Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Локальные свойства полиномиальных по импульсам интегралов и их применение для доказательства аналитической неинтегрируемости геодезических потоков на компактных многообразиях рода
1. Голоморфная I-форма полиномиального по скоростям интеграла 18
2. Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков 24
3. Квадратичные по скоростям интегралы 27
ГЛАВА II. Описание геодезически потоков двумерной сферы и тора с дополнительным квадратичным по скоростям интегралом
I. Свойства определяющего многочлена 33
2. Основная теорема. Классические примеры . 45
3. Теорема единственности геодезического потока с двумя дополнительными квадратичными инте гралами 58
ГЛАВА III. Новые пришры римановых метрик на sа с замкнутыми геодезическими
1. Геометрия геодезического потока с дополнительным квадратичным интегралом. Условие
замкнутости 70
2. Построение решений 85
Список литературы
- Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков
- Квадратичные по скоростям интегралы
- Основная теорема. Классические примеры
- Теорема единственности геодезического потока с двумя дополнительными квадратичными инте гралами
Введение к работе
В этой работе исследуются вопросы, связанные с полной интегрируемостью гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Гамильтонова система с h степенями свободы называется вполне интегрируемой, если существует in независимых интегралов движения этой системы, коммутирующих относительно скобки Пуассона.
Методы, применяемые при исследовании вопроса о существовании интегралов движения (в частности, полного инволютивного набора интегралов), определяются выбором того функционального класса, в котором разыскиваются интегралы. В соответствии с этим говорят об аналитической или гладкой интегрируемости (или неинтегрируемости) гамильтоновых систем.
Эффективные методы, восходящие к работам Пуанкаре [ IJ , развиты для обнаружения аналитической неинтегрируемости (см. f2J). В.М.Алексеев Гзіотметил связь аналитической неинтегрируемости и существования топологически транзитивного гиперболического множества в фазовом пространстве системы. В.В.Козлов 4-J доказал, что в сие теме, описывающей движение тяжелого твердого тела, имеет место эффект расщепления сепаратрис и, как следствие, аналитическая, неинтегрируемость. Говоря о гладкой неинтегрируемости, следует отметить работу Маркуса и Мейера [5 J , в которой для системы с двумя степенями свободы типичность гладкой неинтегрируемости,доказана с использованием теории возмущений условно периодических движений Колмогорова, Арнольда и Мозера. Алгебраическим конструкциям аналитически'.интегрируемых систем посвящен обзор [б J.
В случае, когда фазовое пространство системы представляет собой кокасательное расслоение конфигурационного многообразия, с различных точек зрения (см. [vj) представляет интерес изучение гамильтоновых систем, имеющих полиномиальные по импульсам интегралы движения. Так, многочисленные примеры гамильтоновых систем, интегрируемых методом - 4 -лаксовой пары, принадлежат этому классу. Динамические системы с тремя степенями свободы, имеющие дополнительный квадратичный по импульсам интеграл, находят применения к проблемам, касающимся эволюции звездных систем [ 8 ] . Описание потенциалов взаимодействия V, для которых система h частиц на прямой с гамильтонианом имеет независимый с энергией полиномиальный по импульсам интеграл в общем положении, дано в работе [9J.
Простейшим полиномиальным интегралом является линейный по импульсам интеграл, который, как известно (см., например, [I0J), существует тогда и только тогда, когда гамильтониан выдерживает однопараметрическую группу симметрии конфигурационного многообразия. Простой и эффективный критерий существования локального линейного интеграла у геодезического потока, определяемого римановой метрикой на двумерном многообразии, дает теорема Бьянки (см. [ 10J ); геодезический поток двумерной метрики имеет линейный по импульсам интеграл в том и только том случав, когда гауссова кривизна этой метрики и модуль ее градиента являются функционально зависимыми функциями на конфигурационном многообразии.
