Введение к работе
Актуальность темы. Свойство Линделёфа является одним из основных обобщений компактности. Введенное в классическом труде [AU], оно к настоящему времени хорошо изучено.
Важность класса линделефовых пространств связана, в частности, и с тем, что он одновременно охватывает класс сепарабельных метрических пространств и класс компактов. Но в отличие от компактности, которая сохраняется любыми произведениями (теорема Тихонова [27], один из фундаментальных результатов общей топологии), и в отличие от сепарабельности и метризуемости, которая сохраняется конечными произведениями, произведение двух линделефовых пространств уже не обязано быть лннделефовым. Классическим примером является "стрелка Зоргенфрея" [SJ. Особое значение поэтому приобретает вопрос об условиях, при которых линделефовость и ее обобщения сохраняются при (хотя бы конечных) произведениях.
Хорошо известно, что произведение линделефова пространства и линделефова локально компактного пространства является лннделефовым. В работах [Fl], [Enl] доказано, что произведение счетного семейства полных по Чеху линделефовых пространств является лннделефовым пространством. В работе [Arl] было введено понятие р-пространства. Класс ^-пространств содержит в себе все метризуемые и все полные по Чеху пространства. Все локально полные по Чеху пространства также являются р-пространствами. Из результатов работы
[AU] Alexandroff P.S., Urysohn P.S., Memoire sur Ies~espaces topologiques compacts. — Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 14 (1929), 1-96.
[T] Тихонов A.H., Uber die topologische Erweiterung von Rdumen, — Math. Ann., 102 (1930), 544-561.
[S] Sorgenfrey R.N., On the topological product of paracompact spaces. —Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 631-632.
[Fl] Fiolik Z., On the topological product of paracompact spaces. — Bull. Acad. Polon. Sci. Ser.Math. 8 (1960), 747-750.
[Enl] Engelking R.,On functions defined on Cartesian products. —Fund. Math. 59 (1966), 221-231.
[Arl] Архангельский А.В., Об одном классе пространств, содержащем все метрические и see локально бикомпактные пространства. — Матем. сб. 67(109):1 (1965), 55-85.
[Arl] вытекает, что свойство Линделефа сохраняется счетными произведениями в классе р-лространств. Однако, как показал Э.Майкл [Мс], произведение сепарабельного метрического пространства и лин-делефова пространства не обязано быть линделефовым пространством. Тем более, произведение линделефова пространства и линделефова р-пространства не обязано быть линделефовым.
Еще один важный подкласс класса линделефовых пространств был выделен в работе [Ng] — это так называемые линделефовы Е-про-странства — непрерывные образы линделефовых р-пространств. Из предыдущего результата и того факта, что линделефовость сохраняется непрерывными отображениями, следует, что произведение счетного семейства линделефовых Е-пространств является линделефовым. В частности, поскольку каждое сг-компактное пространство является линделефовым Е-пространством, то произведение счетного семейства о-компактных пространств является линделефовым.
Наряду со свойством Линделефа, существует ряд других более слабых свойств. Одно из них — слабая линделефовость, введенная в работе [F2]. Первый пример, показывающий, что слабая линделефовость не сохраняется конечными произведениями, был построен с привлечением дополнительных теоретико-множественных предположений в работе [U]. Позднее в работе [Ш] был построен "наивный" пример линделефова пространства, квадрат которого не является слабо линделефовым.
Среди положительных результатов, касающихся произведений слабо линделефовых пространств, отметим следующую теорему [U]: произведение бесконечного семейства пространств является слабо линделефовым тогда и только тогда, когда произведение любого конечного
[Мс] Michael Е., Paracompactness and the Lindelof property in finite and countable Cartesian products. — Сотр. Math. 23 (1971), 199-214.
[Ng] Nagarai 1С, V.-spaces. — Fund. Math. 61 (1969), 169-192.
[F2] Frolik Z., Generalisations of compact and Lindelof spaces. — Czech. Math. Jour. 9 (84) (1959), 172-217.
[U] Ulmer M., Products of weakly-H-compact spases. — Trans. Amer. Math. Soc. 170 (1972), 279-284.
[HJ] Hajnal A., Juhasz I.. On the product of weakly Lindelof spaces. — Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1975), 454-456.
подсемейства этого семейства слабо линделефово.
Отсюда, в частности, вытекает, что хотя произведение несчетного семейства линделефовых р-пространств может не быть линделефовым, оно всегда будет слабо линделефовым.
