Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы и постановка задачи 8
1.1 Микроскопическая структура интерфейса 9
1.2 Микроскопические методы расчёта квантовых состояний в полупроводниках 11
1.3 Эмпирический метод сильной связи 15
1.4 Краткие итоги 19
2 Электронные состояния в sp3s* методе сильной связи 20
2.1 Гамильтониан сильной связи в базисе планарных орбиталей 20
2.2 Гамильтониан сильной связи с учётом спин-орбиталыюго взаимодействия 23
2.3 Энергетическая дисперсия с учётом затухающих решений 27
2.4 Метод сшивания объёмных решений 28
2.5 Точный численный расчёт 32
2.6 Краткие итоги 35
3 Оптические переходы на интерфейсе типа II 36
3.2 Межзонный матричный элемент оптического перехода 37
3.3 Латеральная анизотропия гетероперехода ZnSe/BeTe 41
3.3.1 Без учёта спин-орбитального расщепления 43
3.3.2 Расчёт с учётом спин-орбитального расщепления 48
3.4 Латеральная анизотропия гетероперехода InAs/AlSb 53
3.5 Краткие итоги 58
4 Интерфейсные локализованные состояния 59
4.1 Введение (обзор) 59
4.2 Дырочная локализация на интерфейсе InAs/AlSb 60
4.3 Сравнение с обобщённым методом эффективной массы 63
4.4 Фотолюминесценция интерфейсных состояний 67
4.5 Краткие итоги 70
5 Интерфейсный вклад в нечётное по к спиновое расщепление электронных подзон 71
5.1 Снятие спинового вырождения в объёмных нецентросимметричных полупроводниках (обзор) 72
5.2 Метод сильной связи при кх, ку отличных от нуля 74
5.3 Гетероструктуры на основе полупроводников с решёткой цинковой обманки 80
5.4 Гетероструктуры на основе полупроводников с решёткой алмаза . 86
5.4.1 Расчёт в методе сильной связи 87
5.4.2 Описание в рамках метода плавных огибающих 93
5.5 Краткие итоги 101
Заключение 102
- Микроскопические методы расчёта квантовых состояний в полупроводниках
- Энергетическая дисперсия с учётом затухающих решений
- Латеральная анизотропия гетероперехода ZnSe/BeTe
- Сравнение с обобщённым методом эффективной массы
Введение к работе
Современная физика полупроводников — это прежде всего физика полупроводниковых низкоразмерных систем (наноструктур) [1, 2, 3]. В наноструктурах движение свободных носителей заряда ограничено в одном или нескольких направлениях, что приводит к эффектам размерного квантования, кардинально изменяющим энергетические спектры носителей заряда, фононов и других квазичастиц. Перестройка спектра существенным образом отражается на оптических и транспортных свойствах структур, а также приводит к возникновению целого ряда новых физических явлений. Важным преимуществом наноструктур является возмож-ность управления свойствами системы путем изменения геометрических размеров и конфигурации нанообъектов. Благодаря успехам технологии и, прежде всего, метода молекулярно-лучевой эпитаксии появляется возможность конструирования полупроводниковых структур с заданными параметрами и свойствами (так называемая квантово-механическая инженерия). Открываются перспективы для создания приборов электроники, основанных на качественно новых эффектах.
Постоянное развитие технологии стимулирует разработку теоретических подходов к описанию электрических и оптических свойств наногетероструктур. Резкий скачок в вычислительной технике, произошедший в последнее десятилетие прошлого века, не только позволил выполнять за небольшое время вычисления, доступные прежде только суперкомпьютерам, но и выявил недостатки в существующих теоретических методах, используемых для расчёта свойств наногете- роструктур. Более того, оказалось, что существующие методы не описывают ряд эффектов, обнаруженных в последнее время.
Совершенствование методов выращивания наноструктур привело к тому, что стало возможным изучение их физических свойств, обусловленных структурой одиночного идеального интерфейса. Наиболее ярко такие эффекты проявляются при оптических исследованиях структур с квантовыми ямами, прежде всего, систем с гетероинтерфейсами II типа [4]. Так, эксперименты по латеральной оптической анизотропии гетероструктур ZnSe/BeTe показывают, что свойства люминесценции могут целиком определяться симметрией одиночного интерфейса.
