Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели распространения плоских волн в структурах, обладающих фрактальными свойствами 11
1.1. Фракталы и фрактальная размерность 11
1.2. Размерность подобия (гомотетическая размерность) 14
1.3. Некоторые простые физические следствия из самоподобия фрактальных систем 24
1.4. Модели законов дисперсии волн, распространяющихся в системах, содержащих фрактальные структуры 35
1.5. Вывод причинных одномерных линейных уравнений для распространения нестационарных возмущений в средах, содержащих фрактальные структуры 50
1.6. Переход к пространственно-временному представлению линейных наследственных волновых уравнений для переходных волн в средах, содержащих фрактальные структуры. Операция дробного дифференцирования 55
1.7. Феноменологический учет ограниченности диапазона фрактального самоподобия физических систем в моделях распространения в нихпереходных волн 63
Выводы по главе 1 82
Глава 2. Волны в наследственно-упругих телах 84
2.1. Наследственные модели в теории упругости 84
2.2. Общие свойства решений наследственных волновых уравнений с факторизуемым линейным наследственным волновым оператором 93
2.3. Случай трансверсально-изотропной среды с мультифрактальной структурой 101
2.4.Типы волн, распространяющихся в однородной аксиально-
симметричной (трансверсально-изотропной) вязкоупругой среде 103
2.5. Динамическая эффективная.вязкоупругая модель комплексной дисперсии волн в статистически масштабно-самоподобной трансверсально- изотропной упругой среде 115
Выводы по главе 2 120
Глава 3. Пропагаторы волн (функции Грина) для обобщенного волнового уравнения с абелевой особенностью наследственного ядра 122
3.1. Вычисление пропагаторов волн для уравнений со степенной слабой сингулярностью в ядре наследственности 122
3.2. Интегральное представление для функции Грина уравнения с Абелевым ядром наследственности 139
3.3. Функции Грина для трехмернного обобщенного волнового уравнения с абелевым ядром наследственности 145
3.4. Функции Грина для двумерного обобщенного волнового уравнения с абелевым ядром наследственности 146
3.5. Масштабное преобразование координат и времени, ведущее к исключению крэффициента перед интегральным (наследственным) членом в обобщенном волновом уравнении 153
Выводы по главе 3 156
Глава 4. Распространение волновых импульсов конечной ширины в среде с фрактально распределенными случайными включениями 157
4.1. Рассмотрение задачи об импульсе, возбужденном в наследственной среде с сингулярным ядром памяти 157
4.2. Оценка эффекта замедления распространения импульса от показателя степени абелеваядра наследственности 164
4.3. Изменение «энергии» волновой моды при распространении в наследственной среде 171
Выводы по главе 4 178
Заключение 180
Литература
- Некоторые простые физические следствия из самоподобия фрактальных систем
- Случай трансверсально-изотропной среды с мультифрактальной структурой
- Интегральное представление для функции Грина уравнения с Абелевым ядром наследственности
- Оценка эффекта замедления распространения импульса от показателя степени абелеваядра наследственности
Введение к работе
Практические задачи геофизической акустики, сейсмики и сейсмоакустики связаны во многих случаях с использованием эффектов, возникающих при возбуждении и распространении акустических импульсов, то есть нестационарных (переходных) волн, в различных геологических средах и структурах с последующей регистрацией отраженного, рассеянного или прошедшего сейсмоакустического поля и обработкой полученных данных. Эти задачи распадаются на огромное количество отдельных проблем и методов, разработанных и продолжающих разрабатываться для их решения и применения в конкретных приборах, устройствах и технологиях, используемых на практике. Их фундаментом служит теория волновых процессов, протекающих в физических системах, свойства которых в том или ином отношении отражают существенные свойства геологических сред, влияющие на динамику изменений их физического состояния.
Развитие теоретических представлений и моделей, позволяющих математически описать существенные особенности указанных процессов в условиях, соответствующих распространению переходных упругих волн в случайно-неоднородных геологических структурах, содержащих элементы, обладающие фрактальными свойствами, представлено в данной работе. Причем, именно процессы распространения волн, а не микроскопические детали формирования наблюдаемых при их распространении свойств среды, будут служить объектом рассмотрения. Естественно, что имеются в виду стохастические мультифрактальные объекты, а не регулярные фракталы построенные с помощью каких-либо рекурсивных процедур [Федер, 1991].
