Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общие погружения сферы S в ориентируемое трехмерное многообразие М
1. Образ общего погружения 52 -» М3 20
9 Т 2. Прообраз общего погружения S -^М 22
1 Ч 3. Общие погружения S -* R 30
4. Перестройки E,H,TuQ 31
5. Коориентация перестроек E,H,TnQ 34
6. Степень и индекс точки в образе общего погружения S -> R 36
7. Перестройки степени т 42
Глава 2. Сферические Гауссовы диаграммы
8. Ориентация прообраза общего погружения S2 -» М3 48
9. Гауссова диаграмма общего погружения S -> М Сферическая Гауссова диаграмма 51
10. Оснащение Гауссовых диаграмм 55
11. Перестройки E,H,THQB терминах оснащенных Гауссовых диаграмм 59
12. Виртуальные преобразования сферических Гауссовых диаграмм 65
Глава 3. Реализуемость сферической Гауссовой диаграммы
13. Комплекс KG сферической Гауссовой диаграммы G 67
14. Реализуемость сферической Гауссовой диаграммы в 22-гомологической сфере 70
15. Одномерная группа гомологии комплекса KG 74
16. Двумерная группа гомологии комплекса Ас 80
17. Вычисление индекса пересечения одномерных и двумерных гомологических классов комплекса KG по сферической Гауссовой диаграмме G 83
18. Примеры вычислений индексов пересечений одномерных и двумерных гомологических классов комплекса Ас 87
4. Инварианты первой степени общих погружений S -> Я в терминах диаграмм.
19. Инварианты первой степени общих погружений S ->R 90
20. Базис группы инвариантов первой степени 92
21. Инварианты A*, DKuI 98
22. Формулы для базисных инвариантов в терминах оснащенных Гауссовых диаграмм 107
23. Примеры вычислений базисных инвариантов Ат Dm, I и й0 в терминах оснащенных Гауссовых диаграмм 117
Приложения
- Коориентация перестроек E,H,TnQ
- Гауссова диаграмма общего погружения S -> М Сферическая Гауссова диаграмма
- Реализуемость сферической Гауссовой диаграммы в 22-гомологической сфере
- Базис группы инвариантов первой степени
Введение к работе
В данной работе изучаются общие погружения сферы S в ориентированное трехмерное многообразие М3. Под общими погружениями будем понимать погружения общего положения.
Так как многое из обсуждаемого в работе в значительной степени аналогично вопросам, связанным с общими погружениями окружности S1 в ори-ентируемое двумерное многообразие М , параллельно описываются некоторые результаты в этом направлении. 0.1. Гауссовы диаграммы. О.Ы.Гауссовы диаграммы кривых.
Образ общего погружения окружности S в многообразие М называют кривой на многообразии М ; в том случае, когда М =R , говорят о плоской кривой. Ясно, что прообраз любой точки кривой состоит из не более, чем двух точек на окружности S . Те точки кривой, прообраз которых состоит ровно из двух точек, называют двойными точками кривой.
Для кривой на ориентированной поверхности (или плоской кривой) можно построить так называемую Гауссову диаграмму кривой, которая представляет собой окружность 51, на которой отмечены прообразы двойных точек и каждая пара точек - прообразов одной двойной точки кривой - соединена ориентированной хордой (если у кривой п двойных точек, то ее Гауссова диаграмма - это окружность с п ориентированными хордами, и Є N). В приложении 1 мы подробно описываем построение Гауссовой диаграммы кривой.
Можно говорить о Гауссовой диаграмме и безотносительно к какой-либо кривой, как об окружности 51 с конечным числом ориентированных хорд. Если Гауссова диаграмма G является Гауссовой диаграммой некоторой кривой на поверхности Fg (ориентированной замкнутой поверхности рода g), то говорят, что диаграмма G реализуется на поверхности Fg (а кривая явля ется реализацией диаграммы G). Ясно, что если Гауссову диаграмму можно реализовать на поверхности рода g, то ее можно реализовать и на поверхности большего рода. В приложении 2 мы подробно останавливаемся на реализуемости Гауссовой диаграммы. Здесь же мы сформулируем два основных результата.
О.І.І.І.Теорема. (J. Scott Carter [9]) Для любой Гауссовой диаграммы G существует такое число g Є ./V U{0}, что диаграмма G реализуется на поверхности рода g и не реализуется на поверхности меньшего, чем g, рода (для плоской кривой g = 0). Это число g называется родом Гауссовой диаграммы G.
В [9] указан лишь способ построения поверхности минимального рода по данной Гауссовой диаграмме, но без вычисления ее рода. Алгоритм вычисления рода Гауссовой диаграммы приведен в приложении 2. Пусть к -реализация Гауссовой диаграммы G на ориентированной замкнутой поверхности Fg, где g - род диаграммы G. По диаграмме G строится матрица 1(к), которая является матрицей индексов пересечений в некотором порождающем множестве pflzHi(Fg; Z), так что справедлива следующая теорема: 0.1.1.2.Теорема. Rang I(k) - 2g
0.1.2.Гауссовы диаграммы общих погружений сферы.
Глава вторая данной работы посвящена построению Гауссовой диа-граммы общего погружения сферы S в ориентированное многообразие М . Гауссовы диаграммы погружений сферы описываются в терминах прообраза особых точек погружений, поэтому значительная часть первой главы посвящена изучению прообраза особых точек общего погружения S2 - М3.
