Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ состояния проблемы и задачи исследования 13
1.1 Общий анализ применения метода акустической эмиссии для контроля массива горных пород 13
1.2 Анализ состояния разработки многоканальных акусто-эмиссионных систем контроля 15
1.3 Анализ схем преобразований и обработки сигналов акустической эмиссии 16
1.4 Цель работы 19
1.5 Задачи исследований и методы их решения 21
Глава 2. Методы селекции моделей, аппроксимирующих экспериментальные данные 30
2.1 Методы селекции моделей 32
2.2 Zp- функция и Тк-критерий 42
2.3Асимптотический — критерий 54
2.3.1 Асимптотический Тк- критерий (аналитический подход) 55
2.3.1 Плотность распределения Тк 64
2.3.2 Асимптотический Тк- критерий (приближенный подход) 73
Глава 3. Статистические методы оценивания точности линейной регрессионной модели 79
3.1 О доверительной границе систематической погрешности модели, аппроксимирующей экспериментальные данные 81
3.1.1 Оценивание систематической погрешности модели с использованием несмещенной оценки дисперсии погрешностей измерений 82
3.1.2 Оценивание систематической погрешности модели при отсутствии сведений о несмещенной оценке дисперсии погрешностей измерений 87
3.2 Влияние корреляций погрешностей измерений на систематическую погрешность эмпирической зависимости 90
Глава 4. Статистические методы оценки изменения физического состоя ния массива горных пород 105
4.1 Статистический метод обработки сигналов акустической эмиссии в горном массиве 105
4.1.1 .Классический метод обработки экспериментальных данных 105
4.1,2.Робастный метод обработки экспериментальных данных 111
4.2 Скорректированный F-критерий проверки однородности выборок относительно дисперсий 117
4.3 Применение эксцесса распределения флуктуации к обработке геофизического эксперимента 130
4.4 Проверка качества МНК-модели без привлечения конкурирующей модели 137
Глава 5. Методы определения местоположения источников акустической эмиссии в массиве горных пород 152
5.1 Абсолютно-временной метод локации 154
5.2 Динамические методы локации 156
5.3 Разностио-временной метод локации 157
5.3.1 Векторный вариант разностно-временного метода локации 163
5.4 Геофизические антенны 166
5.5 Метод связанных диполей 171
5.6 Численное моделирование диаграмм направленности геофизических антенн и определения точностных характеристик 183
5.7 Определение энергии акустической волны в очаге по сигналам акустической эмиссии 201
Глава 6. Разработка приемных преобразователей и методов контроля их характеристик 208
6.1 Образцовые преобразователи 210
6.2 Создание первичных специализированных преобразователей и исследование их характеристик 220
6.3 Разработка емкостных преобразователей 231
6.4. Контроль характеристик первичных преобразователей 240
6.4Л Натурный способ определения диаграммы направленности первичных преобразователей скважинного типа 240
6.4.2 Стенд метрологического контроля характеристик первичных преобразователей 244
6.5 Акустический контакт и установка преобразователей в скважину 250
Глава 7, Разработка многоканальной системы контроля изменения физического состояния массива горных пород 264
7.1 Эксплуатационный контроль физических процессов в горном массиве методом акустической эмиссии 264
7.2 Исследование амплитудного распределения сигналов АЭ трехуровневым дифференциальным анализатором амплитуд 267
7.3 Обоснование и разработка многоканальной геофизической аппаратуры контроля горного давления 273
7.4 Лабораторные испытания разработанного комплекса для локации АЭ в МГП 283
7.5 Геологическая и горнотехническая характеристика Таштагольского рудника 289
7.6 Натурные испытания разработанного аппаратурного комплекса 297
7.7 Совершенствование метода акустической эмиссии для контроля массива горных пород 305
Заключение 311
Литература 3I7
Приложение 344
- Анализ состояния разработки многоканальных акусто-эмиссионных систем контроля
- Асимптотический Тк- критерий (приближенный подход)
- Влияние корреляций погрешностей измерений на систематическую погрешность эмпирической зависимости
- Скорректированный F-критерий проверки однородности выборок относительно дисперсий
Введение к работе
Актуальность темы
В процессе эксплуатации крупных промышленных объектов -рудников и шахт на больших глубинах, карьеров, тел плотин и мест их сопряжения с массивом горных пород (МГП), тоннелей, подземных хранилищ сырья и захоронений химических и ядерных отходов, геотермальных источников, возникают аварии в виде внезапного появления недопустимых деформаций, частичных или общих разрушений. Интенсивный рост объемов добычи полезных ископаемых приводит к тому, что уровень развития горнодобывающей промышленности все в большей степени определяется технологией подземных горных работ, поскольку запасы руд, пригодных для добычи открытым способом, будут в значительной степени исчерпаны. Вместе с тем, геомеханические условия подземной разработки рудных месторождений постоянно усложняются в связи с увеличением глубины добычных работ и, как следствие этого, возрастанием горного давления.
