Содержание к диссертации
Введение
1 Узлы, сингулярные узлы и их кодировки 19
1.1 Узлы, сингулярные узлы и их плоские диаграммы 20
1.2 Изотопическая эквивалентность узлов 21
1.3 Движения Рейдемейстера 22
1.4 Диаграммы Гаусса узлов 24
1.5 Движения Рейдемейстера на диаграммах Гаусса 27
1.6 Сингулярные узлы и хордовые диаграммы 28
1.7 Инварианты Васильева 29
1.8 Размерности пространств хордовых диаграмм и весовых систем. Теорема Концевича 31
1.9 Модуль Васильева 33
1.10 Таблицы для инвариантов малых порядков 34
1.11 Стрелочные полиномы 34
1.12 Примеры вычислений значений стрелочных полиномов 37
1.13 Условия инвариантности диаграммно-стрелочных формул 38
1.14 Теорема Гусарова 40
2 Универсальные весовые системы и интеграл Концевича неузла 41
2.1 Алгебра графов Фейнмана 41
2.2 Универсальный инвариант Васильева-Концевича 44
2.3 Универсальные весовые системы, отвечающие супералгебре Ли 0((1|1) 46
2.4 Интеграл Концевича неузла 49
2.5 Нормировочный множитель универсального инварианта Васильева-Концевича 50
3 Контпримеры к некоторым формулам инвариантов Васильева четвертого порядка 52
3.1 Диаграммно-стрелочные формулы 53
3.2 Обсуждение диаграммных формул и контрпримеров 54
3.3 Опровержение формулы Виро-Поляка для инварианта четвертого порядка 55
3.4 Опровержение формул Тюриной для базисных инвариантов четвертого порядка 56
4 Комбинаторные формулы базисных инвариантов четверто го порядка 61
4.1 Обзор и обсуждение результатов 61
4.2 Анализ движений Рейдемейстера 63
4.3 Порождающие движения Рейдемейстера на диаграммах Гаусса 67
4.4 Поиск диаграммно-стрелочных формул инвариантов Васильева четвертого порядка 69
4.5 Решение системы уравнений 70
4.6 Однородный инвариант узлов четвертого порядка 71
4.7 Неоднородный инвариант узлов четвертого порядка 81
4.8 Порядок диаграммно-стрелочных инвариантов 89
4.9 О порядке инвариантов Vi(K) и V(K) 91
4.10 Базис инвариантов четвертого порядка 92
4.11 Разложение произвольного инварианта порядка не выше четырех по базису 92
Приложение 94
Литература 107
- Изотопическая эквивалентность узлов
- Примеры вычислений значений стрелочных полиномов
- Интеграл Концевича неузла
- Опровержение формулы Виро-Поляка для инварианта четвертого порядка
Введение к работе
Актуальность И история вопроса. Классическая теория узлов и зацеплений, как часть топологии, изучает широкий круг задач, связанных с расположением одномерных многообразий внутри трехмерного пространства R3 или трехмерной сферы 3. Ее истоки восходят к концу восемнадцатого века. Уже у К. Гаусса в записных книжках встречаются заузленные геометрические объекты похожие на косы и узлы, он же вывел интегральную формулу для коэффициента зацепления двух замкнутых кривых в пространстве.
Основная задача теории узлов и зацеплений состоит в их классификации с точностью до изотопии в R3. Эта задача полностью не решена до сих пор. Традиционный подход к этой проблеме состоит в построении алгебраических изотопических инвариантов.
Задачами теории узлов систематически начал заниматься П. Тейт [49] под влиянием У. Томпсона (лорд Кельвин) в конце XIX века. Они предприняли попытку построения геометрической теории для решения некоторых задач из области математической физики.
Как самостоятельная ветвь топологии теория узлов сформировалась в начале 30-х годов XX века после работ Дж. Алексапдера [25], в которых был открыт полиномиальный инвариант узлов и установлена связь теории узлов с теорией кос. В 1933 г. К. Рейдемейстер [46] определил движения, сводящие пространственную изотопию узлов к преобразованию их диаграмм на плоскости.
Полиномиальные инварианты играют важную роль в теории узлов. В последние годы построено много различных полиномиальных инвариантов, появление которых стимулировано работой В. Джонса [35] в 1984 г. В этой работе был открыт новый подход к построению полиномиальных инвариантов для узлов и зацеплений. Полином Джонса различает некоторые
узлы, не отличимые с помощью полинома Александера.
Вскоре полиномиальные инварианты получили обобщение в конструкциях квантовых инвариантов узлов, в теории инвариантов конечного порядка. Наиболее значимые результаты здесь получены в последние три десятилетия. Эти достижения связаны с именами Дж. Конвея, В. Джонса, В.А. Васильева, М.Л. Концевича, М.Н. Гусарова, Дж. Бирман и др. Инварианты узлов конечного порядка (называемые также в литературе "инвариантами Васильева") были введены В.А. Васильевым [50] и М.Н. Гусаровым [13] в начале 1990-х годов. На данный момент это самый сильный класс инвариантов. Подход В. А. Васильева основан на теории особенностей и использует дискретные производные для распространения инвариантов на пространство сингулярных узлов. Немногим позже М.Н. Гусаров независимо предложил более геометрическое описание этих инвариантов.
Пространство инвариантов конечного порядка имеет естественную фильтрацию. Соответствующее градуированное векторное пространство возможно описать в терминах хордовых диаграмм, которое имеет структуру алгебры Хопфа. Алгебра хордовых диаграмм активно изучалась в работах Д. Бар-Натана [26], СВ. Дужина, С.К. Ландо, СВ. Чмутова [31].