Пусть/: S - М - общее погружение сферы S в ориентированное многообразие М . Прообраз любой точки погружения/состоит не более, чем из трех точек. Тройной точкой погружения /будем называть точку р Є Imf, прообраз которой состоит ровно из трех точек. Двойной точкой погружения/ будем называть точку р Є Imf, прообраз которой состоит ровно из двух точек. Двойной линией погружения f будем, называть подмножество L образа Imf такое, что: во-первых, прообраз любой точки множества L содержит не менее двух точек, во-вторых, множество L может быть задано как образ погружения окружности в М.
Двухкомпонентной кривой на сфере мы будем называть образ общего погружения дизъюнктного объединения двух окружностей в сферу S2, образ каждой из двух окружностей будем называть компонентой двухкомпонентной кривой. 0.1.2.1Лемма. (1) Для любого общего погружения/: S -» М прообраз двойной линии - объединение двухкомпонентной кривой на сфере и конечного числа точек, и прообраз объединения всех двойных линий - это объединение соответствующих двухкомпонент-ных кривых. (2) Для любого общего погружения/: S - М прообраз тройной точки - три точки пересечения прообразов двойных линий.
Под компонентами прообраза двойной линии в дальнейшем будем понимать компоненты соответствующей двухкомпонентной кривой.
Погружение/: S -» М задает стратификацию пространстваМ . Пусть Л - множество кратных (двойных и тройных) точек погружения/.
- 2J) - множество нульмерных стратов - множество тройных точек погруже ния/,
- 2J - множество одномерных стратов - множество компонент связности - Ei - множество двумерных стратов - множество компонент связности Imf\A,
-2 - множество трехмерных стратов - множество компонент связности M2\Jmf.
Прообраз множества А при погружении/ задает стратификацию сфе с2.
рыЪ :
- множество нульмерных стратов в S2- множество точек пересечения кривых из/ Л(А), т.е. 20=/ л(о),
- Sj - множество одномерных стратов в S2 - множество компонент связности / -\А)\ , т.е. Ї,=f\l\),
- 22-множество двумерных стратов- множество компонент связности SV" (4) т.е. 1,=/ (.
Элементы множеств Ei и Е2 мы будем называть областями, элементы множеств Si и 2Х мы будем называть ребрами, элементы множества Е0 двойными точками. (Очевидно, на сфере S2 любая двойная точка лежит в замыкании некоторого ребра.)
Компоненты i\ и і2 (нумерация компонент произвольная) прообраза двойной линии / общего погружения/ естественным образом ориентируются (см. § 8). Ориентация двухкомпонентных кривых в прообразе задает ориентацию всех ребер на сфере S2. Погружение/ определяет соответствие между ребрами компонент і і и і2: соответствуют друг другу склеиваемые при/ ребра (склейка происходит обращающим ориентацию диффеоморфизмом). Для описания соответствия между ребрами / j и і і достаточно указать одну пару соответствующих друг другу ребер на /1 и і2. Ориентация компоненты задает циклический порядок ребер на ней. Выбор пары соответствующих ребер на двухкомпонентной кривой задает линейный порядок ребер на каждой компоненте, который определяет соответствие между всеми ребрами компонент і х и 12 с обращением порядка (взаимнооднозначное, поскольку, очевидно, і і и і 2 имеют одинаковое число ребер).
Двойные точки р1,р2ЄІ,0 будем называть соответствующими друг другу, если/(рі) =f(p2)- Заметим, что соответствие между ребрами на сфере S2 согласовано с соответствием между двойными точками: начало замыкания одного ребра соответствует концу замыкания другого ребра (начало и конец замыкания ребра определяются ориентацией этого ребра).
Гауссовой диаграммой общего погружения/: S -» М будем называть ориентированную сферу S , на которой отмечены все ориентированные двух-компонентные кривые, лежащие в прообразах двойных линий погружения, и указан способ склейки двойных линий (указаны пары соответствующих ребер). Как правило, склеиваемые ребра в рассмотренных нами примерах не указываются, но подразумеваются.
Тройную точку р Є Imf погружения/будем называть точкой вида ijk, если точкар - это точка пересечения трех двойных линий i,j и к погружения /. (В частности, если двойные линии ink совпадают, точка/? - точка вида iij или ij, если двойные линии i,j и к совпадают, точкар - точка вида Ш или /3). Точку пересечения двух кривых к и / на сфере 52 будем называть точкой вида kl. Точку самопересечения кривой к будем называть точкой вида кк или е. Пусть i,j и к - двойные линии общего погружения /, и пусть двухком-понентные кривые на сфере S2 {ih i2} Cf\i), {jhj2} Cf\j),{kh k2} Cf\k) компоненты прообразов двойных линий i,j и к (расстановка индексов для компонент двухкомпонентных кривых произвольна).
0.1.2.2.Лемма. Прообраз тройной точки вида ijk общего погружения/- три точки вида ijt, i2 кх nj2 к2.
0.1.2.3.Лемма. Пустьр - тройная точка вида ijk в образе погружения/, f\i) D {ihi2}, / (/) D {/у2}, /1 (к) D {кМ иРіЄ і, C\jup2 Є і2 П !-- прообразы точки p. Пусть г(і і) - касательный вектор к кривой ц в точке ph T(J\) - касательный вектор к кривой j\ в точкер\, т(і2) - касательный вектор к кривой і 2 в точке р2, т(к]) - касательный вектор к кривой к] в точке р2. Тогда в окрестностях точекр\ ир2 ориентации пар векторов {т{і\), г(/і)) и (г(/2), т(к\)) противоположны.
