Введение к работе
Актуальность темы.
Важным классом пространств в рациональной гомотопической теории является класс рационально эллиптических пространств. Рационально эллиптические пространства включают некоторые интересные классы многообразий, например, однородные пространства и двойные частные групп Ли. Имеется известная гипотеза Ботта о том, что все многообразия неотрицательной секционной кривизны рационально эллиптичны. Таким образом, представляет интерес задача нахождения легко вычислимых препятствий к рациональной эллиптичности.
Одной из важных задач римановой геометрии является исследование геометрических и топологических свойств римановых пространств неотрицательной и положительной секционной кривизны. Основным источником примеров таких пространств является класс двойных частных групп Ли. Понятие двойного частного является естественным обобщением понятия однородного пространства. Все известные односвязные многообразия положительной секционной кривизны являются двойными частными.
Целями работы являются:
-
Получение верхних оценок на числа Бетти рационально эллиптических пространств.
-
Построение классификации односвязных пятимерных двойных частных групп Ли.
Основные результаты.
1. Указаны точные верхние оценки на числа Бетти рациональ
но эллиптических пространств. Как приложение, дан список всех
возможных наборов чисел Бетти гладких односвязных рациональ
но эллиптических многообразий в размерностях 4, 5 и 6.
2. Дана классификация односвязных пятимерных двойных част
ных групп Ли с точностью до диффеоморфизма. Показано, что
из четырех возможных случаев только один не может быть пред
ставлен в виде однородного пространства.
Методы исследований. Доказательства основываются на использовании методов рациональной теории гомотопий (в частности, теории минимальной модели) и методов теории групп и алгебр Ли, а также на использовании классификационных результатов об односвязных пятимерных многообразиях.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть использованы в дальнейшем для изучения топологии рационально эллиптических пространств и двойных частных групп Ли.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:
на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова,
на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка,
на ГУ международной конференции по математическому моделированию, проходившей летом 2004 г в г. Якутске,
на Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка, проходившей осенью 2004 г. в Новосибирске.
Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [18-20].
Структура диссертации. Диссертация изложена на 52 страницах и состоит из введения и двух глав, каждая из которых разбита на пункты. Библиография содержит 36 наименований.
