Содержание к диссертации
Введение
1 Асимптотический анализ очагового тепло вого воспламенения 32
1.1 Воз буждение химической р еакцип в " горячей точке". К аче-ствсный и асимптотический анализ 33
1.2 Тепловое воспламенение очага разогрева при наличии на
его границе термического сопротивления 41
1.3 Особенности очагового теплового взрыва при произвольном начальном распределении температуры. Влияние выгорания 46
1.4 Очаговое тепловое воспламенения вещества с автокатали-тпческим механизмом химических превращений 60
1.5 Воспламенение периодической системы очагов разогрева при наличии дополнительной теплоотдачи 70
1.6 Воспламенение пылевого облака под действием очага разогрева 79
1.7 Выводы по главе 1 85
2 Асимптотическое исследование процессов теплового зажигания реакционногособ- ных тел при кондуктивном и лучистом под воде тепла 87
2.1 Зажигание полуограниченного реакционноспособного вещества нагретой поверхностью. Качественный и асимптотический анализ 89
2.2 Верхняя и нижняя оценки времени установления теплового равновесия на горячей поверхности. Сравнение результатов, полученных различными методами 95
2.3 Зажигание реакционноспособного вещества конечного размера горячей поверхностью. Расчет временных характеристик -. 102
2.4 Асимптотический анализ зажигания реакционноспособного вещества лучистым потоком тепла 112
2.5 Асимптотический анализ зажигания потоком тепла тел, обладающих высокой прозрачностью 123
2.6 Закономерности изменения температуры и выгорания на поверхности х = 0 реакционноспособного тела при тепловом воспламенении 130
2.7 Зажигание гелеобразных реакционноспособных веществ электровзрывом 145
2.8 Выводы по главе 2 159
3 Процессы теплового воспламенения в пористых средах 161
3.1 Асимптотическое исследование очагового теплового воспламенения реакционноспособного каркаса в условиях естественной фильтрации газа в пористой среде 162
3.2 Асимптотический анализ очагового теплового воспламенения газа в высокопористой среде 175
3.3 Зажигание пористого тела потоком излучения 183
3.4 Режимы зажигания пористого тела тепловым потоком при конечном межфазном теплообмене 196
3.5 Исследование влияния теплового расширения газа при зажигании пористого тела потоком излучения в условиях естественной п вынужденной фильтрации газа 206
3.6 Особенности теплового взрыва в пористом слое при диффузии газообразного реагента 213
3.7 Выводы по главе 3 225
4 Асимптотический анализ некоторых задач теории горения, сформулированных в рам ках обыкновенных дифференциальных урав нений 227
4.1 Стационарное горение в одномерном полуограниченном по токе газов 228
4.2 Асимптотика решения задачи увлечения жидкости движущейся пластинкой, как аналог определения скорости стационарного распространения пламени 241
4.3 Асимптотический анализ релаксационных колебаний в реакторе идеального смешения при теплоотдаче в его стенки 247
4.4 Выводы по главе 4 256
5 Асимптотический анализ стационарного фильтрационного горения газа в полуограни ченной пористой среде 257
5.1 Постановка задачи о стационарном фильтрационном горении газа в полуограниченной пористой среде в рамках од-нотемпературной модели 258
5.2 Асимптотический анализ режима горения в высокопористой среде 261
5.3 Асимптотический анализ режима отрыва фильтрационного стационарного горения газа в высокопористой среде 276
5.4 Численное исследование стационарного фильтрационного горения газа в высокопористой среде в рамках двухтемпс-ратурной модели 281
5.5 Выводы по главе 5 294
Заключение ; 296
Литература
- Особенности очагового теплового взрыва при произвольном начальном распределении температуры. Влияние выгорания
- Верхняя и нижняя оценки времени установления теплового равновесия на горячей поверхности. Сравнение результатов, полученных различными методами
- Асимптотический анализ очагового теплового воспламенения газа в высокопористой среде
- Асимптотический анализ режима горения в высокопористой среде
Введение к работе
Активное развитие теории горения, постоянное совершенствование ее
методологии, математического аппарата, приемов решения задач обусловлено самым широким использованием процессов горения в различных областях промышленного производства, требованиями безопасности ведения соответствующих работ, поиском новых, эффективных форм реализации этого полезного явления.
На современном этапе развития тепловой теории воспламенения и горенпя достаточно рельефно просматриваются два направления. Во -первых идет непрерывное усовершенствование математических моделей, приближение пх к реальным физическим процессам, возможность исследования которых связывается с мощным потенциалом численных методов. Параллельно ведется разработка аналитических методов исследования данного класса задач, позволяющих с одной стороны улучшить прежние достижения, а с другой стороны избежать или уменьшить традиционные трудности численного анализа.
Исторически основной функцией аналитического исследования задачи являлось выяснение качественной картины изучаемого процесса п нахождение определяющих параметров. В период бурного развития методов численного анализа аналитическое решение задачи приобрело дополнительное значенпе в роли теста для отладки алгоритмов и проверки результатов численного решения. Начиная с 70-х годов к аналитическим методам предъявляются более жесткие требования. К этому времени значительно усложнились постановки задач, был достигнут более высокий уровень понимания физики явления, накоплен богатый экспериментальный материал, существенно расширяющий границы и возможности математического моделирования соответствующих процессов. Также, к этому времени отчетливо проявились слабые стороны численного анализа задач теории воспламенения п горения. Это, во - первых, отсутствие единого алгоритма решения задач даже с небольшими отличиями в постановках, что требует дополнительной оценки достоверности и точности получаемых результатов. Во - вторых, сложность расчета режимов с обострением, которые характерны для процессов воспламенения и нестационарного
горения. Эти обстоятельства накладывают существенные ограничения на выбор пространственных п временных счетных интервалов и, в итоге, приводят к значительному увеличению времени счета даже на современной вычислительной технике. В третьих, растет количество рассчитываемых вариантов из - за многопараметрпчности процессов. Прп этом существенно затрудняется трактовка получаемых результатов, выявление их связи с определяющими параметрами. Преодоление отмеченных трудностей в рамках численного анализа принципиально возможно, однако весьма трудоемко и дорогостояще. В связи с этим стало необходимым разработать аналитические, в том числе и приближенно - аналитические методы исследования уравнений теории воспламенения и горения, не требующих значительного упрощения математической записи задачи, гибких в применении к сложным, многофакторным процессам, позволяющим получить не только качественную, но и количественную информацию. Кроме того, во многих случаях от решения задачи и не требуется высокой точности, поскольку входящие в нее параметры находятся из более грубых приближений, либо определяются порядками величин.
Большой класс задач макрокинетики в предположении изобаричности процесса описывается системой уравнений тепло- и массопереноса параболического типа с существенно нелинейной скоростью химических реакций. Нелинейная связь скорости теплоприхода от химических реакций п температуры, особо значимая при сильно экзотермических процессах, не позволяет получить точное решение даже для простых постановок. Поэтому в большинстве случаев приходится обращаться к приближенно - аналитическим методам решения уравнений, которые, как правило, тесно связаны со спецификой изучаемого процесса. Специфика задач сформулированных в рамках макрокпнетнческого подхода обусловлена возможностью резкого изменения температуры нагреваемой среды в узких областях пространства, вызванного развитием там химических реакций, скорость которых описывается экспоненциальной аррениусовскоп зависимостью от самой температуры. В нестационарных задачах зона химических реакций возникает и видоизменяется по ходу процесса, что приводит к качественному изменению характера теплонакопления. Эта особенность поведения теплоприхода в среде и порождает основные труд-
ности в выработке единого алгоритма решения, формулировки основных этапов его построения.
Продуктивным приемом, позволившим решить ряд задач, сформулированных на основе нелинейных уравнений тепло- и массопереноса, служит упрощение математической записи задачи в результате тщательного . анализа физической картины явления. В фундаментальных работах Я.Б. Зельдовича и Д.А. Франк - Каменецкого [1, 2], посвященных определению скорости распространения стационарной волны горения: в газе при Le = 1 с аррениусовской кинетикой, упрощение исходных уравнений достигнуто благодаря обоснованному выделению на температурном профиле двух характерных участков: зоны прогрева, где можно пренебречь химическим источником, и высокотемпературной зоны, в которой основные температурные изменения вызываются тепловыделением от химических реакций. В результате появилась возможность получить два соответствующих решения. Их сопряжение позволяет определить приближенное аналитическое выражение для скорости волны горения Щ. Полученное
решение носит характер промежуточной асимптотики [3], когда началь
ные условия уже не влияют на установившийся процесс распространения
пламени.
В [4] при анализе стационарных режимов горения поступающей в ре
актор смеси соответствующие уравнения упрощались для случаев боль
ших и малых скоростей потоков Um. При Um » Uq опускается кондук-
тивный член. Для Um « U$ упрощается зависимость скорости химиче-
ф ской реакции от температуры до линейной.