Рассмотрение структуры, обладающей перечисленными выше свойствами Гауссовой диаграммы общего погружения, но без предположения о том, что она отвечает какому-либо погружению/: S -» М , приводит к понятию сферической Гауссовой диаграммы, те есть сферическая Гауссова диаграмма представляет собой ориентированную сферу, на которой отмечен набор ориентированных трансверсально пересекающихся двухкомпонентных кривых, и для каждой двухкомпонентной кривой указана пара соответствующих ребер (по одному на каждой компоненте), при этом:
(1) компоненты одной двухкомпонентной кривой имеют одинаковое число ребер; Ориентация, условие (1) и выбор пары соответствующих ребер устанавливают соответствие между всеми ребрами двухкомпонентной кривой как в Гауссовой диаграмме общего погружения. Соответствие между ребрами определяет соответствие между двойными точками как в Гауссовой диаграмме общего погружения.
(2) соответствие между двойными точками удовлетворяет свойствам из леммы 0.1.2.2 и леммы 0.1.2.3.
0.1.3.Реализуемость сферической Гауссовы диаграммы
В третьей главе данной работы изучается вопрос реализуемости сферической Гауссовой диаграммы в 2г-гомологической сфере.
Реализацией сферической Гауссовой диаграммы G в многообразии М У "К будем называть общее погружение/: S - М такое, что G является Гауссовой диаграммой погружения/. Сферическую Гауссову диаграмму, для кото-рой существует реализация в некотором ориентированном многообразии М , будем назвать реализуемой. Множество всех реализуемых сферических Гауссовых диаграмм обозначим через Q.
Пусть диаграммаG Є (7и общее погружение/: S - М -реализация диаграммы G. Образ погружения Imf представляет собой двумерный ком-плекс KQJ. Заметим, что для любых двух реализаций f,g:S - М диаграммы G комплексы Kcjii KG,g гомеоморфны. Через KQ обозначим комплекс, построенный по какой-нибудь реализации диаграммы G. Вложение in :KG - М3 индуцирует отображение групп гомологии in : Hq (KG ; Z2) - - Hq (M3; Z2) (q = 0,1,2)(рассматриваются гомологии с коэффициентами в Z2, поскольку решается вопрос о реализации сферической Гауссовой диаграммы в 22-гомологической сфере).
Пусть TKG - регулярная окрестность комплекса #с в многообразии М3. Определим спаривание Ф:Ні(Кс; Z2)xH2(KG; Z2) - Z2, положив Ф(а,Р) = [in (a):in (/3)], где [:]: Hi(TKG ;Z2) x H2(TKG ;Z2) - Z2, - индекс пересечения.
0.1.3.1.Теорема. Спаривание Ф определено корректно, то есть не зависит ни от М3, ни от in, и определяется по самой диаграмме G.
0.1.3.2.Теорема. Для того чтобы диаграмма G Є (7 реализовывалась в Z2-гoмoлoгичecкoй сфере необходимо и достаточно, чтобы Ф = 0.
0.2. Инварианты первой степени.
В четвертой главе данной работы описываются инварианты первой степени общих погружений S - R и дается их выражение в терминах Гауссовых диаграмм. В понимании инвариантов конечной степени мы следуем работам М. Гусарова ([16], [17], [18]), В.А. Васильева ([33], [34]), В.И.Арнольда ([1], [2], [3]) ,О.Я.Виро ([35], [36]) и Т.Новика [25, 26].
Понятие инварианта конечной степени для узлов и для струнных зацеплений появилось в конце 80-х годов 20 века независимо в работах В.А. Васильева и М. Гусарова. Большой объем научных статей в конце прошлого начале этого веков был посвящен развитию этого понятия (см., например, [1], [4]-[6], [10], [12], [21]) и вычислению инвариантов конечной степени в различных терминах, в том, числе и с помощью Гауссовых диаграмм узлов ([7], [13], 19], [23], [27], [29], [35]).
Для плоских кривых в [2] В.И.Арнольд аксиоматически описал три базисных целочисленных инварианта первой степени: J+J я St. В работах О.Я. Виро ([27], [35], [36]), А. Шумаковича ([30], [31]) и М.Поляка ([27], [28]) были получены комбинаторные формулы для этих инвариантов, в частности в [28] инварианты J+J и St вычислялись в терминах Гауссовых диаграмм кривых. Общая идея построения этих инвариантов состоит в еле 1 1 дующем. Если два общих погружения/, g: S -» R регулярно гомотопны, то существует регулярная гомотопия hh соединяющая погружения/и g, такая, что лишь для конечного числа значений t Є [0,1] погружение ht будет не общим и будет иметь только одну не общую особенность в образе: точку вида f, точку видау , точку вида st (рис. 1). Преобразование образа погружения в окрестности особой точки вида/1",./" или st мы, следуя Арнольду, будем называть f-, j- и st-nepecтройкой, соответственно. Для каждой перестройки определяются положительное и отрицательное направления.
Пусть Imm S1 ;R2) - пространство общих погружений 51 -» R2. Инва-риант первой степени - это целочисленная функция: Immn(S ;R)- Z, которая, во-первых, постоянна на каждой компоненте линейной связности пространства J/wmoOS1;!?2), во-вторых меняется при перестройке на константу, которая зависит только от вида перестройки и ее направления.
