Содержание к диссертации
Введение
1 Решения с несколькими эффективными космологиче скими постоянными, фантомная космология и сингуляр ности будущего 15
1.1 Введение 15
1.2 Сингулярности будущего в фантомной космологии 17
1.3 Идеальная жидкость приводящая к нескольким ACDM космологиям
1.3.1 Пример 1: непериодическое поведение темной жидкости 21
1.3.2 Пример 2: Периодическое поведение жидкости
1.4 Космологическая реконструкция для модели с одним скаляром 33
1.5 Модифицированные теории гравитации типа F(R,Q) в фантомной космологии
1.5.1 [R + f(Q)} гравитация 40
1.5.2 f{R, Q) гравитация 41
1.5.3 Модель маленького разрыва 42
1.5.4 Степенное решение 46
1.5.5 Решение де Ситтера 49
1.6 Заключение 50
2 Модели с лагранжевыми множителями в модифициро ванных теориях гравитации типа Гаусса-Боннэ 52
2.1 Введение 52
2.2 Гравитация Гаусса-Бонны со скалярным полем в присутствии лагранжевых множителей 2.2.1 Случай J t 56
2.2.2 Случай ф In t
2.3 Реконструкция в теории гравитации Гаусса-Бонне со скалярным полем при наличии Лагранжева множителя 64
2.3.1 Случай немонотонных функций времени 67
2.3.2 Анализ динамической системы уравнений и особые точки 70
2.4 F(R, G) гравитация с лагранжевым множителем Гаусса Боннэ 72
2.4.1 Космологические решения для F(R,G) гравитации 74
2.5 Заключение 79
3 Циклическая космология в модифицированных теориях гравитации типа F(R) и F{Q) 81
3.1 Введение 81
3.2 Реконструкция в F{R) гравитации 83
3.3 Циклическая космология в F{R) гравитации
3.3.1 Экспоненциальная модель 84
3.3.2 Степенная модель 86
3.4 Устойчивость решений 89
3.4.1 Устойчивость экспоненциальной модели 90
3.4.2 Устойчивость степенной модели 90
3.5 Объединение в F{R) циклической гравитации инфляции и позднего ускоренного расширения 91
3.5.1 Модель суммы экспонент 91
3.5.2 Устойчивость модели суммы экспонент 93
3.6 Экспоненциальная форма масштабного фактора для ненулевой пространственной кривизны в F{R) гравита ции 94
3.6.1 Полиномиальная модель второго порядка 95
3.7 Экспоненциальная форма масштабного фактора в случае к = 0 100
3.7.1 Реконструкция F{R) гравитации 100
3.7.2 Устойчивость решений 1 3.8 F(Q) теории гравитации 106
3.9 Реконтсрукция в рамках F(Q) гравитации 107
3.9.1 Устойчивость решений 110
3.10 Примеры циклической космологии для гравитации типа F{Q) 112
3.11 Модель суммы экспонент 116
3.12 Объединение циклической космологии с поздним космическим ускорением 118
3.13 Заключение 120
Модифицированные теории гравитации типа Борна Инфельда 122
4.1 Введение 122
4.2 Гравитация Борна-Инфельда 124
4.3 Гравитация типа Борна-Инфельда с f(R) в формализме Палатини 127
4.4 Вакуумный случай 128
4.5 Конформный подход 130
4.5.1 Вселенная Маленького разрыва 133
4.5.2 Степенная эволюция 135
4.5.3 Космология типа ACDM 138
4.5.4 Объединение позднего ускорения с инфляцией: периодический случай 139
4.5.5 Объединение позднего ускорения с инфляцией: непериодический случай 142
4.5.6 Лагранжиан вида \/\д і/ + nR i T) + agllvF{R)\ в конформном подходе 1 4.6 Уравнения при наличии материи 145
4.7 Модель с идеальной жидкостью 148
4.7.1 Общее выражения для р и Р 149
4.8 Космология 150
4.8.1 Модель f(R) = R2 151
4.9 Заключение 157
Многомерные теории в модифицированных теориях гравитации 161
5.1 Введение 161
5.2 Теория Лавлока 162
5.3 Шестимерная гравитация Эйнштейна-Гаусса-Боннэ 165