Связь классических полиномиальных инвариантов узлов с инвариантами конечного порядка изучалась Дж. Бирман, Кс. Лин [29], И.А. Дынни-ковым [16].
Значительный вклад в эту новую теорию был сделан М.Л. Концевичем [37], построившим универсальный инвариант Z(K) для инвариантов конечного порядка узлов. Определение Концевича для Z(K) использует сложные кратные интегралы от логарифмических дифференциальных форм шц — Z і которые зависят от реализации узла как гладкой кривой в R3.
П. Картье [30], Т. Ле, Дж. Мураками [39] и С. Пиунихин [44] дали комбинаторную конструкцию для Z(K), использующую плоские диаграммы узлов и теорию категорий.
Нахождение всех инвариантов конечного порядка для произвольных узлов в явном виде с помощью интеграла Концевича Z(K) требует сложных
аналитических вычислений. Такие вычисления проведены только для инвариантов второго порядка и для некоторых других инвариантов конкретных узлов (см. [24]). Естественно возникает задача о вычислении всех инвариантов Васильева, в частности, малых порядков и предъявлении для них явных формул.
Первые комбинаторные формулы для инвариантов Васильева второго и третьего порядков узлов описаны в 1993 г. в работе Ж. Ланна [38].
В 1994 г. О.Я. Виро и М.Б. Поляк [43] получили явные диаграммно-стрелочные формулы для этих же инвариантов и анонсировали формулу для одного из инвариантов четвертого порядка. Первоначальный вариант формулы для инвариантов четвертого порядка содержал неточность, которая была исправлена в 1997 г. О. Остлундом [41].
В 1999 г. С.Д. Тюрина [21] анонсировала диаграммно-стрелочные формулы для двух базисных инвариантов Васильева четвертого порядка, дополняющих инвариант Виро-Поляка.
В работе Т. Очиаи [40] предъявлены явные комбинаторные формулы другого типа для инвариантов четвертого порядка, однако эти формулы до сих пор не доказаны.
Идея определения инвариантов Васильева по диаграмме Гаусса узла состоит в задании функции на их диаграммах Гаусса, которые должны эффективно вычисляться по достаточно простым комбинаторным правилам. Диаграммно-стрелочные формулы являются реализациями этого намерения,
М.Н. Гусаров [34] в 1998 г. доказал теорему существования представления любого инварианта Васильева порядка не выше п Vn(K) в виде стрелочного полинома Рп, определенного на диаграмме Гаусса Q(K) узла К по следующей формуле
vn(K) = (рп,д(к)),
где стрелочный многочлен Рп имеет порядок п (т.е. включает стрелочные диаграммы с не более чем п стрелками и хотя бы одну диаграмму с п стрелками).
Цель диссертационной работы
построить явные диаграммно-стрелочные формулы для двух базисных инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов.
вычислить нормировочный множитель универсального инварианта Васильева-Концевича неузла для универсальной весовой системы, отвечающей супералгебре Ли gl(l|1).
Научная новизна. Построены явные диаграммно-стрелочные формулы для двух инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов. Показано, что все ранее анонсированные формулы инвариантов четвертого порядка оказались неверными, в частности, подробно разобраны соответствующие контрпримеры. Анализируется интеграл Концевича для неузла и вычислен нормировочный множитель д[(1|1)-весовой системы для универсального инварианта Васильева-Концевича неузла.
Содержание работы
В первой главе даны необходимые определения, утверждения, обобщения некоторых известных результатов. Объектами нашего исследования являются узлы, сингулярные узлы и их кодировки.
Определяются инварианты конечного порядка (инварианты Васильева), затем приводятся примеры вычисления этих инвариантов.
Составлена таблица значений инвариантов Васильева до четвертого порядка включительно для узлов с не более десятью двойными точками. Она получена непосредственным вычислением инвариантов по определению с использованием основного соотношения Васильева.
Вводится модуль Васильева (объект, двойственный пространству инвариантов Васильева).
Под ориентированным узлом К : S1 —> R3 в диссертации понимается гладкое вложение ориентированной окружности S1 в трехмерное пространство R3.
Два узла называются эквивалентными, если существует сохраняющий
ориентацию гомеоморфизм пространствам3 в себя, переводящий один узел в другой.
Особое внимание уделено изучению свойств диаграмм Гаусса узлов. Они являются удобным способом кодирования ориентированных узлов.
Определение 1.4.1. Возьмём узел и его плоскую диаграмму, отметим на ориентированной окруоісности прообразы всех двойных точек плоской диаграммы узла. Пары, соответствующие одной двойной точке диаграммы соединим стрелкой, то есть хордой с направлением, по следующему правилу: ориентируем хорду от прообраза прохода к прообразу перехода. Каждой полученной стрелке сопоставим знак "+" или "—" в зависимости от типа перекрестка в соответствующей двойной точке диаграммы узла:
+
Построенный объект называется диаграммой Гаусса узла.
Приведём пример узла бі и соответствующей ему диаграммы Гаусса (используются стандартные обозначения табличных узлов [23])
СГ) Л-
к = Ы м ^g- = SW-
Узел однозначно восстанавливается по диаграмме Гаусса с точностью до изотопии.
Доказывается необходимое условие реализуемости диаграммы Гаусса.
Теорема 1.4.1. Если диаграмма Гаусса кодирует узел, то для любой стрелки все стрелки которые ее пересекают моэюно разбить на пары сонаправленпых стрелок различных знаков или противоположено направленных стрелок одного знака.
Доказательство опирается на теорему Жордана и исследование типов перекрестков диаграммы узла.