Согласно В.И.Арнольду [2] инварианты/ +J " и St таковы, что: значение функции /+ увеличивается на два при положительной/к-перестройке и не меняется при остальных перестройках, значение функции/ "уменьшается на два при положительной У -перестройке и не меняется при остальных перестройках, и значение функции St изменяется на единицу при положительной -перестройке и не меняется при остальных перестройках.
По аналогии с тем, как построены инварианты первой степени для плоских кривых В.В. Горюнов ([14],[15]) описал группу локальных инвариантов первой степени для общих погружений 5 - R . В этом случае видов перестроек, конечно, больше, чем в случае погружений окружности в плоскость. В.В.Горюнов предложил следующую классификацию перестроек: Е0-, Е1-, Е2- (рис. 2 а, Ь, с) и Я0-, Я1-, Я2-перестройки (рис. 3 а, Ь, с) - проход в образе погружения через точку эллиптического (соответственно, гиперболического) квадратичного касания; Т0-, Г1-, Г2-, Т3- перестройки- проход в образе погружения через точку квадратичного касания трех двойных линий (рис. 4 а, b, с, d); ф-, Q2-, Q4- перестройки - проход в образе погружения через четверную точку (рис. 5 а, Ь, с).
Пусть Imm S ,R)- пространство общих погружений 5 -» i? .
0.2.1.Теорема [14] (1) Существуют функции t, е: Imm S ;R)- Z постоян-ные на компонентах линейной связности пространства Imm S \R ) такие, что значение функции t изменяется на единицу при положительных Т ЧгЧгЧг -перестройках и не меняется при остальных перестройках, значение функции е изменяется на (+2) при положительной Е°- и if- перестройках, изменяется на (-2) при положитель-ных Е - и Н - перестройках и не меняется при остальных перестройках.
(2) функции t и е - это базис группы целочисленных инвариантов первой степени.
Заметим, что инварианты рассматриваются с точностью до постоянной целочисленной функции nalmm S Д). В этой же работе В.В.Горюнов представил комбинаторные формулы для вычисления инвариантов t и е.
В.В.Горюнов рассматривал только локальные инварианты, то есть те инварианты, изменения которых зависят только от локального изменения образа погружения. В 2004 году Т.Новик [25, 26] описал группу инвариантов первой степени (определение см. §19), используя более тонкую классификацию перестроек. Т.Новик каждой перестройке приписал целое число - степень неустойчивой особой точки (детальное описание степени см. § 6). В обозначениях Т.Новика в название перестройки добавился еще нижний индекс - степень перестройки, например, перестройка Е°т, где целое число т степень перестройки.
Пусть G - абелева группа, V\(G) - множество инвариантов степени, не превышающей единицы, для погружений S - R . Очевидно, V\{G) является абелевой группой. Мы будем рассматривать элементы группы V\(G) по мо-дулю постоянных функций на Imm {S \R ). Профакторизованную по этому отношению группу V\(G) будем обозначать через V,(G) и называть группой инвариантов первой степени.
В [22],[25] проведен локальный геометрический анализ взаимосвязей двух стандартных перестроек. Согласно [25], достаточно рассмотреть комбинации шести типов: ЕЙ, ТТ, ЕТ, НТ, TQ и QQ. Пусть р є V\{G), и пусть изменение инварианта (р при положительной R"m -перестройке равно ґ (при отрицательной R"m -перестройке изменение инварианта д равно, соответственно, (-/ )). Изменения инварианта р при стандартных перестройках удовлетворяют следующим соотношениям ( ): (1) hlm = h\ для всех m Е Z
(2)К=К+і:М-ІЇ Для всехт О
(3) = -SL+)fc- ) Для всех m О
(4) e°m=-h2m, elm =hlm, e2m=h2m длявсехтєг
(5) С =C Єт =Єт для всех mEZ
(6) q2m = q\ для всех mEZ V)ql=ql+t2m-Ci № всех mEZ
(8) q4m=q!+tl-С, Для всехmBZ
(9) 2qm2 = 0, 2hml = О
Далее Т -, Гт3- ,Я2- ,#(/- и ( -перестройки будем называть базисными.
Обозначим через U абелеву группу с образующими {Р,ї3т(т є Z),h , ,} и двумя соотношениями 2 = 0, Щ\ = О.
0.2.2.Теорема [25, 26]. Существует универсальный инвариант первой степени fu Е VJ(t/), изменение которого при положительной базисной 1Г-перестройке равно Г, где К {Тгт, T (meZ),H20, Щ, Q20}, re{t:,t3m(meZ),h0\h:,q:} 0.2.3.3амечания. (1) fv универсален в том смысле, что для любого инварианта первой степени р Є V, (G) существует гомоморфизм fv: U - G такой, что =/ э ° Л/, и наоборот, для любого гомоморфизма Л : / - G композиция (й ° fu)- элемент группы Vj (G).
(2) Изменения инварианта при перестройках, которые не являются базисными, определяются соотношениями ( )
Выделим базисные целочисленные инварианты первой степени и два базисных 22-инварианта первой степени (по модулю Zi редукции целочисленных). Обозначим через ram = pra ° fv, где рг„ - гомоморфизм, в случае КЄ{ї2я,ї3я,к9г} рга:і/-2,вслучаег;є{ , } рг.: U - Z2, пере-водящий образующую г" в 1, а остальные образующие в 0.
