Содержание к диссертации
Введение
1 Иерархия КдФ и абелевы функции 8
1.1 Иерархия КдФ, представление Лакса, соотношение Ленарда 8
1.2 Универсальное расслоение Якобианов 12
1.3 р-функции Клейна 14
1.4 Отображение Абеля 17
1.5 Иерархия КдФ как гамильтонова система 17
1.6 Резольвента Гельфанда-Дикого оператора 19
1.7 т-функция иерархии КдФ 20
2 Многомерные коммутирующие дифференциальные операторы третьего порядка, задающие КдФ-иерархию 22
2.1 Построение семейства многомерных коммутирующих дифференциальные операторов третьего порядка {4} 22
2.2 Обобщенный сдвиг, ассоциированный с иерархией КдФ 27
2.3 Гиперэллиптическая кривая, ассоциированная с решением стационарного уравнения КдФ 34
2.4 Расслоение пространства решений g-тых стационарных уравнений КдФ над пространством гиперэллиптических кривых 39
2.5 Обратное отображение Абеля 40
2.6 Алгебраическое соотношение, связывающее операторы С, Uu...,Ug 43
2.7 Общие собственные функции операторов С, Ui,...,Ug . 45
2.8 Спектральное многообразие, параметризующее общие собственные функции операторов , U\,...,Ug 50
2.9 Соотношение однородности для общей собственной функции 52
3 W-функция иерархии КдФ 54
3.1 Фундаментальная производящая функция решения стационарного уравнения КдФ 54
3.2 Построение гу-функции 57
3.3 Приложения к сг-функциям Клейна 58
3.4 Соотношение однородности для ад-функции 59
3.5 Функция ад в случае рациональной кривой 61
4 Гамильтонова система, задаваемая КдФ-иерархией 63
4.1 Построение гамильтонианов #* 63
4.2 Производящая функция для гамильтонианов 72
Приложения 73
Литература 77
- Универсальное расслоение Якобианов
- Обобщенный сдвиг, ассоциированный с иерархией КдФ
- Обратное отображение Абеля
- Соотношение однородности для ад-функции
Введение к работе
Кадомцева-Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения Sin-Гордон. Метод L—А пары оказался очень эффективным и позволил получить значительные результаты в теории интегрируемых систем. Его дальнейшее развитие также представляется многообещающим.
В работе СП. Новикова [24] была впервые установлена связь между высшими стационарными уравнениями КдФ и спектральной задачей для оператора Шредингера с периодическими и почти-периодическими потенциалами. Был введен и изучен класс так называемых "конечнозонных "потенциалов. С каждым таким потенциалом связывается гиперэллиптическая кривая, возникающая как спектральное многообразие оператора С. При дальнейшем развитии этой теории [9, 12] были широко использованы методы алгебраической геометрии римановых поверхностей и теории абелевых многообразий. В частности, было получено описание пространства всех конечнозонных потенциалов уравнения Шредингера как многообразия модулей гиперэллиптических якобианов с отмеченной точкой второго порядка, расслаивающегося над пространством гиперэллиптических кривых. При исследовании уравнения КдФ была доказана унирациональность пространства универсального расслоения якобианов гиперэллиптических кривых (теорема Дубровина - Новикова). Было получено выражение решений стационарных уравнений КдФ в терминах ^-функций, областью определения которых являются якобианы гиперэллиптических кривых ([16]).
Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию расслоений, ассоциированных с иерархией КдФ. Глава 1 содержит краткий обзор необходимых фактов об иерархии КдФ и абелевых функциях.
Решения высших стационарных уравнений КдФ естественно рассматривать как функции многих переменных. Исходя из этого возникла
Задача 1. Построить многомерные коммутирующие операторы типа оператора А пары Лакса, которые полностью определяют решение и как
Введение
г*
функцию многих переменных.
