Содержание к диссертации
Введение
1 Магнитное пересоединение и его роль в динамике магнитосферы Земли 18
1.1 Уравнения магнитной гидродинамики 18
1.2 Магнитное пересоединение и его основные свойства . 23
1.3 Пересоединение в магнитосфере Земли 29
1.3.1 Глобальная динамика магнитосферы 30
1.3.2 Признаки иересоединения в магничосфере Земли 35
1 4 Постановка задачи 39
2 Нестационарное пересоединение типа Петчека: прямая задача 41
2.1 Модель нестационарного пересоединения типа Петчека: качественная схема 41
2.2 Приближения модели 47
2.3 Решение в области віекания 50
2.3.1 Дифференциальное уравнение для век юра смещения в пространстве Фурье Лапласа . .50
2.3.2 Одномерное интегральное представление вектора смещения 56
2.3.3 Одномерное интегральное предсіавление возмущений магнитного ноля 61
Нестационарное пересоединение типа Петчека: обратная задача 69
3.1 Интегральное уравнение типа свертки для электрического поля пересоединения 69
3.2 Решение интегрального уравнения типа свертки 71
3.2 1 Некорректность обратной задачи и процедура регуляризации 73
3.2 2 Вычисление образа Лапласа интегрального ядра 77
3.3 Восстановление скорости пересоединения и положения X-линии . 83
3.4 Тестирование численного алгоритма 85
3.5 Решение обратной задачи в приближении несжимаемости 89
Применение метода восстановления скорости пересоединения и положения Х-линии к FTE-событиям 93
4.1 Применение метода к событиям в хвосіе магниюсферы 93
4.1.1 NFTE 26 Сентября 2005 94
4.1.2 NFTEs 8 Сентября 2002 103
4.2 Применение меюда к событиям на дневной магниюпаузе-FTEs 14 Февраля 2001 108
4 3 Обсуждение применимосги метода . . 113
Заключение 117
Приложение 119
Литература 127
- Признаки иересоединения в магничосфере Земли
- Дифференциальное уравнение для век юра смещения в пространстве Фурье Лапласа
- Восстановление скорости пересоединения и положения X-линии
- Применение меюда к событиям на дневной магниюпаузе-FTEs 14 Февраля 2001
Введение к работе
Настоящая диссеріация посвящена разработке дисіанционною меюда восстановления скорости пересоединения и положения Х-линии по спутниковым измерениям FTE-вариаций магнитного поля. Меюд основан на решении обратной задачи нестационарною магнитного иересоединения типа Петчска В работе получены решения для несжимаемой и сжимаемой плазмы в двумерной асимметричной геометрии Предложенный меюд применен к FTE-событиям в хвосте магнитосферы Земли и на дневной магнитопаузе Результаты применения меюда, те. воссшновленные значения скорости пересоединения и положения Х-линии, согласуются с характерными наблюдаемыми величинами.
Актуальность темы. Проблема магни і ного пересоединения одна из фундаментальных проблем физики плазмы По современным представлениям, пересоединение магнитных силовых линий лежит в основе таких явлений, как вспышки на Солнце [Прист, 1985] и звездах [Какова и Лившиц, 1986], взаимодейстие солнечного ветра с магнитосферой Земли [Акасофу и Чепмен, 1975; Пудовкин и Семенов, 1985] и других нланеї [Hones, 1984], магнитосферные суббури [Сергеев и Цыганенка, 1980; Coroniti, 1985], неустойчивости срыва в лабораторных плазменных уешновках [Кадомцев, 1988].
Магнитное пересоединение представляет собой перестройку топологии магнитного поля, в ходе которой магнитная энергия преобразуйся в кинеіическую и тепловую энергию плазмы. Процессы пересоединения реализуются в юковых слоях — областях, где сближаюкя магнитные поля с противоположными (или различающимися) направлениями Са-
ма по себе концепция магнитного пересоединения проста при определенных условиях силовые линии магнитного поля в плазме «рвуїся» и «пересоединяются» в ином порядке. Однако, чрезвычайное разнообразие проявлений, причем в плазменных средах с существенно различными па-рамеїрами, затрудняет построение общей теории пересоединения.
В магнитосфере Земли процессы пересоединения про і екаю г на дневной маїниюпаузе, чем обеспечивают взаимодействие магнитосферы с солнечным ветром, и в токовом слое хвоста, где они тесно связаны с инициацией взрывной фазы суббурь. Обычно пересоединение наблюдаеіся в виде кратковременных локализованных импульсов с характерной длительностью около 1 мин. В ходе отдельного импульса формируется изолированная трубка пересоединившегося магнитного потока, движущаяся вдоль юкового слоя со скоростью, превышающей скорость плазменных потоков в соседних с трубкой областях. В процессе своею движения трубка деформирует магнитные силовые линии вокруг себя и вьізьіваеі в окружающей среде характерные возмущения биполярную вариацию в нормальной к юковому слою компоненте магниіного ноля и одновременное отклонение в тангенциальной компоненте [Russell and Elphu, 1978] Трубки, несущие пересоединившийся магнитный поюк на дневной сюроне магниюеферы, а іакже связанные с ними возмущения, называют событиями переноса потока или FTE-событиями (Flux Transfer Events) Аналогичные трубки и возмущения на ночной сюроне носят название NFTE собьпий (Nightside Flux Transfer Events).