Квадратичные по импульсам интегралы, которым в настоящей работе уделено особое внимание, возникают, обычно, при интегрировании га-мильтоновых систем методом разделения переменных (см. [її] или [12] ) По теореме Штеккеля натуральная система в кокасательном расслоении
Т U открытого подмножества U в (ft.* , задаваемая "ортогональным" гамильтонианом Н (р> ^)== 21 ^^J р тогда и только тогда допускает полное интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби методом разделения переменных, когда Н имеет т.н. штеккелеву форму, то есть когда существует такая функциональная матрица (икm ) , К -ая строчка которой состоит из функций от переменной (/к , что набор коэффициентов гамильтониана ($ ',...> "J является первой строкой матрицы, обратной к (и*м)\ при этом штеккелева гамильтонова система обладает полным набором квадратичных по импульсам интегралов в инволюции, которые можно вычислять по явным формулам через функции U кт (f) Интересную геометрическую характеристику штеккеле-вых систем предложили Бляшке и Цвирнер (см., например, [ 12]): гамильтониан Н геодезического потока в T*U имеет штеккелеву форму, если у любого достаточно малого /і -мерного куба в V , стороны которого лежат на координатных гиперплоскостях, все геодезические диагонали имеют одинаковую длину.
Однако, проблема отыскания наиболее общей формы гамильтоновых систем с полным набором квадратичных интегралов в инволюции, еще не решена. Даже в случае двух степеней свободы, в котором уже давно (см. L13 J) доказана приводимость к лиувиллевой форме (f(x)+h(y)) (сіх а + Uy*) римановых метрик, геодезический поток которых обладает дополнительным квадратичным интегралом (и, следовательно, имеется возможность в некоторых координатах проинтегрировать уравнения движения методом разделения переменных), остается открытым важный вопрос об отыскании эффективного критерия распознавания таких метрик, аналогичного критерию Бьянки в случав линейного интеграл. Единый подход к изучению линейных и квадратичных интегралов с точки зрения римановой геометрии в целом разработан Я.Б.Татариновым в статьях ІІЦ-1 .
Отметим здесь другие ситуации, в которых естественно возникают квадратичные интегралы: I) Если риманово многообразие А| является прямым произведением римановых многообразий /f*,..., /1* и / обозначает кинетическую энергию движений в /Л^ , то 1t... к определяют набор квадратичных интегралов в инволюции, почти всюду - б - независимых в TW . 2) Пусть <*і,а - риманова метрика на Vc ft* Требуется найти условия, при которых существует некоторая другая метрика d S-i на У , геодезические которой совпадают с геодезическими, определяемыми метрикой dt . Эту задачу решил Леви - Чиви-та в работе [15 J , где показано, что такая метрика di * существует тогда и только тогда, когда ds.2 и dI? можно привести к некоторым специальным нормальным формам. При этом оказывается, что геодезический поток метрики ds.2 с необходимостью обладает полным набором квадратичных по импульсам интегралов.
Вопросом существования квадратичных интегралов движения для различных классов гамильтонианов посвящены работы классиков: Пенлеве, Леви-Чивиты и его учеников. Методы, используемые в этих работах, и полученные результаты - локальные. Подробное обсуждение этих результатов имеется в статье Г16 J .
В настоящей работе основное внимание уделяется исследованию свойств полиномиальных и,в частности, квадратичных интегралов, за-данных глобально на кокасательном расслоении Т*ґ\ к компактному многообразию. Ясно, что в таком исследовании играет роль топология конфигурационного многообразия.
На возможность топологических препятствий к интегрируемости некоторых классов гамильтоновых систем указывает результат Д.В.Ано-сова об эргодичности потоков на компактных многообразиях отрицательной кривизны. Топологические препятствия к аналитической интегрируемости натуральных систем с двумя степенями свободы нашел В.В.Козлов. В его работе 117 J доказано, что в кокасательном расслоении Т*ґ[ ориентируемого двумерного компактного аналитического многообразия АІ рода [ > / не существует натуральных систем, задаваемых аналитическим в Г /А гамильтонианом, обладающих дополнительным аналитическим же (и по импульсам и -по координатам в А) ) интегралом. Доказательство этого результата основано на изучении критических зна- - 7 -чений аналитического интеграла и покрытии группы гомологии Ич (ft) образами групп гомологии торов, задаваемых некритическими уровнями интегралов. Развитие проблематики на случай многообразий с краем предложил С.В.Болотин(см. обзор 6*]).
