Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор исследований, посвященных математическим методам моделирования напряженного состояния массива горных пород . 12
2. Напряженно-деформированное состояние горных пород вокруг очистных выработок и задание граничных условий. 25
2.1. Состояние массива горных пород до проведения выработок. 25
2.2. Состояние массива горных пород вокруг очистных выработок. 27
2.3. Задание граничных условий на почве очистной выработки . 28
2.4. Расчет и построение защищенных зон. 31
2.5. Расчет и построение зон повышенного горного давления. 33
Выводы. 35
3. Напряженное состояние массива горных пород вокруг очистных выработок при отработке свиты пластов (плоская задача). 39
3.1. Метод расчета напряженного состояния массива пород около очистных выработок, пройденных в смежных пластах свиты. 39
3.2. Оценка точности вычислений и сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными . 41
3.3. Практическое использование метода. 49
Выводы. 81
4. Напряженное состояние массива горных пород блочной структуры . 82
4.1. Контактные условия на границах блоковых структур в массиве горных пород. 82
4.2. Комплексные ГИУ для расчета напряженного состояния блочного массива горных пород. 84
4.3. Комплексные ГИУ для оценки напряженного состояния системы жестких блоков при произвольных условиях взаимодействия по контактирующим поверхностям . 89
4.4. Комплексные ГИУ с аппроксимациями высших порядков для расчета напряженного состояния блочного массива горных пород. 92
4.5. Сравнение с вещественным МГЭ. 100
4.6. Оценка точности расчетов. 101
4.7. Практическое использование метода. 105
Выводы. 129
5. Напряженное состояние массива горных пород вокруг очистных выработок произвольной пространственной конфигурации в плане при отработке свиты пластов (пространственная задача). 131
5.1. Метод расчета напряженного состояния массива пород около изолированной очистной выработки произвольной конфигурации в плане. 131
5.2. Расчет напряжений при разработке свиты пластов. 134
5.3. Метод расчета напряженного состояния массива пород около очистных выработок, пройденных в сближенных пластах. 136
5.4. Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными и примеры расчетов. 138
5.5. Практическое использование метода. 145
Выводы. 221
6. Напряженное состояние слоистого массива горных пород около очистной выработки произвольной пространственной конфигурации в плане . 224
6.1. Модель среды и граничные условия. 224
6.2. Метод расчета напряженного состояния в слоистом массиве горных пород. 227
6.3. Оценка точности вычислений и примеры расчетов. 235
Выводы. 244
7. Напряженное состояние вокруг очистных выработок произвольной пространственной конфигурации в плане в массиве горных пород с тектоническими нарушениями . 245
7.1. Метод расчета напряженного состояния в массиве горных пород в зоне влияния тектонических нарушений. 245
7.2. Особенности реализации метода на ЭВМ. 249
7.3. Итерационные процедуры. 253
7.4. Оценка точности вычислений и численные эксперименты. 256
7.5. Практическое использование метода. 270
Выводы. 316
Заключение 318
Литература 322
- Задание граничных условий на почве очистной выработки
- Оценка точности вычислений и сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными
- Комплексные ГИУ для оценки напряженного состояния системы жестких блоков при произвольных условиях взаимодействия по контактирующим поверхностям
- Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными и примеры расчетов.
Введение к работе
Актуальность проблемы. Повышение рентабельности горнодобывающих предприятий и обеспечение безопасности горных работ в значительной степени зависят от выбора рационального и экономически выгодного варианта ведения горных работ. Поиск таких вариантов, их сравнение и обоснование имеют свои особенности при отработке пластовых месторождений. А именно, приходится учитывать различие в геометрических размерах очистных выработок и мощности отрабатываемого слоя, горные работы на смежных пластах, влияние целиков и краевых частей смежных пластов,- специфику слоистого и блочного строения массива, наличие тектонических нарушений. Эти особенности требуют количественной оценки напряженного состояния массива горных пород и полезного ископаемого вокруг пластовых выработок. Проведение шахтных и лабораторных исследований по изучению поведения массива горных пород в сложных условиях отработки пластовых залежей полезных ископаемых связано со значительными трудностями при их реализации. Полученные результаты отражают изменения в данной конкретной горнотехнической обстановке, но их трудно переносить в другие горногеологические условия.
Поэтому, наряду с развитием экспериментальных исследований остаются актуальными работы по созданию математических методов моделирования геомеханических процессов при отработке пластовых месторождений.
В начале 50-х годов во ВНИМИ под руководством И.М. Петухова была сформулирована проблема горных ударов и намечены пути ее решения. На первом этапе (около десяти лет) были выполнены широкомасштабные инструментальные наблюдения в удароопасных шахтах. Разработанные в этот период методы и приборы использовались для установления особенностей деформирования угольных пластов, образования зон опорного давления и разгрузки, в том числе зон предельного состояния в краевых частях пластов. Результаты этих исследований позволили сформулировать "рабочую гипотезу" о природе и механизме возникновения горных ударов. В начале 60-х годов начались исследования на моделях из эвивалентных и оптически активных материалах. Результаты этих исследований позволили уточнить представления о сдвижении горных пород, образовании зон опорного давления и разгрузки около очистных выработок. В это же время стали использоваться методы теории упругости для расчета напряжений около одиночной очистной выработки.
В начале 80-х годов для изучения блочной структуры массива горных пород под руководством И.М. Батугиной и И.М. Петухова был разработан метод геодинамического районирования недр. Он позволяет выделять блочную структуру массива пород и оценивать роль тектонических напряжений при планировании и развитии горных работ. В результате этих работ появились схемы блоковых структур для исследования, в том числе методами математического моделирования, их взаимодействия и влияния на горные работы в пределах отрабатываемого месторождения.
На большинстве угольных месторождений России ведется отработка многопластовых свит, поэтому разработка рекомендаций по безопасному ведению горных работ и развитие теории горных ударов и выбросов требовали создания новых эффективных методов оценки напряженного состояния массива горных пород, учитывающих его главные особенности. А именно, приходится учитывать большие площади очистных выработок, горные работы на смежных пластах, влияние целиков и краевых частей на смежных пластах свиты, блочное или слоистое строение массива, наличие разрывных нарушений.
