Введение к работе
Объектом исследования является сейсмическое волновое поле в окрестности каустик разного типа. Каустики представляют собой важное явление фокусировки волнового поля: они осложняют волновую картину, затрудняя обработку и интерпретацию сейсмических данных.
В разработку различных асимптотических подходов, позволяющих описывать волновое поле в присутствии каустик, внесли свой вклад, В.М. Бабич, B.C. Булдырев, Н.Я. Кирпичникова, К.Д. Клем-Мусатов, В.П. Маслов, М.М. Попов, A.M. Айзенберг, Ю.Л. Газарян, P.W. Buchen, СИ. Chapman, V. Cerveny, L.N. Frazer, R.AW. Haddon, M.K. Sen. Теория равномерных геометрических асимптотик, основанная на классификации каустик в рамках теории катастроф, родилась из работ В.И.Арнольда, Ю.А. Кравцова, Ю.И. Орлова, M.V. Berry, N. Bleinstein, С. Chester, J.N.L. Connor, J.J. Duistermaat, B. Friedman, L. Hormander, D. Ludwig, F. Ursell. В работах A.C. Крюковского, Д.С. Лукина, Е.А. Палкина развивалась не только теория, но были проведены первые практические расчеты и развито несколько вычислительных методов. Сравнение методов показывает, что во многих случаях с расчетной точки зрения учет старших производных эйконала и лучевой амплитуды оказывается предпочтительней поиска всех лучей (для окрестности каустики характерна многолучевость). В работе A. Hanyga и Н.В. Helle до уровня расчетов (в сейсмических задачах) был доведен только один метод теории равномерных асимптотик, требующий поиска всех лучей, приходящих в приемник. Недостатком этого метода является то, что в малой окрестности каустики численная реализация метода оказывается неустойчивой, а также требуется комплексное лучевое трассирование, что делает его фактически неприменимым для достаточно сложных моделей сред. В связи с этим актуальной является разработка подходов в рамках теории упругости, позволяющих дополнить этот метод в тех ситуациях, когда метод работает неэффективно: при анализе волнового поля в точках непосредственно на каустике, в зоне тени и полутени.
Цель работы - разработка подходов к расчету сейсмического волнового поля на каустике и в ее окрестности, в основе которых лежит учет старших производных эйконала и производных лучевой амплитуды. Это позволит проводить теоретический анализ волнового поля на каустиках разного типа и математическое моделирование волнового поля в присутствии каустик.
f ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА
Научная задача - определение сейсмического волнового поля в окрестности каустик разного типа с использованием старших производных эйконала и производных лучевой амплитуды.
Фактический материал и методы исследования - теоретиче
ской основой решения поставленной задачи является теория асимпто
тических решений дифференциальных уравнений, развитая в работах
В.П. Маслова, J.J. Duistermaat, L. Hormander. Методы практического
расчета волнового поля на базе этой теории были сформулированы в
работах Ю.А. Кравцова, А.С. Крюковского, Ю.И. Орлова,
Д.С. Лукина, Е.А. Палкина, M.V. Berry и адаптирован к сейсмическим задачам A. Hanyga. Геометросейсмическое описание волнового поля строится во временной области с использованием метода разрывов, развитого СВ. Гольдиным. Вывод формул переходной асимптотики базируется на интегральном представлении Кирхгофовского типа для упругого волнового поля (через фундаментальный тензор Грина). При рассмотрении каустик используется их классификация, полученная в рамках теории катастроф (основополагающий вклад В.И. Арнольда и R. Thorn). Основным методом исследования является математическое моделирование волнового поля в рамках геометрических асимптотик: построение интегральных формул, дающих равномерное описание поля в окрестности каустик; расчет параметров, входящих в интегральные формулы; анализ формул на каустиках разного типа; программная реализация подхода для математического моделирования волнового поля.
В качестве тестового материала были взяты 4 синтетические сейсмограммы общей точки взрыва (около 350 сейсмотрасс), посчитанные методом конечных разностей в ИГФ СО РАН В.А Чевердой и Д.М. Вишневским. Сейсмограммы рассчитаны для двумерной упругой среды (4 профиля наблюдений, пересекающих каустический клюв). Разработанные в рамках диссертации процедуры использованы для построения синтетических сейсмограмм для той же модели с последующим сравнением.