Основным результатом первой главы диссертации является теорема о топологических препятствиях к интегрируемости геодезических потоков с двумя степенями свободы в классе аналитических по импульсам интегралов. Доказательство этого результата основано на проведенном в I локальном исследовании полиномиальных по импульсам интегралов, свойства которых собраны в теореме I. Сформулируем эти утверждения.
Теорема I. Предположим, что в области У с (Я 3 задана такая риманова метрика «Ч а = Л (*> $) (с/х3- + ctyi) класса гладкости
С 1 , что определяемый ею локальный геодезический поток, то есть гамильтонова система в Т*У с гамильтонианом
И ~Л (Р* *ру) , имеет однородный степени ю полиномиальный по импульсам интеграл
Тогда функция
А(г)= (t.-g9+*v-...) + (f,-#,+...) =JL *в^ является голоморфной функцией комплексного переменного 2- х*Сч Кроме того, если в некоторых других изотермических координатах (utu) связанных с (ж» у) голоморфным преобразованием ~uj (%) , где иг~ и+ t if , интеграл f-* выражается формулой /Г г ZL, с„ (и> -и) /Ьи Д, - 8 -то голоморфные функции R (ъ ) и связаны формулой
Отсюда следует, что выражение и / инвариантно и задает голоморфную I-форму на V в комплексно-аналитической структуре, определяемой римановой метрикой (картами этой структуры являются карты изотермических для этой метрики координат) Эта форма имеет первостепенное значение для доказательства теоремы о неинтегриру-емости. Отметим еще, что аналогично можно построить форму, соответствующую полиномиальному интегралу произвольной натуральной системы в 7"* U .
Теорема 2. Непрерывно дифференцируемый геодезический поток на компактном ориентируемом двумерном многообразии М рода д> f не может обладать дополнительным аналитическим по импульсам первым интегралом (класса гладкости С ), независимым с интегралом энергии.
Для произвольных натуральных систем в Т ҐІ из этой теоремы следует отсутствие дополнительного полиномиального по импульсам первого интеграла.
В связи с теоремой 2 уломяним один простой, но интересный пример, рассказанный автору И.К.Бабенко. Как заметил И.Х.Сабитов, легко построить такую С гладкую метрику на любом компактном двумерном ориентируемом многообразии А) , чтобы в окрестности каждой точки /Л геодезический поток обладал линейным интегралом. Для этого следует g стандартных сфер гладко соединить некоторым количеством трубок (стандартных цилиндров).
3 главы І содержит некоторые подготовительные материалы, необходимые для главы П. В нем обсуждаются'локальные свойства квадратичных по импульсам интегралов геодезических потоков на двумерных многообразиях.
Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков
Целью этого параграфа является доказательство следующего утверждения. Теорема 2. Геодезический поток класса гладкости С на компактном двумерном ориентируемом многообразии /Л рода JL / не может обладать дополнительным аналитическим по импульсам первым интегралом (класса гладкости С f ), независимым с интегралом энергии. Замечание. Любая аналитическая по импульсам функция F раз оо лагается в ряд А" = Z- , где Fh - однородный многочлен по импульсам степени к Очевидно, что если г - интеграл (класса гладкости С в Гж/ ) геодезического потока, то интегралами являются и все его однородные компоненты / h , ибо разложение функции {Н, F) в ряд по однородным полиномам. Поэтому теорема Z эквивалентна следующему утверждению. Теорема 2 Пусть Н - гамильтониан геодезического потока на компактном ориентируемом двумерном многообразии / J рода % 1 Тогда всякий однородный полиномиальный по импульсам интеграл этого потока имеет вид F- с Нт где с ь /R. , т є / Доказательство теоремы 2 . Пусть F - однородный степени т интеграл геодезического потока на А) с гамильтонианом Н . Поскольку не существует, очевидно, отличных от констант интегралов нулевой степени, го есть не завнзящих от импульсов, то можно считать, что П 1 . Покажем, что функция R(t), определяемая в силу теоремы I интегралом /v, в произвольных изотермических координатах - -fo Mrfle, как всегда, г=ос+ ) тождественно равна нулю.