Аналогичным образом можно сопоставить диаграмму Гаусса сингулярному узлу.
Определение 1.1.2. Сингулярным узлом Кт : S1 — R3 cm сингулярными точками называют регулярное погружение ориентированной окружности S1 в пространство R3, допускающее конечное число т двойных точек самопересечения с линейно-независимыми касательными векторами, в каждой из точек самопересечения.
Обозначим пространство сингулярных узлов с не более, чем т двойными точками Кт, в частности пространство узлов обозначим Kq. Отметим, что Кп С Кт, для всех m ^ п.
Диаграмма Гаусса сингулярного узла обобщает диаграмму Гаусса узла и получается из нее добавлением хорд с точкой, сопоставляемых сингулярным точкам узла. Эти хорды с точкой такие, что если хорду ориентировать в направлении точки, то знак соответствующего, определяемого возникшей стрелкой, перекрестка будет положительным.
Диаграммы Гаусса сингулярных узлов названы в диссертации стрелочно-хордовыми диаграммами.
Каждый инвариант узлов V: /Со —> к со значениями в абелевой группе к можно продолжить на все пространство сингулярных узлов Кт для всех т > 0 индуктивно по правилу:
(основное соотношение Васильева).
Определение 1.7.1. Инвариант Vn называется инвариантом Васильева порядка не выше п, если он принимает значение 0 на любом сингулярном узле Кт с числом двойных точек большем, чем п, т.е.
Vn{Km) = 0 для любых т> п.
Порядком инварианта Васильева Vn называется минимальное неотрицательное число тг, удовлетворяющее определению 1.7.1.
Определяются стрелочные диаграммы и их вложения в диаграмму Гаусса узла, а также знаки этих вложений.
Стрелкой в окружности назовём ориентированную хорду, то есть хорду с выбранным на ней направлением.
Определение 1.11.1. Стрелочной диаграммой называется ориентированная окружность с несколькими стрелками кратности 1 или 2. Стрелки кратности 2 будем обозначать на рисунке двойной стрелкой.
Определение 1.11.2. Пусть Q{K) диаграмма Гаусса узла К. Поддиаграммой диаграммы Гаусса стрелочного типа А называется вложение 7 : А —> Q{K), переводящее окруоіспость в окружность с сохранением ориентации и каждую стрелку А в стрелку Q{K), при этом на кратность стрелок при вложении в диаграмму Гаусса не обращаем внимания.
Заметим, что диаграмма Гаусса может иметь несколько различных поддиаграмм стрелочного типа А.
Назовем знаком є (A, j) поддиаграммы стрелочного типа А произведение знаков стрелок в образе вложения 7- При этом образ двойной стрелки стрелочной диаграммы всегда подсчитывается со знаком плюс.
Существуют стрелочные диаграммы, которые вкладываются в диаграмму Гаусса несколькими симметричными способами. Геометрически это означает, что новое вложение 7' получено из вложения 7 взятием композиции его с поворотом на некоторый угол относительно центра окружности, переводящим стрелочную диаграмму в себя.
Определение 1.11.3. Обозначим через (A,Q(K)) алгебраическую сумму знаков всех поддиаграмм стрелочного типа А, при этом подсчитываем каждое симметричное вложение в диаграмму Гаусса G(K) узла К отдельно
г-А->д(к)
Положим по определению, что для формальной линейной комбинации стрелочных диаграмм Х)г=1п^ с коэффициентами из заданного поля F,
выполняется равенство
к к
i=l t=l
Определение 1.11.4. Формальную линейную комбинацию стрелочных диаграмм будем называть стрелочным полиномом. Порядком т стрелочного полинома Рт назовем максимальное количество стрелок в стрелочных диаграммах, которые его определяют.
Приведем примеры вычислений определённой величины
Формулы, определенные выражениями (Рт, G(K)), названы в диссертации диаграммно-стрелочными.
Вычисление инвариантов Васильева по определению весьма трудоемкое занятие. В работе [43] О.Я. Виро и М.Б. Поляк нашли явные диаграммно-стрелочные формулы для инвариантов второго и третьего порядков и поставили вопрос: Каждый ли инвариант Васильева длинного узла может быть определен по его диаграмме Гаусса некоторым стрелочным полиномом?
В 1998 г. М.Н. Гусаров ответил на этот вопрос положительно. Он доказал, что любой инвариант Васильева порядка п выражается через стрелочные полиномы. Отметим, что доказательство данной теоремы неконструктивное, т. е. не позволяет найти и описать явным образом стрелочные полиномы инвариантов узлов конечного порядка. Однако теорема Гусарова побуждает к поиску этих стрелочных полиномов.
Во второй главе вычисляется значение 0І(1|1)-весовой системы, применённой к интегралу Концевича неузла. Это значение является нормировочным множителем для универсального инварианта Васильева-Концевича узла, отвечающего супералгебре Ли д[(1|1). Используемая весовая система есть функция, определенная на пространстве хордовых диа-
грамм, со значениями в центре Z универсальной обертывающей алгебры дляд[(1|1).
Изучаются свойства алгебры хордовых диаграмм, алгебры диаграмм Фейнмана, алгебры графов Фейнмана.
Определяется интеграл Концевича Z(K), задающий инвариант морсов-ского узла со значениями в пополненной алгебре хордовых диаграмм. Интеграл Концевича неинвариантен относительно деформаций, меняющих число критических точек проекции узла. Следующая модификация интеграла Концевича представляет собой настоящий инвариант узла (универсальный инвариант Васильева-Концевича)
т = *(*>„,
\ I г/Г П \т(АГ)
Z(rUj) 2 где fJj - общепринятое обозначение неузла с четырьмя критическими точками, а т(К) - число критических точек узла К.