Указанные обстоятельства привели, в частности, к тому, что в последние годы со всей остротой встала проблема непрерывной диагностики состояния массива с целью прогноза и предупреждения горных ударов, являющихся по своей физической сущности техногенными микроземлетрясениями, возникающие на глубоких рудниках вследствие нарушения равновесного состояния массива горными работами. К настоящему времени несколько десятков отрабатываемых рудных месторождений и объектов подземного строительства отнесены к угрожаемым по горным ударам. В ряде случаев горные удары являлись причиной производственного травматизма, приводили к серьезному нарушению нормального ритма и режима предприятия.
В связи с этим, повышенный интерес вызывают дистанционные методы, в частности, пассивный акустический, позволяющие обнаружить зоны концентрации напряжений и оценить очаги дефектов структуры объекта в процессе их зарождения.
В настоящее время достаточно развиты активные и пассивные методы ультразвуковой акусто-эмиссионной дефектоскопии конструкционных материалов и изделий небольших размеров. Анализ показал, что акустико-эмиссионные (АЭ) методы в звуковом диапазоне частот обладают существенными преимуществами, к числу которых относятся высокие дистанционность и чувствительность к развивающимся дефектам. Связь параметров сигналов с динамикой дефектов позволяет регистрировать время, место возникновения и энергию источников, непрерывно контролировать процессы разрушения структуры и состояние объектов, определяющих их прочность и надежность. Реализация преимуществ акустических методов в практике контроля МГП позволила бы достичь существенного технико-экономического эффекта за счет своевременного проведения мероприятий по разгрузке опасных зон, что и обусловило широкое развитие исследований в стране и за рубежом.
Однако, уже начальные результаты выявили серьезные недостатки АЭ метода, связанные с низкой помехозащищенностью, сложностью структуры полезного сигнала, трудностью интерпретации данных, что снижает достоверность контроля. Кроме этого, отсутствуют методические основы обеспечения правильности пассивных акустических измерений в МГП и, на их основе интерпретации результатов и оценки состояния объекта контроля по параметрам акустических сигналов. В связи с этим, стала актуальной проблема разработки и развития пассивных акустических методов локации и измерения энергии разрушений в МГП, которые позволили бы
правильно интерпретировать регистрируемые данные, повысить достоверность оценки результатов контроля. Известные схемы локации с разнесенной расстановкой приемных датчиков уже используются при контроле, однако более эффективными и экономически выгодными являются схемы с использованием геофизических антенн, исследованию и разработке которых посвящена настоящая работа.
Целью работы является разработка акусто-эмиссионного метода и средств контроля напряженно-деформированного состояния массива горных пород.
Идея работы заключается в применении геофизических антенн при локации сигналов акустической эмиссии методом связанных диполей с использованием асимптотического и робастных критериев обработки данных, что позволяет повысить достоверность контроля состояния массива горных пород и безопасность ведения работ в сложных геомеханических условиях.
Задачи исследований.
1. Оценить размерность модели кинетики накопления трещин при восстановлении функциональной зависимости по единственной серии акусто-эмиссионных измерений. Вывести и получить асимптотический критерий значимости для использования его при обработке больших объемов измерительной информации. Разработать метод оценивания систематической погрешности модели в случае неравноточных и коррелированных измерений.
2 На основе достоверных измерений разработать новые методы расчета местоположения источников сигналов и энергии волны в очаге, обеспечивающие потребную для практики точность. Разработать модели геофизических антенн. Провести численное моделирование
диаграмм направленности геофизических антенн различной конфигурации.
Разработать методы расчета и создать новые средства приема акустических сигналов от трещин для контроля геомеханического состояния массива горных пород на глубоких горизонтах. Разработать способы и средства контроля основных характеристик приемных преобразователей, работающих в схеме геофизических антенн.
По исходным данным акусто-эмиссионного контроля разработать робастные статистические методы контроля изменения физического состояния массива горных пород.