Действительно, в противном случав, на А/ можно построить глобально определенное мероморфное тензорное поле , где Ыъ" = с/г0...6 о(г , ибо, как показано в предыдущем параграфе, вы ражение »/л - определено инвариантно в окрестности любой та кой точки в AI , что f?o ) 0 . Покажем, что на римановой поверхности рода степень дивизора любого тензорного поля, задаваемого в локальных координатах формулой (ъ)Ы%. с мероморф-ной функцией ф d) j равна n (2g- 2) и, в частности, положительна, если а 7 , Действительно, во-первых, степень дивизора такого тензорного поля не зависит от выбора представителя, ибо все такие тензорные поля получаются друг из друга умножением на подходящую мероморфную функцию (степень дивизора которой на любой компактной римановой поверхности, как известно, всегда равна нулю), а, во-вторых, тензорно перемножив ft абелевых дифференциалов, мы получим представителя, степень дивизора которого равна h ( Q.g-0.) , ибо степень дивизора любого абелева дифференциала равна 2.%- SL (см. tzi]). Но тензорное поле .в не имеет нулей, и значит степень его дивизора не может быть положительной. Это противоречие показывает, что голоморфная функция (ъ) , определяемая интегралом /v, в любых изотермических координатах (ас, у) на /1 , тождественно равна нулю. В этом случае, как уже отмечалось в I, интеграл Fh разлагается в произведение гамильтониана Н и интеграла /Vj-a степени л-2 Доказательство завершается теперь индукцией по п . Чтобы проиллюстрировать заключительное замечание из I приведем вытекающее из теоремы 2 следствие, касающееся произвольных натуральных гамильтоновых систем. Следствие» Пусть по-прежнему /Л - компактное ориентируемое двумерное многообразие рода g 7 (класса гладкости С 1 ),,_ и на Т ґ[ задана натуральная гамильто нова система с гамильтонианом H-H0 Vf где Но - положительно определенная квадратичная по импульсам форма, а V - функция точки многообразия А) . Тогда эта гамильтонова система не имеет независимого с энергией полиномиального интеграла, то есть интеграла, задаваемого в произвольных локальных координатах (octy) формулой F - Z- F , где г - однородный по импульсам многочлен степени л
Доказательство. Действительно, в противном случае, как отмеча лось в I, Am - интеграл системы с однородным гамильтонианом Но и по теореме 2 FM - с № , если / » - четное, и AVv, = О если m нечетное. Тогда функции - с Н и А" в случае четного и нечетного m соответственно являются первыми интегралами гамильтоновой системы с гамильтонианом Н максимальной степени /я. Аналогично теореме 2 , доказательство завершается индукцией по »?. Замечание I. В связи с теоремой 2 уместно отметить теорему В.В. Козлова (см. Г17J ), согласно которой натуральная гамильтонова система в кокасательном расслоении к компактному ориентируемому двумерному многообразию рода g 1 , задаваемая аналитическим в 7 Л гамильтонианом, не может быть проинтегрирована в классе функций, аналитических в Г А (и по импульсам и по координатам в А! ). Доказательство В.В.Козлова основано на совершенно других идеях. Оно использует технику теории гомологии. Замечание 2. Утверждение теоремы 2 может быть распространено и на все неориентируемые компактные двумерные многообразия, кроме проективной плоскости и бутылки Клейна, ибо их можно накрывать ориентируемыми многообразиями рода g 1 , Начиная с этого момента, в работе будут рассматриваться лишь квадратичные по скоростям интегралы движения. Их изучение, в отличив от изучения полиномиальных интегралов высших степеней, сводится по существу к исследованию свойств определяемой ими формы -, g , ибо по ней сам интеграл восстанавливается почти однозначно (с точностью до прибавления интеграла энергии). Кроме того, отныне предполагается, что все рассматриваемые объекты {функции, интегралы, метрики) принадлежат классу гладкости Са .