1{К) называется универсальным инвариантом Васильева-Концевича. Все инварианты Васильева получаются из него применением некоторых весовых систем к хордовым диаграммам, входящим в выражение интеграла.
Вычислен знаменатель в указанной формуле с использованием универсальной 0І(1|1)-весовой системы. Это значение является нормировочным множителем необходимым при вычислении инвариантов узлов.
Определяется весовая система, отвечающая супералгебре Ли д[(1)1). Пусть gl(l|l) - матричная супералгебра Ли суперпространства С1'1. Рассмотрим универсальную весовую систему Wfl[(i|i) со значениями в центре Z(/(gl(l|l))) универсальной обёртывающей алгебры [/(gl(l|l)) супералгебры Ли gl(l|l)). Известно [12], что Z(U(qI(1\1))) = C[u,c], где и есть образ единичной матрицы в универсальной обертывающей алгебре (7(д((1|1)), а с - квадратичный элемент Казимира в /(д[(1|1)).
Весовая система T^gt(i|i) определяется следующими значениями на элементарных графах Фейнмана (см. [12]).
Wm)CY) = -и2 и Wmi)( ) = с.
Формулу интеграла Концевича неузла в терминах графов Фейнмана ш^п получили Д. Бар-Натан, С. Гарифалидис, Л. Розанский, Д. Тёрстон [27]. Рассмотрим "колеса" u^n, то есть графы Фейнмана вида:
произведение на них определяется как несвязное объединение (обозначим его U) графов Фейнмана.
Теорема 2.4.1. ([27]). Интеграл Концевича неузла выражается равенством:
Z((^J) = expu I ^Ъ2п^2п\ ,
\п>1 /
где ехри вычисляется как формальная экспонента линейной комбинации графов Фейнмана Ш2П, &2п - числа Бернулли, определяемые равенством
Z^n>l y2n^ — 2 ШЬ x/2
Сформулируем полученные результаты. Лемма 2.5.1. Имеет место следующее рекуррентное равенство для gl(l\l)-весовой системы на графах Фейнмана и)2П
Щ{\\\)(ъ)2п) = U2Wfl[(i|i)(u;2n-2)-
Доказательство использует фундаментальные соотношения универсаль
ной весовой системы Wfl[(i|i) и некоторые вычисления для графов Фейнма
на w2n-
Лемма 2.5.2. Для натурального п = п\ + щ Н \-Щ имеем
^Я[(і|і)(^2Пі U ы2п2 U U w2nJ = (-2)
ku2n.
Доказательство следует из свойства мультипликативности д[(1|1)-весовой системы, нормировочных условий и леммы 2.5.1.
Теорема 2.5.3. Универсальной весовой системе Wfl[(i|i) супералгебры Ли (Г(1|1) отвечает следующее значение интеграла Концевича от неузла
Доказательство опирается на применение весовой системы И^[(і|і) к интегралу Концевича неузла, использует определение чисел Бернулли и леммы 2.5.1 и 2.5.2.
В третьей главе опровергаются явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева четвертого порядка, которые были анонсированы разными авторами [43], [21].
В 1994 году О.Я. Виро и М.Б. Поляком были построены явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева второго и третьего порядков, определенные по диаграмме Гаусса узла. Более того, была анонсирована формула одного из трех базисных инвариантов четвертого порядка V41, которую исправил О.-П. Остлуид в 1997 году. Диаграммно-стрелочные формулы для двух других базисных инвариантов четвертого порядка VI и У43 были анонсированы С.Д. Тюриной в 1999 году.
Доказывается, что ни одна из указанных формул не задаёт инвариант Васильева четвертого порядка. Для этого в каждом случае строится контрпример. Мы указываем диаграмму некоторого узла и третье движение Рейдемейстера в ней, относительно которого рассматриваемая формула неинвариантна.
Доказывается неинвариантность формулы О.Я. Виро, М.Б. Поляка, О.П. Остлунда для инварианта узлов четвертого порядка относительно третьего движения Рейдемейстера для правого трилистника, заданного диаграммой с семью перекрёстками. Эта диаграмма получена из табличной диаграммы узла 7j сменой "прохода" на "переход" в одном из перекрестков.
Опровергаются две формулы, анонсированные С.Д. Тюриной для инвариантов четвертого порядка. Показано, что первая формула неинвариантна, например, относительно третьего движения Рейдемейстера для связной суммы двух левых трилистников, заданных диаграммой с восемью двойными точками. Эта диаграмма получена из табличной диаграммы узла 821. Затем рассмотрен правый трилистник, заданный диаграммой с восемью пересечениями, диаграмма узла получена из табличной диаграммы узла 8is-Доказано, что вторая формула также не инвариантна относительно третье-
го движения для этого узла. То есть формулы из [43], [21] не определяют ни одного инварианта четвертого порядка.
В четвёртой главе построены явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов. Доказана инвариантность полученных диаграммно-стрелочных формул относительно всех движений Рейдемейстера.
Точнее, указаны два стрелочных полинома Р\ и Р\, определенных на диаграммах Гаусса узлов. Полином Р\ определяет однородный чётный инвариант VI, а Р\ неоднородный чётный инвариант VI четвертого порядка для узлов. Коэффициенты в формулах для стрелочных полиномов Р\ и Р\ получены с помощью анализа переопределенных систем линейных уравнений с большим числом неизвестных.
Опишем более подробно результаты данной главы.