Полученные соискателем формулы для продолжения производных эйконала и лучевой амплитуды вдоль луча и их программная реализация проверялись сравнением с точными решениями: сферическая волна в однородной среде и среде с постоянным градиентом скорости, отражение от параболической границы. Независимо полученные индексы фокусировки поля на каустиках разного типа совпадают с результатами В.И. Арнольда.
Защищаемые научные положения
1. Анализ формул разрывного описания сейсмической волны на слож
ных каустиках показал, что эффект деполяризации сейсмической вол
ны на каустике заметно выше, чем в регулярных точках луча. В регу
лярных точках разница в порядке разрыва между основной и примес
ной компонентой вектора смещений составляет 1 (примесная компо
нента относится к следующему члену лучевого ряда). На каустике эта
разница уменьшается и зависит от ее типа: 2/3 для эллиптической ом-
билики, 1/2 для клюва, 1/3 для простой каустики и гиперболической
омбилики, 1/5 для каустики типа ласточкин хвост.
2. Производные эйконала и лучевой амплитуды, найденные для всех
лучей, соединяющих источник с приемником, в освещенной области
каустики (зона максимального покрытия лучами), могут быть исполь
зованы для экстраполяции волнового поля в зону тени каустики. Для
этого в рассматриваемой точке строится аппроксимация параметров
равномерной асимптотики отрезком ряда Тейлора по координатам
приемника (порядок аппроксимации соответствует порядку исполь
зуемых производных эйконала и амплитуды).
Новизна работы. Личный вклад
-
Выведены интегральные формулы переходной асимптотики, которые позволяют описать сейсмическое волновое поле на каустике, рассматривая только один луч, соединяющий источник с приемником. В основе подхода лежит идея локального построения интегрального представления Кирхгофовского типа в окрестности заданного луча (предложена СВ. Гольдиным). Формулы переходной асмиптотики сводятся к двойному интегралу от дельта-функции Дирака, причем подынтегральные функции аппроксимируются отрезком ряда Тейлора: старшие производные эйконала и производные лучевой амплитуды, продолженные вдоль рассматриваемого луча, позволяют учесть вклад соседних лучей в случае многолучевости.
-
С использованием формул интегрирования разрывных функций, выражения переходной асимптотики для точек непосредственно на каустике были проинтегрированы в явном виде. В результате получено описание разрывной (геометросейсмической) части волнового поля в виде ряда, составленного из разрывных функций с дробным нарастания порядка разрыва. Для точек на каустиках пяти типов (простая каустика, клюв, ласточкин хвост, гиперболическая и эллиптическая омбилики) получены, во-первых, структура разрывного описания волнового
поля в точке максимальной сингулярности, т.е. закономерность дробного нарастания порядка разрыва, которая зависит от типа каустики (простая каустика и клюв рассмотрены в работах В.М. Бабича, R. Burridge и A. Hanyga) и , во-вторых, явные формулы для старших ненулевых членов разложения для всех компонент вектора смещений (параметры разрывных функций и амплитудные коэффициенты).
-
Для простых сред уравнения для продолжения старших производных эйконала и лучевой амплитуды (впервые выведены Н.Я. Кирпичниковой) были проинтегрированы и получен ряд новых аналитических формул для продолжения вдоль луча: производных эйконала порядка 3 и 4 в однородной среде, производных лучевой амплитуды порядка 1 и 2 в однородной среде и производных эйконала порядка 3 в среде с постоянным градиентом скорости.
-
Разработаны и программно реализованы в системе Mathematica процедуры математического моделирования волнового поля:
на каустике и в малой ее окрестности методом переходной асимптотики (продолжение старших производных эйконала и амплитуды вдоль луча в блочно-однородной среде; построение локального варианта интегрального представления в окрестности этого луча; вычисление интеграла и построение синтетических сейсмограмм);
на каустике и в зоне тени с использованием экстраполяции волнового поля (при условии, что все лучи найдены и проведено распознавание каустик). Процедура включает расчет синтетических сейсмограмм в освещенной зоне методом глобальной асимптотики; продолжение третьих производных эйконала и первых производных лучевой амплитуды вдоль некоторых лучей; построение отрезка ряда Тейлора и экстраполяция параметров равномерной асимптотики в зону тени; вычисление интегральных формул равномерной асимптотики; построение синтетических сейсмограмм.