Анализ регистрируемых спутниками FTE-возмущений может дать информацию о геометрии пересоединившихся трубок и о процессе их формирования. Существует ряд меюдов, позволяющих воссіанавливаїь некоюрые параметры пересоединения. Так, рассматривая пересоединившуюся трубку как слабо наклонное 2D препятствие в плазменном потоке и моделируя деформации, возникающие вокруг і рубки, при помощи из-эшроиических продольных МГД (магиитогидродинамических) течений через указанное иреиятсівие, Walthour et al. [1993, 1994] предложили ме-юд, который позволяет воссіановиїь поперечный размер, форму, ориен-
тацию и скорость движения и рубки. Структуру магнитного поля в поперечном сечении трубки можно рассчитать при помощи техники GS реконструкции (Grad-Shafranov reconstruction), основанной на численном решении уравнения Грэда Шафранова [Ни and Sonnerup, 2001, 2003, Hasegawa et al, 2006]. В качестве граничных условий для дифференциального уравнения Грэда-Шафранова беручся магнитные и пламенные данные, полученные спутником вдоль некоюрой траектории, пересекающей трубку. Уравнение Грэда-Шафранова описывает равновесные плазменные структуры, следовательно меюд GS реконструкции опирается на предположение о юм, что пересоединившаяся трубка находится в сосю-янии равновесия. Однако, такой существенно нестационарный процесс, как пересоединение, едва ли может быть описан в квазистатическом приближении
В рамках описанных подходов невозможно оценить важнейшие параметры пересоединения его скорость и положение Х-линии (те. линии, на которой происходит пересоединение полей). Оцениіь скорое 1Ь притока солнечной плазмы в магнитосферу (т.е. скорое і ь пересоединения на дневной магнитопаузе), а іакже положение X линии можно при помощи техники Fusehej et al. [2005]. Скорость притока плазмы и расстояние от спутника до линии пересоединения находятся не независимо друг от друга, и для того, чтобы разделить их, требуется дополнительная информация. Этот метод опирается на геометрию пересоединения на магни'іоиаузе и требует, чтобы, по крайней мере, два спутника находились одновременно в слое пересоединения.
С математической 'іочки зрения, воссіановление скорости пересоединения и положения Х-линии по наблюдаемым FTE-возмущениям есіь обратная задача пересоединения Чтобы решись обратную задачу необходимо построить математическую модель процесса. Среди современных аналитических моделей, описывающих нестационарное пересоединение, выделяются теория тиринг-моды et al., 1963, 1973; Pntthett et al, 1980] и нестационарная модель типа Пегчека and Semenov, 1996; Semenov et al., 2004]. К настоящему времени накоплен
огромный экспериментальный материал по различным видам возмущений в магниюсфере, связанных с иересоединением (FTEs, NFTEs, TCRs, BBFb, Flux Ropes) Однако до сих пор не ясно, какие из конкурирующих механизмов пересоедииения реализуются в тех или иных случаях Для выяснения этого вопроса необходимо систематическое применение существующих моделей для анализа событий пересоединения, и, в частности, создание на их основе корректных меюдов восстановления параметров пересоединения.
Развитая Семеновым модель нестационарного пересоединения типа Петчека являеіся обощением классического механизма Пегчека на нестационарный режим и предоставляет целое семейство решений: для несжимаемой [Семенов, 1983,1984; Semenov, 1983] и сжимаемой [Semenov, 1998] плазмы, в двумерной [Неуп and Semenov, 1996] и трехмерной [Semenov et al, 1992, 2004] конфигурации полей. Сравнение предсказаний модели с реальными наблюдениями пересоединения в магниюсфере Земли показало [Sergeev et al, 1987], что модель описывает типичные для FTE-событий признаки: асимметричную биполярную вариацию в нормальной компоненте магнитного поля, одновременное отклонение в тангенциальной компоненіе и переход от восходящих потоков (направленных от токового слоя) к нисходящим (направленным к токовому слою) в нормальной компоненте скорости плазмы
В настоящей рабоїе для аналитической модели Семенова решается обратная задача пересоединения в сжимаемой и несжимаемой плазме в двумерной геометрии. Решение этой задачи актуально, тк. позволяеі дистанционно восстанавливать важнейшие характеристики процесса пересоедииения (скорость пересоединения и положение Х-лиции) по снуI-никовым измерениям вариаций магнитного поля.
Целью настоящей работы являє і ся разработка дистанционного метода восстановления параметров пересоединения по наблюдаемым вариациям магни і hoi о поля на основе решения обратной задачи для аналитической модели нестационарною пересоединения тина Петчека, а так-
же апробация меюда на примере нескольких событий переноса по і ока в геомаї ни гном хвосіе.
На защиту выносятся:
1 Решение обра і ной задачи для двумерной модели нестационарною
пересоедипения типа Петчека в несжимаемой и сжимаемой плазме
2. Реализованный дистанционный метод воссіановления скорости пересоединения и положения Х-линии по заданным возмущениям маг-ниіного поля.
3 Исследование 'ючности метода в зависимости ог положения ючки
наблюдения (х, z) и определение области его применимости.
0.05 < z/x < 2.5 при условии, что точка наблюдения находи і ся в области в і екания.
4 Восстановленные значения скоросги пересоединения и положения
Х-линии для NFTE 26 Сеніября 2005 г. и серии NFTEs 8 Сеніября
2002 і , зарегистрированных спутниками Cluster в хвосіе магнито
сферы Земли.
Научная новизна:
1. Впервые получено решение обратной задачи несіационарного пересоединения типа Петчека.
2 Предложен и реализован новый дисіанциоїшьій меюд, позволяю
щий восстанавливать скорость пересоединения и положение Х-линии
по магнишым данным, регистрируемых спутником Воссіановление
проводится для каждого отдельного импульса иерее оедииения, а не
в среднем по времени. Существенно, что скороеіь пересоедипения и
положение X линии вычисляются на основе математической модели
процесса, а не из общих соображений энергетическою или іеомет-
рического характера.
