Содержание к диссертации
Введение
2. Мотивные меры 15
2.1 Кольцо Гротендика многообразий 15
2.2 Мотивные меры и мотивные интегралы 17
2.3 Формула замены переменных и следствия из нее 24
2.4 Число Милнора и дзета-функция особенности 26
3. Функциональные уранения 29
3.1 Уравнения 29
3.2 Примеры 33
3.3 Симметрии 34
3.4 Дополнительные параметры 37
3.5 Функциональное уравнение для индексов пересечения 41
4. Соответствие между функциями и кривыми 46
4.1 Степенные структуры 46
4.2 Соответствие мер 47
4.3 Соответствие эйлеровых характеристик 57
5. Мотивный ряд Пуанкаре 59
5.1 Ряд Пуанкаре и его обобщения 59
5.1.1 Ряд Пуанкаре особенности плоской кривой 59
5.1.2 Мотивный ряд Пуанкаре 60
5.1.3 Неприводимый случай 61
5.1.4 Формула Кампильо, Дельгадо и Гусейн-Заде . 62
5.2 Пример: неособая кривая 63
5.3 Комбинаторика 64
5.3.1 Предварительные упрощения 64
5.3.2 Приведение подобных слагаемых 68
5.3.3 Алгоритм 72
5.4 Примеры 72
5.4.1 Один дивизор 72
5.4.2 Два дивизора 73
5.4.3 Три дивизора 75
5.5 Симметрии и функциональные уравнения 76
5.5.1 Симметрии 76
5.5.2 Аналог уравнения Капранова для кривых с проколами 79
6. Гомологии Хегора-Флосра , 81
6.1 Определение, структура и свойства 81
6.1.1 Относительные З'рт^етруктурьі 81
6.1.2 Диаграммы Хегора 83
6.1.3 Определение гомологии 85
6.1.4 Свойства 87
6.2 Связь с мотивным рядом Пуанкаре 89
6.2.1 Сравнение ответов 89
6.2.2 Сравнение фильтрованных комплексов 91
6.2.3 Примеры 96
- Мотивные меры и мотивные интегралы
- Функциональное уравнение для индексов пересечения
- Пример: неособая кривая
- Симметрии и функциональные уравнения
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена вычислению и описанию свойств мо-тивных интегралов, связанных с инвариантами особых точек плоских комплексных алгебраических кривых. Эти интегралы связаны как со структурой нормирований на локальной алгебре особенности, изучавшихся ещё в работах О. Зарисского, так и с топологическими инвариантами алгебраических узлов — многочленом Александера и гомологиями Хегора-Флоера, введёнными П. Ожватом и 3. Сабо сравнительно недавно.
Мотивное интегрирование было введено М. Л. Концевичем в 1995 году для доказательства гипотезы Батырева о совпадении чисел Ходжа у бирационально эквивалентных многообразий Калаби-Яу. Вскоре после этого Я. Денеф и Ф. Лозер ввели мотивную меру на пространстве дуг на многообразии и доказали для него формулу замены переменных в полной общности, а также связали мотивные интегралы с р-адическими.
С другой стороны, в 1994 году А. Кампильо, Ф. Дельгадо и К. Кийек при исследовании наборов нормирований на локальной алгебре особенности, определяемых неприводимыми компонентами, ввели понятие ряда Пуанкаре мультииндексной фильтрации и установили свойство симметрии для этого ряда. Затем в серии работ А. Кампильо, Ф. Дельгадо и С. М. Гусейн-Заде обнаружили и доказали связь этого ряда Пуанкаре с топологическими инвариантами особенности. Пересечение комплексной кривой со сферой малого радиуса — это узел или зацепление, для которого определён многочлен Александера. Оказывается, ряд Пуанкаре фильтрации на локальной алгебре с точностью до множителя совпадает с этим полиномом Александера, что, в частности, даёт эффективный геометрический способ его вычисления.
