Содержание к диссертации
Введение
1. Аксиоматический подход к построению теории обыкновен ных дифференциальных уравнений 10
2. Метод Лерэ — Шаудера и сдвиг вдоль траекторий 19
3. Новый вариант метода сдвига вдоль траекторий 20
4. Аппроксимативные производные и интеграл Данжуа 22
ГЛАВА 1. Задача Дирихле 25
1. Существование решения 25
2. Об ацикличности множества решений задачи Дирихле 38
ГЛАВА 2. Периодические решения 41
1. Дифференциальное включение первого порядка 41
2. Дифференциальное включение второго порядка 49
ГЛАВА 3. Задача с нелинейными условиями 55
1. Дифференциальное включение первого порядка 55
2. Дифференциальное включение второго порядка 61
Список литературы
- Новый вариант метода сдвига вдоль траекторий
- Об ацикличности множества решений задачи Дирихле
- Дифференциальное включение второго порядка
- Дифференциальное включение второго порядка
Введение к работе
Введение
Диссертация подготовлена на кафедре общей топологии и геометрии Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. В работе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных включений с разрывной правой частью.
Методы исследования. Работа опирается на исследования в теории задачи Коши и топологического строения пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, а также в теории гомологии. Для исследования геометрии пространств решений дифференциальных уравнений и включений в работе используются методы топологии и функционального анализа.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
Сформулирован принцип продолжения по параметру для нового варианта метода сдвига вдоль траекторий обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий доказывать существование решений краевых задач для уравнений и включений с разрывной правой частью.
Доказаны теоремы о существовании решения задачи Дирихле, периодического решения и решений некоторого класса задач с нелинейными краевыми условиями для дифференциальных уравнений и включений с разрывной правой частью. Доказанные теоремы обобщают известные результаты классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и носят характер законченных результатов.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическая и практическая ценность. В диссертации доказаны результаты, распространяющие известные теоремы существования решений краевых задач классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений на дифференциальные уравнения и включения с разрывной правой частью. Проделанная работа представляет собой определенный шаг в построении достаточно полной теории уравнений с разрывной правой частью.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на семинаре им. П.С. Александрова (научно-исследовательском семинаре по общей топологии) мехаиико-математического факультета МГУ (неоднократно).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[3].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 70 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 41 наименование.
Актуальность темы. Становление и развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью можно связать с именами ведущих зарубежных и отечественных математиков, таких как К. Каратеодори, Дж.Л. Дэви, А.Ф. Филиппов. Актуальность исследований в данной области была продиктована большим количеством задач в теории оптимального управления, приводящих к дифференциальным уравнениям с разрывами в правой части. К таким задачам приводит рассмотрение систем с переменной структурой, со скользящими режимами, задач автоматического управления с переключателями и др., см. [8], [9], [14].
Впервые теория обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью построена К. Каратеодори, см. [31]. Записав интегральное уравнение
(0.1) x(t) = x(t0)+ / g(s,x{s))ds,
ВВЕДЕНИЕ
равносильное дифференциальному уравнению х' = g(t,x), Каратеодори сформулировал условия, при которых функция g(s,x(s)) интегрируема по Лебегу, известные теперь как условия Каратеодори. В этом случае формула 0.1) определяет решение задачи Коши x(to) = х$ для дифференциального уравнения х' = g(t,x). А.Ф. Филиппов в работах [12]-[16] рассматривает различные вопросы качественной теории дифференциальных уравнений Каратеодори: зависимость решений от начальных условий и от правой части уравнения, единственность решения задачи Коши, устойчивость решений, исследование особых точек, лежащих на линиях разрыва правой части. В настоящее время можно говорить о наличии содержательной теории для уравнений Каратеодори. Вместе с тем, для уравнений, правая часть которых не удовлетворяет условиям Каратеодори, до последнего времени было известно лишь большое количество разрозненных результатов.
