Содержание к диссертации
Введение
1 Эволюция одиночного вихря в однородной стационарной неравновесной среде 20
1.1 Постановка задачи 21
1.2 Механизм взаимодействия 24
1.3 Описание численного метода и граничных условий 25
1.4 Результаты численного моделирования для энерговыделения, зависящего от температуры 27
1.5 Аналитические решения для предельных случаев быстрой и медленной релаксации 30
1.5.1 Случай быстрой релаксации 31
1.5.2 Случай медленной релаксации 33
1.6 Влияние устойчивости стационарной неравновесной среды на процесс изменения параметров вихря 36
1.6.1 Устойчивость среды с энерговыделением, зависящим от температуры 37
1.6.2 Случай энерговыделения, зависящего от плотности 39
2 Изменение параметров одиночного вихря в результате начального возбуждения внутренних степеней свободы молекул 44
2.1 Осесимметричное возбуждение 45
2.2 Случай мгновенного перехода части вложенной энергии в тепло 56
2.3 Влияние конечной протяженности зоны возбуждения вдоль оси вихря 59
2.4 Неосесимметричное возбуждение 64
2.5 Неустойчивость Рэлея-Тейлора 70
3 Интегралы движения в динамике вихрей в неравновесной среде 76
3.1 Интегралы движения в осесимметричном случае 78
3.2 Неосесимметричный случай: сохранение полного момента импульса 82
3.3 Интеграл энергии 82
4 Влияние неравновесного состояния среды на структуру вихревой дорожки Кармана 87
4.1 Постановка задачи: три модели 90
4.2 Результаты численного моделирования 95
4.2.1 Сравнение с экспериментальными данными для равновесного газа 95
4.2.2 Результаты для неравновесного газа 97
Основные результаты и выводы 107
- Механизм взаимодействия
- Устойчивость среды с энерговыделением, зависящим от температуры
- Неосесимметричное возбуждение
- Результаты численного моделирования
Введение к работе
Актуальность
Интерес исследователей к проблемам течения неравновесного газа, то есть газа, в котором энергия внутренних степеней свободы превышает равновесное значение, связан с большим количеством практических приложений. Неравновесный газ естественным образом существует в верхних слоях атмосферы, и связанное с неравновесностью повышенное энерговыделение на поверхности летательного аппарата при полете на таких высотах предъявляет требования к термоизоляционным свойствам обшивки, которым не всегда удовлетворяют современные материалы (так называемая проблема космического самолета). В неравновесных средах лазеров и разрядов энерговыделение также является негативным эффектом: релаксационный нагрев может приводить к развитию псрегревно-ионизационной неустойчивости [1], контракции [2] и срыву генерации излучения. Одна из распространенных методик повышения предельной мощности проточного лазера заключается в искусственной турбулизации течения, создании вихревых структур, которые могут улучшить отвод тепла из центральной области лазера к стенкам за счет дополнительного перемешивания. При этом, имеет место и обратное воздействие энерговыделения на структуру течения. В отличие от этих случаев, в которых нагрев нежелателен, в авиации все чаще предлагается специально воздействовать на течение с помощью разряда. Такое воздействие может стать новым средством управления течением вокруг летательного аппарата, что весьма актуально в настоящее время, когда возможности традиционных механических методов в целом исчерпаны. Целью воздействия часто является изменение положения и интенсивности головной ударной
волны при сверхзвуковом обтекании тела (концепция плазменной иглы), но не менее распространены попытки управлять распадом вихря и предотвратить отрыв в вихревой зоне на подветренной стороне крыла (особенно, при больших углах атаки) с помощью разряда на его поверхности. Еще одним потенциально интересным эффектом является уменьшение сопротивления при обтекании затупленных тел, связанное с использованием разряда в передней части обтекаемого тела, хотя в большинстве случаев оно оказывается недостаточно большим, чтобы подобное применение разряда было оправданно с энергетической точки зрения. Помимо улучшения аэродинамических характеристик при внешнем обтекании, существует также проблема эффективного поджига горючей смеси внутри двигателя при полетах с большой скоростью и на больших высотах (соответственно, при низких давлениях). И в этом случае решением проблемы может оказаться использование разрядов, обеспечивающих локальный предварительный прогрев смеси и необходимое исходное количество активных радикалов.
Следует также отметить две области, в которых возникают сходные проблемы, но энерговыделение имеет другую природу: исследования взаимодействия вихрей с пламенами и проблему зарождения тропических ураганов в метеорологии. В последнем случае основным источником энергии для превращения тропического циклона в разрушительный ураган является скрытая теплота конденсации в восходящих потоках.
Во всех упомянутых приложениях важной частью газодинамических течений являются вихревые структуры. Ими определяются такие важные характеристики течения, как положение точки отрыва потока, эффективная длина вихревого следа за телом, эффективность перемешивания внутри лазеров или камер сгорания, наличие зон возвратного течения и стабилизация пламени в вихревых горелках. Теория вихревых структур разрабатывалась такими классиками гидродинамики, как Г. Гельмгольц, Г. Ламб, У. Томсон (лорд Кельвин). Однако, практически все работы, посвященные одиночным вихрям и вихревым течениям, и классические, и современные, рассматривают приближение несжимаемой жидкости и не касаются вопросов, связанных
с учетом сжимаемости. Причин для этого несколько. Во-первых, скорость газа в вихре в принципе не может быть больше (а, как правило, гораздо меньше) скорости звука. С точки зрения классической гидродинамики, в этом случае сжимаемостью газа можно пренебречь. Во-вторых, до появления мощной вычислительной техники и современных численных методов задача о вихре в сжимаемой среде была слишком трудна, поэтому рассматривалось сильно упрощающее ситуацию с математической точки зрения приближение несжимаемой жидкости. Наконец, при расчетах классических гидродинамических течений без заметных тепловых эффектов задач, требующих учета сжимаемости газа в зонах вихревого течения, не возникает. Ситуация резко меняется, когда дело касается физических (главным образом, тепловых) методов воздействия на течение. Так как выделение энергии приводит к переносу массы, при рассмотрении взаимодействия энерговыделения и вихревой структуры необходимо достаточно полно учитывать эффекты сжимаемости.
Настоящая работа посвящена анализу взаимодействия одиночных вихрей и вихревых течений и энерговыделения, вызванного неравновесным состоянием среды. Примером такой среды может служить среда газового разряда. Несмотря на богатую историю изучения вихревых структур и рост интереса к течениям неравновесных сред, окончательного ответа на вопрос, что происходит с вихревыми структурами в неравновесном газе, до сих пор нет. В различных теоретических работах сообщается о распаде вихря, его быстром исчезновении за счет диссипации в неравновесной среде и о перестройке вихря в результате взаимодействия. К сожалению, однозначных экспериментальных данных, позволивших бы разрешить разногласия между теоретическими работами, нет. Альтернативой может быть решение этой задачи в наиболее простой и общей формулировке, позволяющей строго ответить на вопрос в фундаментальном плане, не привязываясь к условиям конкретного эксперимента. Построение такого решения является основной целью данной работы.
