпретировать как нерегулярный поток фронтов двухполярных прямоугольных импульсов со случайной флуктуацией их длительности во времени. Вследствие этого в процессе формирования знаковых сигналов 2,(0 и z2(t) достаточно знать только их мгновенные значения в начальный момент времени измерения t0, то есть z,(/0) и z2(t0), и моменты времени, в которые эти сигналы пересекают нулевой уровень и меняют свое текущее значение на противоположенное. Исходя из этого, введем в рассмотрение два множества величин { , ,..., ,..., .,} и {/,zv!2,...,/1]2,...,/, }, определяющие моменты времени, в которые знаковые сигналы z,(0 и z2(t) пересекают нулевой уровень соответственно в пределах интервалов времени С / ; и t? t tZl, где Q =ґ0 =t0, tz; =(/0 +Г) и tzq = ( „ +2Г). Следует отметить, что на практике всегда можно считать /0 = 0.
Модифицированный алгоритм оценивания спектральной плотности мощности
Теперь рассмотрим качество оценки СПМ S if), получаемой с помощью разработанного алгоритма (3.34). С этой целью исследуем ее математическое ожидание и дисперсию.
Обратимся к исходному выражению оценки СПМ 5 (/) (3.27) и найдем ее математическое ожидание. Оно характеризует смещение или систематическую составляющую погрешности оценивания СПМ и равно "У Т Т W xrCOb -J м[гД0 2( + т)]соз2тг/т Ы; . (3.35) - о о о о Принимая в (2.49) y(t) = x(t), А = В и t0 = 0, приходим к тому, что математическое ожидание (3.35) будет равно 7 М [ S„ (Л ] = 2 JR (г) cos 2я/г dx . (3.36)
Соотношение (3.36) свидетельствует о том, что оценки СПМ Sxx(f) являются смещенными. При этом смещенность проявляется в виде эффекта свертки истинной СПМ с преобразованием Фурье неявно присутствующего прямоугольного окна длительностью Г, что свойственно любому методу оценивания СПМ с использованием оценок КФ, полученных на конечном интервале времени наблюдения СП [146]. Переходя в (3.36) к пределу при Т - оо, получаем limJl/[ (/)] = (/). (3.37)
Из (3.37) следует, что математическое ожидание оценки СПМ S if) при увеличении продолжительности времени анализа Т сходится к истинному значению СПМ 5 (/), то есть она представляет собой асимптотически несмещенную оценку. Обычно на практике продолжительность времени анализа Г выбирается больше, а по возможности и много больше интервала корреляции хх исследуемого СП X(t), так что фактически выполняется неравенство Т»хх. Вследствие этого при х Т корреляция между мгновенными 135 значениями СП X(t) практически отсутствует. Следовательно, можно принять, что при тГ RxxW&O. Поэтому погрешность от смещенности будет пренебрежимо мала, и можно считать, что оценка S (/) в среднем мало отличается от искомой функции СПМ 5 (/), то есть М SJCX С(/)] (Л (3.38) Дисперсия оценки Sjaif) (3.26) характеризует случайную составляющую ошибки оценивания СПМ. Проведенные расчеты показали, что она удовлетворяет неравенству Ф.(Л] №, +а:)р)\ (3.39) Оценив порядок значения величины А с помощью неравенства Чебы-шева p\\X(t)\ A = aax \ —-, получаем, что дисперсия оценки СПМ S if) будет ограничена сверху неравенством D[S„V) h 8 Х (а4 +і)И Т - (3.40) v 2nfi J, Переходя к пределу при Т - оо, будем иметь lim [ (/)] lim8 4 /4 +Л( )2 _, 0 . (3 41) г- » т г-»» х v \ 2-nfT ) v J Из (3.41) видно, что разработанный алгоритм позволяет получать устойчивые асимптотически несмещенные оценки СПМ. Однако следует иметь в виду, что дисперсия оценок СПМ флуктуирует с изменением частот, на которых осуществляется их вычисление.