Практическая ценность. Основанный на решении обратной задачи дистанционный метод восстановления скорости пересоединения и положения Х-линии имеет практическую ценность для магниюсферных исследований Сисіемаїическое применение мої ода к FTE-событиям на дневной магнитопазе позволит внести ясность в вопрос о харакіерной скорости пересоединения на магнитопаузе, а также установить границы, в коюрых она может варьироваться Кроме і ого, метод може і даіь дополниіельньїе сведения о локализации X линии в хвосте магниюгфе-ры Принято считать, что пересоединение в хвосте обычно имеет место на расстояниях 20-30 Re от Земли [Nagai et al, 1998;]. Результаты применения метода к NFTE 26 Сентября 2002 подтверждают наблюдения Сергеева [Sergeev et al, 2006] и других исследователей [Petrukovich and Yahnm, 2006], чю пересоединение может происходить 'іакже и в ближней к Земле области 10-15 Re. Систематическое применение метода для анализа (]М)РТЕ-собыгий внесет вклад в понимание динамики процессов пересоединения в магнитосфере и позволит выяснить область применимости модели пересоединения Семенова
Личный вклад автора. Автор участвовал в разрабоїке меюда решения обратной задачи, его реализации на языке С и применении численного кода к интерпретации спутниковых данных по FTE-событиям Все изложенные в диссертации результаты получены автором самое і оя-іельно или на равных правах с соавторами.
Апробация работы. Представленные в работе результаты докладывались на международных конференциях- COSPAR (2003 2006), Workshop on Auroral Phenomena (Апатиты, Россия, 2004-2005), Problems of Geocosmos (Санкт-Петербург, Россия, 2004 2006)
Публикации. По гіеме диссеріации опубликованы 6 сіаіей в научных рецензируемых журналах и 4 статьи в сборниках трудов научных конференций.
Структура и объем работы. Диссертация сосюиг из введения, чршрех глав, заключения, списка литературы из 108 наименований и приложения; содержит 139 страниц машинописною текста, включая 50 рисунков и одну таблицу
Содержание работы.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель работы и выносимые на защиту положения, отмечена научная новизна и практическая ценность, кратко изложено содержание работы.
Первая глава вводит читателя в круг обсуждаемых проблем В ней даются основы применяемого математическою формализма, описывается процесс магнитного пересоединия и ею роль в глобальной динамике магнитосферы Земли.
В разделе 1.1 вводиіся система уравнений идеальной МГД, используемая в дальнейшем для решения задачи о несіационарном пересоединении типа Петчека. Подчеркивается возможность существования разрывных решений МГД-сисгемы Помимо дифференциальной записи уравнений МГД приводится интегральная консервативная форма записи, выражающая законы сохранения на разрывах. Дается классификация разрывов, необходимая для понимания физики распада токової о слоя в процессе пересоединения.
В разделе 1.2 дается развернутое определение магниіною пересоединения как фундаментального илазменною процесса, обеспечивающего перестройку топологии магнитного поля и быстрое преобразование магнитной энергии в кинетическую и тепловую энергию плазмы Обсуждаются условия, при которых может протекать процесс магниіною пересоединения, а именно, нарушение свойства вмороженности магнитного поля в плазму, возможное в токовых слоях областях с высоким ірадиенюм магнитного поля. Дается краткий обзор основных моделей
пересоединения: модели Свита-Паркера, іиринг-модьі и классической модели Петчека
В разделе 1.3 обсуждается роль пересоединения в глобальной динамике магниюсферы Земли. Описывакися основные признаки пересоединения: локальные, такие как смена знака Bz компоненты магни і ноі о ноля (z нормаль к токовому слою) и изменение направления движения ускоренных потоков плазмы при переходе через Х-линию, а также возникающее вследствие эффекта Холла квадруиолыюе распределение знаков Ву компоненты магнитного поля вокруг X-линии (у каеаіельная к гюку в слое), и глобальные, 'іакие как FTEs/NFTEs, BBFs (Buisty Bulk Flows), плазмоиды (Flux Ropes) и TCR (Travelling Compression Regions)
В разделе 1.4 формулируется поставленная перед соискаїелем задача: решение обратной задачи для модели нестационарного пересоединения типа Петчека и разработка дистанционного метода восстановления скорости пересоединения и положения Х-липии по спутниковым измерениям FTE-вариаций магнитного поля.
Вторая главе посвящена решению прямой задачи нестационарної о иересоединения типа Петчека в двумерной геометрии с асимметричными параметрами магнитного поля и плазмы.
В разделе 2.1 дается качественное описание нестационарного neper о-единения типа Пеічека Определяется роль диссипаїивною электрического поля, возникающего в диффузионной обласіи в результате локального падения проводимости. Описьшаеіся стимулированный электрическим полем процесс распада токового слоя на сие і ему МГД разрывов вследствие нарушения закона сохранения потока массы. Описывается крупномасштабная эволюция системы, подразделяющаяся на две фазы включения и выключения.