Цель работы
Решение задачи о взаимодействии одиночного вихря с энерговыделением в стационарной неравновесной среде с учетом зависимости величины энерговыделения от параметров течения.
Исследование влияния устойчивости неравновесной среды на процесс изменения параметров вихря.
Решение задачи об изменении параметров вихря в результате начального возбуждения внутренних степеней свободы молекул для различной геометрии возбуждения.
Определение сохраняющихся величин для вихря в неравновесном газе.
Численное моделирование влияния энерговыделения на условия образования вихрей дорожки Кармана при обтекании цилиндра потоком неравновесного газа.
Исследование возможности применения упрощенных моделей сжимаемой среды при расчете течений неравновесного газа.
Научная новизна работы
Сформулирована и решена задача о взаимодействии одиночного вихря с энерговыделением в стационарной неравновесной среде. Впервые получены аналитические решения, описывающие процесс изменения параметров вихря, для предельных случаев быстрой и медленной релаксации. Показано, что результаты, ранее интерпретировавшиеся как быстрая диссипация вихря в неравновесной среде, обусловлены неустойчивостью среды.
Впервые решена задача об изменении параметров вихря в результате начального локального возбуждения внутренних степеней свободы молекул. Исследована динамика вихря в случае неосесимметричного возбуждения, включающая унос массы, постепенное падение спирали
нагретого газа на центр вихря и перемешивание, приводящее к окончательному осесимметричному состоянию. Показано, что в случае конечной протяженности зоны энерговыделения вдоль оси вихря возникает вторичное течение, меняющее характеристики вихря. Показана возможность развития неустойчивости Рэлея-Тейлора при периодической накачке энергии во внутренние степени свободы.
Предложен подход, позволивший найти определенные законы сохранения для вихря в случае, когда часть вещества уносится волной, вызванной энерговыделенисм. Построен класс интегралов движения в случае осесимметричной эволюции вихря в неравновесном газе. Показано, что полный момент импульса и полная энергия, выражение для которой модифицировано с учетом уноса части массы, сохраняются и в неосесимметричном случае.
Впервые решена задача о влиянии неравновесного состояния среды на структуру вихревой дорожки Кармана. Показано, что воздействие на условия образования вихрей в сложном течении заметно эффективнее воздействия на параметры одиночных вихрей. Исследована возможность применения упрощенных моделей учета сжимаемости для расчетов течений неравновесного газа.
На защиту выносятся следующие результаты и положения
Результаты численного моделирования и аналитические решения для процесса изменения параметров вихря в стационарной неравновесной среде. Вывод о переходе вихря в новое состояние с измененными характеристиками при условии устойчивости неравновесной среды.
Анализ устойчивости неподвижной неравновесной среды для разных моделей энерговыделения, позволивший дать новое объяснение результатам, полученным другими авторами для среды с энерговыделеиием, зависящим от плотности. Показано, что происходит не быстрое исчезновение вихрей в стационарной неравновесной среде,
а развитие неустойчивости, свойственной среде с данным типом энерговыделения, независимо от наличия вихря.
Аналитические решения для эволюции вихря в результате начального возбуждения внутренних степеней свободы молекул в предельных случаях быстрой и медленной релаксации.
Результаты расчетов динамики вихря для осесимметричного и неосесимметричного локального возбуждения внутренних степеней свободы молекул. Результаты расчетов с учетом конечной протяженности зоны энерговыделения вдоль оси вихря. Вывод об уменьшении плотности и повышении температуры в центральной части вихря и об увеличении угловой скорости в результате выделения энергии. Результаты расчетов развития неустойчивости Рэлея-Тейлора при периодической накачке энергии во внутренние степени свободы молекул в кольцевой области.
Метод определения интегралов движения для вихрей в сжимаемой неравновесной среде, учитывающий возможность уноса массы за пределы рассматриваемой области. Ряд интегралов движения для вихря в неравновесной среде, включающий полный момент импульса и полную энергию.
Результаты расчетов вихревой дорожки Кармана в неравновесном газе с использованием трех разных моделей среды, отличающихся полнотой учета сжимаемости. Анализ возможности использования упрощенных моделей для расчета течений неравновесного газа.
Научная и практическая ценность работы заключается в подробном анализе различных аспектов взаимодействия отдельных вихревых структур и вихревых течений с неравновесной средой при различных параметрах энерговыделения. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании конкретных технических устройств: проточных лазеров, вихревых горелок, устройств плазменного управления течением, на
работу которых оказывает влияние взаимодействие вихревых структур и энерговыделения.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях.
Международный коллоквиум "Physics of shock waves, combustion, detonation and non-equilibrium processes" (Минск, 2005);
Четвертая Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2007).
XV школа-семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2007).
Всероссийский семинар по аэрогидродинамике (Санкт-Петербург, 2008).
Международная конференция "Nonequilibrium processes in combustion and plasma based technologies" (Минск, 2008).
Кроме того, результаты работы докладывались на конференции "Ломоносов-2004".
Публикации
По теме диссертации опубликовано 9 работ:
Осипов А.И., Уваров А.В., Винниченко Н.А., Рощина Н.А. Нелинейные задачи гидродинамики: вихревые структуры в неравновесном газе // Нелинейный мир, 2005, т.З, № 1-2, с.40-47.
Винниченко Н.А., Никитин Н.В., Уваров А.В. Вихревая дорожка Кармана в колебательно-неравновесном газе // МЖГ, 2005, № 5, с.107-114.
Osipov A.I., Uvarov A.V., Vinnichenko N.A. Influence of the initial nonequilibrium state of a medium on the structure of von Karman vortex street // Phys. Fluids, 2006, v.18, N 10, 105106.
Винниченко H.A. Образование дорожки Кармана при обтекании цилиндра колебательно-возбужденным молекулярным газом // Конференция "Ломоносов-2004", Москва, с.174-175.
Osipov A.I., Uvarov A.V., Vinnichenko N.A., Roschina N.A. Vortex structures in a non-equilibrium gas // Minsk International Colloquium on physics of shock waves, combustion, detonation and non-equilibrium processes, 2005, Minsk, pp.139-140.
Винниченко H.A., Осипов А.И., Уваров А.В. Анализ нелинейного взаимодействия вихревых структур с неравновесной газовой средой // Труды четвертой всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике", 2007, Москва, с.231-233.
Винниченко Н.А., Осипов А.И., Уваров А.В. Эволюция одиночного вихря в неравновесной среде // Тезисы докладов XV школы-семинара "Современные проблемы аэрогидродинамики", 2007, Сочи, с.27-28.
Винниченко Н.А., Осипов А.И., Уваров А.В. Взаимодействие одиночного вихря с неравновесной средой при наличии энерговклада // Тезисы докладов Всероссийского семинара по аэрогидродинамике, 2008, Санкт-Петербург, с. 102.