Развитие метода решения этой же задачи [4], но с р = E/RT+ > 1 ( большая энергия активации ) дано в [5], где также введена классификация режимов горения. Температурный профиль согласно физической
картине процесса делится на несколько зон. В режиме горения ( Um < Uq,
Uq -скорость нормального горешія ) присутствуют области химической
реакции и прогрева и упрощение исходных уравнений проводится анало
гично [1, 2]. Искомые величины получаются в результате приравнивания
выражений для температурных профилей на границе сопряжения зон. В
режиме отрыва Um > Щ пламя сносится вниз по потоку, дополнительно
возникает зона изменения температуры среды за счет протекания хими-
ческих реакций при начальной температуре - зона самоподогрева. Слабое влияние теплопроводности на температуру дозволяет решать уравнения без кондуктивного слагаемого. Б окрестности пламени опять имеют место две зоны предыдущего режима. При Um » Uq реализуется вырожденный режим, в котором можно пренебречь характерной для теплового распространения пламени зоной прогрева.
Способы упрощения математической формулировки задачи на основе анализа физической картины явления нашли широкое применение и в теории теплового взрыва. Подробный обзор решеных задач и состояния теоретических исследований дан в [6-8]. Отметим характерные особенности развитых подходов.
Предположения о стационарном профиле температуры в реакцион-носпособном сосуде [9] и нулевом порядке реакции позволяет значительно упростить задачу, сводя се к одному обыкновенному дифференциальному уравнению. И, как следствие упрощения, в стационарном подходе удается получить лишь критические условия теплового взрыва и величину пред-взрывного разогрева. Для определения временных характеристик процесса развит нестационарный подход, в котором упрощение математической записи задачи заключается в использовании средней температуры по объему [10]. В результате задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, поддающихся в простейших случаях аналитическому решению. Соответственно подходу и цели решения условие возникновения теплового взрыва трактуются как: а) отсутствие решений стационарных уравнений ( стационарная теория ), б) резкий рост температуры среды ( нестационарная теория ).
Аналогичный подход использовался в задачах зажигания. Идеи квази-стационарностп были положены в основу исследования задачи зажигания конденсированной среды горячей поверхностью [11,12] и существенно нестационарного поведения температуры поверхности в задаче зажигания лучистым потоком тепла [13 -15]. В [12] по аналогии со стационарной теорией теплового взрыва [9,16] было сформулировано критическое условие - условие зажигания, как предел существования решения квазпетационар-ноп задачи. В [13 - 15] по аналогии с нестационарной теорией за время зажигания принималось время неограниченного роста температуры по-
верхности реакцпонноспособной среды.
Рассмотренные выше задачи давалп вполне приемлемые решения, полученные в результате упрощений в отдельных областях пространства пли стадиях процесса. Как видно, успех метода во многом обязан правильной оценке влияния отдельных составляющих явления. В более сложных задачах, когда выбор схемы процесса затруднен, применение этого в принципе интуитивного подхода к решению нелинейных задач может привести к неудаче. Примером этому служат работы [17 - 20] по отысканию аналитического решения задачи об очаговом тепловом взрыве.
Основываясь на результатах подробного численного исследования очаговой задачи [21] А.Г. Мержанов показал [22] , что приближенные теории [17 - 20] критического условия очагового взрыва являются неудовлетворительными и не дают даже правильной качественной зависимости критического значения параметра Франк - Каменецкого от температурного напора. Ошибки решений [17 - 20] связаны в основном с неверной качественной трактовкой поведения в уравнении энергии экспоненциального теплоприхода от химических реакций. Учитывая опыт и критику предыдущих теорий в более поздней работе [23] было предложено новое приближенно - аналитическое решение задачи очагового воспламенения, базирующееся на предположении, что кривизны температурных профилен реакцнонноспособного очага и идентичного инертного очага разогрева подобны. В результате удалось получить критическую связь параметров удовлетворительно согласующуюся с результатом численного счета задачи.
Кроме отмеченных трудностей рассмотренный способ решения обладает еще одним недостатком. Оценка упрощений, положенных в основу решения, носит лишь качественный характер. Количественная оценка в этом подходе отсутствует.
Для решения задач теории теплового воспламенения п горения привлекались также приближенно - аналитические методы исследования уравнения теплопроводности, разработанные в других областях науки, где используются аналогичные нелинейные уравнения. Системное изложение интегральных, вариационных и других методов дано в [24 - 26].
Отметим лишь некоторые работы, иллюстрирующие возможности тех или иных методов.
В [27] решение задачи о зажигании конденсированного вещества горячей поверхностью исследовалась методом последовательных приближений. В [28, 29] для исследования задач горения предложено использовать метод М.Е. Швеца [30], в качестве примера проведено решение задачи зажигания [11]. Результаты [27, 29] согласуются с данными численного счета [31] в области малых значений температурного напора Go, однако в области больших 0о далеки от асимптоты Я.Б. Зельдовича [12].
В [32] на примере задачи [11] иллюстрируются возможности метода дробных производных [33] в применении к существенно нелинейным, задачам теории зажигания. Время зажигания, найденное этим методом близко к результату численного интегрирования [31]. Расхождение результатов объясняется ограниченным учетом в [32] слагаемых ( четырех ) ряда для теплового потока на поверхности, что, как отмечается в работе, дает искомое значение времени зажигания с избытком. При больших Go расхождение результатов возрастает.
Авторамп [34] продемонстрированы возможности метода интегральных соотношении [35] в приложении к задачам теплового зажигания по-луограннченного тела. Показано, что метод интегральных соотношенпй позволяет определять характеристики зажигания ( время зажигания, температуру поверхности в момент зажигания и др. ) независимо от вида внешнего воздействия. При различных критериях зажигания погрешность определения времени зажигания по сравнению с результатом численного счета не превышает 20%. Ограниченность метода обусловлена необходимостью предварительного выбора вида распределения температуры, который в значительной степени влияет как на точность, так и на возможность получения решения в простом виде.
СИ. Худяевым был предложен метод приближенного интегрирования задач теплового воспламенения п горения с помощью усреднения параметров процесса ( температуры и концентрации реагирующего вещества ) по пространственным переменным [36 - 38]. При проведении процедуры усреднения в качестве весовой функции используется первая собственная функция соответствующей линейной однородной задачи. В результате
прп решении стационарных задач теплового взрыва появляется возможность находить приближенные значения критических параметров [37 -39]. Для нестационарных процессов задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнении [40 - 44] с независимой переменной времени, что позволяет находить временные характеристики процесса. В задачах стационарного распространения волны горения процедура, усреднения параметров по поперечному сечению реагирующей среды преобразует многомерные постановки задач к одномерным, что значительно упрощает их дальнейшее исследование. В частности таким образом была решена задача о распространении нсадиабатической стационарной волны горения п определении пределов горения [45, 4G, 37]. Очевидно, что метод усреднения перспективен для задач с небольшими градиентами усредняемых параметров по соответствующей области.
В. Нахбаром и Н.Е. Джонсоном [47] для отыскания скорости ламинарного распространения пламени предложен метод верхней и нижней оценки, заключающийся в тождественном преобразовании уравнения те-плопереноса к двум соотношениям. Дальнейшая замена градиента температуры на его верхнюю оценку в одном из полученных соотношений даст возможность получить верхнюю оценку искомой скорости, а в другом -нижнюю оценку. Этот метод позволяет количественно оценить ошибку принимаемых упрощений.
В последние годы развитие аналитических методов исследования нелинейных уравнений теории горения направлено на разработку методик, позволяющих строго математически получить оценку приближенных решений, более гибких в применении к сложным процессам, не требующих значительного упрощения математической записи задачи. В этом направлении активно апробируются методы особых возмущении [48 - 5G]. Их использование связывается с "погранелойным" характером многих задач, моделирующих процессы теплового воспламенения и горения. Учитывая также наличие малых параметров в постановках многих задач данного класса, представляется перспективным использовать математический аппарат асимптотических методов, эффективно применявшихся для решения задач гидродинамики [48, 52]. Реальные успехи к настоящему времени достигнуты в результате применения ряда специальных
методов [54, 55] и, в том числе, метода сращиваемых асимптотических разложений ( САР ) [48 - 51]. Следует отметить также успешную реализацию идей метода разномасштабных разложений [49, 51] в приложении к исследованию задач нестационарного распространения волны горения в среде с медленно меняющимися свойствами [57] и отыскания скорости распространения химической реакции в зависимости от начального распределения температуры по среде [58]. В [59, 60] плодотворно была использована методология [56] для исследования релаксационных колебаний в реакторе идеального смешения, которые возникают при теплоотдаче в стенки реактора.
В работах И.С. Любченко и сотрудников решен ряд задач теории теплового взрыва [61 - 65] п фронтального распространения пламени [66 - 71]. Математическая постановка этих задач формулируется в рамках обыкновенных дифференциальных уравнений [66 - 71], либо сводится к ним [61 - 65] в результате обычного осреднения соответствующих величин по пространственной переменной. При этом малый параметр в уравнении теплобаланса присутствует в качестве сомножителя при старшей производной. Это дает основание для решения использовать методы [54 - 56], с помощью которых удается подавлять неоднородности, возникающие у границы, п получить равномерно пригодные разложения искомых функции. В работах [61, 62] в качестве параметра разложений использовались величина обратная безразмерной энерпш активации \i~l = RTq/E п параметр у = cpRT^JQE. Получены двухчленные асимптотические формулы временных характеристик, критические условия возникновения теплового взрыва. В [63 - 65] найдены двусторонние оценки характеристик процесса под, на и над пределом теплового взрыва в условиях линейного нагрева.