В разделе 2.2 вводятся упрощающие предположения, необходимые для посіроения аналитического решения задачи. Обсуждается роль предположения о «слабом» пересоединении
В разделе 2.3 подробно выводится решение задачи в области втекания Техника решения аналогична применяемой при анализе неустой-чивосіи Кельвина-Гельмгольца. Основные этапы вывода: линеаризация сие іемьі уравнений идеальной МГД по отношению к однородному невозмущенному фону; запись уравнения движения в терминах век юра смещения; решение уравнения движения в просіранстве Фурье Лапласа, согласование решений в двух полупросіранствах на границе раздела, те. на поверхности токового слоя. Полученное в пространсіве Фурье Лапласа решение необходима дважды проиніегрироваїь (т.е. вычислить обратные преобразования Фурье и Лапласа), чтобы получить решение в пространстве физических координат. При помощи меюда Каньяра Хупа (заимствованного из сейсмологии) удается провести обратное преобразование Лапласа аналитически и, тем самым, получить одномерное ишегральное представление решения прямой задачи.
Третья глава посвящена решению обратной задачи нестационарного пересоединения типа Петчека для сжимаемой и несжимаемой плазмы в двумерной геометрии с асимметричными параметрами магнитного поля и плазмы
В разделе 3 1 одномерное ишегральное предсіавление возмущений магнитного ноля, которое связывает возмущения в области втекания с электрическим полем на X-линии, записывается в виде свертки. При заданных возмущениях магнитного поля свертка представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестного электрического ноля
В разделе 3.2 полученное интегральное уравнение типа сверіки решается методом преобразований Лапаса, который позволяет свести ин-іегральное уравнение к просюму алгебраическому уравнению в пространстве Лапласа Подробно обсуждаюіся проблемы, возникающие при решении этого, на первый взгляд, тривиального уравнения, а именно некоррекіносіь задачи, трудность вычисления образа Лапласа для ядра свертки, необходимость восстанавливать не только скорость пересоединения, но и положение Х- линии. Некорректносіь задачи обуслов-
лена неусюйчивостыо ее решения по отношению к малым ошибкам во входных данных. Для преодоления некоррекіносіи проводится процедура регуляризации, сосюящая в обрезании высоких частот в образах Лапласа при помощи функции фильтрации. Образ Лапласа для ядра сверіки вычисляется вдоль особого контура, лежащею в комплексной плоскости — контура Каньяра. Описьіваюіся два способа нахождения контура Каньяра — поиск корней алгебраического уравнения четвертой сіепени и решение дифференциального уравнения контура. Обсуждается преимущество второго способа, при котором не возникает проблема выбора ложных корней.
В разделе 3.3 описывается алгоритм, позволяющий воссіанавливать одновременно скорость пересоединения и положение Х-линии. В основе алгоритма лежит минимизация стандартного отклонения между модельными возмущениями магнитного поля и возмущениями, измеренными спутником
В разделе 3.4 приводятся результаты іестирования численного алгоритма и указывавіся область применимости метода. Демонстрируется высокое качество восстановления скорости пересоединения в границах обласіи применимое:и.
В разделе 3.5 представлено решение обратной задачи несіационар-ного пересоединения типа Пегчека в пределе несжимаемой плазмы Проводится сравнение модельных возмущений в сжимаемой и несжимаемой плазме. Обсуждаюіся эффекты сжимаемости.
В Четвертой главе основанный на решении обратной задачи метод восстановления скорости пересоединения и положения X линии применяется к реальным спутниковым данным по FTE-событиям.
В разделе 4.1 метод восстановления применяеіся к различным по своей локализации NFTE-событиям в хвосте магнитосферы Земли- к отдельному NFTE, имевшему место 26 Сентября 2002 г. в ближней к Земле обласіи г < 15 Re и к серии NFTEs, наблюдавшихся во время
изолированной суббури 8 Сентября 2002 г в средней части іеомагниг-ною хвосіа г > 15 Re. Приводяїся и обсуждаются резульїаіьі воссіа-новления скорости пересоединения и расстояния or Земли до Х-линии по данным спутников Cluster: 3.7—4.8 мВ/м и 9- 11 Re, соответственно, для события 26 Сентября 2002 г. и 0.6-1.1 мВ/м, 27-30 Re для событий 8 Сеніября 2002 г. К событию 26 Сентября 2005 г. метод применяйся в двух вариантах - с учетом сжимаемосги плазмы и без. В приближении несжимаемости пиковые значения скорости пересоединения на ~ 1 мВ/м меньше, а положение Х-линии обнаруживает тенденцию к смещению дальше от Земли: 11-12 Re вмесю 9-11 Re.
В разделе 4.2 приводятся результаты применения метода воссіанов-ления к серии FTE событий на дневной магниюнаузе, зарегистрированных спугниками Cluster 14 Февраля 2001 г вблизи экваториальной зоны каспа Пиковые значения восстановленного электрическою поля для индивидуальных FTEs меняюіся от 0.5 до 4.5 мВ/м, чю свидетельствует о значительных вариациях скорости пересоединепия на магниюнаузе в пределах одной и той же серии. Отмечается согласие между восстановленным рассюянием z от точки наблюдения до магнитопаузы (z нормаль к магниюпаузе) и соответсівуюіцим расстоянием до номинальной магниюпаузы в модели Shue et al [1998].
В разделе 4.3 обсуждается вопрос о том, насколько упрощающие предположения, положенные в основу аналитической модели Семенова (однородность фона и приближение бесконечно тонкою токового слоя), могут ограничивать применимость меюда восстановления в условиях магниюсферы.
В Заключении сформулированы основные результаты диссеріа-ционной работы.
В Приложении кратко и злагается решение задачи Римана и выводится функция источника в иросіранстве физических координат, а также ее образ в просі ране іве Фурье-Лапласа
Признаки иересоединения в магничосфере Земли
Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель работы и выносимые на защиту положения, отмечена научная новизна и практическая ценность, кратко изложено содержание работы.