0.2.4. Следствие [26]. Любой целочисленный инвариант первой степени является линейной комбинацией инвариантов im ,im (meZ),h0 . Любой Z2- инвариант первой степени является линейной комбинацией инвариантов hl0, q\ и приведенных по модулю два инвариантов л 2 л 3 • гж\ і 2 К L («eZ)A •
0.2.5.3амечание. В работе Т. Новика [26] приводятся формулы для представителей базисных целочисленных инвариантов первой степени в терминах образа погружения.
Параграфы §§ 21,22 посвящены вычислению базисных целочисленных инвариантов первой степени в терминах Гауссовых диаграмм. В § 21 строится другой базис группы целочисленных инвариантов первой степени, и в § 22 выводятся формулы перехода к базису іт ,іт (т є Z),hu2. В § 23 представляются примеры вычислений базисных инвариантов.
Пусть/: 5 -» R - общее погружение, G(f) -Гауссова диаграмма погружения/. Каждому двумерному страту на диаграмме G(f) естественным образом приписывается некоторое полуцелое число - индекс страта (то есть число вида т + Уг, т EZ) так, что индексы любых двух смежных стратов отличаются на единицу и индекс того страта из двух больше, в сторону которого смотрит вектор нормали к общему граничному ребру этих стратов. Каждому ребру и каждой двойной точке на диаграмме G(f) приписывается индекс равный среднему арифметическому соседних двумерных стратов. Расстановку индексов на двумерных, одномерных и нульмерных стратах диаграммы G(f) будем называть оснащением диаграммы G(f). Диаграмму с оснащением будем называть оснащенной диаграммой.
0.2.63амечание. Каждому страту на Гауссовой диаграмме G(f) можно сопоставить степень, как степень соответствующего страта в образе погружения/. Между степенью и индексом страта существует линейная зависимость, которая определяется размерностью страта.
Рассмотрим функции Ат, Dm, I: ImmQ(S ;R)- Z и Н: Immu(S Д ) -» Z2, где - Am if) - сумма эйлеровых характеристик всех двумерных стратов на оснащенной диаграмме G(f), имеющих индекс (т -1/2) (и степень т),
- Dm(j) - °Дна шестая от числа двойных точек на оснащенной диаграмме G(J), имеющих индекс (т -3/2) (и степень т),
-1(f) = \ind dx + - \ind dx(здесь \ind dx = Yiind(a)x(cT)(i = 1,2), где х(Ф Іг 2 . тєї,
- комбинаторная эйлерова характеристики страта о),
- H(f) - число двухкомпонентных кривых на оснащенной диаграмме G(f), приведенное по модулю два.
0.2.7.Теорема. Инварианты Ат, Dm и /- целочисленные инварианты степени, не превышающей единицы. Инвариант Н - 2г-инвариант степени, не превышающей единицы.
0.2.8.Теорема. I = - е (см. теорему 0.2.1.)
Обозначим через Ак, Dk, 7 элементы группы vx(Z) такие, чтоАкЕ:Ак, DkEDk,IEl.
0.2.9.Теорема. Ак, Dk, I- базис группы V,(Z).
Обозначим через ітЄ tm, fm Є tm, A0 Є h0 и h0ЄЛ0 представителей ин 2 3 2 І
вариантов ґт ,ґт ,Л0 , й0, значения которых на стандартно вложенной в і? сфере, равны нулю.
0.2.10.Теорема.(Выражение инвариантов инварианты Ат,Dm,InH через инварианты V, V, Л02 и hi)
/ = 2Л.2+1,
т т
Dm= 12+ t
А = Г2+4?2.+ 2,+ЗГ3+ЗГ\ +
/л+2
т т т+1 т+2
2, т = 1 2h02, т = 0 -2h m = -l
H=ti
0.2.11.Теорема.(Выражение инвариантов tm , t и h0 через инварианты А,
А. и 7)
К =1/2(/-1)
4=0
« m = -(Am-Dm-Dm+2-4Dm+i)+ -1, w = 1
-і(/-1),іи = 0
і(/-1), їй = -1
Вычисление инварианта 2 по Гауссовой диаграмме общего погружения остается открытым вопросом.
Коориентация перестроек E,H,TnQ
Элементы множеств Ei и Е2 мы будем называть областями, элементы множеств Si и 2Х мы будем называть ребрами, элементы множества Е0 двойными точками. (Очевидно, на сфере S2 любая двойная точка лежит в замыкании некоторого ребра.)
Компоненты i\ и і2 (нумерация компонент произвольная) прообраза двойной линии / общего погружения/ естественным образом ориентируются (см. 8). Ориентация двухкомпонентных кривых в прообразе задает ориентацию всех ребер на сфере S2. Погружение/ определяет соответствие между ребрами компонент і і и і2: соответствуют друг другу склеиваемые при/ ребра (склейка происходит обращающим ориентацию диффеоморфизмом). Для описания соответствия между ребрами / j и і і достаточно указать одну пару соответствующих друг другу ребер на /1 и і2. Ориентация компоненты задает циклический порядок ребер на ней. Выбор пары соответствующих ребер на двухкомпонентной кривой задает линейный порядок ребер на каждой компоненте, который определяет соответствие между всеми ребрами компонент і х и 12 с обращением порядка (взаимнооднозначное, поскольку, очевидно, і і и і 2 имеют одинаковое число ребер).