Прежде всего, следует отметить, что геологическая среда, в которой преобладают горные породы, разбитые трещинами на блоки, и структуры, сформированные длительными процессами разрушения, смешивания,
агрегации, физико-химического метаморфизма, приводящие появлению широкого спектра неоднородностей горных пород и геологических структур [Садовский, 1979; Садовский, Болховитинов Писаренко, 1987 ]. Во многих случаях обнаруживаются закономерности иерархического строения геологических объектов, например, свойства самоподобия, возникающие в ходе процессов самоорганизации геосреды [Кузнецов, Муравьев, Видяпин, 2000]. Статистическое самоподобие характерно также и для внутреннего строения многих геологических пород в достаточно широком диапазоне масштабов. Поскольку самоподобие является основным свойством фракталов [Mandelbrot, 1977], то естественным способом математического описания соответствующих структур геосреды является привлечение методов, развитых при изучении фрактальных объектов. То, что фрактальные свойства действительно присущи в ряде случаев реальным геологическим средам и системам, имеющим сложную пространственную и структурную организацию [Одинцев, Бунин, 2004], как и элементам ландшафта [Burrough, 1981], уже подтверждено многочисленными наблюдениями. Эти свойства проявляются также и в ряде сейсмических и сейсмоакустических явлений, детерминированных происходящими в геосреде процессами, связанными с возбуждением и распространением волн в таких средах. По-видимому, они проявляются и в ряде других свойств и процессов, характерных для геологических сред, таких как механические свойства горных пород, особенности процессов фильтрации флюидов в них и тому подобное. Имеются убедительные данные, свидетельствующие о степенном характере спектров аномалий потенциальных полей (гравитационных, магнитных) геологических структур и их связи с фрактальным характером намагниченности земной коры [Todoeschuck, Pikington, Greotski, 1992]. Также давно обнаружено, что процессы распространения электромагнитных волн в природных средах происходят так, что эффективные комплексные, то есть с учетом затухания, диэлектрические свойства этих сред наилучшим образом соответствуют модели степенного по
7 частоте закона измерения в широком диапазоне частот [Cole, К., and Cole, R., 1941, Jonscher, 1977].
Фрактальные свойства геологических систем в сейсмоакустических полях наблюдаются и проявляются в геофизике на разных временных и масштабных уровнях - от распределения неоднородностей в литосфере [Файзуллин., Шапиро,\9Ю\ Shapiro, Faizullin, 1992], до высокочастотного сейсмического шума [Мухамедов, 1992]. Фрактальными свойствами обладают также распределения в объеме пористой среды фильтрующихся сквозь неё несмешивающихся флюидов. Уже перечисленные примеры имеют разную по происхождению физическую природу, но подтверждают широкое распространение фрактальных объектов в геосреде и применимость идей и методов, основанных на особенностях и свойствах таких объектов, при изучении и объяснении протекающих в них процессов, в том числе и связанных с распространением возмущений состояния геосреды.
Внимание к такого рода подходу в различных областях физики и её приложений выросло из стремления «... к установлению связи между микроскопической структурой и макроскопическим поведением сложных систем», как отмечено в отношении всего многообразия исследований по изучению фрактальных структур в волновых процессах авторами обзора [Зосимов, Лямшев, 1995].
Самоподобие и свободная масштабируемость фрактальных структур означает, что для них — в идеальном случае - отсутствуют какие-либо внутренние характерные масштабы. Это приводит к тому, что спектр неоднородностей такого рода оказывается непрерывным (или может рассматриваться как квазинепрерывный). С точки зрения описания процессов распространения возбуждений, в первую очередь механических волн, это приводит к тому, что частотные спектры пропагаторов волн, возбуждаемых и распространяющихся в таких средах, обладают не дискретными особенностями
8 (например, в виде полюсов различных порядков), а непрерывными особенностями - в виде разрезов на соответствующей комплексной плоскости.
