Содержание к диссертации
Введение
1.1 Основные результаты 3
2 Исторический очерк G
2.1 Общие сведения и предварительные замечания 7
2.2 Система Навье-Стокса для векторвюго поля скоростей 7
2.3 Система Навье-Стокса для завихренности 9
1 Пространства Ф(«,ш). Случай d > 3. 10
1 Локальная теорема существования и единстве иностп в пространствах Ф(«,ш) 11
1.1 Формулировки теорем 11
1.2 Доказательства теорем 1.3 и 1.4 12
2 Критические пространства Ф(сі — l,d — 1) 18
2 Пространства Ф„. Двумерный случай. 20
1 Локальная теорема существования для уравнения с бесконечной энергией и энстрофией 20
1.1 Формулировки теорем 20
1.2 Доказательства 22
2 Разложение решения в ряд по степеням параметра А. Диаграммы 24
2.1 Разложение по степеням А 24
2.2 Диаграммы. Оценки коэффициентов Зо
3 Аналитичность решения двумерного уравнения Навье-Стокса . 38
1 Основные результаты 38
2 Доказательства 40
4 Численный счет. 47
1 Описание* алгоритма 48
2 Результаты работы программы
- Система Навье-Стокса для векторвюго поля скоростей
- Доказательства теорем 1.3 и 1.4
- Разложение решения в ряд по степеням параметра А. Диаграммы
- Диаграммы. Оценки коэффициентов
Введение к работе
Уравнения Навье-Стокса вот уже на протяжении полувека занимают ключевую, и должно быть наиболее наметную полицию в уравнениях гидродинамики. Проблема описания движения идеальной вязкой несжимаемой жидкости представляется тем более интересной и значимой, поскольку многие природные процессы как то разного рода атмосферные явления, волнения на море, сейсмические явления могут быть описаны с точки зрения уравнений гидродинамики. Наиболее интересным и важным является вопрос о существовании решения задачи Коши для системы Навье-Стокса, поскольку именно прекращение сущестиовапия решения, как раз и отвечает таким стихийным бедствиям, как ураганы, цунами, извержения вулканов, землетрясения и т.п.
Многие исследователи по всему миру обращались к проблеме существования и единственности решения этой системы. Сравнительная доступность экспериментов, простота уравнений в модели, широкий спектр применения результатов и вместе со всем этим чрезвычайная трудность математической задачи — вот те факторы, которые делают теорию уравнений Навье-Стокса столь интересной для ученых различных отраслей физики и математики.
Система Навье-Стокса для векторвюго поля скоростей
Гидродинамика — наука о движении жидкости на мой взгляд является одной из первых дисциплин, занимавших и продолжающих занимать головы исследователей и приковывать к себе взгляды пытливых наблюдателей.
И такое положение виолне оправдано, ведь па протяжении всей нашей жизни, мы по нескольку раз в день сталкиваемся с явлениями, имеющими прямое касательство к движениям жидкостей и газов. Это и погодные изменения, и волны па море и даже такие явления как тайфуны, смерчи, наводнения, землетрясения — все это имеет непосредственное отношение к гидродинамике.
Сравнительная простота основных уравнений, наглядность экспериментов и важность описания динамики течений жидкости — вот те факторы, которые, подобно магниту, притягивают к гидродинамике такое количество любопытных взглядов.
Развитие исследований.
С течением времени стало понятно, что построенная теория идеальной жидкости не отвечает в должной мере всему богатому множеству накопленных экспериментальных данных. Тогда была создана модель вязкой жидкости с ее основными уравнениями Навье-Стокса.
Увы, на все накопившиеся вопросы эта модель не могла дать ответа с полной определенностью. Дело в том, что решить задачу обтекания для уравнений Навье-Стокса не оказалось возможным даже для самых простых тел.
Основной проблемой теперь стала проблема доказательства теоремы существования и единственности решения для системы Навье-Стокса для достаточно широкого класса начальных данных.
Первые результаты в этой области были получены в работах Ж. Лерэ Ler33] и Э. Хопфа [Нор57. В этих работах на вопрос о существовании решении дан уклончивый ответ. Доказана теорема существования для слабых решений.
Локальные теоремы существования для случая общей размерности были получены Тосио Като Kat81], [Kat94].
Большие монографии на эту тему написаны Ольгой Ладыженской [Лад70], Роджером Темамом [Тет83] Чарльзом Дерингом и Джоном Гиббоном [DG94].
Важные результаты получены в работах [FT89], [CF88], [CL95), [Ser62].