Параметры интерфейсов в значительной мере определяют спин-орбитальное расщепление спектра в наноструктурах, которое в последнее время вызвыает повышенный интерес. Пониженная по сравнению с объемными материалами симметрия наноструктур допускает существование спиновых эффектов, которые невозможны в объемных материалах. Эффективный гамильтониан двумерных систем на основе полупроводников с решеткой цинковой обманки содержит линейные по волновому вектору слагаемые, которые отсутствуют в спектре объемных композиционных кристаллов. Такое линейное по волновому вектору спиновое расщепление определяет спиновую динамику в двумерных системах и приводит к качественно новым спин-зависимым эффектам.
В настоящей диссертации разработан метод сильной связи и исследована его применимость для описания ряда физических эффектов, включая гигантскую латеральную оптическую анизотропию гетероструктур II типа, интерфейсные дырочные состояния, локализованные на интерфейсе InAs/AlSb [5]. Также с помощью разработанного метода было исследовано линейное по волновому вектору в плоскости ямы спиновое расщепление электронных состояний в гетероструктурах на основе полупроводников с решёткой цинковой обманки и алмаза [б].
Целью настоящего исследования является изучение с помощью эмпирического метода сильной связи эффектов, вызванных пониженной (по сравнению с объёмным материалом) симметрией полупроводниковых интерфейсов.
Научная новизна работы состоит в решении конкретных задач:
Разработать метод сильной связи, подходящий для описания оптических свойств гетеропереходов II типа.
Изучить латеральную оптическую анизотропию гетероструктур II типа с помощью метода сильной связи.
Проанализировать возможность существования интерфейсных состояний, локализованных на гетеропереходе без общего аниона и катиона.
Рассчитать интерфейсный вклад в спиновое расщепление электронных подзон в квантовых ямах на основе полупроводников с решёткой алмаза и цинковой обманки.
Практическая ценность работы состоит в том, что в ней впервые теоретически изучена латеральная оптическая анизотропия гетероструктур II типа; построена теория дырочных интерфейсных состояний; проведён микроскопический расчёт спинового расщепления электронных подзон в гетероструктурах на основе полупроводников с решёткой алмаза. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными позволил сделать вывод о природе наблюдаемых явлений.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Расчёт межзонных матричных элементов оптических переходов в sp3s* методе сильной связи демонстрирует, в согласии с экспериментом, высокую латеральную оптическую анизотропию гетеропереходов II типа.
Главным параметром сильной связи, влияющим на латеральную оптическую анизотропию гетероструктур II типа, является межатомный матричный элемент Vxy.
Метод сильной связи подтверждает существование дырочных интерфейсных состояний в гетероструктурах II типа.
Спиновое расщепление электронных подзон в квантовых ямах на основе полупроводников с решёткой алмаза осциллирует в зависимости от числа атомных плоскостей в слое квантовой ямы.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, на международной конференции MIOMD (С.-Петербург, 2004), международных симпозиумах "Nanostructures: Physics and Technology" (С.-Петербург, 2001, 2003), Российской конференции по физике полупроводников (Звенигород, 2005).
Публикации. По результатам исследований, составляющих содержание диссертации, опубликовано 10 печатных работ, в т.ч. 5 статей в реферируемых журналах.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Она содержит 115 страниц текста, включая 15 рисунков и 6 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 86 наименований.
Первая глава посвящена обзору литературы и постановке задачи. Качественно проанализировано влияние пониженной по сравнению с объёмным полупроводником симметрии гетероструктур, выращенных в направлении [001]. Также в этой главе обсуждаются различные подходы к данной проблеме.
Во второй главе представлен метод сильной связи для расчёта электронных состояний с нулевым латеральным волновым вектором. Получен гамильтониан сильной связи без учёта и с учётом спин-орбитального расщепления, а также по- лучено выражение для расчёта электронной дисперсии в методе сильной связи. Описаны детали численного расчёта электронных состояний в гетероструктурах.