Метод доказательства теоремы Кампильо-Дельгадо-Тусейн-Заде основан на интегрировании по эйлеровой характеристике, введенном О. Я. Виро. Ряд Пуанкаре оказывается равным некоторому интегралу по эйлеровой характеристике по нроективизации пространства функций. В последующих работах было предложено естественное обобщение этого интеграла — мотивный интеграл по пространству функций, конструкция которого аналогична конструкции Концевича. Вычислению обобщённого
1. Введение
интеграла и его аналогов и посвящена настоящая диссертация.
Другим естественным обобщением многочлена Александера является теория гомологии Хегора-Флоера, построенная в 2004 году П. Ожватом и 3. Сабо и затем развитая ими и их школой в большом количестве работ. Градуированная эйлерова характеристика этой теории гомологии совпадает с многочленом Александера зацепления, для этой теории выполняется аналог двойственности Пуанкаре, можно построить большое количество естественных спектральных последовательностей. Кроме того, вскоре после ее открытия оказалось, что гомологии Хегора-Флоера несут в себе большое количество глубокой геометрической информации об узле. Так, Ожват и Сабо доказали, что род узла равен наибольшему номеру ненулевых гомологии Хегора-Флоера, что, например, дало новое доказательство гипотезы Милнора о роде торического узла. Отметим, что до того Дж. Расмуссен доказал гипотезу Милнора при помощи оценок, получающихся из другой теории гомологии узлов - гомологии Хованова. Для гомологии Хегора-Флоера аналогичные оценки оказываются точными. Далее, Йи Ни в 2007 году доказал, что узел является расслоенным тогда и только тогда, когда размерность гомологии с максимальным номером равна единице. Кроме того, П. Ожват, 3. Сабо, К. Манолеску, С. Саркар и Д. Тёрстон построили комбинаторную конструкцию для гомологии Хегора-Флоера, которая впоследствии упрощалась в работах А. Беляковой и П. Дроза.
Структура диссертации
Мотивные меры и мотивные интегралы
Введению мотивного интегрирования предшествовали различные исследования в геометрии, математической физике и теории чисел. Не претендуя на полноту изложения, кратко опишем направления некоторых из этих исследований. Мотивные интегралы берутся по пространству ростков голоморфных отображений комплексной прямой в данное многообразие. С вещественной точки зрения, комплексная прямая двумерна, поэтому можно сказать, что изучается пространство ростков (голоморфных) двумерных поверхностей. Подобные задачи естественно возникают в математической физике - двумерная поверхность является мировой поверхностью распространяющейся по многообразию струны. То, что изучаются ростки поверхностей, указывает на теорию открытых (т. е. со свободными концами) струн. Интегрирование только по голоморфным росткам указывает на локализацию общего функционального интеграла по всем мировым поверхностям. Подобные аналогии с математической физикой привели В. Батырева к введению т. н. струнных инвариантов многообразий ([4], [5], [6]), которые фактически являлись мотивными интегралами. Стоит также отметить, что важным толчком к открытию мотивного интегрирования послужила гипотеза Батырева (см. ниже) о совпадении чисел Ходжа бирационалыю эквивалентных многообразий Калаби-Яу, возникшая как часть т. н. гипотезы о зеркальной симметрии, тоже связаиой с теорией струн. Рассмотрение аддитивных инвариантов алгебраических многообразий и кольца Гротендика связано с работами О. Я. Виро ([87]) и Р. Мак-ферсона ([64]), в которых было введено интегрирование по эйлеровой характеристике и эйлерова характеристика интерпретировалась