Сильное развитие получила в последнее время, ввиду некоторых упрощений, двумерная теория. Первые важные результаты были получены еще Жаном Лерэ [Ler33], затем в работе [McG67j была доказана глобальная теорема существования для достаточно широкого класса начальных данных. После этого, в работах [GK88], [GM088] класс начальных данных был значительно расширен и была исследована асимптотика решения на больших временах.
Наиболее полное изложение всех этих результатов приведено в работе [ВА94]. Важно, как с точки зрения новой техники, так и но причине существенных результатов, следует упомянуть также и богатый пласт следующих работ: [WG01], BG96j ILP59],IBA02, [Сар94], 1Виш78]. Последние результаты.
В статье [MS99] приведено элементарное доказательство теоремы существования и с-динствеппости для периодических граничных условий. С этого момента, наверное н правильно начать отсчет топ техники, которая используется в данной работе.
В статьях [Siu05b],[Sin05c], [BaxOla] и [SinOua] изложены результаты применения этой техники к проблеме доказательства теоремы существования решения задачи Коши для трехмерной системы Навье-Стокса .
Целью настоящей работы является развитие этой техники и применение со к двумерной задаче, а также к задаче общей размерности. Основные результаты этой работы изложены в статьях [ABD05], [АрнСМЬ] и (АрпОо].
Общие сведения и предварительные замечания. В этой работе мы будем использовать следующие общепринятые обозначения. Ъ — поле целых чисел. R — ноле вещественных чисел. R+ кольцо неотрицательных вещественных чисел {х є R х 0}. С — поле комплексных чисел [z = а + Ы \ а, Ъ є R}, где і — мнимая единица. M.d d- мерное евклидово пространство, d е Z, d 2; {х — (xi,.. . ,x(j) xi,... ,xd Є R} d . со скалярным произведением (x, у) = P xji/j и нормой ]x = л/(х, x) Cd — d-мерное комплексное пространство {a + Ы j a, b є Rd}. Ll — пространство интегрируемых функций с нормой /[z,i = /[i = J\f(x)\dx. L2 — пространство квадратично суммируемых функций с нормой \\/\\ = ІІ/ІІ2 = H2{x)dx. L — пространство равномерно ограниченных функций с нормой /L = ]/эо = sup/(a:)
На протяжении этой работы нам встретятся и другие, более специальные объекты. Но для удобства чтении, чтобы не загромождать первые страницы мы будем вводить новые обозначения непосредственно перед тем результатом, где они будут использоваться.
Буквами В с различными нижними индексами мы будем обозначать различные константы, встречающиеся в ходе доказательств, точные значения которых не будут играть существенной роли в аргументации.
Доказательства теорем 1.3 и 1.4
Первые результаты о существовании и единственности задачи Копій для системы Навье-Стокса па R2 были доказаны в [Lei 33]. Задача (7) — (3) для вихря впервые, видимо, рассматривалась в [McG67], где была получена следующая теорема существования и единственности.
Теорема 3.1 Пусть 0, Ll(R2) П LDO(3R2), и все вторые производные UQ равномерно гёлъдсровы в Ш2 с некоторым показателем А 0. Пусть также Т О таково, что f Є Ll(QT) П L(QT), где QT = R2 X [0,T] и f локально гёльдерова с тем же показателем А по пространственным переменным при любом t [0,2""]- Тогда существует ограниченное классическое решение ш задачи Коши (7) на [0,Т]. Все производные решения, входящие в постановку задачи Коши, ограничены и непрерывны на Qj. Это решение единственно в классе функций, рост которых на бесконечности ограничен некоторой экспонентой (более точно — в тихоновском классе единственности). Кроме того, sup [11 (-,011 ( ) + ІИ-,0IUi(R )] ll ollL- j + ll olk j+TH/ll fQ + ll/JlLi ), (Є[0,Т)
Этот результат позволяет рассматривать однозначно определённое глобальное (т.е. заданное на R+) решение ш. Существование и единственность решения были также доказаны и при менее ограничительных условиях (см., например, [ВА94], [BG96], [GM088], [Kat94]).
Основные результаты данной работы связаны с изучением регулярности решения (j(x,t) в терминах его преобразования Фурье в условиях теоремы 3.1. Мы переносим результаты о регулярности и технику со случая системы на двумерном торе, рассматривавшейся в [MS99], на случай непериодических решений на R2. В этом пункте мы формулируем основные результаты, а доказательства вынесены в пункт 2.