Универсальное расслоение Якобианов
Напомним несколько определений из работы [3]. Определение 1.5. Верхнем полупространством Зигеля называется пространство матриц Zg = {т Є GL(g, С) rT = г, Im(r) положительно определена }. Определение 1.6. Расширением пространства Zg называется пространство Z g состоящее из g х 2д - матриц (2о , 2а/), таких, что их столбцы линейно независимы над R, матрицы и и а/ удовлетворяют уравнению Обозначим через А подгруппу группы движений пространства C2ff, порожденную подгруппами Sp(2g, Z) и Z9 х Ъ9. Действие (1.2.1) продолжается до правого действия группы А на пространстве С9 х Z g следующим образом: Определение 1.7. Факторпространство UZ g = (С9 х Z )/A называется универсальным пространством -мерных главнополяризованных абеле-вых многообразий. Каноническая проекция (С9 х Z g) — Z g индуцирует проекцию фак-торпространств 7Г : UZ g —» UAi . Определение 1.8. Тройка (UZ , 7Г, W.M ) называется универсальным расслоением -мерных главнополяризованных абелевых многообразий. По построению слой 7г_1(т) над точкой т Є WAi является -мерным главнополяризованным абелевым многообразием, которое есть фактор пространства С9 по решетке, порожденной столбцами матрицы (и),ш ), принадлежащей классу эквивалентности матриц т. Рассмотрим важный случай, когда матрицы {и,и ) возникают как матрицы периодов голоморфных дифференциалов на гиперэллиптических кривых. Пусть кривая Г рода g задана уравнением Зададим канонический базис в 1-мерной группе когомологий Н1 (Г, С) в виде Пусть (а, Ь) — базис циклов в #і(Г, Z) с симплектической матри цей пересечения. Матрица (ш, ш ) определяется с помощью каноническо го спаривания (и),си ) = \{а. dvj}, {fb. dvj}) . Матрицы перио называется универсальным расслоением -мерных главнополяризованных абелевых многообразий. По построению слой 7г_1(т) над точкой т Є WAi является -мерным главнополяризованным абелевым многообразием, которое есть фактор пространства С9 по решетке, порожденной столбцами матрицы (и),ш ), принадлежащей классу эквивалентности матриц т.
Рассмотрим важный случай, когда матрицы {и,и ) возникают как матрицы периодов голоморфных дифференциалов на гиперэллиптических кривых. Пусть кривая Г рода g задана уравнением Зададим канонический базис в 1-мерной группе когомологий Н1 (Г, С) в виде Пусть (а, Ь) — базис циклов в #і(Г, Z) с симплектической матри цей пересечения. Матрица (ш, ш ) определяется с помощью каноническо го спаривания (и),си ) = \{а. dvj}, {fb. dvj}) . Матрицы периодов V i,j=l,...,g голоморфных дифференциалов на гиперэллиптических кривых образуют подпространство в пространстве Z . Обозначим это подпространство Ti g. Отметим, что Ті замкнуто относительно описанного выше действия группы А. Действие группы А продолжается на пространство С х Ti g аналогично (1.2.3). Ограничивая описанную выше конструкции на подпространство Ti g С Z g, мы получаем расслоение универсального пространства якобианов ри-мановых поверхностей гиперэллиптических кривых рода д. Определение 1.9. Для характеристики [є] — (є ,є") ЄШ.9 xR9 функция mZJ.9 Под действием трансляций (1.2.2) 0[]-функция преобразуется следующим образом: При действии группы Sp(2 r, Z) характеристика преобразуется следующим образом: называются ассоциированным базисом мероморфных дифференциалов на кривой Г. Лемма 1.2. Матрица периодов (2т), 2rf) = ({— fa drj}, {— ь, drj}) ассоциирована с матрицей периодов голоморфных дифференциалов (и, и ). Определение 1.12. Гиперэллиптическая ст-функция с характеристикой є определяется формулой где г] - матрица, ассоциированная с и, константа С обеспечивает нормировку. Определение 1.13. Фундаментальной гиперэллиптической сг-функцией называется функция a(z) = cr[K](z), где К — характеристика вектора римановых констант. Фундаментальная ст-функция выделяется тем, что под действием описанных выше преобразований она преобразуется наиболее простым образом. Определение 1.14. Гиперэллиптические функции дов V i,j=l,...,g голоморфных дифференциалов