Первая глава вводит читателя в круг обсуждаемых проблем В ней даются основы применяемого математическою формализма, описывается процесс магнитного пересоединия и ею роль в глобальной динамике магнитосферы Земли.
В разделе 1.1 вводиіся система уравнений идеальной МГД, используемая в дальнейшем для решения задачи о несіационарном пересоединении типа Петчека. Подчеркивается возможность существования разрывных решений МГД-сисгемы Помимо дифференциальной записи уравнений МГД приводится интегральная консервативная форма записи, выражающая законы сохранения на разрывах. Дается классификация разрывов, необходимая для понимания физики распада токової о слоя в процессе пересоединения. В разделе 1.2 дается развернутое определение магниіною пересоединения как фундаментального илазменною процесса, обеспечивающего перестройку топологии магнитного поля и быстрое преобразование магнитной энергии в кинетическую и тепловую энергию плазмы Обсуждаются условия, при которых может протекать процесс магниіною пересоединения, а именно, нарушение свойства вмороженности магнитного поля в плазму, возможное в токовых слоях областях с высоким ірадиенюм магнитного поля. Дается краткий обзор основных моделей пересоединения: модели Свита-Паркера, іиринг-модьі и классической модели Петчека В разделе 1.3 обсуждается роль пересоединения в глобальной динамике магниюсферы Земли. Описывакися основные признаки пересоединения: локальные, такие как смена знака Bz компоненты магни і ноі о ноля (z нормаль к токовому слою) и изменение направления движения ускоренных потоков плазмы при переходе через Х-линию, а также возникающее вследствие эффекта Холла квадруиолыюе распределение знаков Ву компоненты магнитного поля вокруг X-линии (у каеаіельная к гюку в слое), и глобальные, іакие как FTEs/NFTEs, BBFs (Buisty Bulk Flows), плазмоиды (Flux Ropes) и TCR (Travelling Compression Regions) В разделе 1.4 формулируется поставленная перед соискаїелем задача: решение обратной задачи для модели нестационарного пересоединения типа Петчека и разработка дистанционного метода восстановления скорости пересоединения и положения Х-липии по спутниковым измерениям FTE-вариаций магнитного поля. Вторая главе посвящена решению прямой задачи нестационарної о иересоединения типа Петчека в двумерной геометрии с асимметричными параметрами магнитного поля и плазмы. В разделе 2.1 дается качественное описание нестационарного neper о-единения типа Пеічека Определяется роль диссипаїивною электрического поля, возникающего в диффузионной обласіи в результате локального падения проводимости. Описьшаеіся стимулированный электрическим полем процесс распада токового слоя на сие і ему МГД разрывов вследствие нарушения закона сохранения потока массы. Описывается крупномасштабная эволюция системы, подразделяющаяся на две фазы включения и выключения. В разделе 2.2 вводятся упрощающие предположения, необходимые для посіроения аналитического решения задачи. Обсуждается роль предположения о «слабом» пересоединении В разделе 2.3 подробно выводится решение задачи в области втекания Техника решения аналогична применяемой при анализе неустой-чивосіи Кельвина-Гельмгольца. Основные этапы вывода: линеаризация сие іемьі уравнений идеальной МГД по отношению к однородному невозмущенному фону; запись уравнения движения в терминах век юра смещения; решение уравнения движения в просіранстве Фурье Лапласа, согласование решений в двух полупросіранствах на границе раздела, те. на поверхности токового слоя. Полученное в пространсіве Фурье Лапласа решение необходима дважды проиніегрироваїь (т.е. вычислить обратные преобразования Фурье и Лапласа), чтобы получить решение в пространстве физических координат. При помощи меюда Каньяра Хупа (заимствованного из сейсмологии) удается провести обратное преобразование Лапласа аналитически и, тем самым, получить одномерное ишегральное представление решения прямой задачи. Третья глава посвящена решению обратной задачи нестационарного пересоединения типа Петчека для сжимаемой и несжимаемой плазмы в двумерной геометрии с асимметричными параметрами магнитного поля и плазмы В разделе 3 1 одномерное ишегральное предсіавление возмущений магнитного ноля, которое связывает возмущения в области втекания с электрическим полем на X-линии, записывается в виде свертки. При заданных возмущениях магнитного поля свертка представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестного электрического ноля В разделе 3.2 полученное интегральное уравнение типа сверіки решается методом преобразований Лапаса, который позволяет свести ин-іегральное уравнение к просюму алгебраическому уравнению в пространстве Лапласа Подробно обсуждаюіся проблемы, возникающие при решении этого, на первый взгляд, тривиального уравнения, а именно некоррекіносіь задачи, трудность вычисления образа Лапласа для ядра свертки, необходимость восстанавливать не только скорость пересоединения, но и положение Х- линии. Некорректносіь задачи обуслов лена неусюйчивостыо ее решения по отношению к малым ошибкам во входных данных. Для преодоления некоррекіносіи проводится процедура регуляризации, сосюящая в обрезании высоких частот в образах Лапласа при помощи функции фильтрации. Образ Лапласа для ядра сверіки вычисляется вдоль особого контура, лежащею в комплексной плоскости — контура Каньяра. Описьіваюіся два способа нахождения контура Каньяра — поиск корней алгебраического уравнения четвертой сіепени и решение дифференциального уравнения контура. Обсуждается преимущество второго способа, при котором не возникает проблема выбора ложных корней. В разделе 3.3 описывается алгоритм, позволяющий воссіанавливать одновременно скорость пересоединения и положение Х-линии. В основе алгоритма лежит минимизация стандартного отклонения между модельными возмущениями магнитного поля и возмущениями, измеренными спутником В разделе 3.4 приводятся результаты іестирования численного алгоритма и указывавіся область применимости метода. Демонстрируется высокое качество восстановления скорости пересоединения в границах обласіи применимое:и.