В последние годы мы наблюдаем значительный прогресс в области обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, связанный с работами В.В. Филиппова. Успех построенной В.В. Филипповым теории во многом связан с использованием аксиоматического подхода. Истоки этой идеи можно отыскать в работе [41] польского математика С.К. Зарембы, а также в позднейших публикациях. В работах В.В. Филиппова идея аксиоматического подхода получила опору в виде теории задачи Коши, в рамках которой были разработаны средства проверки основных свойств пространств решений, опираясь на свойства правой части дифференциального уравнения (включения) либо на геометрические и топологические свойства пространств решений.
Во второй половине прошедшего столетия большое количество публикаций, см. список литературы в [14], было посвящено доказательству того, что отдельные результаты классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений сохраняют силу для уравнений с теми или иными особенностями в правой части, не позволяющими применить к этим уравнениям теорию Каратеодори. В рамках подхода В.В. Филиппова проверка основных свойств пространств решений позволяет пере-
ВВЕДЕНИЕ
нести на интересующий нас класс дифференциальных уравнений или включений сразу широкий спектр результатов. Среди таких фактов следует упомянуть условия единственности нулевого решения и условия, при которых решение неограниченно продолжается во времени.
Для построенной В.В. Филипповым теории оказалось несущественным требование единственности решения задачи Коши. Это наблюдение позволило упростить формулировки отдельных теорем в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также распространить построенную теорию на дифференциальные включения. Кроме того, понимание несущественности отдельных условий, с которыми привыкли работать специалисты в области обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью, позволяет строить теорию, применимую к дифференциальным уравнениям со сложными разрывами в правой части, такими, что зачастую подходы к уравнениям такого типа просто не рассматривались другими теориями.
Читатель может ознакомиться с основами аксиоматического подхода к построению теории обыкновенных дифференциальных уравнений, прочитав 1 введения.
Теория краевых задач занимает одно из центральных мест в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ее развитие в рамках классического подхода можно связать с такими известными именами, как Ж. Лиувилль, Э. Пикар, А. Пуанкаре, С.Н. Берн-штейн, Ф. Хартман, М. Нагумо, М.А. Красносельский. Для доказательства существования решения краевых задач может быть использован метод сдвига вдоль траекторий, известный также как метод Пуанкаре -Андронова. В 2 введения мы коротко изложим основы этого метода и сравним его с методом Лерэ - Шаудера, который в настоящее время широко используется для получения результатов в этой области.
После этого, в 3 введения, мы перейдем к изложению нового варианта метода сдвига вдоль траекторий, обладающего более широкими возможностями, чем классический метод сдвига.
ВВЕДЕНИЕ
Развиваемая теория краевых задач допускает работу с решениями дифференциальных уравнений и включений в смысле аппроксимативной дифференцируемости. В 4 введения коротко излагаются основы соответствующей теории. Дополнительные ограничения на правую часть уравнения (например, условия Каратеодори - Дэви) приводят к тому, что построенное решение оказывается дифференцируемым почти всюду в обычном смысле, то есть является решением рассматриваемого дифференциального уравнения в смысле Каратеодори, см. обсуждение различных определений решения обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью в 4 главы 2 книги [14] А.Ф. Филиппова. При этом для такого решения в узком смысле мы получаем выполнение всех свойств, которыми обладают решения в смысле аппроксимативной дифференцируемости: непрерывности зависимости решения задачи Копій от начальных данных, от параметров правой части и прочие.
Содержание работы. Основной целью настоящей работы является перенесение некоторых известных теорем существования решений краевых задач для уравнений с непрерывной правой частью на класс уравнений и включений со сложными разрывами в правой части.
Содержание 1-4 введения коротко описано выше. Тем самым мы вводим терминологию и подготавливаем необходимый аппарат для изложения результатов диссертации.