Подводя итог, еще раз отметим, что основным достоинством предлагаемого подхода к спектральному анализу является то, что за счет использования знакового аналого-стохастического квантования удалось получить быстродействующий алгоритм вычисления оценок СПМ.
Соотношение (3.34), где величины А кАх] и X(J) определяются в соответствии с (3.32)и (3.33), представляет собой цифровой алгоритм вычисления оценок S„({/„) дискретных значений функции СПМ, в основе которого лежит косвенное вычисление оценок КФ. Данное обстоятельство можно использовать для параллельного оценивания СПМ и КФ, что очень важно при осуществлении оперативного комплексного исследования СП. В то же время для любого цифрового алгоритма спектрального оценивания основным показателем быстродействия является необходимый объем вычислений в ходе его практической реализации, который, как правило, определяется числом выполняемых операций умножения. С этой точки зрения разработанный алгоритм при вычислении каждой из спектральных оценок 5 (/n) требует вы полнения L операций цифрового умножения суммы ] ](-1) Д.(/сДгт) на дис кретные отсчеты косинусоидальной функции cos 2л—кАг\г . При этом общее число операций умножения, выполняемых в ходе всего процесса спектрального оценивания, будет определяться произведением числа L на число подлежащих вычислению оценок Sxx(f„) .
Эффективность вычисления оценок СПМ можно существенно повысить, если отказаться от косвенного вычисления оценок КФ и с учетом специфики представления знаковых сигналов zx{t) и z2(t) во времени в виде потоков их фронтов пойти по пути аналитического вычисления интегралов в соотношении (3.27). Рассмотрим данный подход к разработке цифрового алгоритма вычисления оценок СПМ более подробно.
Аппаратурная реализация алгоритма измерения плотности распределения вероятностей
В результате получаем соотношение S„ (Я = [С (Р) + G„ {-Р)]Р=ПЖ/ , (4.3) из которого следует, что между СПМ стационарного СП X{t) и изображением по Лапласу его КФ существует простая однозначная взаимосвязь. Исходя из соотношения (4.3), оценку СПМ будем искать в виде S„c (/) = [ & (Р) + G (-p)\_mf, (4.4) где G%x(p) -модель, аппроксимирующая функцию G ip). Таким образом, для оценивания СПМ необходимо иметь некоторую модель G (р) изображения по Лапласу КФ анализируемого СП X(t).
Функция Gjxip) является изображением по Лапласу непрерывной КФ. Следовательно, в качестве ее модели G ip) целесообразно использовать также функцию непрерывного аргумента. При этом, выбирая конкретный вид такой модели, необходимо учитывать, что спектр СП X(t) может иметь сложную структуру и характеризоваться наличием как узкополосных, так и широкополосных составляющих.
Известно, что для построения во временной области моделей КФ часто используют комбинацию тех или иных частных аналитических моделей КФ типа ехр(-сст), exp(- x-c)cos2rc/0T и т.п. В основном такой подход дает хорошие результаты аппроксимации различного типа КФ, которые широко встречаются на практике [8, 92, 186]. Изображением по Лапласу подобных моделей является дробно-рациональная функция непрерывного аргумента, которая представляет собой отношение двух полиномов относительно комплексной частоты р с действительными коэффициентами. В соответствии с этим в качестве G ip) выберем модель следующего вида Gft(p) = TT , bN=\, L N-\. (4.5) YPnPn л= Так как СПМ представляет собой вещественную, положительную и четную функцию частоты, то с учетом модели (4.5) при p = j2nf оценка (4.4) будет вычисляться следующим образом % где обозначение Re{...} соответствует вещественной части комплексного числа, находящегося в фигурных скобках.