Чтобы сформулировать главную теорему работы, введём для произвольной функции / : R2 R обозначения: l/U« = sup--—К - гп л 0,7 0. 1 17 jfc (1Л \k\- )c""\h\ l/k = /U 7 0. Теорема 3.2 Пусть начальное условие та и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы 3.1. Пусть кроме mono при некотором 7 О выполнено ро7 со и при некоторых а О, С/ 0 и всех t 0 выполнено /( ,)І7/» = Cj. Тогда существуют неубывающие положительные при t 0 функции /?(() к D(t) такие, что решение и задачи Коиш (7) с начальным условием шо удовлетворяет неравенству PM)Uo o(). При этом существует время Т 0 такое, что функция fi{t) постоянна при t Т, а функцию D[t) мооїсио выбрать линейной при t Т. В отстутствис внешней силы функцию D(t) можно выбрать постоянной при t Т. Замечание 1 Если в условии этой теоремы -у 4, то условия теоремы 3.1 выполнены автоматически. Это замечание относится и к вспомогательным теоремам 3.3—3.5, приводимым ниже.
Замечание 2 Таким образом, если преобразование Фурье начального данного убывает степенным образом при Jfc — со, то в любой положительный момент времени преобразование Фурье решения убывает на бесконечности уже экспоненциально, то есть само решение аналогично.
Доказательство теоремы 3.2 основано на изучении системы уравнений, описывающих эволюцию преобразования Фурье вихря: 2 -2 = -и 12й( , 0+ - / ( . t)u,(k-it t) p-di + j(k,t). (3.1)
Доказательство теоремы 3.2 будет проведено в несколько этапов. Сначала мы получим следующий результат (подробное доказательство проведено в пункте 2) об инвариантности множества функций, убывающих степенным образом па бесконечности, под действием динамики (7).
Теорема 3.3 Пусть начальное условие и?ц и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы 3.1, а кроме того при некотором 7 О выполнено ро7 со, а при всех і 0 выполнено /(-, t)\y С/ для некоторой константы С/ 0. Тогда существу-ет функция D(t) такал, что решение w задает Коти (7) с начальным условием &Q удовлетворяет неравенству ](-,) 7 D{t) при любом t 0. Яри этом D(t) можно выбрать линейно растущей, а если внешняя сила нулевая, то D(t) можно выбрать постоянной.
Затем, пользуясь тем же методом и подходящими заменами переменных, мы докажем теоремы 3.4 и 3.5, из которых легко следует теорема 3.2. В пункте 2 даны наброски доказательств и указаны модификации доказательства теоремы 3.3, необходимые для вывода этих результатов.
Разложение решения в ряд по степеням параметра А. Диаграммы
В работе [MS99] в доказательстве аналогичных результатов для системы Навье-Стокса на двумерном торе существенную роль играла энстрофийпая оценка. В нашем случае эта оценка неверна, однако следующее утверждение, которое показывает, и частности, что рост энстрофци при t —» сю происходит исключительно за счёт роста преобразования Фурье вихря в окрестности нуля, может служить её аналогом. Мы можем обойтись без этого факта при доказательстве остальных результатов данной работы, но тем не менее мы приводим эту теорему здесь, а её доказательство в пункте 2 для полноты картины. Обозначим r(t) = / \й)(к, t)\2dk, г 0, t 0. Теорема 3.6 Пусть энстрофия в начальный момент времени конечна: 0(0)= і \й(к, Qtfdk оо, тогда при любом г 0 функция Qr(t) ограничена по t на ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.6: Заметим, что поскольку и{х, t) Є Ш. при всех х и t, то ш{к, t) = йі{ к, t). Имеем
Заметим теперь, что под первым интегралом стоит нечетная функция. Действитель по, замена А: —к лишь меняет знак ядра ——— и ни меняет подынтегральный член. г\ Поэтому, в силу того, что интеграл берется по симметричной области, он равен нулю. Тогда имеем - = -2v J fc2w(fc, t)\2dk 4- І (5(Л, 0, w(fc, t))dk Оценив в нервом интеграле \к\2 1 и применив для второго интеграла неравенство Минковского, а затем Коши - Буияковского - Шварца, получим J \й{к, t)\4k-2ur2 ( \U)(k, t)\2dk !М 1 Заметив, что / J \g{k, t)\2dk \\g{k, Olk i окончательно имеем dVt \\g{k,t)\\L, vt-2uVt Доказательство закончено. D Глава 4 Численный счет.