как аддитивная мера. Наиболее тесно, по-видимому, мотивное интегрирование связано с так называемым р-адическим интегрированием, которое использовали Дворк для доказательств гипотезы Вейля и Игуса для доказательства гипотезы Боревича-Шафаревича. Теорема 2: (Гипотеза Боревича-Шафаревича, доказана Игусой в [49]). Пусть f(x%,.. .,xm) — многочлен с целыми коэффициентами. Зафиксируем простое число р. Через Fn обозначим число решений уравнения f(xi,...,xm) = 0 по модулю рп. Тогда производящая функция F{T) = JT, FnTn рациональна по Т. Стратегия доказательства Игусы была следующей:
Производящая функция F(T) выражается через некоторый р-адический интеграл Для неособого многообразия {/ = 0} функция F(T) вычисляется явно, для особого используется разрешение особенностей Доказывается формула замены переменных для р-адического интеграла, позволяющая сводить особый случай к неособому Эта стратегия, и её основной инструмент — формула замены переменных — были, как можно увидеть ниже, успешно обобщены Я. Дене-фом и Ф. Лозером при построении теории мотивного интегрирования. Кроме того, решение уравнения /(з?і,..., xm) в р-адических числах подразумевает, что хі,...,хш рассматриваются как формальные ряды по переменной р с коэффициентами из поля Z/pZ. В теории мотивного интегрирования хі,..., хш рассматриваются как формальные ряды по дополнительной переменной t с комплексными коэффициентами, то есть изучаются всевозможные формальные ростки отображений комплексной прямой (С, 0) с переменной І в гиперповерхность {/ = 0}. Через = с2,о обозначим пространство дуг на плоскости в начале координат. Это множество пар (x(i),y(t)) формальных степенных рядов без свободного члена. Через п обозначим множество п-струй таких дуг, и пусть 7Г„ : С — п — естественная проекция. Рассмотрим кольцо Ko(Varc)\L l] со следующей фильтрацией: Fk порождено элементами вида [X] [L-n], где п dimX /г. Через М. обозначим пополнение кольца K0(Varc L-1], соответствующее этой фильтрации. Определение 2: Назовем множество А С С цилиндрическим, если для некоторого N существует конструктивное подмножество А С JCN такое, что А = к к1 (AN)- ДЛЯ цилиндрических множеств определим относительную размерность формулой dim Л — dim А — 2N. Легко видеть, что цилиндрические множества образуют алгебру множеств. Определение 3: Множество С С. С называется измеримым, если для любого п существует цилиндрическое множество Сп и цилиндрические множества Dnj,i Є N такие, что и dim Dn i —п для каждого і. Здесь САСп = (С \ Сп) U (Сп \ С) обозначает симметрическую разность множеств. Измеримые множества образуют в С естественную сигма-алгебру подмножеств, пополняющую алгебру цилиндрических множеств по описанной фильтрации.
На алгебре измеримых множеств М. Концевич, а затем Я. Денеф и Ф. Лозер ([31]) построили счетно-аддитивную меру ц, принимающую значения в кольце М (иногда она будет также обозначаться через Хд "обобщенная эйлерова характеристика"). Определение 4: Для цилиндрического множества А = (я- ) 1(AN) положим При достаточно больших N эта мера не зависит от N. Действительно, при М N Ам расслоено над А со слоем, изоморфным аффинному пространству C2(M N\ поэтому \АМ] = h2(-M N [AN]. Для общего измеримого А положим где предел понимается в смысле описанного пополнения. Можно проверить, что fj, — корректно определённая счетно-аддитивная мера ([31],[10]). Ясно, что ц{С) = 1, поэтому рь является в некотором смысле вероятностной мерой на пространстве кривых. Определение 5: Функция a : - G со значениями в абелевой группе G называется простой, если можно разбить С в не