Детально проанализированы движения Рейдемейстера для ориентированных узлов. Выделены движения, достаточные для установления эквивалентности диаграмм Гаусса узлов.
Любая композиция последовательности движений Рейдемейстера диаграммы Гаусса произвольного узла, мооїсет быть представлена как композиция последовательности движений Рейдемейстера диаграммы Гаусса, изображенных па рис. ниже:
„-А:. ,.-*; .--^-.
У ~ С ) -І2)
Неизвестно никакого критерия, позволяющего каким-то образом выбирать необходимые стрелочные диаграммы для включения их в стрелочный полином для инварианта конечного порядка. В силу этого мы берём стрелочный полином Р = J2j xjSj, содержащий всевозможные стрелочные
диаграммы Sj с не более чем четырьмя стрелками. Составляется матричное уравнение UX = V\, где U - матрица коэффициентов иц = {Sj, Q{Ki)), X = (xj) - столбец неизвестных коэффициентов в искомом стрелочном полиноме, V4 - значения некоторого инварианта Васильева четвертого порядка для последовательности табличных узлов. Замечено, что при увеличении количества рассматриваемых узлов, начиная с некоторого номера, ранг матрицы U стабилизируется и не увеличивается при увеличении размера U, т.е. при увеличении количества рассматриваемых табличных узлов. Этот ранг равен 36. Для У/ и Vi составлены матричные уравнения UX = VI и UX = V%. Эти уравнения решены с помощью системы компьютерной математики Maple. Получены стрелочные полиномы Р\ и Р\, которые указаны ниже.
Теорема 4.6.1. Если Q{K) - диаграмма Гаусса узла К, то
является инвариантом Васильева четвертого порядка, который принимает значение 1 на узле 4i, значение О на узлах Зі, 5і и 5г, где стрелочный полином Р\ имеет вид
Теорема 4.7.1. Если Q{K) - диаграмма Гаусса узла К, то
vi(K) = (Р2,о{к))
является инвариантом Васильева четвертого порядка, который принимает значение 3 на узле Зі, 4 - на узле 4і, 25 - на узле 5і, 13 - на узле 5г,
где полином Р\ имеет вид
«-!-
Доказано, что стрелочные полиномы Р\ и Р\ инвариантны относительно всех движений Рейдемейстера и задают два линейно-независимых инварианта Васильева четвертого порядка. Центральное место в доказательстве занимает метод фрагментов диаграммы Гаусса G(K). Доказывается, что инварианты VI (К) и V%(K) имеют четвёртый порядок.
Лемма 4.8.2. Пусть Vn(K) = (Pn,Q(K)) - инвариант узлов и Рп стрелочный полином п-го порядка, тогда инвариант Vn имеет порядок не выше п.
Доказательство опирается на определение инвариантов конечного порядка и использует индуктивное правило преобразования стрелочно-хордовой диаграммы Q(JCn+i) сингулярного узла в линейную комбинацию диаграмм Гаусса узлов.
Теорема 4.9.1. Порядок каоїсдого из инвариантов Vl(K) и VI (К) равен четырем.
Основным моментом в доказательстве является вычисление весовых систем, которые задаются инвариантами V} и Vf. Используется разложение сингулярных узлов в модуле Васильева.
Теорема 4.10.1. Инварианты Vl, Vl и квадрат инварианта второго порядка ()2 образуют аддитивный базис в пространстве инвариантов Васильева четвертого порядка, с точностью до инвариантов порядка не выше трех.
Таким образом, для пространства инвариантов Васильева узлов до четвертого порядка включительно дано комбинаторное описание в терминах стрелочных диаграмм.
Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю -доктору физико-математических наук Владимиру Павловичу Лексину за постановку задач и большую помощь в написании работы.
Изотопическая эквивалентность узлов
Топологическое понятие узла подразумевает, что узлы рассматриваются с точностью до естественного отношения эквивалентности, моделирующего те преобразования, которые можно физически проделать с куском веревки, концы которой связаны. Отображения Т HU гомотопны, если существует семейство непрерывных отображений $t X — Y (непрерывно зависящих от Є [0,1] и х Є X), "соединяющее" отображения Т и С/, т.е. в начальный момент при t = 0 мы имеем фо — Т, а в конечный момент при t = 1 имеем фі = U. Гомотопия узла определяет отображение F : S1 х / — R3, заданное формулой: $t(z) = F(x,t). Два гладких вложения K\,K i : S1 — R3 называются изотопными, если существует гомотопия F : Sl х I — R3 между отображениями К\ и Ki такая, что отображение фг S1 — R3, определенное по формуле F(x,t) = il)t{%)i является для каждого t Є [0,1] гладким вложением. Другими словами, два вложения изотопные, если их можно продефор-мировать друг в друга в классе гладких вложений. Два узла называются эквивалентными, если они изотопны. Можно дать другое определение эквивалентности узлов. Два узла назовем эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм пространства R3 в себя, переводящий один узел в другой. Два определения эквивалентны в силу теоремы об изотопности гомеоморфизма R3 тождественному гомеоморфизму.
