Введение к работе
Актуальность темы. Теория конгруэнции прямых появилась почти одновременно с теорией поверхностей Вопросы геометрической оптики подводили непосредственно к. исследование конгруэнции. Изучение законов прохождения света через кристаллы приводит уже к конгруэнциям общего типа.
Основы теории конгруэнции были заложены немецким геометром Куммером [9]. Итальянский геометр Санния [Ш и американский математик Вильчинский [12] построили так называемую "внутреннюю" теорию конгруэнции, освободив ее от навязанной ей поверхности. П.К. Рашевский 110] распространил теорию конгруэнции на п -мерное евклидово пространство.
Литература по теории конгруэнции богата и почти необозрима. Классическая теория с помощью внешних форм изложена в книге С: П. 1>иникова [4]. В. Ф. Каган [1] изложил ее в своей монографии, зледуя тензорному изложению Я. С. Дубнова [8]. А. П. Норден [3] рассмотрел конгруэнции связанные с нормализованной поверхностью гроективного пространства.
Возникшее в тридцатых годах понятие расслоения оказалось фезвычайно плодотворным и нашло применение в самых разных об-іастях математики и ее приложениях. В частности, с развитием 'еории расслоенных пространств связана коренная перестройка юей структуры дифференциально - геометрических понятий, новое юнимание классических результатов , значительное расширение ібласти исследований В центре внимания оказалось понятие связ-:ости. Уже Э. Картан, используя метод подвижного репера, опериро-
- 4 -вал , по существу, с расслоенным пространством.
Конструкция параллельного перенесения слоев вдоль заданной базисной кривой была затем существенно обобщена В. В. Вагнером в рамках теории составного многообразия. Отображение "локальных пространств" было им осуществлено с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Изящная геометрическая трактовка понятия связности, данная Эресманом, использует понятие горизонтального распределения; В расслоениях со структурной группой на это распределение обычно накладывается еще условие G - инвариантности.
Таким образом , возникла необходимость применения этого нового аппарата, аппарата расслоенных пространств к теории конгруэнции прямых. Исследований в этом направлении по существу до сих пор не проводилось. Исключением являются лишь работы А. П. Широкова [6], [7]. содержащие некоторые общие идеи и результаты, относящиеся к гладким расслоениям п - мерного проективного пространства.
Цель работы состоит в том, чтобы аппарат теории расслоенных пространств применить к изучению дифференциально - геометрических свойств прямолинейных конгруэнции трехмерного проективного пространства и на этой основе выяснить геометрический смысл объектов, определяющих конгруэнцию.
Научная новизна. В диссертации впервые предпринят новый подход к теории прямолинейных конгруэнции, основанный на теории расслоенных пространств. При исследовании параллельного перенесение в расслоении дана геометрическая характеристика некоторых типої дифференциальных уравнений первого порядка с точки зрения геориї проективных связностей. Построена теория нормализованных конгру
- 5 -энций неевклидовых пространств. Выяснена структура компонент внешней связности и ее тензора кривизны.
Методика исследования. В работе используется классический аппарат тензорного анализа. Исследования носят локальный характер, (ак правило, используется неголономное поле реперов. '
Практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы и в тех разделах дифференциальной геометрии, где понятие расслоенного прос-гранства играет существенную роль и в работах по теории поверх-юстей и конгруэнции неевклидовых пространств.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссерта-даи неоднократно докладывались и обсуждались на геометрическом :еминаре Казанского университета (научный руководитель.проф. А. П. Іироков), на семинаре Московского государственного педагогичес-сого университета (рук. проф. В.Ф.Кириченко), на итоговых научных сонференциях Казанского и Самаркандского университетов (1992-.993 гг.). Они были также доложены на международной научной сонференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992г).
Публикации по теме диссертации. По теме диссертации имеется [етыре публикации, две из них в соавторстве с 5. Н. Шапуковым. I диссертацию включены лить результаты, принадлежащие соискателю. Ь них три депонированы в ВИНИТИ Ш, [31, [4], одна опубли-ювана в тезисах международной конференции [2]
Структура и обьем работы. Диссертация содержит 94 страницы іашинописного текста и состоит из введения, тррх глав, разбитых :а 12 параграфов со сквозной нумерацией и списка литературы. При :сылке на 4ормулу (х,у), х означает- номер параграфа, у -омер формулы.