В задачах [66 - 71] асимптотические разложения строились по малым параметрам j5~l и безразмерной скорости распространения пламени. Заметим, что "выбор" малого параметра в исследованиях задач методом составных разложений ( пограничных функций ) [54], по которому последует построение асимптотик, предопределяется его обязательным присутствием при старшей производной. Следовательно, исходные уравнения должны быть соответствующим образом преобразованы. Основным
положительным отличием решенцй [66 - 71] от результатов, полученных методом сращиваемых асимптотических разложений, авторы усматривают в строгом математическом обосновании асимптотических методов [54 -55].
Как уже отмечалось, работы [61 - 71] посвящены исследованию задач,
сформулированных в рамках обыкновенных дифференциальных уравне
ний. Опыт применения методов [54 - 55] к уравнениям в частных про
изводных весьма ограничен. Одними из немногих являются работы [72
- 75], где уравнения в частных производных, моделирующие зажигание
газовых и конденсированных систем при протекании многостадийных ре
акций, с помощью методов [54, 55] сведены к интегральным уравнениям
типа Абеля. В общем случае полученные выражения требуют дополни
тельно численного решения. Однако, исходная формулировка задач суще
ственно упрощается в связи с уменьшением числа параметров, определя
ющих решение. Более строго математический подход к использованию
метода пограничных функций для исследования уравнений параболиче
ского типа дан в работе [75]. \
Интерес к методу сращиваемых асимптотических разложений возник в результате успешного исследования этим методом стационарных процессов распространения фронта экзотермических реакций [76 - 79]. Так
. в [76] , используя /3 в качестве параметра разложения, были получены
первые два члена асимптотических разложений для профиля темпера
туры и стационарной скорости распространения пламени по газу. Pe
lt зультаты приближенного решения хорошо согласуются с данными чи
сленного счета: при (5 > 10 отклоение аналитического значения стаци
онарной скорости распространения пламени от численного составляет
не более 1%. В [77] с помощью асимптотического анализа исследовалась
структура установившейся плоской детонации, поддерживаемой экзотер
мической реакцией первого порядка. Решение выполнено для условий:
j3 > 1, отношение безразмерных скорости реакции к скорости течения
Л < ІД/З1/2 < 1. В [78].на примере трех задач газофазного горения:
. распространение ламинарного пламени по газу, влияние уноса тепла за счет адиабатического испарения, горение монотоплпвной капли - методом САР вскрыты основные характеристики протекающих процессов. В этой
работе автор руководствуется рекомендацией Ф.А. Вильямса [79] строить асимптотику решений по /З"1, как практически интересный случай с инженерной точки зрения. Начиная с этих работ метод САР интенсивно осванвается в макрокинетпке, и в первую очередь областью применения метода САР стали стационарные задачи о закономерностях фронтального распространения пламени.
Систематическое исследование методом САР распространения экзотермических реакций со сложной кинетикой проведено в серии работ [80 - 86] и представлено в [ 87 ]. Исследование, выполненное B.C. Берма-ноы и Ю.С. Рязанцевым, охватывает практически весь комплекс интересных схем протекания экзотермических реакций: одностадийная п -ого порядка в конденсированной среде, при п < 3/2 , с переменными те-плофпзнчеекпми свойствами, двухстадппная последовательная реакция в конденсированной среде и газе, п -стадийная последовательная реакция в конденсированной среде; параллельная двухстадийная реакция в конденсированной п газовой средах. В [85] впервые получено аналитическое решение задачи о распространении фронта экзотермической одноступенчатой реакции порядка п > 1 в конденсированной среде. Искомые решения в этом исследовании получены в виде двухчленных асимптотических разложений. Сравнение главных приближений и двухчленных формул показывает существенную роль вторых слагаемых в уточнении приближенных аналитических результатов.
Формальный математический аппарат построения решений методом САР в работах [SO - 87] строго выдержан в рамках классического изложения метода [48 - 51]. Как и в [78], выбор параметра разложения опирается на рекомендацию Ф.А. Вильямса [79] использовать величину обратную
/?-
Одновременно с этим циклом работ рядом авторов асимптотически решены задачи по отысканию скорости горения конденсированной среды с газообразными продуктами [88] и горения топлива в инертной атмосфере [89, 90]. В [91 - 97] с помощью метода САР получена информация о влиянии светового облучения и тепловых потерь на характер стационарного горения, В [98] изучались различные типы двумерных пламен, распространяющихся в предварительно перемешанных газах.
Большой интерес вызвали работы [99, 100] , вскрывающие неедин
ственность решения задачи о стационарном распространении пламени
в конденсированной среде в случае протекания параллельных реакций.
Анализ температур горения, выполненный в широком диапазоне изме
нения параметров процесса, указал на существование области, где в за
висимости от условий зажигания могут реализоваться три различных
температурных режима, два из которых устойчивые [99]. Построение
асимптотического решения данной задачи методом сращиваемых асим
птотических разложений при Le = 1 проведено в [100], в [101, 102] такое
решение проводится для произвольного числа Le > 0. Помимо этого в
[101, 102] вскрываются причины, по которым ранее полученные асим
птотические решения данной задачи [84, 67, 69] не обнаружили область
неединственности решения. В [84] в силу принятых допущений относи
тельно соотношений формально - кинетических параметров параллель
ных реакций область неединственности была исключена из рассмотре
ния. В [G7, 69] получены неравномерные асимптотические разложения,
что привело к отрицанию неединственности решения. В [70] признает
ся факт неединственности решения, однако полученная область неедин
ственности не соответствует истине. Неравномерные асимптотические
разложения получались и при решении других задач. Так в [85] полу
чено асимптотическое разложение решения задачи о стационарном рас
пространении фронта экзотермических реакций в конденсированной сре
де, в котором наблюдаются особенности в первом члене разложения прп
ш п = 2, во втором прп п — 3/2. Поэтому в [101] особо отмечается актуаль-
ность вопроса о равномерности получаемых асимптотик относительно параметров процесса. Детальное исследование асимптотики стационарной волны горения в конденсированной среде и построение равномерно пригодного асимптотического разложения решения проведено в [103], для газа - в [104]. Немаловажная роль при получении равномерной асимптотики в практически интересной областп изменения параметров должна отводиться обоснованному выбору параметров разложения и растяжения переменных из ряда малых величин, присутствующих в постановке задачи. В работах [100 - 106] в качестве параметра разложения используется 7 = 727+7((^1 + .^)(7+-71)] « 1, имеющий смысл безразмерной шири-
ны зоны химических реакций, с которой связан погранслойный характер задачи.
Наконец отметим работу [105] в которой изложена процедура построения асимптотики задачи о стационарном распространении волны горения при протекании одностадийной экзотермической реакции п -ого порядка в газе ( Le > 1 ) ц конденсированной среде ( Le = 0 ) и дано их математическое обоснование для главных членов разложений. Показано, что простая конструкция решения по методу САР приводит к правильной асимптотике лишь при п < 1. При п > 1 этот подход не приводит к равномерному двухчленному асимптотическому разложению во внутренней области химических реакций. Ранее оценка главного члена асимптотики при Le ~ 1, п = 1 была дана в [106], а для случая конкурирующих реакций при Le = 0,п = 0 в [100]. Учитывая отсутствие строгого математического обоснования метода САР, эти работы вызывают повышенный интерес.
Рассмотренные работы дают однозначный вывод о методе САР, как о способе исследования обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах горения, имеющим хорошие перспективы и уже "конкурентноспо-собныи" по отношению к традиционным аналитическим методам.
Параллельно отмеченным работам исследования [108 -122] направле
ны на решение ряда задач теории горения, сформулированных в частных
производных - задач зажигания (воспламенения). В отличие от стаци
онарных задач, где метод САР применялся как эффективное средство
определения профиля температуры п скорости распространения пламе-
р ни, в нестационарных задачах также требуется знать временные харак-
теристики процесса, важнейшей из которых является время зажигания.
Принципиальная возможность исследования задач теории зажигания методами особых возмущений обсуждалась в [14]. В.Н. Вилюнов на основе анализа размерностей отмечал, что благодаря арренпусовской зависимости скорости химической реакции от температуры в постановке многих задач макрокпнетикн присутствуют несколько длин релаксаций (обычно две), отношение которых образует малый параметр (например, отношение зон химической реакции и прогрева). Задачи такого класса относятся к задачам особых возмущений, для которых эффективно применение методов расщепления.
