Введение к работе
Актуальность темы.Понятие расслоения, возникшее в 30-х годах, оказалось чрезвычайно плодотворным и является одной из активно развивающихся областей современной математики в связи с ее многочисленными приложениями в математике, механике, теоретической физике. В частности, с развитием теории расслоенных пространств связана коренная перестройка всей структуры диадеренциально-гео-метрических понятий, новое понимание классических результатов, значительное расширение области исследования.
Линейная внешняя связность на расслоенном пространстве впервые была построена для касательных расслоений \^1~\ , 2~\ В этих работах для заданной связности на многообразии ГА- построены ее полный и горизонтальный лифты в ТТ\ . Получены формулы для тензоров кривизны и кручения, найдены геодезические линии построенных связностей.
Полный лифт тензорных полей и связностей в касательное расслоение был определен и найден Яно и кобаяши[_2і . Позднее более общий подход рассматривался Ф.И.Каганом ^ЗІ , 0*1 Конструкция полного лифта ^ыла обобщена Моримото на касательные расслоения высшего порядка _5~\ , [б! .
В дальнейшем аналогичные исследования были проведены в работах [у~\ , (.8) , для кокасательных расслоений Т /А. . Б этом случае удалось построить лифты лишь для базисной связности, не имеющей кручения. При этом использована специфическая структура кокь.-сательного расслоения.
В последние годы в работах [э^ , [і6\ удалось развить теорию
лифтов связностеіі в расслоение линейных реперов и полукасательные расслоения, в расслоение линейных реперов полный лифт тензорных полей валентности ( I ,о ) и связности построил Мок |[±оЗ Для тензорных шлей валентности ( 0 »0) это сделано в Гіі]
Аффинорные расслоения представляют интерес как пример тензорных расслоений, которые обладают рядом примечательных структур, определяемых полной матричной алгеброй ^12^ » ГіЗІ , [l4^ .
Изучением аффинорного расслоения занимался Кручану в работах L.I51 » [l6^ В них рассмотрены полный и горизонтальный лифты векторных полей в аффинорное расслоение и изучены их свойства, а также векторные поля инвариантные при правых и левых сдвигах. Эти исследования выполнены в духе работ яно и Ишихара [r?J. Позднее аналогичные исследования проводились в \l8~\ . В этой работе рассмотрены также структуры почти произведения и почти комплексная, изучены их свойства. Таков краткий обзор исследований по этому вопросу.
Как уже отмечалось, аффинорные расслоения как пример тензорных расслоений типа ( I . I ) обладают рядом примечательных структур, определяемых полной матричной алгеброй,и в какой-то степени наследуют свойства как касательного, так и кокасательного расслоений. Как и для последних, возможно рассмотрение различных векторных полей, внутренней инфинитезимальной связности и т.д. с друюи стороны, есть и существенные отличия. Присоединенное действие группы GL^m4) на типовом слое аффинорного расслоения не является эффективным и транзитивным. Поэтому возникает необходимость рассмотрения
подрасслоений орбит в аффинорном расслоении, на которых действие группы транзитивно.
Наряду о изучением внутренней геометрии возникает необходимость изучения таких понятий внешней геометрии,как горизонтального и полного лифтов связностеи, а также метрик в данном расслоении. Исходя из вышеизложенного, исследование аффинерного расслоения является актуальной задачей.
Ііель работы, основной замысел всей работы состоит в систематическом и подробном изучении аффинорных расслоений. Мы ставим перед собой следующие задачи:
-
Исследование аффинорного расслоения как присоединенного расслоения, к расслоению линейных реперов.
-
Изучение подрасслоений орбит аффинорного расслоения..
-
Построение некоторых классов внешних метрик и связностеи на тотальном пространстве аффинорного расслоения.
Методы исследования, в работе используется классический аппарат тензорного анализа. Счет ведется в основном локально, ь неюлоном-нсм поле реперов.
Теоретическое и практическое значение.Результаты работы носят теоретический характер . Они могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории расслоенных пространств, а такне в научных исследованиях геометров г.Казани, Москвы, Саратова, нижнего Новгорода. Апробация работы, основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры іеометрии казанского университета / руководи--тель проф. А.П. Широков/ в і99І- 1993 годах; на итоговых конференциях КГУ ; на ^Международной научной конференции " Лобачевский и
современная.геометрия " / і.Казань 1992 г./.
Публикации. Содержание диссертации отражено в работах ГЛ -Г 3^ Структура и объем диссертации, диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, разбитых на із параграфов, списка литературы из 47 наименований. Общий объем работы - 99 страниц машинописного текста.
