Введение к работе
Объект исследования.В работе рассмотрены некоторые вопросы, относящиеся к спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка. Изучение спектральных функций замкнутого симметрического оператора приводит к изучению обобщенных резольвент этого оператора.
В работе изучаются вопросы сходимости обобщенных резольвент замкнутых симметрических конечноразностных отношений, заданных в конечномерных пространствах с неотрицательным весом, к обобщенным резольвентам замкнутого симметрического обыкновенного дифференциального отношения, как регулярного, так и сингулярного заданного в весовом пространстве векторнозначных функций.
Актуальность темы исследования. Одними из первых работ,в которых наряду со спектральной теорией самосопряженных операторов рассматривались вопросы спектральной теории симметрических неса-мосопряженных операторов, были работы Карлемана (1923 г.) и Стоуна(1932 г.).
Общее определение спектрального разложения произвольного симметрического оператора f\ в гильбертовом пространстве Н было дано М.А.Наймарком (1940 г.). Вопросы спектральной теории замкнутого симметрического оператора изучались М.Г.Крейном. '
Каждому спектральному разложению Et (--"< "t^-.) замкнутого симметрического оператора А соответствует обобщенная резольвента Кд , определенная формулой
В диссертации использовано описание совокупности всех обобщенных резольвент замкнутого симметрического оператора, данное А.В.Штраусом (1954г.).
Задача получения обобщенных резольвент ( спектральных функ-
ций) как предела последовательности обобщенных резольвент (спектральных функций) при предельном переходе от конечного промежутка вещественной оси к бесконечному, от дискретных задач к непрерывным, от конечномерных пространств к бесконечномерным - одна из актуальных задач спектрального анализа. Одной из первых работ, где неорггогональные спектральные функции произвольного замкнутого симметрического оператора /\ в гильбертовом пространст-ве Н получены как предел спектральных функций аппроксимирующей последовательности самосопряженных операторов Н конечного ранга, была монография М.Стоуна (1932 г.).
Предельный переход от конечного интервала ?^Х^6 к полубесконечному О - С*с =-= для задачи Штурма-Лиувилля с разделяющимися самосопряженными краевыми условиями изучался Г.Вейлем в классических работах 1909 - 1910 г. В отечественной монографической литературе вопрос о предельном переходе от дифференциального (разностного) уравнения на конечном интервале к дифференциальному (разностному) уравнению на полуоси исследовался Б.М.Левитаном, В.Ы.Березанскиы и др.
В работе американских математиков Е.Коддингтона и Р.Гилберта (1959 г.) любая обобщенная резольвента сингулярного дифференциального оператора аппроксимируется обобщенными резольвентами регулярных дифференциальных операторов.
Ряд классических задач, в частности, о продолжении эрмито-во-полокительной функции, проблема моментов и др., связанных с вейлевской альтернативоймпределъный кр;уг или предельная точка", привел к теории гнездящихся матричных кругов в работе С.А.Орлова (1976 г.).
Существует множество исследований, посвященных задаче аппроксимации решений обыкновенного дифференциального уравнения решениями систем конечноразностных уравнений. В 70-ые годы началось
развитие теории общих методов дискретизации, разрабатываемой М.К.Гавуриным, Р.Д.Григориевым, А.А.Самарским, В.А.Треногиным и
ДР-
Постановка задачи диссертации - изучение предельных обобщенных резольвент замкнутого симметрического дифференциального отно-шения-обусловлена работами Р.Аренса, Е.Кодцингтона, А.Дейксма и Де Сноу, В.М.Брука, И.С.Каца и др., где, в частности, рассматривались дифференциальные отношения в пространствах с неотрицательным весом.
В диссертации используется аппарат теории характеристических функций. Впервые понятие характеристической функции было введено М.С.Лившицем (1946 г.). В дальнейшем оно получило развитие и модифицировалось в работах А.В.Штрауса, Ю.Іі.ІІмульяна, М.С.Бродского, А.В.Дужеля, Б.Секефальви-Надя и Ч.Фояша, Н.К.Никольского и В.И.Ва-сюнина и др.
Идея применения аппарата теории характеристических функций к решению задашдиссертации восходит к работе М.С.Лившица (1954 г) в которой рассматривались конечномерные приближения характеристических функций линейных операторов.
Цель работы. Сформулировать в терминах сходимости характерис
тических функций достаточные условия сходимости обобщенных резоль
вент замкнутых симметрических конечноразностных отношений, задан
ных в л/ -мерных пространствах весом
обобщенным резольвентам замкнутого симметрического обыкновенного
дифференциального отношения второго порядка с минимальной областью
определения, как регулярного, так и сингулярного, заданного в про
странстве векторнозначных функций Н=Ьд((Чь;; Ъ.{?ц(л,х-),
где 0<-&<-оо j вес &(<х.)-& Q .
Рассмотреть варианты построения последовательностей обобщен-
пых резольвент конечноразностных отношений, аппроксимирующих любую обобщенную резольвенту дифференциального отношения на поду-оси [0; <*=) .
Распространить полученные результати на случай замкнутого симметрического обыкновенного дифференциального отношения произвольного порядка.
Методика исследования. В диссертации используются формула обобщенных резольвент А.В.Штрауса, теория расширений замкнутого симметрического линейного оператора, теория характеристических функций, метод гнездящихся матричных кругов, теория общих методов дискретизации.
Научная новизна. Б диссертации описание совокупности всех обобщенных резольвент, данное А.Б.Штраусом, применяется к изучению вопросов сходимости последовательности обобщенных резольвент симметрических конечноразностных отношений, заданных в весовых конечномерных пространствах, к обобщенным резольвентам замкнутого симметрического обыкновенного дифференциального отношения в пространстве векгорнозначных функций с неотрицательным весом.
При этом достаточные условия сходимости обобщенных резольвем и спектральных функций конечноразностных отношений сформулированы в терминах сходимости характеристических функций, определенных в соответствии с работой А.В .Штрауса (1968 г.).
Обобщен на случай конечноразностных приближений ряд результатов Е.Коддингтона и Р.Гилберта, которые аппроксимировали обобщенные резольвенты дифференциальных операторов обобщенными резольвентами дифференциальных же операторов.
Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении вопросов сходимости разностных схем, в
теории колебаний.
Аппробаиия результатов. Основные результаты диссертации докладывались автором на научно-исследовательском семинаре в Московском государственном университєте(І996 г.), в Московском техническом университете (институт стали и сплаєов) (1996 г.), на Герце-новских чтениях в РГПУ (1996 г.), в Челябинском государственном университете (1996 г.), на 5-ой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самарском государственном техническом университете (1995 г.), на научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета (1995, 1996 гг.), на научно-исследовательском семинаре и на итоговых научных конференциях Ульяновского государственного педагогического университета (1992-1996 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [_l] - [5].
Структура и объём работы. Предлагаемая работа изложена на 98 страницах и состоит из введения, шести параграфов и списка литературы, содержащего >9 наименований.