В этой главе представлен алгоритм, реализующий численное решение задачи Конш для системы (5)-(4) в случае d — 3. Рассматривается задача Конш с начальными данными, принадлежащими пространству Ф„, 2 а 3. В этом случае, из результатов статьи {SinOoc], для решения vA(k, t) существует разложение в ряд vA(k,t) = A (4.1) t о Р 1 где Л = As J i . И этот ряд является экспоненциально сходящимся на отрезке [0,Т], где Т удовлетворяет соотношению АТ const. Для функции hp(k,t) имеют место следующие соотношения A2sifh(k,s) = ІА2\к\п f « f к, с(к - к\ 0) Ркс(к , Q)c- -vi2- W2 dk \к-к \ \к \а / sf dsi l Jo JR AJSh2{k,s) = iA -\k\a к, }ц(к - к , Si) Ркс(к , 0) с-(—Ol -fc l2- !2 ,m \к-к \« -\k \« + / s$ds2 Jo Ун3 к, с{к - к , 0) Рк1ц {к\ s2) е \ь-ь \2-( - г)\Ур dk \k-k \n \k \" Ґ .r » f / s2 2 ds2 Jo JR + Ap+ls hp{k,s) = iAp+l \к\ы J s dsy Uo k, V;(k - к , sx) Pkc(k , o)e- s- l -fcT- [fc P dk \k-k \n -l l" k,c(k - jfc ,0) Pkhp-i(k\s2)c- -k \ -(«- Pdk \k k \a \k \" + E f dsi [S ds2 n.P2 i JQ JO Р1+І 2=Р_1 f k,hp,(k-k ,Sl) PkhP2(kf,s2)e-( -s k-k -(s-s 2dk 1 Описание алгоритма.
Под численным решением задачи Коши мы будем понимать набор значений функции в узлах «-мерной решетки в моменты времени вида -г-, п = 1,..., JV. Число N является внутренним параметром алгоритма и задается в начале работы программы.
Поскольку из результатов статьи [Siи05с] следует инвариантность относительно оператора решения пространств Ф/Зі то и размеры решетки устанавливаются в начале и являются внутренними параметрами алгоритма.
Начальные данные могут быть заданы как с помощью встроенной функции, так и набором значений в узлах решетки. Используются следующие обозначения є — точность вычисления значений функции, int точность вычисления слагаемого в интегральной сумме, й,, — радиус окрестности нуля, внутри которой значения функций интерполируются по закону - г Rmax радиус окрестности пуля, вне которой значения функций интерполируются по закону Jp Л/ — количество точек разбиения по каждой из координат, Щпіп Радиус окрестности нуля, внутри которой интегрируемая особенность считается аналитически, Rax Радиус окрестности, вне которой интеграл берется аналитически.
Основные объекты. 1. Заводится объект grid — трехмерная решетка, grid реализуется как массив координат узловых точек
Координаты узловых точек решетки вычисляются но формулам p[i,j,k].x = k(Rmax - Rmin)/Nb\n(Tr{-l/2 + j/N))cos{ir{2i/N)) p[iJ,k].y = k{Rmax - Rmin)/Nsm(Tr( l/2 + j/N))sm{-(2i/N)) p[i,j, k].z = k{R„iax - Rmin)/Ncos(n(-l/2 + j/N)) 2. Значение функции hi(t,k) в точках решетки вычисляется по формуле Лі(t,ft) = e-l l2(c0(fc) + Pk f{kiC0(k - 1))с0(1)е Ч- -1[ЧсіІ и3 t. Значение функции hp(t,k), где р 1 вычисляется рекуррентпо но формуле t hp(t, к) = Є М Co(k) + T,P J Sl 2 J 6 2 " / E3 (k,hpi(si,k - 0)hp-Pi( iO -i2(t-aa)-fc-ng(i-ai) ,, \l\«\k-l\« Пошаговое описание алгоритма. 1. Задается начальное данное и ииде внутренней функции . 2. Вычисляется такое значение р, при котором экспоненциально сходящийся ряд обеспечивает заданную точность вычислений. 3. Вычисляются значения функции hi и точках решетки grid. 4. С помощью реккурептного вызова процедуры, вычисляются значения функций hp в точках решетки grid. 5. Вычисляется сумма ряда /Xphp(s,k).
Диаграммы. Оценки коэффициентов
Первые результаты о существовании и единственности задачи Копій для системы Навье-Стокса па R2 были доказаны в [Lei 33]. Задача (7) — (3) для вихря впервые, видимо, рассматривалась в [McG67], где была получена следующая теорема существования и единственности.