Сами процессы формирования геологических сред и систем, содержащих фрактальные структуры, носят, очевидно, нелинейный характер. То есть появление у геологических объектов таких многомасштабных неоднородностей является, очевидно, результатом длительных процессов их формирования, в ходе которых могли иметь место различные нелинейные явления, во многих случаях сопровождающиеся динамической хаотизацией [Заславский и Сагдеев, 1988; Заславский и др. 1991], такие как случайное перемешивание, растрескивание, случайное перемещение флюидов, сопровождающееся фазовыми и химическими изменениями и преобразованиями компонентов среды и тому подобными процессами. В некоторых случаях уже сейчас есть достаточно развитые и исследования математических моделей подобных явлений, имеющих отношение к геологическим процессам, например, гидрогеологического явления Харста [Hurst, 1951] в работах [Найденов и Кожевникова, 2000, 2001а,б], которое связано с фрактальным характером колебаний стоков рек, катастрофических наводнений, колебаний уровня моря и глобального климата. В других случаях можно найти достаточно глубокие аналогии с нелинейными моделями, построенные и изученными вне прямой связи с геологией и геофизикой. Примером могут служить модели порождения фрактальных структур рекурсивными процедурами, имеющими, некоторое качественное сходство с характерными особенностями некоторых геологических процессов [Морозов, 1999].
Наличие фрактальных свойств у микронеоднородных упругих сред, в первую очередь масштабное самоподобие их физических структур в достаточно широком диапазоне пространственных масштабов, позволяет существенно упростить задачу конструирования эффективных феноменологических макроскопических уравнений, специальным образом описывающих пространственно-временном представлении осредненное
9 акустическое поле и распространение переходных волн в таких средах. При этом «центр тяжести» решения соответствующих задач переносится с получения статистическим методами эффективных параметров среды и осредненных значений акустических полей - на решение уравнений, описывающих кинематику волн в пространстве и времени, соответствующих осредненному волновому, например, акустическому, полю, удовлетворяющему некоторому уравнению адекватно описывающему эффективные макроскопические волновые свойства среды, которые в основном исчерпываются комплексными законами дисперсии (то есть частотной дисперсией скорости и частотной зависимостью затухания) каждой волновой моды, способной распространяться в этой среде. Объединяющей чертой математических моделей этих волновых процессов является наличие характерных макроскопических наследственных свойств, которые могут быть представлены в виде зависимости актуального локального состояния от истории его изменений в прошлом, которое может быть представлено интегральными операторами с ядрами, представленными функциями, содержащими интегрируемые степенные особенности. Вопросы физического происхождения структур подобного типа при таком подходе можно оставить в стороне, как это делается в механике сплошных сред, где обычно макроскопические уравнения состояния сплошных сред вводятся эмпирически. Тем не менее, использование фрактальных моделей естественно оказывается приложимым к любой системе, в которой неоднородность распределения некоторого свойства проявляется на заданном уровне разрешения (точности) наблюдений так, что степень наблюдаемой неоднородности возрастает с уменьшением масштабов наблюдаемых деталей. То есть в том или ином смысле обладают свойствами «карты береговой линии» степень изрезанности которой зависит от масштаба карты и тем выше, чем детальней изображение, как это было рассмотрено в одной из первых работ по фрактальной геометрии в природе [Mandelbrot, 1967].
10 Данный подход относится, по существу, к способу построения промежуточных асимптотик [Баренблатт, 1982, Зельдович, Соколов, 1985, Barenblatt, 1996] для задач о распространении возмущений состояния сред, в условиях, когда проявление особенностей их физического строения наблюдается в масштабах, характеризующих масштабы возмущений много больших, чем собственные масштабы элементов структурных неоднородностей среды, но не настолько, чтобы эти неоднородности перестали сказываться на их динамике. То есть речь идет о более грубых моделях этих процессов, чем модели, основанные на каких-либо представлениях о составе, структуре и взаимодействии элементов среды, но зато такой подход позволяет найти и выделить характерные особенности кинематики распространения, например, волновых импульсов в пространственно-временном представлении и необходимых для их описания моделей эффективных параметров среды. При этом нет нужды отвлекаться на анализ множества возможных вариантов их микроскопической реализации и сложные процедуры дальнейшего статистического осреднения, необходимого для получения макроскопических эффективных значений физических параметров среды статистическими методами.