5.3.1 Уравнения движения 165
5.3.2 СлучайєХ) 167
5.3.3 Случайє 0 170
5.3.4 Случай є = 0 172
5.4 Анизотропная космология во втором порядке теории Лав лока 173
5.4.1 Степенное решение для пустого пространства 173
5.4.2 Степенное решение для пространства, заполненного идеальной жидкостью
5.5 Космологические решения для третьего порядка теории Лавлока 178
5.6 Теория Эйнштейна-Гаусса-Бонне с дилатоном 183
5.7 Вселенная типа Кантовского-Сакса в бранной космологии
5.7.1 Уравнения движения 198
5.7.2 Случай 1. Четырехмерная теория Эйнштейна 199
5.7.3 Пространство типа Кантовского-Сакса в бранной Вселенной 201
5.8 Заключение 204
6 Космологические решения со спинорными ПОЛЯМИ 205
6.1 Уравнения Эйнштена-Вейля в формализме Ньюмена-Пенроуза 205
6.2 Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для I типа по классификации Бианки 209
6.3 Космологическое решение уравнения Эйнштена-Вейля
для первого типа по классификации Бианки 215
6.4 Космологические решения для спинорных полей и неми
нимально взаимодействующих скалярных полей 226
6.4.1 Реконструкция решений 230
6.5 Заключение 234
7 Заключение 236
Литература
- Модифицированные теории гравитации типа F(R,Q) в фантомной космологии
- Реконструкция в теории гравитации Гаусса-Бонне со скалярным полем при наличии Лагранжева множителя
- Анализ динамической системы уравнений и особые точки
- Экспоненциальная форма масштабного фактора для ненулевой пространственной кривизны в F{R) гравита ции
Модифицированные теории гравитации типа F(R,Q) в фантомной космологии
Фантомный случай (фантомная темная энергия) определяется следующим значением параметра уравнения состояния —w — 1 и является одним из наиболее интересных, но плохо понимаемым с теоретической точки зрения. Фантомное поле нарушает все четыре условия сохранения энергии, оно нестабильно с точки зрения квантовой теории, хотя по-прежнему может быть стабильным в классической космологии. Необходимо отметить, что экспериментальное значение параметра уравнения состояния определено с недостаточной точностью, чтобы можно было однозначно определить фазу, в которой наша Вселенная находится. На сегодняшний день значение этого параметра лежит в следующих пределах-w = —1.04 0 10. Таким образом, интерес к изучению фантомной космологии оправдан, несмотря на возникающие проблемы.
Очень неприятное свойство фантомной темной энергии - это появление «Большого разрыва» - сингулярности в будущем [55,56], когда масштабный фактор обращается в бесконечность за конечное время. Существует несколько менее проблемных сингулярностей будущего, например, сингулярность типа II [57], когда масштабный фактор имеет ограниченное значение в момент сингулярности и т.д. Однако, как показали недавние исследования, то, что параметр уравнения состояния меньше минус единицы, оказывается не достаточным для возникновения сингулярности. Прежде всего следует отметить тот факт, что переходы между различными космологиями возможны. Кроме того, можно легко построить модели, в которых и; асимптотически стремится к " -1", находясь при этом все время в фантомной фазе, а плотность энергии при этом будет увеличиваться со временем или остается постоянной, но сингулярности будущего не возникает. Такие модели были изучены в работах [55-61] (см. обзор [62], а для ознакомления с подробной классификацией сингулярностей - [58,59]).