Двойные точки р1,р2ЄІ,0 будем называть соответствующими друг другу, если/(рі) =f(p2)- Заметим, что соответствие между ребрами на сфере S2 согласовано с соответствием между двойными точками: начало замыкания одного ребра соответствует концу замыкания другого ребра (начало и конец замыкания ребра определяются ориентацией этого ребра).
Гауссовой диаграммой общего погружения/: S -» М будем называть ориентированную сферу S , на которой отмечены все ориентированные двух-компонентные кривые, лежащие в прообразах двойных линий погружения, и указан способ склейки двойных линий (указаны пары соответствующих ребер). Как правило, склеиваемые ребра в рассмотренных нами примерах не указываются, но подразумеваются.
Тройную точку р Є Imf погружения/будем называть точкой вида ijk, если точкар - это точка пересечения трех двойных линий i,j и к погружения /. (В частности, если двойные линии ink совпадают, точка/? - точка вида iij или ij, если двойные линии i,j и к совпадают, точкар - точка вида Ш или /3). Точку пересечения двух кривых к и / на сфере 52 будем называть точкой вида kl. Точку самопересечения кривой к будем называть точкой вида кк или
Пусть i,j и к - двойные линии общего погружения /, и пусть двухком-понентные кривые на сфере S2 {ih i2} Cf\i), {jhj2} Cf\j),{kh k2} Cf\k) компоненты прообразов двойных линий i,j и к (расстановка индексов для компонент двухкомпонентных кривых произвольна). прообразы точки p. Пусть г(і і) - касательный вектор к кривой ц в точке ph T(J\) - касательный вектор к кривой j\ в точкер\, т(і2) - касательный вектор к кривой і 2 в точке р2, т(к]) - касательный вектор к кривой к] в точке р2. Тогда в окрестностях точекр\ ир2 ориентации пар векторов {т{і\), г(/і)) и (г(/2), т(к\)) противоположны.
Рассмотрение структуры, обладающей перечисленными выше свойствами Гауссовой диаграммы общего погружения, но без предположения о том, что она отвечает какому-либо погружению/: S -» М , приводит к понятию сферической Гауссовой диаграммы, те есть сферическая Гауссова диаграмма представляет собой ориентированную сферу, на которой отмечен набор ориентированных трансверсально пересекающихся двухкомпонентных кривых, и для каждой двухкомпонентной кривой указана пара соответствующих ребер (по одному на каждой компоненте), при этом: (1) компоненты одной двухкомпонентной кривой имеют одинаковое число ребер; Ориентация, условие (1) и выбор пары соответствующих ребер устанавливают соответствие между всеми ребрами двухкомпонентной кривой как в Гауссовой диаграмме общего погружения. Соответствие между ребрами определяет соответствие между двойными точками как в Гауссовой диаграмме общего погружения.
Гауссова диаграмма общего погружения S -> М Сферическая Гауссова диаграмма
Ориентация двухкомпонентных кривых в прообразе задает ориентацию всех ребер на сфере S . Погружение/ определяет соответствие между ребрами компонент i\ и і г. соответствуют друг другу склеиваемые при/ ребра (склейка происходит обращающим ориентацию диффеоморфизмом). Для описания соответствия между ребрами і х и і і достаточно указать одну пару соответствующих друг другу ребер на /! и і 2. Ориентация компоненты задает циклический порядок ребер на ней. Выбор пары соответствующих ребер на двухкомпонентной кривой задает линейный порядок ребер на каждой компоненте, который определяет соответствие между всеми ребрами компонент Іі и і 2 с обращением порядка (взаимнооднозначное, поскольку, очевидно, ц и і% имеют одинаковое число ребер).
Двойные точки р1,р2Е1.0 будем называть соответствующими друг другу, если/(pi) =fipi). Заметим, что соответствие между ребрами на сфере S2 согласовано с соответствием между двойными точками: начало замыкания одного ребра соответствует концу замыкания другого ребра (начало и конец замыкания ребра определяются ориентацией этого ребра).
Гауссовой диаграммой общего погружения f : S - М будем называть ориентированную сферу S , на которой отмечены все ориентированные двух-компонентные кривые, лежащие в прообразах двойных линий погружения, и указан способ склейки двойных линий (указаны пары соответствующих ребер). Как правило, склеиваемые ребра в рассмотренных нами примерах не указываются, но подразумеваются. На рис. 27 изображены образы общих погружений и Гауссовы диаграммы этих погружений (как правило, склеивае мые ребра в рассмотренных нами примерах не указываются, но подразумеваются).
Для изотопных погружений Гауссовы диаграммы одинаковы, но существуют неизотопные погружения, имеющие одинаковые Гауссовы диаграммы. Например, на рис. 28 изображены образы двух общих погружений, которые не изотопны, но имеют одинаковые Гауссовы диаграммы. диаграммы. Пусть на ориентированной сфере S2 отмечен набор ориентированных трансверсально пересекающихся двухком-понентных кривых. Данный набор двухкомпонентных кривых определяет стратификацию сферы. Будем использовать ту же терминологию для стратов на сфере, что и в случае Гауссовой диаграммы погружения. Пусть для каж дой двухкомпонентнои кривой указана пара соответствующих друг другу ребер (по одному на каждой компоненте), при этом: (1) компоненты любой двухкомпонентнои кривой имеют одинаковое число ребер;
Тогда для любой двухкомпонентнои кривой определено соответствие между всеми ребрами компонент в соответствии с ориентациями компонент (и выбором пары соответствующих ребер). Выбор ориентации компоненты задает циклический порядок ребер на ней. Выбор пары соответствующих ребер на двухкомпонентнои кривой задает линейный порядок ребер на каждой компоненте, который определяет обращающее порядок соответствие (взаимнооднозначное в силу условия (1)) между всеми ребрами компонент.