5.Разработать, испытать и внедрить базовую, универсальную автоматизированную систему контроля изменения физического состояния массива горных пород, методики проведения измерений и интерпретации результатов контроля.
Методы исследований. Для решения проблемы принят комплексный метод исследований, включающий: анализ натурных наблюдений изменения напряженно-деформированного состояния массива горных пород акусто-эмиссионными методами; обработка и построение аппроксимационных зависимостей для данных, полученных по единственной серии результатов наблюдений; аналитические и численные методы расчета характеристик геофизических антенн; схемотехнические и технические построения технических средств для исследования и контроля напряженно-деформированного состояния массива горных пород.
Основные научные положения
1. Доказано, что сравнение конкурирующих моделей кинетики трещинообразования в МГП при восстановлении зависимости по единственной серии измерений геофизического эксперимента с большим
числом узлов может осуществляться с помощью разработанного асимптотического Тк-критерия, обладающего малой степенью невязки.
Установлено, что точность локации источников АЭ при контроле напряженного состояния МГП может быть повышена без дополнительных горных работ путем применения метода связанных диполей, а полученные новые решения позволяют определять энергию волны в очаге по сигналам АЭ с учетом характеристик приемных преобразователей (ПП) акселерометрического типа и реагирующих на смещение.
Получены новые решения для определения чувствительности по смещению и колебательной скорости емкостных преобразователи, использующих в качестве диэлектрического слоя анодированную поверхность алюминиевого сплава. Доказано, что разработанный способ, основанный на отношении добротностей ПП в нагруженном и не нагруженном состоянии позволяет вести контроль акустического контакта ПП с горным массивом.
Доказано, что разработанный робастный метод проверки однородности двух выборок относительно дисперсий с использованием стандартной проверочной статистики позволяет контролировать изменения НДС МГП. Установлено, что большей чувствительностью определения изменения НДС МГП обладает метод, основанный на контроле изменения формы распределения составляющих спектра акустического сигнала, прошедшего контролируемый участок горного массива, использующий разработанный критерий на основе сравнения эксцессов выбранных параметров различных серий.
Установлены принципы построения универсальных автоматизированных средств контроля МГП, использующие выбор диаграмм направленности антенн, и ПП, позволяющие в подземном и наземном вариантах положения осуществлять контроль труднодоступных участков МГП при различных схемах размещения ПП и геофизических антенн.
Научная новизна. В соответствие со сформулированной комплексной научной проблемой исследований и разработкой акустико-эмиссионного метода и средств локации источников разрушения в массивах горных пород получены следующие новые результаты:
A. Расширена область применения ^-критерия, позволяющего
сравнить две конкурирующие между собой модели кинетики
трещинообразования при восстановлении зависимости по единственной
серии измерений. Разработан метод обнаружения ложных минимумов на
графике реализации остаточной дисперсии. Доказана эффективность
применения /^-критерия при решении вопросов о значимости
включаемого в модель параметра.
Б. Впервые разработан и предложен для внедрения в физический эксперимент метод оценивания систематической погрешности геомеханической модели в случае неравноточных и коррелированных измерений. Созданы и теоретически исследованы алгоритмы для вычисления доверительных границ систематической погрешности модели и показана их эффективность.
B, Предложен робастный метод обработки геомеханических данных.
Приведен подробный алгоритм расчетов и показаны примеры,
указывающие на необходимость применения метода при
неуверенности в том, что выборки взяты из нормального распре
деления.
Впервые предложен робастный метод проверки гомоске-дастичности двух выборок относительно дисперсий. Получены и исследованы расчетные алгоритмы. Критерий использован при обработке результатов акустических измерений и предложен для внедрения в инженерно-физический эксперимент.
Предложена методика и критерий отслеживания изменения формы распределения составляющих спектра сигнала применительно к задаче
/
геомеханического контроля напряженно-деформированного состояния массива горных пород.
Г. Усовершенствована теория разностно-временного метода локации и его модификаций с разнесенными в пространстве приемными преобразователями и геофизическими антеннами. Разработаны и исследованы геофизические антенны различных конфигураций. Оценены их диаграммы направленности и погрешности измерений. Даны рекомендации для выбора антенн в конкретных условиях эксплуатации.
Предложен метод расчета энергии акустической волны с учетом собственных АЧХ приемных преобразователей, а так же переходных характеристик горный массив - приемный преобразователь. Это позволяет определить структурно-чувствительные параметры среды распространения.
