Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Состояние изученности вопроса о закономерностях деформирования образцов сильно сжатых горных пород и постановка задач исследований 8
1.1. Дилатансия геоматериалов и формирование периодических мезотрещинных структур 9
1.1.1. Дилатансия геоматериалов и ее закономерности 9
1.1.2. Закономерности развития микротрещин в образце горной породы 17
1.1.3. Аналитические исследования развития микротрещин в сильно сжатых горных породах 23
1.1.4. Деформационные аномалии, обусловленные образованием мезотрещинных структур при сильным сжатием 33
1.1.5. Гипотезы, объясняющие механизмы деформационных аномалий образцов горных пород 55
1.2. Модели очага геодинамических явлений 65
1.3. Теоретические исследования деформирования и разрушения сильно сжатых массивов и образцов горных пород 66
1.3.1. Математические модели массива горных пород в условиях больших глубин 68
1.3.2. Математические модели сильно сжатых образцов горных пород 70 Выводы 72
Глава 2 Экспериментальное исследование закономерностей деформирования образцов горных пород в пред разрушаю щей области нагружения 73
2.1. Установление явления периодического осцилляционного деформирования образцов горных пород по их периметру при одноосном сжатии 73
2.1.1. Гипотеза периодического осцилляционного деформирования образцов горных пород по их периметру при одноосном сжатии 73
2.1.2. Разработка методики исследования разнознакового (периодического) приращения деформаций по периметру образцов горных пород при одноосном сжатии в условиях действия нредразрушающих нагрузок 74
2.1.3. Результаты исследований 75
2.2. Установление явления периодического осцилляционного деформирования образцов горных пород по их периметру и высоте при одноосном сжатии 92
2.2.1. Гипотеза и методика исследований периодического осцилляционного деформирования образцов горных пород по их периметру и высоте прии одноосном сжатии 92
2.2.2. Результаты исследований 92
Выводы 100
Глава 3 Критический анализ гипотез формирования периодической осцилляционной мезотрещинной дефектной структуры сильно сжатых образцов горных пород, основанных на классических представлениях механики 101
3.1. Несостоятельность гипотезы упругого восстановления материала около трещины, как причины реверсивных деформаций сильно сжатых горных пород 102
3.2. Гипотезы моделирования очага формирования макротрещин отрыва мягким делатирующим включением для установления механизма формирования периодической мезотрещинной структуры сильно сжатых образцов горных пород и их несостоятельность 109
Выводы 121
Глава 4 Разработка математической модели, механизма явления периодического осцилляционного деформирования сильно сжатых образцов горных пород и метода прогноза их разрушения по деформационным предвестникам 122
4.1. Разработка математической модели явления периодического осцилляционного деформирования образцов горных пород в предразрушающей области нагружения 122
4.1.1. Поле самоуравновешенных напряжений 123
4.1.2. Задача об образце в поле сжимающих напряжений 129
4.1.3. Аналитические исследования напряженно-деформированного состояния сильно сжатого образца горной породы 133
4.2. Разработка метода прогнозирования разрушения образцов горных пород по деформационным предвестникам 138
Выводы 145
Заключение 146
Список литературы 150
Приложения 164
- Дилатансия геоматериалов и ее закономерности
- Гипотеза периодического осцилляционного деформирования образцов горных пород по их периметру при одноосном сжатии
- Гипотезы моделирования очага формирования макротрещин отрыва мягким делатирующим включением для установления механизма формирования периодической мезотрещинной структуры сильно сжатых образцов горных пород и их несостоятельность
- Поле самоуравновешенных напряжений
Введение к работе
Актуальность. Деформирование горных пород в предразрушающей области нагружения зачастую приобретает аномальный реверсивный характер, что может быть использовано в качестве предвестника геодинамических явлений. До настоящего времени основным деформационным предвестником разрушения было принято считать явление дилатансии, заключающееся в увеличении объема горной породы при сжатии. Однако дилатансия может быть рассмотрена только как долгосрочный предвестник геодинамического явления.