более чем счетное объединение измеримых множеств Aj, на которых а. принимает постоянные значення а3-. Для простых функций определен (мотивный) интеграл при условии, что сумма в правой части имеет смысл в группе G 8 АЛ. В дальнейшем часто будут использоваться простые функции Пример 4: ([86],[10]) Пусть Y - комплексное многообразие размерности п и D = ]СГ=і а А эффективный дивизор на У с простыми нормальными пересечениями. Тогда Для цилиндрических множеств эйлерова характеристика может быть корректно определена по формуле х(-Д) = x(- 4/v)- Поэтому эйлерова характеристика является Z—значной мерой на алгебре цилиндрических множеств, которая, однако, не может быть продолжена на алгебру измеримых подмножеств. Эта мера определяет понятие интеграла по эйлеровой характеристике, аналогичное введённому в [87], для простых функций на С с цилиндрическими множествами уровня. Ясно, что для таких функций
Функциональное уравнение для индексов пересечения
Доказательство. Пусть а =НОД(/с, т) и а\а. Тогда И -ТГТ\и(ЪЛ (Л,,-1)Ь- (1-1 -0 ,Ш ІГ У U-J (1 - Aa,L-aO (1 - ) где a,-_! 6j aj aj .]\bj-,bj\aj. Слагаемое в этой сумме имеет ненулевую производную по Ха, если ajt = а для некоторого к. В этом случае получим подпоследовательность 1 = а0 Ьі аг Ьг ... а& = а в каждой паре последовательностей a, Ь, которая может быть выбрана независимо от всех последующих aj и bj, которые делятся на or. Положим a, = ±i, bj = -- Таким образом, сумма Sa членов, содержащих \а, может быть разложена в произведение где суммирование ведётся по наборам (1 = ао fei ai ... ar_i br ar = —) a таким, что aj-i\bj и bj\a,j. Это произведение можно переписать в виде Sa = Ha a{h; А2, Аз,..., Аа) Нк тп (L"; A2a) Аза5 ) 3. Функциональные уранения Теперь заметим, что dHQ,a 1 - L" -Я„ д\а (Ла - 1)(1 - AeL-0 а " поэтому ЖГ (Ла - 1)(1 - \JL o) а ( " »" ) откуда следует уравнение (3.17) Доказательство уравнения (3.18) полностью аналогично. Можно применять результат теоремы 8 для некоторых специальных выборов параметров Л,. Например, можно положить Xj = Ат\ где А -параметр и т — переменная. Получим функцию Z(a, b, L, т) = Н(а, b,L; AT2, AT3, ...). Из уравнения (3.17) немедленно получаем 3. Функциональные уранения поэтому, если после сигма-процесса кривые пересекают исключительный дивизор в разных точках, то их индекс пересечения равен произведению кратностей. Разделим х С на части в зависимости от знаков сравнений меж 3. Функциональные уранеяия 45 Тогда по формуле замены переменных Денефа-Лозера B(t,a,b,c,d,p,q,r,s) = / 71=72+ «х д«ж «ж «« + «e vx +ve vx х roWuW+ V -i/ w +u V2) «(1) «(1)+«(1) «(2) «(2)+«(2)тг -«(1)-«(2) » = J(t, tabcd, bd, cd, d,pqlL x, q, rsL, s). Подставив эти значения для /?() в формулу (3.22), получим следующее утверждение. Лемма 4: Функция J удовлетворяет следующему функциональному уравнению: Понятие степенной структуры на (полу)кольце было предложено С- М. Гусейн-Заде, И. Луенго и А. Мелье-Эрнандезом в [24]. Определение 12: Степенная структура на кольце R - это отображение (1 + tR[[t]]) хЛ- 1 + tR[[t}] : (A{t),m) {A{t))m, удовлетворяющее следующим свойствам: Для кольца R — Z обычное возведение в степень задает степенную структуру, так как если A(t) Є 1 -+- tZ[t] и га Є Z, то степенной ряд A(t)m имеет целые коэффициенты. Степенная структура называется конечноопределёнпой, если для каждого N 0 найдется такое М О, что iV-струя ряда (A(t))m однозначно определена М-струей ряда A(t). Чтобы задать конечноопределенную степенную структуру, достаточно определить ряд (1 — t) m для каждого тп Є R так, что (1 — i) m n = (1 — t) m (1 — t) n.