В главе 1 рассматривается задача Дирихле для векторного дифференциального включения второго порядка. Предварительно мы формулируем и доказываем вариант принципа продолжения по параметру, подходящий для доказательства теорем существования решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и включений с разрывной правой частью. С помощью этого принципа устанавливаются результаты о существовании решения задачи Дирихле для дифференциального включения с достаточно слабыми ограничениями на правую часть. В частности, мы можем отказаться от требований полунепрерывности сверху и компактнозначности правой части, хотя выполнение этих
ВВЕДЕНИЕ
требований, как правило, облегчает проверку основных требований аксиоматического подхода, см. в 1 введения условия (1), (2), (с), (е) и (Н). Дифференциальные уравнения, для которых не выполняются условия Каратеодори, но установленные нами результаты применимы, рассмотрены в примерах 1.1 и 1.2.
Также в первой главе можно найти ряд вспомогательных результатов. Один из них касается вычисления степени сдвига для дифференциальных уравнений простого вида. Другой результат устанавливает связь между наличием априорной оценки для производных и существованием решений специального вида. Таким образом, предлагается метод установления априорной оценки для производных, альтернативный известным условиям БернштеЙна - Нагумо. Рассмотренный в главе 1 пример 1.3 доказывает плодотворность такого подхода. Мы обсуждаем также связи полученных нами результатов с известными результатами для дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью.
Заканчивая рассмотрение задачи Дирихле, мы приводим пример отсутствия свойства ацикличности множества решений задачи Дирихле для пространства решений, удовлетворяющего условиям (с), (е) и (h).
В главе 2 излагаются несколько результатов, касающихся существования периодических решений для векторных дифференциальных включений первого и второго порядка. Аналогичные утверждения для обыкновенных дифференциальных уравнений с правой частью, удовлетворяющей условиям Каратеодори, содержатся в работах [37] и [39]. Используемый нами подход, как показывают примеры 2.1, 2.2, 2.4, позволяет рассматривать более сложные дифференциальные уравнения и включения, например, уравнения с разрывами «типа Каратеодори» по пространственным переменным.
Новый вариант метода сдвига вдоль траекторий
Предложенный В.В. Филипповым новый вариант метода сдвига вдоль траекторий предполагает возможность непосредственного вычисления степени сдвига, без перехода к интегральным операторам. Основная идея метода состоит в-сопоставлении сдвига не начальным данным, а решению рассматриваемого уравнения или включения, определенному на всем временном отрезке [0;Г]. Таким образом, вопрос о существовании решения краевой задачи сводится к вопросу о существовании решения уравнения f[z) = 0 для непрерывного отображения / некоторого подмножества Я пространства C([0;T],Rn) в Жп.
Предположим, удается выделить некоторое ограниченное открытое множество G и содержащий его компакт Я в пространстве С([0;Т],Жп), такие что во множестве H\G нет решений уравнения f(z) = 0 («априорная оценка»). Тогда на компакте Я \ G определено отображение / : Н \G — 5П_Ї в (п — 1)-мерную сферу по формуле f(z) = f(z)/\f{z)\ (гауссово сферическое отображение), порождающее гомоморфизм групп гомологии /„ : Я„„і(Я \ G; Q) -) Я„_і(5п-1; Q) = Q (случай п = 1 рассматривается отдельно). Если уравнение f(z) — 0 не имеет решений на множестве G, то отображение / продолжается до непрерывного отобра-жения F : Я — 5"-1 (по формуле для /). В этом случае гомоморфизм / является нулевым, или, что то же, нулевой является композиция / д граничного гомоморфизма д : Нп(Я, H\G;Q) —» Яп_і(Я\G; Q) и гомо-морфизма / . Таким образом, если гомоморфизм / д является ненулевым, то уравнение f(z) = 0 имеет решение, принадлежащее множеству G, см. [19].
Обычно ограничиваются рассмотрением случая G = (Я), а компакт Я выбирают таким образом, чтобы из уравнения f(z) — 0 следовало, что z (Я). Однако следует заметить, что отличие от нуля гомоморфизма / д не является необходимым условием существования решения уравнения f{z) = 0.