9. Vinnichenko N.A., Uvarov A.V., Osipov A.I. Modification of a single vortex in
. a medium with internal heat // The third international workshop "Nonequi-
librium processes in combustion and plasma based technologies", 2008, Minsk, pp.75-78.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем 122 страницы, в том числе 34 рисунка. Список литературы содержит 120 наименований.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы, приводится обзор литературы, формулируются цели и задачи диссертационной работы и изложено ее краткое содержание.
В первой главе рассматривается задача об изменении параметров одиночного вихря в стационарной неравновесной среде. Обсуждается механизм взаимодействия энерговыделения и вихревых структур. Приводятся результаты численного моделирования и аналитические решения для эволюции вихря в среде с энерговыделением, зависящим от температуры. Для двух моделей энерговыделения: зависящего от температуры и зависящего от плотности, выполняется анализ устойчивости стационарной неравновесной среды к малым возмущениям, и на его основе предлагается корректное объяснение имеющихся в литературе результатов, интерпретировавшихся как исчезновение вихря в неравновесной среде.
Вторая глава посвящена динамике одиночного вихря в результате начального возбуждения внутренних степеней свободы. Рассматриваются процессы, происходящие в вихре при различной геометрии (осесимметричное, неосесимметричное, в кольцевой области) и параметрах возбуждения. Обсуждается влияние переноса массы вдоль оси вихря в случае конечной протяженности зоны возбуждения, а также возможность развития неустойчивости Рэлея-Тейлора в результате действия энерговыделения.
Третья глава посвящена обсуждению фундаментального теоретического вопроса — существования сохраняющихся величин — применительно к динамике вихрей в неравновесной релаксирующей среде. Показано, что унос вещества волной от энерговыделения и расходимость интегралов для вихревых структур создают определенные трудности при использовании традиционных интегралов движения. Предложен подход, позволяющий устранить эти трудности и получить в осесимметричном случае достаточно широкий класс интегралов движения. Показано, что в неосесимметричном случае сохраняются полный момент импульса и специальным образом определенная энергия.
В четвертой главе рассматривается взаимодействие газодинамических
и релаксационных процессов в достаточно сложном вихревом течении — дорожке Кармана в неравновесном газе. Обсуждаются особенности, отличающие воздействие па проточные течения, в которых образуются вихри, от воздействия на характеристики существующих вихрей. На основе сравнения результатов численного моделирования обсуждается возможность применения упрощенных моделей среды при расчете неравновесных течений. В заключении сформулированы основные результаты и выводы.
Обзор работ по теме диссертации
Ситуация, сложившаяся в литературе по вихревым структурам и их взаимодействию с энерговыделением, достаточно неоднозначна. С одной стороны, теория вихрей является важным разделом классической гидродинамики, ее положения приводятся в классических трудах Дж. Бэтчелора [3], Г. Билля [4], А. Пуанкаре [5], Г. Гельмгольца [6], Г. Ламба [7]. С другой стороны, практически все результаты получены в приближении несжимаемой жидкости, а тепловые воздействия па вихри, при описании которых важна сжимаемость среды, изучены очень слабо. Это же справедливо и для современных монографий [8, 9, 10, 11, 12]: в них подробно описаны классические результаты и проблемы, остающиеся нерешенными до сих пор, а именно, устойчивость вихрей с различным распределением скорости [8, гл. 4], распад вихрей с продольной составляющей скорости [8, гл. 7] и динамика нескольких точечных вихрей [10], представляющая интерес с точки зрения упрощенного описания турбулентности, но не затрагиваются вопросы, связанные с учетом сжимаемости. Сжимаемость учитывается лишь в немногих работах по устойчивости вихрей с неравномерным распределением плотности [13, 14], а вопрос об определении интегралов движения для вихрей, который будет подробно рассмотрен в третьей главе диссертационной работы, исследован лишь для несжимаемой жидкости [8, 9], неоднородной по плотности несжимаемой жидкости [15] и баротропной жидкости [16]. Такая ситуация, как уже говорилось, связана с дозвуковым характером большинства вихревых течений.
Второй класс работ, которые стоит упомянуть, это экспериментальные
исследования взаимодействия разряда и различных газодинамических течений. Среди них следует выделить работы, связанные с проблемами оптимизации газодинамических лазеров [17, 18, 19, 20, 21, 22] и работы, посвященные проблемам плазменной аэродинамики, управления течением с помощью разряда. В первом случае внимание, в основном, уделяется влиянию структуры течения на энерговыделение и контракцию разряда, во втором — напротив, влиянию энерговыделения на параметры течения. В серии экспериментов, выполненных в Институте Проблем Механики РАН, вихри для улучшения перемешивания внутри проточного лазера создавались с помощью препятствия в виде одного [17, 18, 19] или двух [20] цилиндров. Несмотря на то, что основной целью являлось снижение релаксационного нагрева, также наблюдалось влияние неравновесного состояния среды на пульсации скорости в вихрях дорожки Кармана в следе за цилиндром. Подробнее эта задача будет рассмотрена в четвертой главе диссертационной работы. В работе [22] было получено усиление за счет энерговыделения пульсаций при турбулентном течении в проточном лазере. Обзор [21] посвящен созданию вихревых структур с помощью звуковых волн и влиянию вихрей на контракцию разряда. В частности, приведены данные, демонстрирующие, что мелкомасштабная турбулентность улучшает перемешивание и снижает локальный нагрев, а образование крупных вихрей при ламинарно-турбулентном переходе, напротив, способствует контракции. Улучшение перемешивания и снижение нагрева в проточном лазере было также показано с помощью численного моделирования в работе [23].