В третьей главе представлено выражение для межзонного матричного элемента оптического перехода в методе сильной связи. Изучена латеральная анизотропия гетеропереходов ZnSe/BeTe без учёта и с учётом спин-орбиталыюго расщепления. Рассмотрена латеральная оптическая анизотропия в гетеросистеме InAs/AlSb.
Четвертая глава посвящена изучению интерфейсных локализованных состояний в системе InAs/AlSb. Рассмотрена локализация дырок на интерфейсе, полученные результаты сравниваются с обобщённым методом эффективной массы. Рассматриваются особенности фотолюминесценции интерфейсных состояний.
В пятой главе изучается интерфейсный вклад в спиновое расщепление электронных подзон. Проводится симметрийный анализ, из которого следует снятие спинового вырождения в объёмных нецетросимметричных полупроводниках. Метод сильной связи обобщается на состояния с отличным от нуля латеральным волновым вектором. Приводятся результаты расчёта спинового расщепления в зависимости от латерального волнового вектора для полупроводниковых гетеро-структур на основе полупроводников А3В5 и Si.
В Заключении обобщены основные результаты работы.
Формулы и рисунки в диссертации нумеруются по главам, нумерация литературы единая для всего текста.
Микроскопические методы расчёта квантовых состояний в полупроводниках
Хотя макроскопические методы учитывают симметрию объёмных полупроводников, пониженная симметрия гетероструктуры представляет для них проблему. Разработанные для полупроводников с кубической симметрией методы принципиально не могут учесть различия эквивалентных в группе Тд направлений [ПО] и [1Ї0]. Можно учитывать это различие с помощью обобщённых граничных условий [7, 8, 9, 10], однако в таком случае возникает проблема дополнительных параметров, оценить даже порядок величины которых невозможно, и применимость таких подходов в любом случае необходимо доказывать с помощью методов, которые могут учесть пониженную симметрию естественным образом. Таким образом, для расчёта электрических и оптических свойств обусловленных интерфейсами, необходимо использовать микроскопический метод. Попробуем кратко описать основные методы, которые в настоящее время используются для описания электронных состояний в полупроводниках. Стоит отметить, что хотя существующие методы расчёта весьма разнообразны по своему внешнему ви ду, они совпадают в одном: для трёхмерной задачи все они содержат разложение неизвестной функции в ряд по какой-нибудь системе известных функций, например, по плоским волнам (ППВ).
С самого начала стоит разделить методы расчёта электронной структуры на эмпирические и первопринципные (ab initio). Эти методы обычно мало различаются в части собственно расчёта электронных состояний. Однако, в эмпирических методах константы, фигурирующие в расчёте, рассматриваются как параметры и получаются из сравнения результатов расчёта с экспериментально измеренными электронными свойствами. В ab initio подходе эти константы получаются из сложных квантовомеханических расчётов, которые в идеале не используют никакой экспериментальной информации. Типичный алгоритм первопринципного расчёта — это расчёт основного состояния кристалла с использованием метода функционала плотности (DFT — density functional theory) и затем расчёт энергии квазча-стичных возбуждений с использованием так называемого GW подхода, в котором собственно-энергетический оператор Е записывается в виде произведения одноча-стичной функции Грина G и взаимодействия W, ответственного за динамическое экранирование [11]. Такие расчёты исключительно ресурсоёмки, требуют много времени и их точность пока, к сожалению, оставляет желать лучшего. Отметим однако, что для задачи описания электронных свойств гетерострук-тур первопринципные методы избыточны. Нас не интересуют свойства объёмных полупроводников — мы считаем, что все нужные нам факты о зонной структуре объёмных материалов мы можем взять из эксперимента. Поэтому, когда ниже мы будем говорить о методах расчёта, мы неявно полагаем, что для нашей задачи будет использован эмпирический метод и вопрос о выборе констант пока отложим. Метод плоских волн идейно вытекает из приближения слабо связанных электронов и состоит в том, что уравнение Шредингера записывается в базисе, состо ящем из плоских волн. При этом оказывается, что отличны от нуля только матричные элементы гамильтониана на функциях с волновым вектором отличным на вектор обратной решётки. Обычно также используют не плоские волны, а их линейные комбинации, образующие базис неприводимых представлений группы симметрии кристалла. Это также существенно уменьшает количество ненулевых матричных элементов.