Д. Оптимизированы конструктивные схемы приемных преобразователей, что позволило создать новые специализированные приемники с закладными деталями, обеспечивающие технологичность монтажа и демонтажа при достаточной чувствительности.
Разработаны новые методы и средства контроля основных характеристик приемных преобразователей, основанные на оптических методах измерения смещения с использованием двухлучевого лазерного интерферометра.
Разработаны способы и устройства для контроля акустического контакта приемного преобразователя с массивом горных пород для получения повторяемости и достоверности исходных данных с малыми искажениями.
Практическая ценность работы состоит в том, что на основе полученных результатов предложен для внедрения в геофизический эксперимент асимптотический 7*-критерий; разработаны и внедрены робастные критерии и процедуры для акусто-эмиссионного контроля
НДС МГП; создана и внедрена автоматизированная система для
контроля напряженно-деформированного состояния МГП, обеспе
чивающая контроль динамических явлений путем непрерывного учета
изменения геомеханической обстановки в процессе отработки рудных
месторождений; разработаны и внедрены в составе автоматизированной
системы специализированные приемные преобразователи с заданными
характеристиками; разработаны и внедрены специальные методы и
средства для контроля основных характеристик приемных
преобразователей.
Апробации работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на 1-й Всесоюзной конференции «Акустическая эмиссия материалов и конструкций» (Ростов-на-Дону, 1984), на Всесоюзной научно-технической конферениции «Использование современных физических методов в неразрушающих исследованиях и контроле» (Хабаровск, 1984,1987), на научно-техническом семинаре по;.горной геофизике (Батуми, 1985), на И-м Всесоюзном семинаре «Проблемы разработки полезных ископаемых в условиях высокогорья» (Фрунзе, 1990), 30th Int.Geol. Congress (Beijing, China, 1996), Bureau of Mines (Colorado, USA, 1991), UVic (Victoria, Canada, 1993), 31th Int.Geo 1.Congress (Rio de Janeiro, Brazil, 2000), на научных семинарах НПО «СибЦМА» (Красноярск, 1987), НПО «Дальстандарт» (Хабаровск, 1985,1987), ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР (Ленинград, 1987), ИГД ДВО РАН (Хабаровск, 1989,1990), ИПКОН АН СССР (Москва, 1989,1990), ИФЗ АН СССР (Москва, 1990), ВЦ ДВО РАН (Хабаровск, 2005), ФТИ им. А.Ф.Иоффе РАЩСанкт-Петербург, 2005), ИПКОН РАН (Москва, 2005), ОИФЗ им. О.Ю.Шмидта (Москва, 2005).
Публикации и личный вклад автора. Основное содержание диссертации опубликовано в 65 печатных работах, в том числе 1 монографии, 1 брошюры, 17 авторских свидетельств СССР и 7 патентов РФ.
Из них 17 написано автором лично, а остальные в соавторстве с другими исследователями. В совместных работах автору принадлежат идеи и методы, составившие основу диссертации. Автор непосредственно участвовал в постановке лабораторных исследований и натурных испытаниях.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 327 страницах и состоит из введения, семи разделов, заключения и списка литературы, включающего 278 наименований, содержит 22 таблиц, 53 рисунка и приложение.
Анализ состояния разработки многоканальных акусто-эмиссионных систем контроля
Структура АЭ систем контроля определяется назначением и включает сеть из четырех и более приемных преобразователей, средства обработки информации (предусилители, аналогово-цифровые преобразователи, усилители, полосовые фильтры, цифро-аналоговые преобразователи, моделирующие и демодулирующие устройства), средства передачи информации соединительные, распределительные, магистральные линии связи с элементами преобразования, подземные [38], наземные [218] ЭВМ или их совмещение [237,238], регистрирующие устройства. По количеству измеряемых параметров АЭ и средства контроля подразделяются на однопараметровые [213] и многопараметровые [147], по степени взаимосвязи каналов - закрытого [180] или открытого [38,188] типов, по видам передаваемой информации: аналоговые [215], аналогово-цифровые [37] или цифровые [188,215], по оперативности обработки данных в ручном [8,89], полуавтоматическом [223] режимах и автоматизированные [38,188], по объему контролируемой зоны (диапазону частот) региональные [69] и локальные [218].