Работы, посвященные исследованию процессов лучистого зажигания методом САР опубликованы Ф.А. Впльямсом и А. Линяном [107, 108]. В [107] рассмотрено зажигание непрозрачного твердого топлива потоком тепла в пределе большой энергии активации. Время зажигания отыскивается, исходя из предположения о квазпстационарном протекании процесса [12] вблизи некоторой температуры поверхности Т* . В соответствии с этим температурный профиль определялся из сращивания асимптотических разложений, построенных в двух пространственных областях различного изменения температуры. Процедура сращивания заключалась в приравнивают тепловых потоков на границе сопряжения областей. Для удовлетворения начальному условию квазистационарная стадия протекания реакции сращивалась по времени с начальной стадией прогрева. В результате внешняя задача квазпетацпонарной стадии была сведена к линейному уравнению теплопроводности с нелинейным (включающим экспоненту) граничным условием на поверхности. Эта задача беспара-метрпчна. Ее численное интегрирование дает константу, входящую в соотношение, определяющее время зажигания ц . Искомый результат -зависимость ц от условий процесса - получен в виде трансцендентного уравнения для г,- .
Аналогично исследовано зажигание полупрозрачного топлива потоком тепла в широком диапазоне изменения коэффициента поглощения [108] . Учет прозрачности топлива создает две основные трудности в подходе и реализации решения. Во-первых, поскольку описание температурного профиля, как и в предыдущей работе, основано на предположении Я.Б. Зельдовича о квазпстационарном развитии процесса воспламенения, то для применения метода САР необходимо существованпе двух разномасштабных пространственных областей с различным характером теплопрпхода. Это требование не удовлетворяется, если прозрачность топлива достаточно высока. Иными словами, с уменьшением коэффициента поглощения задача теряет погранслопный характер, хотя, заметим, параметр разложения /З-1 сохраняет малое значение. Вторым вопросом является оценка влияния малости коэффициента поглощения среды ц на возможностп упрощения исходной формулировки задачи. Эти трудности заставили проводить построение решений в зависимости от соотноше-
ння величин (3 п р.. В результате, для топлпв с низкой прозрачностью найдено трансцендентное выражение для определения г,-. Случаи с /і ~ 1 и высокой прозрачностью требовали учета всех членов в уравнении теплопроводности п исследовались численно. При этом было отмечено, что хороший результат для случая высокой прозрачности дает приближенное решение, полученное без учета диффузионного слагаемого, то есть по существу адиабатическое решение [13].
Анализируя только эти работы уже молено прийти к выводу о значительных осложнениях асимптотического исследования уравнений в частных производных в сравнении с решением задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В соответствии с этим, в последующих работах роль асимптотического анализа часто сводится лишь к упрощению исходной задачи с целью облегчения ее численного анализа. Тем интереснее те работы, в которых решение получено в виде формул, конечных зависимостей.
К наиболее удачным относится исследование начальной стадии за
жигания твердого топлива накаленной поверхностью [ИЗ], где найдены
четырехчленные асимптотические разложения для времен прогрева по
верхности п зажигания. В этой работе, при выполнении сращивания ока
залось, что обычно реализуемая процедура сращивания позволяет найти
лишь главные члены искомых асимптотических разложений. Для отыс
кания последуюцих слагаемых в разложениях введена переходная стадия
в окрестности времени прогрева поверхности. В этой зоне использова-
|г лнсь растянутые временная и пространственная переменные. Отметим
следующий факт: хотя возможность асимптотического исследования [113] связывается с /3 >> 1 , но преобразование зависимых п независимых переменных ( растяжение координат ) выполнено по параметру В0 = /За ( где а = (То - T^/Tq ), который, как показано в [114], определяет погран-слойный характер задачи.
В [87, 114] методом САР также исследовалась задача [11]. Найден главный член разложения времени прогрева поверхности, совпадающий с результатом приближенного решения Я.Б. Зельдовича [12]. В [114] получены верхняя и нижняя оценки этого времени.
В [ПО] в предположении большой энергии активации п малом значении отношения тепловой энергии к энергии активации изучался процесс эндотермической газификации твердых топлив с экзотермическими реакциями в газовой фазе под действием потока тепла. Ряд задач методом САР решен в [111,112,115 -122]. В основе применения асимптотического подхода в этих работах лежит условие большого значення энергии актн-вациип и, соответственно, использование малой величины (3 в качестве параметра разложений.
Развитием работ [80 - 87] стало асимптотическое исследование за
жигания реакцпонноспособных сред с учетом: конечного запаса тепла
поджигающего тела, выгорания реагента, теплопотерь [115 - 117, 121,
122]. Схема решения этих задач имеет много общих черт с приемами по
строения решении, применявшихся в [80 - 87]. Параметром разложений,
как и в предыдущих исследованиях служит /З-1. Усложнение постановок
задач, вызванное учетом факторов конечности запаса тепла, теплопотерь
и др., не позволило авторам представить результаты в виде формул, удоб
ных в интерпретации полученных данных. Как правило, для получения
количественной информации о времени зажигания требуется численно
раскрыть интегральное пли дифференциальное соотношения для време
ни зажигания [115 -117], либо численно решить интегральные уравнения
для отыскания полей температуры и концентрации, но с существенно
меньшим числом параметров по отношению к исходной формулировке
задачи, как, например, в [116]. Опыт исследования задачи [116] методом
f, САР использовался при определении "координаты зажигания" способно-
го к химическим превращениям газа, обтекающего нагретую пластину [118]. В этой работе двумерные уравнения тепло- и массоперсноса для компоненты, с помощью переменных Дородницына и решения Блазиуса уравнении движения, сведены к виду уравнений [ПО]. Воспользовавшись аналогией уравнений, "длина зажигания" отыскивалась также, как время зажигания в работе [116].
Асимптотическое исследование воспламенения газа при обтекании изотермически нагретой поверхности проводилось также в [119, 120].
Интересное исследование проведено в [122] по отысканию условий зажигания газа тепловой неоднородностью. В этой работе метод САР при-
менялся для достижения: двух целей: во-первых получить приближенное решение, во-вторых упростить исходную формулировку задачи и привести ее к виду, удобному для численного анализа. Проведенное исследование позволяет заключить, что совместное применение к решению задач методов асимптотического анализа и численного интегрирования весьма перспективно.
Подводя итог, можно отметить следующие основные черты рассмотренных работ. В [77, 85, 98, 100 - 101, ПО - ИЗ] основные усилия авторов направлены на то, чтобы построить логически стройную систему исследования сложной математической модели процесса на базе асимптотического подхода. В другой части работ [76, 80 - 97, 102 - 109] на фоне ясного асимптотического построения решения иллюстрируется перспективность метода САР. В более поздних работах [115 - 122] показаны возможности метода САР как средства упрощения исходной математической формулировки задачи и приведения ее к виду, удобному для численного анализа.
Методологической стороне применения метода САР в этих работах
почти не уделялось внимания, исключение составляют работы [100 -106].
Этим видимо объясняется тот факт, что практически во всех рассмотрен
ных работах, посвященных задачам теории горения п воспламенения, при
построении решений параметром разложения служит величина обратная
безразмерной энергии активации /3 . Случай ft » 1 интересен с точки
зрения постановки задачи [79], то есть как вариант постановки, в кото-
t ром решение отражает физически интересный случай реального процес-
са. Обоснование же выбора /З"1 в качестве параметра разложений связывают обычно с возможностью получить "более интересное решрнпе" [78]. Так, например, в [79] отмечается, что асимптотики, построенные по D-2 (второе число Дамкелера), менее интересны, нежели асимптотики, построенные по первому числу Di , но более интересные разложения получены по /і. Таким образом, выбор и широкое использование /? в качестве параметра разложения в большей степени обязаны с одной стороны рекомендации Ф.А. Впльямса [79], а с другой успехам работ [76, 87, 107, 108, ИЗ] при решении ряда задач методом САР.
Более того, сам подход к решению, как видно из большинства работ,
фактически не требовал анализа физической картины явления, послужившего опорным звеном в исследовании многих задач, изложенных в [1 -15]. Этот факт, а также отмеченный выше "консерватизм" прп выборе параметра разложения обязан, видимо, специфике решенных к настоящему времени методом САР задач. Нетрудно усмотреть, что опыт применения
метода САР накоплен в основном на модельных задачах, в которых физическая картина протекающих процессов уже достаточно ясна. При этом погранслойный характер задачи, как правило, сохраняется во временном диапазоне полученных решений, сохраняется и сильное неравенство 0 » 1. А эти два фактора, как уже отмечалось, обычно п служат критерием п, одновременно, обоснованием прпмененпя метода САР к решенпю той пли иной задачи.
Как следствие этой ситуации, в большей степени оказались обоснованными и отработанными на ряде задач горения формальные стороны математического аппарата метода САР. Другими словами, в результате решения ряда задач накоплено много полезной информации о "технике"
' выполнения математических операций: деформирование координат, ре
ализация процедуры сращпванпя, преобразование граничных условий и
т.д. Однако, исходя из этого материала выработать рекомендации общего
характера по применению метода САР в теории горения, как отмечено в
[87], достаточно сложно. Причины этого кроются не столько в объектив
ной трудности - специфике уравнений теплового баланса и химической
кинетики, сколько в том, что попытки выявить общие закономерности
f [123] в асимптотическом подходе к исследованию задач горения методом
САР предпринимаются лишь на основе анализа математических приемов построения решения. Тем самым заостряется внимание на технических сторонах реализации последовательности действий, составляющих математику метода САР. В то же время, вопросы выбора параметра разложений из ряда малых величин, присутствующих в постановке задачи, его обоснование, формулировка условий существования равномерных асимптотик соответствующих решений по выбранному малому параметру в рассмотренных работах практически не затрагивались.