Соотношение (4.6) может быть непосредственно использовано для вычисления оценок СПМ. При этом задача спектрального оценивания сводится к выбору порядка модели G ip), то есть значений L и N, определяющих порядок числителя и знаменателя, и оценке ее параметров а„ и Ь„.
Для того чтобы оценить параметры ап и Ъп модели G (р) необходимо осуществить процедуру алгоритмической оптимизации, минимизирующую некоторую ошибку их вычисления согласно принятому критерию. Выбор такого критерия, прежде всего, зависит от характера решаемой задачи. Поэтому, исходя из требования оперативности оценивания СПМ, следует обеспечить не только желаемую точность оценивания искомых параметров а„ и Ьп, но и эффективность их вычисления.
На практике широкое распространение получили критерии минимума среднеквадратической ошибки и минимума интегральной среднеквадратиче-ской ошибки, а также минимаксный критерий [12, 141]. Однако для любого из этих критериев функционал ошибки, подлежащий минимизации, является нелинейной функцией, что ведет к существенному усложнению процедур вычисления оценок параметров ап и Ъп.
Получить быстродействующие процедуры вычисления значений искомых параметров а„ и Ь„ можно путем их линейного оценивания. В соответствии с эти рассмотрим интеграл 148 Vk = /Лхг(т)ехр(-&4т)Л, (4.7) где 9 - действительная величина. По своему смыслу величины \хк являются моментами КФ Ят (т).
Из сопоставления (4.2) и (4.7) приходим к выводу, что при р = 9 они эквивалентны, то есть цА =6 (9,). Поэтому будем искать значения параметров ап 1л Ьп, исходя из обеспечения выполнения условия G c(Bt) = nkf где величины \ik играют роль исходных данных. С учетом того, что bN =1 имеем ЕМХ-2 АВ=-Э Ч, 0 k L + N. (4.8) Нетрудно видеть, что (4.8) определяет неоднородную систему, состоящую из (N + L +1) совместных линейных уравнений относительно (N + L +1) неизвестных параметров а„ и Ъп. Рассмотрим сначала неоднородную систему из L совместных линейных уравнений с L неизвестными параметрами а„
Исходя из общей задачи повышения оперативности спектрального анализа, найдем такое решение системы уравнений (4.9), в основе которого лежали бы простые рекуррентные соотношения, обеспечивающие быстрое вычисление оценок параметров ап. Оценки параметров Ьп можно найти непосредственно из системы уравнений (4.43), предварительно вычислив величины Хт „. При этом, поскольку в этой системе число уравнений равно числу неизвестных параметров Ьп, с математической точки зрения получить корректное и единственное решение этой системы уравнений не представляет труда. Однако на практике решение подобных систем, содержащих минимально необходимое для их решения число уравнений, связано с определенными трудностями. В данном случае это объясняется тем, что величины Хтп вычисляются согласно (4.44) на основе величин \ik, которые по своему смыслу выступают в качестве исходных данных и должны формироваться в ходе эксперимента, и, следовательно, они будут известны приближенно. В силу этого при решении системы (4.43) и системы (4.8) в целом будет наблюдаться повышенная чувствительность оценок параметров а„ и Ъп к исходным данным \хк. Вследствие чего будем иметь неустойчивое решение этих систем уравнений, что снижает достоверность оценивания СПМ. Поэтому здесь возникает задача нахождения обобщенного устойчивого решения по отношению к исходным данным цк.
Получить устойчивое решение системы уравнений (4.43) по отношению к величинам Хтп и системы уравнений (4.8) в целом к изменению значений исходных данных цк можно с помощью статистического сглаживания оценок параметров ап и Ьп. Однако для этого необходимо располагать дополнительной априорной информацией. На практике это ведет к увеличению числа уравнений в исходной системе (4.8), то есть число уравнений будет больше числа неизвестных параметров а„ и Ьп, и, следовательно, она будет переопределенной. Такой подход в теории параметрического оценивания хорошо изучен и дает положительные результаты [203, 231, 232].