Известные многоканальные станции и системы АЭ контроля создаются в рамках национальных программ [37,39,40,49] и финансируются из централизованных источников, имеют индивидуальное исполнение и используются одновременно для контроля и проведения научных исследований. Математическое и программное обеспечение Математическое обеспечение систем АЭ контроля необходимо для обработки в реальном времени акустической информации. Его качество и полнота определяются задачами контроля и применяются для определения параметров сигналов [148,188], спектрального [22,134] и амплитудного [139] распределений. В многоканальных системах дополнительно применяются алгоритмы селекции сигналов [148], расчета координат источника [38,218,142] и построение карт микросейсмической активности [264].
Для выявления основных задач работы составлена обобщенная схема преобразования информации в процессе акустико эмиссионного контроля горного массива.
При производственном контроле интерес представляет обнаружение зарождения наиболее опасных дефектов, приводящих к частичному или полному нарушению сплошности объекта. Анализ геологических особенностей данных наблюдений, спектрограмм и результатов последствий горных ударов на рудниках показывают, что в направлениях, нормальных к плоскостям скольжения внутри массива, в местах сопряжения с зацеплением блоков, контактов включений, заклинивающих, препятствующих относительному скольжению блоков и контактов разномодульных пород, образуются дефекты типа трещин нормального отрыва.
На характер возникновения и развития трещин оказывает влияние степень нагруженности или запас упругой энергии, накопленной в областях массива, примыкающих к зоне трещинообразования. Структура акустического сигнала усложняется сопутствующими скачку трещины деформационными шумами от пластических деформаций или трения по контактам тел. Уровень сигнала также зависит от ориентации трещины в пространстве горного массива. В процессе производственной деятельности рудника сигналы АЭ маскируются помехами, создаваемыми при работе горного оборудования. Все МГП сложены с плотной упаковкой многими телами, различными по форме, размерами и деформационно-прочностными свойствами. При их контроле типична ситуация, когда одновременно действуют несколько источников, что усложняет форму сигнала. Кроме этого, происходит искажение структуры сигнала в акустическом тракте из-за расхождения, затухания и дисперсии волн, а также и в местах сопряжений приемного преобразователя с массивом (в зоне акустического контакта).
Дальнейшие преобразования и обработка АЭ сигнала производятся в измерительном, преобразующем, передающих, вычислительных и регистрирующих электронных трактах. Идеальными, с точки зрения качества воспроизведения акустических сигналов, являются бесконтактные (лазерные или емкостные) приемные преобразователи. Все контактные приемники искажают сигнал из-за паразитных резонансов элементов сопряжения и, собственно, преобразователя, поэтому регистрируемый спектр рассматривается на ограниченном участке равномерной чувствительности. В трактах обработки электрический сигнал дополнительно фильтруется с учетом помеховой обстановки, а деформационные шумы и внешние помехи ограничиваются порогом амплитудной дискриминации.
Преобразованные в электрические - сигналы АЭ в соединительных распределительных и магистральных линиях связи частично затухают, причем коэффициент затухания зависит от частоты. Из-за естественной электрической асимметрии, вызванной несовершенством конструкции кабелей, возникают дополнительные искажения сигнала от воздействия импульсных электромагнитных помех. Эти недостатки исключаются применением специальных методов и средств настройки, либо использованием цифровых методов передачи информации. Искажение формы исходного сигнала происходит также при его цифровой обработке, что связано с выбором частоты дискретизации и точностью измерения текущих значений амплитуд. В многоканальных системах контроля основные трудности в интерпретации результатов приема сигналов АЭ каждым каналом заключается в их индентификации одному источнику. В открытых системах (каналы не взаимосвязаны), особое значение приобретают методы распознавания на программном уровне, а в закрытых - частичной потерей информации, связанной с временем "захвата" события всеми каналами и обработки информации. Приоритет в выборе степени открытости связан с интенсивностью потока информации и стоимостью.
Асимптотический Тк- критерий (приближенный подход)
В современном эксперименте исследователю приходится обрабатывать большие массивы данных. В случае единственной серии измерений речь идет о большом числе узлов, т.е. о большом числе степеней свободы. Как уже отмечалось, вопрос о ТК - критерии в случае большого числа степенной свободы интересен не только сам по себе, что не нуждается в пояснении, но и важен с практической точки зрения, так как для (120 v co) таблиц F - распределений за редким исключением нет. Поскольку нас интересует случай большого числа степеней свободы, рассмотрим асимптотическое (при V— х ) поведение Тк - критерия. Переходя в правой части неравенства (2.38) к асимптотическому пределу (v-»co), получим Отсюда ясно, что в асимптотическом пределе при v co Тк -статистика является вырожденной случайной величиной. Чтобы продолжить анализ, перейдем к статистике (2.41) которая является проверочной статистикой в критерии В этом случае в асимптотическом пределе картина совершенно не похожа на предыдущую. Действительно, переходя в правой части неравенства (2.79) к пределу при v-»co, получаем где мы воспользовались хорошо известным равенством (2.42) Из (2.80) следует, что в пределе при v -» оо статистика 7] отнюдь не вырождена, а является случайной величиной.