Очень мало информации о роли физического анализа задач горения в выполненных асимптотических исследованиях, хотя асимптотическое
представление решений является не только удобным инструментом математического анализа, но имеет и более глубокое значение, соответствующее самой природе явления [53]. Не случайно в задачах диффузионного горения разложения строятся по параметру Дамкелера [124 - 125], в задачах теплового взрыва особенность связывается с параметром Франк-Камснецкого [39, 61, 62], в исследованиях химических реакторных задач параметром разложений служит величина, обратная числу Пекле [126 - 127], в задачах свободноконвекционного движения - величина обратная числу Грасгофа [128, 129]. То есть в качестве параметра разложения перспективнее использовать малые величины, характеризующие физическую картину процесса.
Суммируя замечания, связанные с применением асимптотических методов к задачам горения, можно отметить, что широкое их использование, распространение на задачи в частных производных, требует разработки системы специальных приемов исследования, позволяющих однозначно формулировать требования к выбору параметра разложений, связи его с погранслойным характером задачи, разработки "нестандартных" приемов построения решения, позволяющих доводить искомые зависимости "до числа". В этом направлении представляется полезным использовать богатый опыт, физического анализа, заложенного в фундаментальных работах [1 - 13], то есть рассматривать применение асимптотических методов не только в качестве нового средства расшифровки уравнений теории горения, но и как естественное развитие известных приемов "сшивки", "сопряжения" на основе математического аппарата асимптотических методов.
В настоящей работе основное внимание уделяется асимптотическому исследованию теплового воспламенения и горения веществ, способных к большой теплотворности. Помимо получения новых теоретических данных, важных для понимания конкретных процессов, в работе отрабатываются общие методологические приемы решения данного класса задач.
Специфика применения асимптотических методов к нестационарным задачам связана прежде всего с тем, что погранслойный характер распределения основных параметров, в частности температуры, в этих задачах является функцией времени. Следовательно, соответствующие асимпто-
тпческпе решения должны быть привязаны к конкретным условиям, к конкретным временным интервалам описания процесса. В этом плане очевидно, что необходима .система специальных приемов в решении, по-
. зволяющая математически формулировать погранслойный характер задачи и следить за его изменением: вырождением пли трансформацией в новый пограничный слой. Также требует решения вопрос выбора параметра разложения при построении асимптотических разложений из ряда малых ( или больших ) параметров, присутствующих в постановке задачи.
Поставленные вопросы решаются в диссертации на основе физического анализа характерных масштабов процесса, предшествующего асимптотическом}- решению. В методологическом плане предложенная схема асимптотического исследования дает основание рассматривать применение метода САР в теории теплового воспламенения и горения, как
естественное развитие известных методов решения Я.Б. Зельдовича, Д.А. Франк - Каыенецкого [1, 2,11,12] и В.Н. Вплюнова [13,14], базирующихся на физическом анализе изучаемых явлений.
В первой главе диссертации проводится исследование процессов оча
гового теплового воспламенения. Анализ характерных масштабов про
ходящих процессов выявляет асимптотический характер рассматривае
мых явлений при больших значениях температурного напора, при этом
пространственное погранслопнос распределение температуры в режимах
воспламенения очага связано с большим значением параметра Франк
ів Каменецкого. В первом параграфе предложен метод построения асим
птотического решенпя задачи при П-образном начальном распределе-
нип температуры, основанный на определенном погранслойном характере процесса. Полученное решение обосновано до момента воспламенения и позволяет определять время воспламенения и критические условия очагового теплового взрыва. Во втором п последующих параграфах первой главы предложенный метод построения решения использован для исследования процесса очагового теплового воспламенения при наличии термического сопротивления на границе очага, различных монотонных начальных распределениях температуры и учете выгорания реагента, автокаталптпческом механизме химического процесса. В частности по-
лучен интересный вывод, что для очагового воспламенения критическое условие определяется не только общим запасом тепла в очаге, но и его
распределением. Сравнение результатов асимптотического анализа с численным счетом задач очагового воспламенения показало их качественную аналогию, асимптотический характер и удовлетворительное количественное согласие. Для .начальных температурных профилей с угло-
- вымн точками в центре очага численное исследование задачи вскрыло наличие режимов воспламенения с первоначальной перестройкой температурного профиля и некоторым понижением температуры в центре очага. В этом случае критические значения параметра Франк-Каменецкого, определяемые из асимптотического анализа, разделяют режимы взрывного прохождения процесса с первоначальном понижением температуры в центре очага, вызванного перестройкой температурного профиля, от режимов воспламенения без такого понижения температуры. В пятом параграфе данной главы проведено асимптотическое исследование периодической системы очагов разогрева при наличии дополнительной теплоотдачи в боковую поверхность реакцпонноспособного тела. Проана-
лизировано влияние соседства очагов и дополнительного тсплоотвода. В
шестом параграфе показана возможность распространения разработан
ного метода исследования очаговых задач на системы с более сложным
механизмом теплопереноса по среде. Исследовано очаговое воспламене
ние твердых частиц пылевого облака. Определены характер прохожде
ния процесса, время п предел воспламенения. Развитую методику можно
tf успешно применять для исследования других "очаговых" задач, имею-
щих аналогичную погранслопную структуру, не обязательно тепловой природы, как, например, для задач реакционной диффузии [130].
Во второй главе диссертации рассматриваются возможности асимптотического исследования задач зажигания реакцпонноспособных сред.
' Анализ характерных масштабов процессов зажигания дает основание рассматривать два типа погранслойного изменения температуры. Во-первых, имеет место пространственный пограничный слой вблизи горячей поверхности при кондуктивном зажигании. Эта особенность процесса является обоснованием известного метода Я.Б. Зельдовича [11, 12]. На основе пространственного пограничного слоя в первом и втором па-
раграфах проведено асимптотическое исследование задачи зажигания
полуограніїченного тела накаленной поверхностью при использовании
в качестве параметра разложения температурного напора поверхности
во > 1- В первом параграфе определены главные члены асимптотиче
ского разложения для температуры и времени установления теплового
равновесия на поверхности тела. Показан асимптотический характер ре
зультата Я.Б, Зельдовича. Во втором параграфе с более высоким по
рядком разложения получены верхняя п нижняя оценки для времени
теплового равновесия, проведено сопоставление времен прогрева, полу
ченных разными авторамп с использованием различных методов. Рас
смотренный пространственный пограничный слой имеет место лишь до
момента установления теплового равновесия. Далее квазпетащюнарное
прохождение химических реакций становится невозможным, идет каче
ственная перестройка температурного профиля и формируется область
активных химических реакций, в которой спустя некоторый промежуток
времени наблюдается резкий рост температуры. На этой стадии про
цесса, в соответствии с анализом характерных временных масштабов, в
окрестности точки воспламенения можно выделпть временной погранич
ный слой изменения температуры, а его использование также позволяет
определить температуру и временные характеристики процесса. После
довательное использование первого и второго типа пограничного слоя
для определения температуры и времен прогрева и воспламенения про
ведено в третьем параграфе при исследовании задачи зажигания горячей
|r . поверхностью тела конечного размера. Сравнение полученных результа-
тов с численным счетом исходной задачи показывает хорошее согласие, что говорит о достоверности полученных результатов. В четвертом II пятом параграфах третьей главы проведено асимптотическое исследование задачи зажигания соответственно непрозрачного и полупрозрачного полуогранпченных тел лучистым потоком тепла. Решение построено с использованием а) пространственного пограничного слоя, б) временного пограничного слоя, с) пространственного п временного пограничных слоев. Проведено сравнение полученных решений и определена пх точность. В шестом параграфе обсуждается вопрос возможности исследования воспламенения по закономерностям изменения температуры в точке х = 0.
Применение такого подхода к задаче зажигания потоком тепла дает обоснование "адиабатического метода" В.Н. Вилюнова [13, 14], отличающегося высокоп точностью, В седьмом параграфе данной главы с помощью разработанного метода определения времени зажигания по закономерностям изменения температуры в точке х = 0 исследуется тепловая часть практически важной проблемы зажигания реакционно способных веществ электровзрывом. Определяются время и критические условия зажигания, анализируется их зависимость от параметров процесса.
Третья глава диссертации посвящена исследованию более сложных
процессов теплового воспламенения пористых сред, механизм теплопе
редачи по которым осложнен межфазным теплообменом и конвективным
потоком фильтрующегося газа. Для решения используются асимптотиче
ские подходы, разработанные в первых двух главах. В первом параграфе
формулируется постановка задачи для воспламенения твердого каркаса
под воздействием очага разогрева в условиях естественной фильтрации
газа. Анализ характерных масштабов процесса при больших значениях
фильтрационного аналога параметра Пекле Ре > 1, что справедливо
для порпстых сред с высокой газопроницаемостью, показывает наличие
двух временных стадий процесса. Первая стадия представляет собой уз
кий временной пограничный слой порядка 0(Ре~1) относительно второй
стадии. В течение этой стадии происходит выравнивание давления, плот
ности п температуры газа по всей среде. Затем следует вторая, более дли
тельная стадия процесса, в течение которой идет развитие очага разогре-
ц ва на каркасе и в надкритических условиях следует его воспламенение.
