Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Конформная геометрия является одним иэ наиболее ваших разделов дифференциальной геометрии, берущим начало от работ Л.Эйлера и интенсивно изучаемым в настоящее время с самых различных точек зрения. В настоящее время этот раздел геометрии находит важные приложения в теории калибровочных полей в связи с известным результатом Пенроуза-Атьи-Хитчина-Сингера, утверждающим, что твисторное пространство над 4-мерным римановым многообразием М несет каноническус комплексную структуру тогда и только тогда, когда U конформно полуплоско 13). Рядом авторов была получена классификация 4-мерных конформно-полуплоскии римановых многообразий при дополнительных предположениях их хелеровости и некоторых других. С другой стороны, геометрия келеровых многообразий является комплексным аналогом римановой геометрии: многие важнейшие понятия римановой геометрии, такие, как секционная кривизна, пространственные формы, аксиомы подмногообразий » многие другие, имеет своего комплексного "двойника", имеющего весьма нетривиальный смысл в геометрии келеровых и, более общее, почти эрмитовых многообразий.
К числу таких понятий относится и тензор Вейля
конформной кривизны - основной объект изучения конформной
геометрии. В 1949 г. С. Бохнвр ввел комплексный аналог этого
тензора для келеровых многообразий. Тензор типа (3,1),
введений Бохнером и впоследствии названный ого именем,
обладает всеми свойствами симметрии тензора
Римана-Кристоффеля и имеет смысл для произвольных почти эрмитовых многообразий. Однако он имеет весьма сложное строение, и несмотря на значительное число работ, посвященных его изучение до настоящего времени имеется мало информации о его геометрии, причем эта информация касается главным образом келеровых многообразий. Перечислим наиболее существенные, с нашей точки зрения, работы в этом направлении. Как мы уже упоминали, тензор Бохнера был введен Бохнером в (41. Он был формально определен в комплексных координатах келерова многообразия как комплексный аналог тензора Вейля конформной кривизны риманова многообразия. Татибана в (181 дал его вещественное выражение, показавшее, что этот тензор имеет смысл на лобом почти эрмитовом многообразии. В (161 Татибана показал, что приводимое келерово многообразие постоянной скалярной кривизны с нулевым тензором Бохнера локально голоморфно иэометрично произведение комплексных пространственных форм, т.е. келеровых многообразий постоянной голоморфной секционной кривизны с и (-с) соответственно. С другой стороны, Мацумото [121 показал, что келерово многообразие постоянной скалярной кривизны с нулевым тензором Бохнера локально симметрично, а в случае неприводимости является многообразием Эйнштейна и, следовательно, комплексной пространственной формой. Ольчак (131 получил классификацию 4-нерных компактных Бохнер-плоских келеровых многообразий неположительной скалярной кривизны,, а также классифицировал компактные Бохнер-плоские келеровые многообразия размерности
.-5-
свыше четырех неположительной скалярной кривизны, тензор Риччи которых удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Петрович-Торгашев и Верстраелен (141 классифицировали Бохнер-плоские келеровы многообразия, тензор Вейля конформной кривизны которых удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Наконец, Сейно (15) доказал, что Бохнер-плоское келерово многообразие размерности свыше двух имеет постоянную скалярную кривизну.
Ряд работ посвящен' выяснению геометрического смысла обращения в нуль тензора Бохнера келеровых многообразий. К ним, например, можно отнести работу Ямагути 1241, изучавшего свойства гиперповерхностей келеровых Бохнер-плоских многообразий, а также работу Ганчева (71, изучавшего геометрические условия обращения в нуль тензора Бохнера как келеровых, так и более общих почти эрмитовых многообразий. Например, он доказал, что келерово многообразие, конформно эквивалентное почти эрмитову многообразию нулевой голоморфной секционной кривизны, Бохнер-плоско. Он также получил обобщение этого результата на случай произвольных почти эрмитовых многообразий.