Первой среди задач классической теории узлов традиционно рассматривают задачу об установлении эквивалентности диаграмм одного и того же узла. Исчерпывающая теория была построена К. Рейдемейстером [46]. На рис. 1.1 изображены три локальных преобразования плоских диаграмм. Эти преобразования обозначаются fii, f , 0,%. Они вместе с обратными преобразованиями fi 1, Г 2, з"3 называются движениями (перестройками) Рейдемейстера. По определению каждое движение Рейдемейстера изменяет диаграмму узла внутри маленького диска и оставляет без изменения остальную часть диаграммы. Эти преобразования сводят пространственную изотопию узлов к преобразованию диаграмм. Две диаграммы называются плоско изотопными, если они получаются друг из друга конечной последовательностью преобразований, изображенных на рис. 1.2. Диаграмма узла, рассматриваемая с точностью до плоских изотопии, содержит следующую информацию: (1) в каком порядке вдоль кривой следуют точки самопересечения, (2) какая ветвь кривой в точке самопересечения является проходом, а какая переходом. Определение 1.3.1. Две диаграммы узлов называются эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью конечной последовательности двиэ/сений Рейдемейстера и плоских изотопии. Преобразования Рейдемейстера и плоские изотопии мы рассмотрели для диаграмм неориентированных узлов. Для ориентированных узлов необходимо согласованным образом ориентировать все ветви фрагментов диаграмм до и после движения. По своей диаграмме узел восстанавливается однозначно с точностью до эквивалентности в силу теоремы Рейдемейстера. Теорема 1.3.1 (Рейдемейстер [46]). Два узла являются эквивалентными тогда и только тогда, когда их диаграммы эквивалентны.
Диаграммы Гаусса являются удобным способом кодирования ориентированных узлов и строятся по его плоской диаграмме. Определение 1.4.1. Возьмем узел и его плоскую диаграмму. Отметим па ориентированной окружности прообразы всех двойных точек диаграммы узла. Пары, соответствующие одной двойной точке диаграммы соединим стрелкой, то есть хордой с направлением, по следующему правилу: в каэюдой двойной точке укаоїсем, какая ветвь узла проходит выше, какая -ниже. Далее ориентируем хорду, соединяя прообразы двойной точки диаграммы, от прообраза прохода к прообразу перехода. Каоїсдой полученной стрелке сопоставим знак в зависимости от типа перекрестка в соответствующей двойной точке диаграммы узла (см. рис. 1.3). Построенный объект называется диаграммой Гаусса G{K) узла К. Будем считать, что окружность диаграммы Гаусса на рисунках всегда ориентирована против часовой стрелки.
Приведём пример диаграммы Гаусса узла. На рис. 1.4 изображен узел бі и соответствующая ему диаграмма Гаусса. Диаграмма Гаусса определяется по узлу. По ней узел однозначно восстанавливается с точностью до изотопии. Аналогичным образом можно сопоставить диаграмму Гаусса сингулярному узлу. Диаграмма Гаусса сингулярного узла обобщает диаграмму Гаусса узла и получается из нее добавлением хорд с точкой, сопоставляемых сингуляр ным точкам узла. Эти хорды с точкой такие, что если хорду ориентировать в направлении точки, то знак соответствующего, определяемого возникшей стрелкой, перекрестка будет положительным. Будем называть диаграмму Гаусса сингулярного узла стрелочно-хордовой диаграммой. Приведём пример сингулярного узла с двумя точками самопересечения и его стрелочно-хордовой диаграммы.
Примеры вычислений значений стрелочных полиномов
На примерах поясним вычисление стрелочных полиномов и использование понятия вращательной симметрии стрелочной диаграммы в этих вычислениях. В этом примере стрелочная диаграмма имеет вращательную симметрию четвертого порядка. Поддиаграмм данного стрелочного типа в диаграмме Гаусса узла ровно три и каждому вложению соответствует знак плюс. С учетом вращательных симметрии указанного стрелочного типа, скобка равна 3 4 = 12. Пример 2. Здесь стрелочная диаграмма имеет вращательную симметрию третьего порядка. Пометим все стрелки диаграммы Гаусса G(K) числами 1,...,6 см. рис. 1.8. Мы имеем три поддиаграммы указанного стрелочного типа. Они кодируются номерами 234, 345 и 236. Выпишем все поддиаграммы в Q(K) данного стрелочного типа с учетом их симметрии. Стрелку кратности два будем кодировать дублирующимся номером. Укажем знак каждого вложения. Суммируя знаки всех вложений получим значение скобки на диаграмме данного стрелочного типа. Оно равно 1. Рассмотрим метод фрагментов диаграммы Гаусса (см. работу [41]), который позволяет облегчить доказательство инвариантности диаграммно-стрелочных формул относительно движений Рейдемейстера. Фрагментом диаграммы Гаусса R называют те стрелки диаграммы Гаусса, которые участвуют в движении Рейдемейстера. Заметим, что фрагмент диаграммы Гаусса может быть и пустым. Вложением 7т,/ стрелочной диаграммы А с т + l стрелками во фрагмент диаграммы Гаусса R назовем ее вложение в диаграмму
Гаусса при котором фиксированное число / стрелок bi,... ,bi стрелочной диаграммы отображается в стрелки фрагмента R, а остальные т стрелок отображаются в заданное множество а\,... ,ат из т стрелок дополнения диаграммы Гаусса к этому фрагменту. Такое множество также может быть пустым. Знаком є(7т,ь Щ — {h) є{Ьі) вложения стрелочной диаграммы во фрагмент R называется произведение знаков стрелок фрагмента, в которые отображаются стрелки стрелочной диаграммы А. Относительно движения Рейдемейстера Q, : Ш - R1 условие инвариантности диаграммно-стрелочной формулы (Рп, Q{K)) состоит в следующем равенстве: где узел К получен из узла К применением к нему движения Рейдемейстера П : R\ - R1. Метод фрагментов основан на представлении числа (A, Q{K)) для стрелочной диаграммы А в следующем виде Напомним, что е(7т,ь R) — {h) s(bi). Легко понять, что разность не измениться для движения Рейдемейстера, если / = 0. Далее будет показано, что при I = 1 разность 1.13.1 тоже не изменится, поэтому достаточно рассматривать только существенные вложения стрелочных диаграмм во фрагмент R. Вложения типа (т, /) стрелочной диаграммы А во фрагмент диаграммы Гаусса R называются существенными, если I 2, т.е. вложение стрелочной диаграммы содержит более одной стрелки фрагмента диаграммы Гаусса. Обозначим через сумму знаков всех существенных вложений стрелочной диаграммы А во фрагмент R. Метод фрагментов заключается в сравнении внутренних сумм из их равенств для пары фрагментов, отвечающей движению Рейдемейсте-ра О, следует равенство 1.13.1 для А. Таким образом, из сказанного выше, равенство является достаточным условием инвариантности диаграммно-стрелочной формулы (Рп, Я (К)) относительно движения Рейдемейстера Q: R1 - Я2, которому соответствуют фрагменты диаграммы Гаусса R1 и R2 (т.е. движение Рейдемейстера О, переводит фрагмент RI во фрагмент R2 в диаграмме Гаусса).