Вторая стадия процесса анализируется по разработанной в первой главе методике. Вместо начального условия используется условие сращпванпя с первой стадией. Определены время п предел воспламенения, проанализировано влияние межфазного теплообмена. Для проверки достоверности исследования проводится сравнение с ходом процесса, определяемым из численного решения. Анализируется зависимость критических условий очагового воспламенения для случая вынужденной фильтрации с большой скоростью движения газа по пористой среде. Во втором параграфе аналогичный процесс анализируется для случая газофазных химических реакций. Хотя процесс воспламенения также как и в первом случае про-
исходит во второй стадии процесса, первая стадия процесса оказывает
существенное влияние на время воспламенения и критические условия,
качественно изменяя их по сравнению с первым случаем. В третьем па
раграфе третьей главы исследуется зажигание пористого тела лучистым
потоком тепла при большом внутреннем межфазном теплообмене Nu > 1
в условиях вынужденной фнльтрацпп с постоянной массовой скоростью
фильтрации газа. Решение строится с использованием пространственно
го и временного пограничных слоев. В отличии от зажигания гомоген
ной среды в данном случае имеет место критическое условие зажигания
даже при длительном действии источника тепла, связанное с охлаждаю
щим действием поступающего в пористый слой газа. Проанализированы
зависимости временп зажигания и критического условия от критериев
процесса. В четвертом параграфе с помощью численного анализа ис
следуется влияние конечности межфазного теплообмена на рассматри
ваемый процесс. Определены два режима зажигания пористого тела (
поверхностное зажигание и подповерхностный взрыв ), режим безвзрыв
ного прогрева и условия их разделяющие. В пятом параграфе численно
исследуется влияние теплового расширения газа в порах на зажигание по
ристого тела потоком излучения. Установлено различное влияние работы
по тепловому расширению газа в условиях естественной и вынужденной
фильтрации. Изменение плотности газа не приводит к качественным из
менениям характера процесса, но влияет на количественные значения
характеристик зажигания. В шестом параграфе по двухтемпературнон
^ модели изучены особенности теплового взрыва в пористом слое при диф-
фузии в него газообразного окислителя. Определены параметры процесса на пределе теплового взрыва. Анализируется поведение температур каркаса и газа в различных режимах процесса п зависимость времени взрыва от диффузии и выгорания.
Четвертая глава посвящена асимптотическому исследованию задач теплового горения, сформулированных в рамках обыкновенных дифференциальных уравнений. В первом параграфе проведено асимптотическое исследование процессов стационарного горения в полуограниченном потоке газов. Выбор асимптотических зон основан на анализе характерных пространственных масштабов, техника построения решения аналогии-
на использованной в задачах определения скорости стационарного распространения пламени. Исследованы режимы горения и отрыва. Определена зависимость параметров процесса от скорости движения газа и граничных условий. Найдено условие выхода горения в режим отрыва. Во втором параграфе исследована задачи увлечения жидкости движущейся пластинкой. Вскрыта аналогия в методологии асимптотического решения данной задачи капиллярной гидродинамики и задачи о стационарном распространении пламени в теории горения. Для определения толщины пленки, уносимой пластинкой, использовался известный асим-' птотический метод определения скорости стационарного пламени п получено решение, уточняющее классический результат Л.Д. Ландау. В третьем параграфе проведено асимптотическое исследование релаксационных колебаний в реакторе идеального смешения, возникающих при теплоотдаче в его стенки. Возникновение колебаний связано с погран-слойным характером изменения температуры во времени. Определена область параметров, в которой возникает данный вид колебаний, найдены период и амплитуды колебаний.
Пятая глава посвящена исследованию стационарного фильтрацион
ного горения газа в полуограниченной высокопористой среде с большой
газопроницаемостью. В первом параграфе приводится постановка зада
чи по однотемпературной модели для стационарного фильтрационного
горения в высокопористоп среде. Далее для построения решения исполь
зуется методология асимптотического исследования задачп о горении в
р полуограниченном потоке газов. Во втором параграфе исследуется режим
горения. Определены основные параметры режима горения и проанализирована их зависимость от массовой скорости движения газа и теплоотдачи на внешней поверхности каркаса. Определяются условия срыва стационарного горения и выхода горения в режим отрыва. В третьем параграфе пятой главы выполнено асимптотическое исследование режима отрыва. Определены основные параметры этого режима и условие перехода горения в индукционный режим. Четвертый параграф посвящен численному исследованию задачи стационарного фильтрационного горения газа, поставленной по двухтемпературной модели. Определяется характер прохождения процесса, его параметры. В частности изучается
влияние межфазного теплообмена на прохождение процесса. Проводится сравнение результатов численного исследования при Nu > 1 (однотемпе-ратурная модель) с асимптотическим решением, которое подтверждает достоверность проведенного асимптотического анализа.
Представленная работа выполнялась в течении многих лет на кафедре математической физики Томского государственного университета, где автор имела поддержку в работе, полезное и плодотворное обсуждение ее результатов, за что весьма признательна всему коллективу кафедры.
Искренне благодарна нынешнему заведующему кафедрой профессору Э.Р. Шрагеру за постоянное внимание к работе и стимулирование к представлению данного тр}7да.
Особо, с чуством глубокой благодарности, автор чтит память основателя кафедры, се первого заведующего, профессора В.Н. Вилюнова. Владимир Ннкпфорович привлек автора к данной теме, под его руководством была выполнена кандидатская диссертация и затем в течение многих лет продолжалось доброжелательное и полезное сотрудничество.
Особенности очагового теплового взрыва при произвольном начальном распределении температуры. Влияние выгорания
Выше был исследован процесс развития химических реакций в очаге с П-образным начальным распределением температуры. При этом было установлено, что асимптотическое значение критической зависимости параметра Франк-Каменецкого от температурного напора определяется выражением Fkt — 4lii0o. В [23, 122] исследованы два частных случая начального распределения температуры в очаге разогрева, которые показывают качественное изменение критической зависимости FK(QQ) ПО сравнению с П-образным очагом. Рассмотрим воспламенение очага разогрева, когда начальное распре деление температуры задается в виде произвольной функции. Это позво ? лит выяснить роль начальных условий на искомую зависимость Fk (Bo).
Помимо этого, исследование проводится с учетом выгорания реакционного вещества, что позволяет дать оценку допустимости обычно используемой на этапе воспламенения для химических процессов с простой кинетикой модели реакций нулевого порядка.
Постановка задачи. Температурный режим очага разогрева с произвольным начальным распределением температуры и выгорание реагента описываются уравнениями теплопроводности п диффузии: &V Р cp— = \AT + Qzpna"exp(-—), (1.3.1) = DAa-zPn- anexp(-JL), (1,3.2) с начальными Т(х,0) = Tb + (TQ - Tb)f(x/r)} ф,0) = аъ (1.3.3) н граничными Щ0, t) да(0, t) дТ{оо, t) да{оо, t) = 0 (1.3.4) Ох дх дх дх условиями.
Здесь функция f(xjr) определяет начальное распределение температуры, г - характерный масштаб этого распределения, а - относительная концентрация реакционного вещества. Полагается, что начальное распределение температуры симметрично относительно центра очага, поэтому в центре выполняется условие симметрии п это позволяет рассматривать полуограїшченное пространство 0 х оо. Таюке полагается, что f[x/r) является монотонно нсвозрастающей функцией с максимумом в центре очага fmai = ДО) = 1 п нулем на бесконечности /(оо) = 0.
Из анализа характерных масштабов задачи, проведенного в п.1.1 следует, что внутри очага характерными масштабами для температуры, пространственной координаты и времени являются соответственно ВТ$/Е, г, tad = cRrfexpiEfRToyEQzp"-1 , для концентрации реагента - ai). Задача (1.3.1)-(1.3.4), о безразмеренная по этим масштабам, принимает впд:
Решение задачи (1.3.5) - (1.3.8) проведем асимптотически при Fk. Первое неравенство, как показано в п.1.1, обеспечивает особое поведение температуры и возможность использования для построения решения метода сращиваемых асимптотических разложений. Второе условие обеспечивает несоизмеримость химических реакций вне и в пределах очага.