на гиперэллиптических кривых образуют подпространство в пространстве Z . Обозначим это подпространство Ti g. Отметим, что Ті замкнуто относительно описанного выше действия группы А. Действие группы А продолжается на пространство С х Ti g аналогично (1.2.3). Ограничивая описанную выше конструкции на подпространство Ti g С Z g, мы получаем расслоение универсального пространства якобианов ри-мановых поверхностей гиперэллиптических кривых рода д. Определение 1.9. Для характеристики [є] — (є ,є") ЄШ.9 xR9 функция mZJ.9 Под действием трансляций (1.2.2) 0[]-функция преобразуется следующим образом: При действии группы Sp(2 r, Z) характеристика преобразуется следующим образом: называются ассоциированным базисом мероморфных дифференциалов на кривой Г. Лемма 1.2. Матрица периодов (2т), 2rf) = ({— fa drj}, {— ь, drj}) ассоциирована с матрицей периодов голоморфных дифференциалов (и, и ). Определение 1.12. Гиперэллиптическая ст-функция с характеристикой є определяется формулой где г] - матрица, ассоциированная с и, константа С обеспечивает нормировку. Определение 1.13. Фундаментальной гиперэллиптической сг-функцией называется функция a(z) = cr[K](z), где К — характеристика вектора римановых констант. Фундаментальная ст-функция выделяется тем, что под действием описанных выше преобразований она преобразуется наиболее простым образом. Определение 1.14. Гиперэллиптические функции Клейна -, piu...,ik определяются формулами
Обобщенный сдвиг, ассоциированный с иерархией КдФ
Для дальнейших вычислений нам потребуется развить технику из [4], связанную с операторами обобщенного сдвига, действующими на производящих функциях. Введем оператор ?, переводящий функции от одной переменной в ФУНКЦИИ ОТ ДВУХ Переменных , Ц ПО формуле D f() = 2(-„) f(v) Определим оператор B(f,g) по формуле действующие на наборах из к функций от одной переменной: Заметим, что #i(/) = /, 62(/,g) = B(f,g), свойства операторов Bk аналогичны свойствам оператора В, описанным в Лемме 2.5. Для фиксированной функции h положим Т? = T(/i)!?(/) = B(f, /г)(, 7/). Лемма 2.6. Выполняются уравнения ассоциативности ТсТ = Т Т? и коммутативности T Tg = TgTP. Полученное выражение инвариантно относительно перестановок пе ременных , 77, г. Следствие 2.3. Оператор ТР является оператором коммутативного обобщенного сдвига, таким что Определение 2.2. Пусть Н — некоторый оператор, переводящий наборы из к функций от одной переменной в функции от одной переменной. Оператор Н, переводящий наборы из к функций от одной переменной в функции от двух переменных, называется поляризацией оператора Н, если функция H(fi,.. -,fk)(,v) является поляризацией функции H(fi,..., fk)(0 Для любого набора функций /ь ..., Д. Напомним, что в случае функций от одной переменной оператор Хи-роты Щ (см. раздел 1.17) действует по формуле Лемма 2.9. Оператор jzB{f,g){ ,rj) задает поляризацию оператора Хироты, а именно Доказательство. Пусть rj = + є. Тогда /(//) = /() + "/ (0 + 0{є2) и 9ІЛ) = #(0 + є# (0 + 0{є2). Следовательно Рассмотрим разложение D?/() по степеням п и обозначим коэффициенты этого разложения через ),(/()), то есть Лемма 2.10. Представим функцию / в виде степенного ряда /(f) = . + /o + /if + M2 + .... ТЪгЛ Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка 31 і/(ОГ +1 np«Ar deg/(0. Отметим также еще одно свойство операторов Д-: Лемма 2.12. Пусть /(f) — полином. Тогда А 0,т 0 Лемма 2.13. Последовательность функций Ui,u2,...,ug удовлетворяет условию (3) Леммы 2.3 тогда и только тогда, когда производящая функция u(f) является решением уравнения Доказательство. Имеем Из этой формулы видно, что коэффициенты при f в правой части этой формулы а равны нулю тогда и только тогда, когда выполнено условие (3) Леммы 2.3 D Таким образом, производящая функция 2 — u(f) удовлетворяет уравнению (1.6.3) для ядра резольвенты R(x, 4f-1) оператора С Положим дки() = J2i=i дкЩ? Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка 32 для функции и(0. Следствие 2.4.