Для реальных расчётов чаще всего используется модификация этого метода — метод ортогонализованных плоских волн [12]. Отличие состоит в том, что в качестве базиса используются не плоские волны, а так называемые ортогонализованные плоские волны, т.е. линейная комбинация плоских волн и волновых функций электронов внутренних оболочек, такая, что ортогонализо-ванная плоская волна ортогональна волновым функциям электронов внутренних оболочек, которые считаются известными. Это позволяет исключить быстро осциллирующую часть электронной волновой функции вблизи ядра и неявно учесть взаимодействие валентных электронов с электронами внутренних оболочек. Метод псевдопотенциала [13, 14] появился как развитие, или, если угодно, переформулировка метода ортогонализованных плоских волн. Кристаллический потенциал в этом методе заменяется на эффективный или псевдопотенциал, который вблизи атома ведёт себя плавно в отличие от реального потенциала электрона. Можно выбрать псевдопотенциал так, что вдали от ядра волновая функция в псевдопотенциале будет практически такая же, как в реальной задаче. В методе ортогонализованных плоских волн можно написать псевдопотенциал в явном виде. Метод присоединённых плоских волн [15] родился как попытка совместить достоинства метода плоских волн и метода сильной связи. В этом методе в качестве базиса используются функции, которые получены сшиванием сферической волны вблизи атома и плоской в остальном пространстве. По эффективности этот метод близок к методу ортогонализованных плоских волн. Достоинством метода является его применимость к описанию d-зоп переходных и благородных металлов. Метод сильной связи или метод линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО) состоит в том, что в качестве базиса берутся атомные орбитали [16]. Лёвдин показал, что для корректности постановки задачи необходимо брать не атомные орбитали, а их ортогонализованные линейные комбинации [17].
Строго говоря, базисные функции метода сильной связи, хотя и называются так же, как атомные: s,p,d, и т.д., не имеют смысла волновых функций изолированного атома и обозначения имеют только симметрийный смысл. Немаловажно, что в методе сильной связи можно считать далеко расположенные атомы невзаимодействующими. При этом обычно ограничиваются взаимодействием атомов в первой (метод с учётом ближайших соседей) или второй (с учётом вторых соседей) координационной сфере. к - р метод стоит особняком, поскольку используется в основном как обобщение метода эффективной массы. Электронные состояния в любой точке зоны Бриллюэна записываются в базисе электронных состояний при фиксированном волновом векторе — обычно вблизи минимума зоны проводимости (Г-точка в пря-мозонных или Аг-точка в непрямозонных полупроводниках) или потолка валентной зоны (Г-точка). При этом зависимость электронных состояний и их энергии от волнового вектора рассчитывается по теории возмущений. Идейно метод имеет много общего с методом плоских волн, но используется в основном не для расчётов, которые требуют реалистичного описания электронных состояний всей зоны Бриллюэна, а для задач, в которых изучаются эффекты, обусловленные электронами вблизи дна зоны проводимости и дырками вблизи потолка валентной зоны. Несомненным достоинством этого метода является его относительная простота, позволяющая получить многие результаты аналитически.
Энергетическая дисперсия с учётом затухающих решений
Для того, чтобы получить энергетическую дисперсию электрона, надо, в соответствии с теоремой Блоха подставить в (2.9) коэффициенты сильной связи в виде После подстановки получим систему уравнений на ветора Са и Сс, через которые определяются коэффициенты сильной связи для плоских волн: Эту систему можно переписать в виде где матрицы Uc, Ua определены согласно Для матриц иа с получим, например, в sp методе в базисе (2.6) Таким образом, мы свели задачу о вычислении энергетической дисперсии электрона в методе сильной связи к решению уравнения на собственные значения где матрица D и столбец С определяются выражениями. Для каждого значения волнового вектора к, которое здесь выступает в качестве параметра, решение секулярного уравнения (2.12) даёт значения энергии. При этом собственные вектора уравнения — коэффициенты сильной связи Са, Сс определяют решения — плоские волны с заданной энергией в соответствии с (2.10). Пример расчёта энергетической дисперсии на примере ZnSe и ВеТе с параметрами сильной связи из табл. 3.2 приведён на рис. 2.1. В слоях конечной толщины нужно учитывать решения со всеми, включая комплексные, значениями к, которые удовлетворят уравнению (2.12) для заданного значения энергии Е (всегда вещественна).