От безразмерной температуры перейдем к разогреву от химических реакций: Ф((,г) = 0((,7-) - 0/((,г), где 0/((,7-) - решение задачи об инертном охлаждении очага разогрева: і 1- 7(Ф + 0/)/во] Ф + 0, 1 - Г(Ф +0/)/0(,] 0,((,0) = 0О[1-/()], 30/(0,7-) 6,(00,7) % 3( Тогда задача (1.3.5) - (1.3.8) преобразуется к виду Ф + Є/ дФ 1 _ = _Дф-(1-,Гехр А, + %(1-,Гсхр (1.3.9) (1.3.10) Внутри очага (( 1 } с точностью до величин порядка 0(Fk l,&Ql) задача (1.3.10) записывается в виде: = Ч1- /Гехр[-(Ф + 0/)], 3( (1.3.11) Система уравнений (1.3.11) имеет первый интеграл: viW =- уаФ(Ьт). (1.3.12) Подставляя (1.3.12) в первое уравнение системы (1.3.11) и решая последнее при начальном условии, с учетом малых значении ja С 1 находим: Ф(,г) = (1 + nT«)ln{l - Y -J aq [-Qi&v)Vv\ + 0(-fi). (1.3.13) Температурное поле в области 1 определяется при переходе к характерным переменным зоны прогрева ф = Ф/0о, i = yFk( — 1). В результате с точностью до величин 0(901 ехр(—0о)) го (1.3.10) приходим к задаче: - = Аф, От - = LeAih (1.3.14) от А(С (\\ „(С П\ дФ(0Є,т) дї)(00, Т) Ф(и 0) = №, о) = —щ— = df = Вторым граничным условием служит условие сращивания с внутренним решением: Ч«і - Vk.,r) = -ЪФ{$ - 1,т), (1.3.15) для которого пз (1.3.13) имеем: Ф(С - 1,г) = ф(т) = (1 + n%)hi{l - -І— схрІ-в/а )] }. Решения задач (1.3.9) и (1.3.14), (1.3.15) находятся для конкретных форм очага обычными методами решения задач линейной теории теплопроводности. Распределение температуры внутри очага (1.3.13) позволяет проследить за динамикой воспламенения. За момент воспламенения Т{ примем условие достижения в центре очага температуры, при которой скорость химической реакции принимает максимальное значение: dWjd$ \т=п= 0 (где W = (1 + уаФ)п ехр(-Ф - 0;) + 0(0 )), откуда следует Ф(0,Т-»Ті)= + 77 + 0(001). 7« (1.3.16) Подстановка (1.3.13) в (1.3.1G) дает уравнение для времени воспламенения 1 + Пуа Л 1 - ехр - Пуа 7а(1 + Пуа). jTicxPi-ej(Q,y)}dy. (1.3.17) Согласно (1.3.9) 0;(,т) зависит от двух параметров Fk и 0о п критическое условие очага определяет такое Fk (Qo) , что при Fk Ffc (0o), уравнение (1.3.17) не будет иметь действительных корней.
Верхняя и нижняя оценки времени установления теплового равновесия на горячей поверхности. Сравнение результатов, полученных различными методами
Задача о зажигании реакционно способной среды нагретой поверхностью исследовалась во многих работах [11,12, 27 - 29, 31, 32, 87,109, 113, 114, 171 - 174]. Наряду с практическим значением результатов решения интерес к этой задаче во многом обязан методологической стороне исследования. Так в ряде работ на примере решения этой задачи показаны возможности различных математических методов [27, 28, 30, 87,113,114, 173, 174], применявшихся для решения уравнений теории воспламенения п горения. Сопоставление соответствующих решений, полученных разными методами, позволяет объективно оценить возможности того или иного метода, выяснить область его применения и перспективность.
Качественные оценки параметров процесса. При использовании обычного в теории зажигания допущения о незначительности выгорания на этапе воспламенения математическая постановка задачи о зажигании реакпдонноспособного полуограниченного тела накаленной поверхностью сводится к параболическому квазилинейному уравнению теплопроводности ОТ д Т Е em=xw+Qzi,at{-m% (2ЛЛ) t 0, 0 х со, с начальным Г(аг,0) = Г4) (2.1.2) и граничными Т(0, )=Т;, = 0 (2.1.3) условиями. Здесь Т{ - температура поджигающей поверхности, Ть - начальная температура тела, t - переменная времени, х - пространственная координата, направленная вглубь тела с нулем на нагревающей поверхности.
Если ТІ Ті, Е » ЯГ;, то вклад нелинейного слагаемого в (2.1.1) является существенным лишь в окрестности х = 0, когда температура Т принадлежит интервалу ТІ — KLfjE Г TJ, Поэтому на начальном этапе зажигания тела, пока развитие процесса идет квазистационарно, можно выделить две пространственные области решения : химическую ширину хс, где существенно тепловыделение от химических реакций, п тепловую ширину /,, где реакция практически не идет и повышение температуры обеспечивается теплопроводностным механизмом. Определить масштабы этих зон можно следующим образом. Записывая для квази-стацпонарноп зоны химической реакции уравнение баланса тепла Н.Н. Семенова, получим :
Qzpxc exp(-E/RT{) = q, (2.1.4) где q - удельный тепловой поток на границе сопряжения зон реакции и прогрева. Поскольку характерной разностью температур в зоне прогрева является разность (Г - Г&), а в зоне химических реакций - семеновский интервал RT?/E, то хс и Xh имеют следующие значения: X(Tj - Ть) \RTf xh -, хс — . (2.1.5) Ч Eq Из соображений размерности задачи теплопроводности масштаб времени квазистационарного процесса: tk - (2.1.6) Разрешая (2.1.4) - (2.1.6) относительно искомых масштабов, получаем \QzpRTf . Е . ехр(-—-), хе ЛЯ1? , , exp(w), N ? 1Л яг," 4е д яп Я #А АВД-ГІ)2 , Я . . Ec{Tj - Ть? (Е , Из (2.1.5) следует отношение х, RT} л/т тЧ =0Г 1, (2.1.8) а:А E{Tib) V 7 что по критерию однородности М. Ван - Дайка [48] относит данную задачу к классу задач особых возмущений, погранслойный характер которой связан с большим значением температурного напора
Исследование задачи (2.1.1) - (2.1.3) методом сращиваемых асимптотических разложений проводилось разными авторами [87, 109, 113, 114]. В отличии от стационарных задач в этих работах продемонстрирована возможность неоднозначного построения асимптотик нестационарных процессов. В [87, 109,114] при построении асимптотического решения использовались идеи квазпстацпонарного химического пограничного слоя Я.Б. Зельдовича [11, 12], масштаб которого определен выше. В этих работах момент зажигания определялся по критерию Я.Б. Зельдовича, как момент установления нулевого градиента температуры на нагревающей поверхности. В [87] методом САР был получен главный член асимптотического разложения для времени зажигания, совпадающий с результатом Я.Б. Зельдовича [12]. В [114] получены трехчленные асимптотические разложения для верхней и нижней оценок времени установления теплового равновесия. В [113] найдены четырехчленные асимптотические разложения для времен теплового равновесия и зажигания. За условие зажигания бралось условие неограниченного возрастания температуры в точке воспламенения. В этой работе на основе квазистационарного химического пограничного слоя были определены лишь главные члены асимптотических разложений искомых времен. Для отыскания последующих слагаемых в разложениях введена переходная стадия в окрестности времени прогрева поверхности, в которой использованы растянутые временная п пространственная переменные. В качестве параметра разложения в [87, 113] использовалось большое значение безразмерной энергии активации E/RTi 1, хотя преобразование переменных велось фактически по параметру во t
Проведем построение асимптотического решения задачи (2.1.1) -(2.1.3) с использованием квазпстацпонарного пограничного слоя и параметра разложения 0 1 С 1. Преобразуя (2.1.1) - (2.1.3) к безразмерным переменным характерным внутри пограничного слоя у поверхности х = 0:
Асимптотический анализ очагового теплового воспламенения газа в высокопористой среде
Прп уменьшении размеров очага г, возрастает и при Tf — СО. Еслп Fk Fk выражение (3.1.45) не имеет действительных значений. Это означает, что воспламенение не происходит, первоначальный тепло-вон очаг на каркасе постепенно охлаждается до температуры окружающей среды. Таким образом, Fk из (3.1.46) представляет критическую связь параметров процесса в условиях естественной фильтрации при конечном внутреннем межфазном теплообмене.
Если NujKcp С 1 , то определять инертное решение (3.1.44) вблизи критических условий будет второе слагаемое. В этом случае из (3.1.43), (3.1.44) получаем для времени воспламенения аналогичное уравнение как в случае очагового теплового воспламенения в гомогенной среде (1.1.25):
Исследование уравнения (3.1.47), выполненное в п. 1.1, показывает, что уравнение (3.1.47) при Fk Fk имеет два корня, меньший из которых определяет момент воспламенения. При Fk Fk уравнение (3.1.47) действительных корней не имеет, что трактуется как отсутствие воспламенения очага. Критическое значение параметра Fk имеет вид:
Сравнение формул (3.1.45) с (3.1.47) и (3.1.46) с (3.1.48) показывает, что внутренний межфазнып теплообмен внутри очага самым существенным образом влияет как на время воспламенения, так и на предел очагового теплового воспламенения. При изменении Nu/Kcp от малых значений до конечных происходят качественные изменения в зависимостях времени воспламенения от параметров системы и критического значення параметра Франк-Каменецкого от температурного напора. При малом межфазном теплообмене Nu/Kcp 0 п близко к [(1 - а)/РЦп. При конечном теплообмене NujKcp 0(1) время воспламенения г; возрастает и определяется всеми параметрами системы. Зависимость Fk {Qo) из логарифмической при малых значениях NujKcp переходит в линейную при NujKcp 0{\).