Учет этих особенностей и определил задачи и направление настоящих исследований, направленных на решение научно-технической проблемы ітанирования безопасной и эффективной отработки удароопасных пластовых месторождений на больших глубинах в условиях тектонической нарушенности.
Цель работы состоит в разработке критерия и способа выявления зон повышенного горного давления опасных по проявлению динамических явлений в массиве горных пород при ведении очистных работ при отработке свит пластовых месторождений.
Идея работы заключается в комплексном использовании современных достижений в геомеханике, механике твердого тела, в теории граничных интегральных уравнений и информатики с анализом и обобщением данных шахтных исследований для создания методов математического моделирования напряженного состояния массива горных пород при отработке свит пластовых месторождений.
Задачи исследований:
- определить модели среды, позволяющие отразить влияние основных горнотехнических факторов при оценке напряженного состояния массива горных пород около очистных выработок;
- разработать методику задания граничных условий на почве очистных выработок адекватно отражающую горнотехническую обстановку при отработке свиты угольных пластов;
- разработать методы оценки напряженного состояния массива горных пород около очистных выработок при отработке свит пластов с учетом влияния геологических нарушений, блочного и слоистого строения массива горных пород;
- разработать критерий и способ выделения зон опасных по проявлению динамических явлений;
установить закономерности изменения глубины распространения и конфигурации опасных зон в массиве горных пород около очистных выработок при отработке свит угольных пластов в зависимости от основных горнотехнических факторов.
Методы исследований. В ходе исследований использовались:
- анализ и обобщение данных шахтных исследований за геомеханическими процессами, происходящими при отработке пластовых месторождений, для адекватного отражения этих данных в математических моделях;
- анализ данных шахтных наблюдений для разработки методики задания нагрузок на почве очистных выработок при отработке свит пластов;
- методы современной горной геомеханики, механики твердого тела и вычислительной механики для решения двух и трехмерных задач по оценке напряженного состояния массива горных пород;
- теория сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений для выбора эффективных методов решения задач и алгоритмов их реализации;
- достижения в современных вычислительных средствах, информатики и компьютерной графике для разработки удобных в практическом применении препроцессоров и постпроцессоров.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
1. Формирование нагрузок на почве очистных выработок зависит от геометрических размеров выработанных пространств, их взаимного расположения, глубины горных работ, мощности отрабатываемых пластов, системы отработки и способа управления кровлей. Исследованиями установлено, при каких условиях отработки свиты пластов в случае подработки целиков (краевых частей) на смежных пластах свиты продавливающее действие целика может проявляться в виде возникновения зоны повышенного горного давления, либо исчезать, не оказывая давления на нижележащие пласты.
2. Отработка месторождений полезных ископаемых способствует появлению новых границ в блоковых структурах и вызывает подвижки по контактам блоков, инициирующие динамические явления в шахтах. Исследованиями установлено, что для оценки напряженного состояния блочного массива горных пород математическая модель среды может быть представлена совокупностью разномодульных упругих блоков, контакты блоков представлены поверхностями разрывов смещений, а нелинейные процессы в приконтактной зоне введены в граничные условия на контактах.
3. При выборе безопасного варианта ведения горных работ необходимо выявлять зоны повышенного горного давления, возникающие от целиков и краевых частей выработок смежных пластов свиты. Исследованиями за проявлением динамических явлений на различных угольных месторождениях установлено, что критический уровень, определяющий границу опасной зоны (зону повышенного горного давления), в которой возможно проявление динамических явлений (горных ударов и выбросов) для условий отработки свит пластовых месторождений необходимо определять по нормальным к напластованию напряжениям, нормированным на вертикальные напряжения нетронутого массива горных пород.
4. Данные шахтных наблюдений и численные эксперименты свидетельствуют, что для расчета зон повышенного горного давления при отработке свит угольных пластов допустимо в качестве математической модели массива принимать модель линейно-упругой однородной среды, где очистные выработки представляются поверхностями разрывов смещений. При этом нагрузки на почве очистных выработок задаются по разработанной автором методике.
5. При отработке свит угольных пластов с ярко выраженной слоистой структурой пород междупластья на напряженное состояние массива оказывают влияние различия в упругих характеристиках слоев и условия на их контактах. Исследованиями установлено, что для опенки влияния слоистого строения массива горных породі на размеры и конфигурацию зон повышенного горного давления около очистных выработок математическая модель среды может быть представлена пакетом разномодульных слоев с параллельными границами. Одной из границ пакета слоев является отрабатываемый пласт, который определяет граничные условия на этой границе. Второй границей пакета слоев является земная поверхность.
6. Пластовые залежи нередко имеют сложную гипсометрию, а их отработка осложняется геологическими нарушениями. Исследованиями установлено, что для выявления зон повышенного горного давления около очистных выработок в зоне влияния тектонических нарушений математическая модель среды может быть представлена: однородным массивом горных пород, где очистные выработки и нарушения, произвольно ориентированные в пространстве, представляются поверхностями разрывов смещений. При этом нагрузки на почве очистных выработок задаются по разработанной автором методике, а условия на поверхности контактов нарушений задаются с учетом необратимости взаимных смещений.
Научную новизну проведенных исследований составляют следующие результаты:
1. Разработана методика задания граничных условий на почве очистных выработок при отработке свиты пластов с учетом продавливающего действия целиков и краевых частей отрабатываемых пластов через очистные выработки подрабатывающих пластов свиты.