Выявление среднесрочных и краткосрочных предвестников геодинамических явлений требует проведения исследований закономерностей деформирования горных пород в состоянии предразрушения. Эффект аномального реверсивного деформирования, а также известное явление разнознакового деформирования породы по высоте образца в состоянии сильного сжатия являются первыми результатами такой работы. Однако исследования закономерностей реверсивного деформирования образцов сильно сжатых горных пород по периметру образца не проводилось. Требует уточнения также механизм аномального деформирования образцов горных пород в состоянии сильного сжатия. Не была разработана и математическая модель, адекватно описывающая состояние сильно сжатого образца горной породы.
Исследование закономерностей деформирования образцов горных пород в предразрушающей области нагружения и разработка на этой основе механизма, математической модели и метода прогноза разрушения является актуальной задачей геомеханики.
Работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований РФФИ (грант №01-05-651180), а также по программе Министерства Образования РФ (тема ГБ53.1.6.02) и совместного интеграционного проекта ДВО РАН с УрО РАН (ДВО РАН 06-П-УО-01-001).
Цель работы заключается в установлении закономерностей развития деформационных аномалий в образцах горных пород в предразрушающей области нагружения и разработке на этой основе механизма, математической модели и метода прогноза разрушения горных пород.
Основная идея работы заключается в экспериментальном исследовании закономерностей деформирования образцов сильно сжатых горных пород и применении методов механики дефектных сред для установления механизма наблюдающихся здесь явлений как теоретической основы метода прогноза разрушения горных пород.
Задачи исследований заключаются в экспериментальном исследовании закономерностей деформирования горных пород в предразрушающей области нагружения; экспериментальной проверке основных гипотез реверсивных деформаций; разработке математической модели образца горных пород в состоянии предразрушения; разработке метода прогнозирования разрушения горных пород, основанного на деформационных предвестниках.
Методы исследований включают лабораторные экспериментальные методы, аналитические методы механики дефектных сред.
Научные положения, защищаемые в диссертации:
Образец горной породы в состоянии предразрушения деформируется с образованием периодических мезотрещинных структур.
Математическая модель явления периодического осцилляционного деформирования сильно сжатых образцов горных пород основывается на представлении материала породы как дефектной, далекой от состояния термодинамического равновесия среды, распределение напряжений в которой обусловлено периодическим характером развития мезотрещинной структуры.
Механизм явления периодического осцилляционпого деформирования сильно сжатых образцов горных пород заключается в том, что в условиях сильного неравнокомпонентного сжатия и обусловленного этим мезосдвиговым разрушением на неоднородностях среды, напряжения в образце приобретают осцилляционный периодический характер, что имеет следствием развитие на локальных участках действия максимальных нормальных тангенциальных напряжений очагов концентрации взаимодействующих мезодефектов, а в окрестности очагов -образование относительно разгруженных участков, где деформации приобретают реверсивный характер.
Прогнозирование разрушения образцов горных пород основывается на использовании в качестве долгосрочного предвестника разрушения порога дилатансии, в качестве среднесрочного предвестника разрушения горной породы -момент формирования периодической мезотрещинной структуры, а в качестве краткосрочного предвестник разрушения - момент начала перераспределения деформационных реверсивных деформаций образца, что обусловлено началом развития в нем макроразрыва.
Новые научные результаты, полученные лично соискателем:
экспериментально установлено явление периодического
осцилляционпого деформирования образцов горных пород в предразрушающей области нагружения, заключающееся в том, что в образце горных пород, как в осевом, так и в окружном направлении формируются чередующиеся области положительных и отрицательных приращений объемных деформаций, что является следствием формирования в образце периодической мезотрещинной структуры;
разработана математическая модель явления периодического осцилляционного деформирования образцов сильно сжатых горных пород, которая основывается на представлении материала породы как дефектной, далекой от состояния термодинамического равновесия среды; численно исследовано решение задачи о напряженном состоянии образца горных пород в состоянии сильного сжатия, нагруженного в торцевых частях осевой нормально действующей нагрузкой, и установлено удовлетворительное совпадение результатов аналитических и экспериментальных исследований (максимальные отклонения не превышают 19 %);
установлен механизм формирования периодической мезотрсщинной структуры образцов горных пород в пред разрушающей области нагружения, заключающийся в том, что в условиях сильного неравнокомпонентного сжатия и обусловленного этим мезосдвиговым разрушением на неод породи остях среды, напряжения в образце приобретают осцилляционный периодический характер, что имеет следствием развитие на локальных участках действия максимальных нормальных осевых тангенциальных напряжений очагов концентрации взаимодействующих мезодефектов, а в окрестности очагов - образование относительно разгруженных участков, где деформации приобретают реверсивный характер;
разработан метод прогнозирования разрушения образцов горных пород по деформационным предвестникам, отличающийся тем, что долгосрочный предвестник совпадает с порогом дилатансии породы при сжатии, среднесрочный предвестник соответствует формированию в образце периодической мезотрещинной структуры, а краткосрочный предвестник соответствует моменту перераспределения реверсивных деформаций образца, что обусловлено началом развития в нем макроразрыва.