Наша задача - найти асимптотическое распределение статистики Tk . Это можно сделать следующим образом. Сначала, используя (2.48) и (2.59), нужно получить распределение 7 - статистики, для чего конечно придется привлечь к рассмотрению Be - распределение. Затем с помощью (2.78) можно сделать переход от распределения Тк - статистики и в нем перейти к пределу при v - QO. Это - стандартный путь получения предельного распределения случайной величины. Рассмотрим другой путь, позволяющий разрешить интересующий нас вопрос без использования информации о плотности распределения статистики Tk . Обратимся к критерию (2.79), который по, существу, является модификацией Тк - критерия (2.38). Ясно, что решения, принимаемые с помощью этих критериев, одинаковы. Другими словами, критерии (2.38) и (2.79) эквивалентны. Отсюда при наших предположениях относительно ошибок измерений в случае несмещенности МНК - модели порядка р (напомним, что в этом случае МНК - модель порядка р+к тоже несмещена) неравенство (2.79) выполняется с вероятностью где fr ( ) - плотность распределения статистики Т. Известно, что верхний а - предел Fa(k,v-k) при фиксированном к монотонно убывает по v. Напомним, что kFa (к,со) = %2а (); следовательно, при конечном числе степеней свободы v имеет место неравенство kFa(k,v-к) %1 (к). Поэтому (29) можно записать так: Этот критерий будем называть асимптотическим 7 - критерием.
Приступим теперь к рассмотрению этого критерия. Прежде всего сравним его верхний а - предел с а - пределом точного 7А - критерия (2.38). Из (2.88) и (2,38) видно, что для этого нужно сравнить %1 (а) с №а (k,v-k). Известно, что при фиксированном к верхний а - предел Fa(k,v-k) монотонно убывает по v, причем, как уже отмечалось, kFa(k, оо) = % (). Следовательно, при конечном числе степеней свободы v имеет место неравенство kFa(k,v-k) %2а(к). Это значит, что верхний а - предел 7 - критерия расположен левее верхнего а - предела Тк - критерия. Рассогласование верхних а - пределов двух критериев (невязка) может привести к принятию ошибочных решений при использовании асимптотического Тк - критерия. Так, возможна ситуация, когда по критерию (2.34) МНК - модель порядка р отвергается, тогда как по критерию (2.38) отвергается МНК - модель порядкар+к. Наша задача - исследовать невязку. Обращаясь к (2.38) и (2.88) получаем где 5 - разность верхних а - пределов критериев (2.38) и (2.88), т.е. невязка. Представим (2.89) в удобном для анализа виде. Поскольку kFa(k, со) = ЗСа( ).то Из (2.90) следует, что характер поведения невязки при изменении к и v в основном определяется их отношением так, что при фиксированном к невязка монотонно убывает по v, а при фиксированном v она монотонно возрастает по к. Отметим, что монотонному убыванию 6 по v способствует выражение в круглых скобках, так как Fa(k,v-k) убывает по v. При фиксированном v картина получается такая. С уменьшением (v-k) верхний а - предел Ftt(k,v k) увеличивается, a Fa(k, со) убывает с ростом к, так что их разность возрастает по к, что способствует монотонному возрастанию невязки по к. Ясно, что для пренебрежения невязкой нужно, чтобы к и v удовлетворяли неравенству v»k, которое можно записать так: п»р+к. Попутно заметим, что если выполняется это условие, то при оценивании погрешности МНК - модели, как указано в [80, 244], случайную составляющую погрешности можно не учитывать. Таким образом, наш анализ невязки показывает, что при выполнении v»k и большом числе степеней свободы v невязкой верхних а - пределов критериев (2.38) и (2.88) можно пренебречь и считать, что они совпадают. Пример 1.3. Раньше уже было отмечено, что асимптотический 7 -критерий следует применять при v 120. Вычислим невязку при v= 120 и к = 10. Примем а = 0,05. Из таблиц - распределений находим )? (10) = 18,307. Из таблиц F - распределений имеем F0,os (№, 60) = 1,9926, Fo,05 (10, 120) = 1.9105.