Выполняются соотношения Введем оператор д(п) — J2f=\ rfdi-Лемма 2.15. Доказательство. Из соотношения діЩ = и\ и определения производя щих функций следует, что u (0 = д()щ и u "(0 = д1д()щ. Утвержде ние Леммы теперь вытекает непосредственно из (2.2.2). Введем специальное обозначение Т? для оператора Т(2 — и(0)?, кото рый, как показывает следующая Теорема, играет исключительную роль в нашей работе. Теорема 2.1. Выполняются соотношения Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка 33 Доказательство. Из Леммы 2.14 и Следствия 2.4 вытекают равенства Доказательство Теоремы теперь следует непосредственно из определе ния оператора Т. П Имеем также (2.2.12) д(0 Єіу 2 - ufo) _ 7ffiu (0 2( - IJ) 2 - u(fl (2-u(0)2 Используя метод производящих функций мы можем представить операторы W; следующим образом: Лемма 2.16. Дял операторов Ы{ выполняется равенство Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка 34 где J к — полиномы. При к д из (2.3.2) следует, что функции щ рекурсивно выражаются через функцию и\, ее производные по х и константы fa. Отметим, что условие J g = 0 приводит к (/-тому стационарному уравнению КдФ, а при к д условия Jk = -1/4// приводят к интегралам высших уравнений КдФ (см. [14]). Лемма 2.17. Пусть щ — константы. Тогда из (2.3.1) следует (2.2.2). Если выполняется (2.1.4) и (2.3.1), то верно (2.2.3). Доказательство. Первое утверждение леммы тривиально. Далее из уравнения u k+l = 1/4(и к — 2u[uk — 4щи к) получаем Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка 35 Из этого равенства следует, что выполняется (2.2.4) и, следовательно, (2.2.5). Интегрируя (2.2.4) по х получаем dku() = Dk(2 - u(0)u () -Д:(и ())(2 - u()) + (p(t2,..., tg), где if — функция, независящая от x. Далее имеем Но функция в скобках не может быть тождественным нулем по х, сле Подведем итоги проделанных вычислений Теорема 2.3. Следующие условия эквивалентны 1. Функция щ является решением g-того стационарного уравнения КдФ. 2. Существует последовательность функций щ,...,ид, такая что операторы С = д — щ uU{ = (- \(щді + diU\) — \(щдх + дхщ) — di+it 1 і g коммутируют. 3. Существует последовательность функций щ,...,ид и набор констант [і\,...,Ц2д, такие что для производящей функции u() = Уі=\иі г выполняется соотношение (2.3.1) Поскольку дкЩ = Щ, а функции ик определяются по функции щ и по ее производным по х, поведение функции «і относительно переменных t2,- -,tg определяется по ограничению функции щ на некоторую прямую ii = const, . ..,tg = const.
Если задано решение и(х) д-того стационарного уравнения КдФ, мы можем перейти от него к функции g переменных uy{x, t2,..., tg), такой что ui(x, 0,0,..., 0) = и(х) (вместо нулей мы можем взять любые константы). Далее определим ик(х, 0,..., 0) Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка 36 по указанным выше формулам. Функции щ как функции g переменных восстанавливаются как решения уравнений (2.1.4), (2.3.2). Для того, чтобы найти соотношение, связывающее константы щ и коэффициенты a,k в разложении (1.1.8) нам потребуется следующий результат: Лемма 2.18. Оператор Ui9 l + U2C9-2 + ...+ Ug 1. коммутирует с оператором С 2. является дифференциальным оператором порядка 2д + 2 по х со старшим коэффициентом 1 3. содержит только операторы дифференцирования по х. Доказательство. Рассматриваемый оператор представляет собой сум му операторов, коммутирующих с , его старший член является ком позицией старших членов операторов Ы\ и С9 х и равен д29+2. Отсю да следуют первое и второе утверждения Леммы. Далее, поскольку Ы{ = д{С — dj+i — 1/2щдх + 1/4г , в разности Ui-\C — Ui сокращаются опреаторы д(С, следовательно она не содержит оператора дифференци рования ді, г 1. По рекурсии мы получаем третье утверждение Лем мы.