Достоверность результатов исследований обеспечивается повторяемостью экспериментально установленных деформационных эффектов в различных лабораториях России и Китая, а также
удовлетворительным совпадением результатов экспериментальных и аналитических исследований.
Научное значение работы заключается в установлении новых закономерностей периодического осцилляционного деформирования сильно сжатых горных пород, разработке математической модели и механизма явления периодического осцилляционного деформирования образцов горных пород в состоянии предразрушения при одноосном сжатии.
Практическое значение работы состоит в разработке метода прогноза геодинамических явлений, включающего долгосрочный, среднесрочный и краткосрочный деформационные предвестники.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались на Международной конференции «Проблемы освоения георесурсов Российского Дальнего Востока и стран АТР» (2002, 2004, 2006), Международной конференции «Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» (г. Новосибирск, 2003г.), Международной конференции «Проблемы подземного строительства в XXI веке» (г. Тула, 2004 г.), Международном симпозиуме «Geological Engineering and Geological Hazards» (г. Чан Чунь, КНР, 2006).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, и заключения. Содержит 164 страницы текста, 3 таблицы, 67 рисунков, список литературы из 153 наименований.
Дилатансия геоматериалов и ее закономерности
В работе 1885 года O.Reynolds , по-видимому, впервые выдвинул гипотезу увеличения объема грананулированных веществ за счет переупаковки гранул в процессе увеличения напряжений [58]. Им же был предложен термин «дилатансия» (dilatancy). По-видимому, впервые понятие дилатансии к массиву горных пород было применено в работе [59]. В дальнейших экспериментальных исследованиях [60] были установлены явления увеличения объема некоторых горных пород, в частности, диабаза при сжатии. Затем в работах W.F.Brace и других были проведены исследования и получены зависимости напряжения-деформации, где, начиная с некоторого напряжения, названного «порогом дилатансии», объем горной породы начинал возрастать при сжатии [61]. Одновременно и независимо в работах А.Н.Ставрогина дилатансионные явления были связаны со сдв и го-отрывным характером трещинообразования в геоматериалах при сжатии [2].
Эти идеи развиты в работах В.Н.Одинцева, где была создана теория сдв и го-отрывного разрушения горных пород при сжатии, использующая методы теории трещин и механики разрушения [3]. Она развивает подходы Brace - Bombolakis, Nemat-Nasser и др. Рассмотрены микро- и макроуровни разрушения, механизмы развития микро- и макротрещин, разработаны критерии разрушения.
В современных работах [62 и др.] основанные на микромеханике модели используются для изучения механических свойств пород при различных видах сжимающей нагрузкой. Модели учитывают взаимодействие трещин сдвига, однородно распределенных в материале породы. В работе [62] в анализе используется критерий динамического роста трещины, который связан со скоростью роста трещины и динамической вязкостью разрушения пород. При динамических нагрузках со скоростями деформаций от 10"4 до 10 s"1 скорость роста трещины незначительна по сравнению с критической скоростью роста трещины и динамическими эффектами можно пренебречь. Предел прочности гранита, полученный микромеханическим моделированием совпадает с экспериментальными результатами. Уравнение состояния гранита выведено из условий энергетического равновесия и коррелирует с результатами эксперимента.
Работа заслуживает более подробного анализа, поскольку освещает современное состояние мезомеханики горных пород и связывает основные представления теории трещин с дилатансионными проявлениями разрушения.