Отметим также, что для написания всех формул будут использованы изотермические координаты. Содержание настоящего параграфа носит вспомогательный характер и не является принципиально новым. Здесь в наиболее удобной для дальнейшего форме описаны локальные свойства квадратичных интегралов геодезических потоков, задаваемых римановыми метриками на двумерных многообразиях, и доказана теорема приведения соответствующих метрик к форме Лиувилля. Эти результаты были, по существу, известны уже Дарбу и Леви-Чияита (см., например, fІЗ J ), и по-видимому, еще не раз впоследствии заново доказывались другими математиками (см., например, С 28 J ). Итак, пусть в области Z/C#a задана риманова метрика ct-L - \( у)(Ыос +Ыу ), и соответствующий ей локальный геодезический поток в T U , определяемый гамильтонианом Н- J Л ( ?) О pJ, где А т , имеет квадратичный интеграл При in - 2. система уравнений (2) эквивалентна системе, состоящей из условия голоморфности функции R. = ( о ёъ) + с 1 плюс первое и последнее уравнение системы (2), которые имеют вид:
Квадратичные по скоростям интегралы
Начиная с этого момента, в работе будут рассматриваться лишь квадратичные по скоростям интегралы движения. Их изучение, в отличив от изучения полиномиальных интегралов высших степеней, сводится по существу к исследованию свойств определяемой ими формы -, g , ибо по ней сам интеграл восстанавливается почти однозначно (с точностью до прибавления интеграла энергии). Кроме того, отныне предполагается, что все рассматриваемые объекты {функции, интегралы, метрики) принадлежат классу гладкости Са . Отметим также, что для написания всех формул будут использованы изотермические координаты. Содержание настоящего параграфа носит вспомогательный характер и не является принципиально новым. Здесь в наиболее удобной для дальнейшего форме описаны локальные свойства квадратичных интегралов геодезических потоков, задаваемых римановыми метриками на двумерных многообразиях, и доказана теорема приведения соответствующих метрик к форме Лиувилля. Эти результаты были, по существу, известны уже Дарбу и Леви-Чияита (см., например, fІЗ J ), и по-видимому, еще не раз впоследствии заново доказывались другими математиками (см., например, С 28 J ). Итак, пусть в области Z/C#a задана риманова метрика ct-L - \( у)(Ыос +Ыу ), и соответствующий ей локальный геодезический поток в T U , определяемый гамильтонианом Н- J Л ( ?) О pJ, где А т , имеет квадратичный интеграл При in - 2. система уравнений (2) эквивалентна системе, состоящей из условия голоморфности функции R. = ( о ёъ) + с 1 плюс первое и последнее уравнение системы (2), которые имеют вид: Важно отметить, что если функция R тождественно равна нулю в U , то F - с Н , Поэтому, говоря о дополнительном квадратичном интеграле, то есть интеграле, независимом с энергией, всегда следует считать, что R не является тождественным нулем. Введем обозначения: R. f = Re, R, R -J R - вещественная и мнимая части функции R .
Тогда все коэффициенты т интеграла выразятся через функции Rr , R9 и коэффициент 4Л , который будет далее обозначаться просто через і : В этих обозначениях система (3) запишется следующим образом: Продифференцировав первое и второе уравнения системы (5) по и Л" соответственно и приравняв правые части полученных уравнений, найдем необходимое условие разрешимости системы (5) относительно функции в : Это линейное уравнение второго порядка, гиперболическое во всех точках ( гу), за исключением нулей функции R , так как его дискриминант есть R, + Ял - /Л. 3 . Насколько известно автору, однако, теория уравнений в частных производных не предлагает общего метода построения явных решений таких уравнений. Приведенный в конце этого параграфа вывод формулы для решения уравнения (7) существенно использует свойство голоморфности функции R и специфический вид самого уравнения. Пусть теперь (7) выполнено. Найдем из системы (5) и тем самым докажем, что условие (7) является также достаточным для разрешимости этой системы относительно . Вначале решаем первое уравнение системы, считая, что оно зависит от у , как от параметра. Получим Подставив это выражение во второе уравнение системы, найдем, что — - Присутствие произвольной постоянной в формуле для о отражает тот факт, что по заданной голоморфной функции R , удовлетворяющей уравнению (7), интеграл F восстанавливается однозначно с точностью до прибавления гамильтониана Н t умноженного на любое вещественное число. Таким образом, доказано Утверждение.