Итак, предположим, что G - открытое множество, лежащее в компакте Я, и вне множества G нет решений уравнения f(z) = 0.
Пусть Яі - замкнутый шар пространства Жп, содержащий Я, и G\ (Яі). Тогда определен гомоморфизм JHUGV,H,G Gi;Q) - Нп(Н,Н \ G;Q) (его существование следует из теоремы о вырезании, см. [19]). Но Яп(Яі, Hi \ G\\ Q) = Q, таким образом, построен гомоморфизм } я,А;Я,с = OH,G : Q - Йп(НуН \G;Q). В [19] показано, что он не зависит от выбора шара Hi (Hi D Н). Рассмотрим композицию h = / д oj{fG : Q — Q. Гомоморфизм h : Q — Q однозначно определяется образом единицы группы Q, который называется степенью отображения / множества H\G и обозначается символом deg(/,Я,G;Q), или, коротко, deg(/, Н, G). В случае G {Н) степень отображения / границы компакта Н записывают также в виде deg(/, дН), и в этом случае при-веденное определение равносильно данному в [4]. Если гомоморфизм h является ненулевым, то тем более отличен от нуля и гомоморфизм ft . Следовательно, достаточным условием существования решения уравнения f(z) = 0 при выполнении условий (0.7) является отличие от нуля степени deg(/, Я, G).
В данной работе, пользуясь развитым В.В. Филипповым в [18], [19], [22], [23], [29] аппаратом теории гомологии, мы формулируем удобный нам вариант принципа продолжения по параметру и с его помощью доказываем ряд теорем о существовании решений различных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и включений первого и второго порядков.
Введем необходимые понятия на примере обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (0.8) x = g(t,x), где g : U —» Жп. Пусть далее Е обозначает измеримое подмножество отрезка [0;Т]. Подробнее вводимые сейчас понятия рассмотрены в [7, гл.7] и [26, гл. IV].
Определение. Функция х : Е — Ш" называется обобщенно абсолютно непрерывной на множестве Е, если она непрерывна на множестве Е и множество Е мооїсно представить в виде объединения не более чем счетного семейства множеств Ей, на каждом из которых функция х абсолютно непрерывна.
Определение. Функция х \ Е —ї Rn имеет в точке to аппроксимативную производную х (to), если существует такое измеримое множество М С Е, для которого to является точкой плотности, что функция х дифференцируема в точке to по множеству М, и по определению x ap(to) = x M(to).
Введенное определение корректно, то есть не зависит от выбора измеримого множества М, см. лемму 4.8.1 в [26]. Связь между данными двумя понятиями устанавливает следствие из теоремы Данжуа - Хинчина об аппроксимативной дифференцируемости измеримой функции обобщенной ограниченной вариации, см. теорему 7.4.3 в [7]: "Утверждение. Всякая обобщенно абсолютно непрерывная функция на измеримом мнооїсестве Е аппроксимативно дифференцируема почти во всех точках t Є Е.
Об ацикличности множества решений задачи Дирихле
Предположим, что при А — 0 пространства решений включений (1.13) сходятся к пространству ZQ решений некоторого включения х Є Хх(,,у), у Xy{t,x,y), принадлежащему классу R U). Пусть, кроме того, либо пространство ZQ не содержит функций z {%,у), таких что x(t) = 0, 1ш1(_к5ир7Г(г) \y(t)\ со, либо пространство Z$ не содержит функций z = (х,у), таких что x(t) = 0, lim f ) \y{t)\ — о- Тогда пространство Z решений включения (1.2) удовлетворяет соответствующему условию (1-6).