Определение предела прочности и определяющих уравнений для геоматериалов при различных скоростях нагружения важно в анализе повреждения структуры горных пород, и, следовательно, для расчета крепи. Изучение динамических механических свойств проведено, прежде всего, в лабораторных испытаниях, особенно при одноосных сжимающих нагрузках [63-68]. Эти исследования показали, что предел прочности и определяющие уравнения геоматериалов зависят от скорости нагружения, например, прочность возрастает с ростом скорости деформаций [68].
Основные усилия были направлены на изучение механизмов, управляющих поведением геоматериалов при динамических нагрузках. Эти работы главным образом основаны на вязко-упругой или вязко-пластической модели для геоматериалов [67,68].
Геоматериалы представляют собой типично неоднородные среды, изначально содержащие дефекты типа границ зерен, микротрещин и пор. Под сжимающими нагрузками вокруг этих дефектов инициируются вторичные трещины.
При сканировании электронным микроскопом (SEM-метод) и в экспериментах с акустической эмиссией (АЕ) определено, что рост и возникновение этих трещин определяют разрушение и макроскопические механические свойства геоматериалов [69-73]. В соответствии с этими наблюдениями исследователи начали уделять больше внимания анализу поведения трещин через экспериментальные и аналитические методы в стремлении изучить механические свойства геоматериалов при сжатии. Были предложены несколько основанных на микромеханике трещинных моделей, типа цилиндрический поровои модели [74], модели скопления дислокаций [75], и модель трещины сдвига. Среди этих моделей наиболее широко принята модель трещины сдвига [66-84].
В работе [58] использована модель трещины сдвига для изучения свойств Bukit Timah гранита при воздействии одноосной динамической сжимающей нагрузки, прикладываемой со скоростью от КГ1 до 10 с"1. С применением этой модели исследовано изменение прочности с изменением скорости нагружения гранита и сравнено с экспериментальными результатами. Кроме того, представлены зависящие от скорости базовые отношения и сравнены с экспериментальными результатами.
Показанная на рис. 1.1(a) модель сдвиговой трещины была впервые предложена в работе Brace и Bombolakis [85] для объяснения механизма неупругой дилатансии при сжимающих нагрузках (осевого сжимающего напряжения о\ и бокового сжимающего напряжения (72-)- Она включала начальную трещину длиной 2с, ориентированную под углом у по отношению к направлению действия о\ и пары изогнутых трещин отрыва, ориентированных под углом в к направлению начальной трещины. Трещины отрыва образовывались в результате скольжения берегов начальной трещины под действием сжимающих напряжений.
Гипотеза периодического осцилляционного деформирования образцов горных пород по их периметру при одноосном сжатии
Поскольку реверсивный характер деформаций ("отрицательная" деформационная аномалия) возникает на разных по высоте образца участках в торцевой или в средней части, постольку соответственно «положительная» деформационная аномалия, связанная с формированием очага макроразрушения, может возникнуть также соответственно в средней или торцевой части образца. Особенно интересен случай, когда реверсивные деформации фиксируются в центральной части образца, то есть там, где в соответствии с устоявшимися представлениями должен располагаться очаг макроразрушения. Дня устранения возникшего противоречия естественным образом возникает гипотеза разнознакового (периодического) приращения деформаций образцов сильно сжатых горных пород при одноосном сжатии по периметру образца. Иначе говоря, непосредственно рядом с очагом макроразрушения деформации должны принимать реверсивный характер.
Как и в работе [53], мы будем говорить о существовании двух аномалий: "отрицательной", связанной с реверсом деформаций, и "положительной", заключающейся в одновременном появлении значительных положительных приращений деформаций на соседних участках образца. При этом надо специально оговорить, что знак приращений деформаций принимается безотносительно к характеру самих деформаций. Для деформаций растяжения "отрицательным" приращением будет появление относительных деформаций сжатия, а для деформаций сжатия "отрицательным" приращением будет появление относительных деформаций растяжения. То же касается "положительных" приращений деформаций.
Предположительная одновременность и взаимосвязанность двух аномальных эффектов позволяет сформулировать следующую гипотезу: возникновение в образце горных пород при одноосном сжатии очагов формирования трещин отрыва обусловливает разнознаковое (периодическое) приращение деформаций по периметру образцов горных пород.