Различные аспекты управления течением вокруг летательного аппарата с помощью разряда рассмотрены в обзоре [24]. Как правило, речь идет о достаточно сложных течениях, включающих образование вихрей у поверхности крыла и скачков уплотнения вблизи носовой части, а также ударных волн, вызванных собственно выделением энергии в разряде. Во многих работах, как экспериментальных [25, 26, 27], так и теоретических [28, 29, 30, 31], рассматривается влияние разряда, горящего перед телом, на конфигурацию головной ударной волны при сверхзвуковом обтекании. Общий вывод состоит
в том, что головная ударная волна при наличии разряда отодвигается выше по течению и ее интенсивность убывает, но часть авторов приписывает этот эффект действию энерговыделения, а часть — отражению набегающего потока газа ускоренными заряженными частицами. Другой вариант применения разряда для управления течением заключается в управлении распадом вихря и предотвращении отрыва в вихревой зоне на подветренной стороне крыла (особенно, при больших углах атаки) с помощью барьерного разряда на его поверхности [32, 33, 34]. Приведенные в указанных работах данные свидетельствуют о возможности эффективного присоединения потока с помощью разряда и увеличении критического угла атаки при не очень больших скоростях потока: менее 10-15 м/с в работах [33, 34] и до 75 м/с в работе [32]. Общей проблемой является дефицит энергии, которую можно использовать для управления течением, на борту самолета. Эти результаты можно сравнить с обзором механических способов управления распадом вихря [35], которые также оказываются недостаточно эффективными. В ряде работ [36, 37, 38] отмечено уменьшение сопротивления при обтекании затупленных тел, связанное с использованием разряда в передней части обтекаемого тела. Еще одним, возможно, наиболее перспективным с точки зрения практического применения, вариантом использования разряда в авиации является улучшение горения внутри реактивного двигателя при полетах на больших высотах и больших скоростях [39, 40, 41, 42, 43]. Из-за низких концентраций воздуха на большой высоте и при высокой скорости течения в воздухозаборнике реакция не успевает произойти за то время, пока воздушно-топливная смесь находится внутри камеры сгорания. Механическое торможение потока сопряжено с неприемлемым увеличением аэродинамического сопротивления. Альтернатива состоит в использовании разряда, который ускоряет протекание реакции как за счет предварительного прогрева смеси и создания "горячих точек", так и за счет образования необходимого для начала цепной реакции числа активных радикалов, Отдельную проблему, актуальную для высокоскоростного течения, представляет эффективный впрыск плазменной струи в сверхзвуковое течение [39]. Заметим, что и без использования разряда камеры сгорания
представляют собой прекрасный пример взаимодействия энерговыделения (вызванного непосредственно химической реакцией) и вихревого течения, поскольку поток на входе в камеру сгорания реактивного двигателя или стационарную топку, как правило, закручивается для стабилизации пламени [44]. Наличие зоны возвратного течения при сильной закрутке обеспечивает наличие точки, в которой скорость распространения волны горения вверх по потоку совпадает со скоростью течения, и позволяет избежать срыва пламени в случае быстрого течения. Взаимодействию вихрей с пламенами посвящено большое число работ, ссылки на которые приведены в обзоре [45]. Практически во всех этих работах, однако, рассматривается влияние вихревого течения на форму пламени и эффективность горения в различных конфигурациях, а не влияние выделения энергии, связанного с экзотермической реакцией, на параметры вихрей.
Для описания действия разряда на течение используются различные модели. В некоторых случаях [46, 47] для описания неравновесного состояния среды и его влияния на вихри используют приближение объемной вязкости, которое применяется для описания усиления или ослабления звуковых волн в неравновесной среде при малом отклонении от равновесного состояния. Обоснованность использования этого приближения для локального сильно неравновесного состояния среды, которое наблюдается в разряде, довольно сомнительна. Более подробно границы области применимости приближения объемной вязкости обсуждаются в статье [48]. Основным фактором влияния разряда на течение большинство авторов [36, 37, 49] считают энерговыделение (быстрое, с мгновенным переходом энергии разряда в тепло, или же медленный переход энергии в поступательные степени свободы через релаксацию колебательных и электронных возбуждений), хотя некоторые работы также обращают внимание на силовые факторы: ионный ветер [50] и электрические силы, возникающие при разделении зарядов [32, 51]. Как правило, при описании влияния энерговыделения на структуру течения используется крайне упрощенная модель, сводящая действие разряда к энерговыделению как функции координат и времени [52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59]. Такая
модель удобна тем, что не требует включения в систему дополнительных уравнений или учета зависимости величины энерговыделения от параметров течения, которая может изменить свойства уравнений газовой динамики. Тем не менее, в реальной неравновесной среде энерговыделение зависит от температуры и плотности, что приводит к дополнительным эффектам, таким как развитие перегревно-ионизационной неустойчивости среды. Рассматривая энерговыделение, зависящее только от координат и времени, можно учесть лишь одну из сторон взаимодействия — влияние энерговыделения на течение, но не влияние течения на энерговыделение. Более сложные модели с учетом зависимости величины энерговыделения от параметров течения — температуры и плотности — применялись в работе [60] при моделировании течения в трубе и в работах [61, 62] при исследовании одиночных колоннообразных вихрей. В литературе встречаются и более подробные модели разряда, включающие уравнения электродинамики [49] и подробные кинетические схемы. Часть из них, однако, не учитывает гидродинамических явлений [63], а повышение точности, достигнутое другими [64] за счет усложнения кинетической схемы, как правило, сводится на нет большой погрешностью известных экспериментальных значений скоростей переходов. Характерно, что в работе [64] не было найдено заметных различий между результатами расчетов по равновесной и неравновесной моделям среды. В настоящей работе используются промежуточные модели неравновесного состояния среды: энерговыделение, зависящее от параметров течения, как в работах [60, 61, 62], и описание неравновесного состояния с помощью одного дополнительного уравнения релаксации энергии внутренних степеней свободы с учетом мгновенного перехода части энергии в тепло. Такая постановка задачи связана с необходимостью получить строгий результат относительно окончательного состояния вихрей в неравновесной среде в общем случае, не связанном с использованием конкретной кинетической схемы. Влияние детальной кинетики сводится, в основном, к тому, с какими характерными временами будет происходить постепенный переход энергии из внутренних степеней свободы молекул в поступательные.
Работы, в которых рассматривается собственно взаимодействие вихрей и энерговыделеиия, немногочисленны, поэтому стоит рассмотреть их более подробно. В диссертации [52], помимо влияния периодического подвода энергии перед телом на сверхзвуковое обтекание затупленных и заостренных тел, рассматривается также влияние подвода энергии на разрушение вихря с продольной составляющей скорости при взаимодействии со скачком уплотнения. Энерговыделение считается заданной функцией координат и времени, то есть зависимость от параметров течения не учитывается. Заметим, что результаты (возможность управления разрушением вихря с помощью локализованного подвода энергии) получены для достаточно сложной конфигурации течения, и трудно сказать, насколько они справедливы для других течений, содержащих вихри. Разрушение вихря — явление, характерное для вихрей с продольной составляющей скорости, оно связано с резким изменением профиля угловой скорости в зоне торможения, которую можно создать за счет внешнего воздействия. Колоннообразным вихрям, рассмотренным в первых трех главах настоящей работы, это явление не свойственно. Следует заметить также, что подвод энергии в работе [52] влияет также и на параметры скачка уплотнения, который взаимодействует с вихрем.
В работе [53] рассматривается влияние стационарного энерговыделения на вихрь, который может иметь различные распределения продольной скорости. Показана возможность создания зоны торможения, в которой уменьшается угловая скорость вихря. К недостаткам работы можно отнести поиск лишь стационарных решений и использование квазицилиндрического приближения, что не позволяет рассмотреть явления, связанные с образованием зоны возвратного течения, такие как разрушение вихря. В более поздней работе [54] исследовано влияние энерговыделеиия на устойчивость вихрей с продольной компонентой скорости. Зависимость энерговыделения от параметров течения в этих работах также не учитывается.