Доказательство. Предположим противное, то есть что найдется функция z = (х,у) Є Z+ U Z , для которой соответствующее условие (1.6) не имеет места. Без ущерба для общности можно ограничиться рассмотрением случая z Z+. Поскольку Hm supj,- ) х(2) существует (по лемме 5.6.1 из [26]) и конечен, найдутся to Є ir(z) и MQ 0, такие что supfe(o;sup7r(2)) \x(t)\ MQ. Тогда после замены переменных х = х/Х, у = у/Х и предельного перехода при А — 0 получим функцию z = (х,у) Є ZQ, определенную на полуинтервале [to;sup7r(z)), такую что x(t) = 0, Hmt_ supjr(5) \y(t)\ = со. Однако по условию таких функций быть не может. Полученное противоречие показывает, что условия (1.6) выполнены.
Пример 1.3. Рассмотрим (с обычными оговорками насчет значения правой части там, где выписанное ниже выражение не имеет смысла) дифференциальное уравнение „ х х = t2 + \x\ + \xf\2 Замена переменных, указанная в замечании 1.3, приводит к семейству уравнений х»= ХЧ ХЧ2 + \х\2 + \х \2 Обозначим пространства их решений через Z\. Рассуждения из примера 1.1 показывают, что Z\ Є Rceh{U) при любом Л Є [0; 1]. При Xj = 1/j -4- 0 последовательность ш пространств Z\ сходится в U к пространству ZQ решений уравнения х" — 0. Действительно, функции g\{t,x,y) = А2 х А2 2+ Р + у2 непрерывны всюду в U, кроме множества Е — {(0,0,0)}, при любом А. Согласно следствию теоремы 6.3.1 в [26], ш Є s(U). По теоремам 6.4.3 и 6.4.4 из [26] множество Е Ф-тонко для Ф = CS(U). В силу теоремы 6.5.4 в [26] последовательность ш сходится в U к пространству ZQ. Пространство ZQ принадлежит классу Rce(U) и не содержит «вертикальных» фазовых кривых. Согласно теореме 1.2 и замечанию 1.3, задача Дирихле 1.3) для исходного уравнения разрешима при любых щ v М".
В данном примере аналог условия Бернштейна из замечания 1.1 для рассмотренного уравнения не выполнен. Действительно, из условия Бернштейна следовала бы ограниченность правой части при у —У 0 и t, х лежащих в компактном подмножестве R2n, что не имеет места.
Проанализируем связи полученных результатов с известными результатами для уравнений с непрерывными правыми частями. Как следствие теоремы 1.2 и замечания 1.1, для уравнения с непрерывной правой частью получаем теорему 6.4 из [37]:
Теорема 1.3. Пусть функция д : U Еп непрерывна; u,v Є W1, А и {x,g(t,x,y)} 0 для любых t Є [0;Т], х,у Є Ж1 : \х\ Л, (х,у} = 0. Пусть уравнение (1.14) x" = g(t,x,x ) с помощью подходящей замены координат может быть переписано в виде \x { = gx(t,x,x ), хп — 7п(л; х,х) таким образом, что для г = 1,..., п найдутся такие неотрицательные функции С(,:с,у1,... ,уі-\), Di(t,x,yi,... ,УІ-І), ограниченные на компактных подмнооїсествах пространства [0;T]xRnxRz_1, что выполнены неравенства \gi(t, х, у)\ d(t, х,уъ..., y{-i) yf + A {t, х, уи ..., уі-Х) при всех t Є [0;Х], х є Шп, у Є Шп. Тогда задача (1.14),(1.3) имеет решение.
Доказательство. Рассмотрим семейство дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями х" = g(t,x,x ) + єх, где є 6 (0; 1). Для них в условии (1.5) имеет место строгое неравенство. Таким образом, с учетом замечания 1.1, для них применима теорема 1.2. При j = 1/j — 0 последовательность пространств решений Zj «возмущенных» уравнений сходится к пространству решений уравнения (1.14), и последовательность решений задачи (1-3) из пространств ZEj равномерно ограничена, см. выше пример 1.2. Следовательно, из нее можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к решению задачи (1.3), удовлетворяющему уравнению (1.14).