2. Разработаны эффективные способы решения специальных форм сингулярных и гиперсингулярных граничных интегральных уравнений, численная реализация которых позволила создать новые методы математического моделирования напряженного состояния массива горных пород для решения двух и трехмерных задач о пластовых выработках. А именно:
- метод решения двумерных задач о системе очистных выработок при отработке свиты пластов;
- метод решения двумерных задач о системах блоков при различных условиях на контактах;
- метод решения трехмерных задач о системе очистных выработок- произвольной формы в плане при отработке свиты пластов;
- метод решения трехмерных задач о пластовых выработках в слоистом массиве;
- метод решения трехмерных задач о системе очистных выработок произвольной формы в плане и ориентации в пространстве в массиве горных пород с тектоническими нарушениями.
3. Установлено критическое значение нормальных к напластованию напряжений ау/кіуН=1.2 (ki=cos а+A/sin а, а - угол падения пласта, А. - коэффициент бокового отпора), определяющее границу зоны повышенного горного давления (ПГД), в которой возможно проявление динамических явлений (горных ударов и выбросов) для условий отработки свит пластовых месторождений.
4. Численными экспериментами по разработанным программам установлены закономерности изменения глубины распространения и конфигурации зоны ПГД в массиве горных пород около очистных выработок в условиях отработки свит пластовых месторождений при совокупном и раздельном влиянии основных горнотехнических факторов. К ним относятся: угол падения свиты, глубина отработки, порядок отработки пластов в свите, размеры очистных выработок, продавливающее действие целиков и краевых частей отрабатываемых смежных пластов свиты, размеры целиков и мощность междупластья, мощности слоев и их прочностные свойства.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается:
• анализом и теоретическим обобщением данных шахтных наблюдений за процессами, происходящими при отработке пластовых месторождений, для адекватного отражения этих данных в математических моделях среды и методики задания граничных условий;
• применением методов современной горной геомеханики, механики твердого тела, теории сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений и вычислительной механики для решения двух и трехмерных задач по оценке напряженного состояния массива горных пород;
•хорошим согласием результатов расчетов с данными шахтных и лабораторных исследований;
•установлением закономерностей изменения глубины распространения и конфигурации зоны ПГД в массиве горных пород около очистных выработок в условиях отработки свит пластовых месторождений при совокупном и раздельном влиянии основных горнотехнических факторов;
• промышленной апробацией основных положений и результатов проведенных исследований и включением практических рекомендаций в 18 методических и нормативных документов.
Научное значение работы состоит в разработке новых методов математического моделирования, позволивших установить критерий построения зон повышенного горного давления для условий отработки свит пластов и закономерности изменения глубины распространения и конфигурации зоны ПГД в массиве горных пород около очистных выработок в условиях отработки свит пластов.
Практическое значение работы состоит в создании методики экспертной оценки напряженного состояния отрабатываемых участков шахтных полей для разработки рекомендаций по планированию безопасных вариантов ведения горных работ. Прогнозные карты напряженного состояния отрабатываемых пластов используются: при определении порядка отработки пластов в свите; при определении границ зон, защищенных от динамических явлений; при построении границ зон повышенного горного давления, опасных по динамическим явлениям; при расчете предельных размеров межлавных целиков; при планировании мест расположения подготовительных и капитальных выработок, в которых их проведение безопасно, а поддержание не требует больших капиталовложений; при проектировании развития горных работ как в целом по месторождению (шахтному полю), так и по отдельным его участкам; при решении вопросов выбора мест закладки стволов и основных горных выработок; при раскройке месторождения на шахтные поля с определением порядка их отработки и решении других вопросов геомеханики.
Реализация результатов работы в промышленности. Практические рекомендации, разработанные по результатам исследований, вошли составной частью в 18 методических и нормативных документов, наиболее значимые из которых:
Инструкция по безопасному ведению горных работ на шахтах, разрабатывающих пласты склонные к горным ударам (1981); Методические указания по использованию программ для расчета и графического построения напряжений в массиве горных пород около выработок (Л., ВНИМИ, 1981); Методические указания по расчету напряжений и экспериментальной оценке газодинамического состояния пластов угля в зонах ПГД (Л., ВНИМИ, 1983); Методические указания по применению глубинных реперов для изучения напряженно-деформированного состояния массива горных пород (Л., ВНИМИ, 1983); Методические указания по профилактике горных ударов с учетом геодинамики месторождений (Л., ВНИМИ, 1983); Рекомендации по расчету целиков с учетом опасности горных ударов (Л., ВНИМИ, 1983); Методические указания по расчету напряжений в зонах влияния очистных выработок. (Л., ВНИМИ, 1989); Инструкция по безопасному ведению горных работ на рудных и нерудных месторождениях (объектах строительства подземных сооружений), склонных к горным ударам. (Л., ВНИМИ, 1989); Перспективные геомеханические схемы регионального управления выбросо- и удароопасным состоянием массива при разработке свит угольных пластов. (Методические положения. Л., ВНИМИ, 1989); Методические указания по прогнозу ударо- и выбросоопасных зон вблизи разрывных нарушений (Л., ВНИМИ, 1990); Рекомендации по созданию и использованию прогнозных карт. (Л., ВНИМИ, 1990); Регламентация порядка перехода на региональное управление выбросо-и удароопасностью свит угольных пластов при проектировании и эксплуатации глубоких шахт (Л., ВНИМИ, 1991); Руководство по определению параметров рудного барьерного целика при различных вариантах двухъярусной разработки. Дополнение к проекту "Технология одновременной отработки запасов руды в смежных этажах по падению различным сочетанием систем разработки, применяемым на шахтах ОАО Севуралбокситруда" (Североуральск, 1997).
Программа SUIT3D передана по контрактам в Германию и Францию (1992) для анализа изменения напряженного состояния и разработки рекомендаций по безопасному ведению горных работ при отработке свит пластов на соляных и угольных шахтах.