Для проверки гипотезы разнозпакового (периодического) приращения деформаций по периметру образцов горных разработана методика исследования приращений деформаций образцов горных пород при одноосном сжатии, основанная на применении тензорезисторного способа измерения и отличающийся возможностью определения локальных деформаций в центральной части образца.
Условия нагружения и торцовые условия принимаются такими же, как и в случае исследования аномальных деформационных эффектов по высоте образцов горных пород [23, 41, 42]. Исследования проводились на гранитах. Существенно новым моментом являлось измерение деформаций не только в какой-либо одной части образца, но и по всему его периметру. Тензорезисторы наклеивались по всему периметру образца с четырех или пяти сторон, от четырех до пяти пар датчиков продольных и поперечных деформаций на каждой. Для обеспечения сохранности проволочных выводов была разработана специальная схема их крепления на образце. Показания тензор ез и сторов фиксировались при помощи цифрового печатающего устройства.
Исследования проведены в лаборатории «Высокого давления» Цзилиньского университета КНР в рамках программы сотрудничества между ДВГТУ и Цзилиньским университетом. На рис.2.1 показана лаборатория во время испытаний. На рис.2.2 показаны образцы во время испытаний. Всего было испытано 4 серии по 10 образцов в каждой.
Проведенные исследования деформирования образцов горных пород полностью подтвердили выдвинутую гипотезу разнознакового приращения деформаций по периметру образцов горных пород при одноосном сжатии в предразрушающей области нагружения. На рис.2.3 показана схема установки датчиков, а на рис.2,4 - результаты измерений деформаций по образцу №4. В момент возникновения "отрицательной" аномалии (реверсшшых деформаций) в центральной части образца на прилегающих участках возникает "положительная " деформационная аномалия, величина которой в 1,5-3 раза и более превышает средние по образцу при обычном характере деформирования.
Результаты рис, 2.4 получены с подсыпанием песка между плитой пресса и образцом, существенно снижающим влияние торцовых условий. Этим устраняется предположение об обусловленности аномальных деформационных эффектов влиянием условий нагружения. Необходимо отметить также существенные трудности обнаружения установленных деформационных эффектов и их количественной оценки на "мягких" прессах, так как для большинства пород предразрушающая стадия нагружения очень узка. На рис.2.5 и рис.2.6 показаны результаты измерения деформаций по гранитным образцам №5 и №6. 6) а) - установка для исследования образцов горных пород б) - схема установки датчиков при испытании ; Хорошо виден разнознаковый характер приращения деформаций перед разрушением образцов. Особенно характерно распределение деформаций, показанное при испытаниях образца №2 (рис.2.7 - 2.8). Здесь знак приращения деформаций при обходе контура строго меняется. Таким образом, во всех ситуациях с появлением "отрицательной" деформационной аномалии на соседних участках образца по его периметру формируется и "положительная" деформационная аномалия. Исследование объемных деформаций Исследование объемных деформаций представляет особый интерес в проблеме установления закономерностей реверсивного деформирования образцов сильно сжатых горных пород. В главе I было показано, что деформационные аномалии возникают в породе только после достижения порога дилатансии [127]. Рассмотрим, какой же вид принимают кривые объемных деформаций в предразрушающей области деформирования. На рис.2.9-2.12 показаны кривые объемных деформаций образцов №№4, 5, 6 и 2 соответственно. Хорошо видно, что это кривые двух типов: S-типа и U-тииа. Кривые U-типа напоминают обычную дилатансионную картину объемных деформаций [23, 127, 141 и др.]. Отличие заключается в том, что традиционно реверс кривой объемных деформаций связывался с увеличением объема за счет трещинообразования. В данном же случае наблюдается резкое, скачкообразное локальнее увеличение объема за счет «отрицательного» приращения линейных деформаций при их реверсе с ростом напряжений.
Кривые S-типа характерны для участков «положительных» деформационных аномалий, то есть для очаговых зон зарождения макротрещин отрыва [127]. Рис.2.13 особенно рельефно выделяет разницу между кривыми обоих типов. Таким образом, в сильно сжатом (дилатированном) состоянии породы деформируются с образованием периодических мезотрещинных структур.