В работе [43] О. Виро и М. Поляк поставили вопрос: Каждый ли инвариант Васильева длинного узла может быть определен по его диаграмме Гаусса некоторым стрелочным полиномом? В 1998 г. М.Н. Гусаров ответил на этот вопрос положительно. Он доказал, что любой инвариант Васильева выражается через стрелочные диаграммы. Теорема 1.14.1 (Гусаров [34]). Пусть Vn : KQ — к инвариант Васильева узлов порядка п. Тогда существует стрелочный полином Рп = ЩАІ порядка п, который его определяет где Я ІД) - диаграмма Гаусса узла. Однако отметим, что доказательство данной теоремы неконструктивное, т. е. не позволяет найти и описать явным образом стрелочные полиномы для инвариантов узлов конечного порядка. Поэтому нахождение и предъявление диаграммно-стрелочных формул для инвариантов Васильева, в частности, малых порядков остаётся нерешенной в общем случае задачей. В четвёртой главе мы решаем эту задачу для инвариантов четвёртого порядка.
Интеграл Концевича неузла
Формула интеграла Концевича неузла в терминах графов Фейнмана найдена в [27]. Эта гипотеза была сформулирована в 1997 г. и окончательно доказана в 2003 г. [28]. Напомним, что произведение графов Фейнмана U есть их несвязное объединение. Интеграл Концевича неузла вираоїсается равенством: где {} граф с двумя одновалентными вершинами и tm граф Фейнмана, имеющий вид tm = JJ- Лу Этот граф Фейнмана имеет т трехвалентных, т (т + 2) одновалентных вершинам и степень (т + 1). Из пятичленного соотношения для tm при т 2 следует: Доказательство следует из свойства мультипликативности д[(11)-весовой системы на графах Фейнмана, нормировочных условий и леммы 2.5.1. Теорема 2.5.3. Универсальной весовой системе Wfl[(ii) супералгебры Ли 0Ї(11) отвечает следующее значение интеграла Концевича от неузла Доказательство: Применим весовую систему WS[(ii) к интегралу Концевича для неузла, воспользуемся определением чисел Бернулли и леммами В главе рассмотрены явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева четвертого порядка, которые были анонсированы разными авторами. Мы показываем, что эти формулы не задают инвариантов узлов. В 1994 году О.Я. Виро и М.Б. Поляком [43] были построены явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева второго и третьего порядка, определенные по диаграмме Гаусса узла. Более того, была анонсирована комбинаторная формула одного из трех базисных инвариантов четвертого порядка, полное доказательство которой было предложено О.-П. Остлундом [41] в 1997 году. Комбинаторные формулы для двух других базисных инвариантов четвертого порядка были анонсированы С.Д. Тюриной [21] в 1999 году. Показано, что все анонсированные формулы не определяют инвариантов Васильева четвертого порядка. Во всех случаях строится свой контрпример. Мы в каждом случае указываем диаграмму некоторого узла и третье движение Рейдемейстера в ней, относительно которого рассматриваемая формула неинвариантна. Итак, на вопрос о явных комбинаторных формулах базисных инвариантов четвертого порядка указанные формулы ответа не дают.
В этом разделе мы приведём формулировки утверждений, которые мы опровергаем в настоящей работе. Необходимые определения стрелочных диаграмм и их вложений в диаграмму Гаусса узла приведены в разделе 1.11. Детальное разъяснение способа подсчета по диаграммно-стрелочным формулам было дано в разделе 1.12. Утвеждение 3.1.1. ([43]). Если Q(K) - диаграмма Гаусса узла К, то где Vl{K) - аддитивный четный инвариант Васильева порядка 4, который принимает значение 0 на тривиальном узле, значение 3 - на трилистнике и значение 2 - на узле восьмерка (узел типа 4i), а стрелочный полином А имеет вид: Утвеждение 3.1.2. ([21]). Пусть W\ - произвольная весовая система 4-го порядка, принимающая нулевое значение на хордовой диаграмме . Тогда следующая формула задает инвариант Васильева 4-го порядка где Q(K) - диаграмма Гаусса узла К. Оба базисные инварианта V (K) и Vf(K), дополнительных к V±(K) получаются применением различных базисных весовых систем Wf и W43 (заданы таблицей 1 в разделе 1.8) к хордовым диаграммам. Для доказательства неинвариантности формул достаточно показать, что они дают различные значения при движениях Рейдемейстера на конкретных узлах. Далее приведены примеры таких узлов и движений Рейдемейстера для них. Рассматриваются ориентированные диаграммы узлов К, полученные из диаграмм некоторых табличных узлов [23] заменой типа некоторых перекрёстков. Для узла К той же буквой будем обозначать его плоскую диаграмму. Соответствующую диаграмму Гаусса обозначим Q{K). Все перекрестки плоских диаграмм нумеруются некоторым образом (например в соответствии с выбранной ориентацией узла). Каждому пронумерованному перекрестку в К соответствует стрелка в Q{K) с тем же номером. Дополнительно указывается знак, отвечающий типу перекрестка диаграммы узла, он же соответствует знаку стрелки на диаграмме Гаусса. Стрелочную поддиаграмму А в диаграмме Гаусса Q{K) будем описывать номерами стрелок, которые их образуют. Стрелки кратности два будем кодировать дублирующимся номером. Все возможные вложения стрелочных диаграмм формулы в диаграмму Гаусса Q{K) узла будем выписывать с указанием типа стрелочной диаграммы и ее знака.