Пусть А U — R - положительная функция класса С 3 , заданная в области V с R г . Риманова метрика \(ос,у) Ыэс + с/у у определяет в T U геодезический поток, который имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл тогда и только тогда, когда Л удовлетворяет уравнению (7), где Я t - голоморфная в U функция, не являющаяся тож дественным нулем, причем в этом случае коэффициенты -fM интеграла выражаются через А и R по формулам (4) и (8). Из этого утверждения и теоремы I непосредственно вытекает Следствие. Геодезический поток Б 7" Л , где /1 - двумерное ориентируемое многообразие, имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл тогда и только тогда, когда в любых изотермических координатах (эсг у) функция А , задающая метрику, удовлетворяет уравнению (7), где R &і+ А - голоморфная функция переменного 2 = ос + (у , не равная тождественно нулю и преобразующаяся при переходе к другим изотермическим координатам в соответствии с формулой (I), где /і = -2 . Закончим этот параграф выводом общей формулы для решения основного уравнения (7) при произвольной голоморфной функции Rd) ФО Перейдем к новым координатам (ut г/) , таким, чтобы 5 ( ur) = 79 г г= и + їіг . Тогда по формуле (I) иг V?-)- 1 /\//Мъ), что дает явное выражение для такой замены в окрестности любой точки 20, в которой Я.(го) 0 .
В координатах (u,v) уравнение (7) примет д А вид и д = О , где А і (" v) - функция, задающая метрику в изотермических координатах (u,u)vLt следовательно, связанная с А по формуле А (ос, у) = \f (ч, v) I v/ fU)l9. Отсюда A f - 4 «) + h(v) , где / и А - произвольные функции класса С99 и для А получаем окончательную формулу Замечание I. Метрики вида ($ (ос) + h (у)) (о/х л + с/у ) называются лиувиллевыми. Предыдущие рассуждения показывают, что в окрестности каждой точки из /Ч , за исключением некоторого множества изолированных точек - нулей функции R (і), метрика Ы$. 5 t геодезичес - -кий поток которой обладает дополнительным квадратичным по импульсам интегралом, приводится к форме Лиувилля. В окрестности той точ-киА где %(ъ) обращается в нуль, такое приведение, вообще говоря, невозможно. Замечание 2. Согласно отмеченной в параграфе I общей связи, существующей между свойствами полиномиальных интегралов геодезических потоков и произвольных натуральных гамильтоновых систем, из результатов данного параграфа вытекает возможность приведения гамильтониана произвольной натуральной системы в 7 Л! , где - двуме нов многообразие, к виду и, следовательно, возможность проинтегрировать уравнения движения методом разделения переменных.
Основная теорема. Классические примеры
В этом параграфе доказана основная теорема, которая описывает геодезические потоки на сфере с дополнительным квадратичным по импульсам интегралом, приведены условия гладкости и аналитичности этих потоков, а также показано, какое место в общей конструкции занимают классические примеры таких потоков. В конце параграфа рассмотрен также боле простой случай геодезического потока на торе. Здесь используются результаты и обозначения предыдущего параграфа.
Из доказанного там свойства периодов /Оґгц-) (они имеют вид U)f и Ссог с вещественными Юі и &- z ) вытекают важные следствия о поведении функций f (и) и h (У) . Ясно, что корректность определения А по формуле эквивалентно требованию, чтобы выражение J? (к (Ъ)) + п (и (ъ)) не зависило от выбора прообраза u + C\f xW=JO ",(b) .А так как JfO(ui) двояко-периодична с периодами с01 и u)z и функции fO(w), jft (ъ +-j Jj ift (ъи + -я) четные, то это требование эквивалентно периодичности функций / Си) и A (if) с периодами ьО и и 2 соответственно и четности у «С - что в свою очередь, эквивалентно четности всех функций вида Д целом к Оказывается далее, что условие конечности и положительности значения функции Л в точках ?, = /? f J, z Р( г), e1=j0(J, ieO - -отвечающих нулям производной р (ы) и асимптотическое условие на бесконечности накладывают дополнительные ограничения на поведение функций (ь) и h(v) в окрестности точек - —1 и —-— соответственно, где к 6 2.. Так как jOfu) имеет в нуле полюс второго порядка, то из условия получим, что при 7AS- О щ Это эквивалентно двум условиям на / и /; ; (O)i- h(O) = О и Далее, поскольку е,= / ( г), ea=/0( )J е3 =/0 ( ± ±х) корни многочлена г) и функции JO (го) - ef , /OfwJ-e , р(ьо)-вз имеют в точках - -j— «» — соответ ственно нули второго порядка, то ясно, что принимает в точках 6f , 6z , 3 конечные положительные значения тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
Так как нас интересует лишь сумма f (и) + h(u), то, не ограничивая общности, можно нормировать -/V J условием (О)- О В силу вышеизложенного, тогда А (О) - А ( -j-y = $C f )-Ог что значительно упрощает запись асимптотических условий на / и п , Обсудим теперь условия гладкости построенных метрик в точках , , Єл , 3 и в бесконечности. Рассмотрим для примера окрестность точки &, . Для остальных точек все рассуждения аналогичны. (Заметим только, что для получения условия гладкости в бесконечности надо перейти к рассмотрению метрики в координатах 2 - % ). В окрестности точки - имеем следующую формулу для X ; Заметим теперь, что в силу разложения в окрестности точки 2 / = — переменные 2 И tQ= СгсГ- ) голоморфно выражаются друг через друга.
