Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор современных постановок, численных методов и программного обеспечения статических и динамических расчетов гидротехнических сооружений 21
1.1. Статические и динамические расчеты пространственных комбинированных систем 21
1.2. Динамические расчеты систем “сооружение - основание водохранилище” 32
1.3. Статические и динамические расчеты систем бетонное сооружение скальное основание” с учетом нелинейных эффектов открытия- закрытия швов и макротрещин 35
1.4. “Промышленные” и исследовательские программные комплексы 36
1.5. Постановка задач диссертационной работы 39
Глава 2. Разработка численных методик линейного и нелинейного статического и динамического расчета пространственных комбинированных систем 41
2.1. Постановка и конечноэлементная формулировка задач 41
2.2. Построение эффективных конечноэлементных моделей пространственных комбинированных систем 47
2.3. Решение несвязанных стационарных, нестационарных и динамических задач теории поля. Определение температурных, фильтрационных и гидродинамических нагрузок 58
2.4. Расчет линейно-упругих систем на статические нагрузки. Решение системы линейных алгебраических уравнений 60
2.5. Решение трехмерных статических задач линейной механики разрушения для систем с трещинами 63
2.6. Вычисление энергетически значимой части спектра собственных частот и форм колебаний. Решение частной проблемы собственных значений 64
2.7. Определение критических нагрузок и форм потери начальной устойчивости 68
2.8. Линейно-спектральный квазистатический расчет на сейсмические воздействия, заданные спектрами ускорений 68
2.9. Расчеты установившихся вынужденных колебаний 70
2.10. Интегрирование по времени линейных и нелинейных уравнений движения системы 72
2.11. Суперэлементная формулировка и реализация алгоритмов 78
2.12. Вариант метода суперэлементов для решения динамических задач 87
2.13. Решение геометрически нелинейных задач 102
2.14. Тестирование алгоритмов и программ 104
Глава 3. Разработка алгоритмов трехмерного динамического расчета систем “сооружение- основание-водохранилище” 106
3.1. Конечноэлементные формулировки связанных задач гидроупругости 106
3.1.1. Общие положения 106
3.1.2. Формулировка в перемещениях (Лагранжев подход) 108
3.1.3. Формулировка в смешанных неизвестных (Эйлеров подход) 110
3.1.4. Схема матрицы присоединенных масс (несжимаемая жидкость) 112
3.2. Основные алгоритмы решения связанных задач гидроупругости 113
3.2.1. Расчет собственных частот и форм колебаний. Спектральные динамические расчеты 113
3.2.2. Расчет вынужденных установившихся колебаний 115
3.2.3. Прямое интегрирование уравнений гидроупругости 115
3.3. Тестовые примеры 116
Глава 4. Разработка суперэлементных алгоритмов статического и динамического расчета трехмерных систем “сооружение-основание” с учетом нелинейных эффектов открытия-закрытия швов и макротрещин 124
4.1. Постановки трехмерных краевых задач с учетом односторонних связей и трения 124
4.1.1. Постановки статической задачи 124
4.1.2. Постановки динамических задач 130
4.1.3. Вариационные постановки краевых задач 134
4.2. Алгоритмы нелинейных статических и динамических расчетов системы сооружение - основание” со швами и макротрещинами 136
4.2.1. Общие соображения 136
4.2.2. Решение статических задач с односторонними ограничениями и задач с трением как задач математического программирования 137
4.2.3. Суперэлементный подход к решению статических и динамических задач с локальными нелинейностями 139
4.2.4. Приложение динамического метода суперэлементов к решению задач с локальными нелинейностями 147
4.3. Модельные нелинейные задачи с учетом отрыва и трения 148
4.3.1. Колебания балки с односторонними упругими опорами, установленными с зазором 148
4.3.2. Сейсмическая реакция двумерной системы “гравитационная плотина - одностороннее винклеровское основание” 149
4.3.3. Статическое трение на контакте “плотина в узком каньоне основание”. Плоская задача 152
4.3.4. Трехмерные системы “сооружение - основание” с трением и отрывом на контакте 156
Глава 5. Разработка и внедрение реализующего программного комплекса стадио 159
5.1. Основные характеристики комплекса 159
5.2. Модули вычислительного “ядра” 161
5.3. Пре- и постпроцессорные средства комплекса 162
5.4. Объектно-ориентированные подсистемы 164
5.5. Верификация комплекса программ 166
5.6. Опыт внедрения и использования комплекса для статических и динамических расчетов пространственных комбинированных систем 166
Глава 6. Расчетные исследования статического и динамического пространственного напряженно- деформированного состояния энергетических сооружений и конструкций 170
6.1. Общие положения 170
6.2. Ортогональные тройниковые соединения стальных трубопроводов при комплексном статическом нагружении 172
6.2.1. Постановка задачи. Пространственные оболочечные и трехмерные расчетные модели 172
6.2.2. Тестовые расчеты. Сопоставление с численными и экспериментальными результатами 178
6.2.3. Пространственное упругое напряженное состояние тройников при полной системе статических нагрузок 181
6.2.4. Разработка и внедрение инженерной методики расчета напряженного состояния и прочности тройниковых соединений 200
6.2.5. Объектно-ориентированная подсистема программного комплекса СТАДИО для расчета типовых элементов трубопроводов 202
6.3. Трехмерные системы “водосбросная секция плотины - основание” при
комплексном статическом нагружении 203
6.3.1. Постановка задачи. Трехмерные расчетные модели системы 203
6.3.2. Особенности трехмерного напряженного состояния 206
6.3.3. Сопоставление результатов расчетов с модельными
экспериментами 210
6.4. Трехмерные статические модели “арочная плотина - разномодульное
основание” при учете дифференциальных подвижек основания и раскрытия контурного шва 213
6.4.1. Постановка задачи. Трехмерные линейно-упругие расчетные модели 213
6.4.2. Результаты расчетного многопараметрического анализа статического напряженного состояния плотины с учетом дифференциальных подвижек основания и раскрытия контурного шва 214
6.4.3. Некоторые особенности статической работы двухарочной плотины 224
6.5. Разработка уточненной методики нормативного линейноспектрального сейсмического расчета систем “сооружение-основание” 226
6.5.1. Постановка задачи. Линейно-спектральные модели системы “сооружение-основание” 226
6.5.2. Расчетный многопараметрический анализ сейсмической реакции системы “сооружение-основание” 228
6.5.3. Рекомендации по адекватному учету сейсмического взаимодействия сооружений с основанием 230
6.6. Динамика системы “водосбросная секция плотины - основание” при воздействии сбрасываемой воды 235
6.6.1. Постановка задачи. Расчетная динамическая модель системы 235