Гипотезы моделирования очага формирования макротрещин отрыва мягким делатирующим включением для установления механизма формирования периодической мезотрещинной структуры сильно сжатых образцов горных пород и их несостоятельность
При моделировании возникающей в образце при сильном сжатии сдвиго-отрывной макротрещины мы не учитывали до сих пор форму очага разрушения, которую можно представить в виде эллипса или, приближенно, круга (рис. 3.4).
Деформирование мягкого круглого включения можно смоделировать отверстием в полуплоскости, нагруженной по границе равномерно распределенной нагрузкой (рис. 3.4, а). Это предельный случай "мягкого" включения, когда модуль упругости последнего равен нулю. Задача такого рода исследовалась в работах [43, 44]. Смещения верхней точки контура отверстия существенно превышают смещения точек монолитного образца, поэтому при образовании «мягкого» включения в прилегающих к нему по высоте сжатых участках возможно возникновение деформаций относительного растяжения.
С целью проверки гипотезы проведен эксперимент по высверливанию круглого отверстия в предварительно нагруженном образце горных пород. Вид образца после испытаний представлен на рис. 3.5. Результаты измерения деформаций по схеме рис. 3.6,Ь представлены в таблице 3.1 и на рис. 3.7, 3.8. На рис. 3.7 виден реверсивный характер деформаций датчиков после сверления отверстия, расположенных по вертикальной оси образца (действия 6 и 7 табл. 3.1), причем соотношение компонент реверсивных деформаций в продольном и поперечном направлении соответствует рис. 3.3, 2.1.
Однако на датчиках, расположенных по горизонтальной оси образца, реверсивные деформации отсутствуют (рис. 3.8). Таким образом, реверсивные деформации "сбоку" от очага в рамках гипотезы "мягкого включения" объяснены быть не могут. Поэтому гипотеза мягкого включения не позволяет в полной мере объяснить все имеющиеся экспериментально установленные результаты. Рассмотрим случай, когда появление реверсивных деформаций "сбоку" от очага (по периметру образца) все-таки могут иметь место в рамках рассматриваемой гипотезы.
Проанализируем гипотезу мягкого дилатирующего включения, рассмотренную в связи с моделированием очагов землетрясений в работах [17]. Оговоримся только, что гипотеза дилатирующего включения подразумевает учет распирающего действия сдв и го-отрывных микродефектов, объединенных в очаг разрушения.
Легко понять, что распирающее действие сдвиговых микродефектов при их взаимодействии хаотично и поэтому может быть смоделировано равномерно распределенной по границе очага нагрузкой (рис. 3.9а). Именно учет характера распределения обусловленной дилатансионными процессами нагрузки позволяет воспроизвести экспериментально не только качественно, но и количественно реверсивный характер деформационных аномалий в образце "сбоку" от очага.
Проведем здесь также эксперимент, воспользовавшись просверленным на предыдущем этапе образцом. Распирающее действие сдвиговых микродефектов в очаге макроразрушения будем моделировать деревянной пробкой, которая увеличивается в объеме за счет внедрения в нее в центральной части жесткого металлического стержня (рис. 3.10). Схему измерения оставим прежней (см. рис. 3.6, Ь).
Результаты эксперимента приведены в таблице 3.2. и на рис. 3.11, рис. 3.12. Хорошо видно, что реверсивные деформации типа показанных на рис. 3.3 и рис. 2.1 имеют место на горизонтальной оси «сбоку» от «очага». Однако на вертикальной оси "сверху" и "снизу" "очага" реверсивных деформаций не наблюдается: здесь усиливаются поперечные деформации растяжения и вертикальные деформации сжатия "обычного" знака. Поэтому и гипотеза дилатирующего включения с распирающим действием сдвиговых микродефектов не в состоянии объяснить всю совокупность экспериментально наблюдаемых явлений.
Поле самоуравновешенных напряжений
Образец находится под действием нагрузки Р, которая становится критической при переходе порога дилатансии. Таким образом, существует некоторая критическая нагрузка / ,, различающая физически различные стадии поведения образца. Если Р меньше Р,, то напряженно-деформированное состояние образца не зависит от угловых координат; если Р больше Pt, то деформационные характеристики начинают зависеть от них зависеть.