В [24] такие решения разделяются на четыре категории комплексной зонной структуры: 1) вещественные значения к, 2) мнимые к, 3) к = (2тг/а0)+ік", к" = Imfc Ф 0 и 4) к = k +ik", к = Rek ф 0, ±2тг/а0, к" ф 0. Для атомов на интерфейсе уравнение (2.9) должно выполняться так же, как и для атомов в сплошном материале. Пусть у нас интерфейс СА (как, например, в случае гетероперехода InAs InSb AlSb или ZnSe ZnTe BeTe) находится между — 1 и 0 атомными плоскостями. На интерфейсе имеем: Коэффициенты сильной связи слева и справа от интерфейса должны удовлетворять дисперсионному уравнению (2.11). В результате решения (2.11) слева от ин терфейса мы получим JV_ значений волнового вектора к- и N+ решений к+ справа. Значение iV7 при j = ± равно 4 в случае, когда в области слева (справа) от интерфейса есть только затухающие решения (с мнимыми или комплексными к) и может быть больше в противном случае (так как возможно распространение волны в двух направлениях, см. рис. 2.2). Рис. 2.2: Сшивание электронных состояний на интерфейсе. Для каждого значения волнового вектора есть соответствующий ему собственный вектор Cj± уравнения (2.11). Коэффициенты сильной связи выражаются через них как где 7 = ± в зависимости от того, слева или справа от интерфейса находится атом, Rjj — неизвестные коэффициенты. В матричной записи это выглядит так: где R — вектор, составленный из Rj, к = (ііад(кі1,к21,...,к у1), Са,с — матрица размерности (4 х JV7), составленная из собственных векторов Cj7 уравнения (2.11) . После подстановки (2.15) в (2.13) получим систему из двух матричных уравнений которую можно представить в виде одного общего матричного уравнения В случае, когда N± 4 определитель матрицы равен нулю для всех значений энергии.
При N± = 4 для существования решения (то есть существования уровня) необходимо и достаточно выполнения условия При этом необходимо помнить, что матрицы А, В сами зависят от энергии через волновой вектор к. Уравнение (2.16) можно использовать для поиска граничных условий на интерфейсе и коэффициента смешивания тяжёлой и лёгкой дырок на интерфейсе при нормальном падении или для расчёта локализованных на идеальном интерфейсе состояний. Такие расчёты нами проводились на начальном этапе работы [25]. Этот метод можно использовать и для расчёта размерно-квантованых состояний. Для этого надо записать решение в виде (2.14) в барьерах и внутри квантовой ямы. Граничные условия (2.13) для левого и правого интерфейсов можно переписать затем в виде нелинейного уравнения, аналогичного (2.16).
Однако, такой поход с неизбежностью приводит к необходимости решать неявно заданное нелинейное уравнение. Структура этого уравнения такова, что большую роль начинают играть "лишние" экспоненциально возрастающие решения в квантовой яме и система становится плохо определённой. Указанный недостаток приводит к невозможности решить уравнение для энергии состояний с требуемой точностью и поэтому в качестве основного расчёта данный метод не применялся.