Апробация работы; Результаты исследований и основные положения диссертационной работы докладывались и получили одобрение:
на секции горных ударов и выбросов угля (породы) и газа Ученого совета ВНИМИ- (Ленинград, Санкт-Петербург, 1973-2003); на Всесоюзных конференциях "Комплексные исследования физических свойств горных пород и процессов" (Москва, 1974, 1981, 1984); на Всесоюзных семинарах "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород" (Новосибирск, 1975, 1980, 1982, 1986); на рабочем совещании "Метод граничных интегральных уравнений. Задачи. Алгоритмы. Программная реализация (Пущино-на-Оке, НИВЦ АН СССР, 1985); на Всесоюзных семинарах "Проблемы разработки полезных ископаемых в условиях высокогорья" (Фрунзе, 1987, 1990); на Всесоюзных семинарах "Геодинамика месторождений" (Кемерово, КузПИ; 1988; 1990); на Всесоюзных научных семинарах "Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций" (Санкт-Петербург, 1990, 1994 -1999); на III Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (Львов; 1991); на Международной конференции "Computer Methods and Advances in Geomechanics" (Австралия, 1991);. на 2 International Symposium on Modern Coal Mining Technology (Fuxin, China, 1993); на Международном симпозиуме по горным ударам ш внезапным выбросам в; шахтах (Санкт-Петербург, ВНИМИ, 1994); на всесоюзной конференции "Расчетные методы механики деформируемого твердого тела" (Новосибирск, 1995); на: Международной конференции І "Эффективная и безопасная; подземная добыча угля на базе современных достижений геомеханики" (Санкт-Петербург, 1996); на Международном Рабочем Совещании "Проблемы; Геодинамической Безопасности" (Санкт-Петербург, 1995,1997); на Международной конференции 1st South African Rock Engineering Symposium. SARES 97 (Johannesburg, 1997); на Международной конференции "International symposium on boundary element method" (Ecole Polytechnique, Paris, France, 1998); на международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемого твердого тела. Методы граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 1998-2002); на Международном симпозиуме IABEM2000, Symposium of the International Association for Boundary Element Methods. (Brescia, Italy, 2000); на Международной конференции EUROCK 2001 (Espoo, Finland 2001); на III Рабочем совещании "Геодинамическая и экологическая безопасность при освоении месторождений газа, его транспортировке и хранении" (ВНИМИ, Санкт-Петербург, 2001); на Международной конференции "New Development in Rock Mechanics & Rock Engineering" (Shenyang, P.R. China 2002) и других.
Публикации. По результатам исследований опубликовано 103 печатных работы; сделано 34 сообщения на Всесоюзных и Международных конференциях и Всесоюзных научных семинарах; получено 1 авторское свидетельство, 1 патент на изобретение и 5 свидетельств о регистрации программ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 7 глав, заключения и списка литературы из 208 наименований. Основное содержание работы представлено на 334 страницах машинописного текста и содержит 62 таблицы и 177 рисунков.
Задание граничных условий на почве очистной выработки
По второму направлению также имеется полезный опыт, и, что существенно, оно, как и первое, также опирается на ГСИУ. По сути, уже метод "пластовых элементов", предложенный в [197] и успешно примененный в [195] для численного моделирования одиночных пространственных выработок в плоских пластах, будучи основой метода разрывных смещений, исходит из ГСИУ. Авторы, упомянутых первых работ по этому направлению, хотя не выписывали соответствующих интегральных уравнений и даже не отмечали соответствующей связи, в полной мере использовали важнейшие достоинства таких уравнений. А именно, ГСИУ хорошо приспособлены для учета областей малой: толщины, таких как трещины, выработки, фильтрационные и электрические экраны.
В явной форме соответствующие ГСИУ для трехмерных задач о пластовых выработках впервые использовались, независимо в [31, 32, 35, 44, 103,121, 127, 194,. 207]. Это позволило рассматривать не только одиночные пласты, но и системы параллельных пластов. Компьютерные программы MINSIM [195, 196], MULSIM [205, 206] и SUIT3D [31, 32, 44, 121, 127, 131, 147, 194], развитые на этой основе, в настоящее время широко используются в Южной Африке (первая), США (вторая), России, Германии, и Франции (третья). Случай произвольных трехмерных пластов представлен в [35, 103, 207], причем в [35] подчеркнуто, что используемые уравнения гиперсингулярные: поэтому интегралы вычислялись как конечно-частные (по Адамару). Результаты, относящиеся к трехмерным пластам, суммированы в диссертациях [44, 201] для параллельных пластов и в [ 103] для произвольных пластов. Существенно; что квадратурные формулы; для: конечно-частных интегралов получены не только для элементов квадратной и прямоугольной; формы, но и для произвольных плоских: областей при аппроксимации; плотности полиномами: в замкнутой? форме для постоянной; плотности на многоугольниках [78, 172] и в форме одномерных интегралов І в более общем случае [78].
Следует отметить, что совместное рассмотрение выработок и геологических нарушений; в трехмерной постановке уже предпринималось в работе [ 165]. Однако авторы [165] исходили из сингулярных уравнений (СИУ), что осложняет рассмотрение пластовых залежей, так как СИУ требуют использования; граничных элементов для обеих поверхностей отрабатываемого пласта. Как справедливо указано г в [168], для; пластовых залежей; "детальное представление геометрии выработок непрактично: для устойчивости решения, длины граничных элементов, используемых при моделировании образующихся поверхностей, должны иметь порядок; толщины пласта, что приводит к чрезмерному росту числа алгебраических уравнений". Поэтому, при изучении пластовых очистных: выработок целесообразно использовать упоминавшееся достоинство ГСИУ. Другое их важное преимущество перед СИУ состоит в том, что они хорошо приспособлены для учета контактных взаимодействий: в ГЄИУ входят именно те величины, которые характеризуют такое взаимодействие, а именно, разрывы смещений и усилия.
Учитывая выше сказанное, построена специальная форма ГСИУ, разработан способ их реализации, что и позволило решить поставленную задачу [86, 184]. По этому методу разработана программа FAULT3D [128]. Подробнее об этом методе и его возможностях изложено в главе 7.
Пятой рассматривалась задача об оценке напряженного состояния около очистной выработки произвольной формы: в плане в слоистом массиве горных пород при отработке угольных пластов и пластовых рудных залежей.