Поэтому гладкость функции Д от 2 эквивалентна гладкости (того же порядка) функции А как функции от SI «Но второй сомножитель в выражении для л(ъ) очевидно, вещественно - аналитически зависит от Л , поэтому вопрос о гладкости \(ъ)ъ окрестности 2 = -6, сводится к вопросу о гладкости функции как функции от комплексного переменного S2. - ( + %) . Поскольку ± гладко зависит от a , , то необходимым условием гладкости / (1) является гладкость / ( %) (как функции от ос, ) соответствующего порядка. Начнем с обсуждения этого необходимого условия. Лемма 8. Рассмотрим функцию не имеет определенного предела при ос, - О . Доказательство непосредственно следует из представления о в полярных координатах: ot. (эс,%) - і" 2 1 рп ( Ф, i p) . Лемма 9. Пусть (У %) = /n %) / (х + у ) . Тогда для любого К ft - 2 и любых таких УП , , что гг\ + - к . . j " производная — (ас, у) в точке jr = 9, У - О существует и равна там нулю. Если же к } п - .2 и дробь р„ (ос, g) не сократима, то есть многочлен А, Сэс,#) не
Теорема единственности геодезического потока с двумя дополнительными квадратичными инте гралами
Этот параграф посвящен доказательству следующего утверждения. Теорема 5. Существует единственная риманова метрика на S геодезический поток которой обладает двумя дополнительными независимыми интегралами, квадратичными по скоростям. Это стандартная метрика, задаваемая в глобальных изотермических координатах формулой Из этой теоремы вытекает важное следствие. Теорема 5 . Для всех римановых метрик на сфере (кроме стандартной), геодезический поток которых обладает дополнительным квадратичным по скоростям интегралом, существуют единственные глобальные изотермические координаты 2 - ( #), в которых метрика имеет канонический вид, указанный в теореме 4 (с точностью до тривиальных преобразований, которые в лиувиллевых координатах uj-(utu) - -связанных с координатами 2 по формуле 2 JOtwJ, задаются отображениями: (utv) — ( u,-ir)a (и, и) - (ir, «)л Си, и)- с (и,ы) где а - вещественная постоянная). Иными словами, пара функций f , Л , задающая эти метрики (или функция f в случае линейного интеграла) определена однозначно (с точностью до эквивалентности, определяемой тривиальными преобразованиями). Следовательно, метрики, отвечающие различным парам функций /, А не эквивалентны между собой. Доказательство теоремы 5»
Здесь будут использованы свойства /О - функции Вейерштрасса с вещественными инвариантами и теория линейных дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками (см. LZ9] ). Вначале рассмотрим наиболее простой случай, когда существуют два линейных интеграла: При т- f система (I) из главы I дает условие голоморфности функции уравнение или, что эквивалентно, При этом из асимптотического условия на в глобальных изотермических координатах вытекает, что в этих координатах Й - это квадратный многочлен. Как показывает лемма 2 в некоторых изотермических координатах Л есть функция от - ос -ьу t а интеграл имеет вид Ff -/э +х/э# t а значит ЙС)-і - -Замена и ( г ) = & переводит многочлен R () = г в функцию $ (и) , тождественно равную мнимой единице. Следовательно, в координатах us- (utv) , как следует из уравнения ( 1 ), данная риманова метрика задается формулой c/t3 - -f ( ) (с/ц +с/іг3), где Предполагая, что существует второй линейный интеграл, получаем, что 4 (и) удовлетворяет, кроме того, уравнению для некоторой