Целью работы является получение макроскопических эффективных математических моделей распространения возмущений состояния геологических сред, содержащих однородно распределенные статистически фрактальные элементы, удовлетворяющих принципу причинности и макроскопическим свойствам симметрии, включая масштабную инвариантность. Получение и исследование свойств их нестационарных волновых решений в точном пространственно-временном представлении и физическая интерпретация возникающих эффектов, прежде всего в случае возбуждения макроскопических упругих волн.
Некоторые простые физические следствия из самоподобия фрактальных систем
Внутри диапазона масштабов самоподобия для фрактальных структур характерны степенные зависимости основных параметров от размера фрактального агрегата. Например, масса такого агрегата с характерным размером R зависит от размера как Mf = т0 rRv« \aoj (1.3.1) здесь dmf - массовая фрактальная размерность агрегата. Поскольку здесь речь идет не об абстрактной математической величине, а о физическом параметре, то связь между dmf и геометрической фрактальной размерностью области, занятой физическим фракталом, требует специальных уточнений и оговорок, строгий анализ которых уведет нас довольно далеко от целей данной главы. Нам достаточно интуитивного представления об их близости в физически «разумных» ситуациях. Здесь т0 и а0 - масса и размер частиц, из которых образован агрегат. Существенно, что массовая фрактальная размерность меньше топологической размерности d пространства, в которое погружен фрактальный агрегат. В случае плотной упаковки частиц обе размерности совпадают, то есть при плотной упаковке масса агрегата пропорциональна степени, равной обычной топологической размерности пространства d (1,2, 3), как и в случае сплошной среды M = m/j . (1.3.2) Из (1.3.1) следует, что плотность фрактального агрегата размера R зависит от него следующим образом (то есть отношение массы к топологическому объему Rd ): Р = Ро - (1.3.3) - то есть убывает степенным образом по мере возрастания характерного размера агрегата, поскольку dmf-d 0.
Еще один полезный вывод можно сделать относительно плотности массива плотно упакованных частиц или сплошной среды, в котором имеются фрактально распределенные включения. В простейшем случае фрактально распределенных ничем не заполненных полостей (то есть включений, которым можно формально приписать в формуле (1.3.3) отрицательную «затравочную» плотность -р0, и наложенных на однородный нефрактальный массив плотности +р0, так что в тех точках, где расположено такое «включение» формальное значение плотности составляет + р0+(-р0)-0) можно получить P = Po -Г ao) 1 (1.3.5) J mn (очевидно, что везде в приведенных формулахр0 = —f). В случае если включения заполнены материалом с плотностью р 0, то к выражению, стоящему в правой части (1.3.5), надо добавить величину, аналогичную (1.3.4) с (R\d, d естественной заменой р0 на р 0, то есть р 0 — Као)
Рассмотрим теперь в качестве полезного примера зависимость модуля упругости физического фрактального агрегата от его размеров. Разумеется, все нижеследующие рассуждения справедливы только внутри области масштабов самоподобия физического фрактала.
Хорошо известно, что изотермические упругие характеристики твердого тела определяются из термодинамических соотношений, связывающих изменения его свободной энергии со смещениями, вызванными деформациями макроскопических элементов тела [Ландау, Лифшиц, 1987]. В случае гетерофазных, например, пористых флюидонасыщенных сред, имеющих твердый каркас, задача осложняется необходимостью учета динамического взаимодействия и относительного движения фаз при деформировании такой системы (например, как в теории Френкеля-Био-Николаевского [Френкель, 1944; Biot, 1956, 1962а,б; Николаевский, 1984]). Методы статистического вывода динамических упругих характеристик случайно-неоднородных многофазных систем, основанные на корреляционном аналзе, изложены в книге [Куръянов и др., 2002]. Методы статистического расчета физических параметров композитных материалов, применимые в том числе при использовании фрактальных представлений об их структуре, и пористых структур можно найти, например, в монографиях [Ландау, Лифшиц, 1987; Гладков, 1999]. Здесь мы рассмотрим простые следствия из гипотезы статистического самоподобия некоторого фрактального случайно-неоднородного тела, обладающего упругими свойствами, выраженными осредненным по масштабу / модулем .упругости (/). Для произвольных двух различных масштабов осреднения /, / должно быть справедливо следующее соотношение:
Случай трансверсально-изотропной среды с мультифрактальной структурой
Статистический характер структурных неоднородностей геологических сред, проявляется в соответствующем характере геофизических полей, отражающих свойства среды, как это было указано в главе 1. В свою очередь, сами такие структуры являются продуктом длительной и сложной эволюции геосреды, которая недоступна для прямого наблюдения в силу масштабов и длительностей большинства таких процессов. Однако, в ряде случаев сформированные этими процессами структуры оказываются обладающими макроскопическими симметриями, предопределенными постоянно действовавшими в процессе их формирования факторами (простейший пример — гравитация, создающая внешнюю постоянно действующую силу, определяющую выделенное направление в пространстве, которое может стать осью симметрии сложившейся под её постоянным действием структуры геосреды), а микроструктура, образованная в результате комбинации влияния различных факторов, обладает скрытой статистической анизотропией, то есть тоже проявляющейся макроскопически, внутренней симметрией, состоящей в её масштабной инвариантности (скейлинговая симметрия) в некотором диапазоне масштабов, характерных для фрактальных [Манделъброт, 2002] объектов [Burrough, 1981], имеющей различные степени однородности в различных направлениях. Это физически соответствует широкому и (квази)непрерывному спектру характерных размеров структурных элементов такой среды (или, соответственно, спектра характерных времен протекающих в них нестационарных процессов). Соответствующие спектры математически описываются функциями, содержащими степенные зависимости от параметров (точки ветвления в комплексной плоскости частоты в Фурье-постранстве), служащих параметрами порядка - часто это просто длина (размер), время, частота и т.п. [Wass, 1985]. Во многих случаях подобный результат может быть объяснен статистическими свойствами таких процессов, как дробление, растрескивание, перемешивание, или, например, статистическими свойствами гидрофизических процессов (механизм Харста, [Hurst, 1951]) таких, как сток рек, колебания уровней водоемов, играющих важную роль в ряде геологических процессов и формировании геологических сред и структур.
Эти свойства симметрии позволяют ограничить выбор макроскопических эффективных моделей для описания процессов, протекающих в подобных средах, не используя прямо громоздких методов статистического осреднения их детального микроскопического описания. Недостатком такого подхода для практического применения является необходимость задания параметров и свойств всех элементов микроструктуры среды и взаимодействий между ними, которые, во-первых, в геологических условиях недоступны прямым измерениям, а, во-вторых, в явном виде исчезают из макроскопических осредненных описаний свойств среды, входя лишь в виде комбинаций в некоторое, значительно меньшее, количество параметров, характеризующих макроскопические эффективные свойства среды, как это, например показано для моделей пороупругих сред. Естественно, что при прямом макроскопическом построении эффективных моделей среды, эти параметры оказываются задаваемыми извне константами, которые нуждаются в определении либо указанным выше теоретическим путем с помощью осреднения микромоделей, либо - экспериментально, что представляется более естественным для реальных сред. Сам подобный подход представляет собой вновь вариант применения промежуточных асимптотик в смысле [Barenblatt, 1996].
Далее рассмотрено построение макроскопических математических моделей распространения переходных (нестационарных) упругих волн в эффективной макроскопической среде, обладающей фрактальной внутренней структурой в рамках подхода, изложенного в [Курьянов и др., 2002].
Интегральное представление для функции Грина уравнения с Абелевым ядром наследственности
Прежде чем перейти к интегральным представлениям для функции Грина, соответствующей частному случаю общего выражения (3.1.1) при ф(0 = фа(і), обратим внимание на некоторые особые свойства этого варианта наследственного ядра обобщенного волнового уравнения.