Среди других работ, посвященных изучению тензора Бохнера на почти эрмитовых многообразиях, более общих, чем келеровы многообразия, отметим работу Ванхекке и Янсенса (211, в которой изучаются Бохнер-плоские приближенно келеровы многообразия, в частности, получена их классификация при ряде дополнительных предположений. Кроме того, Ванхекке изучал свойства тензора Бохнера на так
называемых обобщенных комплексных пространственных формах. Например, в (231 он доказал, что Бохнвр-плоская обобщенная пространственная форма является парлкелеровым многообразием. Как видно из приведенного обзора, изучение геометрии тензора Бохиера группируется главным образом вокруг вопросов, связанных с многообразиями, в основном, келеровыми, на которых этот тензор принимает наиболее простой вид, а именно, равен нуле. Это связано, главным образом, о большими трудностями вычислительного характера, возникаїшими при рассмотрении тензора Бохнера более общих почти зрмитовых многообразий, ввиду весьма словного строения этого тензора. Поэтому задача изучения свойств тензора Бохнера на таких многообразиях, решение которой посвящена настоящая работа. ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ АКТУАЛЬНОЙ. Основной интерес в этом плане представляет приближенно келеровы многообразия, известные томе под названиями К-пространств и почти татибановых многообразий. Понятие приближенно келерова многообразия является одним из наиболее важных обобщений понятия келерова многообразия. История изучения приближенно келеровых многообразий начинается с 1955 года, когда Фрелнхер дохазад существование канонической почти эрмитовой структуры иа вастиморной сфере 15). а Фуками и Иснхара в 161 показали, что фундаментальная форма этой структуры является формой Кияяинга. Общее понятие приближенно келерова многообразия было сформулировано Татнбаной в (17], назвавшим такие многообразия К-пространствами. Как оказалось, эти многообразия имеют очень интересные геометрические свойства,
.-7-
и поэтому они привлекли внимание большого числа исследователей. Существенный вклад в изучение геометрии приближенно келеровых многообразий внесли А. Грей (который и предложил этот, термин, ставший в настоящее время общепринятым) [9],110 J, В.Ф. Кириченко (11,(21, Ватанабе и Такамацу (19],Мацумото (111, Ванхекке [221 и многие другие исследователи.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. - Вычисление спектра тензора Бохнера приближенно келеровых многообразий и использование его для изучения свойств приближенно келеровых многообразий с теми или иными ограничениями на их кривизну Бохнера.
1. Вычисление спектра тензора Бохнера приближенно
келерова многообразия на пространстве присоединенной G -
- структуры.
2. Изучение Бохнер-плоских приближенно келеровых
многообразий.
3. Изучение дополнительных свойств симметрии тензора
Бохнера приближенно келеровых многообразий.
-
Изучение приближенно келеровых многообразий В-постоянного типа.
-
Изучение приближенно келеровых многообразий постоянной голоморфной Бохнеровой кривизны.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результати диссертации являются новыми. Перечислим важнейшие из них:
1. Вычислен спектр тензора Бохнера приближенно
келеровых многообразий, в наиболее компактном и развернутом виде содержащий всю информации о строении этого тензора.
2. Получена полная классификация Бохнер-плоских
приближенно келеровых многообразий.
3. Найдены два дополнительных свойства симметрии
тензора Бохнера приближенно келерова многообразия и третье
свойство симметрии этого тензора, равносильное келеровости
многообразия.
-
Введено понятие В-постоянства типа почти эрмитова многообразия и доказано, что приближенно келерово многообразие имеет В-постоянный тип тогда и только тогда, когда оно келерово либо шестимерно.
-
Введено- понятие голоморфной Бохяеровой кривизны почти эрмитова многообразия и получена полная классификация приближенно келеровых многообразий точечно постоянной голоморфной БохнеровоЙ кривизны.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геометрии приближенно келеровых многообразий, а также для чтения спецкурсов по дифференциальной геометрия в соответствующих высших учебных заведениях.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Объединенном научном геометрическом семинаре кафедры геометрии ШІГУ им. В. И. Ленина и МИСиС (руководители - проф. К. А. Акивис и проф. В.Ф. Кириченко). .
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 2 работы
.-9-
НЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ - метод внешних форм Картана, основанный на систематическом использовании структурных уравнений G-структуры, внутренним образом присоединенной к приближенно келерову многообразно.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы и изложена на 98 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 52 наименования отечественной и зарубежной литературы.