Латеральная анизотропия гетероперехода ZnSe/BeTe
Для нахождения электронных состояний использовались выражения, полученные в 2.1. Уравнения решались методом, описанным в 2.4. При этом рассматривались не состояния, размерно квантованные в яме, а состояния слева и справа от интерфейса, то есть плоские волны отражённые от интерфейса и распространяющиеся в полубесконечных слоях ZnSe и ВеТе. Вычисление оптической анизотропии производилось по выражениям (3.3), полученным в 3.2. Результаты расчёта степени линейной поляризации вертикальной фотолюминесценции (3.1) в зависимости от параметров сильной связи интерфейсных атомов показаны на рис. 3.1. Заметим, что постоянные решётки ZnSe и ВеТе близки друг к другу, т.е. ZnSe/BeTe — гетеропара с согласованными решётками, но они заметно отличаются от постоянных решётки объёмного полупроводника ZnTe или BeSe. Поэтому в данной работе коэффициенты сильной связи для интерфейсных атомов считаются независимыми параметрами теории. Три зависимости Рцп от интерфейсного коэффициента Vxy, изображённые на верхней панели на рис. 3.1, рассчитаны для интерфейса ZnTe при трёх различных значениях диагональных энергий Ерс = 5, 6 и 7 эВ для атомов Zn на интерфейсе. Остальные параметры для интерфейсных атомов выбирались путём усреднения аналогичных параметров в объёмных материалах, составляющих гетеропару. На нижней панели кривые P\\n(Vxy) рассчитаны для интерфейса BeSe при Ерс — 3, 4 и 5 эВ для атома
Be на интерфейсе и усреднении других интерфейсных параметров сильной связи. Из рис. 3.1 следует основной качественный вывод данной работы: в гетеро-структурах типа II фотолюминесценция может быть сильно поляризована, теория допускает высокие значения Р\т для совершенных интерфейсов без включения в рассмотрение анизотропных локализованных состояний, обусловленных неидеаль-ностыо гетероперехода. Из рис. 3.1 вытекает и второй важный вывод: как правило, плоскость поляризации люминесценции совпадает с плоскостью интерфейсных химических связей, что было предсказано в [4] на основе качественного анализа. Коэффициенты С разложения (1), входящие в выражения (3.3) для матричных элементов и использованные при расчёте кривых на рис. 3.1, находились для периодических гетероструктур с толщинами 75А и 50А слоев ZnSe и ВеТе. В этом случае энергии размерного квантования в состояниях el и hi составляют 39 и 23 мэВ соответственно. Абсолютные значения оптических матричных элементов весьма чувствительны к толщинам слоев, тогда как поляризация Рут мало зависит от энергии квантования электрона и дырки в широком диапазоне толщин. Следует однако иметь ввиду, что здесь мы рассматриваем электронное и дырочное состояния только при кх = ку = 0. Расчёт показал, что, как и предсказывалось в [4], максимальный вклад в Мх вносит пара интерфейсных атомных плоскостей Zn и Те, определяющую роль в сумме (3.3) играют только слагаемые с / = 0, ±1. Зависимость степени поляризации Рут от разрыва валентных зон Vh, на интерфейсе, рассчитанная для интерфейса ZnTe при V y(ZnTe)= 5 эВ и Е с=_г = 5 эВ, показана на рис. 3.2. Смена знака поляризации и достижение ею значения -100% объясняется тем, что с уменьшением разрыва зон зависимость Vf от / становится знакопеременной и при некотором значении Vh « 260 мэВ сумма Yli %х в (3-3) обращается в нуль. Расчёт, результаты которого представлены на рис. 3.1, 3.2, проводился в пренебрежении внутриатомными (внутриузельными) переходами.