Теорема 3.1 Пусть 0, Ll(R2) П LDO(3R2), и все вторые производные UQ равномерно гёлъдсровы в Ш2 с некоторым показателем А 0. Пусть также Т О таково, что f Є Ll(QT) П L(QT), где QT = R2 X [0,T] и f локально гёльдерова с тем же показателем А по пространственным переменным при любом t [0,2""]- Тогда существует ограниченное классическое решение ш задачи Коши (7) на [0,Т]. Все производные решения, входящие в постановку задачи Коши, ограничены и непрерывны на Qj. Это решение единственно в классе функций, рост которых на бесконечности ограничен некоторой экспонентой (более точно — в тихоновском классе единственности). Кроме того, sup [11 (-,011 ( ) + ІИ-,0IUi(R )] ll ollL- j + ll olk j+TH/ll fQ + ll/JlLi ), (Є[0,Т)
Этот результат позволяет рассматривать однозначно определённое глобальное (т.е. заданное на R+) решение ш. Существование и единственность решения были также доказаны и при менее ограничительных условиях (см., например, [ВА94], [BG96], [GM088], [Kat94]).
Основные результаты данной работы связаны с изучением регулярности решения (j(x,t) в терминах его преобразования Фурье в условиях теоремы 3.1. Мы переносим результаты о регулярности и технику со случая системы на двумерном торе, рассматривавшейся в [MS99], на случай непериодических решений на R2. В этом пункте мы формулируем основные результаты, а доказательства вынесены в пункт 2.
Чтобы сформулировать главную теорему работы, введём для произвольной функции / : R2 — R обозначения: l/U« = sup--—К - гп л 0,7 0. 1 17 jfc (1Л \k\- )c""\h\ l/k = /U 7 0. Теорема 3.2 Пусть начальное условие та и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы 3.1. Пусть кроме mono при некотором 7 О выполнено ро7 со и при некоторых а О, С/ 0 и всех t 0 выполнено /( ,)І7/» = Cj. Тогда существуют неубывающие положительные при t 0 функции /?(() к D(t) такие, что решение и задачи Коиш (7) с начальным условием шо удовлетворяет неравенству PM)Uo o(). При этом существует время Т 0 такое, что функция fi{t) постоянна при t Т, а функцию D[t) мооїсио выбрать линейной при t Т. В отстутствис внешней силы функцию D(t) можно выбрать постоянной при t Т. Замечание 1 Если в условии этой теоремы -у 4, то условия теоремы 3.1 выполнены автоматически. Это замечание относится и к вспомогательным теоремам 3.3—3.5, приводимым ниже. Замечание 2 Таким образом, если преобразование Фурье начального данного убывает степенным образом при Jfc — со, то в любой положительный момент времени преобразование Фурье решения убывает на бесконечности уже экспоненциально, то есть само решение аналогично. Доказательство теоремы 3.2 основано на изучении системы уравнений, описывающих эволюцию преобразования Фурье вихря: 2 -2 = -и 12й( , 0+ - / ( . t)u,(k-it t) p-di + j(k,t). (3.1) Доказательство теоремы 3.2 будет проведено в несколько этапов. Сначала мы получим следующий результат (подробное доказательство проведено в пункте 2) об инвариантности множества функций, убывающих степенным образом па бесконечности, под действием динамики (7). Теорема 3.3 Пусть начальное условие и?ц и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы 3.1, а кроме того при некотором 7 О выполнено ро7 со, а при всех і 0 выполнено /(-, t)\y С/ для некоторой константы С/ 0. Тогда существу-ет функция D(t) такал, что решение w задает Коти (7) с начальным условием &Q удовлетворяет неравенству ](-,) 7 D{t) при любом t 0. Яри этом D(t) можно выбрать линейно растущей, а если внешняя сила нулевая, то D(t) можно выбрать постоянной. Затем, пользуясь тем же методом и подходящими заменами переменных, мы докажем теоремы 3.4 и 3.5, из которых легко следует теорема 3.2. В пункте 2 даны наброски доказательств и указаны модификации доказательства теоремы 3.3, необходимые для вывода этих результатов. Теорема 3.4 Пусть начальное условие t o и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы 3.1. Пусть также при некотором 7 0 выполнено ро7, оо и при некоторых а, С/ 0 и всех t выпол непо /(-, )7,fl С/. Тогда существует функция D(t) такая, что решение и задачи Каши (7) с начальным условием шо удовлетворяет неравенству p(-,t)7)„ D(t) при любом t 0. При этом D(t) можно выбрать линейно растущей, а если внешняя сила пулевая, то D(t) можно выбрать постоянной. Теорема 3.5 Пусть начальное условие ши и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы 3.1. Пусть также при некотором 7 О выполнено \3o\-, оа и при некотором о 0 и всех t выполнено !/(, )7,„ Cf. Тогда существуют такие аремя Т 0 и неубывающая функция D(t), что при t Є [0,Т] решение ш задачи Кохии (7) с начальным условием ш0 удовлетворяет неравенству \uj(-,t)\ tlt D(t).
Похожие диссертации на Качественные свойства решений системы Навье-Стокса