Аналитические методы определения; напряженно-деформированного состояния полосы (полуплоскости), состоящей из слоев с параллельными границами и различающихся между собой как упругими, так и геометрическими характеристиками, основаны на решении задачи теории упругости для одного слоя.
Решение основывается! на методе Фурье (см.,. например, [89, 111, 118, 138, 148]) и состоит в том, что функцию напряжений F представляют в виде произведения двух функций F(x,y)=f(y)g(x), каждаяиз которых зависит только от одной переменной. Нагрузки, действующие вдоль границ слоя y=±h і (2h -толщина слоя) представляют в виде рядов? или: интегралов Фурье. Например,. g(x)=cos(Px)? если решается симметричная задача или g(x)=sin(Px) для кососимметричной задачи. После выполнения необходимых преобразований получаем относительно f(y) обыкновенное однородное дифференциальное уравнение. Правда получить решение такого уравнения в замкнутом виде удается лишь для- некоторых частных случаев. При этом искомую функцию напряжений (в зависимости;от граничных условий) представляют рядами или интегралами Фурье. Обычно для удобства решения задачи функцию напряжений?выбирают илшс cos(Px) или с sin(Px). Сумма этих двух решений охватывает практически все встречающиеся случаш задания І граничных условий.
Подробный обзор решений по этой проблеме до середины 70-х годов представлен в работах [ 15 3 , 154]. Изложенный в этих работах метод позволяет учитывать сильь трения на произвольном количестве контактов. В рамках одной расчетной схемы в самой произвольной комбинации могут одновременно рассматриваться различные контактные условия: полное сцепление и полное проскальзывание на контактах как два крайних частных случая решений, являясь их естественным;обобщением. В ходе исследований: было установлено, что слоистое строение и особенно условия на контактах, самым существенным образом влияют на распределение напряжений и смещений в горном массиве. В то же время выявлены горнотехнические ситуации, - массив имеет тонкослоистую структуру, а на контактах реализуется полное сцепление, - когда нормальные к напластованию напряжений близки к напряжениям в однородной среде. Тем самым обоснована применимость соответствующих решений и определен диапазон их использования. В работах [153-155] также показано, что надработанный массив деформируется как среда, состоящая из упругих слоев, на контактах которых реализуется преимущественно полное сцепление. Когда ширина очистной выработки соизмерима или даже больше глубины, на которой она проведена, применение предложенного метода в подработанном массиве для определения нормальных к напластованию напряжений позволяет получить приемлемые для практического использования результаты.Если глубина ведения; горных работ в несколько раз превышает ширину очистной выработки или недостаточна вынимаемая мощность, то - при надлежащем; выборе условий на контактах - с помощью разработанного метода можно определять и смещения в подработанном массиве. Метод доведен до численной реализации и определены границы его применимости. Установлено соотношение параметров слоистой структуры, при которых наблюдается максимальное и минимальное отличие от расчетов для однородной среды.
Обзор, включающий статьи, опубликованные до 1990 года, дается в статье [178]. Появилось множество новых статей после того времени, но они не изменили сущность подходов, классифицированных и описанных в [178], а скорее представляют комбинации существующих подходов с учетом трещин, полостей и выработок в пределах слоев.
Из представленного обзора можно сформулировать следующую схему решения задачи об оценке напряженного состояния слоистой среды. Первый шаг - нужно получить решение для одного слоя. Любой метод может быть использован для получения такого решения (FEM, ВЕМ, преобразование Фурье и т.д.). Второй шаг — применить это решение для каждого слоя, чтобы удовлетворить контактным условиям на границах слоев. Это необходимо для объединения неизвестных, составляющих систему алгебраических уравнений, в? соответствии с неизвестными значениями? только на контактах и внешних границах. Третий шаг - решение этой системы. Это может быть выполнено различными методами. Как показано в [178], наиболее эффективный подход состоит в сведении задачи к трехточечным; конечно-разностным; уравнениям. Отмечается, что методу матричной прогонки свойственна неустойчивость (см. комментарии в [178, 180, 186, 187, 189]).
Конечно, представляется=обещающим следовать этим путем также и для нарушенных слоев. Метод граничных элементов (ВЕМ) кажется наиболее привлекательным в этом отношении. Поскольку он основан на сингулярном решении, критический; шаг - найти матрицу Грина для многослойных систем. Это может быть выполнено; при решении стандартных задач для= неповрежденных слоев (см. [180]). Следовательно, методы, развитые для; неповрежденных слоев служат как базис для дальнейшего продвижения.
Оценка точности вычислений и сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными
Использование критерия защиты по коэффициентам; интенсивности нормальных к напластованию напряжений дает возможность более точно построить защищенную зону. Результаты вычислений: показывают, что размеры защищенных участков, построенных по- различным критериям, достаточно близки: между собой, причем при расчете по критерию - уН0 получается несколько меньший размер защищенного участка.
Таким образом, если; нет острой необходимости: в подробной детализации защищенной зоны в сложных условиях отработки свиты пластов, она вполне надежно может быть построена по критерию уН0. Достоинством этого критерия является то, что при его использовании нелребуется учитывать выработку, которая! проводится? по опасному пласту. Тем самым отпадает необходимость в проведении серии: расчетов? для выяснения протяженности границы защищенной зоны при отработке свиты, пластов. Это позволяет упростить методику построения защищенной зоны и обобщить роль различных факторов, влияющих на ее размеры и конфигурацию в пространстве.