Научная значимость. Исследования выполнялись по плану НИР Института геофизики СО РАН (программа 0120.0 101571 в 2001-2003 гг.; 0120.0 407249 в 2004 г.) и в рамках проектов INTAS (INTAS-RFBR-95-0763; YSF99-0211, руководитель), CRDF (RG1-2362-NO-02), РФФИ (99-05-64425, 01-05-64812), Минобразования РФ (Е00-8.0.-27; УР.09.01.020; Е02-9.0.-13), Минпромнауки РФ (НШ-1302.2003.5).
Формулы переходной асимптотики имеют теоретическое значение и позволяют понять изменения, происходящие при прохождении волной каустики. Так, изменение структуры разрывной (геометро-
сейсмической) части волнового поля на каустике контролирует степень фокусировки волнового поля. Анализ деполяризации сейсмической волны на каустиках разного типа позволяет понять, как могут проявляться эти каустики при использовании трехкомпонентных систем наблюдений.
Процедура экстраполяции волнового поля в зону тени может быть использована в программах лучевого моделирования сейсмического волнового поля. Она может быть встроена в существующие пакеты, так как целиком основывается на результатах стандартных процедур динамического лучевого трассирования и не требует комплексного лучевого трассирования. Применение процедуры экстраполяции позволит корректно моделировать динамику целевых волн в таких важных задачах, как изучение отклика от локальных структур в сложной модели и Кирхгофовская миграция в истинных амплитудах (в присутствии каустик).
Апробация. Основные результаты диссертации отражены в 15 публикациях и докладывались на 9 международных и 9 всероссийских конференциях. Международные: Международная конференция «Обратные проблемы математической физики» (Новосибирск, 1998), Международный семинар «День дифракции» (С.-Петербург, 1999, 2000, 2002), Международная конференция и выставка SEG (США, Хьюстон, 1999), Международная конференция по математическим и численным аспектам распространения волн (Испания, Сантьяго де Кампастелла, 2000), Симпозиум ШТАМ «Дифракция и рассеяние в гидродинамике и упругости» (Великобритания, Манчестер, 2000), Международная конференция и выставка EAGE (Италия, Флоренция, 2002; Франция, Париж, 2004). Всероссийские: Четвертый сибирский конгресс по прикладной математике (Новосибирск, 2000); Международная конференция молодых ученых, специалистов и студентов «Геофизика» (Новосибирск, 2001; С.-Петербург, 1997, 2003); Вторая Всероссийская конференция «Геофизика и математика» (Пермь, 2001); XII Всероссийская школа-конференция по дифракции и распространению волн (Москва, 2001); Ш и V Уральская молодежная научная школа по геофизике (Екатеринбург, 2002, 2004); IV Международная конференция «Проблемы геокосмоса» (С.-Петербург, 2002);
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,
трех глав, заключения и списка литературы из 112 наименований. Объем диссертации составляет 144 страницы, включая 35 рисунков.
Благодарности. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю акад. РАН СВ. Гольдину за постановку задачи и постоянную помощь при ее решении; A.M. Айзенбергу за его многолетнее внимание к результатам автора и множество советов по их улучшению; В.А Чеверде и К.Д. Клем-Мусатову за анализ диссертационной работы и полезные замечания; Общение с M.V. Berry, а позднее с Д.С. Лукиным, А.С. Крюковским, Е.А Панкиным (МФТИ, г. Москва) стало важным этапом в ознакомлении с широким спектром результатов по теории равномерных асимптотик. Автор благодарен М.М. Попову за целый ряд научных обсуждений; В.М. Бабичу, А.П.Киселеву, Н.Я. Кирпичниковой, З.А Янсон (ПОМП, г. С.Петербург) за их интерес к выступлениям автора и конструктивное обсуждение; В.П. Голубятникову за многочисленные консультации по теории катастроф; Д.М. Вишневскому и В.А. Чеверде за расчет синтетических сейсмограмм методом конечных разностей; сотрудникам ИГФ СО РАН Т.В. Курдюковой, Г.М. Митрофанову, Т.В Нефедкиной, Б.П. Сибирякову, Ю.А. Орлову за периодическое обсуждение результатов автора на протяжении нескольких лет; А.Д. Дучкову за редакционную правку; В.И. Самойловой за методическую работу.