В работе [61] и в недавней статье [62] рассматривается взаимодействие колоннообразного вихря с энерговыделением, зависящим от плотности и температуры соответственно. При этом, авторы работы [61] приходят к
выводу о быстром (за доли секунды) исчезновении вихря в неравновесной среде, несмотря на то, что рассматривается невязкая среда, а в статье [62] утверждается, что вихрь переходит в состояние с ненулевыми продольной и радиальной компонентами скорости при наличии положительной обратной связи между возмущениями неравновесного тепловыделения и давления в ядре вихря. Схожая постановка задачи для обеих моделей энерговыделения будет рассмотрена в первой главе диссертационной работы. В частности, будет показано, что в случаях, описанных в работах [61] и [62], независимо от наличия вихря, реализуется развитие неустойчивости неравновесной среды. Результаты, полученные в этих работах, обусловлены упрощенным учетом сжимаемости среды. Например, в работе [62] эволюция вихря описана в приближении несжимаемой жидкости. Повышение температуры в этом приближении приводит к повышению давления на оси вихря, хотя в сжимаемой среде давление может повыситься лишь на короткое время, так как дальше оно снова уменьшится за счет переноса массы.
Отдельно стоит упомянуть исследования, посвященные проблеме зарождения тропических ураганов. Основной механизм превращения тропического циклона в ураган — выделение энергии за счет конденсации в восходящих потоках воздуха и взаимодействие энерговыделения с исходным вихрем — известен [65, 66], однако современные численные расчеты [67, 68, 69] не показывают заметного усиления вихря. Проблема, таким образом, остается нерешенной. Особенность данной задачи и отличие ее от рассмотренных в диссертационной работе состоит в том, что важную роль играет конвекция и краевые эффекты на границе вихря и океана: из-за них появляются восходящие течения воздуха, приводящие к конденсации и энерговыделению. Тем не менее, результаты, полученные в диссертационной работе для воздействия энерговыделения на колоннообразные вихри, могут найти применение и в этой задаче.
Механизм взаимодействия
Прежде всего, отметим, что в линейном приближении вихревые возмущения не взаимодействуют с неравновесным состоянием среды [71]. Если рассматривать полную задачу, то любая вихревая структура, и в частности, колоннообразный вихрь (1.5), содержит изменения температуры и плотности. Эти изменения приводят к появлению нескомпенсированного энерговыделения, которое в свою очередь меняет характеристики течения. Таким образом, при учете зависимости энерговыделения от параметров течения возникает нелинейное взаимодействие вихревого течения и энерговыделения, которое приводит к изменению параметров вихря. Несмотря на то, что механизм взаимодействия известен, в литературе имеются существенные расхождения в вопросе окончательного состояния вихря в неравновесной среде: к примеру, в [52] при рассмотрении энерговклада, зависящего от координат и времени, утверждается, что действие энерговклада приводит к распаду вихря, в [61] результаты для энерговклада, зависящего от плотности, были интерпретированы как чрезвычайно быстрая диссипация вихря в неравновесной среде, а в [62] на основе рассмотрения в приближении несжимаемой жидкости говорится об изменении параметров вихря в результате взаимодействия. Ниже будет показано, что, в зависимости от устойчивости неравновесной среды, взаимодействие вихря с энерговыделением может приводить либо к переходу вихря в новое стационарное состояние, в котором энерговыделение снова полностью компенсируется теплоотдачей, либо к развитию неустойчивостей, свойственных неравновесной среде. Стоит заметить также, что несмотря на то, что колоннообразный вихрь является дозвуковым течением, описание его взаимодействия с энерговыделением требует использования полной системы уравнений гидродинамики для сжимаемой жидкости.
Приближение Буссинеска, в рамках которого часто рассматривают течения в среде с энерговыделением [72], и условия применимости которого обсуждаются в [73], в случае, когда все величины зависят только от г и t, приводит к уравнению непрерывности в виде д(г vr)/dr — 0, откуда, с учетом начального условия vr(r, 0) = 0, следует, что vr(r,t) = 0, что при подстановке в уравнение движения дает dvv/dt = О, то есть параметры вихря в приближении Буссинеска не меняются. Поэтому необходимо использовать полную систему уравнений (1.1). Для численного решения уравнений системы (1.1) использовался метод Годунова первого порядка точности с точным решением задачи Римана [74]. Выбор метода обусловлен тем, что образующаяся в результате действия нескомпенсированного энерговыделения волна имеет довольно резкий профиль с большими значениями градиентов параметров на фронте. Для точного описания такой волны требуется, чтобы метод хорошо описывал разрывы без введения искусственной вязкости, которая привела бы к уменьшению амплитуды волны и дополнительному затуханию вихря. Граничные условия на оси симметрии были получены при помощи разложения уравнений системы (1.1) в ряд по степеням г согласно процедуре, описанной в [75]. Граничные условия на бесконечности были заданы следующим образом дг2 граничное условие для давления следует из уравнения состояния. В большинстве расчетов применялась неравномерная сетка, состоящая из 500 точек, с шагом, изменявшимся от 0.02 вблизи оси симметрии до 0.14 около внешней границы rmax = 40 (значения расстояний приводятся в характерных радиусах исходного вихря). Как показывает сравнение с аналитическим решением (см. ниже), численная вязкость для такой сетки пренебрежимо мала, несмотря на использование метода лишь первого порядка точности. Дополнительно было проведено исследование сходимости полученного решения при уменьшении шага сетки. На Рис. 1.1 показаны мгновенные профили абсолютных величин погрешностей радиальной и угловой компонент скорости для сеток с разным числом точек. Погрешности рассчитаны относительно численного решения на сетке, содержащей 4000 точек. Значения скорости Величина времени релаксации варьировалась в широком диапазоне, поскольку некоторые эксперименты [76, 77, 78, 79, 80] показывают, что около 25% энергии разряда может непосредственно переходить в тепло, тогда как остальная часть релаксирует довольно медленно. Таким образом, эффективное время релаксации может быть и весьма малым (мгновенный переход энергии внутренних степеней свободы в тепло), и весьма большим (колебательная релаксация или релаксация электронных возбуждений).
Поскольку для типичных вихрей в воздухе и других газах (Rvor 1 см и больше) время вязкой диссипации гораздо больше времени перестройки вихря в результате взаимодействия с энерговыделением и поскольку аналитические решения (см. ниже) получены для невязкой среды, результаты численного моделирования приводятся также для невязкой среды. Оценить влияние вязкости для вихря определенных размеров и определенных параметров среды можно с помощью формулы для вязкой диссипации вихря vv(r,t) (1 — exp ( — j j J [81, с. 452]. Из полученных ниже аналитических решений следует, что величина изменения угловой компоненты скорости в результате взаимодействия с энерговыделением составляет порядка VQM2, где М — число Маха. Время сопоставимой по величине вязкой диссипации составляет #., — 8 \" 1Г Характерное время эволюции вихря при взаимодействии с энерговыделением определяется либо характерным временем газодинамических процессов twave = Rvor/cs, где cs — скорость звука, либо временем релаксации (если оно велико). Таким образом, если tdis S піах(ц,аг,е,т), влиянием вязкости на процесс взаимодействия вихря с энерговыделением можно пренебречь. Результаты численного моделирования для времени релаксации, малого по сравнению с характерным временем газодинамических процессов, показаны на Рис. 1.2. Число Маха равно 0.28, поступательная температура невозмущенной среды 300 К, температура внутренних степеней свободы 3000 К, время релаксации Ю-8 с, что намного меньше типичного времени колебательной релаксации (моделирование непосредственного перехода энергии разряда в тепло). Параметры среды (теплоемкость, величина кванта энергии внутренних степеней свободы, молярная масса, плотность и давление в отсутствие вихря) соответствуют азоту при давлении 17 Торр, типичном для среды газодинамического лазера. Значения радиальной скорости и изменения угловой скорости по сравнению с начальным распределением v v нормированы на v0, плотности — на р , значения давления — на Роо О) значения температуры указаны в Кельвинах, значения времени — в секундах, г — в радиусах исходного вихря.
