Введение к работе
Диссертация посвящена решению экстремальных задач конформного отображения в основных классах однолистных функций.
Актуальность темы. Исторические сведения.
Обозначим через S - класс всех голоморфных однолистных в единичном круге Е = {z : \z\ < 1} функций f(z) = z + щг2 + ... ; через Sr -класс функций / Є 5 , удовлетворяющих условию j(z) = f(z).
Геометрическая теория функций является интенсивно разрабатываемой областью математики . Начало ее развитию положили работы П.Кебе 1907 и 1909 гг. о получении абсолютных констант оценки роста однолистного аналитического отображения. В 1916 г. Л.Бибербах высказал гипотезу, что в классе S справедливо неравенство
|я„| < п , п > 2
и что равенство имеет место только для функций Кебе f(z) — , .Д»^-Доказательство гипотезы Бибсрбаха было получено Л. де Бранжем в 1984 г. Оставаясь недоказанной в течении почти 70 - летнего периода, гипотеза Бибербаха оказала большое влияние па развитие геометрической теории функции. Так значительная часть исследований по геометрической теории функций посвящена решению экстремальных задач по оценке функционалов или по нахождению множеств значений систем функционалов в классах S и Sr, а так же в других основных классах однолистных функций. Для решения таких задач было разработано большое количество методов : метод контурного интегрирования, метод интегральных представлений, метод площадей, методы внутренних и граничных вариаций, метод параметрических представлений, метод экстремальных метрик, симметризации и другие. Эти методы получили развитие в работах отечественных математиков ( А.М.Лавреятьев, Г.М.Голузин, И.Е.Базилевич, П.П.Куфарев, Н.А.Лебедев, И.М.Милин, И.А.Александров, Л.А.Аксентьев, Ю.Е.Аленицын, В.Я.Гутлянский, Д.В.Прохоров,С.Р.Насыров, В.В.Горяйнов, Г.В.Кузьмина, П.М.Тамразов,
Typeset Ьу AjtfS-T&i.
А.Ю.Васильев, И.П.Митюк, В.Н.Дубинин ) и зарубежных авторов ( Т.Гронуолл, Х.Грунскиы, М.Шиффер, Дж.Дженкинс, Ч.Левнер, Хр.Померенке и др. ).
К числу трудных задач геометрической теории функций принадлежат задачи об оценке функционалов и описании множеств значений систем функционалов, зависящих от значения функции и ее производных в более чем одной точке единичного крута. Такого рода задачи являются частными случаями задачи разрешимости интерполяционной проблемы для однолистных функций. Их исследования были начаты в 1916 г. Т.Гронуоллом. В дальнейшем исследования таких экстремальных задач были продолжены и получили значительное развитие в работах Г.М.Го-лузина, Н.А.Лебедева, И.М.Милина, И.А.Александрова, Д.В.Прохорова, А.Ю.Васильева, Дж.Дженкинса, Я.Кшижа и многих других отечественных и зарубежных математиков. Однако в этом направлении остается еще много не решенных проблем. В связи с этим является актуальным решение экстремальных задач ио оценке функционалов или по нахождению множеств значений систем функционалов в основных классах однолистных функций.
Цель работы.
-
решение задачи П.Мокалу об оценке функционала /(/) = 4(Тт' и решение более общей изопериметрической задачи, связанной : этим функционалом в основных классах однолистных функций.
-
применяя методы оптимального управления совместно с методом внутренних вариаций Г.М.Голузина дать списание границы множества значений системы функционалов ./(/) = {/(г), f'{r), ц2J, которая обобщает а также сводит воедино две задачи Гронуолла.
Методика исследований. В качестве методов исследований ііьилу-пагот : метод экстремальных метрик в форме метода модулей «;ме;:отв кривых, метод параметрических представлений Левнера, метод внутренних вариаций Г.М.Голузина, метод оптимального управления , а, именно принцип максимума Л.С.Поптрягина .
Научная новизна. Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Работа носит теоретический характер. Основными в ней являются следующие результаты :
получено решение обшей экстремальной задачи об оценке функционала Мокаяу /(/) = j/^\ в зависимости от /(21),/(22) при вещественных г\, 22 в классе Sr с использованием техники модулей семейств кривых. Некоторые конкретные модули были подсчитаны впервые.
решена задача о максимуме функционала Мокану 7(/) = 7fzY ПРИ вещественных 2i, 22 в классе S.
дано решение обобщенной задачи Гронуолла о границе множества значений системы функционалов /(/) = {/(0>/'(г)»а2} в классе Sr. Удачное сочетание вариационно - параметрического метода и методов оптимального управления позволяет упростить нахождение границы множества значений J(f).
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Саратовском государственном университете (руководитель- проф. Д.В.Прохоров), XXX международной студенческой конференции (г.Новосибирск, 1992 г.) -доклад отмечен дипломом второй степени, 7 - й и 8 - й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (г.Саратов, 1994 , 1996 гг.), конференции по теории функций (г.Казань , 1995 г.), на объединенном семинаре кафедр теории функций и приближений, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математической физики и вычислительной математики и математического анализа ( руководитель - доктор физико - математических наук, профессор А.П.Хромов, г.Саратов, 1997 г.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы из 70 наименований. Объем диссертации составляет 109 страниц. Имеется 5 рисунков.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1 — 3]. Результаты из совместных статей, использованные автором в диссертации, получены им самостоятельно.