Сингулярности возникают тогда, когда для конечного ts(= constant t), космологические параметры такие, как масштабный фактор a(t), эффективная (общая) плотность энергии ред- и давление Peff описывающие Вселенную, и высшие производные параметра Хаббла -расходятся. Сейчас вспомним несколько основных положений. Сингулярности будущего имеют свою классификацию [58]. В пределе можно выделить следующие классы сингулярностей:
Конечно, особенности обычно не приветствуются в физике. Поэтому достаточно активно рассматриваются в литературе и другие возможности для эволюции нашей Вселенной. В работах [63-65] было показано, что если космическая плотность энергии будет оставаться постоянной или монотонно возрастать в будущем, то все возможные типы эволюции нашей Вселенной можно разделить на четыре категории, в зависимости от асимптотики параметра Хаббла Н [63], а именно: Н является константой. Видно, что сингулярность - не единственно возможный итог эволюции нашей Вселенной в фантомной фазе. Обе модели - Маленький разрыв и псевдо-разрыв несингулярны и, следовательно, выходят за пределы классификации сингулярностей [58]. По аналогии с большим разрывом, малый разрыв приводит к распаду связанных структур, но силы темной энергии недостаточно, чтобы разорвать пространство (в отличие от большого разрыва). Конечно, в данном случае стоит говорить о распаде только достаточно крупных объектов. Так как на небольших, по космологическим понятиям, расстояниях требуется рассмотрение уравнений движения в рамках иных моделей, например, сферически-симметричные объекты. Но, тем не менее, мы будем продолжать говорить об эффекте распада.
Рассмотрим этот эффект более подробно. При расширении Вселенной релятивистское ускорение между двумя точками, находящимися на расстоянии /, определяется как I d/а. Если имеется частица массы т в каждой из этих точек, тогда мы наблюдаем инерционные силы между этими частицами, которые можно найти из следующего выражения [66,67]: Fmer = mla/a = ml(H + H2y (1.4) Если предположить, что две эти частицы связывает некая сила F, в нашем случае гравитационное взаимодействие, то если Finer больше, чем F, то две эти частицы распадутся. Этот разрыв создается ускоренным расширением нашей Вселенной. Мы видим, что эта ситуация будет реализована, если Н или/и Н стремятся к бесконечности. Гравитационные силы, удерживающие структуры в связанном состоянии, посчитать достаточно просто, например, сила, удерживающая от распада Солнечную систему, имеет следующий порядок - F;mer 1023. Зная гравитационные силы, можно найти из выражения (1.4) время через которое связанная структура распадется.
С другой стороны, псевдо-разрыв приводит к распаду связанных структур, которые удерживаются вместе связующей силой на уровне или ниже определенного порогового значения, и, следовательно, вполне возможно, что только некоторые связанные структуры распадутся, в то время как другие не диссоциируют (в зависимости от параметры модели) [63]. На самом деле, маленький разрыв является промежуточным случаем между моделью с космологической постоянной и большим разрывом [64], в то время как псевдо-разрыв является промежуточным случаем между моделью с космологической постоянной и малым разрывом [63].
Стоит отметить, что и большой разрыв и малый разрыв, и псевдо-разрыв возникают из предположения, что плотность темной энергии р(а) монотонно возрастает [63-65], то есть темная энергия является фантомной (w —1).
Существует еще одна модель - квази-разрыв [76]. В данной модели вначале Вселенная находится в фантомной фазе и часть связанных структур может распасться, а затем Вселенная переходит в нефантомную фазу - параметр уравнения состояния становится больше, чем минус единица. В этом случае, уже распавшиеся структуры имеют возможности для рекомбинации.