Расчет защищенных зон при отработке двух пластов. Пласты мощностью по 1 м отработаны в нисходящем порядке до глубины 700 м без оставления целиков. Опасный пласт и подрабатывающий его защитный залегают под углом а=60 к линиш горизонта. Мощность междупластья, равна 50 м. Необходимо установить, при какой ширине выработки: на защитном: пласте под защитой окажется? участок: опасного пласта между горизонтами» с: отметками 700 - 820" м: (рис. 3 11). В качестве критерия защиты принимаем: условие (2.3) при кіуЩ=7.5 МПаг
После отработки на защитном пласте горизонта с отметками 700-820 м: происходит разгрузка окружающих: пород: и опасного пласта.. Защищенная зона» по нормальным к; напластованию напряжениям (изолиния? сту=7.5; МПа) ограничена на рис.- 3:11" штриховой линией: Подработка опасного пласта позволила в данной і ситуации: защитить верхнюю половину рассматриваемого горизонта. Однако отработки: одного горизонта на защитном: пласте оказалось недостаточно для? того, чтобы нормальные к напластованию напряжения = на рассматриваемом участке; опасногоЕ пласта: не превосходили: критического значениякіуЩ. Для обеспечения защиты опасного пласта на всю высоту этажа представляется естественным? провести отработку защитного пласта; до нижележащего горизонта (940 м). Распределение нормальных к напластованию напряжений (изолиния? сту=7.5 МПа) для этой: ситуации: показано; на: рис: 3. V L сплошной: линией. Расчеты показывают, что в защищенную зону попадает большая часть опасного пласта: на рассматриваемом участке.. Однако теперь незащищенным оказывается 30 - метровый промежуток в верхней части гор. 820 м. Это можно объяснить воздействием частично восстановившихся нагрузок на защитном пласте. В тоже время в защищенную зону попадает 75 -метровый участок следующего горизонта на опасном пласте (гор. 940 м). Следовательно, при опережении очистных работ на защитном пласте до глубины порядка 880 м опасный пласт будет защищен на всю высоту этажа.
Рассмотрим теперь случай подработки опасного пласта при восходящем порядке отработки этажей. Защитный и опасный пласты залегают под углом сс=60 , расположены в 50 м друг от друга и отработаны до гор. 940 м без оставления целиков. Необходимо установить, при какой ширине защитной выработки обеспечивается защита опасного пласта между гор. 940 и 820 м. В качестве критерия защиты принимается условие (2.3) при kiyH0=7.5 МПа.
Граница защищенной зоны, соответствующей случаю, когда защитный пласт отработан до гор. 820 м показана на рис. 3.12 штриховой линией (изолиния ау=7.5 МПа). Расчеты показывают, что при таком соотношении горных работ на опасном и защитном пластах рассматриваемый участок опасного пласта полностью не защищен. После отработки на защитном пласте гор. 820 м картина напряженного состояния массива пород около выработок существенно изменилась. Защищенная зона для этого случая очерчена на рис. 3.12 сплошной линией. Из-за восстановления нагрузок на почве защитной выработки произошло разделение защищенной зоны на две части. Вследствие этого на опасном пласте не защищен участок шириной 60 м в нижней части рассматриваемого горизонта.
Таким образом, отработка защитного пласта с опережением на горизонт по фактору горного давления не обеспечивает защиты на всю высоту этажа на рассматриваемом горизонте. В то же время расчеты показывают, что при опережении на половину высоты этажа под защитой будет находиться весь горизонт.
При отработке защитного пласта зоны разгрузки и дегазации распространяются дальше защищенной зоны. Несмотря на то, что за пределами защищенной зоны разгрузка и дегазация проявляются лишь частично и не гарантируют полного исключения выбросов, однако в указанных областях существенно облегчаются условия ее выполнения и повышается эффективность искусственной дегазации через скважины и гидрообработки угольных пластов. Так, на шахтах Центрального района Донбасса при разработке особо выбросоопасных пластов т3 и 1" без защиты происходит большое число выбросов. Надработка их маломощными пластами т и 1, не обеспечивает полной защиты. Однако- использование частичной защиты в сочетании с дегазацией позволяет безопасно отрабатывать пласты тз и 1".
Комплексные ГИУ для оценки напряженного состояния системы жестких блоков при произвольных условиях взаимодействия по контактирующим поверхностям
Разработка рекомендаций по безопасному ведению горных работ и развитие теории горных ударов и выбросов требовало создания новых мобильных и эффективных методов оценки напряженного состояния массива горных пород. Поэтому в начале 70-х годов перед нами встал вопрос о выборе метода математического моделирования напряженного состояния массива пород. Критический анализ методов, применявшихся в то время, указывал на перспективность метода ГИУ.
Во-первых, его главное преимущество заключается в уменьшении размерности задачи на единицу: задачи для трехмерных областей сводятся к задачам для-ограничивающих их двумерных поверхностей; в плоском случае решение осуществляется для контура области. Во-вторых, в контактных задачах не требуется использования специальных приемов для отражения- контактных условий, поскольку уравнения формулируются для границ областей. И, в-третьих, можно использовать такие формы ГИУ, которые позволяют отразить геометрические и физические особенности прикладных проблем, так чтобы они в полной мере отражали физику рассматриваемого явления. Понятно, что этот метод весьма перспективен для решения задач о пластовых выработках, нарушениях, слоистых и блочных массивах. К настоящему времени развитию-исследований по созданию различных форм: ГИУ и их приложений к проблемам: механики, техники и геомеханики посвящено чрезвычайно много работ [13, 19; 29-39[43; 44, 55-57, 61, 64, 67-79, 83-86, 91, 100-103, 115, 116, 131, 137, 145, 147, 165, 166, 168, Л 72,Л 74-177, 1 79, 182-184, 192-196, 198-202, 205-208] и обзор [203].
По этому направлению необходимо особо отметить большое число фундаментальных работ, выполненных А;М! Линьковым, в которых в полном объеме изложена теория сингулярных уравнений, конечно-частных интегралов и гиперсингулярных уравнений [10, 61, 70-75; 78, 83-87] и другие. Практическая реализация этих теоретических исследований позволила разработать эффективные методы и программы, используемые в механике разрушения и геомеханике [29-44, 76, 77, 97, 103, 121, 122, 125-128, 130, 131, 144-147, 154, 155, 179, 184, 194, 207, 208] и другие.