Дифференциальное включение второго порядка
Для доказательства существования решения задачи (2.11) для дифференциального включения (2.10) также оказывается возможным воспользоваться теоремой 1.1.
Теорема 2.3. Пусть пространство Z решений нормальной формы дифференциального включения (2.10) принадлежит классу RCeh{U)- Пусть функция g ограничена на компактных подмнооюествах пространства RxRn; А 0 и (2.12) liminf (x,g{t,x)} 0 при всех г Є [0;Г] и Є Ж"; удовлетворяющих условию А. Тогда задача (2.10),(2.11) имеет решение.
Доказательство. Рассмотрим в качестве пространства X пространство решений нормальной формы дифференциального уравнения х" = а х + х. Для а 0, Ь Т определим при А Є (а; Ь) пространства Z\ формулой Z\ = Z д X, как это сделано выше в доказательстве теоремы 2.1, и воспользуемся принципом продолжения по параметру.
Для этого возьмем произвольно Л Є [0; Т] и функцию z = (х, х ) Є Z\, такую что z(0) = z(T) и докажем, что существуют такие постоянные MQ,MI 0, не зависящие от функции z% что справедливы неравенства \\х\\ = max \x(i)\ Mo, (2.13) Т] \\х \\ = max \x (t)\ Mv Функция x Є Z\ удовлетворяет дифференциальному включению (2.14) x"eax, + gx{t,x), где (± \9{t,x) при і Є (а; А), gx{t, х) = [{ж} при і Є [Л; 6).
Докажем, что первое из неравенств (2.13) выполняется для MQ = А. Предположим противное, пусть максимум модуля функции х достигается в точке t0 [0; Т] и \x(t0)\ А В силу периодичности функций х и х справедливо равенство (x(to),x (to)) = 0, даже если to находится на границе отрезка [0;Т]. Поскольку функция х удовлетворяет почти всюду на [0;Т] дифференциальному включению (2.14), при почти всех t Є [0;Т] выполнено включение {x(t),x"{t)) a(x(t\x\t)) + {x{t),gx{ttx{t))).
Далее, так как скалярное произведение (x(t),x (t)) обращается в ноль в точке to, а функция дх удовлетворяет неравенству (2.12), то почти всюду в некоторой окрестности точки to скалярное произведение (x(t),x"(t)) положительно, что противоречит тому, что в точке to функция \х\ имеет локальный максимум. Следовательно, ж(о)! - --Далее, имеют место неравенства \x"{t)\2 a(x {t),x"(t)) + G\x"{t)\ при почти всех t Є [0;А], при этом G = supt[Q.T] Mo \g{t,x)\ оо, а также \x"{t)\2 a (x (t), x"{t)) + Mo \x"(t)\ при почти всех t Є [А; Т]. Интегрируя данные неравенства, заметим, что интеграл по отрезку [0;Т] первого слагаемого в правой части обоих неравенств равен нулю, поскольку х (Т) = х (0). Используя неравенство Копій - Буняковского, получаем оценку рТ / рТ \ I/2 / гТ \ 1/2 / \x"{t)\2dt G ( / \x"(t)\2dt) +MQ( \x"{t)\2dt\ . Следовательно, f \x"(t)\2dt (G + M0)2. Для любых t\,ti Є [0;Г] f x"{t)dt = x\t2)-x (t{). С другой стороны, снова используя неравенство Коши - Буняковского, имеем (2.15) j2x"(t)dt \і2-к\ 2(Г\х"{і) і\ T G + MQ).
Для периодической функции х по теореме о среднем 0 принадлежит замкнутой выпуклой оболочке cc{x (t) : t Є [0;Т]}. Следовательно, для произвольного t Є [0;Т] имеет место неравенство \х {і)\ Т1/2 (G + MQ) = Mi. Действительно, предположим противное, то есть что найдется такая точка у о во множестве Y = {xf (t) : і Є [0; X]}, что уо Л і Но тогда, в силу неравенства (2.15), множество Y целиком лежит по одну сторону от гиперплоскости в Мп, проходящей через начало координат и ортогональной вектору уа, что противоречит включению 0 Є ее У. Второе из неравенств (2.13) также обосновано.