Реконструкция в теории гравитации Гаусса-Бонне со скалярным полем при наличии Лагранжева множителя
Мы видим, что лагранжевы множители помогают генерировать новые космологических решений. Для моделей без них мы находим, что потенциал пропорционален квадрату времени, в то время как скалярная функция перед инвариантом Гаусса-Бонне обратно пропорциональна времени. В модели с множителем Лагранжа мы получаем новые решения (2.35), (2.38), (2.39) и (2.40). Во всех этих случаях зависимость коэффициента перед инвариантом Гаусса-Бонне имеет достаточно простой и легко объяснимый вид, а скалярный потенциал часто показывает ту же временную зависимость (V 1/t ). Следует также отметить, что могут возникнуть фантомные космологии для канонического скалярного поля ф. Только для решений (2.38) мы получаем ограничения на ho (для V, є и А ф 0).
Без множителя Лагранжа скалярный потенциал растет со временем как t2 (если ho 0), а функция є уменьшается как І/t2, или наоборот, если ho 0. В присутствии множителя Лагранжа можно получить ровно то же поведение, а также новые решения: є и V растут (для ho 0), или другой случай, когда потенциал уменьшается как 1/t2, а є растет как 3_2/г (для ho 0) или уменьшается (для ho 0). Рассмотрим случай с / без множителем Лагранжа, но с тем же скалярным потенциалом.
Данная модель относиться к моделям типа большого разрыва и время распада объектов размером с Солнечную систему для модели (2.27) имеет следующее значение ta = 376.27 миллиардов лет. Таким образом, наличие множителя Лагранжа может привести к генерации новых космологических решений по сравнению с скалярной теорией гравитации Гаусса-Бонне без него. Причина этого различия будет рассмотрена ниже.
Реконструкция в теории гравитации Гаусса-Бонне со скалярным полем при наличии Лагранжева множителя
В этом разделе мы обсудим общую схему реконструкции теории гравитации Гаусса-Бонне со скалярным полем при наличии Лагранжева множителя. Выберем функцию ио{ф) равную 1. Тогда уравнения Фриднана (2.6-2.7) можно переписать в виде:
Переопределим t через f(4 ) и H через g (t), где /ид- некоторые неизвестные функции. Эти функции определяются из уравнения Фридмана. Теперь мы рассмотрим модель, где У(ф) и є{ф) могут быть выражены в терминах двух функций /ид:
Таким образом, мы видим, что любая монотонная космология, определяемая функцией Н = д {ф) в модели (2.64) с потенциалом (2.49), может быть реализована в том числе моделью, демонстрирующей переход от нефантомной к фантомной фазе без введения фантомного скалярного поля. Тем не менее, мы должны отметить, что проблемы могут возникнуть для немонотонной H(t). Такую ситуацию мы обсудим в следующем разделе. В качестве примера рассмотрим модель (2.26). Для нее можно записать: где штрих является производной по времени ( = d/dt). Теперь мы выбираем множитель Лагранжа, как в уравнениях (2.40). В этом случае потенциал и функция є состоят из двух слагаемых, где первое слагаемое - значение в отсутствии множителя Лагранжа. Для є - это слагаемое имеет следующий вид:
Приведенные выше примеры соответствуют монотонному поведению от времени для параметра Хаббла и скалярного поля. Тем не менее, из уравнений (2.49) и (2.50) можно получить решения и для немонотонного поведения (например, Н = 0 и ф = 0 для некоторого значения времени t). Если мы рассмотрим первоначальные уравнения (2.42) и (2.43), мы видим, что выражения подобные 1/Н и 1/ф не появляются. Проблема возникает, когда мы выражаем V и є в терминах Для решения вопроса о немонотонном поведении и для построения соответствующего примера рассмотрим следующий вид параметра Хаб-бла
Это означает, что Вселенная находится в не-фантомой фазе при/: to/2 и в фантомной фазе при Имеет место особенность типа большого разрыва при t = to и точка, где можно определить эффективную космологическую постоянную при t = to/2 (H(to/2) = 0). Возможно два различных типа скалярного поля:
Для этой точки возникают достаточно сложные уравнения на х и у (х = 0} ут О), но2 = 0иЛ = Лі- постояная. Более того, можно явно найти ви /І: /І = -- - Если Л не равно нулю (в этом случае необходимо добавить еще одно уравнения Н = цН к системе (2.62)), в этом случае точка А не изменится. Однако появится новая точка А1, для которой Н = ± 4-. Это означает, что существует, по крайней мере, еще одна точка, в которой все переменные не равны нулю. Видно, что наличие Лагранжева множителя добавляет новые особые точки. Кроме того, мы можем получить иное значение параметра уравнения
Анализ динамической системы уравнений и особые точки
Заметим также, что фиксируя у функции F_ (R) постоянные Сі, Л, о", т, получим центральное семейство кривых, абсцисса RQ ТОЧКИ пересечения кривых данного семейства принадлежит области 6Л R 12 А и определяется из уравнения
Аналогичным образом, изменяя параметры т или г у функции i7!}. (-R), получим центральное семейство кривых, абсцисса RQ которых также принадлежит области бЛ2 R 12Л2. В данном случае значение Ro определяется из уравнения
Таким образом, мы провели реконструкцию F(R) гравитации для масштабного фактора в виде (3.45). Было построено несколько типов функции F(R), которые приводят к циклической космологии. На рисунке 3.4 изображено поведение F (R) (R 12А2) как функция от R со следующим набором параметров:
Изучим теперь устойчивость полученных моделей. Существует ряд проблем, связанных с большим произволом в выборе коэффициентов и громоздкими соотношениями, возникающими при вычислениях. Поэтому мы ограничимся отдельным примером: мы рассмотрим устойчивость решения F_ (R) для одного конкретного вида метрики.
В результате если 7V 0.251224 для первого случая, а N 0.0701889 для второго, то оба условия устойчивости будут выполнены. Так как значение N значительно превышает единицу, эти условия будут выполняться. И мы видим, что для масштабного фактора (3.45), наша модель определяемая функцией F_ (R) - устойчива.
На рисунке 3.5 мы проиллюстрировали поведение параметра Хаббла (3.71) для А = 1 около точки отскока t = 0. Из этого рисунка видно, что до отскока (t 0) - Н 0 и после него (t 0) 105
В дальнейшем мы будем считать, что материя в выражении (3.72) отсутствует, то есть будем работать только с гравитационной частью действия. Рассмотрим случай, когда масштабный фактор a(t) имеет вид линейной комбинации двух экспонент
Для реконструкции космологических моделей в рамках F(g) гравитации мы будем использовать метод, аналог которого мы использовали в предыдущем разделе для F{R) гравитации [146,147, 164]. Мы снова введем функции P{t) и Q{t) от скалярного поля , которое будет отождествлено с космологическим временем, тогда действие (3.72)
Варьируя это действие по отношению к t, мы получим: (dP{t)/dt) Q + (dQ(t)/dt) = 0. Решая эти уравнения для , мы найдем ее вид t = t{Q). Подставляя найденное значение t = t{Q) в
Если масштабный фактор будет иметь вид (3.77), то общее решение (3.81) определяется условиями, накладываемыми на параметры маштабного фактора а и т, и может быть получено для двух принципиально различных случаев. Случай 1: Л 0, а 0, г 0.
Здесь штрих обозначает производную по JV, мы можем использовать следующее выражение Q = 12g(N) (g (N) + 2g(N)) и рассматривать только гравитационную часть (то ecTb/)matter = 0). Представим решение уравнения (3.75) в виде д = go(N). Для того, чтобы изучить устойчивость нашего решения, мы рассмотрим следующее разложение около фонового решения - g(N) = go(N) + Sg(N), где 8g(N) - возмущение фонового решения. Подставляя g(N) в выражение (3.91), получим:
Можно показать, что существует No = 7Vo(c2,A), такое, что при всех N No выполнены оба условия устойчивости. Таким образом, для модели F{Q) = F\_ (Я) (3.86) с масштабным фактором (3.96) фоновое решение будет устойчивым.
Рассмотрим проблемы будущих сингулярностей [58,147] в F((j) гравитации, следуя работе [148]. Сингулярности возникают тогда, когда для конечного ts(= constant t) космологические параметры такие, как масштабный фактор a(t), эффективная (общая) плотность энергии peff, давление Pef[, или высшие производные параметра Хаббла расходятся. Классификация сингулярности будущего мы рассматривали в соотвествующей главе диссертации (смотри параграф 1.2).
Если Н = h/ (ts — t) при положительной постоянной h{ 0), то реконструкция для F((j) воспроизводит сингулярности типа большого разрыва и F(Q) = \Joh(l + h)/(l -Щу/Q + d {h+1)/4 + (і2Я, где d\ и (І2 - постоянные. Когда h = 1, мы находим, что F{G) = (v3/2J \/yln((Q), где ( 0) - положительная постоянная. В случае большого значения G, F(G) CyG -n(CG) с положительной постоянной ( 0), и, в конечном счете, происходит большой разрыв. То же самое следствие мы получаем для F{Q) ,VG\\±{C,GU + Gc), где и{ 0) и Qc - постоянные.
Изучим реконструкцию для F(G) гравитации, где циклическое поведение в ранней Вселенной и ускоренное расширение Вселенной в эпоху доминирования темной энергии могут происходить в рамках единой модели.
В уравнении (3.122) мы берем а = І/t2 для нормирующего времени t [31]. У нас также есть N = In а/а для а = 1 и, следовательно, Н = N. Из выражения (3.123) мы видим, что для t 0 параметр Хаб-бла должен быть отрицательный (Н 0), в то время как для t 0 - положительный (Н 0), так что около точки t = 0, а именно, для ранней Вселенной ей будет присуще циклическое поведение. На рисунке 3.6 показано поведение параметра Хаббла (3.123) для a = 1/tl = 1, где t = 1, около времени отскока t = 0. Можно наблюдать, что значение Н развивается от отрицательного до положительного, с развитием космологического времени t.
Экспоненциальная форма масштабного фактора для ненулевой пространственной кривизны в F{R) гравита ции
Нетрудно понять, что решение будет иметь вид q v = g v и к, = Л-1. В этом случае, модель Эддингтона совпадает с обычной теорией относительности в пустоте с космологической постоянной. Однако при данном подходе возникает проблема - отсутствие в модели материи. В работах [171-173] были предприняты попытки ввести материю в оригинальное действие Эддингтона. Рассматривалось гравитационное действие, взаимодействующее с материей - 7[д,Г,Ф], где Ф - это материальные поля. Метрика входила в данное действие без производных. Это позволяет выразить метрику в терминах материи Ф и связности Г. Затем полученное выражение для метрики подставляется в первоначальное действие / и получалось «чисто аффинное» действие / [Г,Ф]. Но динамика данной модели полностью повторяла динамику обычной метрической теории. И таким образом, подобная модель становилась полностью эквивалентной обычной эйнштейновской теории гравитации.
Сделаем несколько замечаний о теориях в рамках формализма Палатини. Интерес к ним обусловлен тем фактом, что формализм Палатний позволяет получать уравнения движения второго порядка, тогда как обычная метрическая теория приводит к уравнениям с высшими производными [170]. Это становится достаточно важным [174], так как сводит к минимуму количество дополнительных условий, накладываемых для поиска решений полевых уравнений. Например, в подходе Палатини, модель гравитации Борна-Инфельда [175] имеет ту же степень произвола, что и в обычной теории гравитации, что позволяет успешно избавляться от космических сингулярностей. Все это приводит нас к мысли о необходимости более подробного изучения подобных теорий, которые позволяют описывать эволюцию нашей Вселенной, избегая ряда проблем, возникающих в общей теории относительности, которые требуют введения дополнительных или внешних факторов.