Влияние корреляций погрешностей измерений на систематическую погрешность эмпирической зависимости
Известно [77], что теория и техника построения доверительных интервалов для истинной зависимости, границы которых представляют собой доверительные границы погрешности модели, аппроксимирующей экспериментальные данные, достаточно хорошо развиты лишь для случаев, когда модель является несмещенной оценкой. Однако такие случаи типичны только для экспериментов, условия которых содержат априорные сведения о виде истинной зависимости. Между тем, на деле такие ситуации весьма редки. Для реальных ситуаций характерно отсутствие информации о виде истинной зависимости, например, в задачах, связанных с исследованием свойств новых веществ и материалов. При таком положении вещей обычно активно используют методы селекции, которые позволяют выделить модель, лучше других согласованную с экспериментальными данными. Тем не менее, в силу статистической природы этих методов окончательную модель, во избежание риска переоценки ее точности, приходится (особенно в ответственных экспериментах) считать смещенной оценкой истинной зависимости. Исследование таких ситуаций существенно осложняется, и прикладная статистика может предложить лишь некоторые полуэвристические приемы и рекомендации, нацеленные на приближенное решение данной задачи, а потому при анализе точности аппроксимационных вариантов регрессионных моделей не следует претендовать на построение сколь-нибудь точных интервалов для функции регрессии [3]. Хотя о смещении и не упоминается, все же становится ясно, что основная трудность при оценивании погрешности модели состоит в получении интервальной оценки для смещений - доверительных границ систематической погрешности модели. Кстати, распространено мнение, что оценить смещение нельзя [166]. В ней сказано: «Теоретически оценить величину смещения не удается даже в простейшем рассматриваемом случае линейной регрессионной модели». Однако мнения по этому поводу расходятся. Такого рода асимметрия обусловлена, прежде всего, сложностью вопроса об интервальном оценивании смещения и свидетельствует о его сравнительно слабой изученности.
В [81] предложен метод оценивания систематической погрешности сверху применительно к моделям, не отвергнутым F-критерием, с помощью которого принимают решение о том, значимо или нет различие между двумя независимыми оценками дисперсии погрешностей измерений. Одна из них - это остаточная дисперсия, полученная с использованием модели, а вторая - независимая от нее несмещенная оценка дисперсии погрешностей измерений. Этот метод, несмотря на его простоту и прозрачность, все же имеет два существенных недостатка: всем моделям, не отвергнутым / -критерием, приписывается одинаковая систематическая погрешность, так что модели оказываются «обезличенными»; ограниченность только такими случаями, когда известна независимая от аппроксимации несмещенная оценка дисперсии погрешностей измерений. Эти недостатки преодолены в [77].
Подчеркнем, что все сказанное выше относится к моделям, которые линейны по параметрам, найденным по методу наименьших квадратов, а измерения равноточны и некоррелированы. Однако во многих важных экспериментах измерительная информация представлена физическими величинами, которые коррелированы и имеют разные дисперсии. Предлагаемая работа нацелена именно на такие случаи и является продолжением исследований, которые начаты в [77, 81].
Относительно погрешностей измерений предполагается, что они случайны, центрированы (нет систематических составляющих) и имеют совместное нормальное распределение с ковариационной матрицей где Е - п х 1- вектор-столбец погрешностей измерений; п - число узлов, т.е. фиксированных значений аргумента, при которых получены экспериментальные данные; W - известная симметричная несингулярная (имеющая обратную) матрица порядка n\D- неизвестный множитель.
Заметим, что поскольку по предположению экспериментальные данные не содержат систематических погрешностей, то систематическая погрешность модели определяется исключительно ее смещенностью.
Одной из практически важных задач регрессионного анализа является задача восстановления зависимости по единственной серии измерений, т.е. когда экспериментальные данные получены однократными измерениями в узлах (ситуация типичная для дорогостоящих или уникальных экспериментов). Ниже рассмотрим именно такие случаи. При этом мы ограничимся моделями, которые линейны по параметрам, найденным по методу наименьших квадратов.