aВ соответствии с формулой вычислим значение инвариантов. Далее будем рассматривать диаграмму К узла, полученную применением к диаграмме К третьего движения Рейдемейстера. По описанной выше схеме вычислим соответствующие значения "инвариантов" по формулам 3.1.1 и 3.1.3. В соответствии с теоремой Рейдемейстера [46] диаграммы эквивалентных
Опровержение формулы Виро-Поляка для инварианта четвертого порядка
Покажем, что указанная в разделе 2 формула 3.1.1 не задает инварианта четвертого порядка. Рассмотрим неинвариантность формулы при третьем движении Рейдемейстера для правого трилистника. Пусть узел 3\ задан диаграммой К с семью пересечениями. Соответствующая диаграмма Гаусса Q(K) и диаграмма К приведена на рисунке узла І-j сменой "прохода" на "переход" в 1-ом перекрестке. Типам перекрестков помеченным 1,3,4, б, 7 отвечает знак плюс, а перекресткам - 2,5 - знак минус. Все возможные вложения стрелочных диаграмм формулы 3.1.1) в диаграмму Гаусса Q{K) выпишем таблицей: @: -2347; +3467; - Рассмотрим диаграмму
К после третьего движения Рейдемейстера, примененного к перекрестками 1,2,5 диаграммы узла К. демейстера заданной диаграммы с восемью двойными точками, отвечаю щей связной сумме двух левых трилистников. Пусть узел К задан диа граммой Эта диаграмма получена из табличной диаграммы узла 821 сменой "прохода" на "переход" в 1-ом перекрестке. Всем типам перекрестков диаграммы узла, кроме 6 отвечает знак минус, а перекрестку - б - отвечает знак плюс. Выпишем все возможные вложения стрелочных диаграмм формулы Применив базисные весовые системы W\ и Wf порядка 4 (см. таблицу 1 раздела 1.8) получим значения, соответствующих инвариантов Рассмотрим диаграмму К узла, полученную применением к диаграмме К третьего движения Рейдемейстера с использованием перекрестков 1,2,7. Мы видим, что формула 3.1.3 не задает инвариантов узлов, если в качестве весовой системы берется базисная весовая система W\ или базисная весовая система W\ определенные в разделе 1.8. Заметим, что табличные значения инварианта четвертого порядка связной суммы трилистников равны V 2(3i#3i) = 1 и V 3(3i#3i) = 0 и не совпадают ни с одним из полученных по формуле 3.1.3 значений. Найдем разность полученных значений и выразим её в базисе {a, d, д}
Таким образом остается возможность получить инвариант, если взять весовую систему, удовлетворяющую условию W4(a) = W4(d). Положим W4{a) = W4(d) и W4(g) = 0 - такая весовая система четвертого порядка определяется однозначно и равна: W4 = W% + W Покажем, что и при выборе такой весовой системы формула 3.1.3 не задает инварианта узлов. Рассмотрим правый трилистник, заданный диаграммой К с восемью пересечениями Рассмотрим диаграмму К, полученную из К применением третьего движения Рейдемейстера к перекресткам 1,5,6. Таким образом формула 3.1.3 не определяет ни одного инварианта четвертого порядка при любом выборе ненулевой весовой системы, отвечающей условиям теоремы Тюриной. В этой главе построены явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева четвертого порядка. Доказана инвариантность этих диаграммно-стрелочных формул относительно всех движений Рейдемей-стера. Мы уже отмечали, что интеграл Концевича [37] мощный инструмент изучения и построения инвариантов конечного порядка узлов. Однако вычисление значений интеграла Концевича на конкретных узлах требуют очень сложных аналитических вычислений. Такие вычисления проведены только для инвариантов второго порядка и некоторых других инвариантов для, например, торических узлов. Естественно возникает задача о вычислении инвариантов Васильева, в частности, малых порядков и предъявление для них явных формул. Задача эффективного вычисления инвариантов узлов четвертого порядка по простым исходным данным, например плоская диаграмма узла, исследовалась неоднократно. В предыдущей главе показано, что все анонсированные ранее диаграммно-стрелочные формулы [43], [21] инвариантов узлов четвертого порядка оказались ошибочными. В работе [40] предъявлены явные комбинаторные формулы другого типа для инвариантов четвертого порядка, однако эти формулы до сих пор не доказаны. Целью настоящей главы является предъявление явных диаграммно-стрелочных формул для двух инвариантов Васильева четвертого порядка. Точнее указаны два стрелочных полинома Р\ и Р\, определенных на диаграммах Гаусса узлов. Эти полиномы определяют однородный четный инвариант V} и неоднородный четный инвариант VI четвертого порядка для узлов.