Устойчивость среды с энерговыделением, зависящим от температуры
Для энерговыделения (1.2) известно, что при достаточно резком уменьшении времени релаксации с ростом температуры среда неустойчива, в ней происходит усиление как акустической, так и тепловой мод [70]. Условия устойчивости с учетом диссипативных процессов можно получить с помощью классического метола нормальных мод [88]. Поскольку основное течение (покоящаяся среда) не зависит от времени и координат, возмущения плотности, скорости, давления и температуры можно записать в виде a (x,t) = a 0exp(ikx + г Ш), где к — волновое число возмущения, а 2 — комплексная частота. Поскольку основное течение изотропно, достаточно рассмотреть одномерные возмущения: произвольный волновой вектор возмущения можно сделать параллельным оси х с помощью простой замены переменных. Подставив этот вид возмущений в систему уравнений Навье-Стокса с учетом энерговыделения (1.2) и приравняв определитель системы нулю, можно получить дисперсионное соотношение, определяющее зависимость 1(к). При этом, учитываются только линейные по вязкости и теплопроводности слагаемые, предполагается, что влияние диссипации невелико. Дисперсионное соотношение можно упростить для отдельных мод: акустической Q — kcs + li и тепловой С1 — f2i, где \Пі\ С kcs. В результате из условия Im{Vt) О получаются следующие условия устойчивости: акустическая мода устойчива при отрицательных а, если а тепловая мода устойчива при отрицательных а, если где а = -\ 72 аг — паРаметР) характеризующий зависимость времени релаксации от температуры и запас энергии во внутренних степенях свободы, 7 показатель адиабаты.
При неотрицательных значениях а. обе моды устойчивы. Если не учитывать вязкость и теплопроводность, среда будет устойчива при неотрицательных а и неустойчива — при а 0. Если оценить минимальное волновое число возмущений, возникающих в процессе перестройки вихря в новое состояние, как к l/Ruor, то критерий устойчивости среды примет вид где и 0 — максимальная угловая скорость в вихре, Re — ийЩ0Гр/г] — число Рейнольдса, Рг — rjCp/X — число Прандтля. То есть, при отрицательных а устойчивость сохраняется лишь для малых вихрей (коротковолновых возмущений). Сравнение теоретической оценки (1.21) для покоящейся среды с результатами численного моделирования среды с вихрем показано на Рис. 1.5. Устойчивость среды при численном моделировании эволюции вихря оценивалась по долгосрочному поведению образующихся волн: если они усиливались, среда считалась неустойчивой. Время релаксации считалось зависящим от температуры по формуле (1.4). Достаточно хорошее согласие с теоретической оценкой (1.21) говорит о том, что наличие вихревой структуры оказывает малое влияние на развитие неустойчивости, свойственной самой среде. Заметим, что это именно развитие неустойчивости среды, а не изменение вихря в среде с энерговыделением, как утверждается в работе [62]. Если среда оказывается неустойчивой, то вместо перехода вихря в новое стационарное состояние происходит развитие неустойчивости. Окончательное состояние среды в этом случае определяется дополнительными явлениями, ограничивающими величину возможных возмущений, которые не учитываются моделью энерговыделения (1.2), например, контракцией разряда. Рост расхождения теоретической оценки и результатов численного моделирования с увеличением Re связан с численной диссипацией, оказывающей заметное влияние на долгосрочное поведение возмущений при больших числах Рейнольдса. Исследование устойчивости покоящейся среды для модели энерговыделения (1.3) производится точно так же, как и для энерговыделения (1.2). Результат, однако, оказывается качественно иным. Если для энерговыделения, зависящего от температуры, обе моды: акустическая и тепловая — устойчивы при неотрицательных значениях параметра а и неустойчивы при отрицательных, то для энерговыделения (1.3), зависящего от плотности, при положительных значениях параметра q усиливается акустическая мода, а при отрицательных — тепловая. Таким образом, среда с энерговыделением (1.3) оказывается неустойчивой относительно малых возмущений при любом ненулевом значении энерговыделения. В работе [61] для отрицательных значений q были получены результаты, интерпретированные как быстрое (за доли секунды) исчезновение вихря в среде с энерговыделением. Но, как показывает анализ устойчивости, при отрицательных q происходит развитие тепловой неустойчивости: в точках, где плотность ниже роо, энерговыделение (1.3) положительно, что приводит к росту температуры, повышению давления и оттоку массы. В результате, плотность в этих точках понижается еще сильнее — действует положительная обратная связь, которая приводит к росту малых возмущений. В физике лазеров эта неустойчивость известна как ионизационно-перегревная [1], именно она является основным препятствием для создания более мощных газодинамических лазеров.
Следует подчеркнуть, что развитие неустойчивости происходит как в среде с вихрем, так и без вихря, то есть она является свойством среды с энерговыделением (1.3), а не вихревого течения. Если среда оказывается неустойчивой, то говорить об окончательном состоянии вихря в ней, оставаясь в рамках той же модели энерговыделения уже нельзя: рост возмущений приводит к явлениям, не учитывающимся в модели энерговыделения (1.3), которые и ограничивают развитие неустойчивости. Например, в среде газодинамического лазера при перегреве происходит срыв генерации излучения, который изменяет баланс притока энергии и теплоотдачи. Если учесть вязкость и теплопроводность, среда с энерговыделением, зависящем от плотности, становится устойчивой для достаточно малых вихрей: акустическая мода устойчива 1. Решена задача о взаимодействии одиночного колоннообразного вихря с энерговыделением в однородной стационарной неравновесной среде для двух типов энерговыделения: зависящего от температуры и зависящего от плотности. С помощью численного моделирования методом Годунова первого порядка показано, что если среда устойчива, то происходит переход вихря в новое стационарное состояние с суммарным энерговыделением, равным нулю. Процесс перехода включает в себя релаксацию и распространение волны, уносящей часть массы от оси вихря, в результате происходит небольшое изменение распределения угловой скорости в вихре. 2. Для энерговыделения, зависящего от температуры, в предельных случаях малого и большого времени релаксации получены аналитические решения, описывающие процесс изменения параметров вихря. Показано, что изменение профиля угловой скорости слабо зависит от величины времени релаксации. 3. Выполнен анализ устойчивости неподвижной среды с энерговыделением относительно малых возмущений. Показано, что среда с энерговыделением, зависящим от температуры, является неустойчивой лишь при сильном уменьшении времени релаксации с ростом температуры, а среда с энерговыделением, зависящим от плотности, является неустойчивой при любой ненулевой величине энерговыделения. Развитие неустойчивости для среды с энерговыделением, зависящим от плотности, позволило объяснить имеющиеся в литературе данные, ранее интерпретировавшиеся как быстрое исчезновение вихря в неравновесной среде.