6.6.2. Напряженно-деформированное состояние плотины при моногармонических гидродинамических нагрузках 238
6.7. Сложная пространственная система “строительные конструкции оборудование” энергетического сооружения при статических и сейсмических воздействиях 242
6.7.1. Постановка задачи. Расчетные суперэлементные модели системы 242
6.7.2. Статические напряженно-деформированные состояния системы 255
6.7.3. Собственные частоты и формы колебаний 258
6.7.4. Линейно-спектральные сейсмические реакции исходной системы и системы с дополнительными антисейсмическими опорами 262
6.7.5. Рекомендации по обеспечению сейсмостойкости оборудования и строительных конструкций. Возможные обобщения 273
6.8. Трехмерная система “бетонная плотина - скальное основание” с трением и отрывами на контакте при статических и сейсмических воздействиях 274
6.8.1. Постановка задачи. Линейно-упругие и нелинейные суперэлементные модели 274
6.8.2. Статические и сейсмические расчеты линейно-упругой системы 285
6.8.3. Статические расчеты с учетом трения и отрывов на контакте “плотина-основание“ в период многоэтапного возведения 300
6.9. Трехмерная модель арочной плотины с нелинейными эффектами открытия-закрытия строительного шва при статическом и динамическом (сейсмическом) воздействии 304
6.9.1. Постановка задачи. Расчетные модели с учетом и без учета шва 304
6.9.2. Статическое напряженно-деформированное состояние 307
6.9.3. Собственные частоты и формы колебаний 307
6.9.4. Линейная и нелинейная сейсмическая реакция 308
Основные результаты и выводы 322
Литература 330
Приложение. Библиотека конечных элементов программного комплекса стадио 350
- Статические и динамические расчеты систем бетонное сооружение скальное основание” с учетом нелинейных эффектов открытия- закрытия швов и макротрещин
- Решение несвязанных стационарных, нестационарных и динамических задач теории поля. Определение температурных, фильтрационных и гидродинамических нагрузок
- Формулировка в смешанных неизвестных (Эйлеров подход)
- Приложение динамического метода суперэлементов к решению задач с локальными нелинейностями
Введение к работе
Современный этап развития задач расчета статического и динамического напряженно-деформированного состояния (НДС) реальных пространственных гидротехнических конструкций и систем "сооружение - основание - водохранилище" немыслим без использования численных методов. Практика выдвигает задачи многовариантного и оптимизационного исследования трехмерных комбинированных систем с учетом факторов, ранее рассматривавшихся упрощенно и (или) несовместно. Многолетний опыт показывает, что эффективность внедрения вычислительных подходов в практику расчетов конструкций, сооружений и комплексных систем зависит не только и не столько от мощности используемых ЭВМ, сколько от разработки рациональных моделей и алгоритмов.
В последние годы при сворачивании нового строительства и проектирования в России "центр тяжести" исследований сместился к оценке реального состояния эксплуатируемых сооружений, которая обрела правовую форму в виде "Закона о безопасности гидротехнических сооружений" и потребовала тесного взаимодействия численного моделирования и натурных наблюдений: размещение, состав и характеристики контрольно-измерительной аппаратуры определяются предварительными расчетами, а математическая модель "калибруется" и совершенствуется по натурным данным. Современная концепция требует, чтобы численные модели сопровождали объекты гидроэнергетики на всех этапах их зарождения (проектирования и строительства) и жизни (эксплуатации, ремонта и реконструкции), обеспечивая адекватный и полный анализ и прогноз состояния в составе компьютерных информационно-диагностических систем мониторинга.
Актуальность проблемы. Актуальность темы диссертационной работы, подтвержденная, в частности, тематикой российских отраслевых научно-технических программ и последних международных конференций, конгрессов и семинаров по большим плотинам, обуславливается следующим состоянием рассматриваемой проблемы статического и динамического расчета гидротехнических конструкций, сооружений и систем "сооружение-основание":
1. В отечественной исследовательской и проектной практике недостаточно разработан и не использовался универсальный подход к расчету сложных гидротехнических конструкций и сооружений как к задаче численного моделирования произвольных пространственных комбинированных (массивно-оболочечно-стержневьгх) систем, подверженных комплексу нормативно регламентированных статических и динамических нагрузок различной природы. Такая естественная и необходимая комплексная постановка требует совершенствования используемых и привлечения новых численных методов и алгоритмов, реализующих эффективные схемы дискретизации краевых задач и мощные современные "решатели" результирующих вычислительных задач большой размерности, характерных для рассматриваемой предметной области.
-
Сейсмическая реакция высоконапорных гидротехнических сооружений (плотин) существенным образом определяется динамическим волновым взаимодействием с водной средой (водохранилищем) и может быть воспроизведена численным решением трехмерных связанных задач гидроупругости для систем "сооружение-основание-водохранилище". Состояние же отечественных программно-алгоритмических разработок не позволяло использовать данные адекватные модели в практике расчетных исследований и проектирования объектов повышенной опасности в сейсмоактивных районах.
-
Реальная трехмерная система "бетонное сооружение - скальное основание" имеет дискретные (локальные) нарушения сплошности в виде строительных и (или) деформационных швов и макротрещин, нелинейные эффекты открытия-закрытия которых в значительной мере определяют статическое и динамическое НДС системы. Как показывают данные натурных исследований, указанные эффекты проявляются, например, на ряде бетонных плотин (Братская, Усть-Илимская, Саяно-Шушенская). До последнего времени численные методики, разработанные российскими специалистами, не выходили за рамки плоских статических задач, а в зарубежных алгоритмах доминировали схемы с контактными элементами, требующие весьма проблематичного решения нелинейных задач большой размерности.
-
Отсутствие универсального и доступного отечественного программного комплекса, реализующего оптимизированные и вновь разработанные алгоритмы линейного и нелинейного статического и динамического расчета пространственных комбинированных систем большой размерности и развитое сервисное обеспечение и апробированного на задачах численного моделирования НДС сложных гидротехнических объектов, сдерживало исследовательские и проектно-конструкторские работы в отрасли.