Обратное отображение Абеля
Пусть &,... ,д — корни уравнения 2—u() = 0 при некоторых значениях t\,...,tg. Очевидно, что & ф 0 для всех і. Запишем 2 — и() в виде 2 — и() = 2 П?=і(1 — /&) Вычислим производные по при = &: Поэтому локально tn = —2 5Zf=1 / - dx + const, и таким образом построенное отображение Sym9(T) -» О локально является отображением Абеля с точностью до константы. Отметим, что построенное отображение имеет место также для особых кривых, в то время как в [9] кривая Г неособая, а функция и периодическая. Мы рассмотрим другой крайний случай, а именно / () = 4-1. В этом случае уі = 16-1. Мы будем писать ijk = 4 , имея в виду, что знак квадратного корня выбран в соответствии с у . Имеем и, следовательно, С помощью подходящей замены переменных мы получаем рациональное отображение Абеля из [5]: Мы вернемся к этому отображению в Главе 3. Пример 2.2. В случае g = 1 получаем х = ti = / + с. С другой стороны, 2 — u(x)fi = 0, и следовательно и(х) = 2-1 = 2(х — с) 2. Мы можем использовать {&} в качестве локальных координат. Лемма 2.20. Для любой функции f = f(U,...,tg) имеем Доказательство. Утверждение Леммы следует непосредственно из ра венства (2.5.3). Применим полученную формулу к производящим функциям 11(77), u fa), u"fo). Следствие 2.6. Для производящей функции и(п) выполнены равенства (2 - ufo))t Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка По лемме Бурхнала-Чаунди пара коммутирующих дифференциальных операторов от одной переменной связана алгебраическим соотношением. В работе [17] рассмотрен случай коммутирующих дифференциальных операторов от п переменных и введен класс так называемых п-алгебраических операторов, характеризующихся конечномерны Поэтому локально tn = —2 5Zf=1 / - dx + const, и таким образом построенное отображение Sym9(T) -» О локально является отображением Абеля с точностью до константы. Отметим, что построенное отображение имеет место также для особых кривых, в то время как в [9] кривая Г неособая, а функция и периодическая. Мы рассмотрим другой крайний случай, а именно / () = 4-1. В этом случае уі = 16-1. Мы будем писать ijk = 4 , имея в виду, что знак квадратного корня выбран в соответствии с у . Имеем и, следовательно, С помощью подходящей замены переменных мы получаем рациональное отображение Абеля из [5]: Мы вернемся к этому отображению в Главе 3. Пример 2.2. В случае g = 1 получаем х = ti = / + с. С другой стороны, 2 — u(x)fi = 0, и следовательно и(х) = 2-1 = 2(х — с) 2. Мы можем использовать {&} в качестве локальных координат. Лемма 2.20. Для любой функции f = f(U,...,tg) имеем
Доказательство. Утверждение Леммы следует непосредственно из ра венства (2.5.3). Применим полученную формулу к производящим функциям 11(77), u fa), u"fo). Следствие 2.6. Для производящей функции и(п) выполнены равенства (2 - ufo))t Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка По лемме Бурхнала-Чаунди пара коммутирующих дифференциальных операторов от одной переменной связана алгебраическим соотношением. В работе [17] рассмотрен случай коммутирующих дифференциальных операторов от п переменных и введен класс так называемых п-алгебраических операторов, характеризующихся конечномерными алгебраическими многообразиями. Описанное выше семейство операторов {,U{,. ..,Ug} даст конкретный пример п-алгебраических операторов из [17]. Лемма 2.21. Операторы С,Ы\,... ,Ug удовлетворяют следующему алгебраическому соотношению: (2.6.1) Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка Имеем: В этом разделе мы опишем общие собственные функции семейства коммутирующих операторов С,Ы\,...,Ыд. Верна следующая Лемма 2.22. Для 1 i,j д выполняется Доказательство. Непосредственно из определения операторов d(rj) и Dj следует, что левая часть формулы (2.7.1) является коэффициентом при Qrf в разложении функции (С)2(—n) 2-ut) п0 степеням Я и С- Из (2.2.12) и коммутативности обобщенного сдвига ТР вытекает, что эта функция симметрична по переменным Сиг/, следовательно коэффици енты при Qrf и С? if в ее разложении равны. Следствие 2.8. Существует, фунщия F = F(t\,. ..,tgi ), такая что Функция F определяется этим условием однозначно с точностью до константы в окрестности, не содержащей нулей уравнения 2 — u() = 0. Введем функцию где a() = 5Zf=1 «г1- Функция Ф определена с точностью до умножения на константу в окрестности, не содержащей нулей уравнения 2—u() = 0.