Неосесимметричное возбуждение
Некоторые новые эффекты возникают и в случае, если центр пятна возбуждения не совпадает с центром вихря. Уравнения Навье-Стокса с учетом релаксации внутренних степеней свободы для этого случая записаны в декартовой системе координат. Протяженность зоны возбуждения по оси z предполагается бесконечной, учет ее конечности приводит к полностью трехмерной задаче, требующей гораздо больших вычислительных ресурсов. В начальный момент времени был задан вихрь Гаусса с постоянной плотностью. Возбуждение задавалось в виде ТІ — Т +АТІ ехр ( — (Х ХО)+(У-УО) j Где XQ yQ_ координаты центра пятна возбуждения. Задача была решена численно методом Годунова второго порядка точности, основанным на схеме Родионова [74, 89, 90], с использованием TVD-ограничителя Ван-Лира [91] и точного решения задачи Римана. С целью проверки программы были проведены тестовые расчеты, в которых центр пятна возбуждения совпадал с центром вихря. Сравнение формы образующейся волны для численных решений, полученных с помощью двумерной программы и одномерного кода из раздела 2.1, показано на Рис. 2.8. При расчетах применялись неравномерные сетки, сгущающиеся вблизи центра вихря. Пример расчетной сетки показан на Рис. 2.9. Для оценки влияния численной вязкости было проведено сравнение с аналитическим решением для вязкой диссипации вихря Ламба-Озина [81, с. 452] (AT; = 0). Зависимость максимальной угловой скорости в вихре от времени при числе Рейнольдса100 и расчетах на сетке 220 х 220 с минимальным шагом 0.03 показана на Рис. 2.10. При использовании более подробной сетки 300 х 300 с минимальным шагом 0.02 численное решение практически не отличается от аналитического и для Re = 500. Окончательно, для расчетов короткого начального этапа эволюции вихря, на котором происходит распространение волны, была выбрана сетка 300 х 300 с минимальным шагом 0.02, для расчета долгосрочного поведения (образование спирали, падение нагретой области на центр вихря) — сетка 180 х 180 с минимальным шагом 0.03, для моделирования развития неустойчивости Рэлея-Тейлора (см. раздел 2.5) — самая подробная сетка 320 х 320 с минимальным шагом 0.015, чтобы исключить возможность подавления зарождающейся неустойчивости численной вязкостью. Для того, чтобы избежать отражения волны от границ расчетной области, с каждой стороны к сетке был добавлен слой из 15 точек, шаг сетки в котором быстро увеличивался по закону геометрической прогрессии с показателем 1.5. На границах были заданы параметры невозмущенного газа.
Результаты численного моделирования показаны на Рис. 2.11, 2.12, 2.14 и 2.15. В данном случае в начальный момент времени был задан вихрь с vo = 10 м/с при давлении 17 Торр вдали от оси вихря, число Маха равнялось 0.028, температура вдали от оси вихря 300 К, величина начального возмущения температуры внутренних степеней свободы ATj была равна 1000 К для случая Рис. 2.11, 2000 К для Рис. 2.12 и 2700 К для Рис. 2.14 и 2.15. Центр пятна возбуждения для Рис. 2.11 и Рис. 2.12 располагался в точке (1,0), для Рис. 2.14 и 2.15 — в точке (0.5,0), D — 0.2 Ііу0Г для всех показанных результатов. Время релаксации было выбрано малым по сравнению со временем газодинамических процессов в случае Рис. 2.11 и, напротив, большим в случае остальных рисунков. Большинство этих различий в параметрах (за исключением разницы ATj между Рис. 2.12 и Рис. 2.14, 2.15) связаны с удобством визуализации отдельных особенностей эволюции вихря, и не оказывают большого влияния на физику процесса. Показаны распределения параметров в плоскости {ж, у} (вид "сверху"), значения показаны цветом. Значения скорости приведены в м/с, плотности — в кг/м , завихренности — в с-1, расстояния — в Rv0r. Амплитуда волны при малом времени релаксации может быть очень велика по сравнению с исходным вихрем (особенно это справедливо для перепада давления, который может быть в 1000 раз больше в волне, чем в исходном вихре), но когда волна уходит, остается лишь слегка измененный исходный вихрь. После того, как волна покидает рассматриваемую область, в зоне возбуждения остается нагретый газ пониженной плотности (поскольку волна уносит часть массы). При осесимметричном возбуждении (раздел 2.1) эта область горячего газа располагается по центру вихря и, если не учитывать диссипативные процессы, никаких изменений больше не происходит. Но в случае неосесимметричного возбуждения центр нагретой области не совпадает с центром вихря, что приводит к ее вращению вокруг оси вихря и постепенному превращению в участок спирали (Рис. 2.12). Это чисто кинематический эффект: точки, расположенные дальше от оси вихря, вращаются с меньшей угловой скоростью по сравнению с точками, расположенными ближе к оси, следовательно, при вращении в вихревом поле скорости они отстают по углу. Таким образом, любое пятно, центр которого не совпадает с центром вихря, приобретает форму участка спирали, заключенного между двумя окружностями, соответствующими минимальному и максимальному расстоянию точек пятна от центра вихря. Эффект закрутки возмущений в спирали встречается во многих задачах, содержащих вихри. Так, в [93] форму спирали приобретают турбулентные возмущения. Убедиться в том, что эффект образования спирали не связан с изменением поля плотности или диссипацией, можно с помощью простой модели, в которой рассчитывается положение точек некоторого контура при вращении в постоянном поле скорости вихря.
Изменение формы изначально кругового контура показано на Рис. 2.13. Если немного увеличить величину начального возбуждения (ДТ; = 2700 К для Рис. 2.14 против 2000 К для Рис. 2.12, что соответствует максимальной температуре газа около 600 К и 750 К соответственно), то спираль не успевает образоваться, поскольку быстрее оказывается другой процесс. Так как плотность в нагретой области ниже, чем в окружающем газе, а поле давления в результате прохождения волны изменилось не слишком сильно, в нагретой области нарушается равновесие между градиентом давления и центробежной силой др/дг = pv /r, необходимое условие стационарного состояния вихря. В результате уменьшения центробежной силы происходит падение горячего газа на центр вихря (Рис. 2.14). Форма падающего "пузыря" очень похожа на форму пузыря легкой жидкости, всплывающего в более плотной жидкости в поле силы тяжести [94]. Интересно, что задачи, связанные с перемещением горячего вещества под действием разности градиента давления и центробежной силы в вихревом поле скорости, встречаются в таких далеких от газовой динамики областях как астрофизика [95] (описание взрыва сверхновой с учетом вращения). Когда горячий газ достигает центра вихря, начинается перемешивание, приводящее к осесимметричному окончательному состоянию вихря. Образование тонкой спирали, обладающей большим периметром, и окончательное перемешивание увеличивают роль диссипативных процессов, поскольку в тесном соприкосновении оказываются слои газа с сильно отличающимися параметрами. Это приводит к дополнительному затуханию вихря по сравнению с обычной вязкой диссипацией. На Рис. 2.15 показано изменение поля завихренности в ходе падения нагретого газа на центр вихря. Пока газ падает, в соответствие с уравнением Фридмана (см. главу 3), происходит производство положительной и отрицательной завихренности. Видно, что в результате всего процесса вихрь заметно уменьшается в размерах. Впрочем, часть затухания может объясняться численной вязкостью, которая заметна при расчете столь долгих процессов (время перехода вихря в окончательное состояние после ухода волны связано с периодом вращения вихря и намного — в описанном случае примерно в 600 раз — превышает время ухода волны).