5. Изучение ранее не исследованных закономерностей пространственно
го НДС типовых пространственных конструкций (например, тройниковых и
других фасонных элементов трубопроводов) и уникальных трехмерных систем
"бетонная плотина - скальное основание" при статических и динамических на
грузках с учетом нелинейных эффектов открытия-закрытия и трения в швах и
макротрещинах представляет важное самостоятельное научное и практическое
значение.
Разработка, программная реализация и практическое внедрение комплекса методов уточненного расчетного анализа трехмерных систем "сооружение - основание - водохранилище" и их подсистем, позволяющего адекватно моделировать статическое и динамическое НДС при действии значимых нагрузок и воздействий, нелинейных и взаимосвязанных факторов, является решением важной народнохозяйственной проблемы, новым достижением в части научного обоснования проектируемых, возводимых и эксплуатируемых объектов гидротехнического строительства и в ускорении научно-технического прогресса в этой области.
Целью работы является численное моделирование статического и динамического напряженно-деформированного состояния сложных пространствен-
ных конструкций и трехмерных систем "бетонное сооружение - скальное основание" с адекватным учетом сейсмического гидроупругого взаимодействия с водохранилищем и существенно нелинейных эффектов открытия-закрытия швов и макротрещин.
Для достижения указанной целя поставлены и решаются следующие задачи:
1). разработать универсальную методику статического и динамического расчета произвольных пространственных комбинированных систем, в том тасле - гидротехнических систем "сооружение - основание", - реализующую эффективные численные схемы дискретизации краевых задач и мощные со-зременные "решатели" результирующих вычислительных задач большой размерности, характерных для рассматриваемой предметной области;
2). разработать численные схемы решения связанных задач гидроупруго-zmu применительно к динамическому (сейсмическому) расчету трехмерных систем "сооружение - основание - водохранилище" с учетом поверхностных равитационных волн, демпфирующих свойств донных отложений и иных факторов;
3). разработать эффективный алгоритм статического и динамического эасчета трехмерных систем "бетонное сооружение - скальное основание" с /четом нелинейных эффектов отрыва и кулоновского трения в произвольно )риентированных деформационных швах, макротрещинах и иных контактных говерхностях;
4). разработать комплекс программ широкого пользования, реализую-ций алгоритмы п.п. 1,2,3 и развитое сервисное пре- и постпроцессорное обес-іечение, верифицировать его на представительном множестве тестовых и фактических задач, внедрить в проектно-конструкторских и исследователь-:ких организациях отрасли;
5). с применением разработанного программно-алгоритмического комплекса решить сложные практические задачи численного моделирования ста-ического и динамического пространственного НДС реальных гидротехниче-;ких конструкций и систем "сооружение - основание" различного типа с раз-іельньїм и (или) совместным учетом существенных, в том числе - нелинейных эакторов, рассматриваемых в данной работе; на основе выполненных исследо-:ательских и практических расчетов выработать и внедрить в действующие юрмативные документы рекомендации и инженерные методики.
Научная новизна работы состоит в:
комплексной постановке задачи статического и динамического расчета ложных трехмерных конструкций и систем "сооружение-основание", харак-ерных для гидроэнергетических объектов, с адекватным учетом факторов ейсмического гидроупругого взаимодействия с водохранилищем и локальных елинейных эффектов открытия-закрытия швов и макротрещин;
разработке и численном обосновании эффективных и гибко настраи-аемых статических и динамических моделей произвольных пространственных омбинированных (массивно-оболочечно-стержневых) систем с внутренними
связями на базе представительной библиотеки конечных элементов и различных процедур сборки фрагментов в единую конечноэлементную модель;
разработке и оптимизации численных методов и схем решения результирующих конечноэлементньгх систем алгебраических уравнений, частных проблем собственных значений и уравнений движения большой размерности с полным использованием априорной блочно-редкозаполненной структуры матриц и адаптивных возможностей;
реализации и исследовании вычислительных характеристик суперэлементного варианта динамического метода синтеза подконструкции для расчета неустановившихся колебаний сложных трехмерных систем большой размерности;
распространении метода суперэлементов на решение статических и динамических задач расчета трехмерных систем "сооружение-основание" большой размерности с локальными нелинейностями в швах и макротрещинах;
исследовании на модельных задачах и оптимизации вычислительных характеристик (точность, устойчивость, сходимость) разработанного суперэлементного алгоритма расчета систем "сооружение-основание" с учетом односторонних связей и трения в швах и макротрещинах;
расчетных исследованиях статического и динамического пространственного НДС реальных комбинированных конструкций и систем "сооружение-основание", ранее не анализированных или рассматривавшихся в упрощенных постановках;
выявленных многопараметрическими расчетными исследованиями закономерностях трехмерного распределения статических и динамических напряжений и перемещений в рассмотренных типовых конструкциях (тройниковые соединения) и уникальных сооружениях (арочные, гравитационные и контрфорсные плотины на скальном основании).
Практическая ценность работы заключается в разработанных на базе развитых конечно- и суперэлементных схем численной методики и реализующего программного комплекса расчета НДС произвольных пространственных комбинированных систем при полном наборе нормативно регламентированных статических и динамических нагрузок и воздействий я с учетом факторов, существенных для трехмерных систем "бетонное сооружение - скальное основание" и ранее рассматривавшихся в упрощенных постановках: сейсмическое взаимодействие с водохранилищем и нелинейные эффекты открытия-закрытия с трением в швах и макротрещинах. Использование разработанного программно-алгоритмического комплекса позволяет с большей достоверностью выявить реальные запасы прочности и устойчивости трехмерных конструкций и систем "бетонное сооружение - скальное основание" на стадиях их проектирования, строительства и эксплуатации, а также разработать конструктивно-технологические мероприятия, повышающие их надежность и безопасность.
Практическую ценность представляют также отдельные разделы диссертации, в которых:
построены эффективные многоуровневые суперэлементные численные схемы, дающие существенную экономию вычислительных ресурсов и расширяющие область применения конечноэлементных алгоритмов и программ ;
установлены закономерности пространственного распределения статических и динамических напряжений и деформаций в реальных типовых и уникальных конструкциях и сооружениях, позволившие разработать рекомендации и инженерные методики и оптимизировать проектные варианты.
Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов, реализующего программного комплекса и его объектно-ориентированных подсистем и инженерных методик, а также результатов выполненных численных исследований проектируемых, строящихся и эксплуатируемых сооружений и конструкций в следующих организациях: отделения институтов "Гидропроект", АО НИИЭС (бывший НИС Гидропроекта), МГМИ, 'Атомэнергопроект", "Сельэнергопроект", ЦНИИСК им.В .А.Кучеренко, ВНИИ атомного машиностроения, ОКБ "Гидропресс", "Моспроект-2", НИЦ СтаДиО и ряд других фирм различных отраслей строительства и машиностроения.
На защиту выносятся:
- эффективные статические и динамические конечноэлементные и мно
гоуровневые суперэлементные модели произвольных пространственных ком
бинированных систем, характерных для объектов гидроэнергетики;
оптимизированные алгоритмы решения результирующих конечно- и ;уперэлементных алгебраических систем уравнений равновесия (Холецкого, неполной факторизации), частных проблем собственных значений (итераций подпространства, блочного Ланцоша) и уравнений движения (Ньюмарка и Зилсона) большой размерности с полным использованием свойств симметрии, Злочности и разреженности матриц и адаптивными возможностями;
суперэлементный вариант динамического метода синтеза подконструк-дий для расчета неустановившихся колебаний сложных трехмерных систем золыной размерности;
модифицированные численные схемы решения связанных задач гидро-(Чгругости, позволяющие применить "стандартный" вычислительный аппарат методов, конечных элементов и суперэлементов к динамическому сейсмическому) расчету трехмерных систем "сооружение - основание - водохранилище";
альтернативный традиционно используемым алгоритм статического и динамического расчета трехмерных систем "бетонное сооружение - скальное основание" с учетом нелинейных эффектов отрыва и кулоновского трения в іроизвольно ориентированных деформационных швах, макротрещинах и других контактных поверхностях, сочетающий естественную многоуровневую су-терэлементную редукцию исходной нелинейной задачи большой размерности с локальной задаче относительно только контактных пар узлов, модифициро-занные методы интегрирования по времени уравнений движения и численно >боснованные итерационные схемы;
- комплекс программ широкого пользования СТАДНО, реализующий
разработанные конечно- и суперэлементные алгоритмы линейного и нелиней
ного статического и динамического расчета пространственных комбинирован
ных систем и развитое сервисное обеспечение, верифицированный на предста
вительном множестве тестовых и практических задач и внедренный в проект-
но-конструкторских к исследовательских организациях отрасли;
результаты выполненных (с применением разработанного программно-алгоритмического комплекса) многопараметрических расчетных исследований с учетом существенных, в том числе - локальных нелинейных факторов в швах и макротрещинах, позволившие выявить реальное статическое и динамическое пространственное напряженно-деформированное состояние сложных гидротехнических (и родственных энергетических) конструкций и систем "сооружение - основание" различного типа и обосновать важные проектные решения;
рекомендации и инженерные методики, разработанные, на основе выполненных численных исследований (тройниковые соединения и арочные плотины) и вошедшие в нормы и пособия по проектированию.
Апробация работы. Основные результаты разработок и исследований, выполненных автором в рамках настоящей диссертационной работы, доложены и одобрены на следующих совещаниях, конференциях и семинарах: Всесоюзное научно-техническое совещание "МИРСС-81", Нарва, 1981 г.; VI Всесоюзная конференция "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций", Ленинград, 1983 г.; I Всесоюзный симпозиум "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела", Калинин, 1986 г.; I Всесоюзная конференция "Долговечность энергетического оборудования и динамика гидроупругих систем", Челябинск, 1986 г.; II Всесоюзная школа-семинар "Актуальные проблемы и перспективы оптимального проектирования конструкций", Суздаль, 1990г.; II Всесоюзная научно-техническая конференция "Гидроупругость и долговечность конструкций энергетического оборудования", Каунас, 1990 г.; XVI Международная конференция "Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных элементов и граничных элементов. BEM/FEM-98", С.-Петербург, 1998 г.; Школа-семинар РАО "ЕЭС России" "Мониторинг энергетических сооружений", Москва, 1997 г.; Школа-семинар МЧС России "Безопасность энергетических сооружений", Москва, 1997 г.; Семинар кафедры сопротивления материалов Российского университета дружбы народов, 1996 г.; Семинар НИЦ СтаДиО "Современные численные методы и программные комплексы расчета сложных инженерных систем", 1991 - 1998 гг.; Семинар кафедры информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессора МЛЗ.Белого, 1997,1998 гг.
Личный вклад автора состоит в постановке задач, разработке и внедрении программно-алгоритмического комплекса и инженерных методик и в научном руководстве расчетными исследованиями, выполненными совместно с сотрудниками.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 35 печатных работ. Разработанные методики вошли также в действующие "Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов АЭУ. ПНА Г-7-002-86", "Указания по расчету на прочность и вибрацию технологических стальных трубопроводов. РТМ 38.001-94" и ведомственные "Пособие по проектированшо арочных плотин (к разделу 9 СНиП 2.06.06-85). П-892-92" и " Руководство по расчету и конструированию тройников технологических трубопроводов (П-816-84)".
Объем и структура. Работа состоит из введения, шести глав, основных выводов, списка литературы из 212 наименований и приложения. 367 страниц основного текста и 19 страниц приложения включают 53 таблиц и 114 рисунков.
Статические и динамические расчеты систем бетонное сооружение скальное основание” с учетом нелинейных эффектов открытия- закрытия швов и макротрещин
Развитые в последние 20-30 лет мощные численные методы механики, пришедшие на смену стержневым и конечноразностным дискретизациям краевых задач, прежде всего - метод конечных элементов (МКЭ) [6,66,82,114,130,144] и метод граничных элементов (МГЭ) [49,53] - позволяют выполнять подобный комплекс расчетов при самых общих принятых предположениях о конфигурации системы, видах нагрузок и граничных условий, характере пространственного напряженно-деформированного состояния. Современные реализации МГЭ имеют некоторые преимущества перед МКЭ для статического расчета массивных систем типа “гравитационная плотина - скальное основание”, однако МКЭ сохранил свои лидирующие позиции при комплексном расчете комбинированных систем, включающих стержневые и плитно-оболочечные фрагменты. Это объективное лидерство выражается и в том, что наиболее известные, продаваемые и используемые “промышленные” программные комплексы, реализующие численные методы статического и динамического расчета пространственных систем - конечноэлементные, имеющие возможность стыковки модели, набранной из КЭ различных типов, с симметризованными граничными элементами.