На кольце Гротендика многообразий K0(Varc) существует степенная структура, определяемая соотношением где ShX обозначает fc-ю симметрическую степень многообразия X. Так, для j 0, утверждение 1 (стр. 17) означает, что Из формулы Макдональда ([63\) для гомологии симметрических степеней следует, что (і - гх(х) = і + x(slx)t + x{s2x)f + .... В частности, эйлерова характеристика задает морфизм степенных структур: Х((А(І)Г) = x(A(t))xM для всех тп Є Къ(Уагс) и A(t) = 1 + tK0(Varc)[[t]\. Утверждение 7: ([24]) На кольцо K0{Varc)\JL l] можно продолжить степенную структуру с Ko(Varc)- Она может быть непрерывным образом продолжена до степенной структуры на кольце ЛЛ. 4.2 Соответствие мер Построим мотивную меру на симметрической степени SkC пространства дуг на (С2,0). Симметрическая степень пространства струй SkCn является квазипроективным многообразием и определено естественное продолжение ПроеКЦИИ 7г4 : SkC - Skn. Подмножество А С SkC назовем цилиндрическим, если существует такое п и такое конструктивное подмножество Ап С Skn, что А = (7Гп ) 1(Ап). В этом случае положим fi(A) :— [Ап] h 2kn. Так как [Skn] = L2fcn, это определение не зависит от п. Для цилиндрического подмножества D = 7T l(Dn) в С легко видеть, что fi(SkD) = h 2nk[SkDn]. Поэтому описанная выше конструкция согласована со степенной структурой на кольце М, в том смысле, что 2n(SkD)tk = (l) D\ к Пусть ВІ - набор непересекающихся цилиндрических подмножеств пространства С, hi - неотрицательные целые числа такие, что ]Г) kj — п. Тогда для естественного вложения SklBi xSk2B2x...- Sn легко видеть, что /х(П,- Sk,Bi) = Yli {SkiBi). Легко видеть, что мотивная мера множества наборов дут, некоторые из образов которых совпадают, равна нулю в пополненном кольце Л4, так как это множество имеет бесконечную коразмерность. 4. Соответствие между функциями и кривыми Лемма 5: Пусть / — простая функция на С. Зададим функцию F на UfcS формулой F(7i, - , 7 ) = ПІ /Ы- Тогда / FdXg= /(1-/Г , lukSkC если интеграл в правой части сходится. Здесь dxg находится в показателе степени, чтобы подчеркнуть, что 1 — / рассматривается как элемент абелевой группы по умножению.
Пример: неособая кривая
Проверим, что для неособой кривой выражение из теоремы 13 дает правильный ответ. Разрешение содержит один дивизор и одну компоненту собственного прообраза кривой. Имеем /0 = 0, Ко = {!} Кроме того, х(-Е) = 1,х(Д") = 2, откуда 1 - Х(Е) = 0. 1) К = 0. В этом случае F(n) = (п2 + Зп), и мы получаем сумму Лемма 15 вместе с леммой 14 дает конкретное описание ряда Pg(l): он выражен через некоторые величины ск-(п), производящая функция которых, Ак(и), имеет компактный вид. Тем не менее, так асе, как и в модельном примере с неособой кривой, сумма (5.13) содержит подобные слагаемые, и для достаточно больших п при применении леммы 15 мы получим большое количество неожиданных сокращений. Подмножество К С Ко назовем всюду собственным., если для каждого і множество К ПЕІ является собственным подмножеством KQ П Е{. Обозначим множество всех всюду собственных подмножеств Ко через "Р. Для любого К с Кй через Е{К) обозначим множество дивизоров таких, что для і Є Е(К) множество КПЕІ пусто. Мы будем также писать г Р, если г . Е(Р). С использованием этих обозначений, всякое подмножество К С Ко может быть единственным образом представлено в следующем виде: мы фиксируем всюду собственное подмножество Р{К) и множество дивизоров Е с Е(Р(К)), на которых все их точки пересечения с К0 принадлежат К. Для набора. Е дивизоров через А(Е) обозначим множество пар пересекающихся дивизоров из Е. Пусть /J.i(E) — 1, если г Є Е и ЦІ(Е) = О иначе. Лемма 16: Для всюду собственного подмножества Р положим Доказательство. Нам нужно доказать, что Нр = 0 при up = 1 для /? Є Е{Р). Предположим, что дивизор Ер пересекается с дивизорами Eai, - , EQk. Для каждого множества Е дивизоров, не содержащего Ер, сравним слагаемые, соответствующие Е ш EU Ер. Для Е при up = 1 имеем 5. Мотивный ряд Пуанкаре Теорема 14: Для всюду собственного подмножества Р определим числа dp(n) равенством Тогда Доказательство. Из леммы 15 (стр. 68) имеем Подсчитаем коэффициент при WT\ Имеем Теперь утверждение теоремы следует из леммы 17 (стр. 70). D Следствие 8: Степенной ряд Pg(t\,... ,tr) является многочленом.