Анализ предельного случая Nu 1 D рамках выполненного решения сделать не удается, так как требуется учет слагаемого {NujFk){g — Фа) в уравнениях (3.1.33), (3.1.34) для второй стадии процесса. Однако, для данного случая становится справедливой однотемпературная модель очагового воспламенения гомогенной среды ( см. п.1.1), но с параметрами, рассчитанными по пористой системе.
Формулы (3.1.46), (3.1.48), определяющие предел очагового воспламенения, в размерном виде позволяют определять критические связи параметров внутри очага разогрева в зависимости от кинетичеекпх параметров химических реакций и теплофпзпческпх характеристик среды. При переходе к размерным переменным необходимо наложить ограничение на температуру вне очага разогрева которое следует из условия больших значений температурного напора 0о 1. Это неравенство обеспечивает прп больших энергиях активации несоизмеримость химического процесса внутри и вне очага. В противном случае воспламенение среды произойдет от начальной температуры Ть даже в случае отсутствия тепловой неоднородности, что приводит к вырождению процесса очагового теплового воспламенения.
Критическая ширина очага разогрева имеет место при малом межфазном теплообмене внутри очага и определяется из выражения где значение Fk находится из (3.1.48), например, итерациями. Прп L L воспламененпс очага не происходит из-за его гашения холодным периферийным окружением. В этом случае в соответствип с условием малости NujKCp С 1 для критических параметров должно выполняться отношение
Еслп условие (3.1.51) не выполняется, то отдача тепла с каркаса газу внутри очага не мала, и его гашение будет происходить за счет межфазного теплообмена. Критическое условие гашения в этом случае определяется пз (3.1.46), которое в размерных параметрах определяет критическую температуру внутри очага разогрева Го а(Т„, - Ть) = Q bexp(- -). (3.1.52)
Уравнение (3.1.52) имеет три корня To i TQ& JQ+З- Первый и трс-тыш корни не удовлетворяют условию (3.1.49) и находятся в диапазоне температур не имеющих физического смысла для задач очагового воспламенения. ТІ їо і Ть + RTjj/E - слишком мала и близка к начальной температуре вне очага. То з EJR — % - слишком высокая температура, фактически это температура плазмы, при которой рассматриваемые химические реакции не имеют смысла. Следовательно критическую температуру очага определяет второй корень уравнения (3.1.52)
Для иллюстрации рассчитаем критическую ширину очага разогрева для грунта, пропитанного жидким ракетным топливом (ЖРТ) на основе гидразина с температурой кипения Г& = 386.5 К. Возможность возникновения химического процесса в рассматриваемой системе обусловлена взаимодействием газообразного окислителя, находящегося в воздухе внутри пор, с внутренней поверхностью пор, смоченной ЖРТ. Тсплофизические параметры грунта взяты из [200, 163], формально - кинетические параметры химического процесса из [192, 153]: Е = Зіктсад/молъ, Q = і2МДж/кг, ka = 10IZM/C, R = 1.986кал/(молъ К), п — 1, а = 5.бЛт/(лі2 К), S = 104 -1, е = 0.5, рф = pgb = 1.29кг/м\ \s = 0.1Вт/(м К). Температуры внутри очага Го = 363 К и вне его Г& = 273 К выбраны в соответствии с условием (3.1.49), причем Г0 Г&. Поскольку при данном значении Го условие (3.1.51) не выполняется, гашение происходит в результате охлаждения очага на каркасе холодным газом. Критическая температура, начиная с которой возможно воспламенение очага находится из (3.1.53): Го = 377-ЗЛ". Для критической температуры имеем Go = 11.44 и согласно (3.1.48) Fk — 11,14. Соответствующая критическая полуширина очага разогрева в слое грунта, пропитанного ЖРТ, определяется пз (3.1.50) и для Го = 377.3if составляет 0.25см.
Асимптотический анализ режима горения в высокопористой среде
Практический интерес для различных технических целей представляют существенно нестационарные процессы зажигания пористых сред. Однако, в литературе имеются небольшое число теоретических работ, посвященных их исследованию [203 - 207]. В [203] численно по одно-температурной модели исследуется зажигание пористого слоя потоком горячего газа, поступающего из ограниченного объема, в котором происходило сгорание воспламенителя. В зависимости от величины этого объема и газопроницаемости пористого слоя получены различные режимы зажигания, аналогичные зажиганию накаленной стенкой ( низкая газопроницаемость среды ) и процессу самовоспламенения ( высокая газопроницаемость ). Исследовано влияние боковых теплопотерь и длины образца. Влияние двухтемпературностп среды н межфазного теплообмена на времена прогрева и зажигания также численно анализировалось в [204]. С помощью волнового метода [173] на основе изучения распространения промежуточной волны горения в [205 - 207] выполнено решение задачи зажигания пористого слоя горячен стенкой и потоком газа при постоянном расходе газа через слой. Получены соотношения для определения параметров зажигания: времени инертного прогрева, установления и срыва теплового равновесия.
Ниже с помощью асимптотического анализа при Nu 1 и 0о 1 исследовано зажигание полуограниченного пористого тела лучистым потоком тепла. Получено критическое условие, разделяющее режимы зажигания и инертного прогрева. В режиме зажигания определены температурное поле в теле до момента зажигания и временные характеристики процесса. Проанализирована зависимость времени зажигания от параметров системы.
Исследуется зажигание полуограниченного пористого тела, на внешнюю поверхность которого падает поток пзлученпя. Через тело в режиме вынужденной фильтрации с постоянной скоростью Vx продувается газ. Для анализа используется физическая модель пористого тела п. 3.1 с положениями 1 - 4, 6 , но при этом для упрощения анализа на этапе зажигания не учитывается тепловое расширение газа. Допустимость этого положения обсуждается в п. 3.5. Кроме того пористое тело считается непрозрачным п поток излучения, падающий на внешнюю поверхность каркаса, полностью поглощается на ней. В начальный момент времени распределения температуры внутри пористого тела нет
Система (3.3,7) представляет однотсыпсратурную модель, учитывающую теплофизический вклад каждой из фаз. Из нее определяются все особенности задачи и критические характеристики процесса при Nu 1, Система (3.3.8) определяет вторые слагаемые в разложениях (3,3.6) , она линейна, легко решается после определения USQ((, Т) ИЗ (3.3.7) и позволяет уточнить решение, учитывая конечность Nu.
Для решения задачи (3.3.7) необходимо определить начальные и граничные условия для 17ло. Подстановка разложений (3.3.6) в (3.3.3)-(3.3.5) дает начальные п граничные условия для главных слагаемых: ,0) = ,0) = 1, 9 рі1 = »1І)=0; (з.з.9) « = 1, M = tf.Pe[tW0,r)-%]. (3.3.10)
В системе (3.3.7) имеется только одно дифференциальное уравнение второго порядка по , четыре граничных условия (3.3.9), (3.3.10) приводят к некорректной постановке п указывают на неравномерность асимптотики задачи (3.3.1) - (3.3.5) по Nu 1 в окрестности = 0. Это обстоятельство является следствием того факта, что в узкой зоне у поверхности ( Й 0(Nu 1)) межфазный теплообмен не успевает выравнять температуры USQ и UgQ в результате жесткого действия граничных условий. Растягивая пространственную координату i — Nu1 и рассматривая задачу (3.3.1)-(3.3.5) в новых переменных, находим, что вблизи = 0 имеет место соотношение: Сі (г) находится из граничных соотношений (3.3.10) Сх(т) = (1 - е)Кср + ePe[UgQ{0,т) - U0]. Учитывая , что Ugo = USQ , приходим к условию Л-J ді (1-е)ІГ„+ — = (1- е)Кср + ePe[tf„ (0, т) - U0], (3.3.11) которое определяет тепловой вклад на границе каждой из фаз и должно использоваться для системы (3.3.7) в качестве граничного при = 0.
Решение задачи (3.3.7),(3.3.9),(3.3.11) проведем методом сращиваемых асимптотических разложений по параметру Go 1 аналогично, как во второй главе п. 2.4 при решении задачи зажигания тела лучистым потоком тепла. Ниже для упрощения записи по однотемпературной модели (3.3,7),(3,3.9),(3.3.11) будем использовать обозначение U = Us0.
В начальные моменты времени пока Т Т процесс прогрева идет как в химически инертном теле. На этом этапе U 0(1) и с точностью до экспоненциально малых величин 0(схр(—QQU)) решенпем (3.3.7),(3.3.9),(3.3.11) является
У поверхности протекают химические реакции при медленно меняющейся во времени температуре ( квазистационарная стадия ), характерный пространственный масштаб которых находится из (3.3.13): хг = qrexp{E/RT )/(QSpnga%k0). Условие погранслойного распределения температуры: х /хг = и? $ 1.
Для описания стадии квацистационарных химических реакций делаем переход к переменным, соответствующим характерным масштабам этой стадии процесса : Ф = 0„(Г-ВД, 6 = , 71 = Ч(во)(т-Г0), (3.3.14) где т"о - время достижения поверхностью температуры Г , //(во) 1. В области квазпстацпонарных химических реакций должно выполняться соотношение порядка