В настоящее время не сформировалось однозначного мнения об относительных вкладах внутри- и межатомных переходов в междузонные оптические матричные элементы. В ряде работ [46, 47] учитывались как те, так и другие переходы, но использованные значения внутриатомных матричных элементов оператора импульса превышали аналогичные значения для анион-катионных переходов. В работах [48, 49] вклад межатомных переходов вообще не учитывался. В то же время многие авторы [36, 37, 38, 39] полностью пренебрегали внутриатомными переходами. Для сравнения представляло интерес рассчитать зависимость Pym(Vxy) при учёте толь
Сравнение с обобщённым методом эффективной массы
Для физической интерпретации результатов 4.2 мы воспользовались приближением плавных огибающих и смоделировали интерфейсную локализацию структу рой с одиночной квантовой ямой толщины L, с разрывом зон V и парой 5-функций одной мощности на интерфейсах. Таким образом, предполагается, что потенциальная энергия V(z) для дырок как функция z имеет вид где в(х) ступенчатая функция Хевисайда, начало координат z — 0 выбрано в центре ямы и постоянная решётки а0 введена для того, чтобы получить размерность энергии для фактора U. Здесь и далее мы выбираем а0 = 6.08 А. Очевидно, интерфейсные состояния с є 0 могут существовать, если U положителен и превышает некоторое пороговое значение. Два других параметра модели — это эффективные массы тяжёлых дырок т\ и т в объёмных AlSb и InAs, соответственно. Их значения совпадают с полученными в методе сильной связи. Следует отметить (см. например [10]), что в методе плавных огибающих роль введённого « -потенциала эквивалентна введению дополнительного слагаемого, пропорционального U, в граничные условия для дырочной огибающей ip(z), а именно, Здесь индексы 1 и 2 означает материалы InAs и AlSb, if — df/dz. В соответствии с чётностью потенциальной энергии V(z), функции f{z) обладают определённой чётностью. Для интерфейсных состояний чётные и нечётные решения могут быть записаны в виде Cch(aez) или Csh (aez) внутри ямы и в барьерах, где и С — нормировочный коэффициент. Энергия локализации є удовлетворяет следующему трансцендентному уравнению где г] = (mix/m232 ), /3 = Iva a U jf?.
В частном случае нулевого разрыва зон и равных эффективных масс, уравнения (4.3) приводятся к уравнениям для простой одномерной модели двухатомной молекулы [G1]. Для очень толстых ям th(aeL/2), cth (aeL/2) — 1 и уравнение (4.3) превращается в для дырочных интерфейсных состояний на одиночном гетеропереходе. Для малых значений ехр (—зз/) расщепление между чётными и нечётными состояниями можно оценить как 3 + зэ0 где индекс 0 относится к значениям є, аэ, зэ состояния на одиночном интерфейсе. Мы попробовали аппроксимировать значения энергии локализации, полученные методом сильной связи, выбирая некоторую зависимость U от V и Vxy. Для простоты мы предположили линейную зависимость где Uo,Ci,C2 подгоночные параметры. Это простое предположение оказалось удивительно хорошим. Пунктирными кривыми на рисунках 4.1, 4.2 представлены результаты, полученные в методе плавных огибающих с использованием следующих параметров: UQ = 26.99 эВ, С\ = 33.55, Сг = —6.36. Видно, что этот подход воспроизводит поведение двух нижних дырочных состояний в большом диапазоне V и Vxy. Для V = 0.35 эВ и Vxy = 4 эВ упрощённое экспоненциальное описание выражением (4.4) расщепления между чётными и нечётными состояниями хорошо выполняется в структурах, в которых толщина слоя L превышает 60 А, так что єо 0.015 эВ.
Увеличение Vxy или уменьшение V уменьшает эффективный интерфейсный потенциал и превращает пару интерфейсных дырочных состояний в два нижних размерно-квантованных дырочных состояния с отрицательной є. В некотором диапазоне параметров Vxy и V значения є для чётных и нечётных состояний имеют различные знаки. Это область перехода от интерфейсной локализации к размерному квантованию. В этом случае возможна ситуация, когда в толстой яме интерфейсные состояния отсутствуют, в то время как с уменьшением L возникает чётное, обусловленное наличием интерфейса, состояние с є 0, которое, строго говоря, не локализовано на интерфейсе, а простирается по всему слою AlSb. Другими словами, свойства дырочного состояния в запрещённой зоне гетероструктуры могут зависеть не только от свойств интерфейса, но и от толщины квантовой ямы L. Так как с2І С с\, мы можем заключить, что по сравнению с Vxy разрыв зон V имеет гораздо большее влияние на энергию локализации. С другой стороны, параметр Vxy играет заметно большую роль в поляризационных свойствах краевой вертикальной фотолюминесценции, как будет видно в следующем параграфе. Таким образом, приведённый анализ даёт ясное и однозначное указание на то, что два дырочных состояния с є 0, представленные на рисунках 4.1, 4.2 это смесь состояний, локализованных на левом и правом интерфейсах. Стоит отметить, что похожий на приведённый в данном параграфе анализ