Дифференциальное уравнение для век юра смещения в пространстве Фурье Лапласа
Особенностью нестационарного пересоединения типа Петчека является деление процесса на две фазы: включения и выключения. Фаза включения характеризуется наличием электрического поля в диффузи онной области и формированием FR структур. Пока иоле E(t) «включено», FT -структура, не теряя связи с диффузионной обласіью, расширяется вдоль токового слоя Протяженность F/2-структура пропорциональна длительности электрического импульса и скорости ее расширения. Вместе с исчезновением электрического поля E(t) прекращается пересоединение магнитных силовых линий в диффузионной области. Однако, сформировавшиеся FR- структуры продолжают свое сущее і во-вание в момент «выключения» электрического поля они оірьіваклея 01 диффузионной обласіи и движутся вдоль токового слоя в противоположных направлениях (Рис. 2.1с). Так процесс переходит во вторую фазу.
Электрическое поле «выключается» в диффузионной области, но не на фронтах FR-сгруктур. В процессе своего движения FR-струкгура переносит электрическое поле, которое, в свою очередь, продолжает совершать работу над плазмой, пересекающей фронт FR-обласіи. Это значит, что процесс преобразования магнитной энергии, запасенной в юковом слое, в кинетическую и іепловую энергию плазмы будет продолжаться и после окончания процесса пересоединения. Следовательно, эффективное і ь нересоединения определяется не только диффузионными процессами, приводящими к пересоединению магнитных силовых линий, но так же и геометрической протяженное і ью токового слоя. Обьем, занимаемый FR-облаетью, расіег по мере ее движения, так как она продолжает аккумулировать окружающую плазму. Перемещение FЯ-oблacги в окружающей плазме аналогично движению тонкого крыла в гидродинамике оно вызывает сжатие плазмы на переднем крае F-R-области (плотность и давление растут) и разрежение на заднем крае (плотноеі ь и давление падают).
В модели Семенова физическое пространство делится на две совершенно различные по своим свойствам области: конвекіивную зону, где эффекты диффузии пренебрежимо малы, и плазму можно считаїь идеальной, и область диффузии, где некоторый диесипаїивньїй процесс приводит к падению проводимости и инициирует пересоединение Сірого юворя, электрическое поле в диффузионной области E(t) должно находится из соображений развития той или иной неустойчивости в токовом слое, но мы абстрагируемся от процессов внутри диффузионной обла-сіи, счиїаем ее исчезающе малой и аппроксимируем линией (Х-линией), вдоль ко юрой приложено электрическое поле. Электрическое поле на Х-линии E(t) (направленое вдоль оси у) играет в данной задаче роль граничною условия, поставленного на границе конвективной и диффузионной областей Таким образом, вопрос о точном механизме диссипации остается за рамками данной модели, и поле E(t) считается заданным a prion. Есіественньїм ограничением на выбор функции E(t) является условие причинности:
Чтобы построить аналитическое решение в конвекіивной зоне, ге най і и возмущения МГД параметров в областях втекания и вытекания, а также форму областей вытекания, необходимо ввести следующие упрощающие предположения: Токовый слой бесконечно тонкий и аппроксимируеіся тангенциальным разрывом Плазма и магнитное поле однородны в каждом из полупространств Пересоединение является «слабым» [Petschek, 1964], т е. выполняется следующее условие: Аппроксимация токовою слоя тангенциальным разрывом дает воз-можносіь реши і ь первую часть задачи - задачу Римана о распаде токовою слоя на систему МГД разрывов. Предположение об однородности плазменных областей позволяет линеаризовать систему уравнений идеальной МГД по отношению к однородному невозмущенному фону. Блаюдаря приближению «слабого пересоединения» в задаче появляется малый параметр что позволяет применить теорию возмущений, т. е искать решение в виде разложений по сіепеням малого параметра.
В отличие от первых двух предположений (коюрые редко выполняю 1СЯ в реальных условиях), приближение «слабого перееоединения» вполне реалистично. Численнные симуляции процесса пересоединения в рамках проекта GEM (Geospace Enviroment Modeling) показали, что независимо от способа моделирования (резисгивная МГД или МГД Холла, кинеіическое или гибридное моделирование), типичное значение скорости пересоединения составляет Е 0.1 - 0.2 Ед [Birn et. al., 2001]. Поле іакой величины уже способно вывести юковый слой из сосюяния устойчивого равновесия и, тем самым, инициировать пересоединение Термин «слабое пересоединение» не означает, что энергия магнитною поля преобразуйся в энергию плазмы неэффективно. Напротив, вне зависимости о г величины электрического поля плазма всегда ускоряется до альфве-новской скорости. Величина поля влияет на объем Я-обласі и, а значит, на количество ускоренной плазмы: чем больше электрическое поле, тем больше плазмы ускоряется.
В приближении «слабого» пересоединения каждой величине (в нормализованном виде) присваивается порядок малое і и Можно показать, чю тнгенциальные к токовому слою величины (vx, Вх, х) 1, а нормальные {vZ) Вг, z) є Отсюда видно, что FR-обласгь сильно вьпя-нуга вдоль токовою слоя (ее продольный размер много больше поперечною). Из z-компоненты уравнения движения можно получить, что с точностью до є2 полное давление посюянно поперек FR-области. Эго позволяет рассматривать ее как пограничный слой и использоваїь теорию погранслоев для получения отдельно внешнего решения в области втекания и внутреннего решения в FR-области.