Если каждая компонента ЕІ пересекается одной компонентой строгого разрешения, единственное всюду собствееное подмножество - пустое. Поэтому получаем следующее утверждение. Лемма 18: Предположим, что каждый дивизор Et пересекается ровно с одной компонентой строгого разрешения кривой. Тогда приведённый ряд Пуанкаре можно вычислить по следующему алгоритму. 1. Рассмотрим многочлен А(щ,..., ur) = JJ(1 - цица) - quj(a) + qu u )). a 2. Рассмотрим многочлен Лорана которая геометрически является объединением ко попарно траневерсаль-ных прямых. Её минимальное разрешение содержит один дивизор и kQ компонент собственного прообраза, пересекающих его. Для 0 к kQ определим числа Ck{n) уравнением Предположим, что второй дивизор пересекается с двумя компонентами собственного прообраза кривой, а первый - с одной компонентой. Это соответствует особенности DQ. Матрица М имеет вид В итоге получаем следующий ответ (to соответствует первому дивизору): Pg(h, h, t2) = получаем уже известный ответ для особенности типа А\ш. 1, получаем ответ для особенности типа л3: Этот ответ совпадает с общим ответом для особенностей типа A2n-i, полученным в разделе 6.2.3. Для простоты предположим, что каждый дивизор пересекается ровно с одной компонентой собственного прообраза кривой. Это соответствует особенности Матрица М имеет вид поэтому Далее, поэтому Теорема 15: Пусть fj,a - число Милнора особенности Ca, а (CQ С/з) -индекс пересечения кривых СаоС/з, /г(С) - число Милнора особенности С Положим 1а = //а +- 5 а/а( ч С ) и #(С) = (А (С) + r — 1)/2. Тогда qh qtr Доказательство. Пусть ki = \KoC\Ei\. Из леммы 15 (стр. 68) получаем
Симметрии и функциональные уравнения
В этом параграфе мы напоминаем понятие относительной Spirf структуры из [74], основанное на конструкции В. Тураева (84). Пусть Y — замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие. Как хорошо известно, оно параллелизуемо. Будем называть два не обращающиеся в нуль векторных поля v и v гомологичными, если существует шар В С Y такой, что -у и г/ гомотопны (в классе нигде не обращающихся в нуль векторных полей) на дополнении к В. Множество классов эквивалентности таких векторных полей будем называть Splnc — структурой на Y. Такие структуры образуют аффинное пространство для Л2(У, Z). Действительно, из параллелизуемости следует, что векторные поля единичной длины соответствуют отображениям в двумерную сферу, поэтому множество классов эквивалентности может быть (не канонически) отождествлено с [У,52] = H2(Y,Z). Это понятие может быть естественным обобщено на случай многообразий с торической границей. Пусть (М, ОМ) — трехмерное многообразие, край которого состоит из несвязного объединения торов Ті U... UTr. Касательное расслоение к тору имеет каноническое не обращающееся в нуль векторное поле, единственное с точностью до гомотопии в классе не обращающихся в нуль векторных полей. Рассмотрим не обращающиеся в нуль векторные поля на М, ограничения которых на компоненты дМ отождествлены с каноническими ненулевыми векторными полями на граничных торах (в частности, касаются края). Назовем два таких поля v и v гомологичными, если существует такой шар В С М \ дМ, что ограничения v и v на М \ В гомотопны. Множество классов эквивалентности таких векторных полей называется множеством относительных Spin0 структур, оно является аффинным пространством для Н2(М,дМ;Ж). Это множество обозпачается Spinc(M,dM). Если v — допустимое не обращающееся в нуль векторное поле, можно рассмотреть поле ориентированных плоскостей v1-, ортогональных век торам v. Вдоль дМ, оно имеет каноническую тривиализацию направленными наружу векторами. Таким образом, корректно определен относительный класс