Как показано в [D], слабая линделефовость сохраняется произведениями в классе Р-пространств (т.е. таких пространств, в которых каждое множество типа G<$ является открытым). Аналогичный результат для счетных произведений линделефовых пространств был установлен в [Nb].
В диссертации доказано, что слабая линделефовость сохраняется произведениями в классе локально полных по Чеху пространств. Вопрос о том, будет ли слабо линделефовым произведение слабо линделефовых р-пространств, остается открытым.
Некоторым усилением слабой лннделефовости является квазилинде-лефовость, введенная в работе [Аг2]. Вопрос о сохранении квазилинде-лефовостн произведениями изучается в 2 главы 1.
В несколько другом направлении обобщает линделефовость еще одно свойство — линейная линделефовость. Несмотря на то, что определение линейной лннделефовости было дано еще в работе [AU] (тогда она называлась финальной компактностью в смысле точек полного накопления), первый пример линейно лннделефова пространства, которое не является линделефовым, был построен лишь спустя десятки лет в работе [М]. Следующий вопрос, поставленный на семинаре П.С. Александрова в начале 1960-х годов до сих пор открыт: существует ли нормальное линейно линделефово не линделефово пространство? Поскольку каждое счетно паракомпактное пространство линейно линделефово пространство является линделефовым [M],[R], контрпример к этому во-
[D] DissanayakeU.N.B., Weakly [m. и]-compact spaces. —Math. Japon. 27:4(1982), 401-408.
[Nb] Noble N.. Products with closed projections, II. — Trans. Amer, Math. Soc. 160 {1071), 169-183.
[Ar2] Архангельский А.В., Одна теорема о мощности. — УМН, 34:4 (208) (1979), 177-178.
[М] Мищенко А.С, О финально компактных пространствах. — Докл. АН СССР, 145 (1962), 1224-1227.
[R] Rutlin М.Б., Some Conjectures. — in: J. van Mill and G.M.Reed, Editors, Open
к этому вопросу явил бы собой особенно удивительный, яркий пример Даукеровского пространства. Не известен также ответ на вопрос А. В. Архангельского: существует ли локально компактное линейно линделефово не линделефово пространство? В недавней работе [АВ] доказано, что каждое локально метризуемое линейно линделефово пространство является линделефовым.
Легко заметить, что линейная линделефовость не сохраняется конечными произведениями — квадрат "стрелки" не является линейно линделефовым. В диссертации доказано, что линейная линделефовость сохраняется счетными произведениями в классе локально полных по Чеху пространств. Стоит отметить, что метод доказательства аналогичной теоремы для линделефовых пространств не работает в случае линейно линделефовых пространств.
Наконец, самым слабым из рассматриваемых здесь свойств типа лннделефовости является о-линделефовость, введенная несколько лет назад А.В. Архангельским и пока слабо изученная. В 2 главы 2 будет доказан ряд теорем, касаюшихся поведения о-лннделефовости при операции произведения.
Цель работы. Работа посвящена изучению ряда свойств, более слабых, чем свойство Линделефа, с точки зрения их сохранения топологическими произведениями.
Методы исследования. В работе используются различные методы и результаты общей теории топологических пространств, теории кардинальных инвариантов.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
1. Построены примеры, показывающие, что произведение квазилинде-лефова пространства и компакта может не быть квазилинделефовым. Указано необходимое условие того, что произведение данного квази-
problems in topology, (1990), 184-193, North-Holland, Amsterdam.
[AB] Arhangel'skii A.V., Buzyakova R.Z., On some properties of linearly Lindelof spaces. —Top. Proc. 23 (1998), 1-11.
линделефова пространства на любой компакт является квазилинделе-фовым.
-
Доказано, что произведение счетного семейства локально полных по Чеху линейно линделефовых пространств является линейно линделефо-вым. Аналогичный результат получен и для инициально компактных пространств.
-
Построен пример линделефова пространства, квадрат которого не является о-линделефовьш. Показано, что о-компактность не сохраняется конечными произведениями. Доказано, что следующие свойства счетно мультипликативны в классе локально полных по Чеху пространств: о-линделефовость, о-компактность, т-псевдокомпактность в смысле точек полного накопления.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в области общей топологии и функционального анализа.
Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по общей топологии им. П. С. Александрова и на семинаре "Общая топология и топологическая алгебра" под руководством профессора А. В. Архангельского и профессора В. И. Малыхина.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав основной части и заключения. Текст диссертации изложен на 52 страницах. Список литературы содержит 31 наименование.