Восстановление скорости пересоединения и положения X-линии
В данном разделе метод воссіановления применяеіся к событиям переноса потока в магнитосфере Земли, зарегистрированным спутниками Cluster \Semenov et al, 2005; Penz et al, 2006; Ivanova et al, 2006]. Проект Cluster сосюит из четырех идентичных спутников, образующих в пространстве тетраэдр. Используемые ниже данные спутников группы Cluster получены при помощи феррозондового магнеюметра (FluxGate Magnetometer, FGM) [Balogh et al, 2001] и ионного спектромеїра (Cluster Ion Spectrometry, CIS) [R erne et al, 2001).] Чтобы применить наш меюд к реальным магнитосферным FTE-событиям, спутниковые данные следует аккуратно подготовить. Основной проблемой является определение начала NFTE сигнала, а также выделение вариаций, связанных с пересоединением, на фоне остальных возмущений. Таким образом, временной профиль магнитного поля, регистрируемый спутником, разбивается на две компоненты: фоновое магнитное поле Бо и «чистую» FTE-вариацию B(t) Для восстановления электрического поля необходимо использовать только выделенную FTE-вариацию.
Статистический анализ данных по ускоренным ионным поюкам, полученных со спутника Geotail, убеждает в том, что пересоединение обычно инициируется в области между 20 Re и 30 Re [Nagai et ai, 1998]. Событие 26 сенчября 2005 — редкий пример пересоединения вблизи Земли, в области замкнутых силовых линий г 14 Re. Подробное исследование эюго события было проведено Сергеевым [Sergeev et ai, 2006].
26 сен іября 2005, между 08:00 и 10:00 UT, спутники группы Cluster, находившиеся в хвосіе на расстоянии 14 - 16 Re от Земли , зарегистрировали іри движущиеся в направлении хвопа NFTE—с і рук туры, кою-рые были иніерпретированьї [Sergeev et а/., 2006] как результат пересоединения в ближней к Земле области. Первое собьпие, произошедшее около 08:43 UT, было выбрано в качестве примера для применения метода воссіановления (Рис.4.1). В это время все четыре спутника группы Cluster находились севернее токового слоя вблизи меридианальной плоскости 23 h MLT. Поскольку долгота 23 h MLT являлась центральной долготой активации авроральных свечений в ионосфере [Sergeev et al, 2006], мы можем полагать, чю трехмерные эффекты в зі ом событии минимальны. Два более поздних события (около 09:31 и 09 41 UT) не благоприятны для применения метода, так как Cluster пересекал токовый слой, в связи с чем четкие NFTE-вариации в магнитных данных невозможно выделить.
Около 08.43 UT на спутнике С2, расположенном ближе других к нейтральному слою, были отмечены: большая по величине южная компонент магнитного поля Bz —15 нТ (Рис.4.1), интенсивное злекіри-ческое поле Еу 10 мВ/м (в GSE системе координат), движущиеся от Земли быстрые плазменные потоки (со скоростью vx —400 км/с) и пучок ускоренных электронов (с энергией 50 кэВ) [Sergecv ct al, 2006] В го же самое время, другие спутники группы Cluster, расположенные дальше от нейтрального слоя, не зарегистрировали ни энергичных электронных пучков, ни быстрых потоков. Отсюда можно сделать вывод, что спутники С1, СЗ и С4 находились в обласги втекания, тогда как спутник С2 пересек сепаратрису и вошел в область вытекания.
Процедура восстановления скорости пересоединения и положения X линии была применена к данным спутников С1, СЗ и С4 — отдельно к каждому из них. Спутник С2 был исключен иг5 рассмоїрения, поюму чю он находился в области вытекания, а наш меюд работает только для области втекания (так как основан на обращении решения в обласіи віе-кания) Чюбы подготовив данные для воссіановления, профили Bz(t) и Bx(t), измеренные спутниками, были вырезаны в окрестности 08 43 UT (в интервалах 08 42 - 08-46 для спутника С1 и 08:42 - 08 45 для пары СЗ - С4), сглажены (незначительно), вертикально смещены (чтобы исключить фон и, тем самым, выделить чистое возмущение) и нормализованы (по отношению к фоновой величине магнитного поля 40 нТ и временному интервалу 60 с).
Полное стандартное отклонение (т.е. сумма стандартных о і клонений в Вх и Bz компонентах: а — овх + &Bz) минимизировалось относи-іельно обеих координат х и z (напомним, что х и z - координаты X линии по отношению к спутнику). Так как пересоединение произошло в обласіи между спутниками и Землей (что очевидно но направлению распространения возмущений), поиск глобального минимума осущес гвлялся в иніервале 0 х 10 Re по координате х (что соогвеїсвуег расстояниям — lb Re X GSM —5 Re). По координате z поиск был ограничен сверху значением 3 Яе, а при выборе нижней границы использовались координат спутников огносителыю С2: 0.32 Re для С1, 0 43 Re для СЗ и 0.60 Re для С4 (Рис. 4.2). Учитывая, что спутник С2 находился в области вытекания и, следовательно, вблизи токового слоя, указанные значения можно взягь в качестве наименьших допустимых границ по z. Кроме GSM координат спутников, в качестве априорной информации использовалось значение альфвеновской скорости, которое необходимо, чюбы преобразовать результаты к размерному виду. Альфвеновская скорость оценивалась по скорости распрос і ранения магнишых возмущений: рас-сюяние между парой СЗ/С4 и спутником Сі сосіавляло 9000 км, а разница во времени прихода сигнала 10 с, чю даег скорость 900 км/с
На Рис. 4.3 предеіавлен импульс пересоединения, восстановленный по данным спутников С1, СЗ и С4. Пиковые значения скоросіи пересоединения варьируются от 3.7 до 4.8 мВ/м, а продолжительность импульса сосіавляет 2 мин для СЗ, С4 и более 3 мин по данным спутника С1. Разница в продолжительности обусловлена различием в длиіельно-сти исходных сигналов: возмущение, зарегистрированное спутником С1 длится на 1 мин дольше (см. Рис 4.1 и интервалы вырезки сиінала).