Несмотря на впечатляющий прогресс МКЭ, остаются актуальными во многом взаимосвязанные задачи построения эффективных конечноэлементных моделей комбинированных систем и оптимизации алгоритмов решения результирующих алгебраических систем уравнений равновесия, проблем собственных значений и уравнений движения большой размерности ( порядка 50 000 и выше), характерной для трехмерных систем “сооружение - основание”.
К настоящему времени разработаны сотни типов и “семейств” конечных элементов, моделирующих геометрико-жесткостные, инерционные, диссипативные и нагрузочные характеристики и напряженно-деформированное состояние реальных подсистем в плоской, осесимметричной и трехмерной постановках [82,159]. “Джентльменский” набор продвинутых программных комплексов включает, как правило, прямо- и криволинейные стержневые, двумерные (плоское напряженное, плоское деформированное и осесимметричное состояния), тонко-, средне- и толстостенные одно- и многослойные плитные и оболочечные постоянной и переменной толщины, трехмерные конечные элементы. Элементы изопа- раметрического семейства со “сдвинутыми” промежуточными узлами на сторонах (гранях) позволяют, в частности, описать НДС в зоне трещины без привлечения специальных сингулярных КЭ и вычислить коэффициенты интенсивности напряжений - параметры, определяющие рост или стабилизацию трещин в рамках концепции линейной механики разрушения [107]. Однако продолжается поиск КЭ, адекватно и экономно аппроксимирующих одно- и многослойные тонко- и толстостенных пластины (плиты) и оболочки и позволяющих построить непротиворечивую расчетную модель комбинированной системы. Оправданное внимание уделяется и процедурам гибкой, легко перестраиваемой сборки конечноэлементной модели с учетом различных внутренних связей узлов и элементов, адаптивным схемам улучшения сетки.
Ключевым в алгоритме МКЭ является решение результирующих систем линейных алгебраических уравнений - классическая задача вычислительной математики, возникающая не только в статических расчетах, но и в проблеме собственных значений, и при интегрировании уравнений динамики. Различные модификации прямого метода - метода исключения Гаусса [7,76,103,116,148] (квадратного корня, факторизация Холецкого, фронтальная схема и др.), существенно и “до последней капли” использующие свойства симметрии, блочности и разреженности матрицы жесткости КЭМ и “небоскребную” структуру треугольной матрицы-фактора, весьма эффективны для задач малой и средней размерности (до 30 000 — 50 000), но требуют нереальных ресурсов памяти и времени счета при большем числе неизвестных-перемещений даже на суперкомпьютерах.
Естественным подходом к решению систем высокого порядка, допускающим прозрачную механическую и математическую интерпретацию, является ме- тод подконструкций , известный также как метод суперэлементов (МСЭ). Основные идеи МСЭ были впервые изложены в 1927г. А.А.Гвоздевым [68] применительно к стержневым системам, а в 1963г. использованы Е.С.Пржемницким [123] совместно с методом конечных элементов для расчета авиационных конструкций. Дальнейшему развитию основных идей метода, повышению эффективности его практического использования в расчетах сложных инженерных конструкций и сооружений посвящено большое число работ, среди которых отметим монографии 1.8. РгаегшетесЫ [202], В.А. Постнова и др.[122], З.И. Бурмана и др. [56,57], А.С Вольмира и др. [62]. “Одноуровневый” суперэлементный расчет состоит из следующих основных этапов: 1) . Декомпозиция. Исходная система разбивается на независимые подсистемы (подконструкции), для каждой из которых решение задачи проще, чем расчет всей подсистемы. Узловые неизвестные для каждой подконструкции разделяются на две группы - “внутренние” и “граничные”. 2) . Конденсация. Неизвестные, соответствующие внутренним узлам для каждой подконструкции, выражаются через граничные неизвестные и исключаются из системы разрешающих уравнений. После этого подконструкцию можно рассматривать как дискретный конечный элемент, узлами которого являются граничные узлы - суперэлемент. 3) . Сборка. Суперэлементы объединяются для образования исходной системы (конструкции). При этом для стыкуемых суперэлементов отождествляются их соответствующие степени свободы, и системы уравнений для всех суперэлементов объединяются в глобальную систему относительно граничных неизвестных. 4) . Вычисление решения. Решается глобальная система уравнений и определяются значения граничных неизвестных для всех подконструкций. Значения внутренних неизвестных для всех подконструкций вычисляется с помощью зависимостей, использовавшихся для их исключения. При более общем многоуровневом иерархическом подходе объединение нескольких суперэлементов в суперэлемент следующего уровня производится по схеме 1), 2), 3).
С математической точки зрения статическую схему МСЭ можно рассматривать как вариант блочного метода исключения для решения системы линейных алгебраических уравнений. Например, в известной книге А.Джорджа и Дж.Лю [76] идея метода суперэлементов обсуждается под именем “метода параллельных сечений” в одноуровневом варианте и как “метод вложенных сечений” для произвольного числа уровней суперэлементного разбиения. Особенно эффективным МСЭ оказывается при расчете больших конструктивных систем, состоящих из значительного числа одинаковых частей - подконструкций. Учет повторяемости (“тираж”) приводит как к экономии за счет уменьшения числа арифметических операций, так и к существенному сокращению объема хранимой и перерабатываемой информации. Этим обусловлено опережающее применение МСЭ в различных отраслях машиностроения (судостроение, аэрокосмическая промышленность и др.) и строительства [96,123], где весьма естественным и эффективным является переход от конечных элементов к типовым и инженерно осязаемым объ- ектам-суперэлементам: колонна, ригель, перекрытие, фасонный элемент трубопроводной системы, этаж, отсек, крыло, фюзеляж и т.п.
Решение несвязанных стационарных, нестационарных и динамических задач теории поля. Определение температурных, фильтрационных и гидродинамических нагрузок
Изгибно-мембранные пластинчатые КЭ (ИМКЭ, табл.П.5,11.6) адекватно и “экономично” аппроксимируют пространственные тонкостенные пластинчато-оболочечные подсистемы кусочно-постоянной толщины (перекрытия и стены строительных конструкций, элементы оборудования и трубопроводов, резервуары и т.п.), реализуя гипотезы Кирхгофа-Лява для изгибных компонент, плоского напряженного состояния - для деформирования в срединной плоскости КЭ, и представление криволинейных поверхностей набором малых плоских элементов. В качестве базовых используется треугольные ИМКЭ с тремя (прогиб и 2 угла поворота для чисто изгибного состояния пластин) или пятью значимыми оболочечными степенями свободы (3 перемещения и 2 угла поворота в местной системе) в угловых узлах. Аналитические зависимости для коэффициентов матриц линейной жесткости (в общем случае - для ортотропного материала), геометрической жесткости, масс и распределенных нагрузок приведены в известных монографиях [66,82]. Произвольные четырехугольные ИМКЭ формируются путем объединения двух треугольных элементов наилучшей формы, прямоугольные и близкие к ним - усредненной суммой от 4-х возможных треугольных разбиений (с целью сохранения инвариантности решения от ориентации триангуляции).
При переходе к глобальным степеням свободы и сборке для оболочек используется апробированная процедура учета жесткости “фиктивного” поворота вокруг нормали [82].
Семейство криволинейных КЭ суперпараметрического типа (СПКЭ, табл.П.8-П.12) наиболее эффективно моделирует пространственные одно- и многослойные плитно-оболочечные фрагменты переменной средней и малой толщины произвольной кривизны с учетом сдвигов и инерции вращения - арочные, контрфорсные и ячеистые плотины, здания ГЭС, водоприемники, подпорные стенки и фундаментные плиты, ледостойкие морские железобетонные платформы по добыче нефти и газа, железобетонные, сталебетонные и стальные резервуары и элементы оборудования и трубопроводов.
Используются треугольные в плане СПКЭ первого (3 угловых узла) и второго порядка (3 угловых и 3 промежуточных узлов), четырехугольные элементы первого, смешанных и второго порядков точности (число узлов - соответственно 4, 5-7, 8). Поле линейных перемещений внутри КЭ определяется через узловые степени свободы (3 перемещения срединной поверхности в глобальной системе и 2 угла в локальной системах координат) с использованием модифицированных функций форм “сирендипова” семейства, реализующих гипотезы Тимошенко о прямолинейности нормали в деформированном состоянии [82].
Матрица упругих постоянных [) ] формируется на основе трехмерного закона Гука для ортотропного материала в предположении отсутствия напряжений, нормальных к срединной поверхности. Для весьма тонкостенных пластин и оболочек применяется уточняющая коррекция сдвиговых диагональных коэффициентов матрицы [ ] [82]: где Сгз и й23 - модули поперечного сдвига, К - коэффициент “формы”, учитывающий реальное параболическое распределение по толщине сдвиговых напряжений, А и X - характерные толщина и размер в плане аппроксимируемого фрагмента, /3 - “штрафной” множитель. Также численно подтверждено, что для СПКЭ тонких пластин наилучшим является понижение на порядок точности квадратуры Гаусса-Лежандра при определении коэффициентов матрицы жесткости и объемных нагрузок (по сравнению со схемой, обеспечивающей точное вычисление объема КЭ). Для многослойных подсистем набирается пакет однослойных СПКЭ, матрицы которых преобразуются к степеням свободы одного узла по толщине введением кинематической гипотезы о единой недеформируемой нормали (см. также (п. 2.2.3).
Семейство дву- и трехмерных изопараметрических КЭ твердого те- ла(ИПКЭ, табл.П.2,П.З,П.14-П.17). Двумерные ИПКЭ используется для аппроксимации плоского (напряженного и деформированного) и осесимметричного, трехмерные - объемного (трехосного) НДС гравитационных и толстостенных арочных плотин, массива основания, толстостенных подземных сооружений и элементов оборудования. В качестве базовых используются криволинейные орто- тропные трехмерные ИПКЭ сирендипова семейства, являющиеся нередуцированными аналогами соответствующих СПКЭ: узлы расположены попарно на “нижней” и “верней” поверхностях и содержат по 3 степени свободы (перемещения в глобальной системе). В отличие от СПКЭ необходимо также точное, нередуцированное численное интегрирование для определения матриц ИПКЭ.
Предусмотрена также модификация матрицы упругости [ ] для моделирования НДС одно- и многослойных средне- и толстостенных пластин и оболочек без учета обжатия.
Семейство ”переходных” трехмерно-оболочечных КЭ (ПКЭ, табл.П.18) сочетает свойства СПКЭ для одних, лежащих на срединной поверхности узлов (нормалей), и ИПКЭ - для других узлов, расположенных на внешних поверхностях. Ввиду множества возможных сочетаний местоположения разнородных узлов семейство ПКЭ насчитывает более 100 элементов. Используются, в основном, не самостоятельно, а для стыковки СПКЭ и ИПКЭ в зонах перехода от плитно-оболочечной к трехмерной аппроксимации.
“Элементы” с заданными матрицами предназначены для моделирования сложных упругих, инерционных и диссипативных связей групп узлов или степеней свободы в одном узле. Такими элементами можно схематизировать свя- зи между подсистемами, а также влияние “отсеченной” части полной системы на рассматриваемый расчетный фрагмент. Предварительный трехмерный расчет отсеченного массива основания на единичные перемещения или нагрузки и формирование матриц влияния может выполняться с использованием ИПКЭ или, в ряде случаев более эффективным методом граничных элементов (МГЭ). Аналогичный прием, как будет показано в п.3.1.4, используется и для моделирования инерционного влияния на систему несжимаемой водной среды.
Формулировка в смешанных неизвестных (Эйлеров подход)
В результате аппроксимации краевых задач по методу конечных элементов получаются соответствующие дискретные задачи. При этом краевые условия, в частности, условия одностороннего контакта и трения формулируются для узловых неизвестных.