ми алгебраическими многообразиями. Описанное выше семейство операторов {,U{,. ..,Ug} даст конкретный пример п-алгебраических операторов из [17]. Лемма 2.21. Операторы С,Ы\,... ,Ug удовлетворяют следующему алгебраическому соотношению: (2.6.1) Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка Имеем: В этом разделе мы опишем общие собственные функции семейства коммутирующих операторов С,Ы\,...,Ыд. Верна следующая Лемма 2.22. Для 1 i,j д выполняется Доказательство. Непосредственно из определения операторов d(rj) и Dj следует, что левая часть формулы (2.7.1) является коэффициентом при Qrf в разложении функции (С)2(—n) 2-ut) п0 степеням Я и С- Из (2.2.12) и коммутативности обобщенного сдвига ТР вытекает, что эта функция симметрична по переменным Сиг/, следовательно коэффици енты при Qrf и С? if в ее разложении равны. Следствие 2.8. Существует, фунщия F = F(t\,. ..,tgi ), такая что Функция F определяется этим условием однозначно с точностью до константы в окрестности, не содержащей нулей уравнения 2 — u() = 0. Введем функцию где a() = 5Zf=1 «г1- Функция Ф определена с точностью до умножения на константу в окрестности, не содержащей нулей уравнения 2—u() = 0.
Соотношение однородности для ад-функции
Доказательство. Положим g,- = щ. Тогда g() = и(). Определим р() по формуле (4.1.6) и /i() по формуле (2.3.1). Равенство (4.1.8) следует из (2.3.1). Применяя выкладки доказательства Теоремы 4.1 в обратном порядке мы получаем утверждение Теоремы. Следствие 4.1. Имеется взаимно-однозначное соответсвие между ре шениями системы (4.1.5) и решениями g-того стационарного уравне ния КдФ. Следствие 4.2. р-функции Клейна рода д, построенные по гиперэллиптической кривой Г : у2 = 4E2g+1 + ii\E2g x +... + \i29, задают решение системы (4.1.5), если qi = 2Pg,g-i+l, І 9, Глава 4. Гамнлътонова система, задаваемая КдФ-иерархией а функции Pi определены рекурсивной формулой (4.1.10) Р1 = 2pggg, 1 i-1 Pi+l = 2pgg g-.i+l + - Wi-i l 9, a штрих соответсвует дифференцированию no g-mou переменной. no Набор функций u\(t),...,ug(t),pi(t),...,pg(t), где pi определены ... формуле (4.1.6) при 7, = щ, при можно рассмотривать как отображение С9 -- С2д. На образе этого отображения t\,--- ,tg являются каноническими координатами. Оказывается, что движение вдоль любой из координат может быть описано с помощью гамильтониана. Вв Функция Нд совпадает с (g + 1)-ым коэффициентом разложения функции Нд, определенной по формуле (4.1.4). Обратим внимание на то, что при к 1 функция Нк не является производящей функцией для Нк, поскольку /() и г() — многочлены степени д, и, следовательно, Нк зависит от параметра д. Верна следующая Теорема 4.3. Последовательности функций qi = щ и pi} обладающих свойствами (2.3.1), (4.1.6) задают решение гамилътоновой системы (4.1.11). Доказательство теоремы проведем в два этапа. Лемма 4.1. Для функций д,- = щ и pi, заданных по формуле (4.1.6), выполняется дЩ = дЯдЧ+ї dpj dtk Доказательство. Поскольку dri/dpi = 1, dri/dpj = — \qi-j при і j, то мо dp dHk dHk dr(Q (2- (0)(2-9. (0) r( fj-k+l dPj dr(0 dPj (4-29(0) KK В частности, rfc 9 2-9(0 4 2-9(0 Г Следовательно, (4.1.12) dHk/dPg = rk = dqk/dtu k g Таким образом, получена рекурсивная формула, с помощью которой dHk/dpj могут быть выражены через дНк/др9, q и г,-. Поскольку функ ции dqg-j+i/dtk = dkUg-j+i удовлетворяют тем же рекурсивным фор мулам (см. уравнение (2.1.5)) и краевым значениям (4.1.12), (4.1.13), то dHk/dpj = dqg-j+i/dtk. П Лемма 4.2. Для функций fc = щ и р,-, заданных по формуле (4.1.6) выполняется днк = дРдЧ+1 dqj dtk Глава 4. Гамильтонова система, задаваемая КдФ-иерархией Доказательство. Обозначим Pk(Q = S,=,Pi Тогда dr()/dqj = 1/2 X3f=i+iP«-jC = 1/2 5- 0 - Вычисления показывают, что при j к r(0P,-i(0 " +1+ (ir(0a - 2M0) (2. ))]Є j -fc+l ЭНк = 2-ft.,(Q % 2(2- (0) а при j А; М 2-gfc_,(Q .