Соответствие между ребрами определяет соответствие между двойными точками: если двойная точка является началом (концом) замыкания некоторого ребра, то ей соответствует конец (начало) замыкания соответствующего данному ребра (начало и конец ребра определяются его ориентацией, и могут совпадать). Пусть построенное соответствие ребер таково, что: (2) двойные точки разбиты на тройки соответствующих точек, при этом для любых трех двухкомпонентных кривых {і\,і2}, {/іі/г} и {к\,к2} тройку могут составлять точки пересечения следующих пар кривых: іг ujh i2wkx и j2 и k2 (возможно / =j или,/ = к или і =j = к). (3) для любой двухкомпонентнои кривой {/1,/2} и для любых двух соответствующих точек рі Є /і C\ji и pi Є i2 П k\ ориентации пар векторов (г(/[), г (/і)) и (г(/2), т(к])) противоположны, где т(іі) - касательный вектор к кривой її в точке pi, T(J\) - касательный вектор к кривой в точке ph т(і2) - касательный вектор к кривой /2 в точке р2, т(к\) - касательный вектор к кривой к\ в точке р2.
Реализуемость сферической Гауссовой диаграммы в 22-гомологической сфере
Пусть G(?- сферическая Гауссова диаграмма, М3 - ориентированное трехмерное многообразие, в котором реализуется диаграмма G, и пусть KQ- комплекс вМ , построенный по какой-нибудь реализации диаграммы G.
3амечания. (1) Для диаграммы G и многообразия М может существовать бесконечно много неизотопных реализаций (например, см. 9, рис. 28) (2) В 10 мы представили необходимое условие, которому должна удовлетворять диаграмма G для того, чтобы она могла быть реализована в трехмерной сфере S3; а именно, должно существовать оснащение диаграммы, согласованное с ориентацией и с комбинаторной структурой.
Реализуемость сферической Гауссовой диаграммы в 2?-гомологической сфере. Вложение in :KG- M индуцирует отображение групп гомологии in :Hq(KG;Z2) Hq(M3;Z2)(q = 0,l,2).
Пусть ТКс - регулярная окрестность двумерного комплекса KG в многообразии М3. Определим спаривание Ф:Ні(Кс; Z2)x H2(KG; Z2) - Z2, положив Ф{а,р) = [in (a):im(fl], где [:]:HX{TKG;Z2) xH2(TKG;Z2) - Z2-индекс пересечения (здесь in : KG -» TKG). Спаривание Ф определено корректно, то есть не зависит ни отМ3, ни от in, и определяется по самой диаграмме G. Теорема 14.2.1. будет доказана в 17 (стр. 83) Для того чтобы диаграмма G Є реализовывалась в Z2 гомологической сфере необходимо и достаточно, чтобы Ф = 0. TKG - трехмерное многообразие с краем, и его край представляет собой дизъюнктное объединение (JF. ориентируемых замкнутых поверхностей. і Лемма. Если KG - комплекс в 22-гомологической сфере, то для любых гомологических классов а є Hi(TKG; Z2) и J3GH2(TKG; Z2) их индекс пересечения равен нулю: [а: р\ = 0. Доказательство: Пусть Е- 22-гомологическая сфера и in:TKG Е - вложение окрестности TKG в многообразие I. Очевидно, [a: р\ = [in (а): in (/?)] = 0, так как in {a) = 0 для любого а є Hi(TKG, Z2). и
Докажем теперь, что если Ф = 0, то край многообразия TKG можно заклеить телами с ручками так, что полученное в результате замкнутое трехмерное многообразие будет 22-гомологической сферой, и, тем самым реализовать диаграмму G в Z2- гомологической сфере. Пусть для любых классов а є Hi(TKG; Z2), J3EH2(TKG; Z2) их индекс пересечения равен нулю. Докажем, что границу dTKG = [JF. многообразия
TKG можно заклеить телами с ручками {Т.} так, что для полученного ориентированного замкнутого многообразия отображения in :Hq(TKG; Z2) - Hq(E; Z2) (q = 1,2), индуцированные вложением in : TKG - E, будут эпиморфизмами.
Естественные вложения іщ: dTKG- TKG и іп2: дТКс- } индуциру (=1 ют отображения в группах гомологии: H,{TKG; Z2) - Н дТКс; Z2) - - Н т,; Z2) Лемма. Пусть U- ориентированное замкнутое многообразие, полу ченное из многообразия dTKG заклеиванием границы dTKG телами с ручками {Т.}. Тогда отображение in :Hi(TKG ; Z2) -» Н\{Е; Z2) эпиморфизм. Если Fi - сфера, то заклеим ее трехмерным диском (такая заклейка, очевидно, удовлетворяет условиям леммы), иначе заклеим компоненту края Fi телом с ручками Ті по следующему правилу. Пусть и: H\{Ti, Z2)-» Hi(TKG; Z2). Заметим, что если, / (ay) = 0, то / (b у) Ф 0 и наоборот, если и (Ь у) = 0, то / (ау) 0, так как индекс пересечения в Fx классов [а у :by] = l. Заметим так же, что при отображении і не более поло вины гомологических классов а у, Ъ у отображается в 0. Пусть і (а ц) 0. Приклеим к ТКс 2-ручку по окружности, представляющей образующую а п, при этом компонента края F\ перестроится в компоненту края /V, и род F\ будет на единицу меньше рода F\. Если Fi - не сфера, то существует для гомологических классов Ь \2 и а и такой, что і (а і2) 0 или / {Ъ и) 0. Поступим с F\ также, как и с Fh и так далее, пока не получим после очередной заклейки сферу, которую заклеим трехмерным диском. Эта процедура уменьшила число компонент края на единицу, и мы получили трехмерное многообразие T1KG, компонентами края которого являютсяF,(/ = 2,..s).