Дискретные задачи с трением для линейно-упругих систем и задачи с односторонними граничными условиями для таких систем могут быть сформулированы как задачи оптимизации [98, 117]. Статические односторонние задачи, как правило, сводятся к решению задач квадратичного программирования. Задачи с трением приводят к задачам нелинейного программирования, причем подлежащая минимизации функция энергии может оказаться недифференцируемой, что осложняет решение.
Задачи с краевыми условиями, учитывающими одновременно оба фактора - односторонний контакт и трение, - вообще говоря, нельзя сформулировать в виде классических задач нелинейного программирования [117]. Однако для численного решения таких задач можно предложить следующий эвристический алгоритм. На первом шаге мы предполагаем, что = 0 на Гу, и, решая задачу об одностороннем контакте, получаем нормальную реакцию 5 на Г5. На втором шаге мы решаем задачу с трением для заданной нормальной нагрузки б = б на Г5 и получаем соответствующее значение 5 , которое обозначим бу2). Теперь снова решаем задачу об одностороннем контакте с заданной на Г5 касательной нагрузкой 5Г , и т.д., пока разности б +1) - б и б +1) - б } не станут достаточно малыми.
При решении нестационарных динамических задач с односторонним кон- тактом и трением на каждом шаге неявной схемы прямого интегрирования возникает стационарная дискретная задача с соответствующими условиями. Поэтому все сказанное выше находит применение и при решении задач динамического расчета систем с нелинейностями типа односторонних связей и трения.
Очевидная модификация метода прямого интегрирования (например, метода Ньюмарка) для решения динамических односторонних контактных задач состоит в том, что на каждом шаге по времени решается не система линейных алгебраических уравнений, а соответствующая краевым условиям задача квадратичного программирования. Аналогично, для задач с трением и задач с комбинированными условиями на каждом шаге схемы прямого интегрирования должна решаться соответствующая нелинейная задача. Эффект отражения при ударе, а также трение соприкасающихся поверхностей могут быть учтены с помощью гипотез приближенной теории косого удара [59, 118], рассмотренных в п.4.1.2. При этом момент удара определяется как значение 1к, при котором ограничение- неравенство переходит в равенство. Обычно информация, позволяющая судить о выполнении ограничений, может быть получена как побочный эффект решения задачи квадратичного программирования.
Нелинейные односторонние задачи и задачи трением являются существенно более сложными, чем задачи линейного расчета сооружений. К тому же, как показано в п.4.1, краевые условия одностороннего контакта и контакта с трением бывают весьма разнообразными. Поэтому нельзя рассчитывать на то, что все указанные нелинейные неконсервативные задачи можно решить с помощью одного и того же алгоритма - его выбор существенно зависит от природы задачи.
Решение статических задач с односторонними ограничениями и задач с трением как задач математического программирования Статические задачи с односторонними ограничениями.
В общем случае задача расчета сооружения, представляющего собой линейно-упругую систему с односторонними контактами, методом конечных эле- ментов приводит к следующей задаче квадратичного программирования с дополнительными условиями в виде линейных неравенств: {и}Т[К]{и} - { }т{п} шп;{а.}т {и} = 1 (4.1) Здесь [К] - положительно определенная матрица жесткости, {/Д - вектор узловых нагрузок, {и} - вектор узловых перемещений.
В настоящее время для решения задач квадратичного программирования разработаны надежные алгоритмы и программное обеспечение. Однако большинство этих алгоритмов и программ эффективны только для задач с небольшим числом неизвестных. Во многих практических приложениях, например, при расчете систем “гидросооружение - основание” в трехмерной постановке, возникают односторонние задачи с большим числом неизвестных, численное решение которых с помощью стандартных алгоритмов оптимизации является крайне неэффективным, а зачастую - практически невозможным.
Один из подходов к решению задач квадратичного программирования состоит в замене односторонней задачи на конечную последовательность классических двусторонних задач. При этом появляется возможность использования программно-алгоритмического обеспечения, которое используется в для решения линейных конечноэлементных задач. Принципиальная возможность решения задачи квадратичного программирования за конечное число арифметических действий связана с тем, что минимизация квадратичной функции на линейном многообразии сводится к решению системы линейных уравнений, а число граней многогранника ограничений конечно. Поэтому, последовательно решая задачи на различных гранях многогранника ограничений, можно найти решение задачи. В рамках рассматриваемого подхода возможны различные стратегии организации вычислений, например, вычислительные схемы типа симплекс-метода или алгоритм направленного перебора, основанный на последовательном введении ограничений типа равенств [117].
Другой подход к построению эффективных алгоритмов расчета сооруже- ний с односторонними ограничениями состоит в понижении числа неизвестных, которое может быть проведено исходя из априорной информации о задаче. В п.п.
Пусть на поверхности Г5 имеет место односторонний контакт с трением между двумя упругими телами или между двумя частями одного упругого тела (для простоты изложения начальный зазор полагается равным нулю). При дискретизации по методу конечных элементов введем на поверхности Г5 два слоя попарно совпадающих узлов. Каждый из двух узлов с одинаковыми координатами принадлежит одному из двух контактирующих тел или одному из берегов разреза (трещины). Попарно совпадающие узлы, принадлежащие разным слоям, будем называть контактными парами. После суперэлементного исключения степеней свободы узлов, не участвующих в контакте, на последнем суперэлементном уровне останутся только эти два слоя узлов (рис. 4.1). Пронумеруем сначала все узлы первого слоя, затем соответствующие узлы второго слоя
Приложение динамического метода суперэлементов к решению задач с локальными нелинейностями
Тройник находится под воздействием следующих квазистатических нагрузок: постоянного внутреннего давления р и системы сил и моментов, приложенных к штуцеру и к трубе (по 6 на каждом торце, рис. 6.2). Торцевые нагрузки, обусловленные стесненным деформированием присоединенных трубопроводов от воздействия квазистатических нагрузок и температурного поля, определяются из расчета трубопроводной системы по пространственно-стержневой схеме и удовлетворяют 6-и условиям равновесия. Для трубопроводов энергетических установок, обеспечивающих самокомпенсацию температурных удлинений и, потому, весьма гибких, торцевые перерезывающие силы вносят незначительный вклад в суммарное напряженное состояние и исключаются из рассмотрения. Пространственные перемещения и деформации элементов тройника полагаются упругими и малыми.