Поскольку деформация является однородной, то параметры г, Е можно найти из экспериментальных наблюдений за поведением величин e„,ew на боковой поверхности образца. Соотношения (4.6) определяют классическое решение о деформировании образца под действием нагрузки Р. Однако при /% превышающем 1\, этими соотношениями нельзя воспользоваться для описания результатов наблюдений. Это следует, в частности, из того, что величины а,сщ, на границе образца должны зависеть от угловой переменной, тогда, как справа в (4.6) стоит постоянная величина. Это означает, что при моделировании поведения образца в предразрушающей области необходимо строить решение системы уравнений (4.3) для поля напряжений ffv, зависящее от угловой переменной.
С другой стороны, анализ результатов экспериментов показывает, что в области аномального поведения горных образцов поверхностные деформации, отсчитываемые от уровня, соответствующего нагрузке / = / , (в дальнейшем эти деформации обозначим Яу), совпадают по порядку величины с деформациями еу в области Р меньше / .. Это позволяет предположить, что напряжения Пу, соответствующие деформациям Е , можно связать с EtJ линейным соотношениям, аналогичным по своей алгебраической структуре закону (4.5). Тогда инженерная постановка задачи моделирования поведения горных образцов в предразрушающей области может быть сформулирована следующим образом: восстановление структуры поля П,; внутри образца, используя данные о величине продольных „ и поперечных w деформаций на его поверхности. Сразу видим, что математическая формулировка этой задачи в классической форме требует корректировки, поскольку при выполнении уравнений равновесия (4Л) и краевых условий (4.2), не зависящих от угловой переменной, нельзя построить (в силу теоремы единственности) периодического решения для Пу, Таким образом, существует проблема математической постановки задачи для определения поля Пу.
Общая идея её решения может быть сформулирована на основе следующего подхода. С физической точки зрения состояние предразрушения характеризуется наличием дефектов различных типов в образце. Они создают дополнительное поле напряжений 7 , меняющее деформированное состояние материала. Это проявляется, например, в том, что при / больше / измеряемые на поверхности образца деформации зависят угла р, тогда как в отсутствии взаимодействия дефектов при / меньше / , такой зависимости от угла нет. Поскольку образец находится в равновесии, то силы, определяемые полем Tt), должно быть скомпенсированы. В качестве компенсирующего поля естественно считать Пу. При этом полное поле напряжений Sv внутри образца равно 1у=Пу+т;;. Оно удовлетворяет уравнениям равновесия (4.1) и краевым условиям (4.2):
Из (4.7) следует, что функциональная зависимость упругого поля в образце от угловой переменной может определяться или объемными силами Flt или взаимодействием упругого поля с полем дефектов на границе. При этом структура и распределение полей 7 ; в материале зависит от типа рассматриваемых дефектов. В ситуации общего положения поля Т1} обладают свойствами, которые позволяют редуцировать соотношения (4.7) к параметрическому произволу на границе. Это связано с тем, что с физической точки зрения поля Tv определяют остаточные напряжения в материалах, т.е. функции Гц удовлетворяют уравнениям равновесия = 0, (4.8) не равны нулю внутри тела и для произвольного элемента объема со внутри тела выполняются силовые и моментные условия равновесия соответственно: \TtdS= 7;«/S = 0, (/,; = 1,2,3), Fit w м = J (Тлх, xMdS + I Vfi vW=0. (4.9)
Ненулевые решения системы (4.8), удовлетворяющие соотношениям (4.9), называются самоуравновешенными. Класс самоуравновешенных напряжений достаточно широк и их можно записать через функции напряжения Гцпір в виде [50]: где єІГЧ} - символ Леви - Чивиты, постоянные т0, / имеют размерность напряжения и длины соответственно. Ответ на вопрос о конкретном виде функций Гчщр зависит от типа дефектной структуры, поскольку принято сопоставлять объекты Гчтр различным дефектам [9], при этом необходимо анализировать предысторию образования дефектов и диссипативные процессы в материале. Соответствующие модели сплошных сред, содержащие Гчп1р, были построены в [51, 52] при анализе общих соотношений неравновесной термодинамики.