Гравитация Борна-Инфельда является очень интересной отправной точкой для рассмотрения высоко-энергетических расширений общей теории относительности, так как подобные лагранжианы возникают в различных ситуациях фундаментальным образом, например, при переходе от нерелятивистского описания свободной точки-частицы к релятивистскому [176]. Лагранжиан типа Борна-Инфельда для описания электромагнитного поля хорошо согласуется с однопетливой версией суперсимметричной квантовой электродинамики [177]. Кроме того, лагранжианы, описывающие электромагнитное поле определенных D-бран также относятся к данному типу [178]. Все это привело к всплеску активности изучения в моделях Борна-Инфельда космологических сценариев [179-189], астрофизических аспектов [190,191], звездных структур [192-199], проблем космических сингулярностей [200,201], черных дыр [202], физики кротовых нор [203,204] и многого другого.
Рассмотрим классическую теорию Борна-Инфельда. В 30-ых годах прошлого века Борн и Инфельд [205] предложили модифицировать теорию Максвелла, чтобы устранить бесконечность энергии точечного заряда. Электродинамика Борна-Инфельда основывалась на лагранжиане: где g v - метрический тензор, a F v - тензор электромагнитного поля. В пределе слабого поля данный лагранжиан сводился к обычной теории Максвелла плюс небольшая поправка. Для сильных полей полевые уравнения существенно отличались от уравнений, полученных из теории Максвелла, и собственная энергия электрона в такой модели была конечной.
Несмотря на привлекательные свойства лагранжианов типа Борна-Инфельда, следует ожидать отклонения от этой базовой структуры, если предположить, что, например, некоторые симметрии могут быть нарушены. Это приведет нас к тому, что необходимо будет вводить какие-то условия, отличные от модели Борна-Инфельда. В частности, для гравитации интересно было бы рассмотреть низкоэнергетический предел таких теорий. Обратим внимание, что лагранжиан для гравитации Борна-Инфельда дает низкоэнергетическое пертурбативное расширение общей теории относительности как низший порядок с последующими квадратичными и более высокого порядка поправками с конкретными коэффициентами. Хотя мы и получим точные значения для определителей, неясно, как теория с различными коэффициентами перед слагаемыми для высоких энергий и для низкоэнергетических поправок может быть представлена в форме, пригодной для расчетов. В данной главе мы будем рассматривать действие типа Борна-Инфельда плюс часть, содержащая произвольную функцию от скалярной кривизны - f(R). Это позволит нам учесть другие члены, содержащие скалярную кривизну, которые могут возникнуть в подходе эффективного действия к теории гравитации.
Принимая космологический сценарий с идеальной жидкостью, мы предоставим алгоритм, который позволяет эффективно изучать теории, отличающиеся от стандартной типа Борна-Инфельда наличием функции f(R) полностью непертурбативным образом. Этот аспект является достаточно важным, так как уравнения поля в теории Палатний обычно включают алгебраические соотношения, с которыми нужно обращаться с осторожностью для того, чтобы не пропустить важную физическую информацию (смотри, например, обсуждение в введении следующей работы [207]).
Действительно, отсутствие сингулярности большого взрыва для циклической Вселенной и особенностей черных дыр связанных с червоточинами [202,203], в теории Палатини имеют непертурбативные свойства, которые не должны реагировать на линейные небольшие измене-
Здесь мы используем следующее обозначение Дш/ = det(AMZ/). Действие имеет немного иной вид, чем (4.5). Мы ввели новый параметре, в таком виде нам будет удобнее работать при наличии материи, чтобы можно было построить переход от теории Борна-Инфельда к обычной метрической теории. Для этого достаточно устремить є — 0, и лагранжиан Борна-Инфельда становится лагранжианом обычной теории гравитации, и мы приходим к обычной f(R) теории гравитации с лагранжианом LQ = —" Если а — 0, то мы получим обычную теорию Борна-Инфельда. Когда а — 0 и є — 0, то мы придем к обычной общей теории относительности. Следует еще раз отметить, что тензор Риччи - симметричный.