(fui- +i+ flr()2 _ 2 ,Л g(0-9fc-i(0 j-fc+г cfy 2(2-д(0)П 9_Л j +V2rUJ 7 (2-g(0)2 В условиях Леммы r(0 = 9 (0 = u (0 "(0 = u"(0-
При этом функции q" — u" являются едем новое обозначение 9 (0 = 9if + ffc2+ + % . «»(0 = 0 Для функции r() = / () выполняется г(0 = \P(OV-Q(S) то есть г () = JXi г\ где г,- = р,- - \ Д=\ Pjft-i-При 1 А; рассмотрим гамильтонову систему (4.1.11) dqi/dtk = дН /дрд-і+і dpi/dtk = -dH /dqg-i+i где гамильтониан Щ определен как ( 7+1)-ый коэффициент разложения по степеням функции к_ /1 2-gfc-i(Q , 2 , ,g(Q- ?fc-i(Q\ :-к+1 Глава 4. Гамильтонова система, задаваемая КдФ-иерархией Функция Нд совпадает с (g + 1)-ым коэффициентом разложения функции Нд, определенной по формуле (4.1.4). Обратим внимание на то, что при к 1 функция Нк не является производящей функцией для Нк, поскольку /() и г() — многочлены степени д, и, следовательно, Нк зависит от параметра д. Верна следующая Теорема 4.3. Последовательности функций qi = щ и pi} обладающих свойствами (2.3.1), (4.1.6) задают решение гамилътоновой системы (4.1.11). Доказательство теоремы проведем в два этапа. Лемма 4.1. Для функций д,- = щ и pi, заданных по формуле (4.1.6), выполняется дЩ = дЯдЧ+ї dpj dtk Доказательство. Поскольку dri/dpi = 1, dri/dpj = — \qi-j при і j, то мо dp dHk dHk dr(Q (2- (0)(2-9. (0) r( fj-k+l dPj dr(0 dPj (4-29(0) KK В частности, rfc 9 2-9(0 4 2-9(0 Г Следовательно, (4.1.12) dHk/dPg = rk = dqk/dtu k g Таким образом, получена рекурсивная формула, с помощью которой dHk/dpj могут быть выражены через дНк/др9, q и г,-. Поскольку функ ции dqg-j+i/dtk = dkUg-j+i удовлетворяют тем же рекурсивным фор мулам (см. уравнение (2.1.5)) и краевым значениям (4.1.12), (4.1.13), то dHk/dpj = dqg-j+i/dtk. П Лемма 4.2. Для функций fc = щ и р,-, заданных по формуле (4.1.6) выполняется днк = дРдЧ+1 dqj dtk Глава 4. Гамильтонова система, задаваемая КдФ-иерархией Доказательство. Обозначим Pk(Q = S,=,Pi Тогда dr()/dqj = 1/2 X3f=i+iP«-jC = 1/2 5- 0 - Вычисления показывают, что при j к r(0P,-i(0 " +1+ (ir(0a - 2M0) (2. ))]Є j -fc+l ЭНк = 2-ft.,(Q % 2(2- (0) а при j А; М 2-gfc_,(Q .(fui- +i+ flr()2 _ 2 ,Л g(0-9fc-i(0 j-fc+г cfy 2(2-д(0)П 9_Л j +V2rUJ 7 (2-g(0)2 В условиях Леммы r(0 = 9 (0 = u (0 "(0 = u"(0- При этом функции q" — u" являются полиномами от qi = щ и pi, которые в свою очередь выражаются через q\ и І Найдем рекурсивную формулу для 5 р,: В условиях Леммы ±г()2 - 2/i() = u(02 - 2/ (0 = -u"(0(2 - u(0) 2(иі + -1)(2 — u())2. Отсюда мы получаем рекурсивную формулу для - -2-, которая после замены & на щ и выражения pj через щ, щ совпадает с рекурсивной формулой для dkPg-j+\. Теорема 4.4. Если qi = и;, а функции pi определены по формуле (4.1.6), то Я = 2ug+k Доказательство. Запишем Нк в виде Коэфициенты ряда /"() могут быть выражены через g,, Pi и jUj. Поскольку в первое слагаемое входит не более, чем в g-той степени, Таким образом значения гамильтонианов Я совпадают со значениями гамильтонианов, описанных в работах [12],[14].