Второй член общего выражения для функций Грина обобщенных волновых уравнений рассматриваемого типа подразумевает двойное интегрирование. Вторым интегралом является свертка. Поменяв порядок интегрирования, рассмотрим свертку, которую необходимо выполнить Подстановка в (3.2.4) полученного выше интегрального представления для fa и последующее интегрирование по частям правой части уравнения (3.24), очевидно, легко выполнимы, во всяком случае, численно. Прежде всего, мы рассмотрим предел правой части при Л.- 0. Для этого вначале найдем предел НтЛ( ; )- ЭТОТ предел существует только в смысле обобщенных Д- 0 функций, и проще всего его найти исходя из поведения образов Лапласа функций fa{s;A) при стремлении положительного параметра Я к нулю: Кт7аМ) = Итехр(-Л а)=1. (3.2.5) Д- 0 Л-»0для вычисления этого члена выражения (3.1.1). Она эквивалентна:
Поскольку обратное преобразование Лапласа от 1, как известно, существует в смысле обобщенных функций и является S(t) - дельта-функцией Дирака, то fa(t;A) - есть последовательность непрерывных по /, отличных от нуля при / 0 и бесконечно дифференцируемых функций, образующая по параметру Я «дельта-образную последовательность» Мы воспользовались известным в теории обобщенных функций [Гельфанд, Шилов, 1959] тождеством gS(g)=0 для исключения второго слагаемого в выражении под интегралом в (3.2.7). Как и следовало ожидать, результат (3.2.7) в точности совпадает с решением в виде бегущих волн для классического одномерного волнового уравнения Хорошо известно, что для него начальная задача, соответствующая мгновенному точечному удару, сосредоточенному в начале координат, с «единичным» импульсом, порождает разбегающиеся в обе стороны вдоль единственной оси координат «ступеньки» высотой V-2.. В этом классическом пределе (и только в нём!) пропагатор волны (3.2.4) терпит разрыв на фронте. Для всех Д О и 0 а 1 по мере приближения к своему фронту пропагатор бесконечно гладким образом (то есть, имея непрерывные производные любого порядка, причем стремящиеся к нулю) плавно убывает до нуля. Эта особенность поведения решений уравнений в теории наследственной упругости со (слабо-) сингулярными ядрами наследственности была обнаружена достаточно давно. Авторы, рассматривавшие в рамках наследственной упругости задачи о возбуждении переходных волн в наследственно-упругой среде, при использовании ядер наследственности, имеющих интегрируемую особенность, обнаруживали (и доказывали) плавное (бесконечно гладкое) убывание переходной волны по мере приближения к её фронту. В общем случае такие решения строились и вычислялись с использованием асимптотических методов или разложения в ряды по специальным функциям, родственным гипергеометрическим, как упомянутые выше функции Миттаг-Леффлера, Райта, а также и более общие функции (//-функции Фокса, G-функции Майера и т.п.). Например, в работе [Buchen, Mainardi, 1975], задача об ударе по одномерному вязкоупругому стержню, ядро ползучести которого связано с суммой бесконечного ряда функций, которые в нашей нотации можно записать как Ькфак, исследовалась с помощью асимптотических разложений решения в ряд, соответствующий лучевому приближению. В работе [Гонсовский, Россыхин, 1973] аналогичная задача для волны напряжений в полубесконечном вязкоупругом стержне рассматривалась в предположении, что ядро последействия представляет собой бесконечную сумму дробно-экспоненциальных функций Работнова. Решение представлено в виде формулы, содержащей интеграл по всей положительной действительно полуоси от выражения, которое получается при его вычислении по образу Лапласа этого решения, переходом от пути Бромвича к пути интегрирования, аналогичного описанному выше пути, примененному Поллардом. Вычисления решений проводились также приближенно с помощью разложения вблизи волнового фронта по степеням (/-/„У («прямой метод», изложенный в работах [Schapery, 1962; Arenz, 1964]), где показатель степени аналогичен по смыслу нашему а. Было показано, что при дробном показателе степени / фронт волны непрерывно убывает до нуля, а в случае у = 1, соответствующем модели стандартного линейного тела (модель Фойгта). На фронте эта волна испытывает разрыв типа конечного скачка. В работе приведены графики расчетов для двух значений показателя степени степенной особенности ядра наследственности: 0.5 и 1. Асимптотические свойства решений обобщенных интегро-дифференциальных волновых уравнений с интегральным членом, представленным в виде свертки с сингулярным ядром, с математической точки зрения было рассмотрено в книге [Локишн, Суворова, 1982]. Там, в частности, было доказано, что для отсутствия скачка на фронте переходной волны, удовлетворяющей такому уравнению, достаточно сингулярности наследственного ядра более слабой, чем интегрируемая степенная (например, ос-in/+ =\ ).