голоморфной функции С Cf + -Сл) (IAJ) t не равной тождественно мнимой единице. Это уравнение эквивалентно уравнению гармоническая функция. Вводя в рассмотрение функцию \г\ - т=- / - А найдем, что А удовлетворяет уравнению Запишем теперь условие гармоничности функции С, Си, и) : Поэтому h + А п - О . здесь возможны три случая: А О , А - О , А О . Поскольку функция имеет асимптотику а при \ъ\ - , или, что эквивалентно e Vu (ao (1)) при и-» (если рассматри вать Л как функцию от ги ), то А О , ибо функции Л , от вечающие возникающим при А О ъ А - О функциям к(и)-С&п\ІА(и+В) и In ( ) С + Q соответственно, не удовлетворяют, очевидно, требуемому асимптотическому условию. Далее, если А=-и 0 , то А (и ) = А Є 1 і- в е - и чтобы добиться желаемой асимптотики для функции необходимо потребовать, чтобы оо = f .
Таким образом, с точностью до постоянного множителя, все возможные Л сводятся к функции "Ч W /)2t где С О , ибо иначе знаменатель обратился бы в нуль при некотором конечном положительном и , или Как известно, как раз такие Л определяют стандартные метрики на сфкрах радиуса R . Таким образом, единственная метрика на сфере, геодезический поток которой обладает двумя независимыми линейными интегралами, - это стандартная метрика. Поэтому надо лишь доказать следующий факт; если геодезический поток римановой метрики на сфере обладает нетривиальным дополнительным квадратичным по скоростям интегралом (то есть не являющимся квадратом линейного интеграла),то этот интеграл единственный (с точностью до прибавления интеграла энергии). Рассуждая от противного, предположим, что геодезический по ток римановой метрики dtx на сфере 5а обладает двумя дополни тельными независимыми интегралами, квадратичными по скоростям, причем по крайней мере один из них не является квадратом линейно го. Тогда в некоторых глобальных изотермических координатах функ ция X (х, у ) , задающая метрику Ы1г - A , #) СЫос а + с/уа) должна удовлетворять уравнению (7) из главы I одновременно для двух многочленов, один из которых равен 9 2 3 -$л 2-$з » где , з - такие вещественные постоянные, что ?л3 - З.?і 0 а степень другого многочлена /Va ) - — & 2 не меньше двух, и Р(ъ) Ф А ( ґг3-#і2 &з) , где/] - вещественная посто янная.
Далее, поскольку сумма двух квадратичных интегралов снова является квадратичным интегралом, у которого определяющий много член равен сумме определяющих многочленов слагаемых, то не терияя общности, можно выбрать второй дополнительный интеграл таким об разом, чтобы определяющий его многочлен удовлетворял дополнитель ному условию: #е а2 О . Всюду в дальнейшем будем пред полагать, что это равенство выполнено. Сделаем замену координат (оал у) — ( , if) по формуле 2 /С (го) , приводящую метрику к форме Лиувилля. Здесь г- = ос + у UJ-OL ((J г a /Mwl- это /О -функция Вейерштрасса с инвариантами #д,#з и периодами со І и t co9 , где ,, - вещественные. Используя рассуждение с накрытием, аналогично приведенному в I, получим, что в координатах и, и уравнение (7) главы I должно выполняться для функции иA- / 1 +ii (и) всюду на плоскости (u3ir) , кроме точек - 63 -вида ( Mi -у? , м Іг) » где может иметь особенности. Это уравнение принимает теперь следующий вид: где Я Л«,і/) - Лп R , Выпишем разложение fl -функции в ряд Лорана в окрестности точки ы - О ; где Ск - вещественные. Тогда разложение R. (ги-) в окрестности точки гл/=0 имеет вид
