Введение к работе
Актуальность темы. Одна из приоритетных задач в современном мире -обеспечение информационной безопасности. Важным разделом такого метода защиты информации как криптография является теория совершенных шифров.
Совершенный шифр по Шеннону - это абсолютно стойкий шифр, стойкий к пассивным атакам по шифртексту. Эндоморфный шифр - это шифр, для которого 1^1=(71=1^1, где X, Y, К - множества открытых текстов, закрытых текстов и ключей соответственно. Эндоморфный совершенный шифр задаётся уравнением зашифрования у=х*к, где уєУ, хєХ, кєК, «*» - операция умножения в некоторой квазигруппе. Все предполагаемые открытые тексты, соответствующие зашифрованному сообщению, в этом случае являются равновероятными. Операция расшифрования - это операция правого деления в квазигруппе: x=ylk. В 80-90-е годы 20-го века появилось понятие современных аналогов совершенных шифров, стойких к активным атакам (например, имитации и подмены сообщения). Подробное изложение теории совершенных шифров дается в ' , где указываются актуальные проблемы, связанные с решением сложных математических задач; развиваемые в диссертации методы конечных геометрий показали свою эффективность при решении таких задач.
Объект исследования - конечные геометрии (конечные плоскости, плоскости Мёбиуса), рассматриваемые в приложении к классическим линейным совершенным шифрам и их современным аналогам.
Предмет исследования - комбинаторные конструкции конечных геометрий в задачах построения и изучения свойств классических линейных совершенных шифров и их современных аналогов.
Цель исследования - решение проблем в области конечных геометрий, связанных с развитием теории совершенных шифров.
Поставленная цель достигнута путем решения следующих задач:
1) установление взаимосвязи теории совершенных шифров с теорией конеч-
1 Зубов, А. Ю. Совершенные шифры. - М. : Гелиос АРВ, 2003. - 160 с.
2 Зубов, А. Ю. Криптографические методы защиты информации. Совершенные шифры : учебное пособие. - М. :
Гелиос АРВ, 2005. - 192 с.
ных плоскостей;
приложение геометрического метода: решение трех проблем о трех конструкциях линейных совершенных шифров, поставленных западными криптографами (в том числе классиком криптографии J. Massey) в 1987 году, и уточнение классификации классических линейных совершенных шифров через их геометрическую интерпретацию;
развитие геометрического метода с целью расширения известных классов совершенных шифров, построения новых классов таких шифров и нахождения взаимосвязей между ними.
Методы исследования - методы конечных геометрий, теории конечных плоскостей, плоскостей Мёбиуса и векторных пространств над конечными полями, комбинаторика совершенных шифров.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность работы заключается в установлении взаимосвязи теории совершенных шифров с теорией конечных плоскостей, в решении геометрическим методом конкретных проблем теории совершенных шифров, в исследовании свойств соответствующих классов конечных геометрий. Полученные результаты и методы могут иметь криптографические приложения, в том числе в смежным к совершенным шифрам областях.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались автором на конференциях [1, 3, 6, 8, 12, 13, 15, 19-21], в том числе на международной научной конференции по проблемам безопасности и противодействию терроризму и общероссийской научной конференции «Математика и безопасность информационных технологий» (Москва, ИПИБ МГУ, 2005, 2007-2009 гг.); международной научной «X Белорусской математической конференции» (г. Минск, БГУ, 2008 г.); молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2005, 2007, 2010 гг.). А также -на XI международной конференции «РусКрипто» (Москва, 2009 г.); научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Безопасность информационного пространства» (Екатеринбург, 2005 г.; Тюмень, 2007 г.);
IX научно-практической конференции молодых специалистов «Автоматизация. Инновация. Качество» (г. Нижний Тагил, 2010 г.); межвузовской научной конференция «СПИСОК» (Екатеринбург, УрГУ, 2009 г.); межвузовской научно-технической конференции «Молодые ученые - транспорту» (Екатеринбург, 2005, 2007, 2010 гг.); на научном семинаре кафедры «Прикладная математика» УрГУПС. Всего сделаны доклады на двадцати конференциях различного уровня.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-24], в том числе [9] - в издании, входящем в перечень рекомендованных ВАК РФ. В публикациях, выполненных совместно с научным руководителем, научному руководителю принадлежат постановка задач и общее руководство исследованиями, а соискателю - получение и оформление результатов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 44 наименований. Объем диссертации составляет 93 страницы.