Оценка эффекта замедления распространения импульса от показателя степени абелеваядра наследственности
Действительно, одновременная замена единиц измерения пространственных координат и времени (скейлинг) х,А"( -в)- х„ (3.5.1) /Я1/(,-а)- г, (3.5.2) приводит к тому, что коэффициент Л из всех введенных в главе 1 уравнений исчезает. При этом, конечно, соответственно изменяются параметры Р,у, в уравнениях, полученных с использованием экспоненциально демпфированных абелевых ядер наследственности, но вид уравнений и математические свойства их решений от этого не зависят, а численные значения с помощью обращения масштабных преобразований (3.5.1), (3.5.2) и индуцированных ими масштабных преобразований остальных параметров задач, легко могут быть вычислены из решений, формально соответствующих уравнениям, введенным в главе 1, с заменой параметра Я на 1. Таким образом, вид и свойства решений всех этих уравнений по существу не зависят от Л. Как уже упоминалось в главе 1, наследственный член в исследуемых уравнениях никогда не является малым в математическом смысле (то есть с точки зрения попыток построения приближенных или асимптотических решений этих уравнений с помощью разложений по степеням Л, как по «малому параметру»). Этим уравнения, содержащие особенность в наследственном ядре, принципиально отличаются от уравнений, в которых ядра «памяти» имеют конечный положительный предел при /- 0, как, например экспоненциальные ядра в моделях «стандартного упругого тела» типа Максвелла-Фойгта, которые рассматривались, например, в работах [Carcione, 1996, 1998], как основа для моделирования эффективных свойств пороупругой среды с помощью вязкоупругой (наследственной) модели.
Мы видим, что с учетом масштабного преобразования (3.5.1), (3.5.2), все полученные в данной главе результаты могут быть редуцированы путем исключения параметра Я из выражений для вычисления функций Грина и функции fa. То есть, во всех выражениях, содержавших этот параметр, мы формально заменяем Л на 1 и в дальнейшем (без дополнительных оговорок), сохраняем прежние обозначения для соответствующих функций, считая GN(t,r) = GN{t,r,\), и Л(/)=/в(/;1), (3.5.3) где r = \x\, # = 1,2,3.
Итак, основным параметром, определяющим поведение решений уравнений для распространения волн в средах, содержащих фрактальные включения (или являющиеся агрегатами фрактальных структур) служит показатель степени а, характеризующий степенную зависимость от времени наследственного ядра, эффективно описывающего осредненные динамические свойства таких сред. Этот параметр может служить волновой динамической характеристикой фрактальных свойств диссипативных процессов в поглощающей среде. Причем для волновых пакетов (импульсов), спектр которых полностью лежит внутри полосы, соответствующей масштабам самоподобия случайной фрактальной динамической структуры среды, этот параметр является единственным существенным параметром, определяющим процесс распространения таких импульсов, с точностью до масштабного преобразования координат и времени по формулам (3.5.1)-(3.5.2).
В данной главе построены пропагаторы скалярных волн, возбуждаемых в эффективно наследственно-упругих средах с сингулярным (абелевым) ядром наследственности мгновенным точечным источником, то есть двухточечные функции Грина, для задач с пространственной размерностью 1, 2 (в цилиндрической системе координат), 3 (в сферической системе координат), в виде легко вычислимых квадратур от выражений, содержащих только элементарные функции.
Полученные функции Грина соответствуют волнам, которые распространяются от источника с конечной скоростью, то есть являются строго причинными.
Показано, что эти функции непрерывным по коэффициенту перед наследственным интегральным членом обобщенного волнового уравнения образом переходят в классические функции Грина для обычных волновых уравнений в пределе, когда этот коэффициент стремиться к нулю (то есть «выключает» наследственный член обобщенного линейного волнового оператора).
Для задач с присутствием наследственного члена, характеризующего комплексную дисперсию (то есть дисперсию скоростей и затухание волн) с непрерывным спектром степенного типа, показано, что существует масштабное преобразование координат и времени, при котором коэффициент перед наследственным членом превращается в единицу. То есть в исследуемых уравнениях с сингулярным ядром наследственности наследственный член не является малым по сравнению с классической волновой частью волнового оператора.