В задаче восстановления зависимости по единственной серии измерений нужно различать два принципиально разных случая: 1. Известна независимая от аппроксимации несмещенная оценка множителя D в (3.22). 2. Информации о такой оценке нет. Этот вопрос, как уже отмечалось, разобран в [77] в предложении, когда измерения равноточны и некоррелированы. Далее приведем и вкратце поясним лишь те моменты из [77], которые необходимы для настоящего исследования.
Скорректированный F-критерий проверки однородности выборок относительно дисперсий
В предыдущем разделе был рассмотрен вопрос о влиянии нарушения предположения о нормальности двух выборок на принятие решения об их однородности относительно средних (математических ожиданий). Хорошо известно, что техника обработки измерительной информации существенно зависит от того, однородна ли она относительно дисперсий. В случае двух нормальных выборок проверку предположения о равенстве дисперсий осуществляют с помощью стандартного F-критерия. Ниже рассмотрим именно этот практически важный случай.
В [204] и в предыдущих параграфах подчеркнуто, что этот критерий чрезвычайно чувствителен к отклонениям от нормальности. Это значит, что его использование в ситуациях, когда нет полной уверенности о нормальности выборок, сопряжено с неконтролируемым риском совершить ошибку при принятии решения о технике обработки экспериментальных данных. А это, в свою очередь, может привести, а во многих случаях приводит к большим погрешностям результатов измерений, что делает их несопоставимыми и непригодными для практического использования и, таким образом, обесценивает полученную информацию.
В [140] приведен робастный (устойчивый к отклонениям от нормальности) F-критерий, имеющий достаточную мощность для проверки однородности двух выборок относительно дисперсий. Тщательному исследованию этого критерия наряду с другими важными вопросами посвящена работа [225]. Но для практического использования предложенного метода нужно априори знать математические ожидания случайных величин, представленных двумя выборками. Между тем в эксперименте имеют дело не с математическими ожиданиями, а с их оценками в виде средних арифметических значений двух выборок. Поэтому упомянутый критерий можно использовать лишь в асимптотических случаях, т.е. при обработке выборок достаточно больших объемов, что существенно ограничивает область его применения на практике. Необходимо разработать робастный метод проверки однородности двух выборок относительно дисперсий с использованием стандартной проверочной статистики.
Далее работа заключается в попытке изложить поднятый вопрос с позиций экспериментатора. Поэтому важные с точки зрения математика, но второстепенные для физика вопросы здесь не рассматриваются. И еще, мы старались не загромождать исследование техническими деталями, а проводить его на уровне, принятом в физике таким образом, чтобы основные идеи, как правило простые и наглядные, были прозрачны и удобочитаемы для исследователей, чья деятельность связана с измерениями. Читатель, интересующейся более глубоким рассмотрением вопроса, может найти это в работе [4], где изложение ведется на уровне строгости, принятом в математике.
Относительно погрешностей измерений предполагается, что они не содержат систематических составляющих и некоррелированы. Предполагается также, что выборки случайны и взяты из разных распределений, отличающихся от нормального закона. Итак, пусть дана выборка: х\у Х2, ..., хп. Важной ее характеристикой является выборочная дисперсия, которая имеет следующий вид [202]: где х - среднее арифметическое значение выборки; в числителе отдельные слагаемые - это квадраты остатков, а их сумма - остаточная сумма квадратов; п — объем выборки.
Подчеркнем, что D является несмещенной оценкой дисперсии отдельного наблюдения независимо от того, из какого распределения взята выборка. Это свойство совершенно не связано с нормальностью выборки, как иногда думают, а вытекает из принятого метода исследования - метода наименьших квадратов [100].
Известно, что для нормальной выборки имеют место представления: где D - дисперсия отдельного наблюдения; JZ(K-1) - случайная величина, имеющая %г - распределение с указанным числом степеней свободы; -См/М дисперсия случайной величины D. Соотношение (4.11) можно записать в удобном для нашей задачи виде где F (п -1, оо) - случайная величина, имеющая -распределение с указанными числами степеней свободы.
Так как математическое ожидание случайной величины F(«-l,oo) равно единице, то из (4.13) следует, что МІГ \ = В, т.е. выборочная дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии отдельного наблюдения.
При отклонениях от нормальности приведенные формулы становятся неверными. Наша цель — определить случайную величину D/D так, чтобы выборочная дисперсия по-прежнему была несмещенной оценкой. Это можно сделать, предположив, что По существу речь идет об аппроксимации распределения отношения выборочных дисперсий к дисперсиям отдельного наблюдения F-распределением со степенями свободы/со.