Черна поля плоскостей, принадлежащий пространству H2(M,dM;Z). Получаем отображение В нашем случае М - дополнение к трубчатой окрестности зацепления L в сфере 53, и Н2(М,дМ;Ж) = Zr. Обозначим Spinc(S3, L) := Spinc(M,dM). Удобно представлять себе это множество порожденным не обращающимися в нуль векторными нолями на S3, для которых компоненты L являются замкнутыми орбитами (с соответствующей ориентацией). Кроме того, определено "отображение забывания" определенное при помощи естественного продолжения векторных полей в трубчатую окрестность узла Кх. Теперь алгебраическая структура гомологии Хегора-Флоера может быть описана следующим образом ([74]). Рассмотрим кольцо Для каждого r-компонентного зацепления L существует Spinc(S3,L)-фильтрованный цепной комплекс CFL (S3, L) из Д-модулей, класс эквивалентности которого относительно фильтрованных гомотопий является инвариантом зацепления L. Операторы Щ уменьшают гомологическую градуировку на 2 и уровень фильтрации на 14. Гомологии присоединенного градуированного объекта обозначаются через HFL (S3, L). Если положить U\ = U = ... = Ur = 0, получим другой Spin(S3,1/)-фильтрованный цепной комплекс Z-модулей, который обозначается CFL(L). Гомологии присединенного градуированного объекта обозначаются через HFL(L), и именно о них шла речь выше. Фильтрация на последнем комплексе согласована с забыванием компонент (утверждение 7.1 в [74]). А именно, обозначим через М двумерное градуированное векторное пространство, одна образующая которого имеет градуировку 0, а другая -1. Утверждение 10: Пусть L — ориентированное, r-компонентное зацепление в S3, в котором выделена первая компонента К\. Рассмотрим комплекс CFL(L) как Spinc(S3,L — А"а)-фильтрованный цепной комплекс при помощи забывающего отображения GKX Фильтрованный гомотопический тип этого комплекса может быть отождествлен с CFL(L — К\) М.
Если забыть про фильтрации, соответствующие всем компонентам L, мы получим либо где CF(S3) имеет одномерные гомологии в градуировке 0, либо где все Ut действуют умножением на U. Для сравнительно большого класса узлов в статье [78] было доказано, что для всех s Это следует из того факта, что эти гомологии равны гомологиям Флоера многообразия S3(K), полученного из сферы S3 при помощи п/1 хирургии Дена вдоль узла К для достаточно больших п. Упомянутый выше класс узлов выделяется условием, что S3(K) рациональная гомологическая сфера с одномерными гомологиями Флоера. Алгебраические узлы принадлежат к этому классу, так как дерево разрешения особенности плоской кривой соответствует пламбинг-конструкции для S3(K), и гомологии Флоера этого пространства могут быть вычислены с использованием результатов [77]. Рассмотрим правильную функцию Морса-Смейла / на трехмерном многообразии Y. Термин "правильная"означает, что её значение в критической точке с индексом Морса т равно т. Предположим, что эта функция имеет по г критических точек индексов 0иЗ,ипод + г- 1 критических точек индексов 1 и 2. Предположим, что также задано г — компонентное ориентированное зацепление L и выбрана такая метрика на Y, что можно выбрать два набора у- и 7 траекторий градиентного векторного поля /, идущих из критических точек индекса 3 в критические точки индекса 0 и L = jz — "fw. Молено показать, что для данного многообразия Y и данного зацепления L можно подобрать соответствующие функцию Морса и риманову метрику на Y.