Первой; ВІ настоящих исследованиях рассматривалась задача об оценке напряженного состояния массива горных пород при отработке свиты угольных пластов t и пластовых рудных залежей. Для разрезов вкрест простирания (плоская задача) имелись решения для некоторых частных случаев; расположения очистных выработок [15, 52, 66, 73; 130, 135, 197] и другие. В то же время- имелись работы по теории сингулярных интегральных уравнений, например, [67-73, 100-102, 105-109, 115, 158-161]. Они относились к двумерным задачам. Анализ этой информации привел к выбору надлежащей формы ГИУ и метода их реализации, что позволило разработать программу SUIT2D (1977) [30, 31, 126]. Подробнее об этом методе изложено в главе 3.
Мнение многих ученых в области механики горных пород до середины 70-х годов сходилось на том, что задачи о распределении напряжений в пространственной постановке слишком сложны, и получить их численное решение чрезвычайно трудно. Рассматривались, как правило, схемы,, позволяющие внести большие упрощения в аналитический метод расчета. Известны некоторые частные решения с помощью ГИУ по расчету напряжений около выработок прямоугольной формы в плане, расположенных на одном или двух пластах [15, 16,20, 21,66, 124, 130, 137, 144, 145, 195, 197]. В то же время имелись работы по использованию трехмерных ГИУ: [51, 55, 73, 90, 91, 102, 176, 197, 201] и другие. Выбор надлежащей формы ГИУ и метода их реализации позволили рассмотреть свиты, пластов [31, 32,. 44, 121,- 194] и разработать программу SUIT3D5 [127]. Подробнее об этом методе и его возможностях изложено в главе 5:
В последующие годы метод ГИУ получил дальнейшее развитие для трехмерных задач и получены,другие решения этой задачи: [13, 35, 56,.61, 64, 78, 86, 103, 116, 165, 166, 168, 172, 174, 177, 184, 190, 192, 193, 196, 202,203, 205, 206, 207] и другие.
Следует отметить, что многие из перечисленных выше работ основаны на вещественных граничных интегральных уравнениях. Между тем, при решении плоских задач; возможно также: привлечение комплексных интегральных уравнений. Они, сохраняя достоинства вещественных уравнений, имеют и существенные преимущества; Некоторые из таких преимуществ указаны в монографии Т. Громадки II и 41 Лея [175]. Ее авторы первыми систематически! и последовательно использовали комплексный метод граничных элементов (КМГЭ) в гармонических задачах. Они исходили из представления аналитических функций1 интегралами типа Коши. В настоящее время это направление можно дополнить, включив в рассмотрение комплексные интегралы типа Адамара [83, 84]. Это расширяет арсенал вычислительных средств, в частности, позволяет более просто, по сравнению с интегралами: типа Коши, рассматривать задачи о тонких преградах на пути потока жидкости, электричества, тепла.
В плоских задачах теории упругости; т.е. в бигармонической проблеме, первое численное решение комплексных граничных интегральных уравнений КГИУ методом граничных элементов было инициировано Н.И; Мусхелишвили [107] и осуществлено его» учениками А.Я. Горгидзе и А.К. Рухадзе [17]. (Правда, в исходном комплексном уравнении вещественная и мнимая: части были; разделены заранее- и; решение- осуществлено без- использования комплексной арифметики.) Эта приоритетная: работа появилась, конечно, не случайно: она была обусловлена достижениями в разработке метода комплексных переменных и в получении с его помощью комплексных интегральных уравнений С.Г. Михлиным [100], Ы.И. Мусхелишвили [105, 106] и Д.И. Шерманом [159, 161] (соответствующие результаты освещены в монографии [108]). Авторы получали уравнения типа Фредгольма.
В упомянутых работах интегральные уравнения формулировались относительно комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Это вызывает осложнения при изучении смешанных и контактных задач: для таких задач удобнее оперировать функциями, имеющими непосредственный физический смысл (смещениями, усилиями, главным вектором сил).
Подход, использующий смещения и усилия, успешно развивался в восьмидесятые годы Б.Т. Ковнеристовым [57]. Автор, прежде чем применить теорему Бетти, представлял фундаментальное решение в комплексной форме. Тогда получается комплексное сингулярное уравнение с внеинтегральным членом, выражающим смещения. Применение оператора напряжений дает соотношение, содержащее гиперсингулярный интеграл. Автор сразу же преобразует его в сингулярный интеграл по обычной схеме: вычитанием аналогичного соотношения для смещения тела как жесткого целого. Вещественная и мнимая части разделяются в уравнениях уже на ранней стадии вычислений. Для решения контактных задач такие уравнения выписываются для каждой из однородных частей и осуществляется стыковка смещений и усилий вдоль общих границ. (Число вещественных неизвестных смещений в точке границы контакта равно четырем, так как используются предельные значения смещений для каждого из соприкасающихся тел). Достоинство подхода, которое систематически использовал Б.Г. Ковнеристов, состоит в том, что получаемые сингулярные и не сингулярные интегралы вычисляются в квадратурах, если элемент контура представляет собой отрезок прямой или дугу окружности, а плотность аппроксимируется полиномом, либо полиномом, умноженным на некоторые иррациональные функции. Автор, однако не отметил, что сингулярные интегралы, создающие затруднения в вычислениях, могут быть найдены в квадратурах (при упомянутых аппроксимациях плотности) для произвольной гладкой дуги.
Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными и примеры расчетов.
Из представленных выше методов и способов их реализации видно, что в вычислительном отношении комплексные ГИУ и соответственно КМ17Э имеют существенные преимущества перед вещественными аналогами. Далеко не все: они отмечены в монографии! [175], так как для? рассматривавшегося там уравнения Лапласа не все они отчетливо проявляются:
Прежде всего, чрезвычайно упрощается вычисление сингулярных интегралов: Это позволяет легкое преодолеть самый трудный этап формирования матрицы. Для обычных аппроксимаций (типа полиномиальных) вычисление сингулярного интеграла не требует даже параметризации контура -достаточно задать комплексные координаты узлов и точек коллокации. Это выгодно отличает комплексный сингулярный интеграл от вещественного в случаях, когда интегрирование ведется вдоль криволинейной дуги.