Отображение сдвига для задачи (2.11) задается формулой f(z) = (х(Т) — х(0),х!{Т) — х (0)), где z = (х,х!). Посчитаем степень такого отображения для пространства решений дифференциального уравнения х" — о х + х. Его решения задаются формулой x(t) — Лехр(Аіі) + 5ехр(А2 ), где (корни характеристического уравнения). Отождествляя каждое максимально продолженное вправо решение z = (х}х ) Є Х+, начинающееся в точке t = 0, с парой n-мерных векторов Л и В, получаем для отображения сдвига Ф : Ш2п - R2n явную формулу Ф(Д В) = (Л(ехр(Ах Т) -1) + В(ехр(А2Т) - 1), ЛАі(ехр(АіГ) - 1) + ВА2(ехр(А2Г) - 1)). Это отображение линейное, и его степень равна ±1, в соответствии со знаком определителя матрицы см. [4]. Для вычисления определителя выполним элементарные преобразования: при і = 1,..., п к (п + г)-й строке прибавим г -ю, умноженную на —Аі, - получим матрицу с блоком нулей. Теперь ясно, что искомый определитель равен (exp(Ai Т) — 1)" (ехр(А2 Т) — l)n (А2 — Ai)n. Поскольку Ai 0, а А2 0, искомая степень сдвига равна (—1)п и тем самым отлична от нуля. По теореме 1.1 существует периодическое решение включения (2.10) периода Т. Теорема доказана. Пример 2.4. Рассмотрим дифференциальное уравнение // 2 X = X COS i2 + х\ + с0 при произвольном со Є Еп, считая правую часть равной со при і = 0, х = 0 и любом х Є Rn. Положим Е = {0} X {0} X К" С U. Так как правая часть уравнения непрерывна на множестве U \Е, пространство Z его решений принадлежит классу Rceh{U \ Е).
Дифференциальное включение второго порядка
Доказательство. Ранее мы неоднократно указывали, что конструкция подклеивания пространств класса RCeh{U) обеспечивает выполнение условия Z\ Є Rceh(U) при всех Л Є (щЬ) и непрерывность отображения С : (а; Ь) - RcehiJJ)i заданного формулой (Л) = Z\. Положим W = {z = (х,у) Є C([0;T],RnxRn) : х М, \\у\\ N} и рассмотрим отображение / : [W] -У R2n, заданное формулой /(г) = h(x(0),x(T),y(0),y(T)). По условию /(г) -ф- О для всех z Є дїУ и степень отображения fa множества ZoDdW, совпадающая со степенью сдвига как функции начальных данных Ф(гг, v) = h(u,u + Tv,v,v), отлична от нуля. По теореме 1.1 существует функция z Є Z? П ТУ, такая что /( г) = 0. Предложение доказано.
Используя для получения априорной оценки (3.4) условия на функцию д, аналогичные рассмотренным в [35], получаем обобщение следствия 4.1 из [35]:
Теорема 3.2. Пусть пространство Z решений дифференциального включения (3.7) принадлежит классу Rceh(U). Пусть существует постоянная А 0; такая что при всех г [0;Т]; , 77 Rn, удовлетворяющих условиям = Л u {, f?) = 0, справедливо неравенство (3.13) liminf ({, ?( , re, у) + Ы2) 0 Пусть существует непрерывная неубывающая функция ф : [0; +оо) —У [0;+оо), удовлетворяющая условиям (3.9), (3.11) и (3.12). Пусть для всехщ,ит Мп; удовлетворяющих условию \UQ + \UT\2 A2, UVQ,VT R, удовлетворяющих условиям \VQ\ N + є, \VT\ N -\- є, где є 0, а постоянная N = N(A) определена в лемме 3.1, выполнено условие (3.14) ((ио,иТ),}і(щ,ит,Уо,Ут)} 0. Тогда задача (3.7), (3.8) имеет решение.