Результаты численного моделирования
Как видно из системы уравнений (4.1), неравновесное состояние среды описывалось с помощью одного уравнения релаксации. Это простая модель, позволяющая, тем не менее, выделить основные эффекты, возникающие из-за наличия неравновесности. Нет никаких причин, препятствующих введению дополнительных уравнений релаксации в модель, за исключением большой погрешности известных на сегодняшний день времен релаксации. Высокая погрешность в экспериментальном определении времен релаксации сводит на нет смысл более подробных моделей релаксации, поэтому ограничимся рассмотрением упрощенной. При моделировании использовались два способа создания неравновесного состояния: поток неравновесного газа на входе и постоянная накачка энергии во внутренние степени свободы во всей области расчета. Это соответствует различному расположению цилиндра: ниже области разряда по течению, либо внутри этой области. Поток неравновесного газа на входе задавался с помощью граничного условия на границе АВ (см. Рис. 4.1), в случае постоянной накачки энергии появляется постоянная добавка +pl в правой части уравнения релаксации. Поскольку условия гетерогенной релаксации на поверхности цилиндра неизвестны, то используются два крайних случая: Это условия бесконечно быстрой гетерогенной релаксации и отсутствия гетерогенной релаксации соответственно. Таким образом, моделируя два крайних случая, можно считать, что реальные условия гетерогенной релаксации находятся в интервале между ними. Время релаксации г либо полагалось постоянным, либо зависело от температуры по формуле Ландау-Теллера (1.4). Величина времени релаксации была примерно в 15 раз больше периода дорожки Tstreet, что соответствует случаю медленной релаксации. Для численного решения в случае модели почти несжимаемой жидкости применялась разностная схема, приведенная в [116] для уравнения движения, сочетающая метод Рунге-Кутта третьего порядка для конвективных членов и схему Кранка-Николсона для вязких слагаемых. Эта же схема применялась и для аппроксимации уравнений энергии и релаксации.
Для определения значений давления и обеспечения выполнения уравнения непрерывности использовался проекционный метод. В случае упрощенной модели сжимаемой жидкости, благодаря использованию уравнения состояния вида р и пренебрежению г в уравнении энергии, можно в ходе выполнения шага по времени сначала решить уравнения релаксации и энергии, получить из уравнения состояния оценку плотности на новом слое по времени, использовать ее для аппроксимации производной по времени в уравнении непрерывности, и решать уравнения движения и непрерывности, используя ту же схему, что и для модели почти несжимаемой жидкости. Таким образом, приближенный учет сжимаемости позволяет сохранить неявную схему, имеющую не слишком жесткое ограничение величины шага по времени. При расчетах с использованием полной модели сжимаемой жидкости использовалась явная двухшаговая схема Лакса-Вендроффа [117, 118]. Физическая постановка предполагала следующие граничные условия: однородный по сечению поток неравновесного газа на входе, невозмущенный поток на боковых границах ВС и AD, свободный уход вихрей дорожки Кармана на выходной границе CD и твердый цилиндр. Поток газа на входе описывается так: На границе цилиндра ставятся условия прилипания, отсутствия теплообмена и гетерогенной релаксации: При постановке условий на границах ВС, AD, CD следует учитывать, что невозмущенный поток является релаксирующим, и параметры в нем изменяются. Поэтому, для того, чтобы поставить условия на этих границах, необходимо решить одномерную задачу течения неравновесного газа в отсутствие цилиндра. Если пренебречь вязкостью, теплопроводностью и зависимостью времени релаксации от температуры, эта задача решается аналитически. Условия на боковых границах: . где V(x) - аналитическое решение задачи в отсутствие цилиндра. Отдельную трудность представляет постановка условий на выходной границе CD. С одной стороны, за этой границей должен продолжаться релаксирующий поток, с другой стороны, через границу должны вытекать без отражения вихри дорожки Кармана. Используются мягкие граничные условия, модифицированные для неравновесного газа: где А, В, С — значения соответствующих производных аналитического решения задачи в отсутствие цилиндра. В случае полной модели сжимаемой жидкости, решение задачи без цилиндра удовлетворяет условию pvx = const, причем плотность является полноценной переменной, так что появляются отдельные условия для плотности: где F — вторая производная плотности по х из аналитического решения. Так как расчеты выполнялись на декартовой сетке, для постановки граничных условий на границе цилиндра использовался метод виртуальных границ [116], в котором для обеспечения выполнения граничных условий в уравнения вводятся дополнительные члены, не равные нулю лишь в тонком слое у границы цилиндра.
Метод виртуальных границ позволяет рассчитывать обтекание тела произвольной формы, дополнительным преимуществом является возможность вычисления силы сопротивления простым суммированием дополнительных членов, имеющих размерность силы. Метод был обобщен на случай учета уравнений энергии и релаксации. Для того, чтобы избежать нефизических колебаний давления, особенно в упрощенных моделях, использовались перемежающиеся сетки: значения давления, температуры, плотности и энергии внутренних степеней свободы определялись в центрах ячеек, значения проекций скорости — в серединах соответствующих граней ячейки. Для расчетов в случае упрощенных моделей использовалась неравномерная сетка размером 240 на 170 узлов, по обеим координатам сгущающаяся у цилиндра, в случае полной модели сжимаемой жидкости — такого же вида сетка 160 на 120 узлов. Это связано с тем, что из-за ограничения шага по времени в случае схемы Лакса-Вендроффа время расчета значительно возрастает по сравнению со схемой, использованной для упрощенных моделей. Для проверки работы программы для модели почти несжимаемой жидкости были проведены расчеты числа Струхаля St (безразмерной частоты вихревой временной период вихревой дорожки) и коэффициента сопротивления в случае равновесного газа. Дорожка Кармана для равновесного газа достаточно хорошо изучена, и существует некоторое количество экспериментальных данных, с которыми можно сравнить результаты численного моделирования. Сравнение результатов численного моделирования для зависимости St(Re) с экспериментальными данными из обзора [101] показано на Рис. 4.2. Отклонение составляет около 3%. Соотношение результатов расчета коэффициента сопротивления и существующего в литературе [119, 120] разброса экспериментальных данных показано на Рис. 4.3.