Корректный и экономичный подход, предложенный автором в [25], сводит исходную упругую задачу к суперпозиции решений для четверти тройника с использованием свойств циклической симметрии и антисимметрии давления р и 8 групп значимых самоуравновешенных торцевых нагрузок относительно двух плоскостей геометрической симметрии (рис. 6.3). где (а)т - расчетные суммарные нормальные напряжения (продольные а, и попе речные (7т), {т)т - касательные напряжения в точке т-й четверти тройника (т= 1, 2, 3, 4 - соответствует расчетной, 2-й, 3-й и 4-й четвертям); а(к) = , т(к) - те же составляющие для соответствующей точки 1-й четверти (расчетного фрагмента) тройника от действия группы нагрузок Хк = р, 1,...8); знак “/” озна- Рис.6.3. а) тройниковый узел трубопроводной системы, действующие нагрузки на торцы; б) группы нагрузок Хр& 1,—У«; в) расчетные фрагменты; г) моделирование нагрузок. Условия: сь сг, сз, - симметрии; а.\ ,&2 ,аз - антисимметрии чает деление нацело. Предложенный подход является не только наиболее экономичным из возможных, но и, в отличие от более дорогостоящих “консольных” схем [182, 190] - корректным, т.к. рассматривает реально деформируемый тройник без дополнительных предположений о закреплении его торцов. Эта схема обобщается и на тройниковое соединение с двумя плоскостями симметрии, образованное сочленением произвольных оболочек.
Поставлена задача многопараметрического расчетного анализа упругого напряженного состояния ортогональных “сварных” и “штампованных” тройников от раздельного действия давления р и 8-и групп значимых торцевых нагрузок (Х,-ьХ8). Диапазон расчетных значений трех определяющих относительных геометрических параметров (h/d; D/d; hD/Hd) охватывал практически все тройники технологических трубопроводов: от тонкостенных до весьма толстостенных (М7=0,01; 0,02; 0,05; 0,15), от равнопроходных до существенно неравнопроходных (D/d= 1; 1,02; 1,05; 1,3; 2; 4; 8; 16), от равностенных (h=H) до обладающих более толстой стенкой трубы (h/d=0,5H/D), включая равнопрочные по давлению (h/d=H/D). Сгущение расчетных точек в диапазоне 1 D / d 1,3 вызвано значительным изменением уровня и характера распределения напряжений при D/d 1+.
Для “штампованных” тройников, кроме этого, варьировалась величина радиуса сопряжения штуцера и трубы наружной поверхности (Д = 0,5R0, Ro и 2R0, где R0 - 1,1Н), а для тройников с накладками и приливами - геометрические параметры элементов. Введена упрощающая зависимость коэффициентов местных напряжений y[k) = тах( Tz ), Yk = тах( а в ) и у( = тах( Тт ) (в “равноправной” терминологии - a/k), afjk),ajk ) от геометрических параметров yw(h/d, D/d, hD / Hd) = k(k)(hD / Hd) y(k\h / d,D / d) , (6.2) где 7 0k = a 0k)/ar„k; и 2w = a :k /а{к - “окружная” и “продольная” компоненты относительных нормальных напряжений, т{к) = т(к)/а к) - относительные каса- тельные напряжения, аяк - номинальные напряжения (в штуцере для групп X/, Х4, Х5, Х7, в трубе - для остальных) для к-й группы нагрузок (к = р, 1,2,...,8).
Зависимость (6.2), основанная на априорном представлении о влиянии не- равнопрочности и имеющая аналоги для частных случаев нагружения [112], была подтверждена численными экспериментами и позволила существенно сократить общее число расчетов.
Параметры конечноэлементных моделей расчетного фрагмента выбирались, исходя из требований точности определения местных напряжений в зоне стыка (горловины) и адекватного сеточного представления “стержневых” торцевых нагрузок: длины штуцера (1) и трубы (Ь) - 1 2 Л, 2 2Д число слоев криволинейных квадратичных СПКЭ по четверти окружности штуцера - от 5-ьб для Э/с1 2 до 8-ь 12 для И/(1=\, в продольных направлениях штуцера и трубы - от 5-ьб для толстостенных до 8-ь 10 для тонкостенных тройников, размер слоя элементов у линии стыка (горловины) в направлении поперек нее - от 0,14гк в штуцере и 0,1 ЯН в трубе для тонкостенных до 0,4 4гк и о,4 4ян для толстостенных тройников (рис.6.4, 6.5).
В ряде случаев, особенно для моментных нагрузок на штуцер (Х4,Х5), проведено несколько расчетов на последовательно сгущающихся сетках с целью выяснения сходимости результатов. Точность численного решения оценивалась также по следующим критериям: отсутствие сильных скачков (не более 10%) в значениях напряжений на границах смежных элементов; слабая чувствительность результатов к незначительным вариациям геометрии тройника и параметров сетки; независимость результатов от абсолютных размеров тройника при заданных значениях относительных геометрических параметров.
Выявленные закономерности распределения расчетных упругих напряжений в ортогональных тройниках изложены ниже и проиллюстрированы: на рис. 6.6 - 6.14 - для “сварных” тройников, на рис. 6.15-6.23 - для “штампованных”. Характерные компьютерные представления пространственного напряженного состояния от действия 2-х расчетных групп нагрузок показаны на рис. 6.24 - 6.25.
Размер зоны возмущенного моментного напряженного состояния составляет 24 с0г по штуцеру и -24ОН по трубе от линий их пересечения, сопряжения или приварки накладок, что соответствует размеру зоны краевого эффекта по теории тонких оболочек. Вне этой зоны напряжения следуют гипотезам сопротивления материалов для цилиндрических труб и достигают номинальных значений аР.
В равнопроходных и близких к ним тройниках (й/с1 1,1+1,3) напряжения распределены немонотонно не только в направлениях поперек (как у всех тройников), но и вдоль линий стыка и сопряжения четверти тройника для всех групп нагрузок. В неравнопроходных тройниках точки с максимальными компонентами лежат на наружной или внутренней поверхностях в одной из плоскостей геометрической симметрии, за исключением действия крутящих моментов (группы Х7 и Х8), а при 0/ 1 2-г4, И/с1-НЮ - и момента в штуцере в плоскости тройника {Х4). Главные напряжения совпадают с продольными и окружными составляющими сг, и 7а влияние касательных напряжений т существенно только для групп Х7, Х8.