Заклеим компоненту края Fi телом с ручками Т2 (аналогично заклейке компоненты F{), и так далее. Проделав такую процедуру последовательно со всеми компонентами края ТКс, мы получим требуемую заклейку, так как приклейка каждой 2-ручки убивала класс гомологии а такой, что і (а) 0 (то есть если ш2 (а) = 0, то іщ (а) 0, и наоборот, значит Кег іщ ПКег in2 = 0).D 14.2.8. Замечание. Пусть G Е Q, и пусть ранг спаривания HI(TKG , Z2)XH2(TKG; Z2) - Z2 равен m, тогда комплекс G реализуется в ориентируемом замкнутом многообразии, 22-гомологии которого равны Z2m. Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы
Базис группы инвариантов первой степени
Пусть Imm (S ; к ) - пространство погружений S - R . Обозначим через /„ С Imm (S2; R3) (п 0) подпространство погружений в Imm(S2; R3), имеющих ровно и точек вида/?, в частности, 10- подпространство общих погружений (см. стр. 30)
Пусть G - абелева группа, и пусть функция q : IQ -» G - инвариант, то есть функция, постоянная на каждой компоненте линейной связности про-странства /0. Пусть погружение/: 5 -» R имеет ровно одну особую точку pEImf вида/?, то есть/ Є/і. Пусть для погружения / выбрана некоторая (любая из двух возможных) коориентация г, и общие погружения/! и/2 получены из погружения/ разрешением данной особой точкир : погружение /- со знаком (-1), погружение/2 - со знаком (+1) (знаки выбраны согласно коориентации г), то есть погружение /і получается из погружения/2 с помощью одной из стандартных перестроек. Доопределим значение инварианта на погружении / по следующей формуле:
Для погружения/Є /„ , имеющего несколько особых точек/?!, р2, ..., рп видов Е,ТД или Q, можно аналогично доопределить функцию (р (см. например []). Временной коориентацией тдля погружения/ будем называть совокупность его коориентации в окрестностях особых точек вида/?. Разрешив погружение/в каждой из точекphр 2, ... ,р п двумя способами, мы получим 2" общих погружений /р/2,—5/„ Знаком погружения/) (где / = 1, будем называть произведение знаков п разрешений погружения/, приводящих его в погружение fj. Пусть Sj = ±1 - знак погружения Тогда значение инварианта р Тиа погружении /определим по следующей формуле: зменение коориентации одной особой точки погружения/ влечет за собой изменение знаков на противоположные для всех общих погружений, которые получаются при разрешении всех особых точек вида R погружения/, то есть изменение знака р T(f).
Из леммы 19.1 непосредственно следует, что равенство нулю р T(f) для инварианта р на погружении/Є/„ не зависит от выбора временной коориентации т, так что в дальнейшем мы будем писать p(f) = 0.
Инвариант р: /0 - G будем называть инвариантом степени меньше или равной единицы, если р (f) = 0 для любого погружения/ Є її. Очевидно, что если ф = 0 на /2, то q = 0 на /„ при всех .3амечание. Аналогично определяется инвариант степени меньше или равной п (п MJ{0}): ДЛЯ любого погружения с числом особых точек большим п его значение равно нулю (см. [14], [15], [25]).
Введем коориентацию г, зафиксировав постоянные коориентации Ram-перестроек, описанные в 5 (стр. 35). Поскольку Н т-и Qzm-перестройки не коориентируются, то для любых двух коориентации Ті, т2 и любого погружения/, имеющего ровно одну из двух особых точек Н1 или Q2, (pT (/) = pTl(f), поэтому в силу леммы 19.1 2(р (f) = 0 при любой коори ентации г. В дальнейшем будем опускать обозначение коориентации г, так как она однозначно определена. 19.3.3амечание. Изменение инварианта при положительной Ram -перестройке равно его значению на соответствующем погружении с одной особой точкой вида R"m. 19.4.Теорема [25]. Инвариант степени меньше или равной единицы при Ram перестройке изменяется на константу, которая зависит только от вида перестройки R, ее коориентации и от параметров
Пусть Vi(G) - множество инвариантов степени, не превышающей еди-ницы, со значениями в абелевой группе G для погружений S - R . Очевидно, V\(G) является абелевой группой. Мы будем рассматривать элементы группы V\(G) по модулю постоянных функций на 10 (то есть с точностью до инвариантов нулевой степени). Профакторизованную по этому отношению группу V\(G) будем обозначать через V, (G) и называть группой инвариантов первой степени (элементы V\(G) определяют один и тот же класс из Vt (G) тогда, и только тогда, когда они совпадают