Доказательство. Пусть X - пространство решений уравнения х" — 0, а 0, 6 Т и Z\ = Z д X при А (а; 6). Возьмем произвольно А [0; X] и функцию х Є л; такую что h(x(Q), х(Т)) = 0. Докажем, что существуют такие постоянные М, N 0, не зависящие от функции х, что справедливы неравенства (3.3) и (3.10).
Рассмотрим скалярную функцию cr(t) = j&()2. Из условия (3.13) следует, что o f (t) 0 почти всюду в некоторой окрестности любой точки т [0;А), такой что а (т) = 0 и ж(т) Л. Если же г [А;Т], то функция х постоянна на отрезке [т;Т]. Отсюда можно сделать вывод, что если функция х удовлетворяет условию ]ж Л, то максимум ее модуля обязательно достигается в одном из концов отрезка [0;Т].
Отметим, что при заданных а, с и функции ф зависимость N = N(M) можно сделать непрерывной, см. явную формулу для N в доказательстве леммы 12.5.2 в [30]. Рассмотрим М Л, такое что N(M) N -f е. Возьмем любую функцию z = (х,у) 6 Z\ при некотором А Є [а; Ь], удовлетворяющую условию jx = М. По лемме 3.1 имеем \\у\\ N(M) N -f є. Тогда, в силу условия (ЗЛ4), ((x(0),x(T)),h(x(Q),x(T),y(0),y(T))} 0, что противоречит выполнению равенства (3.8). Итак, мы доказали, что при выбранном нами значении М для всех х Є Z\ и А Є (0;Т], удовлетворяющих краевым условиям (3.8), справедливы условие (3.3) и неравенство (3.10).
Для вычисления степени отображения /о рассмотрим отображение h% : Ж2п - R2n, заданное формулой h2(uQ,VQ) = И(щ,щ+ TVQ,VQ,VQ). Из условия (3.14) сдедует, что Н2(Щ,УО) Ф 0 на границе множества G = {{U0,VQ) Є Ш2п : \щ + tv0\ М при всех t Є [0;Т]}. Более того, условие (3.14) дает возможность построить непрерывную не обращающуюся в ноль на множестве dG гомотопию, связывающую отображение /i2 с линейным отображением Q, определяемым формулой Q(UQ,VQ) = (щ,щ + TVQ). Определитель матрицы отображения Q положителен, следовательно, степень отображения Q множества dG равна 1, см. [4, 78].
Существование решения краевой задачи (3.8) в пространстве Zj = Z теперь следует из предложения 3.2. Теорема доказана. Пример 3.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение 2 / 1 \ х = х sin — —5 Г7ЇЇЇ \ 2 -Ї- sin2 жі + я: 2У в R", доопределив правую часть нулем всюду, где выписанное выражение не имеет смысла (здесь х (х\,... ,хп) Ш.п). Рассмотрим краевую задачу для данного уравнения, заданную условиями х(0) = ХоИО), х (Т)), х(Т) = Хт(х (0), х (Т)), где функции Хо Хт К2п — 1&п непрерывны и ограничены по модулю постоянной С 0.
Положим Е = {(0, (7rfc,0,... ,0),0) : к Щ С С/. Так как правая часть уравнения непрерывна на множестве U \ Е, то пространство 2" его решений принадлежит классу Rceh{U \ Е), см. [22], [26].
Множество особенностей -Е счетно, поэтому, согласно следствию теоремы 6.3.1 в [26], стационарная последовательность ш — {Zj = Z : j = 1,2,...} равностепенно непрерывна (принадлежит классу s(U)). Множество Е не более чем счетно относительно пространства Z, см. [26], следовательно, по теореме 6.6.6 из [26] получаем, что Z Є RC{U). Выполнение условий (е) и (h) проверяется аналогично тому, как это проделано в примере 3.1.