Менее существенно, но также полезно, то, что, например в (4.23), фактически; приходится вычислять всего три интеграла: Ipis, Ip2s и IP5S. (Интегралы Ip3s и Ip4s=Ip6s не зависят от текущей; точки, элементарно вычисляются в квадратурах и входят в уравнение только когда требуется исключить жесткое движение. Но для исключения последнего и в вещественном МГЭ приходится применять специальные и: более трудоемкие приемы). Число интегралов, которые приходится вычислять при использовании вещественных ГИУ, в несколько раз больше поскольку в вещественных ГИУ ядро представляется матрицами, каждая из компонент которых содержит несколько слагаемых.
Полезна также отмеченная выше простота контроля точности при подсчете коэффициентов матрицы. Этот контроль обеспечен строгими интегральными формулами: теории функций комплексного переменного. Разработка методов аналогичного контроля при: использовании вещественных переменных - более трудная задача.
Существенным можно считать, то, что комплексное уравнение (4.17) включает только усилия и разности смещений на контактах блоков, а не предельные значения (слева и справа) смещений; Это вдвое сокращает число неизвестных на контактах при решении контактных задач для систем блоков (по сравнению с другими формами МГЭ); Вещественные уравнения, обладающие таким достоинством, насколько известно автору, не построены. Лишь в [61] приведено подобное вещественное ГИУ, - но только для случая одинаковых коэффициентов Пуассона у всех блоков.
Наконец,- вычисление усилий и смещений: во внутренних точках также осуществляется- по компактным; и легко программируемым формулам. Эти вычисления проще и короче, чем при использовании вещественных ГИУ.
К этому нужно добавить, упомянутую возможность использовать комплексную арифметику, аналитические свойства комплексных переменных и теорию функций комплексного переменного.
Конечно, сравнивая= комплексный и вещественный МГЭ, следовало бы указать не только на преимущества первого по сравнению со вторым, но и отметить, когда второй эффективнее первого. Однако, помимо очевидного ограничения плоскими: задачами, в настоящее время автор не: располагает ни одним свидетельством о преимуществе вещественного МГЭ в каком-либо отношении. Описанный выше "парадокс симметрии", на наш взгляд, возможен и при использовании вещественных уравнений.
Что касается сравнительной: точности комплексного и вещественного методов, то представляется, что при одинаковом порядке аппроксимации и при одинаковой точности вычисления«коэффициентов І матрицы, они обеспечивают сходные по точности: результаты. Об этом, в частности; косвенно свидетельствуют численные результаты сопоставления; приведенные в [182] для гиперсингулярных комплексных и вещественных уравнений.
Решение тестовых краевых задач по программам BLOCKS2D и Lagr&BLOCK проведено для контуров, состоящих из: дуг окружностей или: прямых (рис. 4.2, 4.3). Случаи а) - с) рис. 4.2 отвечают внутренней задаче для-круга при: заданных на: его границах постоянных нормальных усилиях а);
В данном разделе использованы материалы опубликованные в [85]. нормальных смещениях в); и смешанных условиях, когда на части границы заданы нормальные усилия, а на части смещения с).
Во всех случаях, задачи имеют простое аналитическое решение, с которым сравнивались численные результаты. Это решение линейное относительно Аи и постоянное относительно а. Поэтому квадратичная аппроксимация Аи соответствует точному решению при любом числе граничных элементов. Напомним, что коэффициенты матрицы систем (4.4) и (4.26) вычислялись с пятью верными значащими цифрами. Следовательно можно контролировать качество матрицы в каждом из рассматриваемых случаев. Это делалось как сравнением с точным решением, так и путем подсчета числа обусловленности; полученные при этом результаты сопоставлялись между собой.
При расчетах число элементов для схем рис. 4.2 и рис. 4.3 а), в) варьировалось от 4 до 20. Для систем блоков (рис. 4.3 d, е) число элементов составляло 14 (для схемы d) и 24 (для схемы е). Число узловых точек при п=3 втрое больше числа элементов. Точки коллокации принимались совпадающими с узлами аппроксимации по Лагранжу. При численном интегрировании собственных интегралов по комплексной формуле Симпсона использовалось 15 узлов. Для того, чтобы иметь простое аналитическое решение, во всех случаях полагали E=l, v=0.
Результаты расчетов следующие. Для всех схем рис. 4.2, 4.3, за исключением схемы рис. 4.2 а, численное решение при обычной (не удвоенной) точности дает значения, совпадающие с точным ответом вплоть до пятой значащей цифры. В пятой цифре иногда имелось отличие на одну-две единицы.
Такая точность вполне соответствует обсуждавшейся выше точности вычисления коэффициентов в матрице решаемой системы. Отсюда можно заключить, что само решение системы в рассматриваемых случаях (за исключением схемы рис. 4.2 а) не вносит большой дополнительной ошибки в ответ. Это косвенно свидетельствует о том, что матрицы систем не были плохо обусловлены.
Прямой подсчет числа обусловленности подтверждает это соображение. Во всех случаях, за исключением схемы рис. 4.2 а, число обусловленности не превышало 3-Ю4, будучи обычно на порядок меньше.
Таким образом, можно заключить, что описанная численная реализация метода комплексных граничных элементов обеспечивает высокую точность расчетов и свидетельствует о перспективности метода.
Случай рис. 4.2 а) оказался особым. Для задачи, представленной схемой рис. 4.2а), результаты решения по программе Lagr&BLOCK оказались парадоксальными. Если в этом случае использовать равномерное разбиение окружности, то, в отличие от схем рис. 4.2 в) - f), они оказываются совершенно неверными. Это не есть следствие ошибки в формировании матрицы системы: прямая подстановка точного решения в левую часть (4.26) дает значения с пятью знаками совпадающие с правой частью. Следовательно, при использованных (симметричных) разбиениях система (4.26) имеет собственный вектор, дающий (в пределах точности вычислений) решение соответствующей однородной системы.
