Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В диссертации исследуется поведение геодезических на ринановых многообразиях за большие проыезут-ки времени. Результаты диссертации лежат на границе двух бурно развивающихся в последнее время областей математики - ри-мановой геометрии и теории динамических систем. Часть результатов носит более геометрический характер, например, теорема об ограниченном отличии периодической метрики от некоторой нормы или об аппроксимации финслеровой метрики римановыми, другие трудно отнести к одной из этих областей - скажем, оценка среднего значения полей Якоби в теореме 3.1, третьи ближе к теории динамических систем - например, конструкции потоков на сфере с положительной энтропией. Кроме того, в диссертации поставлен ряд вопросов, намечающих новое направление исследований - изучение глобальной геометрии периодически-возмущенной метрики.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ заклвчается в исследовании поведения геодезических на римановых многообразиях за большие промежутки времени.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации сочетается геометрический и динамический подходы. Доказательства опираются на элементарную риманову геометрию и основные факты эргодическои теории. В этом смысле работа сравнительно замкнута, В главе I используется нетрадиционный подход к гиперболическим системам с использованием неинвариантных разбиений} доказательство теоремы I главы 3 является некоторым развитием этого подхода.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе проведено исследование геометрии периодически-возмущенного евклидова пространства и пространства Лобачевского, показано, что в евклидовом случае периодическая метрика равномерно аппроксимируется некоторой нормой и доказано, что аналогичный результат неверен в гиперболическом случае. Получены результаты о поведении геодезических, выявляющие существенные различия между размерностями 2 и 3. С помощью развитой техники получен ряд чисто геометрических результатов, таких как аппроксимации финслеровых метрик римано-
- Ч -
выми. Кроме того, получены новые примеры геодезических потоков и формулы для метрической энтропии, а также неравенство для среднего значения полей ЯкоОи, имеющее характер оценки для топологической энтропии.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение при дальнейшем исследовании геометрии геодезических, в численных экспериментах для динамических систем и других смежных областей.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинаре в Москве (руководитель проф.Я.Г.Синай), на геометрическом семинаре в Ленинграде (руководитель проф.Ю.Д.Бураго), на ленинградском семинаре по теории представлений (руководитель проф.А.М.Вершик) и на конференции" f/^«r^ &с ЯгАеі/.оак. cf Tiina саС Syst<"4s" в Париже в феврале-марте 1990г.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
ОБ'іЕИ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация изложена на 6 ^ страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Библиография содержит /5" названий работ.
