Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация относится к дифференциальной геометрии точечных соответствий и полей геометрических объектов на многообразиях.
Исследуются Л -параметрические семейства Пп коллинеа-ций 7Ґ: jJ,->^ rt -мерных проективных пространств, отображающих заданную точку /40& Р., в заданную точку а„«/ : Tr(A0)-QC) причем точки До и йр описыьают ib -мерные области.
Теория дифференцируемых отображений многообразий является одним из важных разделов современной дифференциальной геометрии. Наиболее глубоко исследованы точечные отображения пространств Гі] . В работах Чеха f2j , В.В.Рыжкова ft], Ю.В.Павлюченко f3j, М.ВДрагнева [ч], разработана общая теория точечных соответствий проективных пространств. В.Т.Базылев f5J, связал теорию точечных отобранений с теорией сетей и теорией многомерных поверхностей. В.С.Болодурин Гб], изучил геометрию точечных соответствий двух гиперповерхностей различных пространств.
В последнее десятилетие исследовались дифференцируемые отображения пространств с различными образующими элементами. Б.А.Андреев [І],[в] изучил локально-биективные отображения $:Рт-*й((>,*), * Р^ЯШ^-Р^Ы»), где Я&Т) 7 пространство неинцидентных нуль-пар пространства Pn , R\Pi1r)-пространство, образующим элементом которого является неинцидентная пара, состоящая из точки р и гиперквадрики $. . Каждое из отображений V и f порождает два отображения Ч^ и ^ (ч=/Д);
УеЦсРмЧ><(Р)*-Ь(е)*Р,Ъ(Р)=К \(Phl
Для отображений Yq , -j-ц определены понятия, аналогичные понятиям точечных соответствий. Б.А.Андреев установил [9] для точечного отображения V: Ру.^ Рн существование для каждой пары соответствующих точек четырех отображений многообразий гиперквадрик из Рп в Рл , дал им геометрическую характеристику и отметил их связь с характеристическими направлениям отображения у и порожденной этим отображением связностью.
В.В.Махоркин ҐІО] рассмотрел многообразия фигур в произведении Р^ у. л проективных пространств.
В.М.Овчинникоз fllj, изучил дифференцируемое отображение
«
^ многообразия квадратичных элементов [l2~f в точечное проективное пространство i« . Найден основной фундаментальный объект отображения и аналитически выделена охватываемая им система тензоров и квазитензоров.
Однако семейства дифференцируемых отображений многообразий изучены недостаточно. Теория семейств коллинеаций проективных пространств, играющая важную роль в построении геометрических интерпретаций полей геометрических объектов точечных отображений, практически не рассматривалась. Настоящая диссертационная работа восполняет этот пробел.
Целью настоящей работы является инвариантное построение методом Г.Ф.Лаптева продолжений и охватов дифференциальной геометрии (I -параметрических семейств Пп оснащенных коллинеаций 1г: К, -» Рп многомерных проективных пространств, т.е. коллинеаций, каждая из которых отображает заданную точку А,^ Тп в заданную точку й„ Р„ , причем точки А„ и Яь описывают f\ -мерные области з соответствующих проективных пространствах.
Так как оснащенная коллинеация^-' (г*-*Лі является фигурой ранга //= ї\*~ч- !> ft ГіЗІ з прямом ПрОИЗВЄДбНИИ -С* * Р„ проективных пространств, то семейство Пп можно рассматривать как Ц -мерное многообразие фигур ІГ в прямом произведении двух П -мерных проективных пространств.
Методы исследования. Работа выполнена методом внешних форм Картана с использованием инвариантного теоретико-группового метода Г.Ф.Лаптева. Рассмотрения носят локальный характер. Все встречающиеся функции и дифференциальные формы предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми.
Теоретическое и практическое значение. Результаты работы носят теоретический характер. Построение в проективном пространстве инвариантных нормализации, различных ассоциированных геометрических образов с помощью задания семейства невырожденных оснащенных коллинеаций этого пространства на другое проективное пространство одинаковой размерности могут быть использованы при построении обойденных пространств с линейными связнос-тями, многообразий в них, а также для изучения дифференцируемых отображений многообразий фигур с различными образующими элементами.
Материалы могут быть включены в разделы спецкурсов по диф-
ференциальной геометрии по близкой тематике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научного семинара при кафедре высшей алгебры и геометрии Калининградского университета, на ХХП - УХ/ научных конференциях Калининградского университета, на Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" и на научном семинаре при кафедре, геометрии Казанского университета.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [і] - f9J. Статьи написаны без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 97 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, разделенных соответственно на б, б и 10 параграфов, и списка литературы.