Отклонение между исходным сигналом со спутника и модельным сигналом, соответствующим восстановленному электрическому полю, можно увидеть на Рис. 4.4, где представлены соотвеїствующие кривые для сиу шика СЗ. Качество восстановления возмущений магнитною поля приблизительно одинаково для всех спутников: -компонента воспанав-ливается с высокой точностью, а Д -компонента описывается моделью не вполне адекватно. Возможно, это связано с тем, что на возмущение #х-компоненгы влияют, кроме пересоединения, и другие факторы (например, общее сжатие геомагниіного хвоста под действием динамическою давления солнечного ветра) Подчеркнем, что скорое і ь пересоединения восстанавливается по Bz компоненте, а В -возмущение используется как дополнительная информация для поиска оптимального положения Х-линии.
Применение меюда к событиям на дневной магниюпаузе-FTEs 14 Февраля 2001
Возможности нашего метода ограничены не только эффектами конечной толщины токового слоя и неоднородности фона, но также сложным поведением токового слоя в хвосте магнитосферы. Дело в том, что структура токового слоя в хвосте описывается моделью Харриса только в спокойные периоды. В периоды же возмущений, когда в хвосте происходят процессы высвобождения энергии (пересоединение), сопровождающиеся ускорением частиц и формированием быстрых потоков плазмы внутри токового слоя, слой может испытывать бифуркацию [Runov et al, 2003b], т.е. в нем могут образовываться дополнительные максимумы плоскости в модели Харриса (а) и при наличии бифуркация (Ь). плотности тока, расположенные вне нейтральной плоскости (Рис. 4.22). Кроме бифуркации, часто наблюдается флэппинг (flapping) — быстрые поперечные осцилляции токового слоя, связанные с генерацией поверхностных воли, движущихся поперек хвоста (с утра на вечер) [Sergeev et ai, 2003, 2004; Runov et ai, 2005].
Все это приводит к резкому усложнению структуры области вытекания и делает построение ее точной модели затруднительным. Тем не менее, на фоне сложных возмущений, регистрируемых спутниками, часто удается выделить характерные сигналы, очень похожие на предсказания аналитической модели. Это позволяет предположить, что упрощенная аналитическая модель грубо описывает основные свойства пересоединения в хвосте, в то время как указанные эффекты «неидеальности» токового слоя дают второстепенный вклад в возмущения вдали от токового слоя. Более того, даже разработав точную модель со многими параметрами, мы столкнемся с проблемой задания этих неизвестных параметров (например, толщины и кривизны токового слоя как функции (X,У)).
Диссеріационная работа была посвящена решению обратной задачи не-СІационарного магнитного пересоединения типа Петчека. Получены решения для сжимаемой и несжимаемой плазмы в двумерной геометрии с асимметричными параметрами магнитного ноля и плазмы по разные сюроны токового слоя Полученные решения положены в основу дисіан-ционного меюда, дающего возможность воссіанавливаїь скорость пересоединения и положение Х- линии но спутниковым измерениям FTE вариаций магнитного ноля Достоинство меюда сосюиг в им, чю он основан на математической модели процесса пересоединения, а не на общих соображениях энергетического или геометрического характера Меюд позволяет восстанавливать скорость для каждого отдельного импульса пересоединения, а не в среднем по времени. Результаты применения метода к FTE-событиям в хвосте магнитосферы Земли и на дневной магниюпаузе согласуются с общепринятыми оценками. 1. Решена обратная задача несіационарною пересоединения типа Петчека в несжимаемой и сжимаемой плазме в двумерной асиммеїрич-ной іеомегрии, состоящая в восстановлении скорости пересоединения по заданным возмущениям магниіноіо поля. (а) Показано, что обратная задача нестационарного пересоединения іипа Пегчека может быть сведена к интегральному уравнению типа свертки, регуляризованное решение которого може і быіь получено иуіем обрезания высоких частот в образах Лапласа при помощи функции фильтрации (Ь) Разработан численный ал і оритм решения обратной задачи, в основе которого лежит нахождение контура Каньяра в комплексной плоскости и вычисление образа Лапласа для ядра свертки путем интегрирования вдоль контура Каньяра. 2 Предложен и реализован дистанционный метод воссіановления скорости пересоединения и положения Х-линии в магнитосфере Земли по спутниковым измерениям FTE-вариаций магнитного поля. (a) Разработан алгоритм, позволяющий восстанавливать одновременно скорость пересоединения и положение Х-линии. Аліо-риїм основан на глобальной минимизации стандартною оікло-нения между модельными возмущениями компонент магнитного поля и возмущениями, измеренными спутником. (b) Проведено тестирование численного алгоритма на модельных данных. Показано, что скорость пересоединения и положение X линии восстанавливаются с высокой точностью (порядка нескольких процентов) для широкого диапазона точек наблюдения (х, z), лежащих в области втекания в угловом секторе 0.05 z/x 2.5. 3. Дисшнционный меюд восстановления скорости пересоединения и положения Х-линии применен к NFTE-событиям в хвосте маши-юсферы Земли зареіесірированньїм спутниками Cluster Получены следующие результаты:
